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MarrMAflcA

PnoeLEME DE CONCURS

CmsrLE 1L-L?

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EDUCATTONAL

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Cuprins

U

MOTTO:Crede in tine!

1. Sa se calctleze:

Enunturi

,:mZ**(+)2. Sa se calculeze:

3. Sa se calculeze:n .ti

Lt:I*!1r, *r11r,,q'

4. SA se arate cdin MBC asculitunghic este valabilS rela,tia:

cosl + cosB + cos C + ln(A+ l)(B + 1)(C + l) < r + 3 .

5. fie x,!,2 e (1, oo). SI se arate cd,dacd,x t y + ,= 3n, atunci:

x* +yY +z'>8I.

6. Sa se demonstreze cd: zot4l2 a2zotlfi .'o'lli +z'o'ili .

7. Sa se calculeze:

{-7k3 +k2 +3k+llim )

---. .;-;;-k=t n"+k+5

8. Sa se arate cddacd. x,y,z. (ni) , atunci:

I(tg, + 2sinx) > 3(x + y + z) .

cyc

"l[,.;] -.1*L: lim

CLASELE 11-12

9. Si se ararc

10. Se se araie

11. Sa se

12. Sa se arate

13. Se se arate

14. S[ se arate

15. Se se arate

15. Se se

17. Sa se

CLASELE L1-12

9. SA se arate cdin orice triunghi asculitunghic ABC este valabilS relafia:

C (n+B-C\cos I + 4cos B + 4sin- < gcos[-.J .

10. Sa se arate cd dacd x, y, z e (0, o) qi "r +y + z : l,atunci:

*o + yo * ro *!-=lttr -x)' + (l- y)o + (1 - z)al.27 8-'

11. Se se demonstreze cd dacdx,y, z e {--'r.,0), atunci:

I I I ^l I I

h(l-r) + l"(11, " l"(1-r) "-, -r-;

12. Sa se arate ce $) x, y, z e (0, 1),

g'*) +ef*'+e'*'I 1

(1-x)(l-y) (1--r'[1-z) (t- z)(t-x)

13. Sa se arate cd dacd a, b, c e (0, co), atunci:la

Ia, <: *lI-L.fr 2fi zJa

14. SA se arate cd dacd x, y, z e (0, oo), atunci:I

)tr*l)';' 'r*1 ,">fi15. SAse arate cddacdx,!,2 e (0, co); x *y * z=l,a1;'tnci

}rn -2"["''>+z1,E>0.

15. Sa se demonstreze cd:

ln23 + kt2 4+ ln25 + -19 rn : m s < a r,(:' . 5' ; ln 3' h 44 h 55 .

17. Sa se calculeze:

L:n^, 2-414 =.;:;L'r-,([*{.6'

7

h

ine!

U

8

18. se se calculeze:

l, - llmJ,-tht.<14t.....<fi.

;-; (n+l)t19. Sa se arate c[:

I 1 t-., *1*...*1.,ei* rgg *...*rBtO 2 g

20. Se se calculeze:

L: timlf f-i-)."t'*17-,r )

21. rie A,B e Mr(C); det(-2A+ B) : 0; det(2A+ B) : 0 . 56 se calctileze:

4 detA + detB.

22. Sese demonstreze cd:

I I I 1 I 1 / ' *1_,,rr).r+-+->:+ _ + _,unde y:H[t *r*... n )Tt e y 3 2 n+y+e-S'

23. Sese arate cddacdx,!,2 e (0, oo); x +! * z=l,attrrci:I

Z;rz'- l) > ln2 '

24. Sa se calculeze:/ | \I , arctg--l

I,=lgl "-Z--'+l" -l. i't arctg ' )

25. r'ie t* : tiy,,{@ - n); k e N-. sd se calculeze:

timL.k+a 11

PRoBLEME DE coNCURs

,f,,,

27. Se se

28. se se

29. Se se

unde n e N';

30. Se se ca

31. Sa se

32. Sa se arate

33. Se se arate

DE CONCURS Cuseu L1-12

26. Se se demonstreze cL:

27. Se se arate c6:

28. Sa se calculeze:

ti-i"o.l .t-tn+*-k-r k 12

9

2(rctg n - arctg e) < ln n - l.

29. Se se calculeze:

n'

['.])*.]'-unde n e N-; a1, a2, ..., an e (0,oo) fixate.

30. Sa se calculeze:

L:fim(t-f-i 1 =.f ' =).;$[f eil' {r,ek+t)z frtzt +D')'

31. Sa se calculeze:

L:tim f t

'-*r.r. j.n i' j'

32. Se se arate cI in oripe triunghi este valabil[ relafia:

7a + e? yb + "o'

y" + ""' 1 > e'o .

33. Se se arate cd dacd a, b, c e IR, atunci:

aeo +beb +ce' +6 h2.e" +eb +e"

( m" t 4OOn 1 4ooh r\

Tl(x+a,)'*",L:lim

xJ@

50

1.

PRoBLEME DE coNcuRs

Solulii

lnlnrEts :_ctq--cts-2"2.3 2 "2.3 "3

lnlnln7te y

":T"ts z,

"-rds-23lnlnlnTtg 23 3:T"tg z, 3-7"t9,2, 3

lnlnln-to-: -Cto---Ctg-z',"2n.3 2' "2'.3 2n' -2n'.3-1 1 ( n ) t n nL7tel,,," ): T"te z, 3- "tsT

. cos Tl- E

z: lima . 2"'3 -"trn+a )n Il 3

2".3It

- rE 2,.3 3 J3L: ftuncos .," , .liq .a- ;-Tn+@ L .J n+* r^i., " J

3..63.6Z:cosO.l'--Tt3n3

2. Fie *rl[,.;]-,1

r32

Ip(x)dx

f :(0,

cosl-

f :(t,a

lftlE DE CONCURS CLASELE 11-12 51

n+l:lim 4 :l'

h+@ n

4

1

(2' +l)(2*t +1) 2' +I 2'*t +1

L:n^f(J--rll =u(t I )r I I

,'-,,\2'+l 2"' +1/,*[r- *lrt):]-;:t'

4.Fie f : (0,0o) -+ IR;/(x) : cosx -x+ln(x+ 1)

.f'(x) :sinx-, *-!: sinx --! -< 0, (V)x. [0. i']x+l x+l L 2)t- *\

/descrescltoarepe I O.* I = fUl< "f(0) : t.

I 2)Analog: f(B)<l;f(C)<1

f(A)+ f(B)+ f(c)<3cosA- A+ln(A+ 1) + cosB - B + ln(B + l) + cosC - C +ln(C + 1) < 3

cosl +cosB+ cosC+ ln(A+I)(B +1)(C+1) < 3 + (A+ B + C) : 3 * n.

5. Fie / : (1,oo) -+ IR; /(x) : x. ; f' (x) : x' (l+ ln :c)

f"(x): x' '(x + xlnx + 1) > o' /convex[.Din inegalitatea Jensen:

,(r{tJ=}trr,r + ru)+ r(,))I

f(n) <, (x' + y' + z')

x* + y' + z" )3n" >3'33 :81.

5. Fie /: (0,0o) -+ R;/(x) :'o':l;1 2014

f'(-r\: ' -Y 2ors

2015

f"(x):-?:,t! -t;l .o=/ convexd.2015

Din teorema Lagrangepentruf : [5, 6] -+ R qi/: [2, 4] -+ R

(!)c, e (5,6);f'(cr): f(Q-[6)

^.,

52 PRoBLEME DE coNcuRs

(3)c, e Q,4);f'(cr): f(4)- fQ)4-2

2<cr<4<5<cr<6f"(x)< 0 = ;f' descrescdtoare

czlct= f'(cr)< f'("r)

f(6)- f(s).f$)- f(c')2

,ro'4[6 _2ror1l, <201:14 _zot1fi

'o'ili +r'o';16 .zot1l4 +z'o'ili .

7. Fie a,:lk=l

b,:fk=l

"r:fk:r

Rezulti

8. Folosim inegalitatea:

7k3 +k2 +3k +1

na +k+57k3 +k2 +3k+1

na +n+57k3 +k2 +3k+l

4n

,(

b,3 ao { c,

lim b, = lim"^ :1 .n)q " n>@ " 4

fima,:1.n+@ +

3x < tgx+ 2sin.r; (V)x e [-;)

3y<tgx+2smy3z<tgz*2slaz

3(x + y + z).2(E* * Zsinx) .

e. Fie ,'(0, ;)-R;,f(x):cos.r;/'(r) :-sitx;.f"(r):-cosx<0 , de unde /

concavd* (''l) ( t+zn\ (zrt+2.8)\

"o,[ , ):*"(29#D):

CLASELE 11-

10. Fie /:Din inegali

4x

tt.Fie f :

l

I

t1

i

i

I

i

I{II

I

1

IIIII

Iil

I

I

RI*^*)-r1

+jI

i

{

I

jq

jI

(-{

;

:

:

i

l

:

I

i

I

I

i,i

I

I

I

III

DE CONCURS

de unde /

$

Clasrlr 11-12 53

r.2. A! B +2.1. B + A

+1, . A+22))(l+2)2

*2.w"(!:4

Jensen.B

A+B2

1.2 + cosA+ 4cos,B

(l+2)2

, *,(4#) - o*,(#) * "o,.a

+ 4 cos B

cosl + 4cosB * +*"( t!) =

r"or[ n * '-

t']\z/----\ t )

cos r + 4cosB. o*.[f) = r*'(-+=)

cosl + 4cos,B + +so.9= r*r[-*l) .

10. Fie ,f ' Rl + JR;/(x) : xo ; f"(x):12x2, O; (V), > 0, deci/este convex6.

Din inegalitatea Popoviciu:

xo + yo + zo + r(.?.)' . r((ry)r . (+)r .(T; )

*o*yo+za+, l= r(tr-rf *0-iln *(l-z)')8l \16 t6 t6)*o *yo *ro *L=]lft -*)o +(t-y)o +(t-z)41.

x-lf'(x): I * ' .: r

=<0x-l (x-l)' (x-l)'sup/(x): lS: lrgf @): 0 = "f (x)>0

x e (-0o,0)

ln(l -.r) , --:I-;1V)x e (-o,0)x-l1 .r:1ln(1- x) x

T

54 PRoBLEME DE CONCURS

Analog:

ln(1- x) ln(l- Y) ln(r- z)

12. Fie /: [0,1) -+ IR;/(x) : x + ln(1- x)

Analog:

1* t .1x ln(l- x)

t* 1 .tY ln(l-Y)t* 1 .,z ln(I- z)

1 * 1 * 1 .r_t_t_r.xyz

'f'(x):1-+:-L as' l-x l-xmad@):,f(0) : 0 = f (x) <0;(V)x e (0,1)re[0,])

I < -ln(l--r) = r' 6l = ""'-J_' l-x 7-x

"r. |

-g,+/.--f-t-"1-, 11-

rxl- /)

(t- y)(t- z)

"'*' a I

(r- z)(L- x)

e,*f +e!*'+e"*'1 *-l-+--+ ..(1 - x)(l - y) (t - y)(r - z) (1 - z)(I - x)

13. Folosim inegalitatea:lj

x* 1l + -i;(V)x > 02''lx

13qa lllv

2Ja

Irj .:*lYl.Lt

^Ll I

ryc L cyc lA

14. Folosim inegalitatea:

CLASELE 11-12

15. Fie /:R.Fie^iltdf

16. Fie /: (

Rezultd /(5)ln inegalitatea

Inegalitatea se