la theorie du gnomon

5/24/2018 LA THEORIE DU GNOMON

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LA MATHEMATIQUE PYTHAGORICIENNE

volume 2

Guillaume DENOM

LA THEORIE DU GNOMON


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GNOMON DUN POLYGONE REGULIER

La loi du gnomon

Le gnomon du carr est gal au gnomon du trianglequilatral, gale 3.

G (c) = G (t e) = 3

Dfinition : On appelle gnomon dun polygone rgulier, la plus petite

quantit du mme polygone, que lon doive lui ajouter, pour quunpolygone semblable soit reconstitu.A tout carr, il faut ajouter 3 carrs identiques au premier, pour quuncarr soit reconstitu.

A tout triangle quilatral, il faut ajouter trois triangles quilatrauxidentiques au premier, pour quun triangle quilatral soit reconstitu.

Pour chacun de ces polygones, on a :


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G(g) = 3g"Le gnomon de l'objet g est gal 3g"Ou encore : pour chacun de ces polygones, le rapport de l'objet g songnomon est de 1/3.

Ainsi, de la mme manire qu'il faut compter jusqu' quatre, qu'il fautquatre "pas" pour avoir la base arithmtique (10), pour avoir lesdimensions de l'espace et les objets premiers de la gomtrie, mais aussiles rapports musicaux fondamentaux, de mme, il faut quatre pas pouravoir la structure du gnomon.Notons que le triangle gnomonique de rang 2 (c'est dire de "ct" 2), ci-

dessus, est matriellement identique un ttradre dpli. Or on a vuqu'il suffisait de quatre "pas" (quatre points) pour construire le ttradre,et ces quatre points de rfrence peuvent tre aussi bien les sommets duttradre, que les centre de ses quatre faces, reprs ci-dessus par despoints, et relis entre eux par un trpied. Le ttradre, qui est le plussimple des polydres, et le triangle gnomonique de rang 2, qui est lepremier et le plus simple des gnomons, doivent donc tre compriscomme deux modalits contiges, bien que mathmatiquementdistinctes, de la "clture quatre" : l'une gomtrique, l'autre, comme on

le verra dans nos deux derniers articles, de nature essentiellementlogique.

Loi de progression impaire et infinie des gnomons successifs du triangle

et du carr

Si lon ajoute un triangle quilatral ou un carr unequantit indfinie dobjets identiques au premier, la figureinitiale se reconstitue linfini au moyen de gnomonssuccessifs, dont les valeurs sont celles des entiers impairssuprieurs 1.


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La progression des gnomons successifs du triangle quilatral et ducarr, nest autre que la progression infinie des nombres entiers impairssuprieurs 1. Ou encore : lensemble des gnomons du trianglequilatral et du carr, correspond lensemble des entiers impairssuprieurs 1.

Dans l'esprit de la mathmatique moderne, il est possible de considrerl'unit, appele aussi grainedu gnomon, comme "gnomon de rang zro",ou gnomon nul, et dans ce cas on obtient :

G (te) = G (c) = I

L'ensemble des gnomons du triangle quilatral, est gal l'ensemble des gnomons du carr, est gal l'ensemble desentiers impairs.

Bien qu'on puisse en tre surpris, cette loi, qui est l'une des plusimportantes de la mathmatique pythagoricienne, ne figure, notreconnaissance, dans aucun livre de mathmatique ancien ou moderne.


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Loi de croissance arithmtique et infinie des ctsdes carrs et trianglesgnomoniques

On appelle polygone gnomonique de rang n, tout carr ou trianglereconstitu, form dun carr ou dun triangle originaire, appel graine,et dune quantit quelconque - inclue zro- de ses gnomons successifs.Le polygone gnomonique de rang 1 n'est autre la graine (gnomon zro).Les objets suivants sont tous des carrs ou des triangles gnomoniques.

La croissance des ctsdes polygones gnomoniques successifs,forms partir dun polygone quelconque (graine), de valeur 1,nest autre que la croissance des nombres entiers naturels.


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Si la graine, triangle ou carr, mesure 1 cm, alors, les triangles ou carrsgnomoniques de rang (2, 3, 4...) forms partir de cette graine

mesureront respectivement (2, 3, 4) cm.

Loi de progression carre des airesdes polygones gnomoniques

Les valeurs des airesdes polygones gnomoniques successifssont gales aux carrsdes nombres entiers naturels.

Par application directe de ce que nous venons dexposer sur les cts despolygones gnomoniques, on constate que la croissance de la surface, delaire, des polygones gnomoniques successifs, nest autre que celle des

carrs des nombres entiers naturels.

S ( PG ) = n2O nest le nombre entier correspondant au ct du polygone.

Si nous avons adopt la convention dappeler carr la puissance 2dun nombre, son produit par lui-mme, cest en illustration directe de laloi du gnomon, qui veut que le carr se reconstitue selon un rythme quinest autre que celui des puissances 2 du nombre entier naturel.

On peut penser que cet usage, conserv jusqu' nous par la traditionmathmatique, est un hritage direct de la spculation pythagoriciennesur le gnomon. Nanmoins, en toute rigueur, nous devons remarquer querien nempche dappeler triangles les nombres que nous appelons carrs , puisquon a vu que le triangle gnomonique se reconstituaitselon les mmes valeurs numriques que le carr. La prfrence donneau carr pour symboliser la puissance 2 du nombre, s'expliqueuniquement par le fait que, pour le carr, la correspondance entre

nombre et figure peut se poursuivre dans la troisime dimension


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(nombres cubiques), comme on le verra dans le prochain article, ce quin'est pas le cas pour le triangle.

Compltude du systme

Un polygone rgulier du plan est une figure ferme du plan dont tous lescts sont gaux.Le triangle quilatral est le polygone rgulier qui possde le plus petitnombre de cts (puisque avec deux segments, on ne peut former unefigure ferme.) A chaque nombre entier suprieur 2, correspond doncun polygone rgulier.

Dans la srie infinie des polygones rguliers, seuls le triangle

quilatral et le carr possdent un gnomon.

Dmonstration.

En premier lieu, pour quun polygone rgulier puisse avoir un gnomon, ilest ncessaire que ce polygone soit une solution depavage continu du

plan. En effet, les polygones gnomoniques, qui sont simplement despolygones forms de parties semblables eux-mmes, sont des

figures compltes et continues du plan, sans reste ni vide. Or seuls troispolygones rguliers sont des solutions de pavage continu du plan : letriangle quilatral, le carr et lhexagone. (La dmonstration de cela estdu domaine public). Lhexagone ne possde pas de gnomon, car il estimpossible de construire un grand hexagone au moyen dhexagones pluspetits. Donc, seuls le triangle quilatral et le carr possdent ungnomon.


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Gnomons et symtrie

A. Le carr

Si lon examine un carr gnomonique de rang quelconque, on constateque les centres des carrs lmentaires forment une constellation depoints, distribus dans le plan en symtrie orthogonale.

Notons que cette symtrie est la mme que celle qui existe entre les

points qui sont les sommetsdes carrs atomiques ou lmentaires.

B. Le triangle

Si lon examine maintenant un triangle gnomonique de rang quelconque,on constate que les centres des triangles lmentaires se distribuentselon une symtrie dihexagonale.


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Cette symtrie est diffrente de celle qui existe entre les points qui sontles sommetsdes triangles lmentaires, et qui est une symtriehexagonale simple. Une symtrie dihexagonale est un systme pluscomplexe quune symtrie simplement hexagonale, puisquelle est

constitue de deuxrseaux hexagonaux entrelacs, comme on le voit ci-dessous.

Pour caractriser la diffrence entre les deux systmes, on peutremarquer que les noeuds dun rseau hexagonal sont relis par destriangles, alors que ceux dun rseau dihexagonal sont relis par destrpieds.

Rseau hexagonal Rseau dihexagonal Triangle gnomonique(triangles) (trpieds)

Dans le schma ci-dessus droite, on voit bien que si les sommets duntriangle gnomonique appartiennent la premire sorte de symtrie, lescentres du mme triangle appartiennent, eux, la seconde.


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Remarque

Dans la thorie pseudo-pythagoricienne des "nombres figurs", les nombres carrs (engendrs en comptant les points duneconstellation orthogonale) sont compars aux nombres triangles (compts sur une constellation hexagonale), et leur sont opposs, commeformant deux familles diffrentes. Mais dans la thorie mathmatiquerigoureuse du gnomon, une telle faon de procder na pas de sens, car

les nombres auxquels doivent tre compars, en toute rigueur, lesnombres carrs, ce ne sont pas les nombres triangulaires, mais lesnombres trpieds, dnombrs sur une constellation di-hexagonale. Et ceque lon obtient alors, ce nest pas une opposition entre deux familles,mais une quation :

Le nombre carr est gal au nombre trpied.

N ( C ) = N ( T )

En appelant ici "nombre trpied" le nombre de points que l'on obtient enempilant progressivement des trpieds les uns sur les autres, selonune progression arithmtique, ou "pyramidale", analogue celle de lattractys.


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Loi de transformation du triangle en carr

Il est possible de donner de cela une dmonstration gomtrique.Dans tout triangle gnomonique de rang suprieur 1, on remarquelalternance entre des triangles orients pointe en haut (en gris), etdautres, en nombre infrieur, orients pointe en bas (en blanc).

En faisant subir ces triangles blancs une rotation de 180 degrs sur labase horizontale du triangle gnomonique, on obtient un paralllogrammequi, moyennant un simple changement de paramtre angulaire (passage

du mode di-hexagonal au mode orthogonal) s'avre tre un carrgnomonique.

Rotation des triangles "pointe en bas" Modification du paramtre angulairede 180 (de 60 90 )


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A nimporte quelle chelle de son dveloppement, le triangle gnomoniquese transforme en carr gnomonique au moyen de ces deux oprations :rotation de 180 degrs des triangles pointe en bas , et variation de 30degrs du paramtre angulaire.


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GNOMON DUN POLYEDRE REGULIER

Les polydres rguliers

On appelle ici polydres rguliers (ou solides rguliers), suivant l'usagecommun, la seule famille troite des polydres rguliers convexes,appels aussi solides pythagoriciens, ou, abusivement, platoniciens. Lespolydres rguliers convexes sont au nombre de 5, tandis qu'avec lesconcaves, la famille s'largit 9.

Les polydres rguliers sont la famille des polydres, ce que lespolygones rguliers sont la famille des polygones. En pythagorisme, ilsappartiennent la catgorie des objets gomtriques "premiers ennaissance". De mme que les polygones rguliers (dimension 3) sontconstruits avec le matriel le plus simple que l'on puisse trouver dans ladimension infrieure (des segments de longueur identique), de mme, lespolydres rguliers (dimension 4) sont construits avec les objets les plussimples de la dimension infrieure : des polygones rguliers identiques.

Ttradre Cube

Octadre Dodcadre Icosadre


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Leurs faces sont toutes des polygones rguliers identiques, leurs angles et

leurs sommets sont tous identiques. Mathmatiquement, ils sontabsolument symtriques en chacune de leurs faces, de leurs angles et deleurs sommets (symtrie de rotation).Les proprits principales de ces figures tant bien connues etdocumentes (les plus importantes tant, outre la dmonstration qu'iln'en existe que cinq, la dualitet la loi d'Euler), on se dispensera de lesrappeler ici, pour nous limiter ce qui concerne la thorie du gnomon.

*

Si lon applique aux polydres une mthode de construction analogue celle employe pour les polygones, alors :

Seul le cube possde un gnomon tridimensionnel.

Dans un polygone gnomonique, triangle ou carr, on remarque cetteproprit particulire que la graine(la forme gomtrique reconstituer,considre comme lorigine de la srie des gnomons) et latome(llment unique, ou brique topologique servant la constructiondes gnomons) sont identiques.Dans le cas des polydres rguliers, cette proprit (identit de la graineet de latome) est observe pour le cube, et pour le cube seulement.

Avec plusieurs petits cubes de mme taille, on peut en effet construire uncube plus grand, mais la chose savre impossible pour chacun des 4autres polydres rguliers. Avec plusieurs petits ttradres, il estimpossible de construire un plus grand ttradre, idem pour loctadre, ledodcadre et licosadre.


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Le gnomon facial

Ce qui suit nest donc plus un raisonnement portant sur laconstitution internede lobjet, mais uniquement sur sa structure et sonaspect externe, autrement dit sur saface.On appelle maintenant gnomon facial dun polydre, le solide qui, ajout ce polydre, permet de reconstituer un polydre semblable, dont la

faceest un polygone gnomonique de rang suprieur.En suivant cette dfinition, 4 des 5 polydres rguliers possdent ungnomon facial.

Simplement, dans 3 de ceux-ci, la graine (la forme reproduire) nest pasidentique latome (la brique de construction), et latome nest pasunique (deux atomes pour le ttradre et loctadre, trois atomes pourlicosadre).

Compltude du systme

Parmi les 5 polydres rguliers, lun dentre eux, ledodcadre, ne peut pas possder de gnomon facial.

Dmonstration.La dmonstration sappuie sur celle que nous avons donne plus haut,montrant que, parmi les polygones rguliers, seuls le triangle quilatralet le carr possdent un gnomon.


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En effet, daprs cette limitation, pour quun polydre puisse avoir ungnomon facial, il faut de toute ncessit que sa face soit ou bien untriangle, ou bien un carr. La face du dodcadre tant un pentagone,celui-ci ne peut avoir de gnomon facial, puisque le pentagone nest pas

une solution de pavage continu du plan.

Quant aux quatre autres polydres rguliers, nous allons voir que chacundeux possde effectivement un gnomon facial.

A la fin de cet article, un tableau rcapitule les valeurs des 4 premiersgnomons de ces polydres.

Gnomon du cube

Le cube est, comme on la vu, le seul polydre rgulier dont le gnomonnest pas seulement un gnomon facial, mais un gnomon au sens interne

et constitutif du terme, puisque, dans celui-ci, la graine, la forme reproduire, est identique latome, pice unique servant saconstruction.Les premiers gnomons du cube correspondent aux nombres : 7, 19, 37,61, etc.et la rgle qui permet de les trouver est la suivante :

G (c) = 1 (+ 6), (+12), (+18), (+24), (...), (+ 6 x n)

Mais pour comprendre cette srie, il est encore plus simple de considrerles nombres correspondants chacun des cubes gnomoniquesreconstitus. En effet, ces nombres sont tout simplement les cubesdesnombres entiers naturels.1, 8, 27, 64, 125, ..., n3


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Nous voyons ainsi que la thorie classique des nombres cubiques,telle quelle est passe sans altration de la tradition pythagoricienne

jusqu' nous, est elle aussi en accord avec la dfinition mathmatiquerigoureuse du gnomon, contrairement la thorie malencontreuse desnombres figurs , qui en est une tentative d'extension illgitime. Danscette thorie classique, les nombres appels cubiques sont les nombrescorrespondants chacun des cubes gnomoniques reconstitus, chacunedes phases de ralisation ou de compltude du cube, incluant lagraine, lunit, dans la srie. Si nous avons adopt la convention denommer cube la puissance 3 dun nombre, de la mme manire quonappelle carrs les nombres correspondants la croissance de lasurface du carr gnomonique, cest donc l aussi par rfrence une

thorie mathmatique exactedu gnomon.

Le fameux Rubix-Cube peut tre pris comme un exemple valable decube gnomonique (gnomon de rang 2). Sil tait rellement constituuniquement de petits cubes, il serait constitu de 27 lments : 33.

Gnomon du ttradre

Pour chacun de nos gnomons futurs, la graine est colorie en rouge,latome-octadre en blanc et latome-ttradre en gris.


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Ttradre Gnomon du ttradre

On peut vrifier visuellement que la face du grand ttradre (trianglegnomonique de rang 2) est bien un gnomon polygonal de celle du petitttradre en rouge qui est sa graine.

Le gnomon (facial) du ttradre est un solide en forme de pyramide(ttradrique) tronque, compos de 4 lments : 1 octadre et 3ttradres. La srie infinie des gnomons suivants se dveloppe ainsi :

G (t) = (1/3); (3/6); (6/10); (10/15); (15/21); (21/28); ...; (a/b)

On appelle b la valeur de droite de chaque fraction, correspondantaux atomes-ttradres. On voit que les valeurs successives de b sontengendrs partir de la premire (3), par les oprations :

b = 3; +3; +4; +5; +6; Notons que la graine du gnomon peut tre intgre dans la srie des b sans droger la rgle + n(avec nsuprieur 1) qui est celle de la srie,puisquon a :

1 (graine) + 2 (premier gnomon), +3, +4, etcQuant la valeur a , valeur de gauche de chaque fraction,correspondant aux atomes-octadres, elle nest autre, chaque fois, quela valeur b de la fraction prcdente (y compris la premire 1 qui


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correspond la valeur b du rang prcdent, qui est le rang de la graine).La srie des valeurs a est identique la srie des b , mais avec untemps de retard.

A prsent, il est particulirement intressant doprer la simplificationdeces fractions.

On observe ceci :

En suivant le dveloppement de la valeur "a" selon deux chanesalternes, on saperoit que ces deux chanes nous prsentent, lune, lasrie des nombres impairs et, lautre, la srie des nombres entiers.

a = 1, , 3, , 5, , (srie des nombres impairs)a =, 1, , 2, , 3, (srie des nombres entiers)

Le constat est le mme pour la valeur b, mais avec un rang de dcalage :

b = 3, , 5, , 7, (srie des nombres impairs suprieurs 1)

b =, 2, , 3, , 4, (srie des nombres entiers suprieurs 1)

En rsum, dans cette alternance de fractions, la premire chane :

G (t) = (1/3); (...); (3/5); (...); (5/7): ...exprime le rapport de chaque nombre impair son successeur.

La deuxime chane :G (t) = (...); (1/2); (...); (2/3); (...); (3/4); ...

exprime le rapport de chaque nombre entier son successeur.


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Gnomon de loctadre

Le gnomon de loctadre est constitu des mmes lments atomiquesque celui du ttradre : ttradres et octadres. Seule leur proportionchange donc.

Octadre Gnomon de loctadre

La face du grand octadre est bien un gnomon polygonal de celle du petitoctadre (graine).Le gnomon immdiat de loctadre est constitu de 5 octadres et 8ttradres.Les gnomons ultrieurs se dveloppent de la faon suivante :

G (o) = (5/8); (13/16); (25/28); (41/44); (61/64); ...; (a/b)

On remarque que la valeur de a volue selon la rgle suivante :a = 5 ; +8 ; +12 ; +16 ; +20 ;


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Notons que, l aussi, la graine du gnomon, constitue d1 octadre, peuttre comprise dans la srie des valeurs a titre de terme originaire,sans faire exception la rgle (+ 4 x n) qui rgit la suite des gnomons.

En effet :

1 (graine) +4 = ; 5 (premier gnomon); +8; +12; Quant la valeur b, on remarque quelle se dduit directement de a,puisque lon a :

b = a + 3

Gnomon de licosadreLe gnomon de licosadre se construit au moyen des deux mmeslments atomiques que les gnomons du ttradre et de loctadre : desoctadres (a) et des ttradres (b); cependant le systme inclue unlment atomique de plus (d) qui est la propre grainede licosadre.Les valeurs de ce gnomon voluent beaucoup plus rapidement que cellesdes prcdents, puisque le premier gnomon de licosadre est dj

compos de 20 octadres et 60 ttradres.Voici la faon dont ce solide se construit.Sur chacune des 20 faces de licosadre (en rouge), on colle unoctadre. La figure qui apparat ensuite est celle dun ballon sur lequel 12cratres ou cupules se prsentent, correspondants aux 12 sommets delicosadre primitif. Dans chacune de ces 12 cupules se logent 5ttradres, soit 12 x 5 = 60 ttradres en tout.Comme il tait fastidieux de raliser en papier les 81 solides ncessaires cette construction, on nen a ralis ici quune partie, suffisante pour endtailler les trois tapes.


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Gnomon de licosadre (construction) Cupule remplie de 5 ttradres (en haut)et face complte du grand icosadre (en bas)

En dpit de ses dimensions imposantes, ce gnomon est bien un gnomonfacial du premier rang, (dont la face est un triangle gnomonique de rang2); de sorte que le rapport 20/60 est lquivalent exact, pour licosadre,des rapports 1/3 et 5/8 enregistrs pour les polydres prcdents.Quant au calcul des valeurs suivantes de licosadre, il ne pose gure dedifficult, puisquon remarque immdiatement que ces valeurs sontgales 20 fois celles du ttradre. Droulons lune au dessus de lautre

les deux sries de gnomons :

G (t) = (1/3); (3/6); (6/10); (10/15); (15/21); ...; (a/b)

G (i) = (20/60); (60/120); (120/200); (200/300); (300/420);...; (a/b)

Les valeurs du gnomon de licosadre (en bas) se dduisent de celles duttradre (en haut), en multipliant celles-ci par 20.

Autrement dit, on a :

G ( i ) = G ( t ) x 20


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Tableau rcapitulatif des valeurs des 4 premiers gnomons des polydresrguliers

Le tableau qui suit indique, pour chacun des polydres gnomoniques, lesvaleurs de ses quatre premiers gnomons.

graine Gnomon 1 Gnomon 2 Gnomon 3 Gnomon 4cube 1c 7c 19c 37c 61cTotal PG 1c 8c 27c 64c 125cttradre 1b 1a, 3b 3a, 6b 6a, 10b 10a, 15bTotal PG 1b 1a, 4b 4a, 10b 10a, 20b 20a, 35boctadre 1a 5a, 8b 13a, 16b 25a, 28b 41a, 44bTotal PG 1a 6a, 8b 19a, 24b 44a, 52b 85a, 96bicosadre 1d 20a, 60b 60a, 120b 120a, 200b 200a, 300bTotal PG 1d 1d, 20a, 60b 1d, 80a, 180b1d,200a,

380b1d,400a,680b

a : octadreb : ttradrec : cubed : icosadrePG : polydre gnomonique


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LES DEFINITIONS VAGUES DU GNOMON

A. Le gnomon gomtrique

Dans sesElmentsde gomtrie, Euclide emploie le terme "gnomon"pour dsigner une relation qui est exclusivement gomtrique, et non

arithmtique, et qui est celle, absolument gnrale, qu'entretiennententre eux deux polygones semblables, mais de dimensions diffrentes,quelles que puissent tre ces dimensions. En effet, en prenant, parexemple, deux carrs de dimensions diffrentes, (ces dimensions tantabsolument quelconques), et en les coordonnant par un de leurs angles,on fait apparatre une figure en forme d'querre, dfinie par la diffrenceentre les deux carrs. Euclide appelle donc "gnomon" la simple diffrenceentre ces deux carrs, autrement dit la figure qu'il faut ajouter au pluspetit pour obtenir le plus grand.

Dfini ainsi, le gnomon revt une signification qui est donc, dans soncontenu, un simple corrlat de la notion commune de croissancegomtrique,- une signification qui est donc la fois trs gnrale, maissingulirement appauvrie sur le plan des principes.En effet, dans cette dfinition, de nombreux lments appartenant lathorie exacte du gnomon sont laisss de ct. Notamment, la notionquantifie de gnomon minimum d'un polygone; ainsi que de multiplesnotions logiques, telles que les notions d'espace logique, de systme de

diffrences combinatoires, notions qui, comme nous le montrerons dans


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la dernire partie de cet expos, dcoulent uniquement de la thorieexacte du gnomon.Le gnomon, rappelons-le, est une structure logique, qui en tant que telle,

n'appartient en propre ni l'arithmtique, ni la gomtrie, mais leurinterface, la paroi entre ces deux sciences, dont le propre estd'exprimer, prcisment, ce qu'elles ont en commun.

En gomtrie, toute figure pouvant tre augmente par croissancecontinue possde, par dfinition, un gnomon; le gnomon ainsi dfini serduisant la notion mme de croissance gomtrique.Parmi les structures gnomoniques les plus frquemment tudiesfigurent, outre les polygones et polydres, le cne, ainsi que diverses

figures tridimensionnelles en formes de coquillages ou de cornes, quisont des figures engendres par le dveloppement d'une spiralelogarithmique.Le gnomon gomtrique, ou "gnomon euclidien", est donc un instrumentprivilgi pour explorer tous les problmes de croissance oud'augmentation, non seulement mathmatiques, mais physiques, etl'tude mathmatique de structures telles que la corne, le coquillage, afait l'objet d'un traitement par le savant naturaliste D'arcy Thompson,

dans son livreForme et croissance.Certains pourraient nous objecter que la dfinition euclidienne est enaccord avec un usage courant du mot gnomon, qui dsigne un instrumentd'astronomie fond sur le principe de l'ombre porte. Mais cetteobjection ne rsiste pas au simple examen de la traditionpythagoricienne. Ce n'est pas d'un tel instrument que nous parlePhilolaos, lorsqu'il dfinit le gnomon comme matrice du nombre etparadigme de la connaissance, ou Philopon, lorsqu'il nonce que lesgnomons sont les nombres impairs.

B. La thorie pseudo-pythagoricienne des nombres figurs

Bien qu'il soit habituel de considrer la thorie des nombres figurs

comme appartenant au fond thorique de l'ancien pythagorisme, nousn'avons pu lire aucun argument capable de nous en convaincre. Tout ce


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que nous savons de l'histoire du pythagorisme, nous incite plutt penser le contraire.

En premier lieu, cette thorie (qui n'est pas une thorie) est contredite, et

prouve non pertinente, par la vritable thorie mathmatique dugnomon. Donc, mme si ces spculations taient anciennes, elles nepourraient tre le fait que de pythagoriciens acousmatiques, qui n'avaientpas accs la connaissance des vritables thormes.

Dans cette thorie, les pythagoriciens auraient voulu "reprsenter" desnombres par des constellations de points; et, ct des nombres"triangles" et "carrs", auraient ainsi dfini toutes sortes de nombressemblables, pentagonaux, hexagonaux, etc.

Avec cette mthode, on dfinit ainsi des nombres triangles : 1, 3, 6,10, etc.

Des nombres carrs : 1, 4, 9, 16, etc

Ou encore des nombres pentagonaux : 1, 5, 12, 22, etc


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Il en rsulte une nouvelle dfinition du gnomon, selon laquelle legnomon est la quantit de points qu'on ajoute, chaque tape duprocessus, pour que la figure de base soit reconstitue.

On aperoit toute de suite une diffrence fondamentale avec la thorie dugnomon. Dans cette dernire, on raisonne sur des constellations depoints qui sont les centresdes polygones considrs (triangles ou carrs),

en accord avec la sentence classique : "une figure, un pas". Au lieu que,dans la thorie des nombres figurs, on raisonne sur des constellationsde points qui sont les sommetsdes figures considres. Il en rsulte ceparadoxe immdiat : que l'unit ne peut tre considre autrementque comme un nombre la fois triangle, carr, pentagonal, etc, alorsqu'elle n'est en ralit rien de tout cela, puisqu'elle est un point. Dans lathorie du gnomon, le paradoxe est absent. L'unit - ou atome - n'est pasun polygone "en puissance", mais une figure bien relle : un triangleouun carr.

Mais le problme le plus grave de cette thorie, c'est qu'elle se rsume un jeu purement arithmtique, qui ne dsigne aucune propritgomtrique pertinente des figures en question.Le jeu dont il s'agit est quivalent celui qui consiste dire : que sepasse-t-il si je dispose des boules aux quatre coins d'un carr, puis aumilieu de chaque ct, puis au milieu de chacun des nouveaux segmentsdlimits, et ainsi de suite. Le rsultat obtenu ne contient pasd'information gomtrique intressante sur le carr, puisquil rsulted'une rgle purement arithmtique, qui marcherait tout aussi bien avecune figure en forme de ligne brise comportant le mme nombre desegments que le carr. De la mme manire, dans la thorie des nombresfigurs, les figures ne constituent, tout bien considr,qu'un cataloguedereprsentations "graphiques" pour diverses formules de calcul, dontla substance est purement arithmtique, - catalogue qui ne prsentedonc pas d'ordonnance ni de raison systmatique, faute de justificationdans l'ordre mathmatique de la symtrie, qui est le seul dans lequelune thorie de ce genre pourrait consister.


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En dfinitive, seuls les nombres triangles et carrs, qui sont ceux qui ontune relle pertinence en terme de symtrie, puisqu'ils correspondent des rseaux hexagonaux et orthogonaux rguliers, prsentent aussiun intrt pour la thorie du gnomon; mieux, on peut faire remarquer

que la thorie du nombre figur a formul un principe qui n'est qu'unetransformation de la loi du gnomon, savoir : que deux nombrestriangulaires successifs forment un nombre carr.

En effet, on a vu que tout polygone gnomonique de rang suprieur un,triangle ou carr, tait compos de deux "nombres triangulaires"successifs, c'est dire de deux rseaux hexagonaux entrelacs, ouencore, de deux structures ttractyques dmarrant avec un temps dedcalage.Comme il existe de nombreux sites internet ou ces jeux mathmatiquessont abords, on se dispensera de le faire ici, d'autant qu'ils n'ont, commeon le voit, presqu'aucun rapport avec la vritable thorie du gnomon.Pour nous rsumer, alors que le gnomon euclidien est une notionpurement gomtrique, sans contenu arithmtique, le gnomon de lathorie du nombre figur, au contraire, est un jeu arithmtique, sanscontenu gomtrique pertinent, et dont l'intrt mathmatique peut entoute justice tre compar celui d'une table de multiplication. Or,

comme on l'a vu, la vritable thorie du gnomon n'appartientspcialement ni l'arithmtique, ni la gomtrie, mais l'exacteinterface entre ces deux sciences, qui est la logique pythagoricienne.

Par chance, la tradition a conserv divers tmoignages de l'anciennet dela thorie exacte du gnomon.On peut citer Aristote :"Eurytos, pour sa part, attribuait un nombre chaque chose, (...) commeon ramne les nombres aux figures du triangleet du carr." (O il n'estpas question d'autres polygones).Un tmoignage encore plus dcisif est celui de Jean Philopon, qui, dansson commentaire de la Physique d'Aristote, affirme que les anciensappelaient gnomons les nombres impairs.Autrement dit : G = I. On estloin d'Euclide; mais cette dfinition disqualifie galement la thorie dunombre figur, puisque, dans cette dernire, seuls les gnomons de la srie


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des "nombres carrs" peuvent tre appels "impairs", les autres sries degnomons n'ayant aucun rapport avec la srie des impairs.En compltant la proposition de Philopon (G = I) par l'indication donn

par Aristote, selon laquelle les figures prendre en considration pour lathorie du nombre, sont le triangle et le carr, on reconstitue la loi dugnomon : G (t) = G (c) = I.Mais sans chercher aussi loin, rappelons-nous que les expressions "carr"et "cube" appliques aux puissances 2 et 3 dun nombre, transmises sansinterruption, depuis l'ancien pythagorisme, par la traditionmathmatique, ne s'expliquent, elles aussi, que dans le cadre de lathorie exactedu gnomon, - du moins, cette thorie est le seul cadre danslequel elles s'explicitent parfaitement, sans paradoxe sur le statut de

l'unit.


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APPLICATIONS PHYSIQUES

Les applications physiques des quatre concepts majeurs de lamathmatique pythagoricienne sont innombrables, au point que la"physicalit" pourrait apparatre, sous un regard superficiel, comme leurqualit la plus frappante. Une revue mme succincte exigerait un livreentier. On se contentera donc de citer un ou deux exemples pour chacund'eux.

a) La ttractys

Bien que la symtrie hexagonale qui est celle de la ttractys ne soit qu'uncas particulier de symtrie mathmatique, correspondant notamment l'un des six ordres cristallins, elle revt, au point de vue

pythagoricien, le statut de porte d'entre dans le monde de la symtrie,de par son caractre de "premire en naissance". Cette prminences'explique par le fait qu'elle peut tre construite par la simple rplicationde cercles, ou de sphres, de mme diamtre, s'agglomrant les uns auxautres; le cercle et la sphre tant les figures les plus simples qui existentdans leur dimension respective. En effet, bien qu'ils appartiennent auxdimensions (pythagoriciennes) 3 et 4, le cercle et la sphre sont desobjets plus simples que les polygones et polydres, puisqu'on peut tousdeux les dfinir au moyen de deux points seulement, - au lieu que le

premier des polygones ncessite trois points. Le niveau de simplicit ducercle et de la sphre est donc mettre sur le mme plan logique quecelui du segment (dim 2), puisque c'est en effet par le segment qu'est leurdiamtre (ou, au choix, leur rayon), que ces objets sont dfinis.*

Si, sur un plan, on met deux billes de mme diamtre au contact l'une del'autre, puis une troisime au contact des deux premires, on a djconstitu la matrice d'un rseau hexagonal continu. D'o, en

poursuivant, par agglutination, sur un ct quelconque du triangleoriginaire, on parvient une ttractys.


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L'opale, pierre qui tait prise dans l'antiquit, est constitu d'un rseauhexagonal de billes de silice impeccablement empiles.

Le flocon de neige et l'alvole des abeilles sont des exemples bien connusde symtrie hexagonale. Le premier est du la triangularit de lastructure molculaire de l'eau (H2O), le second, au principed'"conomie", ou principe du moindre espace, qu'adoptentspontanment les abeilles, lorsque, en un nombre quelconque, ellesse rpartissent sur la surface du morceau de cire pour y creuser leursgaleries par un vol rotatif : principe qui les dtermine se grouper enconstellation hexagonale, aussi imparablement que les billes voques ci-dessus; la structure hexagonale de l'alvole proprement dite rsultantensuite des lois de la tension superficielle, analogues celle qui veut

qu'une bulle de savon adopte spontanment une forme sphrique.


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b) Les mdits

Le cur de la fleur de tournesol, comme celui de nombreuses autresfleurs (marguerite, pissenlit, artichaut), sordonne selon une rglearithmtique qui est celle d'une "suite de Fibonacci" tendant vers lenombre dor (mdit Nicomaque 10).

c) Le Gnomon

"La croissance de la corne, de la coquille et de toute autre formeorganique o se dessine une spirale est caractrise par le fait que chaqueincrment de la croissance est semblable au prcdent, que sa taille et saposition sont semblables celles de l'lment prcdent, et qu'il constitueds lors un gnomonde toute la structure prexistante."**

D'arcy Thompson


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d) Les solides rguliers

Les 5 solides rguliers furent recenss par Haeckel dans le monde desradiolaires, ces protozoaires pourvus d'un squelette siliceux, appartenantau plancton marin. Selon d'Arcy Thompson, ces structures semblentralises au moyen d'un maillage hexagonal. Le virus du rhume est unicosadre.


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Aprs cet aperu des applications physiques des concepts pythagoriciens,nous reviendrons, dans les deux articles suivants, sur la thorie du

gnomon, pour montrer que le gnomon est une structure logique quipermet, notamment, de construire l'ensemble des axiomes et desapplications de la logique moderne des tables de vrit.

* Comme nous le montrons ailleurs, le cercle, ou plus exactement le disque, et lasphre, ou plus exactement la boule topologique, peuvent mme, d'un point de vueplus profond, tre reconduits l'un et l'autre la dimension 1, n'tant, au regard del'unit arithmtique, qu'un point "tal" pour l'un, et un point "gonfl" pour l'autre.Une bille est une monade, parce qu'elle n'est rien d'autre qu'un point "mri", dplidepuis sa dimension, qui, elle, reste toujours "replie", indfinie. (Voir :

Monadologie, inLe dveloppement continu de la ttractys).** Le gnomon dfini par D'arcy Thompson demeure, en raison de sa gnralit, ungnomon gomtrique; toutefois, certaines des structures voques ici, engendrespar le dveloppement d'une spirale logarithmique, peuvent tre construites au moyende triangles ou de carrs gnomoniques, et ont ainsi pu recevoir une dfinitionarithmtique rigoureuse (suites de Padovan et de Fibonacci). Ces structures relvent,

la fois, de la thorie du gnomon et de celle des mdits.


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LA STRUCTURE LOGIQUE DU GNOMON (I)

Connecteurs binaires et carr logique

Introduction

Si, d'une certaine manire, la mathmatique toute entire peut treconsidre comme une interface entre nombre et figure, la thorie dugnomon possde une particularit exclusive, qui est d'associer de faon

biunivoque, et au niveau le plus fondamental, les notions de nombreentieret defigure entire. En effet, ce qui est en question dans cettethorie est un objet mathmatique qui est prcisment le nombre de

figures. Le gnomon est le nombrede figures, que l'on doit ajouter unefigure, pour la reconstituer.Dans cette thorie, "arithmticit" et "gomtricit" se trouvent donc

impliques parts gales; les gnomons sont des objets dont la natureest insparablement, arithmtique et gomtrique. Dans l'ordonnance dela science pythagoricienne, la thorie du gnomon ne peut donc pas, sansarbitraire, tre range dans une de ces sciences plutt que dans l'autre, etc'est pour cela qu'elle constitue le fondement d'une troisime.Les gnomons possdent, en premier lieu, les proprits logiques qui sontcelles d'un tableau. Ils prsupposent, comme on l'a vu, les notionsd'atomeet de systme. Mais ils possdent aussi des proprits

structurelles plus profondes, au point d'apparatre comme des candidatsau statut de notions centrales, fondatrices, de la logique mathmatique.Dans ces deux derniers articles, l'enqute sera pousse un peu plus loin,et nous verrons que ces gnomons peuvent tre traits comme de

vritables blocs de logique pure; - nous verrons qu'ils permettent, enparticulier, de retrouver un matriel quivalent celui de la logiquemoderne des tables de vrit; le systme desymtries qui se dploie dansl'espace du gnomon, tant, dans sa structure et sa forme, identique ausystme de diffrencesqui caractrise cette logique des tables de vrit.


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Le carr logique

Le carr gnomonique de rang 2, qui est un carr compos de 4 casesgales, peut tre considr comme un systme de diffrenceinformationnelle.En effet, si l'on autorise, par exemple, pour toute case du carrgnomonique, 2 valeurs ou "tats" possibles - ici blanc ou noir - on

obtient un systme de diffrences combinatoires, constitu de 24

= 16possibilits qui sont les suivantes :

Mais avant d'aller plus loin dans l'examen de ce systme, nous devonsouvrir une parenthse pour prsenter succinctement le principe de lalogique des tables de vrit.Pour le moment, on retiendra simplement que, dans cette tude, onappelle "carr logique" le systme de diffrences combinatoires contenu

dans un carr gnomonique de rang 2, lorsque chacune de ses cases adeux valeurs, ou deux tats possibles - pour nous : "blanc" ou "noir".

La construction mathmatique de la signification logique


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La logique des tables de vrit est un systme qui permet de crer dessignifications multiples et complexes, partir de significationslmentaires plus simples, et peu nombreuses. Le moyen mis en oeuvreest celui de la combinatoire. Des significations logiques riches et

diversifies, telles que les notions de relation entre deux noncs, dugenre : "et", "ni, ni", "ou inclusif", "si et seulement si" (ces 4 lmentstant soustraits d'un ensemble qui en compte 16), sont "fabriques" parla seule combinaison d'lments de signification plus simples : les valeursde vrit V et F (vrai et faux), les noncs atomiques quelconques nots pet q, enfin la notion de relationcombinatoireou de connecteurbinaire,entre deux noncs p et q.

La dfinition de ces notions lmentaires ne ncessite pas une extrmeprcision, dans la mesure o tout leur contenu rside, non en elles-

mmes, mais plutt dans leur diffrence avec les autres, dans le systmersultant de leur combinaison. Un texte court peut donc suffire dfinirtoutes ces notions, du fait de la solidarit de chacune avec les autres, ensupposant que les constituants ultimes de la signification de mots telsque "vrai", "faux", "proposition", tombent suffisamment dans l'intuition.

Dfinitions :

"Un nonc est une proposition qui a deux valeurs de vrit possibles :"vrai" ou "faux". Un connecteur binaire est une relation logique entredeux noncs p et q, dont la valeur de vrit est connue pour toutes les

valeurs de vrit possibles de p et de q."Voyons maintenant le moyen par lequel des notions de relationcomplexes telles que "et", "ni, ni", peuvent tre construites partir

d'lments aussi rduits que ceux dtaills dans la dfinition ci-dessus.Dans le systme des tables de vrit, on ne considre les noncs logiquesque sous un unique aspect : le fait qu'ils soient vrais ou faux.

Autrement dit, la relation "et" signifie simplement que les noncs p et qsont tous les deux vrais, la relation "ni, ni", que ni p ni q ne sont vrais, larelation "implique" se dit : "si p est vrai, alors q est vrai", etc.

A prsent, pour tre tout fait complet, nous pouvons dfinir la relation"et" comme la relation qui est vraie lorsque p est vrai et q vrai, et quiestfausse dans tous les autres cas. Mais quels sont ces autres cas? Il y en


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a trois. Lorsque p est vrai et q faux; lorsque p est faux et q vrai; lorsque pet q sont tous les deux faux. Autrement dit, la relation "et" est la relationqui a pour "table de vrit" la squence VFFF, qui signifie : "vrai dans lepremier cas et faux dans les trois suivants".On voit qu'il est facile, d'ores et dj, de dfinir de cette manire larelation "ni, ni". En effet, la relation "ni, ni" est la relation qui a pourtable de vrit la squence FFFV, c'est--dire qu'elle est vraie dans lequatrime cas et fausse dans les trois premiers.

A la question : combien y a-t-il de "connecteurs" ou de relations binairesde ce genre? La rponse est : autant qu'il y a de faons possibles deremplir un diagramme de 4 cases avec les lettres V et F : il y en a donc 16.Nous les exposons ci-dessous verticalement, en leur attribuant unnumro d'ordre qui ne s'expliquera que dans le prochain article, et quel'on demande au lecteur d'accepter pour le moment comme uneconvention arbitraire, et nous dtaillons ensuite les significations de cesconnecteurs en langage naturel, significations sur lesquelles nousreviendrons ensuite de faon plus dtaille.

p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

V V V F F F F V V V F F F V V V V FV F F V V F F F V V V F F V V F F VF V F F V V F V V F F F V V F F V VF F F F F F V F V F V F V F V V V V

1 : VFFF : et 2 : FVFF : contre-implique 3 : FVVF : ou exclusif 4 : FFVF : est contre-impliqu par 5 : FFFV : ni ni 6 : VFVF : q ou identit de q 7 : VVVV : toujours vrai 8 : VVFF : p ou identit de p


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9 : FFVV : non p ou ngation de p 10 : FFFF : toujours faux 11 : FVFV : non q ou ngation de q 12 : VVVF : ou inclusif 13 : VVFV : est impliqu par 14 : VFFV : si et seulement si 15 : VFVV : implique 16 : FVVV : est incompatible avec

On remarque que les 16 relations logiques entre deux noncsp et q, les 16 connecteurs binaires, sont identiques aux 16carrs logiques bicolores prsents en introduction.

En effet, si l'on convient qu' la table de vrit d'un connecteur,compose des lettres V et F, et lue de gauche droite selon la liste ci-dessus, correspond un carr logique lu dans cet ordre constant :

1 23 4

Et si l'on attribue chaque valeur de vrit une couleur galementconstante, (par exemple : Vrai = Blanc; Faux = Noir), alors, il existe uneapplication biunivoque qui attribue, chacun des connecteurs du langagelogique, un et un seul carr logique. Autrement dit : les carrs logiques nesont rien d'autre que des noms logiquesdes connecteurs du systme destables de vrit.

*


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Aprs avoir tabli que les carrs logiques bicolores sont des nomslogiques des relations - ou connecteurs - du systme des tables de vrit,nous pouvons porter un regard vers le but de cet article, qui est demontrer que le contenu smantique, que les significationsde ces

connecteurs, se refltent, elles aussi, dans la structure matrielledescarrs logiques qui leur correspondent.Pour le montrer, il nous faut pntrer plus avant dans le contenusmantique du systme des tables de vrit.

Analyse du systme smantique

Les 16 connecteurs binaires se rpartissent en deux classes logiquesrigoureusement distinctes.

A)Les connecteurs binaires de sens binaire, au nombre de 10.

Ce sont, outre les relations et (1), et ni ni (5), dj voques,dont lintuition est assez vidente, un groupe de 4 : implique (15), contre-implique (2), est impliqu par (13), est contre-impliqupar (4), dont le sens logique rigoureux doit se construire partir dupremier : implique signifie si p (est vrai), alors q (est vrai) . Pourles trois autres, on obtient : si p alors non q , si q alors p , si qalors non p .Quatre autres connecteurs : ou exclusif (qui signifie qu'entre lesnoncs p et q, un seul est vrai) (3), ou inclusif (qui signifie qu'aumoins l'un d'entre eux est vrai) (12), si et seulement si (14), estincompatible avec (16).

B)Les connecteurs binaires de sens non binaire.


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Cette classe se divise son tour en deux sous-classes.

a)Les connecteurs unaires, au nombre de 4.

Ce sont des connecteurs dont les tables de vrit nnoncent pas autrechose que p (8), non p (11), q (6) et non q (9).Si, dans le connecteur pRq dont la table de vrit nonce p , il y a bienune sorte de relation entre p est q, cette relation nest autre que lidentitde p avec lui-mme. pRq est ici la relation de p avec q qui laisse p

inchang, identique lui-mme.Ces connecteurs sont donc en ralit des connecteurs unaires; et ilnexiste que deux connexions unaires : lidentit et la ngation - ici,lidentit et la ngation de p et de q.

b)Les connecteurs nuls

Enfin, deux connecteurs, dont les tables de vrits sont VVVV (7) et FFFF(10), quon a coutume de qualifier de saturs ou de dgnrs, parcequils nont rellement aucun sens logique. Une proposition pRq, quiserait vraie quelle que puisse tre la vrit de p et de q, na rellementaucun contenu logique intuitif.Comme tels, ces connecteurs ne font qunoncer les pices deconstruction du systme, le toujours vrai et le toujours faux , entrelesquelles stablissent les expressions ayant un contenu logique (vrai -ou faux - si...).

Le plein et le vide logiques


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Parmi toutes les diffrences (qui sont les caractres constituants de lasignification logique) que l'on peut voir se manifester ici, l'une est plusimportante que les autres, c'est celle dupleinet du videlogiques.

En quoi consiste prcisment cette diffrence?

Les 16 connecteurs sont binaires au point de vueformel. Mais au point devue smantique, 6 sont binairement "vides" (classe B), tandis que 10 sontbinairement "remplis", - remplis d'un sens, d'une significationbinaire(classe A).Or que constate-t-on? Les 6 connecteurs binairement vides ne sontautres que les pices de constructionde la signification, les constituantsultimes de la smantique du systme, savoir les deux valeurs de vrit V

et F, dsignes par les connecteurs saturs (VVVV), (FFFF), et lesnoncs quelconques p et q, avec leurs ngations, non p et non q,exprimant certes des connexions, mais de nature non binaire mais unaire: l'identit et la ngation.

Autrement dit, il y a identit entre la structuredu systme, et le vide decelui-ci, en ce sens que les formules "choues" ou "non ralises" dusystme, - ses formes vides, ne sont autres que les pices ncessaires saconstruction.

Les significations des connecteurs se refltent dans lastructure matrielle du carr logique.

Il nous faut maintenant remarquer qu'il existe une relation tout faitstructurelle et profonde, entre la nature de la connexion logiqueentre

deux noncs p et q (binaire, unaire ou nulle), pour un connecteurquelconque, et le nombre d'axes de sparation entre les domainesrespectifs des lettres V et F (des couleurs blanc et noir), sur le carrlogique correspondant au mme connecteur.

Autrement dit :- Les connecteurs binairesont deuxaxes de sparation, qui sont la

verticale etlhorizontale.- Les connecteurs unairesnont quunaxe de sparation : la verticaleoulhorizontale.


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- Les connecteurs nulsnont aucunaxe de sparation.

connecteurs binaires connecteurs unaires connecteurs nuls

Non seulement les carrs logiques sont des noms logiques desconnecteurs du systme des tables de vrit, mais on voit ici que lecontenu smantique, que les significationsde ces connecteurs, serefltent dans la structure du carr logique.

De la mme manire que la ttractys points triangulaires, comme on l'avu dans notre article 1 consacr l'arithmtique, est un systme decoordonnes qui permet de reprer de faon biunivoque l'ensemble desnombres entiers, mais aussi des nombres dcimaux et ngatifs, les carrslogiques bicolores constituent un systme de notation capable d'exprimerl'ensemble des propositions de la logique des tables de vrit.

Thorme de consistance du carr logique

La puissance exceptionnelle de ce systme rsulte, semble-t-il, d'uneautologie bien construite, grce laquelle les couleurs, ou autres valeursdu carr logique, acquirent la valeur de noms d'elles-mmes. En effet, si

l'on remplace les couleurs "blanc" et "noir" par les deux catgoriesprimordiales de la logique : Identit et Diffrence, on obtient un systmeautologique consistant et bien construit (sans paradoxe) : c'est--dire unsystme qui formule lui-mme les conditions minimales de sa propre

possibilit. En effet, si le blanc n'tait pas identique au blanc, et si le noirn'tait pas diffrent du blanc, il serait impossible de construire un carrlogique avec du blanc et du noir; - ces deux conditions suffisant dfinir compltement ce qui est ncessaire ces deux couleurs pour leur

permettre de figurer ensemble dans un carr logique.De la mmemanire exactement, si l'expression "Identique soi-mme" n'tait pasidentique elle-mme, et si l'expression : "Diffrent de l'autre" n'tait pasdiffrente de l'autre, il serait impossible de construire un carr logique


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avec les expressions "Identique soi-mme" et "Diffrent de l'autre". Ceque l'on peut aussi exprimer par : Si ces expressions ne possdaient paselles-mmes la proprit qu'elles noncent, il serait impossible deconstruire un carr logique avec elles. Conclusion : le

systme nonce rellementles conditions minimales, ncessaires etsuffisantes, de sa propre possibilit; et les valeurs du carr logique sontdes dsignations correctes d'elles-mmes; ou encore : chacune de cesexpressions stipule rellement, et sans paradoxe, ce qu'elle est elle-mme.

Identique

soi-mme

Diffrent

de l'autre

Enfin, le carr logique est consistant pour toute paire d'objets (a, b) -valeurs ou tats des cases du carr logique - satisfaisant ensemble cesproprits. Notons que la valeur "b" du carr logique n'a pas besoin,quant elle, d'tre identique elle-mme, pour peu que la valeur "a" lesoit. Ainsi, si la valeur "a" est reprsente par la couleur blanche, la

valeur "b" peut tre reprsente par 32 couleurs diffrentes, voire 32crans versicolores, pourvu que toutes ces couleurs, ou tous les tats deces crans, soient diffrents du blanc

*

Par ce chemin, la logique des tables de vrit, construite par lacombinaison des valeurs de vrit "vrai" et "faux", se voit subordonne un matriel logique d'une gnralit suprieure - dont elle apparatcomme un simple cas particulier - qui est celui des catgoriesprimordiales de l'Idendit et de la Diffrence : le Mme et l'Autre duTime de Platon.La logique des tables de vrit est intressante par sa faon d'occuper(voire d'envahir, tant donne sa dimension incontestable de conqute


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intellectuelle) (1)un espace logique qui peut tre occup par bien d'autresobjets que le vrai et le faux : des couleurs, des sons, ou encore un circuitlectronique capable d'effectuer des calculs. Mais on peut affirmer qu'ilest impossible de "remplir" cet espace logique avec un matriel qui ait

plus de gnralit, ou d'extension, (et donc moins de contenuou dedterminit ontologique) que les deux expressions ci-dessus, puisque lesproprits que ces expressions dsignent et possdent la fois,sont desproprits que possdent ncessairement toutes les paires d'objets qu'ilsoit possible de poser, ou de dfinir, dans un carr logique consistant . Ouencore : le carr logique est consistant si et seulement sila paire d'objetsqui le compose, est dote de ces proprits.

A nos yeux, c'est donc bien le carr logique, - et travers lui son cadrevide : le carr gnomonique de rang 2 - qui apparat dans cette application

comme l'oprateur mathmatique le plus fondamental, en ce qu'il permetde subordonner, par une mthode qui est rellement analytique etcomplte, une catgorie logique une autre, en l'occurrence la catgorie"Vrai-Faux" la catgorie "Identit-Diffrence". Plus prcisment encore,le carr logique est l'oprateur dont ces catgories logiques sontles objetsrsultants.

(1)

Comme l'invention pythagoricienne de la thorie musicale, la logique des tables devrit est, en ralit, l'une des plus hautes conqutes intellectuelles de l'humanit.Chacune de ces inventions reprsente l'intgration par la mathmatiqued'un panentier de l'exprience humaine : la musique dans le premier cas, la logique dans lesecond. Pourtant, malgr le dveloppement extraordinaire de la logique et del'informatique au XXe sicle, le logicien Boole, son inventeur, qui a rendu tout celapossible, n'est pas devenu, autant que nous sachions, une "icne de la modernit", l'inverse des glorieux fabricants de machines qui ont prospr sur son invention. Lesinventions de ce genre sont en quelque sorte victimes de leur succs, en ce qu'elless'intgrent si vite et si naturellement au paysage culturel de l'homme, qu'on oublie deles remarquer, alors mme que, du fait de leur appartenance au paradis des

mathmatiques, elles sont ternelles, - contrairement aux thories physiquesincompltes et provisoires auxquelles le public accorde sa faveur. De notre point devue, il n'y a rien, dans la thorie des ensembles, qui ne puisse tre dduit par un biaisou un autre de la logique des tables de vrit; et cette thorie se serait pargne biendes ennuis si elle avait choisi, ds le dpart, d'adhrer ce socle, pour ne pas lequitter.


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LA STRUCTURE LOGIQUE DU GNOMON (2)Le systme des connecteurs et le triangle gnomonique

Dans le prcdent article, on a vu que les carrs logiques bicolores taientdes noms logiques des connecteurs du systme des tables de vrit; maison a constat aussi que le contenu smantique, que les significationsdeces connecteurs, se refltaient dans la structure matrielle du carrlogique.

Dans cet article, on examinera une application de rang suprieur qui estla suivante :Les relations logiques entre les 16 connecteurs de la logique des tables de

vrit, se refltent dans la structure des polygones gnomoniques de rang4, triangle et carr.Ce qui, dans le systme des tables de vrit, s'exprime par des relationsde ngationou de rciprocit logique entre des connecteurs considrsparpaires, se reflte dans la structure des polygones gnomoniques de

rang 4, exprim cette fois sous la forme de relations de symtrie - "haut-bas" ou "gauche-droite"- entre deux parties de la figure.Autrement dit : A toute relation de ngation ou de rciprocit entre deuxconnecteurs de la logique des tables de vrit, correspond une relation desymtrie entre deux cases du polygone gnomonique de rang 4, triangle oucarr.En logique, les diffrenceset les symtries d'un systme s'articulent en

un noyaulogique, qui dtermine la constitution, - la structure mme - dece systme.Rappelons-nous le noyau logique de diffrences et de symtries quicaractrise le systme des connecteurs binaires.5 connecteurs de sens binaire s'opposent 5 autres qui sont leursngatifs. 3 connecteurs de sens non binaire s'opposent 3 autres qui sontleurs ngatifs. Prcisons que, pour ce qui nous concerne, le choix de

baptiser "positif" le groupe suprieur correspondant aux connecteurs 1

8, relve d'une convention arbitraire; en effet, un connecteur n'est pas en


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lui-mmepositif ou ngatif, mais il est en lui-mme le ngatif d'un autreconnecteur.Par convention, donc, un groupe de 8 connecteurs appels positifs,

compos de 5 binaires et de 3 non binaires, s'oppose un groupe de 8autres connecteurs qui sont les ngatifs des premiers cits, compos luiaussi de 5 binaires et de 3 non binaires.

Ce systme de diffrences peut tre synthtis dans le schmagomtrique suivant (constellation de points en rseau orthogonal) :

1 2 3 4 5* * * * *

8 7 6

* * *9 10 11* * *

16 15 14 13 12

* * * * *

O la moiti suprieure de la structure reprsente l'ensemble positif

(connecteurs 1 8), et la moiti infrieure l'ensemble ngatif(connecteurs 9 16); tandis que la partie intrieure de la structure


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1- La chane se dveloppe sans rupture de continuit.2- Le passage d'un "maillon" au suivant s'effectue par une rotation de 180degrs du triangle originaire, numrot 1, soit sur l'un de ses sommets,soit sur l'un de ses cts, autour d'un axe quelconque du plan, de faonqu'un seul triangle soit en mesure de construire la figure complte par unmouvement rotatif ininterrompu, et intgralement coordonn, dansl'espace euclidien.3- Le point d'arrive (16) rejoint le point de dpart (1), de faon que lachane soit ferme.

4- Le sens de lecture principal de la chane, qui est dtermin par sonorigine, se droule de gauche droite, puis du haut en bas de lastructure.5- Le point de dpart de la chane se situe gauche de la structure.

Par une dformation convenable de la structure qui est celle de laconstruction du triangle, on constate qu'elle se transforme en celle de

notre constellation orthogonale, de sorte qu' chacune des symtries dusystme des connecteurs correspond une symtrie bien relle du triangle,qui fait correspondre 8 triangles 8 autres au sein d'une relation

biunivoque.


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Dans cette application, chacun des quatre tages, ou lignes, de notreconstellation orthogonale, correspond une squence de la constructiondu triangle gnomonique de rang 4.

Nous pouvons dj remarquer que, dans le triangle gnomonique, un"bloc positif" (regroupant nos 8 connecteurs positifs) s'oppose un blocngatif, dans une relation o chaque objet possde un correspondantexclusif, le hasard voulant que soit ici appel "positif" le ple "femelle" dela structure, et "ngatif" le ple "mle", contrairement l'usage qui est leplus frquent en mcanique.

bloc (ou ple) positif

bloc (ou ple) ngatif

Notons encore que, du fait de notre convention de numrotation desconnecteurs de 1 16, si l'on additionne le numro d'ordre d'unconnecteur avec celui de son ngatif logique, la somme est toujours gale 17, le nombre 17 tant le "zro logique" du systme de numrotation.

1 2 3 4 5 6 7 8+ + + + + + + +16 15 14 13 12 11 10 9= = = = = = = =17 17 17 17 17 17 17 17


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Les relations arithmtiques entre les numros d'ordre des connecteurscorrespondent aux relations gomtriques entre les points de la chane deconstruction.

Topologie de la squence de construction : les diffrences et les

symtries correspondent des inversions duvecteur de lecture.

Si nous reprenons la structure de notre constellation orthogonale, nousconstatons que les changements logiques qui s'oprent, dans le systmedes connecteurs, lors du passage d'un tage un autre, correspondent,dans la squence de construction du triangle, une inversion du vecteurde lecturede la chane des nombres.

Ligne 1 : 5 connecteurs binaires positifs (connecteurs 1 5)lecture : "gauche-droite"

Ligne 2 : 3 connecteurs non binairespositifs (connecteurs 6 8)


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lecture : "droite-gauche"

Ligne 3 : 3 connecteurs non binaires ngatifs (connecteurs 9 11)lecture : "gauche-droite"

Ligne 4 : 5 connecteurs binairesngatifs (connecteurs 12 16)lecture : "droite-gauche"

Les italiques indiquent la variable qui a chang chaque "saut de ligne",et auquel correspond l'inversion du vecteur de lecture. On peutremarquer que ce systme est logiquement continu, en ce sens que lesrelations de ngation du second degr y sont toutes galementrespectes.

Ainsi, la ligne 1 est le ngatif logique de la ligne 4, et leur vecteurs sontinverses.La ligne 2 est le ngatif logique de la ligne 3, et leurs vecteurs sontgalement inverses.Enfin, les lignes qui ont le mmevecteur de lecture, savoir les lignes 1 et3 d'une part, et 2 et 4 d'autre part, sont des lignes spares parune doublengation logique, double ngation qui correspond bienlogiquement l'identit.La totalit des relations de ngation binaire de notre constellation

orthogonale (qui est celle du systme des connecteurs) se trouve doncexprime, de faon continuellement logique, par la mise en oeuvre d'un

vecteur de lecture orientation binaire, qui n'est autre, rappelons-le, quecelui mme de la construction d'un triangle gnomonique de rang 4.

A ce sujet, prcisons un point important. Le vecteur de lecture "gauche-droite" qui pourrait, en premire approximation, apparatre imprcis ou

vaseux dans la construction du triangle gnomonique, est bienvidemment une ralit mathmatique exacte, rsultant du calcul

vectoriel, ds lors qu'on dfinit ce vecteur comme celui reliantle point dedpart au point d'arrivede chaque ligne(ou tage) du diagramme.


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Entre le point 1 et le point 5, on s'est dplac selon un vecteur qui estrigoureusement"gauche-droite", quel que soit le dtour effectu enchemin, et ceci est valable pour chacune des 4 lignes de notre

diagramme. L'opration logique qui permet cette simplificationvectorielle exacte n'est autre que le saut de lignedistinguant lesdiffrents tages de la structure.En rsum, l'ensemble des relations d'opposition binaire (ngation ourciprocit) du systme de la logique des connecteurs, se retrouve dans lastructure d'un triangle gnomonique de rang 4. A chacune des relations dengation ou de rciprocit entre deux connecteurs, correspond, de faon

biunivoque, une relation de symtrie("haut-bas", ou "gauche-droite")

entre deux parties du triangle gnomonique.

Le triangle gnomonique de rang 4 n'est autre que la ttractys points triangulaires, dont on a dj vu, au dbut de cet expos, qu'ellecontenait un systme de coordonne biunivoque de l'ensemble desnombres entiers, mais aussi des nombres dcimaux et ngatifs.

Finissons par une dernire remarque structurelle.On se souvient que, dans le systme des tables de vrit, il existe uneopposition essentielle entre les dix connecteurs de sens binairequi sontles formes accomplies ou remplies du systme, et les 6 connecteurs desens nonbinaire, qui correspondent aux formes choues ou vides, maisaussi la structure profonde, c'est dire aux constituants smantiques decelui-ci.


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Dans le triangle gnomonique de rang 4, les dix connecteurs binairescorrespondent tout simplement aux 10 points de la ttractys, qui sontceux d'une constellation hexagonale, tandis que les 6 connecteurs non

binaires correspondent aux 6 interstices, logiquement vides, de cette

structure, qui forment le dpart d'une seconde ttractys, dmarrant avecun temps de dcalage, et compose de triangles orients en sens inversedes premiers.C'est--dire que l'opposition fondamentale du plein et du vide logique quiest dfinie combinatoirement dans le systme des tables de vrit, seretrouve - ou n'est autre - que celle mme, du plein et du vide logique dela ttractys points triangulaires.

connecteurs binaires

connecteurs non binaires


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Le carr gnomonique

En appliquant la loi de transformation du triangle en carr, le trianglegnomonique de rang 4 se transforme en carr gnomonique de rang 4.

Alors que, dans le triangle gnomonique, toutes les relations de symtries'organisaient autour d'un axe qui est la mdiatrice verticale du triangle,dans le carr gnomonique correspondant, les mmes relations desymtrie entre les connecteurs s'organisent autour de sa diagonale, surlaxe de laquelle on retrouve les centres des quatre squences ou brins qui taient ceux de la construction du triangle gnomonique. Les deux

classes de connecteurs, binaires et non binaires, se retrouvent ensituation d'opposition polaire. Les 10 connecteurs binaires serpartissent dans le coin en haut gauche de la structure, et les 6connecteurs non binaires dans le coin en bas droite.

axe de symtrieconnecteurs binaires

connecteurs non binaires


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En conclusion, les deux systmes : gnomon d'un polygone, et logique desconnecteurs, correspondent par une interface qui est celle de la structurelogique; et cette correspondance se manifeste, en premier lieu, par laconcidence de leurs cycles de clture. De mme qu'il faut et il suffit

d'un carr de 4 cases, pour dsigner l'ensemble des connecteurs de lalogique des tables de vrit, de mme, il faut et il suffit d'un polygonegnomonique de rang 4, triangle ou carr, pour exprimer l'ensemble desrelations logiques dtailles existant entre ces connecteurs.

la theorie du gnomon

Documents

grainedu gnomon

gnomon nul

structure du gnomon

gnomonle gnomon du carr

gnomons du carr

gnomon de rang zro

gnomons du triangle

gnomon dun polygone