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O Sistema do Kaon NeutroViolação CP

Teoria de Mistura de SaborOscilações de Neutrinos

Luiz Fernando Mackedanz†

† [email protected]

Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brazil

L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.1

MotivaçãoKaons - Mésons pseudoescalares - Autoestados do Hamiltoniano da interação forte:

K+ = (su) K0 = (sd)

K− = (us) K0 = (sd))

Conjugados partícula-antipartícula - K+/K− (cargas opostas) e K0/K0 (neutros!)

Cargas com sinal igual, porém demais números quânticos com sinais distintosT T3 S

K0 12

− 12

+1

K0 12

+ 12

−1

T T3 B

n 12

− 12

+1

n 12

+ 12

−1

Número bariônico é quantidade conservada absolutamente ⇔ estranheza não éconservada em interações fracas

n→ n impossível ⇔ K0 → K0 possível via interação fraca

decaimento via estado de dois pions

K0 K0

π−

π+

s

u

d

d

u

s

W−

W+


interpretação FS → antipartícula = partícula com sentido do tempo invertido

Teorema CPT ⇒ CP T |Ψ〉 = |Ψ〉Podemos usar a operação CP no lugar da operação T

Probabilidade de transição

〈π+π−|S|K0〉 = 〈π+π−|CPS(CP )−1|K0〉P |π±〉 = −|π±〉 P |K0〉 = −|K0〉

Premissa: o sistema do kaon é invariante sob reversão temporal

〈K0|S|K0〉 ≈ 〈K0|S|K0〉

⇓

〈π+π−|S|K0〉 ≈ −〈π+π−|S|K0〉


Novos estados de kaons

Como vimos, os kaons neutros são autoestados do Hamiltoniano da interação forte -que conservam Estranheza;

Porém, vimos também que o decaimento dos kaons neutros se dá via interação fraca -que nao conserva Estranheza;

Logo, o sistema do kaon neutro não pode representar autoestados do Hamiltonianoda interação fraca;

Novos autoestados devem ser construídos !!!

Assumindo invariância sob a operação CP , os novos estados são

|K0L〉 =

1√2

�

|K0〉 + |K0〉

�

,

|K0S〉 =

1√2

�

|K0〉 − |K0〉

�

.

Um estado produzido como K0 ou K0 pode ser expresso como uma combinação deK0

L e K0S .


Evolução Temporal do kaonEvolução de um méson K0 → |ψ(t)〉 = U(t, 0)|ψ(0)〉U(t, 0) = exp(−iHt) ⇒ H = H0 + Hw

Operador atua no espaço de Hilbert definido pelos autoestados

|K0〉 =

��

1

0

�� |K0〉 =

��

0

1�

�

Hamiltoniano efetivo

H =

��

H11 H12

H21 H22

�� = M − ı

2Γ

H geralmente não é Hermitiano, já que os kaons podem decair em outros estadosque não estão neste subespaço

M e Γ, porém, são Hermitianas

Usando a equação de Schrödinger

ıd

dt|Ψ〉 = H|Ψ〉

obtemos como solução

|Ψα(t)〉 = e−ı(Mα− ı

2Γα)t|Ψα〉


Mα,Γα são autovalores reais dos autoestados |Ψα〉.Probabilidade de encontrar um estado inicial no tempo t

Pα = |〈Ψα(0)|Ψα(t)〉|2 = e−Γαt

Utilizando simetrias

Invariância CPT (mesmo comportamento de partículas e antipartículas) ⇒EXATA !

M11 = M22 = M0

Γ11 = Γ22 = Γ0

Invariância sob reversão temporal ⇒ Invariância CP (limite)

M12 = M22 = M

Γ12 = Γ21 = Γ


Construindo a matrizConsiderando um estado geral

|ψ〉 = c|K0〉 + c′|K0〉 =

��

c

c′

��

com c e c′ coeficientes independentes, obtemos, usando a equação de Schrödinger

ıd

dt

��

c

c′

�� =

��

M0 − ı2Γ0 M − ı

2Γ

M − ı2Γ M0 − ı

2Γ0

��

��

c

c′

��

Definimos então as combinações lineares de coeficientes

cL =1√2(c+ c′) , cS =

1√2(c− c′)

Desta forma, nosso estado geral pode ser escrito usando os autoestados doHamiltoniano da interação fraca

|ψ〉 = cL|K0L〉 + cS |K0

S〉


A equação de Schrödinger tem a forma

ıd

dt

��

cL

cS

�� =

��

(M0 + M) − ı2(Γ0 − Γ) 0

0 (M0 − M) − ı2(Γ0 − Γ)

��

��

cL

cS

��

Levando em conta a solução geral apresentada anteriormente, vemos que os doisestados podem decair com probabilidades

|K0L〉 ⇒ P ∝ exp(−(Γ0 + Γ)t)

|K0S〉 ⇒ P ∝ exp(−(Γ0 − Γ)t)

Γ < 0

⇒ ΓS = Γ0 − Γ > ΓL = Γ0 + Γ

⇓τi = (Γi)

−1

|K0S〉 tem um tempo de vida mais curto que |K0

L〉

Além disso, Γ ∼ −Γ0 ⇒ ΓL ≈ 0 ⇒ |K0L〉 é quase estável


Decaimento do K0


RegeneraçãoFeixe inicial composto por partículas |K0

L〉 passando através de matéria

As componentes |K0〉 e |K0〉 tem propriedades totalmente diferentes, uma vez queos espalhamentos são efeitos de interação forte.

|K0〉 só pode ser espalhado elasticamente ⇒ conserva S

K0 +

��

n

p

�� → K0 +

��

n

p

�� , K0 + p→ K+ + n

|K0〉 também pode ser espalhado inelasticamente ⇒ produz Λ

K0 +

��

n

p

�� → K0 +

��

n

p

�� , K0 + n→ K− + p , K0 +

��

n

p

�� → Λ +

��

π0

π+

��

Diferentes amplitudes de espalhamento→ Pelo teorema óptico, relaciona-se com a seção de choque⇒ Maior seção de choque para o K0


Após atravessar a matéria, o feixe de K0L passa a ser composto por

|ψ〉 =1√2(a|K0〉 + b|K0〉 =

1

2

a− b√2

|K0S〉 +

1

2

a+ b√2

|K0L〉 , |a| > |b|.

Este comportamento permite medir a diferença de massa ∆m entre os estados K0L e

K0S , relacionada com a parte real M do elemento fora da diagonal do Hamiltoniano

∆m = mK0L

−mK0S

= −2M ≈ 3.5 × 10−6eV.


Dois kaons muito diferentesK0 e K0 são estados conjugados de carga → K0

L e K0S não o são, possuindo

diferentes tempos de vida (como vimos) e modos de decaimento

Investigando a operação CP

em relação aos kaons → devido a paridade intrínseca destes, o estado K0L tem

autovalor −1, enquanto que o estado K0S tem autovalor +1;

em relação aos pions → paridade intrínseca destes também é negativa, logo oestado final com 2π tem autovalor +1, enquanto que o com 3π tem autovalor −1.

m3π ≈ mK → diferentes espaços de fase disponíveis para cada decaimento⇒ levam a diferentes tempos de vida para cada tipo de kaon.

1964 → decaimento K0L →

��

π+π−

π0π0�

� a

Possibilidades de explicação

violação da paridade por pions → kaon é um estado de spin-0, logo os 2 pions sópodem ser emitidos num estado s→ paridade definida como positiva

violação da simetria CP → devido ao teorema CPT, também viola simetria sobreversão temporal. Isto é

〈K0|S|K0〉 6= 〈K0|S|K0〉a

J. H. Christensen, J. W. Cronin, V. L. Fitch, R. Turlay : Phys. Rev. Lett 13, 138 (1964).L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.12

Violação da simetria CPElementos fora da diagonal no Hamiltoniano não são mais reais, e passam a ter umafase.

H =

��

H11 H12(1 + 2ε)

H12(1 − 2ε) H11

��

H12 contém apenas as partes reais de M12 e Γ12

O fator ε contém as fases destas quantidades

ε =1

2

12ImΓ12 + ıImM12

ReM12 − ı2ReΓ12

Se M12 e Γ12 são reais, ε = 0 e os estados são iguais aos anteriores

Caso contrário, os estados não são mais ortogonais

〈KL|KS〉 ∝ 2Re(ε).


O parâmetro δ

Pequena violação CP → ε pequeno → desprezando termos O(ε2)

Autovalores desta matriz seguem iguais aos anterioresHS,L = H11 ±H12

Autoestados são alterados em O(ε)

|KS,L〉 =1√2((1 + ε)|K0〉 ∓ (1 − ε)|K0〉)

O parâmetro ε não pode ser tomado como uma medida física da violação CP, poisdepende da fase relativa entre os estados K0 e K0.

A parte real de ε é usada na determinação do parâmetro

δ ≡ Γ[KL → π−`+νL] − Γ[KL → π+`−νL]

Γ[KL → π−`+νL] + Γ[KL → π+`−νL]=

2Re(ε)

(1 + ε2)

δ mede a diferença entre as fases de Γ12 e M12.

δ deve possuir medidas iguais para os diferentes tipos de léptons

Simetria CP conservada → δ = 0.


Demais parâmetros da violação CP

Razão das amplitudes de transição

η+− ≡ A(K0L → π+π−)

A(K0S → π+π−)

η00 ≡ A(K0L → π0π0)

A(K0S → π0π0)

kaons (I = 1/2) → apenas I = 0 ou 2 contribuem para sistema de dois pions⇒ η+− = η00 na ausência de transições ∆I = 3/2.

Fases relativas

η+− = |η+−|e−iΦ+−

η00 = |η00|e−iΦ00

Valores Experimentais

δ ∼= 3.3 × 10−3

|η+−| = |η00| ∼= 2.3 × 10−3

Φ+− = Φ00∼= 44◦


Origem da violação CPDiagrama completo para transição K0 → K0

su

c

td

du

c

ts

W−

W+

Quarks s e d físicos são misturas de três estados: d′, s′ e b′.

Estados intermediários podem apresentar u(u), c(c) e t(t).

Mistura de quarks definida por

��

�

d

s

b�

��

�

= U†

��

�

d′

s′

b′

��

�

,

��

�

d

s

b

��

�

= U†

��

�

d′

s′

b′

��

�


A matriz de mistura de sabor

Lembrando: no modelo GSW, os léptons são divididos de acordo com a quiralidade

��

νe

e−L

�� ,

��

νµ

µ−L

�� ,

��

ντ

τ−L

�� , e−R , µ−R , τ−R

Em primeira análise, devemos tratar os quarks de forma semelhante

��

uL

dL

�� ,

��

cL

sL

�� ,

��

tL

bL�

� , uR dR cR sR tR bR

Porém, existem decaimentos onde a interação fraca troca a famíılia de quarks

Σ− → n+ e− + νe ⇒ (sdd) → (udd) + e− + νe

K− → µ− + νµ

Nos dois casos, um quark s se transformou em u !!!


Para manter o esquema usado nos léptons, modificamos a componente inferior dosdupletos de quarks left-handed

��

uL

αdL + βsL

��

d e s tem os mesmos números quânticos Q, T3 e Y .

Formamos novos dupletos left-handed

Lu =1 − γ5

2

��

u

d′

�� , Lc =

1 − γ5

2�

�

c

s′

�� , Lt =

1 − γ5

2

��

t

b′

��

Por conservação de probabilidade, a conexão entre estes estados e os autoestadosde massa conhecidos da interação forte deve ser feita por uma matriz unitária U

��

�

d′

s′

b′

��

�

m = U

��

�

d

s

b

��

�

, U†U = 1


A matriz de transformação CKM1973 → proposta por Cabibbo a, Kobayashi e Maskawa b

U =

��

�

cos θ1 sin θ1 cos θ3 sin θ1 cos θ3

− sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2 cos θ3 + sin θ2 sin θ3eıδ cos θ1 cos θ2 sin θ3 − sin θ2 cos θ3eıδ

− sin θ1 cos θ2 cos θ1 sin θ2 cos θ3 − cos θ2 sin θ3Eıδ cos θ1 sin θ2 sin θ3 + cos θ2 cos θ3Eıδ

��

�

θ1, θ2 e θ3 → ângulos de Euler para rotação tridimensional

δ → fase de acoplamento do espaço entre quarks s e b.

parametrização atual c

��

�

1 − λ2

2λ λ3A(ρ− ıη)

−λ 1 − λ2

2λ2A

λ3A(1 − ρ− ıη) −λ2A 1

��

�

λ = sin θC , A, ρ e η → parâmetros determinados pelos experimentos

θC ≡ θ1 ⇒ ângulo de Cabibbo

aN. Cabibbo; Phys. Rev. Lett. 10, 531 (1963).

bM. Kobayashi, K. Maskawa; Prog. Theor. Phys. 49, 652 (1973)

cL. Wolfstein; Phys. Rev. Lett. 51, 1945 (1983)


Valores experimentais

λ = sin θC = 0.221 ± 0.002;

A = 0.839 ± 0.041 ± 0.082;

ρ e η não são tão bem definidos

�

ρ2 + η2 = 0.36 ± 0.14ρη

= arctan(Vub) = ? com Vub = U13

A violação CP observada em decaimentos de kaons é consistente com arepresentação CKM, mas é o único teste experimental para a teoria;

Este mesmo mecanismo leva à predição de grandes assimetrias no decaimento demésons B.


A teoria de Cabibbo para mistura de saborLagrangeano de interação

Lquarkint =

i=u,c

�

g√2Liγ

µTLi · Aµ +1

2g′

�

1

3Liγ

µLi +4

3R

(+)i γµR

(+)i − 2

3R

(−)i γµR

(−)i

�

Bµ

�

R(+) → componente superior do dubleto right-handed de isospin

R(−) → componente inferior do dubleto right-handed de isospin

coeficientes dos acoplamentos ao campo isosingleto Bµ determinados a partir da

carga dos quarks

↪→ Trocas: A3µ → Zµ, Bµ → Aµ

Hamiltoniano de interação do setor de quarks

Hint =i=u,c

{ g√2Liγ

µ(T−W(−)µ + T+W

(+)µ )Li

+

�

g cos θLiγµT3Li −

1

3g′ sin θ

�

1

2Liγ

µLi + 2R(+)i γµR

(+)i − R

(−)i γµR

(−)i

��

Zµ

+

�

1

3g′ cos θ

�1

2Liγ

µLi + 2R(+)i γµR

(+)i − R

(−)i γµR

(−)i

�

+ g sin θLiγµT3Li

�

Aµ}


Corrente Carregada

J−µ = 2

i=u,c

LiγµT−Li = ψd′γµ(1 − γ5)ψu + ψs′γµ(1 − γ5)ψc

= cos θC ψdγµ(1 − γ5)ψu + sin θC ψsγµ(1 − γ5)ψu

− sin θC ψdγµ(1 − γ5)ψc + cos θC ψsγµ(1 − γ5)ψc,

J+µ = (J−

µ )†

Decaimento beta nuclear (usando interação pontual)

Hint =G√2

d3x�

J(L)†µ (x)Jµ

(N)(x) + h.c.

�

Jµ

(N)(x) = ψp(x)γµ(CV + CAγ5)ψn(x)

Aplicando a corrente de quarks d→ u, obtemos por comparação

CV = cos θC(1 + εrad)

valor experimental: cos θC = 0.9751 ± 0.0003 =⇒ θC = 12.8◦ ± 0.1◦

εrad ' 0.012 −→ correções radiativas e.m.


Razão entre decaimento do kaon (s→ u) e do pion (d→ u)

fK

fπ= tan θC (1 + εrad)

sin θC = 0.2655 ± 0.0006

sin θC ≈ 15% maior do que valor medido no decaimento de bárions estranhos !!!

Bárions ⇒ propriedades em baixa energia explicadas com sucesso pelo modelo dequarks e pela simetria SU(3)

=⇒ Pequena mistura de pares qq provenientes do mar (∼ 5%)

Mésons (como o pion) ⇒ mistura dos quarks de valência com os pares qq virtuais do

mar compõe uma fração considerável da função de onda do méson


Corrente Neutra

J(0)µ =

i=u,c

�

g cos θLiγµT3Li −

1

3g′ sin θ

�

1

2Liγ

µLi + 2R(+)i γµR

(+)i − R

(−)i γµR

(−)i

��

=g

4 cos θ[−ψd′γµ

�

1 − 4

3sin2 θ − γ5

�

ψd′ − ψs′γµ

�

1 − 4

3sin2 θ − γ5

�

ψs′

+ ψuγµ

�

1 − 8

3sin2 θ − γ5

�

ψu + ψcγµ

�

1 − 8

3sin2 θ − γ5

�

ψc]

=g

4 cos θ[−ψdγµ

�

1 − 4

3sin2 θ − γ5

�

ψd − ψsγµ

�

1 − 4

3sin2 θ − γ5

�

ψs

+ ψuγµ

�

1 − 8

3sin2 θ − γ5

�

ψu + ψcγµ�

1 − 8

3sin2 θ − γ5

�

ψc]

corrente neutra só contém termos diagonais nos sabores de quarks

Na corrente neutra não há troca de Estranheza → ∆S = ∆Q = 0

⇒ Esta premissa levou a predição (puramente teórica) a do quark c

Mudança de números quânticos de sabor sempre envolve troca de carga.

aS. L. Glashow, J. C. Iliopoulos, L. Maiani; Phys. Rev. D2, 1285 (1970)


Corrente Eletromagnética

J(em)µ =

i=u,c

�

g sin θLiγµT3Li +

1

3g′ cos θ

�

1

2Liγ

µLi + 2R(+)i γµR

(+)i − R

(−)i γµR

(−)i

��

=2

3e(ψuγµψu + ψcγµψc) −

1

3e(ψd′γµψd′ + ψs′γµψs′ )

=2

3e(ψuγµψu + ψcγµψc) −

1

3e(ψdγµψd + ψsγµψs)

Corrente e.m. não contém termos mistos em d e s

Fatores escolhidos para reproduzir corrente da teoria eletromagnética

Assim, não existem fatores livres para a corrente neutra fraca J (0)µ

Sua forma exata deve ser considerada uma predição definida da teoria GWS

Verificação experimental → SLAC → espalhamento de elétrons polarizados pordeuterons → verificação do grau de violação da paridade

Resultado experimental : sin2 θ = 0.230 ± 0.005

Valor teórico : sin2 θ = 0.224 ± 0.020


Oscilações de neutrinosPremissa: número leptônico é apenas aproximadamente conservado

Neutrino do elétron deixa de ser um autoestado do Hamiltoniano.

Oscilações de neutrinos fornecem uma explicação para o problema do neutrino solarνe → νµ(τ)

Vamos deixar o ντ fora desta discussão

��

ν1

ν2

�� =

��

cos θ − sin θ

sin θ cos θ�

�

��

νe

νµ

��

νe produzido no ponto (x,p) do espaço de fase em t = 0

Evolução do estado na representação de energia

��

ν1(x, t)

ν2(x, t)

�� =

��

ν1(0)e−ıE1t

ν2(0)e−ıE2t

�� eıp·x =

��

e−ıE1t 0

0 e−ıE2t

��

��

ν1(0)

ν2(0)

�� eıp·x

E1 = p2 +m21 , E2 = p2 +m2

2


Oscilações de neutrinos

��

νe(x, t)

νµ(x, t)

�� =

��

cos2 θe−ıE1t + sin2 θe−ıE2t sin θ cos2 θ(e−ıE2t − e−ıE1t)

sin θ cos2 θ(e−ıE2t − e−ıE1t) cos2 θe−ıE2t + sin2 θe−ıE1t

��

��

νe(0)

νµ(0)

�� eıp·x

Porém, no estado inicial temos um νe, logo νe(0) = 1 , νµ(0) = 0

Probabilidade de observarmos um νµ no instante t

|νµ(x, t)|2 = | sin θ cos2 θ(e−ıE2t − e−ıE1t)|2

=1

4sin2(2θ)|(e−ı(E2−E1)t − 1)|2 =

1

2sin2(2θ)[1 − cos((E2 − E1)t)]

= sin2(2θ) sin2 (E2 − E1)t

2.

Assumindo:

m1,m2 � p⇒ E2 − E1 ' m22−m2

1

2p

v−e ≈ c⇒ t = x

∆m2 = m22 −m2

1 , ` = 4πp

∆m2


Oscilações de neutrinos

|νµ(x, t)|2 = sin2(2θ) sin2 πx

`

` é o comprimento de oscilação

Para ∆m2 ' 1(eV )2

E ∼ 4MeV → ` ∼ 10m (νe típico produzido em reator nuclear)

Em um acelerador com Ebeam = 2.5GeV , ` ∼ 1km (νµ produzido emaceleradores por decaimento de mésons K ou π).

νµ’s são produzidos com alta energia, e são mais facilmente detectados

Detectores procuram encontrar νe a uma distância de alguns quilômetros do centro dofeixe

Estas oscilações continuam sendo estudadas experimentalmente pelas colaboraçõesatuais


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