Mario Miranda

Universith di Trento

M O V I M E N T O D I S U P E R F I C I "

A P P R O C C I O I N T R I N S E C O

Conferenza tenuta il 29 settembre 1992

Dedicated to prof. L. Amerio

Sia I2 un aperto di ]R n+1 e

v : n ---, {x �9 n"+l [ [x[ = 1}.

Supponiamo c h e l a applicazione v sia regolare, di classe C 2 al-

meno, ed n-dimensionalmente integrabile. Intendiamo con ci6,

che per ogni punto x di f~ esista una superficie n- dimensionale

S passante per x, senza bordo in f~, e ortogonale a u in ogni suo

punto.

La condizione necessaria e sufficiente per l ' integrabilitg del

campo u pu6 darsi mediante semplici relazioni differenziali del

primo ordine, che sono

61ui(x ) = 6 jv i ( x ) , x �9 f~, i , j = 1 , 2 , . . . , n + 1

dove gli operatori differenziali ai sono esprimibili mediante le

ordinarie derivazioni Dh in l:t "+1

n + l

6i = Di -- ui Z vhDh. h = l

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Ovviamente il carnpo u ~ sempre 1-dimensionalmente inte-

grabile, nel senso the per ogni punto x di f~ passa una curva,

senza bordo in 12, parallela a u in ogni suo punto.

Nelle ipotesi fat te 12 pu6 essere visto come l 'unione di su-

perfici n-dimensionali , a due a due disgiunte, e come l 'unione di

curve a due a due disgiunte. Curve e superfici sono mutua lmen te

ortogonali.

Fra le parametr izzazioni della curva passante per il punto

x E 12, supponiamo che vc ne sia una

x = x ( x , O

tale che

X , = - H ( X ) u ( X )

dove H 6 la curvatura media della superficie passante per X, cio6

n + l n + l

h = l h = l

L'esistenza di una tale parametr izzazione 6 facilmente di-

mostrabi le sc la H non si annulla in alcun punto della curva.

Supponiamo infine che esista una superficie integrale S e un

intervallo I di R, contcnente lo zero, tali che tu t tc le curve pas-

santi per i punt i di S siano parametrizzabil i nel modo sopra de t to

c o n

t E I e X ( x , O ) = x E S .

Supponiamo inoltre the per ogni t E I la superficie

s, = { x l x = x ( x , t ) , x e s}

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sia una supel~cie integrale del campo v. Diremo allora che ~ d

descritto dal movimento della superficie S secondo la curvatura media.

Esempio:

~(x) : xlxl -~,

s = {~llxl = p}, p > 0 ~ssato.

I = ( - ~ , p ~ / 2 . ) ,

i 2nt X ( x , t ) = x 1 p2 "

1. Non siamo in grado di prescntare altri esempi analitici

elcmcntari di movimento di supcrfici sccondo la curvatura me-

dia. Molti matematici diversi, geometri differenziali, csperti di

equazioni differcnzi~i e di calcolo dcUc variazioni, hanno consid-

erato formulazioni generalizzate del problema del moto a partire

da una superficie data e hanno cercato di dimostrare l'esistenza

della soluzione. Notevole importanz a hanno i contributi degli

analisti numerici, che hanno fornito rappresentazioni numeriche

e grafiche di tali movimenti.

Quello che intendiamo qui illustrare ~ l'approccio di duc ma-

tematici tedeschi K. Ecker e G. Huisken, i quali utilizzano con-

temporanealncnte gli strumenti della tcoria delle cquazioni dif-

fercnziali alle derivate parziali e quelli del calcolo differenziale

sulle varietA. In questa presentazione il calcolo differenziale clas-

sico verrA rimpiazzato dal pid elcmentare ~-calcolo (cfr. [1] o

[21).

I1 metodo di Ecker-Huisken pu5 applicarsi ad ogni superficie

regolare di codimensione uno in ]R n+l , ma pcr poterne prescntare

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un risultato signifieativo considereremo il easo di superfici grafieo

di funzioni reali d i n variabili reali

s , = { x . + l = u(u,t) lu e R"} ,

dove u : R" x I ---* ]R 4 una funzione reale di classe C 2 nelle

variabili spaziali e temporale.

Perch~ la superficie St sia l'evoluzione della superficie So oc-

corre e basra ehe sia verificata la relazione differenziale

Dyu(y,t)

che pu6 scriversi neUa forrna

n 71

Dtu(y, t) = E D h D h u ( y ' t ) - h = l h , k - ~ l

dove

DhuDku ,,, D " t), 1 Jr" IDyu] 2 l")h ku(,y,

n

0 --,0 ID:.I2 _- ~ iDhul2" Dt = "~, Dh --" C~y h h=l

Ecker e Huisken in [3] provano l'esistenza per ogni t 6 (0, +co)

di una funzione u(y, t), verificante l'equazione differenziale pifi

sopra scritta, e la condizione iniziale

lira u(y, t )= g@), Vy e R", t.---*O-F

dove g : JR" ---, ]R $ una data funzione regolare e Lipsehitziana

su R " , eio~

sup ]D,g(y)[ < +co. Y

130

Ecker e Huisken rinviano alia teoria deUe equazioni differen-

ziali di tipo parabolico per la dimostrazione dell'esistenza di

T > 0 e

u x[O,T] t t

continua e regolare in ~t n x (0, T), verificante l'equazione dif-

ferenziale, la condizione iniziale e

sup IDyu(y,t)] < +c~, Vt E (O,T). yE ~. n

Per una siffatta u Ecker e Huisken dimostrano, ci6 che noi

ripeteremo in questa nora che vale

sup ]Dyu(y,t)] < sup ]Dyg(y)], Yt e (O,T). yE~'* y E ~q,"

Da cui seguirs facilmente la possibilits di estendere la u a

T = +oo.

2. Se f ~ una funzione del punto x E ft C I~, '*+1 e del

parametro temporale t E I. Se f~ ~ descritto dal movimento

di una superficie, porremo

d f ( x , t ) = - H ( x ) . ( x ) . D ~ f ( x , t ) + D t f ( x , t ) .

Supposto che le superfici siano date come insiemi degli zeri

di una funzione

r

che supporremo di classe C 2 e con gradiente spaziale

t) # O,

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nei punti r t) = 0; la condizione necessaria e sufficiente perch$

si tratti di movimento secondo la curvatura media 6

D x r t) D t r = IDxr162 = HIDxr

nei punti r t) = 0. Ci6 equivale infatti alla implicazione

r t) = 0 =~ r - Hvdt , t + dr) = O.

Avremo allora, come facilmente si verifica:

d v j ( x ) = d D i r ) " _ 9 i r dt ID:r t)[ -- - H E VhVh ~ - ~ +

h = l

D i e +D,(]-~-~,r = ~5iH , (j = 1 , 2 , . . . , n + 1).

Nel caso di superfici grafici di funzioni avremo

1 v,,+l - x/1 + ]Dyu(y, t)12"

Pertanto la stima del modulo del gradiente spaziale della fun-

zione u(y, t), equivale a stimare la flmzione

w = ~ = l + l D y u ( y , t ) ] 2. ~ n + 1

Per questa avremo

. d dWdt = - w 2 " ~ v"+ l = - w 2 ~5,+1H.

x-'n+] ~h ricordiamo Per l'espressione di ~,,+IH = ~ n + l Z..ah=l Vh,

l'espressione del commutatore degli operatori ~Sh:

n + l

6h6 k -- ~k6h = ~_j ( l . /h~kl / j -- Vk~h l / j )~ j . j----1

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Da questa si ricava

n+ l n + l

~n+l n = ~n+l ~ ~h~h = --W2 ~ ~h~hVn+l -- wC2 h= l h=l

x"~ n-] -1 t~ dove abbiamo scritto c 2 per ?_-,h,j=l~, hvJ) 2 = somma dei quadrati

delle curvature principali; ed abbiamo utilizzato la simmetria

della matrice (6hu.i). Calcoliamo ora l 'operatore di Laplace-Beltrami

n + l

A = ~ 6hSh h=l

sulla funzione w. Avremo:

n + l

mw -~ ~ ~h(--W2~hVn.+l) = 2w16wl ~ - h= l

W 2 A/In-4-1.

Avremo allora

(~d _ ~x) w = - 2 w l ~ w l ~ - w c ~ ~ 0.

Questa diseguaglianza insieme con w > 0, pcrmetters di di-

mostrare la identits

sup w = s u p w . tE[0,T) t=0

Questa dimostrazione sars una facile conseguenza di alcune

propriets notevoli della soluzione fondamentale dell'equazione

del calore. Dimostreremo questc propriets ncl seguente para-

grafo.

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3. Per x E JR, n+i, to E JR, t < to consideriamo la funzione

p(x, t) = [47r(t0 - t ) ] -~ exp -Ix~ - x12 4(t0 - t)

Osserviamo che nella definizione di p usiamo responente n,

nonostante che le variabili spaziali siano n + l . questo ~ dovuto al

fatto che applicheremo alla p l 'operatore di Laplace-Beltrami che

dipende dalla restrizione della funzione p alle superfici integrali,

che sono n-dimensionali.

d~

Un calcolo elementare che tenga conto delle formule

d n + l n + l

d---~ = Dt - H Z vhDh, A = ~-~ ~h6h, h = l h----1

d +A)p=-p{H v ' ( x~ + llv'(x~ (-- }. "dr to - t 4 (to - t) 2

Vogliamo ora, utilizzando questa formula esprimere

. .

A questo proposito ricordiamo un 'al t ra propriets della de-

L (6ha)dH" = is aHvhdH" t r

rivazione 6h:

per ogni funzione a che sia sommabile su St insieme con le sue

derivate prime.

Dall 'ultima relazione ricaviamo

n + l n + l

h = l t h = l JSt

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Abbiamo perci6

L -~ pdH" = {(~--~ + A ) p - H2p}dH n, t t

quindi anche

-~ pdg" = - p{H + 2(-~o -~ti }2dH" < O. t t

Pifi in generale, se f 6 una funzione regolare di x e t, che sia,

insieme con le sue derivate prime e seconde non troppo crescente

per (x) ~ cr poich~ vale

is { p A y - fAp}dH" = O, t

8 , v r e m o

-dr f P d g n = - pf{H + 2(~o'-:-t) } 2 d g " + t t

4. Pdtorniamo fmMmente alla funzione w del paragrafo 9. ehe

sappiamo essere positiva, l imitata e verifieante la diseguaglianza

(~--~d-Alw<0_ in a n x ( 0 , T ) .

Posto

L = ~up w(v, o) Y

indiehiamo con f la funzione

f = [ m ~ ( ~ , L) - L] ~.

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Avremo per essa

d (~--~ - A) f < O,

da cui, per quanto visto alla fine del paragrafo 3, possiamo dire

che

d i s fpdH" < 0 in (0, T). dt ,

Essendo poi fso fpdH" = 0 e fs, f p d g " > 0 dovrs neces-

sariamente essere

. f p d H " = O in (0, T) t

eio6 f = 0 in (0, T) e, in maniera equivalente

w ~ L ill (0, T).

Bibliografia

[1] M. Miranda: Una maggiorazione integrale per le curvature

delle ipersuperficie minimali. Rend. Sem. Mat. Univ. Pado-

va 38 (1967), 91-102.

[2] U. Massari, M. Miranda: Minimal surfaces of eodimension

one. Notas de Matemdtica, North Holland, Amsterdam,1984.

[3] Ir Ecker, G. Huisken: Mean curvature evolution of entire

graphs, Ann. of Mathematics 130 (1989), 453-471.

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