応用電磁気学I信州大学理学部物理科学科講義

竹下徹 ver. 2014

1

目次•交流回路 •回路の基本部品 •過渡現象と微分方程式 •交流回路の複素数表示 •半導体回路 •ダイオードと整流回路 •トランジスターとアンプ •オペアンプの応用

2

回路の基本

•キルヒホッフの法則:　電気回路 • 閉回路の沿った各阻止の電圧Viの和=0 • オームの法則: V=RI

第二法則

RIV VR

VR=RI

交流回路　I•直流DCと交流AC •交流電圧 V=V0sinst • 交流電流 I=I0sinst, I0=V0/R;オーム則 •電力　P=VI • 時間平均電力

•実効値 V=V0/ , I=I0/ => P=VI

時間0

電圧

R交流電源 IV

P =<VI >=T1 V (t) I(t)dt

0

2r/~# 周期T=2r/s

P =TV0 I0 sin2~tdt =

0

2r/~#T~V0 I0

2~t9 C

0

2r/~=21 V0 I0

2 2

4

抵抗だけの回路

Direct Current Alternative Current

交流回路　II•コイルを流れる交流電流 •電流 I=I0sinst • 電圧 V=LdI/dt = sLI0cosst ; L=inductance • 電圧Vが電流IとT/4 位相がずれる •時間平均電力

•コイルは電力を消費しない

P =<VI >=T1 V (t) I(t)dt

0

2r/~# 周期T=2r/s

P =T~LI0 cos~t sin~tdt

0

2r/~# = 0

L交流電源 IV

5

交流回路　III•コンデンサーを流れる交流電流 •電圧 V=V0sinst • 電流 I=dQ/dt =CdV/dt = CsV0cosst ; C=capacitance, Q=CVV

• 電圧Vが電流IとT/4 位相がずれる •時間平均電力

•コンデンサーは電力を消費しない

周期T=2r/s

C交流電源 IV

Q = CV

P =T~CV0 cos~t sin~tdt

0

2r/~# = 0

6

過渡現象•DC 電源を用いて回路の電流を時間依存で考える（スイッチONからの時間)

• キルヒホッフの第二法則　閉回路の全電圧和＝０

• 各素子の電圧　 •抵抗　　VR＝ RI • コンデンサー VC=Q/C • コイル VL=LdI/dt

I

直流電源V0

R

CVC

VR

時間t

RVR

CVC

LVL7

過渡現象 I• DC 電源と抵抗とコンデンサーからなる回路

•キルヒホッフの第二法則　V0=VC+VR • 斉次微分方程式

C

I

直流電源V0

R VC

VR

V0 = CQ(t)

+ I(t)R =CQ(t)

+ RdtdQ

RdtdQ+C1 Q- V0 = 0

Q(t) = Ae-at + B,Q(0) = 0

Q(t) = CV0 (1 - e- CRt

)

時間t時間t

電荷Q

0

CV0

CRは時間の単位

電荷Qについての

8

電流I

過渡現象 II• DC電源，抵抗とコイルからなる回路 •キルヒホッフの第二法則 V0=VR+VL • 電流の微分方程式

I

直流電源V0

R VL

VR

時間t時間t

電流I

0

V0 /R

L/Rは時間の単位

L

V0 = L dtdI + RI (t) = L

dtdI + RI (t)

LdtdI + RI - V0 = 0

I(t) = Ae-at + B, I(0) = 0

I(t) =RV0 (1 - e- L

Rt

)

9

接線I=(V/L)t

過渡現象 III• t=0でS1 close して十分な時間でコンデンサーCを充電

• S1をopenしてS2をclose • 閉回路に３つの素子:C,R,L • 初期条件　VC(0)=V0=Q0/C • VC(t)+ VR(t)+ VL(t)=0 • 使う関係式 I(t)=dQ/dt

L

直流電源V0

R VL

VR

時間t

S1 S2

C

LVC

R VL

VR

C

10

過渡現象 III　cont.•キルヒホッフの式 •電荷Qについて • 2次の斉次 •抵抗R =0の場合 •単振動の式 •解は三角関数

LVC

R VL

VR

C

VC + VL + VR = 0

CQ(t)

+ LdtdI + RI (t) = 0, I(t) =

dtdQ (t)

€

L d2Qdt 2

+ R dQdt

+1CQ = 0

€

L d2Qdt 2

= −1CQ⇔m d2x

dt 2= −kx

電流が流れ続ける

€

Q(t) =Q0 cos(tLC),I(t) =

dQdt

= −Q0

LCsin( t

LC)

11

過渡現象 III　cont.• Rが小さいとき　 •単振動に空気抵抗の入った式と同じ •結果は減衰振動

LVC

R VL

VR

C

€

L d2Qdt 2

= −1CQ− R dQ

dt⇔m d2x

dt 2= −kx − γ dx

dt

バネ

€

Q(t) =Q0e−R2L

tcosωt,ω =

1− 1L

R2$

% &

'

( ) 2$

% & &

'

( ) )

LC t

Q(t)

€

R < 2 L

12

L/R, m/c は時間の単位

フィルター回路I•閉回路の両端を入出力にする •入力がDC (直流電源）のとき • CR回路とよばれ、微分回路 •指数関数で時定数

CDC

R

入力 出力R

C

入力 出力R

C

時間t

Vin Vout

時間t

Vin

€

τ = CR

€

Vout =Vine−tτ

VoutVin

13

フィルター回路II•入力がAC (交流電源）のとき • Vin=V0cos(wt)として • Voutは交流電源とC,Rからなる閉回路にキルヒホッフ則を適用して抵抗Rの電圧

入力 出力R

C VoutVin

€

Vin (t) =VC (t) +VR (t) =V0 cosωt

VR

VC

€

=1CQ+ R dQ

dt=V0 cosωt

14

フィルター回路II cont.•微分方程式 •解を •仮定して代入すると

• Voutの周波数wの依存性 •大きい（高い）wでVout~Aが大きい • high pass Filterと呼ぶ

入力 出力R

C VoutVin

VR

VC

€

1CQ+ R dQ

dt=V0 cosωt

€

Q(t) = Acos(ωt +α)

€

tan(α) = CRω,A =CV0

1+ C2R2ω 2

€

Vout (t) = R dQdt

= −RAω sin(ωt +α)

€

ω

pass

15

|Vout|

フィルター回路III•入力がDC (直流電源）のとき •コンデンサーに電荷をためる積分回路

•指数関数で時定数

時間t

時間t

Vin

€

τ = CR

Vout

入力 出力

R

C

入力 出力R

C

Vin Vout

Vin

€

Vout =Vin (1− e−tτ )

抵抗とコンデンサーの位置が逆

16

フィルター回路III cont.•入力がAC (交流電源）のとき • Vin=V0cos(wt)として • Voutは交流電源とC,Rからなる閉回路にキルヒホッフ則を適用して抵抗Rの電圧

VoutVin

€

Vin (t) =VC (t) +VR (t) =V0 cosωt

VR

VC

€

=1CQ+ R dQ

dt=V0 cosωt

入力 出力

R

C

抵抗とコンデンサーの位置が逆

17

フィルター回路III cont.•微分方程式 •解を •仮定して代入すると

• Voutの周波数wの依存性 •小さいwでAが大きい • Low pass Filterと呼ぶ

€

1CQ+ R dQ

dt=V0 cosωt

€

Q(t) = Acos(ωt +α)

€

tan(α) = CRω,A =CV0

1+ C2R2ω 2

€

ω

pass

VoutVin

VR

VC

入力 出力

R

C

抵抗とコンデンサーの位置が逆

€

Vout (t) =1CQ =

ACcos(ωt +α) A/C=|Vout|

18

微分/積分回路•微分回路 • 　　　　　を時間で微分

•入力の微分が出力という式 •逆にコンデンサーに電荷をためる •積分回路

入力 出力R

C

微分回路

積分回路

入力 出力

R

C

€

Q(t) = CV (t) Vin Vout

€

dQdt

= C dVdt

= C ddt

Vin −Vout( ) =Vout

R

€

dVin

dt>>

dVout

dt ならば

€

C dVin

dt=Vout

R

19

RCは時間の単位

交流回路の複素数表現•交流には、電圧と位相という２つの自由度 •これを複素数の持つ２つの自由度で吸収 •オームの法則を交流回路でも使いたい •複素数はチルデ~を付けて表す •例交流電圧 　　普通の電圧は実数V(t)

€

˜ V (t)

€

V (t) = Re( ˜ V (t)eiωt ) = Re( ˜ V )cos(ωt) − Im( ˜ V )sin(ωt)

€

I(t) = Re(˜ I (t)eiωt ) = Re(˜ I )cos(ωt) − Im(˜ I )sin(ωt)

€

˜ V = 5i,V (t) = −5sin(ωt)

€

˜ V = 5,V (t) = 5cos(ωt)

€

eiωt = cos(ωt) + isin(ωt)

20

交流回路と複素数

•オーム則を満たすように抵抗も複素化ZR

• 抵抗の交流に対する抵抗 ZR

交流電源

€

˜ V

€

˜ I

€

V (t) = Re(V0eiωt )

～

€

˜ V = ˜ I ˜ Z

～

R

€

I =VR

= Re(V0

Reiωt ) = Re(

˜ V ˜ Z R

), ˜ Z R = R

€

˜ Z R = R

21

交流回路と複素数

•オーム則を満たすようにコンデンサーのキャパシタンスも複素数ZC :

• コンデンサーの交流に対する抵抗 ZC

C交流電源

€

˜ V

€

˜ I

€

V (t) = Re(V0eiωt )

～€

I =dQdt

= C dVdt

= Re(CV0(iω)eiωt )

= −V0Cω sin(ωt) = Re(˜ V ˜ Z C

)

€

˜ Z C =1

iωC= −

iωC

€

˜ V = ˜ I ˜ Z

～

22

交流回路と複素数

•オーム則を満たすようにコイルのリアクタンスも複素数ZC :

• コイルの交流に対する抵抗 ZL

€

V (t) = Re(V0eiωt )

～

€

˜ V = ˜ I ˜ Z

～

交流電源

€

˜ V

€

˜ I

€

˜ Z L = iωL

23

交流と複素抵抗•複素抵抗をインピーダンスとよぶ •複数のインピーダンスの直列つなぎでは が成立

•同様に並列つなぎでは •抵抗 •コンデンサー •コイル

€

˜ Z = ˜ Z 1 + ˜ Z 2 + ...

€

1˜ Z

=1˜ Z 1

+1˜ Z 2

+ ...

R

C

L

€

˜ Z L = iωL

€

˜ Z C =1

iωC= −

iωC

€

˜ Z R = R

24

複数接続例•コンデンサーの直列つなぎ •通常の計算 •複素インピーダンス表現 •通常の計算と一致 •コンデンサーの並列つなぎ •通常の計算C=C1+C2 • 一致する

C1

C2

€

1C

=1C1

+1C2

€

˜ Z C = ˜ Z 1 + ˜ Z 2 =1

iωC1

+1

iωC2

€

˜ Z C =1

iωC

C1 C2

€

1˜ Z C

=1˜ Z 1

+1˜ Z 2

= iωC1 + iωC2

€

˜ Z C =1

iωC25

C

交流電力 P=IV•複素数表現での電力 •コンデンサーの消費電力

•コイルの消費電力

•どちらも純粋複素数なので電力消費なし

€

P ≡ Re( ˜ V ̃ I *) = Re( ˜ V * ˜ I )

C交流電源

€

˜ V

€

˜ I

€

˜ V = V0, ˜ I =˜ V ˜ Z C

= V0(iωC),P = Re( ˜ V ̃ I *) = Re(V02(−iωC)) = 0

交流電源

€

˜ V

€

˜ I

€

˜ V = V0, ˜ I =˜ V ˜ Z L

=V0

iωL,P = Re( ˜ V ̃ I *) = Re( V0

2

iωL) = 0

26

複素過度現象I•抵抗RとコンデンサーCの合成インピーダンス

€

˜ Z = R +1

iωC

€

˜ V = V0, ˜ I =˜ V ˜ Z

=V0

R +1

iωC

=V0(R +

iωC

)

R2 +1

ω 2C2

€

P = Re( ˜ V ̃ I *) =V 2

0R

R2 +1

ω 2C2

€

ωP

€

P = (pf )2 V20

R

€

pf =R

R2 +1

ω 2C2

C交流電源

€

˜ V

€

˜ I

pf

€

ω27

複素過度現象II•抵抗RとコイルLの合成インピーダンス

€

ωP

交流電源

€

˜ V

€

˜ I

pf

€

ω

€

˜ Z = R + iωL

€

˜ V = V0, ˜ I =˜ V ˜ Z

=V0

R + iωL=

V0(R − iωL)R2 +ω 2L2

€

P = Re( ˜ V ̃ I *) =V 2

0RR2 +ω 2L2

€

pf =R

R2 + ωL( )2

28

複素過度現象III•抵抗RとコンデンサーCとコイルLの合成インピーダンス

€

ω

pf

交流電源

€

˜ V

€

˜ I C

€

˜ Z = R + i ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

€

˜ V = V0, ˜ I =˜ V ˜ Z

=V0

R + i ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

=V0(R − i ωL − 1

ωC$

% &

'

( ) )

R2 + ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

2

€

pf =R

R2 + ωL − 1ωC

$

% &

'

( ) 2

29

電圧分配器•交流電圧の比を取る回路 •２つの抵抗（インピーダンス）を直列接続

•出力を真ん中から取る=Vout

Z1

Z2

Vin

Vout

€

˜ I

€

˜ Z total = ˜ Z 1 + ˜ Z 1

~

~

€

˜ I =˜ V in

˜ Z total

€

˜ V out = ˜ I ˜ Z 2 =˜ Z 2

˜ Z 1 + ˜ Z 2˜ V in

入力電圧Vinが抵抗で分割されてVoutとなる

30

High Pass Filter • 1:コンデンサー、２：抵抗

Z1

Z2

Vin

Vout

€

˜ I

~

~

Vin

Vout

€

˜ I R

€

˜ Z total =1

iωC+ R

€

˜ I =˜ V in

˜ Z total

=˜ V in

R − iωC

=˜ V in (R +

iωC

)

R2 +1

ω 2C2

€

˜ V out = ˜ I ˜ Z R =˜ V inR(R +

iωC

)

R2 +1

ω 2C2

€

˜ V out = ˜ V out˜ V out

* =Vin R

R2 +1

ω 2C2

€

ω€

˜ V out

Vin€

R

€

1ωC

Im

Re

€

˜ Z total

€

φ

€

tan(φ) =− 1ωCR

€

1RC€

6dB

high Pass Filter

31

Low Pass Filter • 1:抵抗、２： コンデンサー

Z1

Z2

Vin

Vout

€

˜ I

~

~

Vin

Vout

€

˜ I

R€

˜ Z total =1

iωC+ R

€

˜ I =˜ V in

˜ Z total

=˜ V in

R − iωC

=˜ V in (R +

iωC

)

R2 +1

ω 2C2

€

ω€

˜ V out

Vin€

R

€

1ωC

Im

Re

€

˜ Z total

€

φ

€

tan(φ) =− 1ωCR

€

1RC€

6dB

Low Pass Filter

€

˜ V out = ˜ I ˜ Z C =˜ V in

1iωC

(R +iωC

)

R2 +1

ω 2C2

€

˜ V out = ˜ V out˜ V out

* =Vin

1ωC

R2 +1

ω 2C2

32

Resonance Filter Z1

Z2

Vin

Vout

€

˜ I

~

~

Vin

Vout

€

˜ I

R

€

ω€

˜ V out

Vin

1:抵抗，２：コイルとコンデンサーの並列

€

˜ Z total = R + ˜ Z 2

€

1˜ Z 2

=1˜ Z C

+1˜ Z L

= iωC +1

iωL

€

˜ I =˜ V in

˜ Z total

=˜ V in

R +i

1ωL

−ωC

$

%

& & &

'

(

) ) )

=

˜ V in R − i1ωL

−ωC

$

%

& & &

'

(

) ) )

$

%

& & &

'

(

) ) )

R2 +1

1ωL

−ωC$

% &

'

( )

2

€

˜ V out

Vin

=

11ωL

−ωC$

% &

'

( )

R2 +1

1ωL

−ωC$

% &

'

( )

2

€

1LC33 √

LC Filter Z1

Z2

Vin

Vout

€

˜ I

~

~

Vin

Vout

€

˜ I

R

€

ω€

˜ V out

Vin

1:抵抗，２：コイルとコンデンサーの直列

€

˜ Z total = R + ˜ Z 2

€

1LC

€

˜ Z 2 = ˜ Z C + ˜ Z L =1

iωC+ iωL

€

˜ I =˜ V in

˜ Z total

=˜ V in

R + i ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

=

˜ V in R − i ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

$

% &

'

( )

R2 + ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

2

€

˜ V out

Vin

=ωL − 1

ωC

R2 + ωL − 1ωC

$

% &

'

( )

2

34

同軸ケーブルI•信号（導体AとBの間の電位）伝送路 •電力伝達が長さに依存しない •雑音(ノイズ)に強い •単位長さあたりのimpedance • Dx の距離で電圧、電流が変化

dD

€

Z0 =60εln D

d#

$ %

&

' (

等価回路

A

B

B

A

€

Δx

V

I+DII

V+DV

€

˜ Z L = iωLΔx, ˜ Z C =1

iωCΔx

€

Δ ˜ V = ˜ I ˜ Z L = iωLΔx˜ I ,Δ˜ I =˜ V ˜ Z C

= iωCΔx ˜ V

€

d ˜ V dx

= −iωL˜ I , d˜ I dx

= −iωC ˜ V

€

d2 ˜ V dx 2 = −ω 2LC ˜ V , d2 ˜ I

dx 2 = −ω 2LC˜ I

€

˜ V = V0eiω LCx, ˜ I = I0e

iω LCx

35

同軸ケーブルII•特性impedance:Z0 • 同軸ケーブルに周波数sの電気信号を入力

•電流、電圧はtとxの関数となる€

d ˜ V dx

= V0iω LCxeiω LC x = (−iωL)I0eiω LC x,V0

I0

= −LC

€

˜ V ˜ I

=V0

I0

≡ Z0 =LC

(Ω)

Z0

x=0x=-x0 A B€

V (x, t) = Z0(Ae− iω LCx + Beiω LCx )eiωt

I(x, t) = (Ae−iω LCx − Beiω LCx )eiωt

A:x方向の電流、 B:-x方向の電流反射係数rを定義

Z=Z0のとき反射しなくなる€

Z =VI

= Z0A + BA − B

€

r ≡ BA

=Z − Z0Z + Z0

36

半導体素子I•受動素子：抵抗、コンデンサー、コイル •能動素子：半導体素子 •シリコン(原子番号14)純粋結晶 •内の不純物と電子の運動

€

14 S

L,M殻は電子８個で安定 siliconは最外殻４個の電子 純粋シリコン結晶は隣同士（平面上では４個） の原子が隣の原子の電子を共有して準安定 右図が真ん中のシリコン原子が安定化結晶 全ての電子が結晶に取り込まれているので 電気が流れない：不導体

37

半導体素子II•シリコン(原子番号14)結晶に •不純物を少量混入する •リン(　　)を入れる •電子が余る:n型半導体 •反対にホウ素( 　 ) • 電子が不足これを穴ホール •あたかも＋電子:p型半導体 •余った電子もホールも •電流を作る

€

14 S

€

15P

€

5B

€

15P

€

5B

38

ダイオード•n型半導体には電子が余っている • p型半導体には＋電子が余っている • n型半導体とp型半導体を接合 •電圧を掛ける •＋の方向により電流が異なる • p側が＋の時電流が流れる •反対にp側がーのとき電流は流れない •回路図では三角で表す

n

p

n

p＋＋＋

ーーー

＋

ー

39

ダイオードの性質•順電流(圧）:電流が流れる向き •逆電流（電圧）:電流が流れない方向 •整流

(順) 電圧

(順)電流

(逆) 電圧

1nA

10mA

1V-50VVout

時間0

電圧

Vin

Vin

0

Vout

時間

半波整流

半波整流

40

Vin

整流•全波整流回路 •平滑回路　 • RCで滑らか

Vout1

全波整流

時間0

Vin

時間0

Vout1VinVout2

全波整流

R

C

時間0

Vout2時定数RC

rippleリップル=DV DV

€

Δt

€

ΔV =ΔQC

=IΔtC

41

トランジスタ•npn型 • V1のpn接合で加電VB • V2のn>p>nと大電流 • CからEへ電流 • pnp型

np

＋＋＋

ーーー

＋

ー

n

＋

ーB

C

E

BC

E

BC

E

B：Base C: Collector E: Emitter

IC

IE

IB

€

IC = βIB

€

β 電流増幅率~100, IC>>IB42

V1

V2

V1

V2

Emitter Follower• Emitterから出力取り出す •電位差VE~VB-0.6(V)=Vin-0.6 • Iout=IE>> IB=Iin

BC

E

+VCC

Vin=VB

Vout

IE

IB

€

ΔVE ~ ΔVB 電圧増幅しないRout

Rin

€

IE =Vout

Rout

€

IE = IB + IC ,ΔIE = ΔIB + ΔIC ,IC = βIBΔVE

Rout

= βΔIB + ΔIB = (β +1)ΔIB = (β +1)ΔVB

Rin

€

Rin = (β +1)Routβは通常１００程度と大きい

Rin>>Rout　:入出力インピーダンス変換

入力電圧VBで電流IEを取り出す回路

power amp.

43

電圧アンプ•コレクターから出力 • AC結合型を使う IB~0

BC

E

+VCC

Vin=VBVout

IC

IB~0 R2

RCR1

IE

€

VC =Vout =VCC − ICRC

€

IE =VE

RE

=VB

RE

= IB + IC ,ΔVC = −RCΔIC = −ΔVBRCRE

€

ΔVC = −ΔVBRCRE

電圧アンプ　増幅率

RE

通常RC~10kX, RE~1kX: 増幅率～10

€

GV = −RCRE

44

差動アンプ•電圧アンプを２つ並列 •２入力回路 •入力は１と２の電圧を反対にする（差動：逆位相　normal mode）I1+I2=0,I1=-I2

BC

E

C

E

B

+Vcc

-VEE

Vin1 Vin2

RC RC

RERE

時間０

＋電圧 時間０

ー電圧

I１ I２

R

Vout

通常RC~100kX, RE~1kX: 増幅率～50反転出力

入力信号は一つ、反転して２入力、共通に聞くノイズを落とす

€

GN =ΔVout

ΔVin

=RCΔI2

ΔI1RE −ΔI2RE

= −RC2RE

45

差動アンプII• 差動アンプに同位相信号を入力 (common mode)：雑音

•左右が同じ回路真ん中で対象: I1=I2

• Rを半分に切る •右半分の回路　

BC

E

C

E

B

+Vcc

-VEE

Vin1 Vin2

RC RC

RERE

時間０

＋電圧時間

０

ー電圧

I１ I２

R

Vout

-VEE

RERE2R2R

C

E

B

+Vcc

Vin2

RC

RE

時間０

ー電圧

I２

2R

Vout

€

GC =ΔVout

ΔVin

=RCΔI2

ΔI2(2R + RE )=

RC2R + RE

46

差動アンプIII• Common Mode Rejection Ratio: CMRR • 同位相の信号を •反転差動で除去できる指標 •通常　R>>RE • 差動反転入力：信号 •同位相入力：雑音 •ツイストペアーケーブルの受け側

€

CMRR =GN

GC

=2R + RE

2RE

~ RRE

R~100kX, RE~1kX, CMRR~100

47

•中身は右図上を •全体として右図下で描く •入力は通常差動 •βは大変大きいと仮定~105 • 出力を＋とーから取り出すこともあり

BC

E

C

E

B

+Vcc

-VEE

Vinー Vin＋

RC RC

RERER

Vout

＋ ー

OP-amp

OP-amp オペアンプ

＋ ー

＋ ー

Operational amplifier

48

Feed Back=負帰還•op ampのー側に入力 •さらに出力からのフィードバックを付ける

•点Bの電位VB=0 • 点Aの電位もVBと同じに して動かすVA=0

• I1+I2=0

ー ＋

入力 出力

R２

R１

VoutA

BI1

I2

€

I2 =Vout

R2= −

Vin

R1= I1

G =Vout

Vin

= −R2R1

電圧アンプ ーで逆電位 (反転)

49

マイナス

:GND

電圧計•＋ーを逆にした回路 •負帰還はおなじ •入力VinはA点電位と同じ •出力VoutはI2で決まる

＋ ー

入力 出力

R２R１

VoutA

BI1 I2

Vin

€

Vout = I2(R1 + R2)

€

Vin =VA = I2R1 =Vout

R1 + R2R1

€

G =Vout

Vin

=R1 + R2R1

R1=∞：切断の場合G=1のアンプ

＋ ー

入力 buffer amp

非反転増幅50

電流計•電流源が光半導体など •微小電流源入力 • R１～０として •入力電流I1を出力の電圧Voutに変換

•ピコアンメータ • pico- ampere meter • シャント電流計 •入力電流をシャント抵抗RSへ流す: Vout<Iinで決まる

ー ＋

入力 出力

R２

VoutA

BI1

I2R１

10-12 A

ピコアンメータR2~1MX

入力I1

シャント電流計R2~1MX

＋ ー

出力

R２R１

VoutA

B I2

Vin

RS

€

Vout =GVin = I1RSR1 + R2R1

51

op-amp golden rule

• high gain ~ 105 =Vout/(Vin1-Vin2) • Vin~0 (~mV<<Vcc) • Iin ~0 (~nA)

＋ ー

Vin1 Vin2

52

opampの応用

•peak detector • 最高電位を記憶

＋ ー ＋

ー

Vin Vout

t

Vout

Vin

V

• differential amp • 入力の差が出力 V１ 出力

R２R１

VoutV２R１ R２

€

Vout =R2R1

V2 −V1( )53

X1 buffer

opampの応用II• summing amp • 3入力

R２

Vout

V１V２V３

R1R1R1

€

Vout = −R2R1

V1 +V2 +V3( )

•積分器 •入力電流の積分＝出力

Vout

VinR

C

ー ＋

IC

Iin

€

Iin =Vin

R,

Q = CVC = CVout ,IC =dQdt

= C dVout

dt

Iin = −IC =Vin

R= C dVout

dt

€

Iindt = CVout∫54

opampの応用III•微分器 •入力のコンデンサー •出力は入力の時間微分

Vout

Vin

RC

ー ＋

IR

Iin

€

Vout = RIR ,Iin =dQin

dt= C dVin

dt

€

Iin = −IR =Vout

R= C dVin

dt•インピーダンス変換器 •入力からみたインピーダンスZin

• 符号反転 Vin

R

＋ ー

IR1

IinR

Z

ZinIR2

VZ

€

Iin =Vin

Zin

= −IR1 = −IR 2

VZ = ZIR 2 = −ZIin = −Z Vin

Zin

ZinVZ = −ZVin

Negative Impedance Converter NICという55

opampの応用IV•Comparator • 入力信号=V1 • 通常V2を一定 • V2しきい値:threshold • Vout はデジタル信号 • open collector回路

＋ ー

+V0

Vin

Vout

t

Vin

+V0

0

＋ ー

Vin BC

E

Vout

TTL: +V0=5V56

+V0V+

- +比較器

opampの応用V•Filter　：Low pass • cut off 周波数～fc • Cがなければ普通のアンプ：増幅率=R/R1

• 入力周波数が大きくなるとCが小さな抵抗として働く

• Rの替わりにZC=-i/(wC) • 増副率=1/wC R1 で小さくなる

- ＋

VinVout

C

R1

R

Low pass

€

fc =1

2πRC

57log(w)

log(増幅率)

fc

opampの応用V•Filter　：High pass • cut off 周波数～fc • Cがなければ普通のアンプ：増幅率=R2/R

• 入力周波数が小さくなるとCが大きな抵抗として働く

• Rの替わりにZC=-i/(wC) • 増副率=R2wC で小さくなる

High pass

VinVoutC R

R2

- ＋

€

fc =1

2πRC

58log(w)

log(増幅率)

fc

opamp応用VI•ADC (Analog to Digital Converter)

• bit数

＋V０

Vout１＋

ー

Vin

Vout２R

＋ ー

R

R

並列encoded

BC

E

＋VC

BC

E

＋VC

59