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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ® FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGÍA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGÍA
R UNIVERSIDAD NACIONAÚ)El:CALLAO E VICE·RF.CTOI!~OO Of INVESTIGACIÓN
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CENTRO DE OOCUMENTACION . CIENTIFICA y TRADUCCIONES
~· ~OAA:.¡_.q,.~.t..f. ................................ .. o: FIRMA: ........ - ........................................... .
"TEXTO: ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA"
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN
ELABORADO POR
LIC. FRANCISCO EDGARDO TORRES PINEDO
PERÍODO DE ELABORACIÓN
12 MESES 1 DE JUNIO de 2013-31 MAYO de 2014
R.R. No 617-2013-R
Índice Prólogo ................................................................................................................................. 6
Introducción ............................................................................................................................. 7
CAPfTULO 1: .............................................................................................................................. 8
COMBINATORIA ... : ................................................................................................................... 8
1.1 Combinatoria ···-················································ ............................................................ 8
1.1.1. Combinaciones ....................................................................................................... 8
1.1.2 Permutaciones ............................................................................................................ 9
1.1.3. Principio fundamental de teoría combinatoria (P.F) ................................................ 11
1.1.4. Factoriales ................................................................................................................ 12
1.1.5. Permutaciones circulares ......................................................................................... 14
1.1.6. Particiones ................................................................................................................ 16
1.1.7. Permutaciones con elementos repetidos o indistinguibles ...................................... 18
Ejercicios 1.1 ...................................................................................................................... 21
CAPfTULO 11: ........................................................................................................................... 24
PROBABILIDAD ....................................................................................................................... 24
2.1. Probabilidad ,clásica ..................................................................................................... 24
2.2. Probabilidad Axiomática .............................................................................................. 27
2.2.1. Álgebra de Borel ................................................................................................... 27
2.2.2. Experimentos aleatorios y espacios muestrales ................................................... 28
2.2.3. Axiomas de la teoría de probabilidad ................................................................... 30
2.2.4. Teoremas sobre probabilidad ............................ ,. .................................................. 30
Ejercicios 2.1 .................................................................................................................. 33
2.3. Probabilidad Condicional ............................................................................................ 38
2.3.2. lndependencia ...................................................................................................... 40
2.4.Fórmula de Bayes ......................................................................................................... 42
Ejercicios 2.2 .............................................................................. : .......•........................... 43
CAPfTULO 111 ........................................................................................................................... 48
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ....................................................................................... 48
3.1. Variables aleatorias ..................................................................................................... 48
1
3.2. Variables aleatorias discretas ............................................. , ........................................ 50
3.2.1. Sucesos equivalentes ........................................................... , .................................. 50
3.2.2 Distribuciones discretas ................ , ....................................................................... 51
3.2.3. Función de distribución o distribución acumulativa ............................................. 54
Ejercicios: 3.1 ................................................................................................................. 60
3.3. Momentos y funciones generatrices de momentos .................................................... 61
3.3.1. Momento respecto al origen ................................................................................ 61
3.3.3. Funciones generatrices de momentos ................................................................. 65
3.4. Distribuciones Discretas Importantes ......................................................................... 68
3.4.1 Experimento Bernoulli ........................................................................................... 68
3.4.2 La distribución de Bernoulli ................................................................................... 69
3.4.3. La Distribución Binomia1 ....................................................................................... 70
Ejercicios 3.2 .................................................................................................................. 73
3.4.4. La Distribución Geométrica .................................................................................. 74
Ejercicios 3.3 .............................. ,.~ ............... ,.., ............................................................... 77
3.4.5. La Distribución de Pascal y la binomial negativa .................................................. 78
3.4.6. La Distribución Hipergeométrica .......................................................................... 81
3.4.7. La Distribución de Poisson .................................................................................... 83
Ejercicios 3.4 .................................................................................................................. 88
CAPÍTULO IV: .......................................................................................................................... 90
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS .................................................................... : ................ 90
4.1. Variables aleatorias continuas .................................................................................... 90
4.1.2 La distribución acumulativa de X.(o función de distribución de la v.a.c X) ............ 93
4.1.3. Función de función ............................................................................................... 94
4.2. Distribuciones Continuas Importantes: ....................................................................... 96
4.2.1 Distribución uniforme ............................................................................................... 96
4.2.2. La Distribución exponencial ..................................................................................... 98
4.2.3. La Distribución Normal ........................................................................................... 100
4.2.4. La distribución gamma ........................................................................................... 107
4.2.4.1 Propiedades de la distribución gamma: ........................................................... 109
2
4.2.5. La distribución Ji-cuadrado ..................................................................................... 110
4.2.6. La distribución beta ................................................................................................ 111
4.2.7. La distribución de Weibull ...................................................................................... 112
Ejercicio 4.1 .................................................................................................................. 113
CAPfTULO V ................................... ~ ...................................................................................... 115
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES ........................................................................ 115
5.1. Variable aleatoria bidimensional discreta ................................................................. 115
5.2 Variable aleatoria bidimensional continua ................................................................. 121
Ejercicios 5.1 ................................................................................................................ 126
5.3. Esperanza y Covarianza de una v.a. bidimensional (X, Y) .......................................... 128
5.3.1. Propiedades de esperanza y covarianza ............................................................. 131
5.4. Probabilidad condiciona1 ........................................................................................... 134
S.S. Teoremas sobre funciones generatrices y v.a. independientes ................................ 137
Ejercicios 5.2 ................................................................................................................ 143
5.6 La distribución multinomia1 ........ ~ ................ , .............................................................. 144
5.7. La desigualdad de Tchebyshev; ley de los grandes números ..................................... 147
5.8. Teorema del límite central ........................................................................................ 150
CAPÍTULO VI: ........................................................................................................................ 155
ESTADfSTICA DESCRIPTIVA ................................................................................................... 155
6.1 Estadística Descriptiva y estadística inferencia!. ........................................................ 155
6.1.1. Estadística descriptiva ............................................................................. ~ .......... 155
6.1.2. Estadística inferencial ......................................................................................... 155
S ................................................................................................................................... 155
Nota 1 .......................................................................................................................... 156
6.1.3. Clasificación de las variables aleatorias .............................................................. 156
6.1.4. Representaciones Gráficas ................................................................................. 157
6.1.5. Distribuciones de frecuencias y representaciones gráficas ................................ 162
6.1.6. Medidas de Tendencia Central ........................................................................... 166
6.1.6.1. Media Aritmética ............. ; ............................................................................... 166
6.1.7. Medidas de dispersión ....................................................................................... 183
3
6.1.8 Asimetría y curtosis ............................................................................................ 187
6.1.9. Diagrama de Caja y Bigotes .................................•.............................................. 191
CAPÍTULO VIl: ....................................................................................................................... 194
DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Y ESTIMACIÓN .................................................................. 194
7.1. Población y muestra .................................................................................................. 194
7.1.1 ¿Cómo elegir una muestra? ................................................................................ 196
7 .2. Distribuciones muestrales ......................................................................................... 202
7.2 l. Distribución de la media muestral. ..................................................................... 202
7.2.2 Distribución de la varianza muestra!: .................................................................. 203
7.2.3 Tablas de la distribución Ji-cuadrado .................................................................. 205
7.2.4 La distribución t ................................................................................................... 207
Tabla de la distribución t ............................................................................................... 208
7.2.5. Distribución de la diferencia de medias muestrales ........................................... 209
7 .2.6. Distribución de la proporción muestral .............................................................. 212
7.2.7. Distribución de la diferencia de dos proporciones muestrales ........................... 213
7.2.8. La Distribución F ................................................................................................. 214
7.2.9. Distribución del cociente de varianzas muestrales ............................................. 216
Ejercicios 7.1 ................................................................................................................ 216
7 .3. Estimación Puntual ........ .-........................................................................................... 219
7.3.1. Métodos de los momentos ................................................................................ 221
7.3.2. Método de máxima verosimilitud ...................................................................... 224
7.4. Estimación por intervalos .......................................................................................... 226
7.4.11ntervalos de confianza para la media. 1 ............................................................. 226
7.4.2. Intervalos de confianza para la media. 2 ............................................................ 231
7.4.3. Intervalos de confianza para la varianza ............................................................ 232
7.4.4. Intervalo de confianza para la diferencia de medias .......................................... 234
7.4.5. Intervalo de confianza para la proporción .................................................... 235
.7.4.6. Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones ............................... 236
7 .4. 7 Intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas muestrales ................. 237
CAPÍTULO VIII: ...................................................................................................................... 246
4
.7.4.6. Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones ............................... 236
7.4.7 Intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas muestrales ................. 237 .
CAPfTULO Vlll: ...................................................................................................................... 246
PRUEBAS DE HIPÓTESIS ........................................................................................................ 246
8.1. Prueba de Hipótesis para la media ............................................................................ 249
8.2. Prueba de Hipótesis para la proporción .................................................................... 251
8.3. Prueba de Hipótesis para diferencia de dos medias .................................................. 253
8.4. Prueba de Hipótesis para datos pareados ................................................................. 256
8.5. Prueba de Hipótesis para varianza ............................................................................ 258
8.6. Prueba de Hipótesis para comparación de dos varianzas muestrales ....................... 259
REFERENCIALES ................................................................................................................ 261
Apéndice .......................................................................................................................... 262
Apéndice A ................................................................................................................... 262
Apéndice B ................................................................................................................... 266
Apéndice C ................................................................................................................... 266
Anexo ............................................................................................................................... 269
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ......................................................................... 270
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO .................................................................. 272
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t ....................................................................................... 276
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓ F ......................................................................................... 278
S
Prólogo
La presente obra es el compendio de los cursos que el autor dictara en
diferentes universidades, en los cursos de Estadística, fundamentalmente en la
Facultad de Mecánica-Energía de la Universidad Nacional del Callao, donde los
estudiantes tienen más formación matemática y captan con mayor facilidad los
fundamentos teóricos de la materia.
Sin embargo, salvo en algunos capítulos, los fundamentos matemáticos no
exceden una formación básica de cálculo integral, y en los casos necesarios,
relativamente muy pocos, se ha introducido fundamentos sobre cálculo de
varias variables, de modo que en su mayor parte la obra puede ser leída
fluida mente también por estudiantes de administración y ciencias sociales.
La ausencia de obras que involucraran los tópicos de estadística descriptiva,
probabilidad e inferencia estadística, en un solo tomo, nos ha llevado a escribir
la presente obra tratando de darle un!dad, y formularlo centrado en el
estudiante de un primer curso semestral de estadística.
Hemos notado con el tiempo que la estadística descriptiva que menciona todo
tipo de variables aleatorias iría mejor después de haber introducido estos
conceptos, y también por el uso de ellos, en la inferencia estadística. Por esta
razón, la estadística descriptiva la colocamos en el capítulo seis.
Nuestra intención ha sido presentar un material estadístico bien fundamentado,
ojalá lo hayamos conseguido, aunque en el trayecto algunos teoremas son
formulados sin demostración, pero poniendo énfasis en su aplicación.
La obra posee ocho capítulos, y abarca combinatoria, probabilidades clásica y
axiomática, variables aleatorias importantes discretas y continuas, variables
bidimensionales con extensión intuitiva a las variables aleatoria n
dimensionales, muestreo, estimación y pruebas de hipótesis.
6
Introducción.
El texto está dividido en ocho capítulos, para ser desarrollados cuatro en la
primera parte de un ciclo semestral, y el resto en la segunda parte. Los capítulos
contienen secciones con títulos principales y contienen subsecciones con títulos
secundarios. El número 4.3, se refiere a la sección 3 del capítulo 4. Las definiciones,
ejemplos y teoremas, van seguidos de los números del capítulo y sección que los
contienen; asf, la definición 7.3.4, es la cuarta definición de la sección tres del capítulo
vii. Las tablas y las figuras, se identifican con dos números. Su ubicación por capitulo.
Por ejemplo la figura 6.4 es la cuarta figura del capítulo iv.
El texto procura una buena fundamentación teórica, aunque algunos teoremas por el
grado de dificultad, o por abreviar el tiempo de su desarrollo sólo serán asimilados
con ejemplos sin demostrarlos. Se ha procurado poner énfasis en las aplicaciones, y
no hemos dudado en coger algunos ejemplos desarrollados por los cultores de la
estadística pero siempre indicando la fuente.
Desde los primeros capítulos se desarrollan los temas con la finalidad de usarlos en la
parte final, donde se tratan los temas de estimación y prueba de hipótesis, que le
servirán al estudiante como modelos de investigación.
En la estadística descriptiva, se ha puesto énfasis, en las aplicaciones que todo
profesional de la ingeniería debiera conocer.
Finalmente, debemos agradecer a muchos colegas y autoridades, que nos han
facilitado todo tipo de colaboradones para llevar a cabo nuestro objetivo.
7
,\
CAPÍTULO 1:
COMBINATORIA
1.1 Combinatoria
1.1.1. Combinaciones.
Tomemos el conjunto An de n elementos, una notación de An podría ser An = {a11 a2, •.. an} los subconjuntos de An, se llaman combinaciones de An, así:
(i) {a1}, {a2 }, .•• {CZn} son todas, las combinaciones de un elemento de An.
El número de estas combinaciones (de un elemento c/u) se denota (~).
Por tanto ( ~) = n.
(ii) {av a2}, {av a3}, ... , {av CZ¡¡}, {a2, a3}, ... , {a2, CZ¡¡}, ... {CZn-v CZn} son
todas las combinaciones de dos elementos de A, se buscará saber
cuántos son, por lo pronto denotaremos (;) al número de tales
combinaciones. El número (;) se leerá "número combinatorio n, 2" .
(iii) En la misma forma (~) se lee "número combinatorio n, k" y significa:
"número de subconjuntos de k elementos cada uno, tomados de un
conjunto de n elementos"
Nota l. Ya sabemos que (~) = 5, e1°) = 20, (~) = n, (!) = 5, (i~) = 20,
(n ~ 1
) = n. Para cerciorarnos, de que los números combinatorios de la forma
(n ~ 1) son iguales a n, basta ocultar uno, de los n elementos y el conjunto que
queda es una combinación de n-1 elementos.
8
Nota 2. Busquemos ahora el número que representa (~), o número
combinatorio S, 2. De acuerdo al significado de éste, tomemos un conjunto de S
elementos, digamos {a, b, e, d, e} y hallemos todos sus subconjuntos de dos
elementos cada uno: {a, b}, {a, e}, {a, d}, {a, e}, {b, e}, {b, d}, {b, e}, {e, d}, {e, e} {d,
e} de modo que (~) = 10.
Nota 3. Una forma práctica de hallar un número combinatorio (~) es tomar en
el numerador k factores consecutivos, menores o iguales a n, a partir de n, y en
el denominador k! La demostración se verá más abajo en el teorema l. Por 1
T t (S) _ 5x4 _ 10 (12) _ 12xl:).x10 _ 220 Et an o 2
- , - , 3
- ¡ - • c. 2. 3¡
Nota 4. El número combinatorio n, r, para n y r enteros positivos, puede ~er
hallado en cualquier calculadora científica, se le identifica en el botón: !11crl
1.1.2 Permutaciones.
Partiendo del conjunto original An = {a11 a 2, ••• ctn}, podemos tomar los
subconjuntos ordenados de k elementos cada uno, éstos se denominarán,
permutaciones de k elementos de A, o k-uplas de A. Así si k=2, las 2-uplas son
los pares ordenados de An, (o permutaciones de dos elementos de An), si k= 3
las 3-uplas son las ternas ordenadas de An (o permutaciones de 3 elementos de
An) etc, en general, si de An tomamos todas las k-uplas el número de ellas se
denotará P(n, k) y se leerá "número de permutaciones n, k", y significará
"número de k-uplas tomadas de un conjunto den elementos". Es fácil observar
problemas de la vida real pueden responderse con estas k-uplas, por ejemplo en
un club de 40 miembros se van a elegir sucesivamente un presidente, un
secretario y un tesorero. Si la elección se realiza al azar, ¿cuántos resultados
9
posibles hay7 La respuesta es: P (40, 3). Obviamente el resultado no puede
ser(~0) pues en cada subconjunto de tres elementos hay muchas formas de
elegir las ternas ordenadas que representan a presidente, secretario y tesorero
Nota. En matemática, el concepto de permutación tiene una definición más
restringida que la mencionada en 1.1.2. Permutación de An = {a11 a2 , ••• Un}, es
una n-upla; es decir en una permutación de An intervienen todos los elementos
de An a la vez, por tanto, el número de permutaciones de An sería P(n, n). Pero
acá estamos extendiendo este concepto, siguiendo también la costumbre de
buen número de autores a lo que en otros se llaman variaciones, y este término
no lo mencionaremos más. Este uso nuevo se ha generalizado en las
calculadoras, P(n, r) se calcula con el botón !1LPr! Resumimos lo mencionado
hasta aquí en la siguiente definición.
Definición 1.1.1. Sea A un conjunto finito de n elementos. Entonces
(i) El número de subconjuntos (o combinaciones) de k elementos cada uno,
tomados de A se denota(~) y se lee "número combinatorio n, k".
(ii) El número de k-uplas (o k elementos ordenados) tomados de A, se denota
P(n, k) y se lee "número de permutaciones n, k"
(iii) Combinatoria, es el capítulo de matemática que estudia las permutaciones y
combinaciones de conjuntos finitos
10
1.1.3. Principio fundamental de teoría combinatoria (P.F}
"Si un suceso puede realizarse de m maneras y a continuación otro suceso de n
maneras, el suceso compuesto (esto es, realizar primero el primer suceso y a
continuación el segundo) se puede realizar de m·n maneras"
Ejemplo 1.1.1. Un restaurante ofrece tres entradas, y cinco platos de fondo.
·¿cuántos menús se pueden formar?
Solución: Se puede elegir una entrada de tres maneras. A continuación un plato
de fondo de cinco maneras. Luego por el P.F, se pueden elegir (3)(5) = 15
menús.
Ejemplo 1.1.2. Para ir de la ciudad A hasta la ciudad B hay dos vías posibles, para ir
de B a la ciudad C hay tres vías posibles, ¿de cuántas maneras se puede llegar de
A, a e pasando por B? Solución. Aplicando el P.F. se tiene (2)(3) = 6 maneras.
Ejemplo 1.1.3. A es un conjunto de n elementos. B es el conjunto de todas las
permutaciones de tres elementos c/u, tomados de A. C es el conjunto de todas
las combinaciones de tres elementos cada uno, tomados de A. Se realizan los
siguientes experimentos: (1) se eligen al azar un elemento de B y luego un
elemento de C. ¿cuántos resultados posibles hay? (ii) se eligen al azar dos
elementos de B y tres elementos de C ¿cuántos resultados posibles hay?
Solución de (i): B tiene P(n, 3) elementos, de los que un elemento se elige de
(P(~,3)) = P(n, 3) maneras, como e tiene G) elementos y un elemento se
puede elegir de (CP) = (~) maneras, se tiene por el P.F. que hay P(n,
3)G) resultados posibles
Solución de (ii) elegir dos elementos al azar, de B puede realizarse de (P(~,3))
maneras y a continuación elegimos al azar tres de los (;) elementos, de ((i))
11
maneras. Luego aplicando el P.F. hay (P(~,3)) (Ci)) resultados posibles. ¿Cuántos
son? Ya veremos.
1.1.4. Factoriales.
Definición 1.1.2. Sin es un ente~o no negativo, factorial den, n! se define:
(i)
(ii)
(iii)
1
n! = n(n-1)(n-2) ... 3x2x1,
1! = 1
O!= 1
Ejemplo 1.1.4
a). 5! = 5x4x3x2x1 = 120
l)(n-2)!
Teorema 1.1.1 (i) P(n, k) = -( n! ) n-k!
sin> 1
sin= 1
sin= O
b) -61
- - 6' - 720 . ( ) - . -6-6!
(") (n) P(n,k) . n! 11 =--= k k! (n-k)!k!
e). n! =n(n-1)! = n(n-
Demostración de (i). Como, P(n, k), significa: número de k-uplas, elegiremos
una a una las componentes de éstas y aplicaremos el P.F:
La primera componente de la k-upla se puede elegir de n maneras
La segunda componente de la k-upla se puede elegir de n-1 maneras
La tercera componente de la k-upla se puede elegir de n-2 maneras
La k-ésima componente de la k-upla se puede elegir de n-(k-1) maneras
12
Luego aplicando el P.F: P(n, k) = n(n-l)(n-2)(n-(k-l)L luego multiplicando y
dividiendo este número por (n-k)! se tiene
n! P(n, k) = (n-k)! cqd.
Demostración de (ii). Sabemos que en un conjunto de n elementos hay (~)
combinaciones de k elementos cada una, y por cada combinación de k
elementos hay P(k, k) = k! permutaciones de k elementos cada una, luego, de
todas las combinaciones de k elementos habrá G)k! Permutaciones de k
elementos cada una, que serán todas, las P(n, k) permutaciones; en
consecuencia tenemos:
(n) k' P( k) (n) P(n,k) n! d k . = n, , o sea k = ---¡;¡-- = (n-k)!k! cq .
Ejemplo 1.1.5.
a). Hallamos P(S, 2) = Sx4 = 20, usando la definición de P(S, 2) (pares ordenados
de un conjunto de S elementos) y el principio fundamental: la primera
componente del par, se puede hallar de S maneras y la segunda de 4 maneras,
etc. Y nos hemos evitado de aplicar la fórmula del teorema 1, que será útil sólo
en caso de demostraciones
b). Calcular P(20, 4) = 20x19x18x17 = 116 280, por la misma razón expuesta en
a).
e). Calcular (20
) = 20191817
= 4845 se ha aplicado, la primera igualdad del 4 4!
teorema 1.1.1.(ii).
Eje,mplo 1.1.6. Demostrar que (~) = (n ~ k)
13
Demostración. De acuerdo al teorema 1.1.1, segunda igualdad de (ii) se tiene
(n) n! n! ( n ) k =(n-k)!k!=[n-(n-k)]!(n-k)!= n-k
Nota. De acuerdo al ejemplo 1.1.4 y tomando en cuenta la nota 3 de 1.1.1.se
. (2o) (20) (so) (so) (12) (12) , t1ene 3
= 17
, 2
= 48
, S = 7
etc, pero para los calcules
elegiríamos el primer miembro de cada igualdad, pues conviene tomar el
mínimo número de factores para el numerador, por ejemplo en la primera
igualdad, sólo hay que tomar tres factores y dividirlo por 3!, mientras que en el
segundo miembro, habría que tomar 17 factores y dividirlo por 17!
1.1.5. Permutaciones circulares
1
Hallemos todas las permutaciones de tres elementos {a, b, e}:
abe, acb, bac, bca, cab, cba. En total son 3! = 6 permutaciones. Coloquémoslas
en círculo, empezando en la parte superior, manteniendo el orden dado, y
consideremos ahora, sólo el orden entre sus letras (entre sí), empezando por la
letra a.
a 2 3 b 4 b S 6 e a e
aÜb eQb bQc cQa aQc bOa La primera, cuarta y quinta permutaciones son la misma, en ellas "a tiene a su
derecha a e y a su izquierda a b" mientras que en las demás "a tiene a su
derecha a by a su izquierda a é'; esto es, hay (3-1)! = 2! =2 permutaciones a las
que llamamos permutaciones circulares. Para distinguirlas de las permutaciones
no circulares (lineales), recurriremos a las rotaciones, ya que una rotación no
14
cambia el orden de los elementos y como hay n rotaciones, de modo si tenemos
n elementos en permutaciones lineales hay n! de éstas, mientras que sólo n! = n
(n - 1)! permutaciones circulares.
Ejemplo 1.1.7. a).Seis niños juegan una ronda en el patio del colegio. ¿De cuántas
maneras pueden hacerlo?. Respuesta: de (6-1)! =S!= 120 maneras.
b). Diez parejas de esposos bailan una yunza, (baile carnavalesco, . giran
intercalados hombre y mujer, tomados de la mano, alrededor de un árbol). ¿De
cuántas maneras pueden hacerlo? ¿y si fueran n parejas?
Solución. Tomemos los varones. Las formas que pueden aparecer en
permutaciones circulares son: (10-1)! maneras. Por cada una de las cuales las
mujeres se pueden intercalar de 10! maneras. Por tanto hay 9!·10!
permutaciones circulares posibles. Para n parejas el número de permutaciones
circulares sería: (n-1)!·n! Podemos confirmarlo con n=3 parejas: tomemos a los
tres varones: 1, 2, 3, las formas en que pueden aparecer en permutaciones
circulares es de (3-1)! = 2 maneras, en cada una de ellas se puede intercalar
tres mujeres, digamos a, b, e, de 3! = 6 maneras, haciendo un total de 2x6 = 12
permutaciones circulares:
15
Permutaciones cir- Permutaciones circulares de las seis personas: 3 varones y
culares de varones 3 mujeres
1 1 1 co bOc ·o 1 3 2 3 2 3 2
302 b a e
1 1 1
e o· bo 3·o 3 2 3 2
b a e 2
1 1 1
o bOc 2ob 1 2 3 2 3
203 b a
: 1 1 1 bo o 2·o 2 3 2 3
3
e
3
e a b
1.1.6. Particiones
Estamos ante conjuntos finitos, sin embargo las particiones son aplicables a
conjuntos infinitos numerables o no. Por ejemplo una partición de los reales
puede consistir en el conjunto de reales negativos, el conjunto unitario que
contiene al cero y los reales positivos. En este caso la partición de ~ es el
16
conjunto {<-oo, 0>, {Ot <0, oo>}; nótese que ninguna parte es vacía, la
intersección de dos cualesquiera de las partes es vacía y la unión de todas las
partes es todo el conjunto, es decir los reales. Daremos otro ejemplo: sea el
conjunto E, de cartas de una baraja de 52. Una partición de E en cuatro partes
de 13 cartas cada una podría consistir en: {Al, A2, A3, A4} con Al "oros", A2
"espadas", A3 "corazones" y A4 "flores", Otra partición de E en cuatro partes de
13 cartas cada una, Podría ser {Bl, B2, B3, B4}, con B1: los "oros" B2: "espadas",
B3 "los corazones del1 al 12 y el 13 de flores" y B4: "las flores del 1 al12 y el13
de corazones". Nuestro objetivo es saber cuántas particiones de E, en cuatro
partes de modo que cada parte tenga 13 cartas hay. Ese número se denota
P(52; 13, 13, 13, 13) Por ahora bastará con decir al estudiante que hay más de
5xl028 de tales particiones y sólo hemos mencionado a dos de ellas. Observe
que 13+13+13+13 = 52. Luego el número de particiones de un mazo de 52
cartas en tres partes de 32, 12 y 8 cartas respectivamente, se denotará P(S2;
32, 12, 8). Se sabe que hay más de de 1019 de tales particiones. Una de las
cuales es {Cl, C2, C3} con Cl: cartas numeradas del 1 al 8, C2: cartas numerada
del 9 alll, y C3 el resto de cartas. Nótese que si intercambiamos dos cartas de
una misma parte la partición no cambia, en cambio, si intercambiamos una
carta de C1 con una de C2 la partición es diferente, manteniéndose, la misma
cantidad de elementos en cada parte.
Definición 1.1.3. Una partición de un conjunto E de n elementos, en k partes
(2:5;k<n) es una clase (conjunto, cuyos elementos son conjuntos) de
subconjuntos Ai de E: {Al, A2, ... Ak}, de modo que se cumplan las tres
propiedades siguientes:
(i) Ai =i= cJ), 'v'i, i=l, 2, ... , k
(ii) AinAj = <P, 'v'i=t=j, i, j en {1, 2, ... , k}
17
Definición 1.1.4. El número de particiones de un conjunto de n elementos en k
partes de n1, n2, ... , nk elementos respectivamente, se denota P(n; n1, n2, ... , m)
donde n1 + n2 + ... + nk = n
1.1.7. Permutaciones con elementos repetidos o indistinguibles
Tenemos en un estante una fila de los siguientes libros nuevos: 4 libros de
Química Inorgánica nuevos, a continuación S libros de Física idénticos y al final 7
libros de Ecología, también indistinguibles entre sí. Buscaremos una fórmula
que nos dé las permutaciones diferentes que se pueden formar considerando a
todos los libros a la vez. Si el orden que aparecen todos es el narrado, entonces
al intercambiar dos libros de Química Inorgánica, la permutación no cambia, no
hay manera de distinguirlp, sin tocarlos se entiende; en cambio al intercambiar
un libro de Física con uno de Ecología sí, se produce una nueva permutación.
¿cuántas permutaciones se pueden hallar con los libros mencionados? La
respuesta es P(16; 4, S, 7)
La similitud con las particiones de un conjunto de 16 elementos en tres partes
de 4, S y 7 elementos respectivamente se da, puesto que al intercambiar dos
elementos del conjunto de 4, no se produce una nueva partición, en cambio al
cambiar uno de los de 4 con uno de los de S se obtendría una nueva partición. Si
en general se tiene n elementos de un conjunto, de los cuales n1 elementos son
idénticos entre sí pero diferentes a todos los demás, n2 lo mismo, indistinguibles
entre sí pero diferentes a todos los demás, y continuamos hasta nk igualmente,
idénticos entre sí pero distintos de todos los demás, entonces siempre que nl +
n2+ ... +nk = n se tiene que ~1 número de permutaciones diferentes de los n
elementos es: P(n; nl, n2, ... , nk)
18
Teorema 1.1.2. Si n1 + n 2 + · .. + nk = n, entonces
Demostración:
Partimos de la igualdad
A partir de esta igualdad multiplicaremos por el mismo número a ambos
miembros. En efecto, supongamos que los primeros n1 elementos fueran
distintos, habría n1! Permutaciones más, multiplicando ambos miembros por
nl! Sería:
En la misma forma si las n2 siguientes fueran diferentes multiplicando por el
factorial de este número a ambos miembros se tendría
Se llegaría a la siguiente situación
Hasta aquí todavía los nk últimos son indistinguibles, si fueran diferentes al
multiplicar ambos miembros por nk! en el primer miembro todos (los n) serían
diferentes, por lo que se convertiría en P(n, n) = n! obteniéndose
19
De donde
cqd.
Ejemplo 1.1.8. El esquema siguiente, representa las calles de una ciudad, en el que
se ha marcado un camino para ir de la esquina A hacia la esquina B. ¿Cuántos
caminos hay de A hasta B, si en cada esquina, sólo se puede avanzar hacia la
derecha o hacia arriba?
Solución. El camino marcado, puede
denotarse como: (H, H, V, H, H, V, V, H, H,
H, H, V, V, H, H, H, V, V, H); con H una calle
horizontal y V una calle vertical. Por tanto
el número de caminos es P{19; 12, 7), porque hay 12 calles horizontales y 7
verticales, ese número es 50 388
Ejemplo 1.1.9. 25 técnicos son evaluados por una empresa, para seleccionar a
12 de ellos, y luego ser distribuidos al azar en tres secciones de cuatro
trabajadores cada una.
a). Muestre un resultado posible.
b). ¿Cuál es el número de resultados posibles?
Solución.
20
a). Sean {tl, t2, ... , t25} los 25 técnicos postulantes. Entonces un resultado
posible es: {{tl, t2, t3, t4}, {t5, t6, t7, t8}, {t9, tlO, t11, t12}}. Está implícito, en
este resultado que los 12 seleccionados son {tl, t2, ... , t12}
b). 12 de un total de 25 se pueden seleccionar de (i~) maneras, y a
continuación, los 12 seleccionados se pueden distribuir en tres grupos de cuatro
trabajadores cada uno, de P(12; 4, 4, 4) maneras. Luego aplicando el P.F. hay
(i~) P(12; 4, 4, 4) = 180 190 395x1011 resultados posibles.
Ejercicios 1.1
l. El conjunto A tiene n elementos, y el conjunto B, m elementos. Si extraemos tres
elementos de A y 4 elementos ordenados de B, (a) ¿cuántos resultados posibles
hay? (b) un elemento fijo de A y dos de B, también fijos), deben estar entre los
seleccionados ¿cuántos reesultados posibles hay?
(n) cn-1) cn-1) 2.- Demostrar k = k-1 + k
3.- Demostrar por inducción el teorema del binomio (a+ b)n = L~=oG) an-kbk
4.- Demostrar
e). P(n; nv n2 ) = (:J = (~) siempre que n1 + n2 = n
d). (n) = k+1 ( n ) k n-k k+ 1
e). (n) = n+1-k (n + 1) k n+l k
21
f). Demostrar que L~=O (~) = zn
g). Demostrar que Ynez+: nzn-l = L~=O k(~)
S. Se va a elegir al azar k de las permutaciones de j elementos de un conjunto de n
elementos (n, k, j) convenientes. ¿Cuántos resultados posibles hay? si la
obtención de las permutaciones se realizan (a) con reposición. (b) sin
reposición.
6. De un conjunto de 40 niños de un aula, se eligen al azar seis niños y se disponen a
jugar a la ronda. (a) Si observamos el orden entre ellos ¿cuántos resultados
posible hay? (b) si escogemos al azar un niño y a partir de él anotamos los
nombre de los seis ¿cuántos resultados posibles hay?
7. Se eligen al azar cuatro elementos sucesivos sin reposición, un elemento por vez
del conjunto de combinaciones de 3 elementos de un conjunto de n elementos
¿cuántos resultados posibles hay? Solución ( q)) 8. Una bolsa contiene tres bolas blancas, cuatro rojas y cinco negras; idénticas entre
sí salvo el color. Se extraen de una en una sin reposición todas las bolas y se
anotas su color. Hallar el número de resultados posibles. Solución P(12; 3, 4, S)
9. En un plano se dibujan ocho puntos, de manera que ninguna terna de puntos esté
en línea recta. ¿cuántos triángulos pueden trazarse de modo que sus vértices
deben ser tres de los ocho puntos? (~)
10. Se desea ubicar a 30 pasajeros en un ómnibus que posee 49 asientos: cinco
asientos al fondo, sin ventanillas a los costado y dos columnas de asientos
22
dobles con pasillo al medio. ¿De cuántas formas puede hacerse? si, (a) no hay
condición alguna, (b) deciden no ocupar los cinco últimos asientos, (e) hay diez
personas que por razone de salud deben ocupar los asientos que poseen
ventanilla, (d) entre los viajeros hay cinco jóvenes amigos que deciden viajar en
los asientos del final, (e) hay diez matrimonios que no pueden viajar separados
ni al final del ómnibus.
Solución (i) Si interesa sólo qué asientos quedan ocupados y cuáles libres:
(a)(~~) (d) (~~)
Solución (ii) Si interesa conocer qué pasajero ocupa un asiento determinado
(a) P( 49, 30) (b)P( 44, 30) (c)P(22, 10)P(39,20) (d)P(S, S)P(44,25)
(e) (i~) 210 P(27,10)
23
CAPÍTULO 11:
PROBABILIDAD
2.1. Probabilidad clásica
Introducción.- Hablar de probabilidad involucra varios conceptos; llustrémoslos
con unos ejemplos, para luego definirlos
En primer lugar hablamos de experimentos aleatorios, distinguiéndolos de los
experimentos determinísticos: físicos o químicos. Si se realiza un experimento
determinístico, hay un único resultado posible, bajo las condiciones dadas. En
tanto un experimento aleatorio, sólo podemos decir que ocurrirá dentro de un
conjunto de resultados posibles a los que llamaremos espacio muestra!. Por
ejemplo cuando lanzamos un dado, sólo sabemos que saldrá uno de los
resultados elementales posibles que están en el espacio muestra! {1, 2, 3, 4, 5,
6} podemos decir que la aparición de cada uno de éstos resultados elementales
tiene probabilidad de 1/6, siempre que el dado sea legal. Además podemos
decir que la probabilidad de la aparición del suceso "par" o {2, 4, 6}, al lanzar un
dado, o es 3/6. Donde 3 es el número de casos favorables al suceso "par" y 6 es
el número de casos posibles.
En consecuencia tomaremos en cuenta, como conocidos, los experimentos
aleatorios, los espacios muestrales correspondientes a un experimento
aleatorio, los sucesos elementales, o conjuntos unitarios de un espacio
muestra!, los sucesos o eventos que son subconjuntos de un espacio muestra! y
los casos favorables a un suceso aleatorio.
24
Definición.2.1.1. (Definición Clásica o de Laplace)
La probabilidad de un suceso, es el cociente entre el número de casos
favorables al suceso, entre el número de casos posibles; siempre que nada haga
notar la preferencia de un suceso elemental frente a otro.
Nota Supongamos que en un dado se alarga las cuatro aristas verticales en un
milímetro y las otras no, (el dado ya no sería legal) y que los números 1 y 6
ocupan la cara superior e inferior respectivamente; entonces las caras
numeradas son las mismas es decir el conjunto de resultados posibles es
también {1, 2, 3, 4, S, 6} pero algo nos indica que las caras verticales numeradas
2, 3, 4, S, van a salir con mayor frecuencia mostrando sus número en la cara
superior. Por tanto aquí no es aplicable la definición clásica. Hay otra forma de
calcular la probabilidad de este tipo de eventos. Lo veremos más adelante.
Ejemplo 2.1.1: Un salón de clases tiene 40 alumnos de los cuales lS son damas. Se
elige al azar un comité de tres varones y dos damas.
a) muestre un resultado posible del experimento aleatorio.
b) Halle el número de elementos del espacio muestra!
e) Halle la probabilidad de que María (una de las damas del salón) esté en el
comité
d) Halle la probabilidad de que María y Pedro (uno de los 2S varones) no estén
entre los elegidos.
Soluciones:
25
a).- Sea el conjunto de varones V = {v1, v2, v3, ... , v25} y D = {d1, d2, ... , d15} el
conjunto de damas. Entonces un resultado posible es {{v5, v10, v2}, {d8, d12}}.
b).- Tres varones de un total de 25 se puede elegir de (235) maneras, y dos
damas de un total de 15 se puede elegir de (~5) maneras. Luego aplicando el
principio fundamental, 3 varones y dos damas, se puede hallar de e:) (125) =
241 500 maneras.
e).- Si María está en el comité sólo queda elegir una de las damas restantes, lo
que puede hacerse de (\4
)maneras. La probabilidad pedida es (casos
favorables/casos posibles)=
Obsérvese, que los casos favorables para que María esté en el comité son dos,
de los 15 posibles.
d).- Sea A, el suceso: "Pedro y María están en el comité" se hallará: 1-P(A). En
efecto la probabilidad de que Pedro y Maria estén en el comité es¡~:¡¡~¡~ ::s 1 b b'l'd d , 1 . , 1 46 79
por tanto a pro a 1 1 a que no esten en e com1te es -125
= 125
Ejemplo 2.1.2 En el esquema de "calles de una ciudad", si se elige un camino al
, azar, para ir de A hasta 8, tomando en cada esquina, una dirección al azar bien
hacia la derecha o hacia arriba, hállese la probabilidad de
26
a). pasar por la esquina C.
b). pasar por las calles CD
Solución:
a). Casos favorables: P(7; 4, 3)·P(12; 8, 4). Casos
Probabilidad buscada: 0.3438
b). Casos favorables: P(7; 4, 3)·P(8; 4, 4). Casos
Probabilidad buscada: 0.0486
2.2. Probabilidad Axiomática
2.2.1. Álgebra de Borel
posibles P(19, 12, 7).
posibles: P(19, 12, 7).
Definición 2.2.1 Sea B una clase de subconjuntos A¡ i = 1,2, ... k del universo E.
Entonces B se llama álgebra de Borel o a-álgebra si se cumplen las dos condiciones
siguientes:
r---.-------¡---,---r-------r---r---"T"---t--- B (b). Si A E B entonces A' E B. (A' es
1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1---"t"-----"t"--1---t---·---~---~--+--+-- --~ complemento de A) 1 1 ¡ 1 : 1 i : 1 1 1 : ¡---1---,---1---t---~---r---t-- , , , ...... , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
._ __ J---~---J ...... l .. --L---~--J.-- --1---1---¡---·j ! ! ! ! c.! ! : ! 1 1 1
: Consecuenc,·as·. :------...... --..... t>i---+---1----< 1 ! 1 ! ! 1 ! i 1 1 1 i r--,---1---1--- --r---t--T--,---1---1---t---·: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r--,--- : :---r--t--¡--¡--:---¡---¡---1 (e). E E B (el universo E pertenece a B)
A • ...... J ............ ! ....... !. ........ !.. ...... ~--.!. ...... .:.. .... J ...... .l ...... l ....... J :
(d). <t> E B (el conjunto vacío pertenece a B)
(e). Si A1, A2 E B entonces A1nA2 E B (la intersección de dos elementos de B, es
un elemento de B)
27
2.2.2. Experimentos aleatorios y espadas muestra les
1
Los experimentos físicos o químicqs son determinísticos, en el sentido que sus 1
resultados son predecibles sea en fbrma exacta o aproximada. Si a una masa de
10, se aplica una fuerza de SO dina~, el cuerpo experimenta una aceleración de
S, (o aproximadamente S). Los e~perimentos aleatorios en oposición a los
. f. ' . 1 d 'bl . expenmentos ISicos o qwm1cos ~o son pre ec1 es, ocurren en un espacio
amplio de resultados posibles a los bue llamamos espacio muestra/
Ejemplo.2.2.1: el espacio muestra! que corresponde al experimento aleatorio de
lanzar una moneda cuatro veces es
E={cccc, cccs, cese, cscc, sccc, ccss, eses, cssc, sccs, scsc, sscc, sssc, sscs, scss,
csss, ssss}
Nótese que hay 16 resultados posibles y que cada resultado es una 4-upla, es
decir cccc = (e, e, e, e)
Observación.- Se considera el concepto de experimento aleatorio como un
concepto primitivo, un resultado de este tipo de experimentos, es un elemento
impredecible dentro de un conjunto finito o no. El experimento es
generalmente realizado en condiciones ideales.
Ejemplo 2.2.2
a. El espacio muestra! correspondiente al experimento aleatorio: lanzar una
moneda y observar el resultado es E= {e, s} "cara y sello"
b. El espacio muestra! correspondiente al experimento aleatorio: lanzar una
moneda y asignar el número cero si sale sello y 1 si sale cara es {O, 1}
28
c. El espacio muestra! correspondiente a lanzar un dado dos veces y observar
los números que salen es E = {(i, j)/ i, j = 1, 2, 3 ... 6}, o también ElxEl si El =
{1, 2 , ... ,6} es el espacio muestra! que corresponde al experimento de lanzar
un dado una vez
d. El espacio muestra! correspondiente a lanzar un dado dos veces y calcular el
valor absoluto de la diferencia de los números que salen es E = { 1 i-j l, i, j = 1,
2, ... 6} o también {O, 1, 2, ... ,5}
e. El espacio muestra! correspondiente a lanzar un dado dos veces y sumar los
números que salen es {2, 3, 4, ... , 12}
f. Tres damas eligen al azar y en forma independiente uno de los dos
mercados de la ciudad. El espacio muestra! correspondiente sería:
{(dl, ml), (dl, m2), (d2, ml), (d2, m2), (d3, ml), (d3, m2)
Se puede presentar como el producto cartesiano:
DxM, con D = {dl, d2, d3} "damas" y M= {ml, m2} "mercados"
g. Se elige al azar un punto de coordenadas (x, y) del rectángulo [O, 3]x[O, 4]. El
espacio muestra! correspondiente sería, el rectángulo [O, 3]x[O, 4]
3. El espacio muestra! correspondiente a lanzar un dado hasta que salga ell es
E = {1, 01, 001, 0001, 00001, ... } donde O significa no sale el 1, en el lanzamiento
que corresponde a su posición. Como vemos este es un espacio muestra!
infinito numerable.
4. Se observa el punto extremo del minutero de un reloj hasta que se para, el
espacio muestra! es la circunferencia que describe dicho punto.
Definición 2.2.2 Se llama suceso a todo elemento de un a-álgebra definido sobre un
espacio muestra! E
29
Obsérvese que con esta definición de suceso, las propiedades a) hasta e) de un
a-álgebra definido sobre un espacio muestra! E se interpretan respectivamente:
(a)' La unión de sucesos es un suceso.
(b)' El complemento de un suceso es un suceso.
(e)' El espacio muestra! es un suceso. (El suceso seguro)
(d)' El conjunto vacío es un suceso. (El suceso imposible)
(e)' La intersección de dos sucesos es un suceso.
2.2.3. Axiomas de la teoría de probabilidad
Sea A un suceso de un a-álgebra B definido en un espacio muestra! E. Se llama
probabilidad de A al número real P(A) que verifica los tres axiomas siguientes:
Ax.l). P(A) ~O
Ax.2). Si A1, Az,... son incompatibles (esto es, cada dos de ellos tienen
intersección vacía) entonces:
P(A1UAzU ... ) = P(A1) +P (Az) + ...
Ax.3). P(E) = 1.
2.2.4. Teoremas sobre probabilidad
Teorema 2.2.1: P(CIJ) =O
Demostración
(1). EU<P =E Conjuntos
30
(2). P(EUCD) = P(E)
(3). P(E)+P(CD) = 1
(4). P(CD) =O
c.q.d.
(1)
(2), Ax.2, Ax.3
(3), reales.
Teorema 2.2.2: P(A) = 1 - P(A ') (O equivalentemente: P(A ') = 1 - P(A))
Demostración:
c.q.d.
(1). AUA' =E
(2). P(AUA') = P(E)
(3). P(A)+P(A') = 1
(4). P(A') = 1- P(A)
Teorema 2.2.3: A e B r- P(A) :5': P(B)
Demostración:
Conjuntos
(1)
(2L Ax.2, Ax.3
(3), reales
(1). AU(B- A) = B Conjuntos: si AcB entonces AU(B-A) = B.
(2). AU(BnA') = B (1L conjuntos
(3). P(AU(BnA')) = P(B) (2)
(4). P(A) + P(BnA') = P(B) (3), Ax.2
(5). P(A):::; P(B) (4L Ax.1 cqd.
31
Teorema 2.2.4: O~ P(A} ~ 1
Demostración
Ax.1
Conjuntos
(1). O::;; P(A)
(2). AcE
(3). P(A) ::;; 1 (2), Teorema 3, Ax.3
(4). O~ P(A) ~ 1 (1), (3)
c.q.d.
Teorema 2.2.5: P(AUB} = P(A} + P(B} - P(AuB}
Demostración
(1). AUB = (AnB') U (AnB) U (A'nB) Conjuntos
(2). P(AUB) = P(AnB') + P(AnB) + P(A'nB) (1), Ax.2
(3). B = (AnB)U(BnA')
(4). P(B) = P(AnB) + P(BnA')
(5). A= (AnB') U (AnB)
(6). P(A) = P(An B') + P(An B)
(7). P(AUB) = P(A) + P(B)- P(AnB)
c.q.d.
Conjuntos
(3), Ax.2
Conjuntos
(S), Ax.2
(2), (4), (6)
32
Generalizando el teorema S, se demuestra por inducción el siguiente, ver
ejercicio ***
Teorema 2.2.6
P (CJ A,) = f P(A¡) - .L P(A, n AJ t=1 t=1 {t,J}Epl
+ L P(Ai nAj nAk)- ... + (-l)n-1P(A1 nA2 n ... nAn)
{i,j,k}Ep2
Donde los Pi• i = 2, 3 ... n- 1, son las combinaciones de 2, 3, ... , n-1 elementos
de {1, 2, ... , n}.
Ejercicios 2.1
1. Suponer que el conjunto B, de subconjuntos A¡ de un conjunto E satisfacen las
dos condiciones siguientes:
a) Si los A¡ pertenecen a B, entonces U(A¡) "unión de los .. " pertenece a B
b) Si A E B, entonces A' E B. (A' es el complemento de A). Demostrar que:
i) E E B, ii) CD E B, iii) A1, Az E B 1-- A1nAz E B
2. Sea E el espacio muestra! que corresponde al experimento aleatorio de lanzar
un dado ¿Cuántos sucesos tiene el a-álgebra B definido en E? Determine B.
3. Se lanza un tetraedro cuyas caras están numeradas del 1 al 4 y se anota el
número de la base. Determinar a) el espacio muestra! b) el a-álgebra definido
sobre dicho espacio muestra! e) dos sucesos compatibles y d) dos sucesos
incompatibles.
33
4 Demuestre que:
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)- [P(AnB)+P(AnC)+P(BnC)] + P(AnBnC)
S. Demostrar el teorema 2.2.6
6. Construir los espacios muestrales que corresponden a los siguientes
experimentos aleatorios:
a) Se lanza una moneda tres veces.
b) Se lanza tres monedas y se cuenta el número de caras
e) Se lanza un dado dos veces y se anota los números de sus caras superiores
d) Se lanza un dado dos veces y se suman los números obtenidos
e) Se sacan de una urna, una a una, n bolillas numeradas de 1 a n.
f) Se escoge al azar un punto del intervalo [1,5].
g) Se lanza una moneda hasta obtener cara.
h) Se lanza una moneda de radio r al fondo de un cilindro de radio R (r < R), se
observa la posición del centro de la moneda.
i) Se observa el punto extremo del minutero de un reloj hasta que se para.
j) Dos atletas corren 100 m. se observa el tiempo de llegada del primero.
k) Id. al anterior y se observa los dos tiempos de llegada.
1) Se saca una bola de una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del1 al lO.
34
m) Se sacan 2 bolas, con reemplazo, de una bolsa que tiene 10 bolas numeradas
del1 al10.
n) Id. a k pero sin reemplazo.
7. Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 rojas, idénticas en todo salvo en color.
Definir los siguientes sucesos como subconjuntos. A: se saca una bola blanca,
B: se saca una bola roja.
8. Los objetos producidos en una fábrica se marcan como defectuosos (D) o
buenos (B). Se observa un objeto por vez y se anota su clase. El experimento
continúa hasta que se encuentren dos defectuosos o hasta que hayan sido clasi
ficados cuatro objetos. Enumerar el espacio muestra! correspondiente.
9. En una carrera participan 8 caballos, numerados del 1 al 8, se otorgan premios
para los 3 primeros lugares. Determinar el espacio muestra! correspondiente.
Definir los siguientes sucesos como sub-conjuntos y calcular sus
probabilidades; A: el caballo 8 gana, B: el caballo 8 obtiene premio y C: el
caballo 8 no llega en ninguno de los 3 primeros lugares.
10 Consideremos cuatro objetos a, b, e, d. Suponiendo que el orden de estos
objetos determina los resultados de un experimento, definir los eventos: A: "a
está en la primera posición". B: "b está en la segunda posición". Enumerar los
elementos de A, B, AnB, A', A-B, AUB.
11. En un depósito existen objetos que pesan 5, 10, 15 y 50 kg. Supongamos que
existen por lo menos dos objetos de cada .peso. Se eligen dos objetos al azar,
llamemos x al peso del primer objeto e y al del segundo. Así (x, y) representa un
resultado simple del experimento. Representar gráficamente los siguientes
sucesos:
35
A ~ { (x, y) / X = y }
B = {(x, y) / X > y }
C: el segundo objeto es dos veces más pesado que el primero.
D: el primer objeto pesa 10 kg menos que el segundo.
E: el peso promedio de los dos es menor que 30 kg.
12 Supóngase que A y B son sucesos para los cuales P(A)=x, P(B)= y, y P(AnB) = z.
Expresar cada una de las siguientes probabilidades en términos de x,y,z:
a) P(A'U B') b) P(A'n B) e) P(A'U B) d) P(A'n B')
13 Se saca una carta al azar de una baraja de 52 cartas. ¿Qué probabilidad hay?
que a) sea roja b) sea una espada e) sea un as d) sea el as de oros e) que no sea
corazón f) que sea un as o un rey g) sea una espada y mayor que 6 h) no sea
espada ni menor que 8
14 Se mezclan 8 pares diferentes de calzados negros. Se escoge un par al azar,
¿cuál es la probabilidad que correspondan al mismo par?
15 Se tiene una baraja de 52 cartas donde hay 4 ases. Se reparten a 4 personas por
igual ¿qué probabilidad hay que a c/u le toque un as?
16 N personas se sientan al azar en una fila; lcuál es la probabilidad de que 3 de
ellas determinadas, estén juntas?
17. ¿cuántas cantidades diferentes de dinero se pueden formar con 6 monedas de
valores distintos? ¿y con n monedas?
'"
36
18 Una clase consta de 18 varones y 24 mujeres si la mitad de los varones y la
tercera parte de las mujeres repiten el curso ¿cuál es la probabilidad de que una
persona escogida al azar sea mujer o repita el curso?
19 De 9 números negativos y 7 positivos se eligen 3 números al azar y se
multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número
positivo?
20 Se va a seleccionar un comité de 4 personas a partir de un grupo de 7 personas
2 de las cuales son enamorados. ¿cuál es la probabilidad? de que a) los
enamorados estén en el comité b) esté uno pero no el otro enamorado e) no
esté ninguno de los enamorados
21 Al Director de Investigaciones se le aprobó un presupuesto para 4
investigaciones a realizarse con 3 investigadores c/u. Si hay 20 investigadores y
deben ser elegidos al azar a) ¿qué probabilidad hay que uno de ellos,
determinado, realice una investigación? b) ¿cuál es la probabilidad que dos
amigos que desean trabajar juntos lleguen a hacerlo?
22 Se extrae al azar cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de
obtener: a) al menos dos ases. b) póquer (cuatro cartas iguales y otra
cualquiera) e) full (tres cartas del mismo número y las otras dos lo mismo) d)
dos pares (dos cartas del mismo número otras dos también pero diferentes a
las anteriores y la última diferente a las anteriores).
23 Se ordenan al azar las siguientes letras a, a, b, e, d, e. ¿cuál es la probabilidad de
que aparezcan las dos a juntas? Rsp. 5!/P(6;2,1,1,1,1)
37
24 En una urna se tienen 4 bolas azules, 5 blancas, 3 carmines y 6 doradas, todas
del mismo tamaño; se sacan al azar 5, hallar la probabilidad del suceso "sale
una azul, una blanca, una carmín, y dos doradas. Rsp. 4·5·3·C(6,2)/C(18,5)
25 En el siguiente circuito, la probabilidad del paso de corriente por cada relé es p.
Y cada relé funciona independientemente de cualquier otro. Hallar la
probabilidad del paso de corriente de A a B:
2.3. Probabilidad Condicional
Introducción
Se entiende por condición B, a un suceso B, del espacio muestra! E, de modo
que Be E. La palabra condición o condicional se usará en el sentido que no es lo
mismo el "suceso A" que "suceso A condicionado a 8" aquí condicionado a B
significa sabiendo que ha ocurrido B. Así por ejemplo la probabilidad de "par"
condicionado a "mayor que 3", cuando se lanza un dado, es 2/3, pues si ya salió
mayor que 3, el espacio muestra! es { 4, 5, 6}, de los que los casos favorables son
{4, 6}.
Definición 2.3.1:
(i) P(A/B) se lee "probabilidad del suceso A, dado B".
(ii) P(A/B) significa la probabilidad condicional del suceso A, sabiendo que
ha ocurrido B
38
(iii) P(A/B) = P(AnB)/P(BL P(B) *O
Observación 1: Hallar la probabilidad de un suceso sabiendo que ha ocurrido B,
significa haber reducido el espacio muestra! original, siendo el nuevo espacio
muestra! B, es decir los casos posibles no pueden ser distintos a los que ya
ocurrieron.
Observación 2: Se demuestra que esta definición es compatible con los tres
axiomas de probabilidad; es decir, se demuestra que:
1) P(A/B) ~O
2) P(A¡UA2U .. .jB) = r P(A/B); siempre que los A¡ son incompatibles i=1,2,3 ...
3) P(E/B) = 1.
Ejemplo.2.3.1
Se sabe que al lanzar dos dados uno de ellos sale par y el otro impar. Se desea
hallar la probabilidad
a) de que la suma sea siete.
Solución: casos favorables 1 casos posibles= 6/18 = 1/3
b) de que el producto sea 4.
Solución: casos favorables 1 casos posibles= 2/18 = 1/9
e) de que la suma sea par: 0/18 =O.
39
2.3.2. Independencia
lntroducción_La idea de independencia de sucesos, supone que la ocurrencia
de uno no afecta la del otro, pero esta es una idea muy vaga, veamos un
ejemplo: Supongamos que al lanzar un dado en el primer tiro sale A = "par"
¿afectará este resultado a la probabilidad de obtener B::; "mayor que 4", en el
lanzamiento siguiente?, indudablemente que no; por lo que decimos que el
suceso B es independiente de A. Precisémoslo: si P(B) es la misma, haya o no
ocurrido A, o sea P(B/A) = P(B) se dirá que Bes independiente de A.
Definición.2.3.2- El suceso A es independiente del suceso B si P(A/B) = P(A).
Se demuestra la equivalencia de las proposiciones siguientes:
(a) A es independiente de B
(b) P(AnB) = P(A)P(B)
(e) B es independiente de A
Como consecuencia de (a) y (e) se dirá que A y B son independientes si
cualquiera de las tres proposiciones dadas se cumple.
Ejemplos 2.3.2
1 Al lanzar dos dados ¿son o no independientes los sucesos "la suma es siete" y al
"menos uno es par"?
Sea A: "la suma es siete" y B: "al menos uno es par"
Se tiene: P(A) = 1/6 y P(A/B) = 6/27 = 2/9.
40
De acuerdo a la definición A y B no son independientes.
2 Se lanzan dos dados. Sean A: la suma no es siete, B: los números son diferentes
y C: el dado negro (el otro es blanco) es par. ¿Hay algún par de sucesos
independientes?
a) Analicemos A y B. P(A/B) = 24/30 = 4/5 P(A) = 30/36 = 5/6
Luego A y B no son independientes. (P(A/B -::f. P(A))
b) Analicemos A y C P(AnC) = 15/36 = 5/12
P(A) = 5/6
P(C) = 18/36 = 1/2
Como P(AnC)-::¡. P(A)P(C) A y e no son independientes.
e) Analicemos By C P(B/C) = 15/18 = 5/6
P (B) = 30/36 = 5/6
Luego By e son independientes. P(B/C) = P(B)
La generalización de la independencia de n sucesos, se da en la siguiente
Definición 2.3.3. n sucesos A1, A2, ... ,An son independientes si se cumple :
Por ejemplo, para demostrar que 4 sucesos:
independientes, hay que hacer 11 demostraciones:
41
(6 para k=2):
(4 para k=3):
(1 para k=4):
2.4.Fórmula de Bayes
a)
b)
Sea { A1, A2, ... ,An } una partición del espacio muestra! E. y sea B un suceso
cualquiera de E . Supongamos que se conocen las probabilidades P(Ar)
i=1,2, ... ,n y además las probabilidades condicionales P(B/A¡) i=1,2, ... ,n.
Entonces se verifica que :
(Fórmula de Probabilidad Total)
(Fórmula de Bayes)
Demostración:***
Ejemplo 2.4.1
Un artículo es elaborado por 4 fábricas, la primera de las cuales produce el
30%, la segunda el 40% la tercera el 15% y la cuarta el resto. Se sabe además
que los porcentajes de productos defectuosos de las mismas son 10, 10, 8 y 5 %
respectivamente. Si de la producción total se toma un artículo al azar, a) ¿cuál
es la probabilidad de que sea defectuoso? b) si resulta ser defectuoso ¿cuál es
la probabilidad de que provenga de la tercera máquina?
Solución Conviene adoptar el siguiente esquema donde A1, A2, A3 y A4
representan las producciones de las máquinas. D es el suceso "defectuoso":
P(A1) = 030 ........ P(D/A1) = 0.10
42
P(A2) = 0.40 ........ P(D/A2) = 0.10
P(A3) = 0.15 ........ P(D/A3) = 0.08
P(A4) = 0.15 ........ P(D/A4) = 0.05
a) Usamos la fórmula de probabilidad total y
P(B)= 1: P(A¡) P(B/A¡)
= (.30)(.10) + (.40)(.10) + (.15)(.08) + (.15)(.05)
= 0.0895
b) Se busca hallar P(A3/B) para lo cual usamos la fórmula de Bayes:
Ejercicios 2.2
1. Se sabe que de 300 artículos producidos por una fábrica semanalmente, el 4%
son defectuosos. Hallar la probabilidad de que al sacar dos artículos al azar,
resulten ambos defectuosos. (dos métodos: Probabilidad condicional e
hipergeométrica)
2. Demostrar por inducción que:
(Como caso particular para tres sucesos se tiene:
P(AnBnC) = P(A)P(B/A)P(C/AnB) y por la asociatividad de la intersección: =
P(A)P(C/A)P(B/AnC) = P(B)P(A/B)P(C/BnA) etc
43
3. Una bolsa contiene 2 bolas azules, 3 blancas y 4 carmines; se sacan una a una
sin reposición todas las bolas y se anota el color. Hallar la probabilidad de
obtener:
a) la primera azul, la segunda blanca y la tercera carmín
b) la primera azul, la segunda carmín y la tercera blanca
e) la primera blanca, la segunda azul y la tercera carmín
d) las tres de diferente color
e) las tres sean blancas
f) las tres sean carmines
g) una de ellas sea roja
(Sugerencia: a), b) y e) Probabilidad condicional d) Probabilidad clásica y
principio fundamental. etc)
4. Una bolsa tiene 4 bolas numeradas 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Se sacan dos
bolas sin reemplazo. Sea A el evento "que la suma sea S" y sea B¡ el suceso "que
la primera bola sacada tiene una i en ella" con i =1,2,3,4 a) Calcular P(A/B¡) i
=1,2,3,4 b) P(B¡fA), i =1,2,3,4
S. En el problema 1 se sacan las dos bolas con reemplazo. Se definen A y B¡ igual
que arriba y se pide calcular lo mismo.
6. Se lanza al aire 4 veces una moneda no cargada. ¿cuál es la probabilidad de que
la cuarta vez aparezca una cara, si salió cara en los tres primeros tiros?
44
7. La urna uno contiene 2 bolas rojas y 4 azules; la urna dos contiene 10 bolas
rojas y 2 azules. Si se escoge al azar una urna y se saca una bola de ésta, ¿cuál
es la probabilidad de que la bola seleccionada, a) sea azul? b) ¿sea roja?
8. Si en el problema 4, en vez de seleccionar al azar una urna, se tira un dado y se
selecciona una bola de la urna uno si aparece 1 en el dado, caso contrario se
elige una bola de la urna dos. ¿cuál es la probabilidad de que la bola
seleccionada a) sea azul? b) sea roja?
9. Suponer que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diagnóstico
del cáncer que tiene el 95% de exactitud tanto en los que tienen cáncer como
entre los que no lo tienen. Si 0.005 de la población realmente tiene cáncer,
calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga cáncer, si la
prueba dice que lo tiene.
10. En una escuela el 1% del estudiantado participa en un programa atlético
intercolegial; de este grupo 10% tiene un promedio de 3 á más (de entre 4L en
tanto que 20% del resto del estudiantado tiene un promedio de 3 ó más. a)
¿Qué proporción del resto del estudiantado tiene el nivel de tres o mayor? b) Si
se elige un estudiante al azar y se supone que tiene un nivel de 3.12 ¿cuál es la
probabilidad de que participe en el programa atlético intercolegial?
11. Dos proveedores, A y B, entregan las mismas piezas a un fabricante, quien
guarda todas las existencias de esta pieza en un mismo lugar. Los antecedentes
demuestran que el 5% de las piezas entregadas por A estaban defectuosas, y
que el 9% de las piezas entregadas por B también estaban defectuosas.
Además, A entrega 4 veces más piezas que B. Si se saca al azar una pieza y se
encuentra que no está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya
fabricado A?
45
12. Se tira una sola vez un par de dados, Si la suma de los dos es cuando menos
igual a 7, calcular la probabilidad de que sea igual a i para i =7, 8, 9, 10, 11, 12.
13. Si A1 y A2 son incompatibles probar que P(A1UA2/B) = P(A1/B) + P(A2/B).
14. Si A y B son eventos independientes, demostrar que también lo son: a) A' y B
b)AyB' c)A'yB'
15. Demostrar que P(AnBnC) = P(A)P(B/A)P(C/AnB)
16. De una batería de 3 cañones se hizo una descarga; dos proyectiles dieron en el
blanco. Hallar la probabilidad de que el primer cañón haya hecho impacto si las
probabilidades de impacto del 1ro. 2do. y 3ro. son respectivamente 0.4, 0.3,
0.5
17. Un informe de la unidad de traumatología del Hospital General proporcionó la
siguiente tabla: Si se selecciona un expediente al azar ¿cuál es la probabilidad de
que (a) sea del grupo de los operados? (b) sea del grupo de los accidentes
automovilísticos dado que su tratamiento fue con rayos X? (e) pertenezca a los
grupos de accidentes de trabajo o escolares, si se sabe que fue operado?
CAUSA-* Accidente Accidente Accidente otros Totales
,!.. TRATAMIENTO de trabajo Escolar automovilístico
Operación 50 15 25 10 100
Rayos X 35 12 18 8 73
Curación 8 6 15 2 31
Totales 93 33 58 20 204
46
18. Se tienen S cajas con 200 artículos cada una; en dos de ellas hay 10% de
artículos defectuosos en c/u., en otras dos hay 5% de artículos defectuosos en
c/u. y en la última hay 3% de defectuosos. ¿Qué es más probable: a) escoger al
azar una caja, sacar 2 artículos al azar y que ambos sean defectuosos o b)
reunir todos los artículos, sacar de la unión 2 artículos al azar y que ambos sean
defectuosos?
19. En un armario hay 3 fusiles. Se sabe que uno de ellos está cargado pero de los
otros dos no se sabe nada y por tanto toda suposición es igualmente probable.
Se toma un arma al azar y se presiona el gatillo. ¿cuál es la probabilidad de que
se efectúe el disparo?
20. Se tiene una bolsa con n bolas de las cuales se sabe que una es blanca. Los
colores de las demás son desconocidos y por tanto todas las suposiciones son
igualmente probables. Se introduce en ella una bola blanca y luego se saca al
azar una bola. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
47
CAPfTU LO 111
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
3.1. Variables aleatorias
Definición 3.1.1. Se llama variable aleatoria, (v.a) a toda función cuyo dominio es el
espacio muestra! E, que corresponde a un experimento aleatorio, y su rango
está en IRL Las variables aleatorias las denotaremos por las letras mayúsculas X,
Y, Z ... Brevemente la variable aleatoria X, se denota, como toda función real
X: E-+!R{
Ejemplo 3.1.1 Se lanza un dado normal, se define la variable aleatoria X:
X = {O si el resultado es par 1 si el resultado es impar
Nótese que el dominio de X es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Además X(1) = 1, X(2) = O,
X(3) = 1, ... X(6) =O. Nótese también que el rango de la v.a. X es Rx = {01 1}.
Ejemplo 3.1.2 Se lanza un dado dos veces, sea Y: la suma de los números de sus
caras superiores. Entonces el dominio de Y es el conjunto
Dy = E = {(i1 j); i 1 j = 11 21 ••• 1 6}.
Y(i1 j) = i + j.
Ry = {21 31 41 ••• 1 12}
48
Ejemplo 3.1.3. Se lanza un dado hasta que salga el 1, definimos Z: número de tiros.
Entonces el espacio muestra! es
E= {1, 11,111,1111, ... }
Donde por ejemplo 111 significa no sale el 1 en los dos primeros tiros pero sale
el 1 en el tercero. Entonces Z(111) = 3 (el número de tiros que corresponde a
111 es 3), etc. Luego el rango de la variable aleatoria Z es infinito numerable
Rz = {1, 2, 3, ... }
Nota. Las variables aleatorias cuyo rango es finito (ejemplos 3.1.1 y 3.1.2) o infinito
numerable (caso del ejemplo 3.1.3) se llaman variables aleatorias discretas; las
variables cuyo rango es infinito no numerable (un intervalo) se llamarán v.a.
continuas, en cuyo caso estarán definidas por funciones continuas que se
llamarán funciones de densidad. Es el caso de las variables, X: talla, Y: peso, Z:
edad, L: longitud, etc de ciertas poblaciones, que pueden tomar cualquier valor
dentro de un intervalo. Otro ejemplo de v.a. continua: "se observa el extremo
del minutero de un reloj hasta que se para". Entonces E es el conjunto de
puntos de la circunferencia que describe el punto mencionado. La v.a. U puede
ser "longitud del arco que describe el punto en un intervalo de tiempo"; la
variable aleatoria V puede ser "el ángulo central en radianes que describe el
extremo del minutero en un intervalo de tiempo". Entonces los rangos de las
variables aleatorias U y V son respectivamente Ru = [O, 2rrr] Rv = [0, 2rr].
Dejaremos el estudio de las v.a. continuas para el siguiente capítulo, ahora
pasamos a estudiar las v.a. discretas.
49
'-
3.2. Variables aleatorias discretas
Definición 3.2.1. Si el rango de una v.a. X es finito o infinito numerable la v.a. X se
llamará variable aleatoria discreta, se denotará Rx = {x1, X2, ... Xn} en el caso
finito, y Rx= {x1, x2, X3, ... } en el caso infinito numerable. A los elementos del
rango de una v.a. los llamaremos valores de la variable aleatoria.
3.2.1. Sucesos equivalentes
Como X es una función, todo conjunto B del rango de la variable aleatoria X
corresponderá a un conjunto único A del dominio de X, que llamaremos su
equivalente y puesto que AcE le corresponde una probabilidad, escribiremos A
- B lo que leeremos "A es equivalente a B" y definiremos P(B) = P(A). Nótese
que dado BcRx se está definiendo el suceso equivalente A= {eeDx =E/ X( e)
E B}
Ejemplo 3.2.1. Se lanza un dado, sea X definido:
X = {O si el resultado es > 4 1 si el resultado es :5 4
Entonces si B = {O}, el suceso equivalente es A= {S, 6} y (la probabilidad de cero)
p(O) = P{S, 6} = 2/6 = 1/3. En la misma forma si B = {1}, el suceso equivalente es
A= {1, 2, 3, 4}, en consecuencia p(l) = P{1, 2, 3, 4} = 4/6 = 2/3
Nota l. Supongamos que el elemento xi es un elemento del rango de la v.a. X, o sea
un valor de la variable aleatoria X, entonces B = {xi} cRx, por tanto existe
AcDx, tal que P(B) = P(A). Esta p(B) se denota usualmente p(xi) o P(X = xi) y
significa "probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi.
50
Nota 2. El estudiante habrá notado, que al definir sucesos equivalentes, en realidad
se ha definido un espacio muestra! Rx, que antes conocíamos definidos en el
espacio muestra! E. y que ahora gracias a la función (variable aleatoria X), se ha
transferido al rango de X. Por lo que indistintamente hablaremos de
probabilidad en eventos B de Rx y que para su cálculo nos referiremos al evento
A de E, (su equivalente), que le dio origen por la función X.
Ejemplo 3.2.2. Se lanza un dado dos veces, sea Y: valor absoluto de la diferencia de
los resultados. Entonces Ry = {O, 1, 2, 3, 4, S}. Si B = {0, S}, el evento equivalente
a Bes A= {(1, 1L (2, 2), (3, 3), (4, 4), (S, SL (6, 6), (1, 6), (6, 1)} por tanto P(B) =
P(A) = 8/32 = 1/4
Ejemplo 3.2.3. Se lanza dos dados, hasta que la suma de los números de sus caras
superiores, sea mayor que 10. Sea Z: "número de tiros". El rango de Z es Rz = {1,
2, 3, ... } Si B = "múltiplo de 3" entonces B = {3, 6, 9'" .. } entonces A= z-1 (3)U z-1 (6)
U z-1(9)U ... = {sss, ssssss, sssssssss, ... } donde s significa la suma no es
(15)
2 1 (15)
5 1 (15)
8 1 mayor que 10. Luego P(B) = P(A) =
16 16 +
16 16 +
16 16 +. · · =
(15)2 1 ( (15)3 (15)6 ) (15)
2 1 ( 1 ) 225
16 16 1 + 16 + 16 + ··· = 16 16 1-G~t = 721
3.2.2 Distribuciones discretas
Definición 3.2.2. Una distribución, o función de probabilidad, o función de cuantía,
es una función d = {(xi,p(xJ), xi E Rx}; donde el rango Rx es el rango de
una variable aleatoria discreta.
Nota.l. No debe confundirse distribución (que acabamos de definir) con función de
distribución que es un concepto diferente que definiremos pronto.
51
Nota 2 Las distribuciones discretas, usualmente se representan en un cuadro como
el siguiente donde p(xi) = P(X=x¡ ) representa la probabilidad de que la v.a. X
tome el valor Xi
xi X1 Xn
p(xi) . p(x1) p(xn)
Ejemplo 3.2.4_La distribución de la variable aleatoria X: número de caras, al lanzar
una moneda normal tres veces es
xi
P(xi)
Nótese, por ejemplo, que la probabilidad de que el número de caras sea 2, se
representa p(2), y es igual a 3/8, valor al que podemos llegar de dos maneras:
en primer lugar por aplicación de la definición clásica de probabilidad: la
probabilidad del suceso {ces, ese, scc} del espacio muestra!: E= {ccc, ces, ese, scc,
ssc, ses, css, sss}; (número de casos favorables: 3, entre número de casos
posibles:8). Y en segundo lugar, hay P(3; 2, 1) = 3 formas de aparecer dos caras y
un sello en tres lanzamientos de una moneda, en cada una de las cuales los
sucesos independientes cara y sello tienen probabilidad Yz , luego un caso
favorable tiene la probabilidad de ( Yz)3 y los tres casos favorables: 3/8. La
gráfica de p(x) del ejemplo 3.2.4, se presenta en la figura 1
¡a-:-;r--·-~·-··"-·~~··---··-···---···-··---"·~··· .. -····-·--·--¡ ¡Q3 1 ! 1 IQ2 1 ¡ 1
Figura 3.1
Gráfica de
¡o~ 1 ! ¡ 1 o ' 1' o 1 2 '3 ! ---·~--~~--~~~,-~,·~-~*""'~----~-·~--·"--·--.......------·--··-~~--~~-~---....1.
Xi o 1 2 3
p(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
52
Definición 3.2.3. Una distribución discreta donde p(x¡) = p(Xn-1+1), i = 1, 2, ... n se llama
simétrica. La distribución del ejemplo 2.2.1 es simétrica. Obsérvese que p(x1) =
p(O) = 1/8 = p(3)= p(X4), etc.
Ejemplo 3.2.5. Se lanza un dado dos veces. Sea Y: la suma menos el valor absoluto
de la diferencia, de los números que muestran sus caras superiores. Entonces la
distribución de Y es:
yi 2 4 6 8 10 12
P(yi) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36
Nótese por ejemplo, que la probabilidad, (5/36), de que el valor de la variable Y
sea 8, es la probabilidad del suceso {(4,4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (6, 4)}, pues en
cada uno de ellos la suma menos el valor absoluto de la diferencia es 8.
Ejemplo 3.2.6. La distribución de Z: número de tiros, cuando se lanza un dado hasta
que salga e11 es:
(5)k-1 ( 1) p(k) = 6 6 1 k = 1, 2, 3, ... (3.1)
Por ejemplo, la probabilidad de que el número de tiros sea 4, es decir p(4), es la
probabilidad de IIIl, o sea que no salga el1 en los tres primeros tiros y que
salga 1 en el cuarto tiro = (~) 3 G)
Las distribuciones discretas tiene la siguiente propiedad
(3.2)
Para las distribuciones de los ejemplos 3.2.3 y 3.2.4 dados, se puede verificar
esta propiedad directamente. Para demostrar esta propiedad en el ejemplo
3.2.6 hágase uso de la fórmula de las series geométricas:
53
(3.3)
Que aplicándose al ejemplo 3.2.5 con a = !. y q = ~se tiene 116
1 = 1
6 6 1-5 6
Para casos finitos de la serie geométrica conviene recordar la fórmula
1-qn "'n _ aqk-1 =a--"-'k-1 1-q
3.2.3. Función de distribución o distribución acumulativa
(3.4)
Definición.3.2.4. Se llama función de distribución, o distribución acumulativa de
una variable aleatoria X, a la función
F(x) = P(X s; x), xEim.
Nótese que el dominio de la función de distribución es todo el conjunto de
números reales
Si la distribución es discreta, la función de distribución es una función con
dominio partido. Si el rango de la variable aleatoria X es {x11 x 2 , ... , xn} el
dominio de la función de distribución tiene la siguiente partición de Im.: <
Ejemplo.3.2.6. La función de distribución que corresponde a la distribución del
ejemplo 3.2.4 anteriores:
F(x) =
o 1
1/8, 4/8, 7/8,
1,
si x E< -oo, O > si X E (0, 1 > si X E (1, 2 > si X E [2, 3 > si X E (3, oo >
Nótese que si x E [2, 3 >, por ejemplo x = 2,05 entonces:
54
F(2,05) = P(X:::;; 2,05) = p(O) + p(1) + p(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 y
esto ocurre para todo x del intervalo [2, 3>. La gráfica de la función F(x), del
ejemplo 3.2.6, la presentamos en la figura 3.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
o o 1 2 3
3.2.4. Propiedades de la función de distribución
4
Figura 3.2
Gráfica de la función de
distribución del ejemplo 3.2.6
1. La función de distribución es no decreciente (Si a<b entonces F(a) s F(b))
3. p(xD = F(xD- F(xí-1)
4. lim F(x) = O, y. lim F(x) = 1 x~-oo x~oo
Nota 1. La función de distribución es no decreciente, por la definición de función no
decreciente
Nota 2. Si Xí < Xj entonces
Luego, como en el primer miembro los conjuntos son disjuntos, su probabilidad es la
suma de las probabilidades respectivas, que viene a ser la probabilidad del segundo
miembro, de donde se obtiene la propiedad 2.
55
Nótese que la forma correcta de la gráfica de la distribución dada, contendría
sólo 4 puntos, pero en estadística, con el objeto de poner énfasis en las
dimensiones de las probabilidades se acostumbra hacerlo con líneas verticales
como lo hemos hecho.
-ª..2.5. Esperanza y varianza de una variable aleatoria con distribución discreta
Definición.3.2.4. Si X es una v.a.d. definimos
Esperanza, o valor esperado o valor medio de X, denotado E(X), es el número:
(3.5)
Nota. E(X) se suele denotar f.lx y cuando no hay lugar a confusión, simplemente f.1
ll1 Si H(X} es una función de la v.a.d. X, la esperanza de H{X) se define
(iii) Varianza o variancia de X, se define
V(X) = uj = E[(xi- f.1x) 2] (3.6)
Ejemplo.3.2.7. Si Y es la v.a.d con distribución:
yi 2 4 6 8 10 12
P(yi) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36
Entonces,
E(Y) = 2 G!) + 4 (;6) + 6 (;6) + 8 (;6) + 10 (:6) + 12 (316) = 138: = 5 118 = 5,0556
b. Si, H(Y) = 3Y + 1 entonces la esperanza de H(Y) es
56
.,
11 9 ·7 S E(H(Y)) = (3(2) + 1)
36 + (3(4) + 1)
36 + (3(6) + 1)
36 + (3(8) + 1)
36
3 1 S82 1 + (3(10) + 1) 36 + (3(12) + 1) 36 = 36 = 166 = 16,1667
c. La varianza de Y, es
2 _ [( S82)2
11] [( S82)2
9] [( S82)2
7] [( S82)2
S] E[(Y -lly) ] - 2 - 36 36 + 4 - 36 36 + 6 - 36 36 + 8 - 36 36
[( 582)
2 3 ] [( 582)
2 1] 37 + 10- 36 36 + 12- 36 36 = 131108 = 131,3426
Observaciones
1. Cuando la distribución es simétrica, (caso del ejemplo 2.2.1), la esperanza es
el valor medio de los valores xi, en este caso E(X) = 1,5; está al medio de los
valores O, 1, 2, 3. Motivo por el cual, la esperanza se llama también valor
medio de X, o media de X.
2. Nótese que en la parte b, del ejemplo 3.2.5, se ha demostrado que esperanza
de H(Y) = 16+ ~- Igual resultado se tiene si tomamos:
, E(3Y + 1) = 3E(Y) + 1 == 3 ( s1
1
8) + 1 = 16~
Pero esta es una propiedad que la enunciaremos y demostraremos como
teorema después de las presentes observaciones
3. Observe que la varianza de una variable aleatoria X se denota también aJ, y
cuando no hay lugar a confusión simplemente a 2, y es un valor medio; pero de
los cuadrados de las diferencias de los xi menos la esperanza, y como es una
media de cuadrados no puede ser negativa. La raíz cuadrada de la varianza se
llama desviación estándar de X, se denota ax, o simplemente a
57
4. Las unidades de la esperanza son las de la variable aleatoria: centímetros,
metros, kilos, litros etc. Mientras que las unidades de la varianza son unidades
cuadradas: centímetros cuadrados, metros cuadrados, kilogramos cuadrados,
litros· cuadrados etc. Y las unidades de la desviación estándar son nuevamente
las mismas que las de la esperanza.
Teorema.3.2.1_ (de la esperanza y varianza de una v.a.X, en realidad son siete
teoremas)
Si X es una v.a. (discreta o continua) y, a y b son constantes cualesquiera,
entonces
i. E(X + b) = E(X) + b
ii. E( a X) =a E(X)
iii. E( a X+ b) =a E(X) + b
iv. E [G(X) +H(X)] =E [G(X)] +E [H(X)]
v. V(X) = E(X2)- !1Ic
vi. V( a X) = a2 V(X)
vii. V{a X+ b) = a2 V(X)
Demostraremos algunos de éstos para el caso de variables aleatorias discretas.
El caso continuo se verá después. Bastará con demostrar iii, iv y v pues i y ii son
casos particulares de iii; además vi y vii son aplicaciones de v.
Demostración de iii:
58
n
E(aX + b) =1 :¿ (axi + b)p(xa =z a I~=1 xip(xJ + b I~=lcxa =3 aE(X) + b 1=1
Justificaciones:
Igualdad 1: definición 3.2.4 (ii)
Igualdad 2: propiedad de las sumatorias.
Igualdad 3: Definición de esperanza, propiedad de las distribuciones.
cqd.
Demostración de iv
E[G(X) + H(X)] =1 ¿~=1 [G(xi) + H(xa]p(xa =z L~=1 ccxapCxa
+ ¿~=1 H(x¡)p(xi) =3 E[G(xJ] + E[H(xi)]
Justificaciones:
Igualdad 1:
Igualdad 2:
Igualdad 3:
c.q.d.
Demostración de v
definición 3.2.4. (ii)
propiedad de las sumatorias
definición 3.2.4. (ii)
V(X) = 1 E[(X- Jlx) 2] = 2 E[X2
- 2JLxX + JL.i] = 3 E(X2) - 2JL_i + JL.i = 4 E(X2
)- JL.i
Justificaciones
Igualdad 1: definición 3.2.4. (iii) de esperanza
Igualdad 2: Reales
59
Igualdad 3: Teorema 3.2.1 iv
Igualdad 4 reales
cqd.
Nota. Para el cálculo de la varianza debe usarse el teorema 2.2.1 v, pues requiere
menor tiempo que la aplicación de la definición.
Ejercicios: 3.1
1. Se lanza una moneda 3 veces, hallar la distribución de
a. X: (número de caras) - (número de sellos)
b. Y: (número de caras) x (número de sellos)
c. Z: valor absoluto del (Nº de caras- Nº de sellos)
2. Se lanza un dado dos veces, hallar la distribución de
a. X: suma de los números de sus caras superiores
b. Y: [(suma)+ (valor absoluto de la diferencia)] de los números que salen
3. Demostrar el teorema 3.2.1 (vi)
4. Demostrar el teorema 3.2.1 (vii)
S. Hallar la esperanza y varianza de cada una de las variables aleatorias de la
pregunta 1
60
6. Hallar la esperanza y la varianza de cada una de las variables aleatorias de la
pregunta 2
7. Las pérdidas de una compañía por accidentes, durante un determinado año,
tuvieron la siguiente distribución
xi o 3000 6000 18 000
P(xi) ,75 ,15 ,08 ,02
Basado en estos datos la compañía de seguros ofrece una póliza deducible de
10 000 soles. ¿cuánto debe cobrar como prima, si desea tener una utilidad
promedio de 200 soles?
3.3. Momentos y funciones generatrices de momentos
3.3.1. Momento respecto al origen
Definición 3.3.1_Se llama momento de orden k (respecto al origen) de una variable
aleatoria X y se denota mk, a la esperanza de Xk. Es decir:
mk = E(Xk), k= 1,2,3 ...
Luego
E(X) = mv
V(X) = E(X2) - [E(X)]2 = m2 - mi
Los momentos proporcionan ciertas características de una variable aleatoria,
aparte de la esperanza y varianza veremos más adelante que se usarán para
definir la asimetría y curtosis. Mencionaremos tres tipos de momentos. Los que
ya se definieron serán llamados momentos con respecto al origen, por
definición pueden aplicarse tanto a variables aleatorias discretas como
61
continuas, en este texto se aplicarán fundamentalmente a variables aleatorias
continuas. A continuación sólo daremos la definición de momentos centrados o
con respecto a la media, y los usaremos después. Finalmente definiremos los
momentos factoriales, que los aplicaremos al tratar las variables aleatorias
discretas
3.3.2. Momentos con respecto a la media y momento factorial
Definición 3.3.2. Se llama momento centrado de orden k, de una variable aleatoria
X, o momento respecto a la media y se denota flk a
flk = E(X- fl)k = Li=1(xi -11Y. si X es discreta, o
flk = E(X- fl)k = f_00
00(X- flYf(x)dx, si X es continua.
Aprovechamos en indicar que la asimetría relativa a3 y la curtosis relativa a4 se
definen en base a estos momentos centrales l(CANAVOS, 1995):
113 a--3- cr3 /14 a--4- cr4
Si a3 >0, la distribución es sesgada a la derecha(cola más larga hacia la derecha)
si a3 <0, la distribución es sesgada a izquierda (cola más larga hacia la izquierda)
y si a3 =O es simétrica, siempre que sea unimodal. Con respecto a a4 ocurre
otro tanto, pero alrededor de 3. Si a4 >3 es leptocúrtica (punteaguda) si U4 <3
la distribución es platicúrtica (achatada) y si a3 =3, o se aproxima a tres,
entonces la distribución se llama mesocúrtica (de hecho la normal estándar
tiene curtosis 3)
1 Las definiciones de asimetría y curtosis relativas está~n la obra citada p. 70-71
62
Definición.3.3.3. Se llama momento factorial de orden k, y se denota 1/Jk de la
variable X a
Luego
1/Jk = E[X(X- 1)(X- 2) ... (X- k+ 1)]
1/11 = E(X) = mv
1/J2 = E(X(X- 1)) = E(X2 ) - E(X) = m2 - m1
1/13 = E(X(X- l)(X- 2)) = E(X3)- 3E(X2
) + 2E(X)
= m3 - 3m2 + 2m1
Como observamos, podemos obtener las equivalencias entre los dos momentos
Tabla 3.1
ml= 1/Jl 1/Jl = ml
m2= 1/J2 + 1/Jl 1/J2 = m2-ml
m3= 1/13 + 31/J2 + 1/Jl 1/J3 = m3 - 3m2 -4m1
m4= 1/J4 + 61/13 + 71/12 + 1/Jl 1/J4 = m4 - 6m3 + 11m2 + 30m1
Esto es, existen fórmulas para expresar los momentos factoriales en función de
los momentos (respecto al origen) y viceversa.
Ejemplo 3.3.1 hallemos los cuatro primeros momentos de la variable aleatoria con
distribución:
XÍ¡ o 1 2 3
p(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
Disponemos los datos en la siguiente tabla
63
Tabla 3.2
Xí p(xí) xípCxa xfp(xi) xfp(xí) xtp(xa
o 1/8 o o o o
1 3/8 3/8 3/8 3/8 3/8
2 3/8 6/8 12/8 24/8 16/8
3 1/8 3/8 9/8 27/8 81/8
1,5 3 6,75 12,5
Las sumas de la fila inferior son los momentos m1 = 1,5, m2 = 3, m3 =
6,75 y m4 = 12,5
Ejemplo .3.3.2 Determinemos ahora los cuatro primeros momentos factoriales de la
misma variable aleatoria del ejemplo 2.3.1.
xi
o
1
2
3
Tabla 3.3
p(x¡) x¡p(x¡) X¡(X¡- 1)p(X¡) x1(x¡ -1)(x¡- 2)p(x¡) x¡ ... (x¡- 2)(x¡ - 3) p (xi)
1/8 o o o o
3/8 3/8 o o o
3/8 6/8 6/8 o o
1/8 3/8 6/8 6/8 o
1,5 1,5 0,75 o
Nótese que t/J1 = 1,5; t/J2 = 1,5; t/J3 = 0,75 y a partir de t/J4 los momentos
factoriales son cero.
Como el cálculo directo de los momentos es tedioso, se han creado funciones
que los generan, pasamos a verlas
64
3.3.3. Funciones generatrices de momentos
Definición 3.3.4. La función: mx(t) =E( éx), te(O), se llama función generatriz de
momentos respecto al origen (f.g.m.), donde V(O) es una vecindad de cero o
intervalo abierto que contiene al cero.
Puesto que:
Las sucesivas derivadas con respecto a t, de la función generatriz de momentos
mx(t) son:
mx' (t) = E(X) + tE(X2 ) + t2
E(X3 ) + ... 2!
Generalizando,
Donde G es una cierta función de t y X. Aplicando cada miembro, en t = O, se
obtiene
65
Es decir, el momento k-ésimo, es la k-ésima derivada de la función generatriz de
momentos aplicada en t = O. Cuando no hay lugar a confusión la función
generatriz de momentos se denotará simplemente m(t) en lugar de mx(t)
Ejemplo.3.3.3! Hallemos la f.g.m. de la variable aleatoria X con distribución:
xi; o 1 2 3
p(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
1 (3) (3) (1) 1 + 3é + 3e 2t + e 3
t (1 + et)3
- + é - + e2t - + e 3 t - = = t E V(O) 8 8 8 8 8 8'
Las derivadas sucesivas hasta la cuarta y aplicadas en t=O, nos dan los
momentos m1 = 1,5; m2 = 3; m3 = 6,75 y m4 = 12,5 que ya los habíamos
hallado por definición de momentos.
Se observará que las derivadas segunda tercera y cuarta de m(t) se van
haciendo más complicadas, demorando el tiempo de su obtención; por este
motivo para el cálculo de los momentos de una v.a. discreta, se recomienda el
uso de la función generatriz de momentos factoriales, que pasamos a exponer
Definición. 3.3.5 La función: 1/Jx(r) = E(rx), -re(l)
Se llama función generatriz de momentos factoriales (f.g.m.f.) de la variable )
aleatoria X. Donde (1) es una vecindad de l. En efecto, puesto que:
66
E(rx) = Lf=1 rxi p(xa, y la derivada de una suma es la suma de derivadas,
(respecto a T), se tiene:
1/J' x(r) = E(Xrx-t)
1/J" x(r) = E[X(X- 1)rCx-z)]
Generalizando
1/J~k)(r) = E[X(X- 1) ... (x-k+ 1)rCx-k)]
Y aplicando ambos miembros a r =1:
lfJik)(1) = E[X(X- 1) ... (x-k+ 1)] = 1/Jk
Es decir, la k-ésima derivada de la f.g.m.f. aplicada en r=1, es el momento
factorial de orden k.
Nota. Obsérvese que si en la definición 3.3.5, hacemos r = é obtenemos
Es decir 1/Jx(é) = mx(t) y obviamente sir está definida en una vecindad de 1,
t está definida en una vecindad de cero. Asimismo, si en la definición 3.3,4
cambiamos t por lnr se tendrá
Es decir mxOn r) = 1/Jx(r). Basta una de estas funciones generatrices de
momentos (definiciones 3.3.4 o 3.3.5) en para hallar la otra.
67
Ejemplo.3.3.4 Hallemos la f.g.m.f. de la v.a. X con la misma distribución que la del
ejemplo 2.3.3
(1 + r) 3
=---8
Ahora sí, las derivadas son simples y observamos que las sucesivas tres primeras
derivadas de la f.g.m.f. aplicadas a T = 1, dan los momentos factoriales 1/J1 =
1,5; l/;2 = 1,5; l/;3 = 0,75 y a partir de l/J4 los momentos factoriales son cero
como ya los habíamos calculado.
Nota. Obsérvese que en nuestro ejemplo se halló m(t) = (1+é)3
, t E V(O) ; luego 8
1/Jx(T) = (1:r)3
, TE V(1)
3.4. Distribuciones Discretas Importantes
3.4.1 Experimento Bernoulli
Definición.3.4.1 Un experimento Bernoulli, es aquel que sólo pone énfasis en dos
sucesos complementarios, en cualquier experimento aleatorio, llamándolos
éxito a uno de ellos y fracaso al complemento. Por ejemplo, al lanzar un dado
podemos llamar éxito a "múltiplo de tres", es decir a {3, 6} y fracaso sería {1, 2,
4, 5}, luego la probabilidad éxito o "múltiplo de tres" al lanzar un dado sería 1/3
y la de fracaso sería 2/3. Para el mismo experimento aleatorio de lanzar un
68
dado, éxito podría ser {1} en cuyo caso fracaso sería {2, 3, 4, 5, 6} por tanto en
este caso la probabilidad de éxito sería 1/6 y la de fracaso 5/6. Generalizando el
experimento Bernoulli, definimos la v.a. X del siguiente modo:
f O, si el resultado es éxito tl. si el resultado es fracaso
3.4.2 La distribución de Bernoulli
Ya conocemos la variable aleatoria X, diremos que X sigue una distribución
Bernoulli de parámetro p (X"" Be(p)) si:
p(xi) q p
Teorema.3.4.1. Si la v.a. X sigue una distribución Bernoul/i de parámetro P~ entonces
(i) 1/Jx(r) = (q + pr)
(ii) E(X) = p
(iii) V(X) = pq
Demostración de (i)
c.q.d.
Justificaciones.
Igualdad 1: definición de f.g.m.f.
Igualdad 2: definición 3.2.4. (ii)
69
Igualdad 3: definición de distribución de una v.a
Igualdad 4: definición de la v.a. de Bernoulli (2),
Nota. Las tres distribuciones discretas importantes, que tratamos a continuación,
tienen como base la repetición independiente de un experimento Bernoulli. Si
se repite n veces, se cumple los requerimientos para definir una v.a. con
distribución binomial. Si se repite un experimento Bernoulli, hasta que ocurra
éxito por primera vez, se da origen a la v.a. con distribución geométrica. Y si se
repite el experimento Bernoulli hasta que aparezca éxito por r-ésima vez, (r>l)
estaremos en los inicios de una v.a. con distribución de Pascal (esta última
conduce con ligeras modificaciones a una v.a. con distribución binomial
negativa).
3.4.3. La Distribución Binomial
Repitamos un experimento Bernoulli, n veces independientes; por tanto los
resultados posibles son una sucesión de éxitos o fracasos (l's o O's). Una
variable de interés es Y: número de éxitos, cuyos valores posibles son O, 1, 2 ... ,
n. Diremos que Y sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se
abreviará Y"" b(n, p) y pasamos demostrar que la probabilidad de k éxitos, esto
es p(k), está dada por la fórmula
k= 0,1, ... n
En efecto, un resultado posible es el que tiene a los k éxitos seguidos en primer
lugar, y a continuación los (n-k) fracasos, sería:
EE ... E FF F
k éxitos (n-k) fracasos
70
Cuya probabilidad, por la independencia de los experimentos Bernoulli, es
pkqn-k
Pero, resultados posibles, con k éxitos y (n-k) fracasos cada uno, hay
n! (n) P(n; k,n-k) = k!(n-k)! = k
Por tanto queda demostrada la fórmula de la binomial.
Ejemplo .3.4.1 Se lanza un dado 10 veces, hallar la probabilidad de obtener
a. Exactamente 3 ases (3 unos)
b. No menos de 3 ases
c. A los más 3 ases
Solución. Sea X: nº de ases, al lanzar un dado 10 veces. Entonces X"" b(10, 1/6)
a. p(3) = (13°) G)3 Gr = 0,00129 (Esta es la probabilidad de 3 éxitos o
P(X=3)).
b. P(X~3) = 1- P(X < 3) = 1- [p(O) + p(1) + p(2)] =: 0,22477.
c. P(X < 3) = p(O) + p(1) + p(2) + p(3) = 0,77652 (Esta es la probabilidad:
P(X:53)
Ejemplo 3.4.2. Una compañía de aviación sabe que el 10 % de los pasajeros que
hacen reservaciones no se presentan. En un vuelo de 200 asientos vende 210
pasajes a. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presenten
tomen vuelo? b. ¿cuál es la probabilidad de que el vuelo parta con asientos
vacíos?
71
Solución. Sea X: Nº de pasajeros que se presentan. X"" b(210, 0,90)
a. P(X ~ 200) = 1- Lf;~01 p(xD (Si X~200, todos los que se presentan
toman vuelo)
= 0,99813
b. P(X < 200) = 0,99544
Teorema .3.4.2 (de la distribución binomial)
Si X"" b(n, p) entonces
(i) 1/Jx(r) = (q + rp)n
(ii) E(X) = np
(iii) V(X) = npq
(iv) El número ko de mayor probabilidad entre los números O, 1, 2, ... n
satisface la doble desigualdad np - q ~ k 0 < np + p además si
np- q es entero hay dos números de mayor probabilidad que son ko y
ko+l, de Jo contrario sólo hay uno: ko 2(V.E. Gmurman 1975)3
(SANTALÓ, 1970)
Demostración de (i)
cqd.
2 La parte (iv) de este teorema está enunciado en la p.69 de éste libro 3 Y está demostrado en la p. 50 de este otro libro
72
(las justificaciones de las 7 igualdades se dejan como ejercicio para el lector)
Demostración de (ii). Derivando (i). con respecto a r,
1/J'x(r) = np(q + rp)n-l
De donde 1/J'x(1) = E(X) = np.
cqd.
La demostración de iii se deja al estudiante. Ver ejercicio 4.
Demostración de (iv) ver ejercicio 2
Ejercicios 3.2
1. Se lanza dos dados 10 veces, hallar la probabilidad de obtener como suma a lo
más cuatro,
a. exactamente 3 veces
b. no menos de 3 veces
c. a lo más tres veces
Nótese que el éxito, al menos cuatro, es el suceso {(1,1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3,
1)}.
2. Demostrar el teorema 3.4.2. (iv), Sugerencia: si ko es el número de mayor
probabilidad entonces debe satisfacer p(k0 - 1) < p(k0 ) ~ p(k0 + 1)
3. Un estudiante pretende responder al azar, a un exactamente 10 preguntas,
donde cada pregunta tiene cinco posibles respuestas y sólo una es la correcta.
73
(a)¿Cuál es la distribución del número de respuestas correctas? (b)¿cuál es la
probabilidad de que acierte al menos dos preguntas?
4. Demostrar el teorema 3.4.2. iii.
S. Halle el mínimo entero n, tal que la probabilidad de obtener al menos una vez la
suma siete en n lanzamientos de dos dados, sea mayor o igual que 0,95.
6. Una máquina produce cierto tipo de piezas; de las cuales un promedio del 6%
son defectuosas. En una muestra aleatoria de diez piezas ¿cuál es la
probabilidad de obtener (a) exactamente una pieza defectuosa? (b) por lo
menos una pieza defectuosa?
7. Hallar la esperanza y la varianza del número de 6's obtenidos al lanzar un dado
78 veces?
3.4.4. la Distribución Geométrica
Si hacemos repeticiones independientes de un experimento Bernoulli hasta que
aparezca el éxito (por primera vez), la variable de interés es X: número de
repeticiones; los valores de esta variable aleatoria son los elementos del
conjunto infinito numerable {1, 2, 3, ... }. Decimos que X sigue una distribución
geométrica de parámetro p (éxito de la Bernoulli), abreviamos X"" G(p), y es
obvio que la distribución de X es:
k= 1, 2, 3, ...
Esta fórmula se obtiene en una forma sencilla, puesto que para que aparezca
éxito (con probabilidad p) en la k-ésima repetición, debe haber salido fracaso
74
(con probabilidad q) en cada una de las k-1 anteriores, y las repeticiones son
independientes.
Teorema 3.4.3 (de la distribución geométrica)
Si X"" G(p), entonces
i. 1/Jx(r) = ...!!!_, TEV(l) 1--rq
1 E(X) =-
p ii.
iii. V(X) = .3_ p2
Demostración de i.
"00 k k-1 "00 e )k-1 L.k=1 T q P = PT L.k=1 rq =
c.q.d.
La demostración de ii. y iii. Se deja como ejercicio al estudiante. Daremos ahora
un par de ejemplos de aplicación de esta distribución
Ejemplo 3.4.3 Se lanza un dado hasta que salga el as. Hallar la probabilidad de que el
número de tiros sea:
a. Cuatro
b. Al menos 4
c. Múltiplo de 3.
75
Solución. Con X: número de tiros hasta que salga el as, tenemos que X "" G G} luego
a. (5)
3
(1) 125 p( 4) = 6 6 = 1296 ~ 0,09645
91 125 b. 1- [p(1) + p(2) + p(3)] = 1 - [q 0p + q1p + q2p] = 1-
216 =
216 ~ Ü, 5787
. Ioo Ioo Loo pq2 c. p(3) = q3k-1p = q3(k-1)+2p = pq2 (q3)k-1 = --3 = k=1 k=l k=1 1 - q
= q2 25
_ __..:__----= = 1 + q + q2 91
Ejemplo 3.4.4._Un trabajador espacial tiene su aposento en el centro de un cubo,
desde donde debe salir eligiendo al azar, a cualquiera de los ocho vértices del
cubo donde cumplirá una labor. Ya estando en un vértice elegirá al azar cumplir
otra labor en un vértice adyacente o regresar a su aposento, teniendo la misma
probabilidad cualquiera de las cuatro elecciones (los tres vértices adyacentes y
el retorno).
a. Sugerir un método para elegir al azar cualquiera de los vértices
(naturalmente cada vértice debe tener la misma probabilidad de ser elegido)
b. Estando en un- vértice, sugerir un método para elegir cualquiera de los tres
vértices adyacentes o el retorno
c. Hallar la distribución del número de vértices que visita el trabajador hasta su
retorno al aposento.
d. Hallar el número esperado de vértices que visita.
76
Solución. Dejamos al estudiante la solución sencilla de a. y b.
Veamos c. Sea X: número de vértices que visita el trabajador hasta su retorno.
Luego X ""' G G), puesto que visitar un solo vértice es retornar de inmediato,
cuya probabilidad es .!., si no retorna sigue visitando un vértice adyacente cuya 4
probabilidad es~ = q 4
1 d. E(X) =- = 4
p
Ejercicios 3.3
l. Se repite el lanzamiento de dos monedas hasta obtener dos caras, hallar la
probabilidad de que el número de tiros sea
a. tres
b. no menos de tres
c. a los más tres
d. par
2. Se repite el lanzamiento de dos dados hasta que la suma sea 7. Hallar la
probabilidad de que el número de tiros sea
a. cinco
b. a lo más cinco
c. al menos cinco
d. múltiplo de cinco
77
3. En el ejemplo 2, (del astronauta que parte del centro de un cubo), sea Y:
número de viajes que realiza, incluyendo el que parte, hasta el que retorna.
Hállese la distribución del número de viajes que realiza
4. Demostrar el teorema 3.4.(ii): E(X) = .!. . p
S. ¿cuántos tiros tiene que lanzar en promedio, hasta encestar, un jugador que
tiene la probabilidad de 0,75 de encestar en cada tiro?
6. Demostrar el teorema 3.4.3. (iii)
7. Hallar la función generatriz de momentos de la distribución binomial y usarla
para calcular su media y su varianza.
3.4.5. la Distribución de Pascal y la binomial negativa
Se realizan repeticiones independientes de un experimento Bernoulli, hasta que
ocurra éxito por r-ésima vez (r~2). Dos son las variables aleatorias de interés,
ligadas entre sí. La v.a. X: número de repeticiones del experimento cuyos
valores son r, r+1, r+2, ... decimos que X sigue una distribución de Pascal de
parámetros r y p; (p es la probabilidad de éxito de la Bernoulli) lo que
abreviamos X"" Pa(r, p). Y la otra variable aleatoria es Y: número de fracasos
que precede al r-ésimo éxito (ver nota 2). Demostraremos que la probabilidad
de que la v.a. X toma el valor k, denotado p(k), es
(k) _ (k - 1) r k-r k _ ·1 2 p - r _ 1
p q , - r, r+ , r+ ...
En efecto, si ocurrió éxito por r-ésima vez en la k-ésima repetición, entonces en
las k-1 repeticiones anteriores hubo r-1 éxitos exactamente, cuya probabilidad
(insistimos r-1 éxitos en k-1 repeticiones) aplicando la distribución binomial es
78
(~ = ~) pr-lqk-r; y si añadimos el evento éxito (de probabilidad p) en la
siguiente repetición obtenemos la fórmula dada arriba.
Teorema 3.4.4 (de la distribución de Pascal)
S X "" Pa (r, p ), entonces
(i)
(ii)
(iii)
l/Jx(r) = (..l!!__)r, TEV(l) 1-qT
E(X) = ~ p
V(X) = rq pZ
Nota l. Obsérvese que si cambiamos r por 1 obtenemos las tres propiedades dadas
en el teorema de la distribución geométrica.
Nota 2. A veces es necesario considerar la variable aleatoria Y: número de fracasos
que preceden al r-ésimo éxito, entonces decimos que Y sigue una distribución
binomial negativa, abreviaremos Y ""bn(r, p). Los valores de Y son O, 1, 2, ...
indudablemente si X es la Pascal, entonces X= Y+ r, por tanto su distribución (la
de Y), o la probabilidad de que k repeticiones precedan a r éxitos es:
(k) = (k + r - 1) r k p . 1 p q' r-k= o, 1, 2, ...
Su esperanza E(Y) = E(X)- r = ~- r = rq y su varianza V(Y) = V(X) = r~ p p p
Ejemplo.3.4.5._Se repite el lanzamiento de dos dados hasta que la suma siete
aparezca por tercera vez.
l. Hallar la probabilidad de que el número de
a. tiros sea cinco
79
b. tiros sea más de cinco
c. fracasos que precede al tercer éxito sea cinco
11. Hallar el número esperado de
a. Tiros
b. fracasos antes del tercer éxito
Solución. Sea X: número de lanzamientos de dos dados hasta que salga siete
por tercera vez. Entonces 1
X"" Pa(3, -),entonces 6
l. a.
b.
c.
11 a.
b.
(S - 1) (1)3 (s)2 zs p(S) = 3- 1 6 6 = 1296
23 P(X>5) = 1- [p(3) +p(4) +p(5)] = -
648
py(S) = (S~.:.~ 1) G)3
(~)5
= 0,03907 donde Y"" bn(3, ~) E(X) = 18
E(Y) = E(X) - 3 = 15
Ejemplo 3.4.6. Una pareja desea tener dos hijos varones. Tendrá hijos hasta
satisfacer esta condición. Suponer la probabilidad de hijo varón es 0,5
a. Hallar la distribución del número de hijas mujeres
b. Hallar la distribución del número de hijos
c. Hallar la probabilidad de que la pareja tenga cuatro hijos
d. Hallar la probabilidad de que la pareja tenga a lo sumo cuatro hijos
e. Hallar el número esperado de hijas mujeres
f. Hallar el número esperados de hijos en la familia
Solución. Sea Y: número de hijas mujeres, hasta que dos sean varones. Sea X: Nº
de hijos. Entonces
80
Y ~ bn (2, 0,5) y X ~ Pa (2, 0,5), luego
a. py(k) =(k;~~ 1) G/+kk= 0,1, 2 .. .
b. Px(k) = (;=: DGt, k=2,~, .. . c. Px(4) = (i) Gf = :6
11 d. Px(2) + Px(3) + Px( 4) =
16
e. E(Y) = rq = 2 p
f. (X) = !:. = 4 p
3.4.6. La Distribución Hipergeométrica
El siguiente esquema describe que:
r (A) k( A)
/ / n"'
N
'\ (N- r)(A') (n- k)(A')
Figura 3.3
Esquema para la distribución
hipergeométrica
Hay N objetos; r de éstos son de un conjunto (clase A), el resto (N- r) de la clase
A' (complemento de A). Se extrae al azar y sin reposición, una muestra de n de
los N objetos. Se trata de hallar la probabilidad de que k de los n objetos
extraídos en la muestra, sean de la clase A y el resto (n-k) de la clase A'. Si
definimos la variable aleatoria X: número de objetos de la clase A en la muestra,
entonces los valores de X son O, 1, 2, ... , min {r, n}, la distribución de la v.a. d. X
se llama distribución hipergeométrica de parámetros N, r, n, y lo abreviamos
X~ H(N, r, n), y es fácil notar que la probabilidad de que haya k elementos de
A en la muestra es
81
(k) - (~)(~=D k - o 1 2 · { } P - (~) , - , , , ... , mm r, n
En efecto; los casos favorables (numerador), los razonamos así: k objetos de los
r de la clase A, los podemos extraer de (~) maneras, lo mismo Jn-k) de los (N-r)
objetos de A' se pueden extraer de (~ = ~) maneras, luego uno y otro
conjuntos de (~) (~ = ~) maneras, por aplicación del principio fundamental.
Finalmente los casos posibles vienen del experimento aleatorio: se extraen al
azar n de los N objetos de(~) maneras. c.q.d.
Teorema.3.4.5 (de la distribución hipergeométrica)
Si X"" H(N, r, n) entonces
(i) E(X) = n (~)
(ii) V(X) = n (~) ( 1- ~) (:=:) Nota. Insistimos que, la muestra de n objetos, han sido tomados sin reposición. Si la
muestra de los n objetos tomados del conjunto de N, se hubiera obtenido con
reposición, entonces cada extracción tendría la misma probabilidad,
constituyendo la repetición de un experimento Bernoulli n veces, y la variable
aleatoria X definida así, sería "número de éxitos" por tanto tendría la
distribución b,inomial (con éxito: "el objeto extraído pertenece a A"). De hecho
hay aproximaciones de una por la otra distribución para ciertos casos en que N
es relativamente grande con respecto a n. Obsérvese que la esperanza de la
hipergeométrica y la binomial son iguales con P(éxito) = p = !::.. y sus varianzas N
82
sólo se diferencian en el factor N-n cociente que tiende a 1 cuando N tiende a N-1
infinito.
Ejemplo.3.4.6.!.....Un grupo de estudio de posgrado tiene a cinco peruanos, tres
uruguayos, cuatro argentinos y seis brasileños. Se extrae del grupo una muestra
al azar de 4 personas, sin reposición. Hallar
a. La distribución del número de peruanos en la muestra
b. La probabilidad de que hayan tres brasileños en la muestra
c. La probabilidad de que al menos dos sean peruanos.
Solución Con X: número de peruanos en la muestra e Y: número de brasileños
en la muestra, entonces X""' H(18,5,4) e Y""' H(18,6,4), portante
a. (k) (~)(4~J k Px = (18) , = O, 1, 2, 3, 4
4 .
Es la distribución del número de peruanos en la muestra
b.
c. 61
Px(2) + Px(3) + Px(4) =-204
3.4.7. la Distribución de Poisson
Definición 3.4.2._Se dice que una variable aleatoria discreta X sigue una distribución
de Poisson de parámetro A., lo que se abrevia X ""' P0 (íl.), si su distribución es
e-A(.íl.)k P(k) = k! , k= O, 1, 2, ...
83
En un ejercicio se pide demostrar que esta es una distribución legítima, esto es
que la suma de todas las p(k) es l.
Teorema.3.4.6 (de la distribución de Poisson)
Si X -vo P0 (ít), entonces
ii. E(X) = ít
iii. V(X) = ít
Se pide al estudiante la demostración de la parte i. del teorema, los otros dos
se hallan en forma sencilla hallando la primera y segunda derivadas de i. y
recordando que la primera derivada aplicada en 1 es la esperanza, con lo que se
tendría ii. Y la segunda derivada aplicada en 1 da el momento factorial de orden
2, que es igual a E[X(X-1)] = E(X2)- E(X) de donde se despeja E(X2
), valor con el
que se halla la varianza.
Veamos ahora la primera de dos aplicaciones fundamentales de esta
distribución.
Teorema.3.4.7 (de la aproximación de la distribución binomial por la de Poisson)
Si X -vo b(n, p), n---) oo y p---) O, manteniéndose np = A constante, entonces
X "" P. (ít) aprox. o
Nota. No es correcto decir que p tienda a cero como está en la hipótesis, puesto que
en la binomial p (éxito de la Bernoulli) permanece constante; lo aceptaremos
como un caso teórico y en la práctica, para una buena aproximación, será
84
suficiente que p sea muy pequeño y n muy grande ("la aproximación es muy
buena si n~100 y npS10", 4(LARSON, 1978)5 (DEVORE, 2005)EI estudiante
puede sacar sus propias conclusiones observando las soluciones exactas y
aproximadas que muestran las tablas del anexo***
Ejemplo.3.4.7. Supongamos que el número de autos que un empleado vende por
semana, sigue una distribución de Poisson con parámetro A.= 0,5, (uno en cada
dos semanas) hallar la probabilidad de que
a. La siguiente semana venda un auto
b. La siguiente semana venda al menos un auto
c. En dos semanas no venda ningún auto
Solución. Sea X: número de autos, que el vendedor vende por semana; entonces
e-o,so sl X"" P0 (0,S), por tanto Px(l) =
1' , 0,3033
1. P(X2::1)
0,3935
Sea Y: número de autos que el vendedor vende en dos semanas; entonces Y ""
P0 (1), (si vende Yz autos por semana, en dos semanas venderá 2(1/2)= 1 auto)
-110
luego. py(O) = ~ = 0,3679
Nótese que al formular la pregunta queda claro el valor de un solo A., pero para
la solución según la pregunta e, debemos definir una nueva variable con un A1
proporcional a A.
4 "Se puede decir que es muy buena si n;;::100 y np::;10" p.171
S " ... se puede aplicar con toda seguridad si n;;::lOO, p:::;O.Ol y np:::;20" p.136
85
Ejemplo 3.4.8._Suponer que en una gran urbe, uno de cada 10 000 bebés nace ciego.
Una gran urbe ese año tuvo 8 000 nacimientos. Hallar la probabilidad (exacta y
aproximada) de que ese año haya nacido
a. Ningún bebé ciego
b. Un bebé ciego
c. Al menos un bebé ciego
Solución. Sea X: número de bebés, nacidos ciegos en la gran urbe; entonces
X"" b(8 000; 0,0001), nos servirá para los cálculos exactos.
Sea Y "" P0 (0,8), (A = np = (8000)(0,0001) = 0,8) nos servirá para cálculos
aproximados.
a. Valor exacto por la binomial Px(O) = (80
0°0) (. 0001)0
(. 9999)8000 =
0,44931
Valor aproximado por la distribución de Poisson con A.= 0,8:
e-o,so so Py(O) = ' = 0,44933 (como vemos el error es muy pequeño: 0,00002)
O!
b. Px(1) = 0,35948 (exacto)
py(1) = 0,35946 (aproximado)
c. P(X ;;::: 1) = 1 - Px(O) =: 0,55069
P(Y ;;::: 1) = 1 - py(O) =: 0,55067
Nótese que en este ejemplo no ha sido necesario cambiar el valor de A, pues
todas las preguntas se-refieren a un solo año.
86
Veamos ahora la segunda aplicación fundamental de la distribución de Poisson,
esto es, qué variables aleatorias, por derecho propio, siguen una distribución de
Poisson. Toda~ pueden ser reconocidas por una característica común: son
variables discretas que ocurren en espacios continuos.
Ejemplo 3.4.9. (Variables aleatorias que siguen una distribución de Poisson)
l. Número de llamadas que llegan a un conmutador telefónico por unidad de
tiempo (por hora, por día, cada diez minutos, etc.)
2. Número de vehículos que pasan por un punto de una carretera por unidad de
tiempo (por hora, por día, cada dos horas, etc.)
3. Número de determinadas bacterias que contaminan una playa por unidad de
volumen (por litro, por mm3, por m3 etc.)
4. Número de fallas en un tejido de un telar, por unidad de área (por m2, por dm2,
etc.)
S. Número de fallas en un rollo de alambre nuevo por unidad de longitud (por m,
cada SOm, cada rollo, etc.)
6. Número de suicidios en una gran urbe por unidad de tiempo (por día, por
semana, por mes, etc.)
7. Número de plantas que germinan en un sembrío por unidad de área (por m2,
por área, por hectárea etc.)
8. Número de estrellas que aparecen al enfocar un telescopio al firmamento por
unidad de área (por cm2)
87
Nótese que esta distribución tiene sólo un parámetro que es su media, por
tanto en todo problema es suficiente conocerlo para poder sugerir la solución
de cualquier problema involucrado.
Ejercicios 3.4
1 La probabilidad de un lanzamiento exitoso es 0,8. Suponga que se hacen
ensayos de lanzamiento hasta que hayan ocurrido tres lanzamientos exitosos.
(a) Halle la probabilidad de que sean necesarios menos de seis intentos. (b) el
número esperado de intentos, hasta que ocurran cinco lanzamientos exitosos.
(e) Si X es el número de intentos fallados hasta conseguir tres exitosos, halle E(X)
yV(X).
2 Dos amigos A y B, juegan a lanzar un dado alternativamente. Empieza A, gana el
primero que obtiene número primo.(a) Halle la probabilidad de ganar que tiene
cada uno. (b) Si A lanza el primer tiro, seguido de B en el segundo y tercer tiros,
luego vuelve a tirar A el cuarto y quinto tiros, y así sucesivamente, hasta
obtener número primo ¿cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de ellos?
3 Los mensajes que llegan a una computadora, utilizada como servidor, lo hacen
de acuerdo con una distribución de Poisson con una tasa promedio de 0,1
mensajes por minuto. (a) ¿cuál es la probabilidad de que lleguen a lo más dos
mensajes en una hora? (b) determine el intervalo de tiempo necesario para que
la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso sea 0,8.
4. Demostrar el teorema 3.4.4 (ii)
S. Demostrar el teorema 3.4.4.(iii)
6 Demostrar el teorema 3.4S(i)
88
7 Demostrar el teorema 3.4.5 (ii)
8 Demostrar el teorema 3.4.6 (i)
9 Demostrar el teorema 3.4.6 (ii)
10. Demostrar el teorema 3.4.6 (iii)
11. Demostrar el teorema 3.4.7
12 En un gran campo están distribuidos, al azar, saltamontes según la distribución
de Poisson con parámetro í\.=2, por yarda cuadrada. ¡Qué longitud debe tener el
radio R de una región circular de muestreo, para que la probabilidad de hallar
por lo menos 1 saltamontes en la región sea igual a 0,99?
89
CAPÍTULO IV:
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
4.1. Variables aleatorias continuas
Introducción.
Podemos presentar un modelo, de cómo crear una función de densidad de una
variable aleatoria continua (v.a.c.) X. Tomemos por ejemplo X: hora de llegada a
un aeropuerto, de un avión de la compañía ABC, que llega todos los días
aproximadamente a la misma hora. Registramos las horas de llegada durante
200 días. Observamos que las llegadas ocurren dentro de un intervalo de
tiempo [a, b], marcamos con un punto la hora de llegada, no hay llegadas antes
de a, ni después de b, las marcas tienen la siguiente apariencia:
a• • • • ••••••••••• • • • • • • • •b
La "densidad" de los puntos en el intervalo [a, b], nos guiará para hallar la
función de densidad correspondiente. Dividimos el intervalo de las ocurrencias
en nueve sub intervalos de la misma longitud y contamos las ocurrencias en
cada sub intervalo hallando las siguientes frecuencias absolutas:
2/10/36/50/38/32/16/12/4. Podemos considerar los intervalos de longitud 1, y
hallar las frecuencias relativas respectivas, dividiendo por 200 a cada frecuencia
absoluta:
90
., cu > ·-... cu -cu
a:: ., cu ·-~ e cu :1 ~
cu ... .... '---
0.3 figura 4.1
0.25 -V " 1 ""-. 0.2
/
1 ............ ¡-.........
0.15
" 1\. 0.1
1 ' ......_ f--
0.05
% """ "-. /
o 1 2 3 4 S 6 7 8 9
IHo ra de llegada!
1 5 18 25 19 16 8 6 2
Nótese que la suma de las frecuencias relativas es l. Representamos las
frecuencias relativas por medio de un dibujo llamado histograma, que es un
gráfico de barras, donde cada barra es un rectángulo de base 1 y altura: la
frecuencia relativa correspondiente. Observamos que la suma de las áreas de
los rectángulos es la suma de las frecuencias relativas, o sea 1:
Y si pudiéramos determinar (lo que no ~s difícil) la función f, (de densidad, que
en el gráfico aparece en línea continua), se tendría el área bajo la línea es uno,
es decir f: f(x)dx = 1, puesto que es aproximadamente igual a la suma de las
áreas de los rectángulos.
En síntesis, se acepta la siguiente:
91
Definición 4.1.1. Se dice que una variable aleatoria X es continua, si existe una
función de valores reales, f llamada, función de densidad, que verifica las tres
afirmaciones siguientes:
(i).f(x) ;;::: 0, x E lffi.
(ii).f_~= f(x)dx = 1
(iii).Si a sb entonces P(a ~X~ b) = f: f(x)dx
Nota.1. Observe que el dominio de la función de densidad es todo el conjunto de
números reales y si f: f(x)dx = 1 con a y b finitos, significará que en el resto
de reales,(antes de a y después de b) f(x) =O.
Nota 2. Nótese también que P(a ~X~ a) = J: f(x)dx = (a- a)c = O, puesto
que en un punto la función es constante, luego aplicamos la integral a una
función constante. Estamos diciendo que en una v.a. continua, P(X = a) = O (la
probabilidad de que la v.a. tome un valor puntual es cero). Por tanto
P(a~X<b)=P(X=a)+P(a<X<b)=P(a<X<b), y todos los
intervalos de la forma <a, b>, [a, b>, <a, b] y [a, b] tienen la misma probabilidad.
Nota 3 La definición, de variable aleatoria continua involucra, el concepto de
funciones integrables, en matemática se presentan una gama de funciones
integrables; en la presente obra mencionamos que nos serán de utilidad las
funciones continuas, o continuas a trozos, esto es con un conjunto finito de
discontinuidades.
Ejemplo 4.1.1. Una variable aleatoria continua X, tiene la siguiente función de
densidad:
f(x) = {cx2 (1- x)4, O < x < 1
O otro caso
92
(a) Hallar el valor de e
(b) Hallar P(X<l/3)
(e) Hallar P(X>2/3)
(d) Hallar P(l/2<X<2/3)
Solución:
(a) (1/lOS)c=l, de donde c=lOS
(b) f0
113105x2 (1- x)4 dx = 313/729
(e) f2
1
13105x2 (1- x)4 dx = 11/243
(d) J:/2
3105x2(1- x)4dx = 5639/31104
Nota. Todos los cálculos de este ejemplo, fueron hallados con MATLAB; aunque
pueden calcularse en cualquier calculadora científica que tenga integrales.
4.1.2 La distribución acumulativa de X.( o función de distribución de la v.a.c X}
Definición 4.1.2
La función:
F(x) = P(X < x) = J:00
[(t)dt, xE!m.
Se llama función de distribución (también se llama distribución acumulativa) de
la v.a.c X. Se verifica que si f es integrable, la función de distribución es
diferenciable y:
(i) F'(x) = f(x) (Por el primer teorema fundamental del cálculo)
93
(ii) P(a<X<b) = f: F'(x)dx = F(b)-F(a)
Ejemplo 4.1.2. Sea el triángulo de vértices A= (O, O), B = (3, O) y C = (O, 4). Se elige al
azar un punto al interior de este triángulo. Sea X: distancia del punto a la base
AB. Hállese la función de distribución de la v.a.c. X, y luego la función de
densidad de X
Solución.
X varía en [O, 4], en ese intervalo F(x) = P(X~x)
Area(casos favorables) Area(trapecio inferior) (8- x)x = - =
Area(casos posibles) Area(todo el triángulo) 16
obteniéndose
{
O, x<O
F(x) = (B~=)x, 0 < X < 4
1, X> 4
Finalmente por derivación obtenemos la función de densidad:
{
1 X
f(x)=F'(x)= 2-8, 0 < x < 4
O, otro caso
4.1.3. Función de función.
En esta sección abordamos la obtención de la función de densidad de una
función de una v.a. X, es decir si conocemos la f.d. de la v.a X, digamos f, y
tenemos la función real Y= H(X), buscaremos hallar la función de densidad de Y,
digamos g(y). Nos será de mucha utilidad, en particular para hallar la función de
densidad de la v.a. Y = aX+~, cuando X sigue una distribución normal, y
demostrar así que Y también sigue una distribución normal. O para demostrar
que la suma de los cuadrados de normales estándar sigue una distribución Ji
cuadrado. Entre ot~as utilidades. El procedimiento a seguir lo sintetizamos en
tres pasos:
94
(1) Definir la función de distribución de Y: G(y) = P(Y :S y); reemplazar Y en
términos de X, despejar en la desigualdad X, hasta llegar a G(y) = P(X ¿?
H*(y)) y expresar esta última igualdad en la forma G(y) :S F(H*(y)) o G(y) <
1-F(H*(y)); donde H* es la función inversa de H.
(2) Derivar ambos miembros del resultado anterior con respecto a y. Obsérvese
que la derivada del primer miembro denota la función de densidad buscada:
G'(y) = g(y), y la derivada del segundo miembro, completa la regla de
correspondencia, y se obtiene aplicando la regla de la cadena.
(3) Se obtiene el dominio de Y, partiendo del dominio de X
Para la obtención de la función de función de una v.a. discreta, y otros, véase la
nota después del ejemplo siguiente.
Ejemplo 4.1.3. La v.a.c. X tiene la función de densidad:
O<x<l
a. Sea Y= 2X + 1 Halle la fdp de Y: g(y)
b. Sea U= e-X Halle la fdp de U: h(u).
Solución. a.
Paso l. G(y) = P(Y <y)= P(2X+ 1 <y)= P(X :5; y;1) = Fe;1
)
Paso 2. (y-1) 1 105 2 4 g(y) = f - -=-(y -1) (3- y) .
2 2 128 1
Paso 3. Dominio de Y: como O<x<1, se tiene 1<2x+1<3 es decir 1<y<3
{
105( 1)2(3 )4 1 < < 3 Respuesta: g(y) = 128 Y- -Y ' Y
O, otro caso
95
Solución b.
Pasol.H(u) = P(U::; u) = P(e-x ::; u) = 1- P(X::; -In u) = 1- F( -ln u)
Paso 2. 105 2 4 h(u) = - (ln u) (1 + ln u) u
Paso 3.Dominio de U: como O < x < 1, e-1 <e-x < e0 luego:
Du = e-1 <u< 1
R t he ) {105
(lnu) 2 (1 + lnu)4 , e-1 <u< 1 espues a: u = u
O o~ocruo
Nota.l-Si se tratara de una distribución discreta el siguiente ejemplo muestra que se
encuentra dificultad alguna en obtener la función de distribución.
xi -1 -2 1 2
p(xi) 0,2 0,3 0,4 0,1
Entonces la distribución de y=X2 sería (luego se halla sin dificultad)
P(xi) 1' xi
0,6
4.2. Distribuciones Continuas Importantes:
4.2.1 Distribución uniforme
Definición 4.2.1.- Si una v.a c.X tiene función de densidad constante en un intervalo
[a, b], se dice que está uniformemente distribuida en ese intervalo, o que X
tiene distribución uniforme en [a, b]
96
Nótese que el gráfico de la función de densidad, al ser constante tendría la
forma f(x) = k, xe[a, bL como se muestra en el gráfico, por lo que el valor de k
está bien determinado.
k --------~----------, 1 1
Figura 4.2
Distribución uniforme en
a b el intervalo [a, b]
Luego la función de densidad es:
e) {- 1
- X E [a,b] f x = b- a' O, otro caso
Ejemplo 4.2.1 Sea X v.a.c. con fd uniforme en el intervalo [a, b] Halle
a. La probabilidad de que a<X<b/3
b. La probabilidad de que X>3a+b /4
c. La Fda de X
d. E(X)
e. V(X)
Soluciones: a.- (3- a)/(b- a),
{
O , si x <a x-a
c.-F(x) = b-a, si a=:::; x < b
1 , si x;;::: b
d.- E(X)= a+b 2
b.- 3/4
97
e.- V(X)= E(X2)- [E(X)]Z = (b-a)2
12
Teorema 4.1.1
Si X sigue una distribución uniforme en el intervalo [a, b], entonces
(i)
(ii)
(iii)
E(X) = a+b 2
V(X) = (b-a)2 12
Se deja al estudiante la demostración de este teorema.
4.2.2. La Distribución exponencial
Definición.4.2.2. Se Dice que una vac. X sigue una distribución exponencial con
parámetro í!., si su fdp. es:
f(x) = { í!.e-A.t, x ~ O, í!. > O O otro caso
Se puede deducir que si una v.a.d. Y sigue una distribución de Poisson con
parámetro A., el tiempo T de espera desde el instante t=O hasta la primera
ocurrencia de la v.a. Y, sigue una distribución exponencial, de parámetro í!..
Teorema 4.2.1: Sea Y v.a.d. con distribución de Poisson de parámetro A., entonces, si
Tes el tiempo de espera (desde el instante t=O) hasta la primera ocurrencia de Y.
T sigue una distribución exponencial de parámetro A.
Deduciremos la función de distribución de T y la derivaremos para obtener la
f.d. de T:
Si t < O, obviamente F(t) = P(T ~ t) = O
98
Sea t ~ O; el tiempo de espera para la primera ocurrencia de T, excede t, si en el
intervalo [0, t] hay O ocurrencias de Y, y la probabilidad de cero es p(O) =
e-..l.t(.ílt)o = e-.ílt es decir: O!
P(T > t) = e-.ílt, si t > O, o bien
F(t) = P(T :::; t) = 1- e-..tt si t >O
Hemos, demostrado que:
Y derivando tenemos la fd de la exponencial.
Teorema.4.2.2: Si X -v. Exp(A.) entonces:
(i) mx(t) = .íl~t , tEV(O)
(ii) E(X) =.!: A.
(iii) V(X) = ,;2
. { O si x <O (1v) F(x) =
1 -A.x . > 0 -e Sl X_
En efecto:
t<O t~O
Como l\>0, tE V(O) (t pertenece a una vecindad de cero)lo que completa la
prueba.
99
ii) Es inmediato que m~(t)]t=o = i c.q.d.
iii) también es obvio que E(X2) = m~(t)]t=o = (A.~~) 3L=o = ; 2 portante
V(X) = E(X2)- [E(X)]2 = ;2
c.q.d.
Teorema 4.2.3 Si X sigue una distribución exponencial de parámetro A., entonces
P(X >a+ b/X >a) = P( X> b)
Dejamos al estudiante demostrar esta propiedad, denominada "falta de
memoria" de la distribución exponencial.
4.2.3. la Distribución Normal
Definición.4.2.3 .. Se dice que una v.a. continua X sigue una distribución normal de
parámetros 11 y cr2,(X""N(J1, a2)), si su función de densidad es de la forma:
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
o
_.!(~)2 e 2 cr
f(x) = .fi1i , XE(-oo, oo) (]' 271"
NOO~~N~OO~~NON~~OO~N~~OON
·~~~~ 'óóóó óóóó ~~~~ 1 1 1 1 1 1 1 1
Figura 4.3
Densidades
Normales:
1. N(O, 1/2)
2. N(O, 1)
3. N(O, 1,5)
lOO
Algunas gráficas de la distribución normal están en la figura 4.3
El parámetro ~ es un número real cualquiera, después demostraremos que se
trata de la media de la distribución normal, y el parámetro a2 es un número real
positivo, también se demostrará después, que se trata de la varianza de la
distribución normal. Como a la raíz cuadrada de la varianza se le denomina
desviación estándar de la distribución, diremos que el número real positivo a es
la desviación estándar de la normal.
En el caso particular que ~=O y a2=1, se dirá que la variable aleatoria sigue una
distribución normal estándar. Se acostumbra a nombrarla por la letra Z, es decir
Z "" N (0, 1)
Y en consecuencia la función de densidad de la normal estándar es:
_.!_z2 e 2
f(z) = ,ffii, ZE( -oo, oo)
Volvamos a la normal ~. a2; fue estudiada por el matemático alemán F. Gauss,
por lo que la gráfica de esta función de densidad se le llama campana de Gauss.
En la gráfica 4.3 se ilustran las funciones de densidad de distribuciones normales
con ~=O y diferentes valores de a.
Se demuestra con integrales dobles que la función de densidad es legítima, es
decir queJ:: f(x)dx = 1, pero lo interesante como lo sugieren las gráficas es
que, para el caso de la normal estándar prácticamente
3,5
J f(z)dz = 1 -3,5
101
Y como veremos cualquier problema que involucra una X "" N(Jl, a 2 ) puede ser
calculada por la normal estándar, proceso que se llama de estandarización.
Se resumen los siguientes teoremas relativos a la distribución normal.
Teorema 4.2.4. Si X"" N(Jl, a 2) entonces:
(ii) E(X) = J1
(iii) V{X) = a2
Ejemplo 4.2.2 Demostremos que la función de densidad de la normal N(Jl, a 2) es
legítima.
/ 2 = dz dz = du dv (foo e -.}Cz? ) (Ioo e -;\z)2
) foo foo e -;1
(u2 +v2
)
-oo ffrr -oo ffrr -oo -oo 2rr
Pasando a coordenadas polares
du dv = lfldr de, con J1 =reos e, v = rsen e, 111 = r
Por tanto, l=l.cqd.
Teorema .4.2.5. Si X "" N (Jl, a 2) entonces
102
Y= aX + fl 'V- N(aJ.l + {1, a 2 a2) "La variable aleatoria Y = aX + ~ sigue una
distribución normal cuyos parámetros son aiJ.+~ y a2cr2"
Corolario. Si X 'V- N(J.l, a 2) entonces
X-J.l Z = -- 'V- N(O, 1)
O"
Demostración del teorema 4.2.5
La demostración del teorema 4.2.5. es una sencilla aplicación del capítulo
función de función dado en 4.1.3, es decir vamos a obtener la función de
densidad de la variable Y= aX + {3:
Paso 1: Sea
Paso 2: (derivando, respecto a y, el primer miembro, 'antes de la igualdad 1', y
el último miembro 'después de la igualdad 4') obtenemos: g(y) = f (Y:P) ·~y aplicando f (la f.d de la normaiiJ., cr2 dado en la hipótesis) se tiene:
_!(y-(aJ.L+P))2
e 2 au
Paso 3: Hallamos el dominio de Y, para lo cual partimos del dominio de X,-oo <
X < oo obteniéndose -oo < aX + {l < oo y por tanto -oo < Y < oo , es decir el
dominio de Y es todo ~.
Por tanto, de acuerdo a su definición, de la distribución normal, Y 'V- N(aJ.l +
{3, a 2 a2), cqd.
103
Demostración del corolario es una aplicación simple del teorema 4.2.4:
Z = x~¡;. =~X+ (- ~); es decir, Z = aX + {3 con a = ~ y {3 = (- ~) se tiene
la tesis.
En consecuencia, si tenemos que
Y queremos calcular
P(a~X~b)
Estandarizando tendremos:
(a - J1 X - J1 b - Jl)
p --<--<-- = (J - (J - (J
(a- J1 b- Jl)
=P --~z~--a a
y como a la función de distribución de la normal estándar se suele denotar <f>,
tenemos:
_ (b - Jl) (a - Jl) -<P--<P-(J a
En síntesis:
(b - Jl) (a - Jl) P(a~X~b)=</J -a- -<P -a-
Pues como se sabe P(X ~ b) = F(b), y en la misma forma P(Z ~ z) = cfJ(z)
104
Uso de tablas.
Como ya se dijo
z
cjJ(z) = P(Z < z) = J f(t)dt -oo
Donde el integrando es la función de densidad de la normal estándar; tiene
significación real para valores de z, que están en el intervalo [-3,5, 3,5]
aproximadamente, para dichos valores cjJ(z) viene dado en tablas, de centésimo
en centésimo (percentiles), luego fuera de él no estará tabulado y debemos
precisarlo directamente.
Ejemplo. Sin tablas deducimos que:
cjJ( -4) = cjJ( -5) = cjJ( -20) = O, claro que no será exactamente cero pero
para nuestros propósitos lo consideraremos así.
Asimismo cjJ( 4) = cjJ(5) = cjJ(20) = 1 ; cjJ(O) = 0.5000
Ahora verifiquemos en tablas de la distribución normal estándar:
cjJ(1.75) = 0.9599; cjJ( -1.75) = 0.0401
Nótese que cjJ( -z) = 1- cjJ(z); verifíquese además:
cp(2.6) = 0.9953 cp(3,5) = cp(3,51) = cp(3.52) = ... = cp(3.59) = 0.9998, etc.
Verifíquese que cjJ(1.577) no está en tablas, (se calcula interpolando, véase más
abajo).
Verifíquese en tablas:
lOS
cp(z0 ) = 0.0054 1- zo = -2.55
cp(z0 ) = 0.7157 1- zo = 0.57
cp(z0 ) = 0.5682 1- zo no está en tablas, (se calcula interpolando, véase a
continuación)
Interpolación
Nuestra interpolación, cualquiera sea el caso, tendrá dos columnas una para z y
otra para cp(z),
Ejemplo 4.2.3:
Calcular cjJ(1.577). En tablas sólo hay cp(1.57) y cp(1.58), el valor pedido debe
estar entre valores de éstos:
z ~ cp(z)
[ [1,570
10 7
1,577 1,580
X 7 De donde:- = - 1- x ~ 8
11 10
Por lo que el valor pedido es 0.9426
Ejemplo 4.2.4:
0,9418] l ? X 11
0,9429
Calcular zo si cp(z0 ) = 0,5682. Observamos en tablas de la normal estándar que
los valores más próximos (anterior y posterior al número dado) son 0,5675 y
0,5714 que corresponden a 0,17 y 0,18 respectivamente, luego,
z ~ cp(z)
106
[ [0,170
10 X 7
0,180
Luego zo es aproximadamente 0,172
Ejemplo 4.2.5
0,5675] l 0,5682 7
39 0,5714
El tiempo de vida en horas de los chips de una computadora, producida por una
industria, tiene distribución normal con parámetros J.l=1,4x106 y cr2=9x101o.
Obtenga una estimación para la probabilidad de que un lote de 100 chips,
contenga por lo menos 20 chips que duren más de 1,8x106 horas.
Solución. X: tiempo de vida de chips en horas, producidas por una industria.
P(X>1,8x106) = 0,0913
Y= Número de chips que duran al menos 1,8x1o6 horas
Y-v- b (100, 0,913)
P(Y>20) =0,0012
4.2.4. La distribución gamma.
Definición 4.2.4. Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución gamma
de parámetros a,~. brevemente: ?C -v-Gamma (a,~). si su fdp es
107
{
xa-1 e-~ f(x) = par(a) ' x ~ O
O, otro caso
Donde (a) es la función gamma, cuya definición y propiedades importantes
exponemos a continuación:
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Propiedades importantes de la función gamma son:
1. f(a) = (a-1)f(a-1)
2. f(n) = (n-1)!
3. f(1/2) = ..¡rr 4. (1)=1; (2)=1! = 1
1 3 S 7 9 111315171921232527293133353739
Figura 4.4
Densidades de distribuciones gamma:
as1, ~>1, perfil de J transpuesta
a>1 y ~S1, o ambos positivos, el perfil
presenta un máximo en
x = {J(a -1)
Nota. Para obtener las unidades
reales del eje horizontal, hay que
dividir a las que aparecen por 10
108
4.2.4.1 Propiedades de la distribución gamma:
l. Las propiedades gráficas están tratadas en la figura 4.4
2. las propiedades analíticas de la distribución gama están dadas en el teorema
4.2.5, allí veremos los momentos, con los cuales se pueden hallar la esperanza,
la varianza y los coeficientes de asimetría y curtosis.
3. Si se tiene que X ""Gamma (a, p), con p = 1, la distribución s~ llama gamma
estándar.
4. La función de distribución, de la gamma estándar: F(x, a), que aparece a
continuación, se llama gama incompleta, hay tablas para esta fda
1 IX F(x a) = -- ta-le-tdt ' r(a) o '
Teorema 4.2.6. Si X ""Gamma (a, Pl entonces
(i) mx(t) = c~¡1tr, t < i (tE V(O))
(ii) E(X) = af3
(iii) V(X) = af32
Dem (i)
Cqd.
X> 0.
109
4.2.5. La distribución Ji-cuadrado
Definición 4.2.5. Si X "" r (~ , 2) entonces decimos que X sigue una distribución Ji
cuadrado con v grados de libertad (g.l.). Obsérvese que la distribución Ji
cuadrado depende de un solo parámetro, que es v (la letra griega nu). Y se
denota X""X~ "X sigue una distribución Ji-cuadrado con v g.l."
Corolario Si X ""X~ entonces
1. La función de densidad de X es
{x~-1 e-x/2
x;;::o f(x) = z~r (~) '
O, otro caso V
2. mx(t) = (-1-)
2, tE V(O)
1-2t
3. E(X) =V
4. V(X) = 2v
La demostración del corolario 4.2.6. es una simple aplicación del teorema 4.2.5,
remplazando sus parámetros.
La gráfica de la función de densidad de la variable aleatoria X con distribución
X""X~ está en la figura 4.5
1 5 9 1317212529333741454953576165697377818589
Figura 4.5
Función de densidad X~
El valor real de los datos
del eje X es el valor que
aparece dividido por 10
110
Teorema 4.2.7 Si X """ N (O, 1}, entonces Y= X2 sigue una distribución xi (El
cuadrado de una normal estándar, sigue una distribución ji-cuadrado con un
grado de libertad)
En efecto, vamos a hallar la función de densidad de Y, haciendo uso de 4.1.3.
Paso 1: G(y) = P(Y:::;; y) = P(X2 :::;; y) = P( -.jY:::;; X:::;; .JY) = F(.jY)
F(-fY)
( ) 1 ( r::;¡ ( 1 ) f(..fj) e-Cl/2)y
Paso2:g(y)=1f .jY 2..¡y+f --vY;
2..¡y =2 ..¡y =3 ..¡y{Zn
Pero, el segundo miembro de la igualdad 3, es la función de densidad de la ji
cuadrado con un grado de libertad, c.q.d.
Paso 3 Como -oo < X < oo entonces X2 ;;::: O, es decir Y ;;::: O es el dominio de Y,
luego
y;;:::o
otro caso
4.2.6. la distribución beta.
Definición 4.2.6. Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución beta de
parámetros ay ~~ambos reales positivos, (X -vo Beta (a,~)), si su fdp es
{
xa-1 (1 _ x)P-1
f(x) = B(a, {3) ' o, otro caso
Donde B (a,~) es la función beta cuya definición y algunas propiedades se dan a
continuación
111
6
B(a,p) = J.'xa-l (1- x)P-1dx
l. B(a, {3) = r(a)r(p) rca+P)
2. B(a, {3) = B(f3, a)
3. Las propiedades gráficas de la distribución beta, vienen dadas en la figura
4.6
4. El máximo de las distribuciones beta, cuando ambos parámetros son
mayores que uno ocurren en el valor indicado a continuación, que aplicado a la
función B(3, 3) del gráfico 4.6 da un máximo en x= 0.5
a-1
Figura 4.6
x=----a+{J-2
l. Si a<O y ~>O la función de
densidad tiene perfil de J
transpuesta. Es el caso 1: B(O.S, 2)
2. Si a>O y ~<0, la función de
densidad tiene perfil de J. En el
gráfico 2.Corresponde a B (2, 0.5).
3. Si a y ~ son mayores que uno, la
gráfica de la densidad tiene un
pico, no necesariamente al centro.
La línea 3 representa la densidad
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 de la distribución B(3, 3)
4.2.1. La distribución de Weibull
Fue creada por el ingeniero suizo, Walodi Weibull, sus parámetros son a y {3.
112
{ .!!..._ xa-1 e -(x/ {3)a X > O
f~)= pa ' ' O en otro caso
a,p >O
Ejercicio 4.1
1 La duración de un láser semiconductor a potencia constante, tiene una
distribución normal con media 7000 horas y desviación estándar de 600 horas.
(a)lCuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5000 horas? (b)¿Cuál es
la duración en horas excedida por el 95 % de los láseres? (e) Si se hace uso de
tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera independiente
¿cuál es la probabilidad de que tres sigan funcionando después de 7000 hora?
Respuestas (a) 0,0004 (b) 6013 horas (e) ejercicio
2 Demostrar el teorema 4.1.1.(i)
3 Demostrar el teorema 4.2.3
4 Demostrar el teorema 4.2.4 (ii)
S Demostrar el teorema 4.2.4 (iii)
6 Demostrar el teorema 4.2.5 (ii)
7 Demostrar el teorema 4.2.5 (iii)
8 Demostrar que si X""f(l, p) entonces X sigue una distribución exponencial con
parámetro A.= 1/~
9 {
x/9 Si X"" f(x) = (6 ~ x)/9
,O <x:::; 3 3<x<6 otro caso
113
a) Hallar la f.g.m. de X
b) Usando a) calcule E(X)
e) Halle la función de distribución de X.
10 Halle una fórmula para deducirlos momentos de orden r de la distribución beta.
Y úsela para calcular E(X) y V(X)
11 Demostrar que la esperanza y varianza de una variable aleatoria que sigue una
distribución de Weibull de parámetro a y p son respectivamente
E(X) = p [r ( 1 + !) ] , V(X) = p2 [r ( 1 + !) -f 2 ( 1 + ~)]
/
114
CAPÍTULO V
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
Introducción
En ocasiones a un mismo espacio muestra! E, pueden aplicarse dos o más
variables aleatorias X: E-H~., Y: E-7Iffi., por ejemplo, cuando a cada una de un
conjunto de personas, se le hace corresponder su talla X, y su peso Y, entonces
el vector (X, Y) es una variable aleatoria o vector aleatorio bidimensional.
Por otro lado si lanzamos un dado dos veces, podemos definir variables
aleatorias Xl: número del primer lanzamiento, X2: número del segundo
lanzamiento, X3: suma de los números que salen, X4: valor absoluto de la
diferencia de los números; entonces la 4-upla (Xl, X2, X3, X4) es una variable
aleatoria tetra-dimensional. Vamos a estudiar los tópicos que consideramos
más importantes de las variables aleatorias bidimensionales y los
generalizaremos a variables aleatorias n-dimensionales.
Si tanto X como Y son discretas, (X, Y) será una variable aleatoria bidimensional
discreta, (v.a.b.d), si ambas son continuas (X, Y) será continua, hay casos donde
una es discreta y la otra continua, entonces la dupla mencionada será mixta,
este caso, no será estudiado aquí.
5.1. Variable aleatoria bidimensional discreta
Supongamos que (X, Y) es discreta, entonces llamamos rango de X y rango de Y
a los conjuntos:
Rx = {xi,Xz, ... Xm}, Ry = {YvYz, ···Yn}
115
los valores de X, y a los valores de Y, claro está, siempre que los valores de
ambas variables aleatorias sean finitas. Nuestro propósito es definir la
distribución conjunta de la v.a.b.d (X, Y), por tanto debemos asignar una
probabilidad a cada par (xi, Yi) E RxxRy, (producto cartesiano de los rangos)
que denotaremos
y que leeremos "probabilidad de que X tome el valor xi e Y tome el valor Y/' ¿cómo calculamos esta probabilidad?, dependerá del experimento aleatorio
que le dio origen, por lo pronto, diremos que la manera de presentar la
distribución (conjunta) consistirá en llenar una tabla de doble entrada, ver tabla
5.1
Tabla 5.1
!. Y\X-+ Xl X2 ... X m
Yl ...
Yz ...
... ... ... . .. . ..
yn ...
Definición 5.1.1. La distribución conjunta de la v.a.b.d (X, Y) donde Rx =
{x11 x2 , ... Xm} es el conjunto de valores de X y Ry = {y11 y2, •.. Ynl el rango de la
variable aleatoria Y, se define
116
Si los rangos de X e Y son finitos. Similarmente se define para el caso infinito
numerable.
Tal como ocurre en el caso discreto, esta definición involucra dos propiedades:
(i)
(ii)
{Pxy(Xt,Y¡) 2: O, V (xt,Y¡) E Rx X Ry
O, otro caso
LJ=1Ly;1Pxy(xt,Y¡) = 1
Ejemplo 5.1.1. Se sacan tres bolas sucesivamente y sin reposición, de una urna que
contiene cuatro bolas idénticas, numeradas 1, 2, 3, 4. Sean X: la suma de los
números de las dos primeras extracciones, e Y: la suma de los números de las
dos últimas extracciones. Hallar la distribución conjunta de (X, Y)
Tabla 5.2
(i, j. k) {X, Y) (i, j. k) {X, Y) (i, j. k) (X, Y)
(1, 2, 3) (3, 5) (2, 1, 4) (3, 5) (3, 2, 4} (5, 6)
(1, 3, 2) (4, 5) (2, 4, 1) (6, 5) (3, 4, 2) (7, 6)
(1, 2, 4) (3, 6) (2, 3, 4) (5, 7) (4, 1, 2) (5, 3)
(1, 4, 2) (5, 6) (2,4, 3} (6, 7) (4, 2,1} (6, 3)
(1, 3, 4) (4, 7) (3, 1, 2) (4, 3) (4, 1, 3} (5, 4)
(1, 4, 3} (5, 7) (3, 2, 1) (5, 3) (4, 3, 1) {7, 4)
(2, 1, 3) (3, 4) (3, 1, 4} (4, 5) (4, 2, 3} (6, 5)
(2,3, 1) (5, 4) (3, 4, 1) (7, 5) (4, 3, 2) (7, 5)
117
Solución. El espacio muestra! consiste en las P (4, 3) = 24 ternas (i, j, k) del
conjunto {1, 2, 3, 4}, cada una con probabilidad 1/24; luego se halla los pares (X,
Y) y se halla la distribución conjunta de (X, Y). El proceso está en la tabla 5.2, y
los resultados en la tabla 5.3.
Tabla 5.3
J. Y/X-+ 3 4 5 6 7
3
4
5
6
7
o 1/24 2/24 1/24 o
1/24 o 2/24 o 1/24
2/24 2/24 o 2/24 2/24
1/24 o 2/24 o 1/24
o 1/24 2/24 1/24 1/24
Si en el ejemplo, 5.2.1.bajo las mismas condiciones la extracción se hubiera
realizado con restitución, el resultado aparece en la tabla 5.4: (como puede
verificarlo el estudiante)
Tabla 5.4
J. Y/X-+ 2 3 4 5 6 7 8
2 1/64 1/64 1/64 1/64 o o o
3 1/64 2/64 2/64 2/64 1/64 o o
4 1/64 2/64 3/64 3/64 2/64 1/64 o
.5 1/64 2/64 3/64 4/64 3/64 2/64 1/64
6 o 1/64 2/64 3/64 3/64 2/64 1/64
7 o o 1/64 2/64 2/64 2/64 1/64
8 .. o o o 1/64 1/64 1/64 1/64
118
Si sumamos, en ambas distribuciones discretas halladas, las distribuciones
bidimensionales para cada valor de X (hacia abajo, al margen inferior de la
distribución conjunta) y para cada valor de Y (hacia la derecha) se hallan las
distribuciones unidimensionales de X e Y denotadas PxCxa y py(yi) (a veces los
denotadas como p1 (xi) y p2 (Yi )); como aparecen al margen, las llamaremos
distribuciones marginales de X e Y respectivamente, como veremos estas nos
aportan propiedades interesantes para definir variables aleatorias
independientes y que después generalizaremos a las v.a.n-dimensionales.
Definición 5.1.2. Las distribuciones marginales de la v.a.b. discreta (X, Y) se definen:
PxCxa = l.}=1 Pxy(xi, Yi), i = 1, 2, ... , m, (distribución marginal de X)
Las distribuciones marginales del ejemplo 5.2.1, están al margen. De las tablas
5.5 y 5.6
Tabla 5.5
.J,v¡x..:; 3 4 S 6 7 Pv(Yi)
3. o 1/24 2/24 1/24 o 4/24
4 1/24 o 2/24 o 1/24 4/24
S 2/24 2/24 o 2/24 2/24 8/24
6 1/24 o 2/24 o 1/24 4/24
.7 o 1/24 2/24 1/24 o 4/24
Px(xi) 4/24 4/24 8/24 4/24 4/24
119
Tabla S.6
.J,Y/X-+ 2 3 4 S 6 7 8 Pv(Y¡)
2 1/64 1/64 1/64 1/64 o o o 4/64
3 1/64 2/64 2/64 2/64 1/64 o o 8/64
4 1/64 2/64 3/64 3/64 2/64 1/64 o 12/64
S 1/64 2/64 3/64 4/64 3/64 2/64 1/64 16/64
6 o 1/64 1/64 1/64 1/64 1/64 1/64 12/64
7 o o 1/64 2/64 2/64 2/64 1/64 8/64
8 o o o 1/64 1/64 1/64 1/64 4/64
Px(xi) 4/64 8/64 12/64 16/64 12/64 8/64 4/64
Observamos que Pxy(xi, Yi) * PxCxapy(yi), en todo xi e Yi en el primer caso.
En el segundo caso, en algunos se verifica Pxy(xi, Yi) = PxCxapy(yi), para
otros no, por ejemplo Pxy(2, 5) = :4 = (
6
4
4) G!) = Px(2)py(5); pero
Pxy(8, 7) * Px(8)py(7). Sin embargo, existen variables aleatorias
bidimensionales, para los cuales se cumple
Entonces definiremos variables aleatorias unidimensionales X e Y
independientes y generalizaremos para la variable aleatoria n-dimensional con
distribución conjunta como sigue
Definición S.1.3 Si (X, Y) es v.a.b.d, diremos que Las variables unidimensionales X e Y
son independientes, si
120
Definición 5.1.4 las . variables aleatorias discretas X11 X2, ••• Xn distribuidas
conjuntamente son independientes, si la· distribución conjunta es igual al
producto de sus variables aleatorias unidimensionales; es decir:
Nota. Tomemos una v.a. tridimensional (X, Y, Z) discreta, y supongamos que X toma
m valores, Y toma n valores y Z, p valores. Y que nos ingeniamos para colocar las
mnp probabilidades conjuntas en número igual de cajones en una gráfica
tridimensional. Si sumamos los contenidos de estos cajones hacia abajo,
obtendríamos la distribución marginal bidimensional de (X, Y) que aparecerán
en el plano XV. Si a continuación sumamos estas últimas hacia el fondo,
obtendríamos la distribución unidimensional marginal de Y, y si en lugar de
sumar los números que aparecen en el plano XV hacia el fondo, los sumamos
hacia la izquierda, obtendríamos la distribución marginal de X. Estamos
indicando, que una v.a. tridimensional, tiene tres distribuciones marginales
bidimensionales y tres distribuciones marginales uni-dimensionales. Y en
general una distribución n-dimensional, tiene además de las distribuciones
marginales unidimensionales, variables aleatorias de distribución marginal de 2,
3, ... n-1 dimensiones.
Veamos las variables aleatorias bidimensionales continuas, (X, Y), vamos a
definir la función de densidad conjunta siguiendo el modelo de las funciones de
densidad unidimensionales:
5.2 Variable aleatoria bidimensional continua
Definición 5.2.1. Decimos que una v.a bidimensional (X, Y) es continua si existe una
función
121
f: ]R{2 -7]R{, tal que se cumplan las tres condiciones:
(i) f(x, y) ~o en todo ]R{2
(ii) f_00
00 J~00 [(x, y)dx dy = 1
(iii) Si Ac]R{2 entonces P(A) = ff A f(x, y)dx dy
Ejemplo 5.2.1. La variable aleatoria (X, Y) tiene la siguiente función de densidad
conjunta:
f(x,y) = {30~y2,'
Calcular a). P (XSl/2, YSl/2)
x -1 ~y~ 1-x,
b). P(X>Y)
O~y~1
otro caso
Solución. Los recintos sobre los que se levanta la función de densidad conjunta y
ésta es diferente de cero, está en la figura 5.1; el suceso para el problema a)
está en la figura 5.2 y el del problema b), en la figura 5.3.
1
Figura 5.1 Figura 5.2 Figura 5.3
( 1 1) J,1/2 J1/2 2 9 a) P X< 2• Y< 2 = 30 0 x-1 xy dy dx =
16 (volumen sobre la figura
5.2)
!. x 1 1-x b) P (X> Y) = 30 Jg fx_
1 x y 2dy dx + 30 f!. x fx_
1 y 2dy dx = 0.65625
2
122
El cálculo de las marginales para la fd conjunta (X, Y) del ejemplo 5.3.1 se ha
colocado a continuación de la siguiente definición de las marginales continuas:
Definición 5.2.2. Si (X, Y) es una v.a. bidimensional continua, las funciones de
densidad marginal
respectivamente:
de las v.a. unidimensionales X e Y se definen
fx(x) = f~oof(x,y) dy (f.d. marginal de X)
(f.d. marginal de Y)
Nota. A veces las densidades marginales los denotamos: f1 (x) y fz(y)
respectivamente
Ejemplo 5.2.2. Veamos las densidades marginales para la fd conjunta (X, Y) del
ejemplo 5.2.1:
fx(x) = {I:~: 30xy2
dy, O ::; x::; 1 O , otro caso
{20x(l - x) 3 , O < x ::; 1 O , otro caso
{
r1-y 2 Jo 30 xy dx,
fy(y) = J:+130xy 2dx,
o '
O ::; y::; 1 {1Sy2 (1- y) 2, O ::; y::; 1
- 1 ::; y ::; o = 15y2 (y + 1)2' - 1 ::; y< o
O otro caso otro caso '
Obsérvese que fxy(x,y) -=F fx(x)fy(y), diremos en este caso que las v.a. X e Y
no son independientes
Ejemplo 5.2.3. Halle las distribuciones marginales de (X, Y) con fd conjunta:
{
3 1 --(Bx+3y) -e 4 fxy(x,y) = 2 '
. o' X> O,y >o otro caso
123
Se calculan las funciones de densidad marginal, obteniéndose:
x>O
y>O
Falta añadir en ambas marginales: O en otro caso. Se observa que el producto
de las marginales unidimensionales es la densidad conjunta:
3 -~ ~ -icax+3y) fx(x)fy(y) = 2e-2x -e 4Y = 2 e ' x >O, y> O
4 o, otro caso
Definición 5.2.3.
(i). Diremos que las v.a. unidimensionales continuas son independientes si
fxy(x,y) = fx(x)fy(y)
(ii). Diremos que Xl, X2, ... , Xn son v.a. continuas independientes si la función de
densidad conjunta es el producto de sus densidades marginales
unidimensionales; es decir si:
Ejemplo 5.2.4. Sean Xl, X2, X3, X4 variables aleatorias independientes. Halle su
distribución conjunta si son v.a
a). Que siguen distribución de Poisson de parámetro í!. = S,
b). Xi-v-Po (í!.i)
e). Continuas y Xi -v-Exp(2)
124
d). Continuas y Xi ""N (4, 1)
e). Continuas y Xi ""N (Jl, o-2)
Solución.
------------- -------
Nótese que si en particular xl = 3, x2 = 4, x3 = 5 y x4 = 4, se tendría
p(X1 = 3, X2 = 4, X3 = s, X4 = 4) = p(3,4,5,4) = 7,5836xlo-4 = 0,00076.
e-20 516
3!4!5!4!
e -íll í!.l xl e -íl2 Az x2 e -íl3 í!.3 x3 e -íl4 í!.4 x.¡,
~! ~! ~! ~! =
e -(íll +íl2 +íl3 +A.4) í!.l xl Az x2 íl.3 x3 í!.4 x4
x1 ! x2 ! x3 ! x4 !
Nótese que en el caso b), no se conocen los valores íl.i ni los xi, para dar un
ejemplo concreto deberá especificárselos.
Por ejemplo podemos hallar
P(X, < 3,Xz < 3,X3 < 3,X• < 3) = [P(X, < 3)]' = [f 2 e-2xdxr = 0,99012
125
Pero la independencia suele usarse en la forma siguiente, para la misma v.a.
dada en e):
P(X1 < S,X2 < S,X3 < 3,X4 < 3) = [cp(S- 4)]2[cp(3- 4)]2 = 0,01782
e -~(It=l(~t) 4a4rr2
Definición 5.2.4. La función de distribución de una v.a. bidimensional se define:
F(x, y) = P(X::; x, Y::; y), (x, y) E IR2 , tanto para distribuciones discretas
como para distribuciones continuas. Por tanto si la v.a.b. (X, Y) es discreta, se
tiene
F(x,y) = L L p(xi•Yj) YjSYX¡SX
Mientras si (X, Y) es v.a.b.c. con función de densidad conjunta f(x, y), se tiene:
y X
F(x,y) = J J f(s, t)ds dt (x,y) e Iffi.z
-oo -oo
Ejercicios 5.1
l. Un dado legal tiene dos caras opuestas marcadas con 1, otras dos caras
opuestas marcadas con el número 2 y las otras dos con 3. Se lanza el dado
dos veces. Sea X: la suma de los números de sus caras superiores y sea Y: el
valor absoluto de la diferencia. Halle la distribución conjunta de (X, Y), y las
distribuciones marginales Px Cxa y py(yJ
126
2. Se lanza un dado legal dos veces. Sea X: el máximo de los números que salen
en las dos tiradas. Sea Y: valor absoluto de la diferencia de los números que
salen en ambas tiradas. Y sea Z: el cuadrado de la diferencia de los números
que salen en ambas tiradas. Halle la distribución conjunta de (X, Y, Z); y las 6
distribuciones marginales correspondientes.
3. Una empresa recibe llamadas a un conmutador telefónico Sea X: el número
de llamadas los días lunes, Y: el número de llamadas los martes y Z: el
número de llamadas los miércoles. Suponiendo que las llamadas son
independientes y que siguen una distribución de Poisson de parámetro íl. =1S
(por día), hallar la probabilidad
a). De que reciba no más de 8 llamadas cada día.
b). De que reciba a lo más ocho llamadas diarias.
e). Que los lunes, martes y miércoles reciba exactamente 10 llamadas por
día.
4. Tres bolas son seleccionadas al azar de un conjunto que tiene 3 bolas
blancas, 4 rojas y S azules. Sea (X, Y) la v.a.b.d: número de bolas rojas, y
número de bolas azules, respectivamente. Halle la distribución conjunta de
(X, Y).
S. Consideremos una urna con tres bolas azules, dos blancas y 1 roja. Se
extraen tres bolas sin reposición. Sea X: número de bolas azules , e Y:
número de bolas blancas que aparecen en la extracción. Halle la distribución
conjunta de (X, Y) y la esperanza de Y
127
6. Suponga que (X, Y) se distribuye uniformemente en el círculo de radio uno.
Halle la distribución conjunta de (X, Y), las distribuciones marginales, y diga si
X e Y son variables aleatorias independientes.
7. Demostrar que P(a <X$; b, e< Y$; d) = F(b, d)- F(a, d)- F(a, e)+
F(a, e)
8. (X, Y) se distribuye uniformemente en el triángulo de vértices (O, O}, (3, O) y
(2, 2}. Halle la función de densidad conjunta de (X, Y), las distribuciones
marginales, y E(X) y E(Y)
9. Sea (X, Y), variable aleatoria bidimensional continua, con fd conjunta
¡ 40 2 2 f(x,y)= 2637xy; y<x; y<6-x,y>1
O, o~oe~o
a) Halle las distribuciones marginales de X e Y b) P(X<3 1 Y>2)
5.3. Esperanza y Covarianza de una v.a. bidimensional (X, V)
Siguiendo el proceso del estudio de las variables aleatorias de una dimensión,
seguiría para las bidimensionales, el estudio de la esperanza, la covarianza, los
momentos, las funciones generatrices de momentos, y las distribuciones
condicionales. De estos temas sólo desarrollaremos lo que nos ha de ser útil
para el objetivo que nos hemos trazado; el resto lo definiremos en cuanto nos
haga falta. De allí el título del presente parágrafo.
Definición 5.3.1. Llamamos esperanza de una función real H(X, Y), de una v.a.b (X, Y)
discreta:
128
E[H(X, Y)] = L L H(xi•Yi)Pxy(xi, Yi) j=l i=l
Siempre que la suma sea absolutamente convergente
Y para el caso que (X, Y) sea v.a. continua definimos:
00 00
E[H(X, Y)]= J J H(x,y)fxy(x,y)dxdy -oo -oo
Si la integral es absolutamente convergente.
Ejemplo 5.3.1. Hállese la esperanza de H(X, Y) = X+Y para la v.a.b.d. del ejemplo
5.1.1.
Solución. Como
Se tiene: E(X) + E (Y) =
3 ( 2:) + 4 e:) + S (z8
4) + 6 ( 2:) + 7 ( 2:) + 3 ( 2:) + 4 (2:) + S ( 2
8
4) + 6 (~) + 7 ( 2:) = 10
En este mismo ejemplo se define otra variable bidimensional (X, Y), cuando el
muestreo se realiza con reposición. En ese caso la esperanza de X+ Y es:
[2 (~) + 3 ( 6
8
4) + 4G!) + s (~!) + 6 G!) + 7 (:4) + 8 ( 6:)] 2 = 3,87S ,
129
Ejemplo 5.3.2. Hállese la esperanza de x3y2 para la v.a.b.c del ejemplo 5.2.1
Solución
J T (x3y 2)(30xy2)dy dx ~ 30 J x 5 [ Jx y 4 dyl dx = 3 263~ = 3,2684
O x-1 O x-1
Definición 5.3.2. Si las medias de X e Y son Jlx y Jly se define covarianza de (X, Y):
cov(X, Y) = E[(X- Jlx)(Y- Jly )]
La covarianza es una medida de la variabilidad conjunta de X e Y, una covarianza
positiva indica que cuando una de las variables crece, también crece la otra.
Mientras que una covarianza negativa indica lo contaría, cuando una crece la
otra decrece. Si para unos casos X-Jlx toma valores positivos y para otros
negativos, indistintamente y lo mismo pasa con las diferencias Y-J.Lv, la
covarianza tomará valores alrededor de cero.
Como la covarianza depende de las unidades de medida, una manera de
convertirlas en adimensionales es dividiendo por el producto de sus
desviaciones estándar respectivas; por eso se define el coeficiente de
correlación p.
Definición 5.3.3. El coeficiente de correlación de X e Y se define
cov(X,Y) PxY =
a xO"y
Mencionaremos algunas propiedades de la esperanza, y covarianza que nos
serán útiles más adelante, demostraremos algunas de ellas en sendos ejemplos
y pedimos la demostración del resto al estudiante.
130
5.3.1. Propiedades de esperanza y covarianza.
(i) E( e) = e, e constante
(ii) E[c(H(X, Y)]= e E[H(X, Y)]
(iii) E[G(X, Y) + H(X, Y)] = E[G(X, Y)] + E[H(X, Y)]
(iv) Si X e Y son v.a. independientes, entonces E[XY] = E(X)E(Y)
(v) Si X e Y son v.a. independientes, entonces E( a X+ bY)= a E(X)+b E(Y)
(vi) Si X e Y son v.a. cualesquiera entonces V (a X + b Y) = a2V(X) +
b2V(Y)+ 2a bcov(X, Y)
(vii) Si X e Y son v.a. independientes, entonces E[G(X)H(Y)] = E[G(X)] E[H(Y)]
(viii) cov (X, Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
(ix) Si X e Y son v.a. independientes entonces cov(X, Y) =O
(x) Si X e Y son v.a. independientes entonces V (a X+ bY)= a2V(X) + b2V(Y)
(xi) -1 :5 PxY :5 1, V (X, Y)
(xii) V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2cov(X, Y)
Nota. Los teoremas se cumplen bajo condiciones.
Ejemplo 5.3.3. Demostrar la propiedad 5.4.1. (iii)
Demostración. Sólo para el caso continuo:
E[G(X, Y)+ H(X, Y)]= L: L: [G(X, Y)+ H(X, Y)]f(x,y)dx dy =
L: L: G(X, Y)f(x,y)dx dy + L: L: H(X, Y)f(x, y)dx dy =
= E[G(X, Y)] +E[ H(X, Y)] cqd.
Ejemplo 5.3.4. Demostrar que cov (X, Y) = E(XY)- E(X) E(Y). (Propiedad 5.4.1.(viii))
Demostración
cov (X, Y) = 1 E[(X- !-Lx)(Y- /-Ly)] = 2 E(XY- X¡.Ly- Y!-Lx + 1-Lx/-Ly) =3 E(XY)- 1-Lx/-Ly
131
Justificaciones de las igualdades, 1: definición de covarianza, 2: álgebra, 3:
propiedad 5.4.1. (iii)
Ejemplo 5.3.5. Hallar la covarianza de la distribución de (X, Y) del ejemplo 5.2.1,
cuando el muestreo se realiza con reposición.
Solución Se hace uso de la propiedad 5.3.1. (viii), la solución se muestra en la
tabla 5.7
Tabla 5.7
..J., Y/X~ 2 3 4 5 6 7 8 p(yj) yj p(yj) yf p(yj)
2 1 1 1 1 o o o 4 8 16
3 1 2 2 2 1 o o 8 24 72
4 1 2 3 3 2 1 o 12 48 192
5 1 2 3 4 3 2 1 16 80 400
6 o 1 2 3 3 2 1 12 72 432
7 o o 1 2 2 2 1 8 56 392
8 o o o 1 1 1 1 4 32 256
p(xi.) 4 8 12 16 12 8 4 64
xi p(xi.) 8 24 48 80 72 56 32 320
xi2 p(xi.) 16 72 192 400 432 392 256 1760
Cov (X, Y)
5 0'2- 2.5 1.25
fl.x= x- =
5 0'2- 2.5 a (X, Y)= 0.5
fl.v= y-
Ejemplo 5.3.6. Demostrar la propiedad 5.4.1. (xi).
Se trata de demostrar que IPxY 1 < 1 o equivalentemente
lcov(X, Y)l E[(X- JLx)(Y- Jly)]
axay - .JE[(X- JLx) 2 ].JE[(Y- JLy)2] ::::;;1
132
O equivalentemente
{E[(X- Jlx)(Y- Jly)]F E[(X- J1x)2]E[(Y- Jly)2] $; 1
Podemos simplificar para ver de dónde podemos partir; poniendo U = (X-Jlx) y V
[E(U)ev)]Z [ e )]2 2) 2) E(U 2 )EeV2 ) $; 1 1---1 Eeu) V $; Eeu Eev
Si aceptamos la última desigualdad válida, como la desigualdad de Schwarz, ya
no habría nada que demostrar. Sin embargo es posible llegar a esta desigualdad
partiendo de
E(U- aV) 2 ~O, Desigualdad verdadera, para cualquier valor de a. Y haciendo
EeUV) a= EeV2)
Se deja completar los detalles que faltan, como ejercicio al estudiante
Ejemplo 5.3.7. Sea (X, Y) la variable aleatoria conjuntamente distribuida con función
de densidad conjunta:
¡ex, y)= (~ex+ 2y)e-2Y, o< x < 2, y> o
O , otros casos
Hállese la covarianza y el coeficiente de correlación de (X, Y).
Solución. Necesitamos hallar:a) E(X); b) E(X2); e) E(Y) d) E(Y2), e) E(XY).
133
2 1 7 =-+-f(2) =-
3 2 6
2 S 1 +-f(2) =-
3 3
1 1 3 -r(2) + -r(3) =-4 4 4
1 1 8r(3) + 8r(4) = 1
1 1 S -r(2) + -r(3) =-3 4 6
cov(X, Y)= E(XY)- E(X)E(Y) = ~- (~) (~) =-2
14
(--A) -1 P ~ ('T)('i) ~m~ -0,114
5.4. Probabilidad condicional
Definición 5.4.1. Sea (X, Y) variable aleatoria bidimensional discreta, con fd conjunta
p(x, y).y marginales p1 (x) yp2 (y) entonces la función de probabilidad
condicional discreta de X dado Y se define, siempre que p2 (y)>O:
134
P(X =X, y= y) p( X jy) = P (X = X / Y = y) = p (Y = y)
p(x,y)
P2(y)
En la tabla*** tenemos la distribución conjunta y las marginales de la variable
aleatoria discreta (X, Y) del ejemplo 5.2.1. Hallar la distribución de la condicional
p(x/Y = 6)
Tabla 5.8
.J, Y\X-7 3 4 S 6 7 pz(yJ)
3 o 1/24 2/24 1/24 o 4/24
4 1/24 o 2/24 o 1/24 4/24
S 2/24 2/24 o 2/24 2/24 8/24
6 1/24 o 2/24 o 1/24 4/24
7 o 1/24 2/24 1/24 o 4/24
Pt(xD 4/24 4/24 8/24 4/24 4/24
El resultado se halló dividiendo la fila 6 de la tabla 5.8 por 4/24 que es el valor
de p2 (y = 6):
yj 3 4 S 6 7
pi 2/8 2/8 o 2/8 2/8
En la misma forma obtenemos la distribución condicional p(y/x) = p(y/X=S) =
p(x, y)/p(X=S), dividiendo la columna S de la probabilidad conjunta entre 8/24 =
p(X=S):
xi 3 4 S 6 7
pi 1/4 o 2/4 o 1/4
135
Para variables aleatorias continuas la definición de probabilidad condicional es:
Definición 5.4.2. Sea (X, Y) variable aleatoria bidimensional, continua con fdp
conjunta f(x, y). La función de densidad condicional de X dado un valor fijo y de
Y, f(x/y) se define:
f(xfy) = f(x,y)ffy(y),
Donde fy(y), la función de densidad de Y es mayor que cero. De la misma
forma:
f(yfx) = f(x,y)ffx(x), fx(x) >O
Es la función de densidad condicional de Y dado X.
Ejemplo 5.4.7. Sea (X, Y) variable aleatoria bidimensional continua, con función de
densidad conjunta:
{
10x +y f(x,y) = 4 224 000 '
O,
En un momento dado y=SO. Hallar
a) P(X<SO/ y= SO)
b) Esperanza y varianza de X dado Y=SO
20<x,y<100
otro caso
Antes de la solución, reafirmemos porqué, tal como se ha definido es una
función de densidad condicional:
foo foo f(x,y) 1 foo fy(y)
_00[(xfy) dx = -oo fy(y) dx = fy(y) -oo f(x,y)dx = fy(y) = 1
Y por tanto cualquier probabilidad condicional usará esa función de densidad:
136
P(a <X< b / y)= Lb f(xfy)dx
La esperanza de cualquier función por ejemplo de X2 podrá calcularse:
Solución
a) Se halló en primer lugar la marginal de y:
1600 +y
fy(y) = 52800 ' 20 <y< 100 O, otro caso
Luego la densidad condicional de X dado Y=SO:
lx+ 5
f(xfy) = 5200 ' O,
20 < x < 100
otro caso
P(X < 50/ Y= 50) = 52~0 (50
(x + S)dx) = 0,2308 )20
1 1100 E(X / Y = 50) =
5200 x(x + S)dx = 68,205
20
E(X2 /Y= 50) = 5276,923
b) V(x) = 625
S.S. Teoremas sobre funciones generatrices y v.a.
independientes
Teorema 5.5.1. Si mx(t) = my(t), (esto es, si las funciones generatrices de
momentos de las variables aleatorias X e Y son iguales) entonces las
distribuciones de X e Y son iguales. (o, lo que es lo mismo, las funciones de
distribución de X e Y son iguales).
137
Nota. Este teorema, que no demostraremos, tiene suma importancia en lo que resta
del curso, nos permite identificar las funciones generatrices de momentos con
sus distribuciones y así descubrir, como veremos, la distribución de algunas
variables aleatorias.
Teorema 5.5.2. Sean X11 X2, ... ,Xn variables aleatorias independientes, y sea Y=
LY=1 Xi entonces my(t) = 11Y=1 mxt(t). (Es decir, si Y es la suma de los X¡, la
función generatriz de momentos de Y es el producto de las funciones
generatrices de momentos de los sumandos)
Es una aplicación sencilla de la propiedad 5.4.1. (vii). En efecto
Nota. Ahora veamos algunas consecuencias interesantes de los dos teoremas dados.
En primer lugar demostraremos que la suma de n variables aleatorias Bernoulli,
de parámetro p, tiene distribución binomial de parámetros n, p; veremos
después que las distribuciones Poisson, normal y Ji-cuadrado son reproductivas;
esto es que la suma de ellas tiene distribución del mismo nombre que las
sumandos, sólo varían sus parámetros.
Teorema 5.5.3. Sean X11 X2, ... ,Xn variables aleatorias independientes Xt ""Be(p),
entonces, si Y= ¿y=1 Xt, se tiene que Y"" b(n, p) (Y sigue una distribución
binomial de parámetros n, p.
Demostración.
138
Justificación de las igualdades: 1. teorema 5.6.2; 2. teorema 3.4.1 3.
Reales y teorema 3.4.2 (i). y la nota en la definición 3.3.5. cqd.
Teorema 5.5.4. Sean XvX2 , ... ,Xn variables aleatorias independientes Xi ~ P0 (A.i)
demostrar que si y= .Lf=lxi, entonces v~ Pa(Lf=lA.i).
Demostración
Justificación de las igualdades: 1. teorema 5.6.2 2. Ver teorema 3.4.6. y la
nota en la definición 3.3.5. Por tanto Y~ P0 (Lf=1 A.a cqd.
Corolario Si XvX2, ... ,Xn son variables aleatorias independientes, Xi ~ P0 (A.),
entonces Y = ,Lf=1 Xi sigue una distribución de Poisson de parámetro nA.
La demostración del corolario se deja como ejercicio para el lector.
Teorema. 5.5.5 La función generatriz de momentos de la distribución de Pascal de
( pet )r
parámetros r y pes mx(t) = --t 1-qe
Demostración Como y = Lt=l xi donde xi ~ G (p ), y la f.g.m. de la variable
geométrica está dada en el teorema 3.4.3 y nota a la definición 3.3.5, se tiene:
nr nr ( pé ) ( pé )T my(t) =1 i=l mx¡(t) =z i=l 1- qet =3 1- qet
Justificación de las Igualdades 1, teorema 5.6.2. 2, teorema 3.4.3 y nota a
la definición 3.3.5 3, reales cqd.
139
Teorema 5.5.6. Demostrar que la distribución normal de parámetros lli• al es
reproductora, es decir: si X11 X2 , ... ,Xn son variables aleatorias independientes y
xi '\]\N (/li• al}, i = l, ... n entonces y= Lt=l xi '\]\ NCLt=l ui 'Lt=l al}
Demostración
Justificaciones: l. Teorema 5.6.2. 2. Teorema 4.2.3 (i). 3. Reales
Pero el segundo miembro de la igualdad 3, de la demostración es la función
generatriz de momentos de la normal, de parámetros Lt=llli• Lt=l ai 2 luego de
acuerdo al teorema 5.6.1. Y tiene una distribución normal de los parámetros
dados.
Corolario Si X11 X2 , ... , Xn son variables aleatorias independientes y Xi ""N (/1, a 2),
i=l, ... ,n entonces Y= Lt=lXi ""N(n/1, na2)
La demostración de este corolario es inmediata aplicación del teorema 5.6.5,
puesto que Lt=l 11 = n11, y Lt=l a 2 = na2•
Teorema 5.5.7. Demostrar que si X11 X2 , ... ,Xn son variables aleatorias
independientes, con Xi "" N (/li• al), i = l, ... n entonces Y = Lt=l aiXi ""
N (Lt=l aiui , Lt=l af al}
Demostración
Se dejan las justificaciones como ejercicio para el lector. 1
140
Nota. El teorema 5.5.6 es un caso particular del teorema 5.5.7, haciendo en el
último, las constantes arbitrarias aí = 1, Vi = 1, 2, ... n
Corolario Si Xv X2, ... , Xn son variables aleatorias independientes, Xi "" N (Jl,
a 2), entonces X = 2:. Lf=1 Xi sigue una distribución normal de parámetros J1 y
. n
- 1 1 En efecto, X = - Lf=1 Xi = Lf=1 aíXi con aí = -, para todo i de 1 a n. Luego
n n
aplicando el teorema 5.6.7. X sigue una distribución normal, y
E(X) =E(~'\:'~ xi) =E('~ ~Xi) = '\:'~ ~E(X¡) = '\:'~ ~(Jl) = J1 nLt=1 Lt=ln Lt=ln Lt=ln
(1 In ) (In 1 ) 1 In a2 V(X) =V- Xi =V -Xi =---z V(X¡) =-n i=l i=l n n i=l n
Teorema.S.S.8 Si X11 X 2 , ... ,Xn son variables aleatorias independientes con medias
. 2 2 2 t' t y · y _ "n X Jlv J12 , ••. Jln y vananzas a1 , a2 , ... , an respec 1vamen e. s1 - Lli=l ai i con
ai, i = 1, 2, ... n constantes arbitrarias, entonces
Demostración.
(i) Jly = '\:'~ aiJli, Lt=l
(ii) a~ = '\:'n atal Li=1
cqd (i)
Justificaciones. l. Notación. 2. Definición de Y. 3. Teorema 3.2.1. 4. Hipótesis.
141
Justificaciones. l. Definición de varianza. 2. Definición de Y, y (i). 3. Propiedad de
sumatorias. 4. Ejercicio. S. Propiedad de esperanza. 6. Covarianza de v.a.
independientes es cero.
Corolario. Si Xv X2 , ..• , Xn son variables aleatorias independientes idénticamente
distribuidas con medias f1. y varianzas a 2, y si X = ~ Lf-1 Xi, entonces n -
fl.x = fl., Y a2
...... ~-vx - n
Teorema 5.5.9. Si Xv X2 , .•. , Xn son variables aleatorias independientes Xi ""x~ (Xi
sigue una distribución Ji-cuadrado con v grados de libertad) entonces Y =
Demostración
v nv
n n nn(1)2 (1)2 my(t) =¡ i=l mx¡(t) =z i=l 1 - 2t =3 1 - 2t
Justificaciones. Igualdad 1 Teorema 5.6.2
lguald9d 3, reales.
Igualdad 2 Corolario 4.2.6.
142
Y como el segundo miembro de la igualdad 3, es la función generatriz de
momentos de una Ji cuadrado con nv grados de libertad se tiene que Y""X~v
por el teorema 5.6.1. cqd.
Teorema 5.5.10. Si X1,X2 , ... , Xn son variables aleatorias independientes
idénticamente distribuidas Xi ""N(O, 1), entonces Y= .Lr=1 X/ sigue una
distribución Ji-cuadrado con n grados de libertad.
La demostración se deja como ejercicio para el lector
Teorema 5.5.11. Si X11 X2, ... , Xn son variables aleatorias independientes
idénticamente distribuidas xi "" Exp G)· entonces y = .Lr=1 xi sigue una
distribución gamma con parámetros n, {3.
Demostración. Si X sigue una exponencial de parámetro 1/{3, su f.g.m. es
mx(t) = -1
- por aplicación del teorema 4.2.2. (i), con A.= 1/{3, por tanto 1-Pt
Y como el miembro derecho de la desigualdad 3, es la f.g.m. de la distribución
gamma de parámetros n, {3, se tiene la distribución de Y es esa. cqd. Se dejan las
justificaciones como ejercicio para el lector.
Ejercicios 5.2
l. Demostrar que si Y = Lr=1 Xi , donde los X¡, so v.a. independientes Xi ""
re ai, {3) entonces y "" rc¿r=1 ai '{3)
143
2. Demostrar que si Xv X2 , ... , X k son variables aleatorias independientes, Xí "-"
b(ní, p), i = 1,2, ... k entonces Y= Lf=1 Xi es una variable binomial de
parámetros Lf=1 ni, p.
3. Demostrar el teorema S.6.10.
4. Demostrar que si X11 X2 , ... ,Xn son variables aleatoria independientes,
idénticamente distribuidas en forma exponencial de parámetro 1//3, entonces
S. Demostrar que si mx(t) es la función generatriz de momentos de X, y si Y=
aX + b, entonces la función generatriz de momentos de Y es my(t) = ebmx(a)
6. Usar el ejercicio S, para demostrar que si X "-" N(/1, a 2) entonces Y= aX +
b sigue una distribución normal (compare, ya entes se demostró lo mismo
usando otro método)
7. Hallar la función de densidad g(y) de la variable aleatoria Y= .Jxf.,Xi_, ... ,X~
sabiendo que las Xt , i = 1, ... , n son normales estándar
5.6 La distribución multinomial
Generalicemos la distribución binomial: en aquella se repetía n veces
independientes un experimento aleatorio Bernoulli de parámetro p, como
consecuencia, obteníamos una sucesión de éxitos y fracasos (con probabilidades
p y q, respectivamente), y definíamos la variable de interés X: número de éxitos;
y descubrimos la distribución binomial de parámetros n, p. (X "-"b(n, p)). Ahora,
no hay dos resultados posibles (éxito y fracaso) sino k resultados posibles:
Av A2 , ... , A k con probabilidades p11 p2 , ... , Pk respectivamente. Este
experimento se repite n veces independientes. Por tanto si Xi es la variable
aleatoria: número de veces que se repite Ai, i = 1, 2, ... , k en las n repeticiones
144
independientes del experimento, entonces decimos que la variable aleatoria
(X1,X2, ... 1Xk), es una variable aleatoria multinomial de parámetros n,
Pv p21 ... 1 Pk· Si una realización se representa por x11 x21 ... 1 xk, entonces x1 + x2+ ... +xk = n, y se tiene que la probabilidad del suceso (x11 x21 •• '1 xk) es
decir la probabilidad de que xl tome el valor Xv Xz tome el valor Xz ... y xk
tome el valor xk es:
La razón es simple, cada evento tiene la probabilidad p1 x1 p2x2 ... Pk xk pero
éstos pueden aparecer de P(n; x11 x2 1 •• '1 xk) maneras, de allí la fórmula.
Ejemplo 5.6.1. El experimento de lanzar un dado normal 4 veces, es un ejemplo de
la aparición de una variable aleatoria multinomial. En cada lanzamiento hay k=6
resultados posibles: Ai: "muestra el número i" con P(Aa = ~ 1 i: 11 21 ... 16 6
Si repetimos el experimento cuatro veces aparece la variable aleatoria
multinomial X( "número de veces que aparece el evento A/' , i: 11 2, ... 16 en las
cuatro repeticiones del experimento. Por tanto
Es la probabilidad de que la variable aleatoria Xi tome el valor Xi 1 i: 11 2, ... ,6 con
x1 + x2 + + ... + x6 = 4, Por ejemplo la probabilidad de que al lanzar un dado
normal4 veces aparezcan
a. Dos veces uno, y dos veces cinco es:
4! (1)2 (1)0 (1)0 (1)0 (1)2 (1)0 1 p(
2•0•0•0
•2
•0) = 2!0!0!0!2!0! 6 6 6 6 6 6 =216
145
b. Una vez uno, dos, tres y cuatro es:
c. Cuatro veces tres es
Ejemplo 5.6.2. Si se lanza un dado cuatro veces, ¿cuántos resultados posibles hay?
Solución:
a. Si los cuatro van a la misma casilla, hay seis resultados posibles AvA21 ... ,A6
cada uno con la misma probabilidad: Gt que hacen un total de 2~6 b. Si tres van a una casilla y uno a otra, hay P(6; 4,1,1) = 30 (cuatro veces el
cero una vez el 1 y una vez el 3) A7 ~ A8, ... 1 A36 , cada uno con la misma
probabilidad:4 (~)4
que hacen un total de_..§_ 6 54
c. Si dos van a una casilla y dos a otra, hay P(6; 4, 2) = 15 resultados posibles
más A371 A381 ... 1 A 51 cada uno con la misma probabilidad: 2 ~6 que hacen un
total de_..§_ 72
d. Si en dos casillas hay 1 y el 2 a una tercera, hay P(6; 3, 2, 1) = 60 resultados
posibles más: A52,A53 , ... ,A111 cada uno con la misma probabilidad: .2:..._ que 108
5 hacen un total de-
9
e. Si cuatro casillas están ocupadas con 1, y las otras dos con cero, hay P(6;4, 2)
= 15 resultados posibles más A11vA112 ~ ... ,A125, cada uno con probabilidad
1 5 -que hacen un total de-54 18
146
V 'f' 1 d 1 5 5 5 5 1 en 1quemos estos resu ta os:-+-+-+-+-= 216 54 72 9 18
Ejercicio. Si lanzamos cuatro dados ocho veces,
a. Hallar la probabilidad del evento más probable. Rsp. 5,5766x10-10
b. ¿cuántas veces la probabilidad hallada da 0,001?
S. 7. La desigualdad de Tchebyshev; ley de los grandes
números
La siguiente desigualdad, que es válida para cualquier variable aleatoria X,
discreta o continua, con media y varianza finitas desconocidas f.l, u 2
respectivamente y k real mayor o igual a 1; es conocida como desigualdad de
Tchebyshev:
(a)
Su aplicación permite estimar las cotas como
1 P(IX- f.ll :::; 2u) ~ 1-¡ = 0,75
8 P(IX- f.ll < 3u) ~ 9 = 0,8889
Es decir, permite estimar ciertas probabilidades, cuando se desconocen las
distribuciones de las variables aleatorias. Nótese que para k=1, no aporta nada
útil, pues ya se conoce el resultado, asimismo si O<k<1, pues siempre una
probabilidad es no negativa. Además el lector puede verificar que para
distribuciones conocidas, donde las probabilidades acotadas por la desigualdad
de Tchebyshev son aproximaciones, se calculan exactamente y se verifican. Por
147
ejemplo si X ""N(4, 25) o X""Exp(S) las probabilidades de P(IX- tLI :::; 3o-) son
exactamente 0,9974 y 0,98178 respectivamente y la aproximación por la
desigualdad de Tchebysheff dice que son mayores que 0,8889.
Se puede expresar la desigualdad de Tchebyshev en las siguientes formas
equivalentes
(b)
(e)
1 P(IX- tLI >ka) ::; k 2
De acuerdo al corolario del teorema 5.6.6. si aplicamos la desigualdad de
Tchebyshev a X tenemos:
( - kCJ) 1
p IX- tLI >- <-..fñ k2
Y si hacemos~ > E, la desigualdad anterior se convierte en
Y por tanto, tomando límites al primero y último miembros cuando n tiende a
infinito se obtiene
lim P(IX -tLI >E) = O ll--HlO
Lo cual indica que la probabilidad de que la media de variables aleatorias
idénticamente distribuidas se desvíe de la media de la v.a. X en más de un
148
número positivo es cero, no importando cuan pequeña sea esta cantidad
positiva.
Veámoslo de otro modo: tomemos el experimento aleatorio de lanzar un dado
cuatro veces. La v.a. X: número de caras, tiene media J1 = 1,5. Si repetimos n
veces independientes este experimento, intuimos que para valores grandes de
n el promedio X, debe estar muy próximo al valor teórico Jl, pero si para un n
dado X = Jl, nada garantiza que para la siguiente repetición del experimento
siga siendo igual; sin embargo el teorema "ley de los grandes números" prueba,
que en probabilidad, X converge a J1 cuando n-HX>.
Ejemplo 5.7.1. Con que probabilidad, la frecuencia relativa de sacar el as en 6000
tiradas difiere de su media teórica en menos de 0,1?
Solución. X: número de veces que sale el as al lanzar un dado 6000 veces. X
""b(6000, 1/6). Por el corolario del teorema 5.6.6. X = ¿y=1 X¡, Jlx = 3,5 y a 2 =
6000
2,9166667. Luego con E = 0,1 se tiene
--- (]'2
P(IX- 111 <E)> 1--nE 2
--- 2,91667 P(IX- 111 < 0.1) > 1- 6ooo(o,1) 2 = 0,950556
Ejemplo 5.7.2. ¿cuántas veces hay que tirar una moneda, para que con probabilidad
mayor que 0,95 la frecuencia relativa de obtener cara difiera de la probabilidad
teórica en menos de 0,001?
Solución. X: número de caras en n tiradas. Frecuencia relativa ¿y=1 xi =X, como , n
Y = ¿r=l Xi sigue una binomial de parámetros n y p,
149
1 pq P(IY- npl < 0,001) > 1- k 2 = 1--2 nE
Como el último miembro debe ser mayor que 0,95, se tiene n>S 000 000
5.8. Teorema del límite central
Uno de los teoremas fundamentales para la inferencia estadística, constituye el
teorema del límite central. No lo demostraremos, el lector interesado lo puede
encontrar en (WACKERLY/MENo'ENHAL/SCHEAFFER, 2010)6 Lo colocamos aquí,
porque en su demostración interviene funciones generatrices de momentos,
que se han visto en este capítulo, así pues sólo lo enunciaremos y veremos sus
aplicaciones inmediatas; las demás aplicaciones son las más importantes y se
verán en los capítulos 7 y 8.
Teorema 5.8.1. (Del límite central). Sean X1,X2 , ... , Xn, variables aleatorias
independientes, idénticamente distribuidas con media f1 y varianza a2 finitas y
x-11 varianza diferente de cero. Entonces la variable aleatoria Zn = -u- donde m
- ¿!1_ xi . X = ....!=..!__ • t1ene aproximadamente distribución normal estándar, cuando
n '
n~oo
Nota. Debe observarse que no se dice nada de la distribución de la variable aleatoria
X, a la que tienen idéntica distribución cada una las variables aleatorias
independientes de la sucesión X1,X2 , ... ,Xn, puede ésta ser discreta o continua,
esto ,es, el teorema es aplicable a cualquier variable aleatoria. Este hecho lo
hace el más importante de la estadística.
5.8.1. Aproximación de la binomial por la normal
6 "Estadística matemática, con aplicaciones".p. 377
150
Sean X1,X2, ... ,Xn variables aleatorias Bernoulli independientes, cada una de
parámetro p. entonces la variable Y = Lf=1 Xi es una variable aleatoria
binomial de parámetros n, p. y según el TLC:
~'!1 X. ~- p y - np ""
,-:;;;;; = r:;::;;;; aprox N (O, 1) v l:''f vnpq . .fñ
Debe quedar claro, que la sucesión de variables aleatorias independientes son
Bernoulli. Que cada Bernoulli tiene media p y varianza pq, y que el teorema del
- y
límite central indica que X~J.L = ñ~ . Y multiplicando a numerador y - ...¡Pq ,fñ -
,fñ
denominador por n se obtiene una expresión que ya involucra a la binomial, que
es lo que se ha obtenido en el párrafo anterior. Por tanto:
(b - np) (a - np)
P(a < Y< b) = cp .Jnpq - cj> .Jnpq
Corrección por continuidad: Cuando se aproxima una variable aleatoria discreta
por una continua como es el caso, se comete un error, que se restituye cuando
se agrega a la probabilidad dada Yz unidad en cada extremos contenido en la
desigualdad. Así:
.. ( '1 . ) ( 1· .. ) ·· b +-- np a .,..... -- np P (a :::; Y :::; b) = cj> ..}rrpq - cj> · ..}rrpq . .
.. • ··. npq npq · . : ·. . .. '
5.8.2. Aproximación de la distribución de Poisson, por la Normal
Aquí, se hace uso de la propiedad reproductiva de la distribución de Poisson.
Ahora la sucesión de variables aleatoria independientes son cada una Poisson
de parámetro íl.. Por tanto
151
l:f=txi A. n - Y-nA. rv.
.¡x = -{ñl aprox. N(O, l)
.,fñ
Donde Y es una variable de Poisson de parámetro nA.. También aquí debe
aplicarse la corrección por continuidad:
En síntesis observamos que si X rv. b(n, p), se usa la aproximación
5.8.3. Aproximación de la distribución de Pascal por la normal
También la distribución de Pascal puede expresarse como suma de r variables
aleatorias, pero en este caso geométricas Xi, de parámetro p c/u (la p de la
Bernoulli), como lo expresa7 (MEYER, 1998)1a descomposición de la variable
aleatoria de Pascal por suma de r, variables geométricas:
Xl: número de experimentos Bernoulli hasta que salga éxito por primera vez,
X2: número de experimentos Bernoulli desde que apareció éxito por primera
vez, hasta que aparezca éxito por segunda vez ...
Xr número de experimentos Bernoulli desde que apareció éxito por (r-1) ésima
vez hasta que aparezca éxito por r-ésima vez.
7 Paul Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas p.179
152
Obsérvese que Xi sigue una distribución geométrica de parámetro p, entonces
E(X) = 1/p y V(Xi) = q/p2. Si Y= LÍ=1 Xi entonces E(Y) = r/p y varianza de Y es
rq/p2.
En consecuencia para r suficientemente grande Y= }:f=1 Xi es una variable
aleatoria de Pascal de parámetros r y p. luego
,¡..(b+i/2-r/p) En consecuencia P (Y ::; b) = 'f' ,¡Tqjp
5.8.4. Aproximación de la distribución Gamma por la normal
Como la variable aleatoria exponencial, tiene por función de densidad, la
ecuación (1)
{
1 .!.x f(x) = p eP , x > O
O otro caso (1)
Se tiene que su función generatriz de momentos, está dada en la ecuación (2)
1 mx(t) = -p 1 tE V(O)
1- t (2)
Si Y es la suma de n de estas variables aleatorias, la f.g.m. de Y está dada por la
ecuación {3)
my(t) = (1~PJ n 1 t E V(O) (3)
153
Pero ésta, la ecuación (3), es la f.g.m. de la distribución gamma de parámetros
n, {3, entonces de acuerdo al teorema del límite central:
y --{3 n
1!_ Vn
Y - nf3 Y - nf3 "" nf3 = {3.../ñ aprox.N(O, 1)
..Jñ
Nota Como la variable aleatoria Y, tiene distribución gamma de parámetros n f3
tiene por media n/3 y varianza n {32 (Teorema 4.2.5), se observa que para n
suficientemente grande Yp-; sigue aproximadamente una distribución normal
estándar
154
CAPÍTULO VI:
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
6.1 Estadística Descriptiva y estadística inferencia l.
6.1.1. Estadística descriptiva
Se ocupa de la recopilación, clasificación, organización, representación y
descripción de datos de una variable aleatoria definida sobre una población, o
de datos muestrales pero considerados como una población.
6.1.2. Estadística inferencia!
Si los datos constituyen una muestra, y se los ha de utilizar para inferir
propiedades de la población, con cierta probabilidad, ya no se está frente a la
estadística descriptiva sino ante la estadística inferencia!, como lo veremos
después.
En este capítulo, pondremos énfasis en métodos de la estadística descriptiva, y
complementaremos lo que hasta hoy hemos venido tratando, sólo variables
aleatorias cuantitativas, (discretas o continuas), con las variables aleatorias
cualitativas o atributos cuyo campo de aplicación fundamentalmente son las
ciencias sociales. Los valores de las variables cuantitativas son números, en
cambio los valores de las variables cualitativas son atributos. Por ejemplo
cuando hablamos de la variable: estado civil sus valores podrían ser soltero
casado, viudo, divorciado. Cuando hablamos de la variable religión (católica,
evangelista, musulmana, judía, ... ). Sectores (educación, industria y turismo,
agrícola, minero ... ). Nacionalidad, sexo, preferencias por ropas de vestir, etc.
Hemos mencionado algunas de las variables cualitativas, las variables aleatorias
cualitativas nominales, para distinguirlas de las otras como grado de grado de
instrucción, (primaria, secundaria, superior), clase social (baja, media, alta),
155
inclinación política (ultra-izquierda, izquierda, centro izquierda, centro, centro
derecha, derecha, DBA) que son variables cualitativas ordinales. Que se
diferencian de las otras por guardar un cierto orden.
Nota l. Cada ciencia clasifica (la clasificación es un concepto matemático, ver la nota
2, siguiente), cada una de sus variables. A las clases (partición de una variable) le
llaman algunos: categorías, otros: modalidades. En el párrafo anterior sólo
hemos querido diferenciar las clases de un atributo nominal de las de un
atributo ordinal; sin presumir que esa sea, la clasificación real.
Nota 2 Clasificar un conjunto es dar una partición de él. El tema "particiones de un
conjunto" se ha tratado en el capítulo 1, antes del teorema de Bayes.
6.1.3. Clasificación de las variables aleatorias
{e l .t t. {nominales ua l a was . Variables aleatorias o~dmales
e t .t t' {dlscretas uan la was . contmuas
La primera etapa de un trabajo estadístico consiste en la recopilación de datos.
Es la parte más delicada, porque una mala decisión de cómo hacerlo, invalida
totalmente el trabajo a realizar; por esta razón, remitimos al estudiante, a la voz
autorizada de un especialista en muestreo por ejemplo 8 (LOHR, 2000)donde
verá que existen especialistas en estadística que hierran, al determinar una
muestra, y verá también lo delicado que es determinar la población objetivo, la
población muestreada y las unidades de observación.
Sharon L Lhor Muestreo, Diseño y Análisis (2000}, México, Thomson Editores
156
6.1.4. Representaciones Gráficas
Empezaremos con un conjunto de datos ya recopilados, para ver los trabajos
que podemos realizar con ellos. Empezaremos con variables aleatorias
cualitativas, cuyas representaciones gráficas son fundamentalmente gráficas de
barras o bien gráficas de sector o de pastel
Ejemplo 6.1.1 Vamos a organizar, clasificar y representar gráficamente la
distribución del número de accidentes que hubo el año próximo pasado, en la
fábrica XYZ por secciones, contenida en la tabla 6.1
Tabla 6.1
Número de accidentes Secciones Totales
Hombres Mujeres
A 5 3 8
B 12 6 18
e 7 4 11
D 9 1 10
E 8 4 12
F 2 4 6
Totales 43 22 65
Un gráfiCo de sectores para el total de accidentes, se da en la figura 6.1
Nota Habrá observado el estudiante, que la recolección de datos se ha realizado por
sectores, y por tanto es un atributo nominal. Otra cosa hubiera sido si se
agrupaba por la gravedad del accidente, (leve, grave, mortal), entonces el
157
número de accidentes, por la gravedad de los resultados, sería una variable
ordinal y en la gráfica habría que tener en cuenta el orden.
Figura 6.1 Figura 6.2
NÚMERO DE ACCIDENTES POR NÚMERO DE ACCIDENTES POR SECCIÓN 20 ---------sECCIÓN----------~·---
1""
Un gráfico de barras para el número total de accidentes en el año aparece en la
figura 6.2. Un gráfico de barras para el número de accidentes por sección y sexo
aparece en la figura 6.3:
Figura 6.3
NÚMERO DE ACCIDENTES POR SECCIÓN Y SEXO 14 -~-~-------·----~----~-·-~------------------------.-------------------·-·-
A B D MUJERES C HOMBRES E F
Ejemplo 6.1.2. Este ejemplo, sobre variable aleatoria cuantitativa continua, nos
158
servirá de modelo para el agrupamiento en clases y las diferentes distribuciones y
representaciones gráficas que definiremos.
Se trata de agrupar en siete clases de la misma amplitud, el siguiente conjunto
de datos: (85 velocidades instantáneas) de vehículos (en Km/h), que se
recopilaron en un punto de la carretera Lima-Pucusana, un día de verano en
horas matinales de alta densidad de tránsito.
75.5 107.5 76.1 96.7 86.5 101.2 87.3 98.3
102.5 90.9 83.1 82.8 80.1 80.4 97.3 110.5
77.6. 106.0 97.2 85.8 109.2 72.4 138.2 86.9
94.2 86.7 94.2 125.9 83.5 111.2 97.2 96.7
111.0 95.4 117.4 120.0 93.8 116.8 73.7 105.6
77.3 113.6 85.4 83.1 119.0 74.0 65.2 68.5
95.3 88.6 75.8 138.0 81.7 121.0 94.6 96.8
118.5 94.5 102.5 124.2 50.0 102.7 98.9 112.1
86.0 104.7 98.3 88.5 103.3 92.5 103.0 84.5
85.8 114.4 82.0 110.2 93.1 101.4 91.3 85.9
~26.7 70.7 115.0 106.9 108,6
159
6
La organización de los 85 datos se realizó en EXCEL. Se introdujeron los datos en
las casillas desde A2 hasta J10, (observe que hay 90 casillas por lo que quedaron
cinco casillas vacías, que EXCEL no lo cuenta). A continuación se halló el mínimo
y el máximo con las funciones estadísticas MIN y MAX resultando: 50.0 y 138.2
respectivamente; por tanto el rango resultó ser: MAX- MIN = 88.2 que dividido
por K=7 (número de clases) se obtuvo e = 12.6 (amplitud de cada clase). Luego,
se determinaron las siete clases: <50; 62,6], <62,6; 75,2], ... , <125,6; 138,2].
Cuando se pida a EXCEL aplicar la función FRECUENCIA, aparecerá un cuadro de
diálogo, donde solicitará grupos, estos grupos son los límites superiores, desde
la clase 1 a la clase 6, el último (el de la clase 7) no se coloca; se llenarán los
grupos en las casillas L2:L7. Se seleccionaron (con el mouse) las casillas M2:M8,
(vacías) una más que los grupos, que servirán para llenar los resultados del
conteo automático que realiza el software. La apariencia previa a la solicitud de
la función FRECUECIA de EXCEL está en la tabla 6.1
Tabla 6.1
L M
62.6
75.2
87.8
100.4
113.0
125.6 .. ·· .·;:.:·
Finalmente se solicita la función FRECUENCIA, se la acepta, y en el cuadro de
diálogo se llena datos: A2:J10, grupos: L2:L7; se presiona la tecla F2, y al final
160
Ctroi+Mayúsculas+enter (simultáneamente). La columna M seleccionada
aparece llena con las frecuencias como sigue
Tabla 6.2
L M
62.6 1
75.2 6
87.8 23
100.4 22
113.0 19
125.6 10
4
Ya hemos agrupado los datos en siete clases, hallamos los puntos medios: y¡
(marcas de clase) de cada clase (i=1, 2, ... ,7) y determinamos la distribución de
frecuencias absolutas {(y¡, f¡), i=1, 2, ... ,7}; de modo que se ha perdido el valor
individual de cada uno de los 85 datos, originales. Ahora, asumimos que los
elementos de cada clase están al centro de la clase. Por tanto ya no son los
datos originales, pero sus propiedades difieren muy poco del de los originales.
Es decir en el centro de la primera clase: Yt = 56.3 hay un dato; al centro de la
segunda clase: Y2 hay 6 datos (decimos que la frecuencia absoluta de la segunda
clase es 6 o f2 = 6), ... , al centro de la sétima clase: Y7 hay 4 datos. Constituyendo
la distribución de frecuencias absolutas f¡, que a su vez origina otras
distribuciones: de las frecuencias relativas (h¡ = f¡/N, con N = 85), frecuencias
porcentuales (p¡ = lOOh¡) y también las frecuencias acumuladas: F¡, H¡, P¡ de cada
una de las distribuciones mencionadas donde
i
Hi = Ihk; k=l
i
pi= Ipk; k=l
i = 1,2, ... K
161
6.1.5. Distribuciones de frecuencias y representaciones gráficas
Un conjunto de datos, como los del ejemplo2, origina seis distribuciones que para el
caso mencionado se muestran en la tabla 6.3
Tabla 6.3
y¡ f¡ h¡ p¡ F¡ H¡ P¡
56.3 1 0.011765 1.176471 1 0.011765 1.176471
8.9 6 0.070588 7.058824 7 0.082353 8.235294
81.5 23 0.270588 27.05882 30 0.352941 35.29412
94.1 22 0.258824 25.88235 52 0.611765 61.17647
106.7 19 0.223529 22.35294 71 0.835294 83.52941
119.3 10 0.117647 11.76471 81 0.952941 95.29412
131.9 4 0.047059 4.705882 85 1 100
85 1 100
Ahora tenemos seis distribuciones, (conjuntos de pares ordenados) cada una de
los cuales pueden representarse independientemente. Los primeros elementos
de cada distribución son los de las marcas de clase. Se acostumbra representar
por medio de histogramas o polígonos de frecuencia, las distribuciones
definidas con letras minúsculas (absolutas, relativas y porcentuales); en cambio
las frecuencias acumuladas (mayúsculas) suelen representarse por ojivas (Ojiva
"O más" u Ojiva "O menos"). Pasamos a definirlas y mostrar ejemplos.
6.1.4.1 Histogramas Son gráficos de barras, la base de cada barra, es la amplitud de
clase correspondiente, denotada < y' i-v y' i], i = 1,2, ... ,7 siendo y' i el límite
real superior de la clase i y la altura la frecuencia respectiva (fi, hi o pi), pero se
acostumbra colocar al medio de cada base la marca de clase correspondiente yi.
162
Dibujaremos un histograma de las frecuencias absolutas y uno de las
frecuencias relativas, del apartado 6.1.4, que corresponde al ejemplo 6.1.2 de
las velocidades en km/h, de 85 vehículos agrupados en siete clases.
Figura 6.4
56.3 68.9 81.5 94.1 106.7 119.3 131.9 VELOCIDADES km/h
Histograma de las frecuencias absolutas de las velocidades de 85 vehículos, tomados en la carretera Lima-Pucusana en verano del 2014 en · horas matinales
6.1.4.2. Polígono de frecuencia
~ 25 ..., rá ).2 a:
~ 15 u z ~ ).1 ~ lf os
Figura 6.5
56.3 68.9 81.5 94.1 106.7 119.3 131.9
VELOCIDADES km/h
Histograma de las frecuencias relativas de las velocidades de 85 vehículos, tomados en la carretera, LimaPucusana en verano del 2014 en horas matinales
Son gráficos de líneas, que consiste en la unión de segmentos de extremos (xi,
ai) donde ai puede ser fi, hi o pi; a los que se ha añadido al principio y al final un
punto con frecuencia cero para cerrar el polígono, pues de lo contrario quedaría
una línea quebrada.
Los siguientes, son polígonos de las frecuencias absolutas y relativas
respectivamente, de datos del modelo (ejemplo 6.1.2)
163
Figura 6.6 Figura 6.7
:Q 0.25 ¡; :Q 20 ----·---· ------·- ------------.. --
3 ~ 0.2
~0.15- ~--~ 15 -~~·-·- ~---·--·- ----·
:Q ü lO ---~----t-~-·
z "' a a.1 z
w => u
lf
43.7 56.3 68.9 81.5 94.1 VELOCIDAD
119.3 131.9 144.5
~
43.7 56.3 68.9 81.5 94.1 106.7 119.3 131.9 VELOCIDAD km/h
Polígono de las frecuencias absolutas de las velocidades de 85 vehículos, tomados en la pista de Lima-Pucusana en verano del 2014
Polígono de las frecuencias relativas de las velocidades de 85 vehículos, tomados en la pista de Lima-Pucusana en verano del 2014.
Nota. Se suele recomendar, de acuerdo a los estándares exigidos por revistas de
investigación, seis elementos que debe tener un buen gráfico: escalas de los dos
ejes (2 elementos), nombres de los dos ejes, en el caso del eje horizontal con
unidades de los datos (2 elementos), la gráfica (1 elemento) y la descripción
breve del gráfico (1 elemento).
6.1.4.3. Ojivas.
Una Ojiva, en estadística, es un gráfico de líneas de una distribución acumulada.
Por tanto podemos trazar las ojivas de las distribuciones absolutas acumuladas,
de las distribuciones relativas acumuladas, y de las distribuciones porcentuales
acumuladas. Hay dos tipos de ojiva una es "O menos" y la otra es "O más". La
ojiva "O menos" es un gráfico de líneas, unión de segmentos cuyos extremos
son los puntos (y'i, Fa, es decir, al límite real superior de la clase i, le
corresponde la frecuencia acumulada de la clase i. Luego a y' 1 (límite real
superior de la primera clase) le corresponde F1 (frecuencia absoluta acumulada
de la clase uno = f1 ) ¿y cuál es la altura que le corresponde a y' 0 (límite real
164
inferior de la clase uno)?, naturalmente cero. Puede agregarse para el dibujo
clases anteriores a la primera con frecuencia cero, o al final clases superiores a
la última con la frecuencia máxima, según sea el caso. Dibujaremos una de cada
una. Una para la ojiva "O menos" de la frecuencia absoluta acumulada, de los
datos del ejemplo 6.1.2 y otra "O más" para la distribución porcentual
acumulada.
Figura 6.8
90
30
20 ---~---- -···--------·-·----
10 -··---------· ·-------------·-·
o- ----~-~-
50 62.6 75.2 87.8 100.4 113 125.6 138.2 150.8 VELOCIDAD km/h
Ojiva "O menos" de las frecuencias absolutas
acumuladas de las velocidades de 85
vehículos, tomados en la pista Lima-Pucusana,
en verano de 2014.
Figura 6.9
100 ~--;¡¡¡¡;;::: ::1 ~80 < ~60 lj
~40 ~ ¡¡¡20 -----···~····-·--···-··-· -------·------·-
a ff o ~~--------~~~~--·-----~-·-50 62.6 75.2 87.8 100.4 113.0 125.6 138.2 150.8.
VELOCIDAD
Ojiva "O más" de las frecuencias porcentuales
acumuladas de las velocidades de 85 vehículos,
tomados en la pista Lima-Pucusana, en verano
de 2014.
Vamos a dar un ejemplo de interpretación de la ojiva "o menos": determinado
un punto del eje X (digamos 115), determinamos por paralelas a los ejes, el
punto del eje Y (aproximadamente 70), y afirmamos: 70 vehículos tienen una
velocidad de 115 km/h o menos.
165
6.1.6. Medidas de Tendencia Central
En este apartado haremos mención de la media aritmética, mediana, media
geométrica, y media armónica. Y cuando hablemos de mediana, trataremos las
medidas de tendencia no central, es decir las cuantilas, por la similitud en la
obtención de las fórmulas de éstas con la de la mediana.
6.1.6.1. Media Aritmética. La media aritmética se denota X y se define:
. - L~ x¡ a) Para datos simples: xl, x2, ... ,xN se t1ene X= L; b) Para datos agrupados por frecuencias, indicadas en la siguiente tabla:
xi xl x2 xk
fi fl f2 fk
X- Lt=txif¡ d d ~k E - N 1 d d = ¿t=tf i , on e .l..i=ll i - , tata e atas
e) Media ponderada. Cuando los datos vienen agrupados por pesos, (los
créditos de un curso son pesos, los porcentajes también), entonces la media
aritmética viene dada por:
xi xl x2 xk
pi pl p2 pk
X= L~=lxi Pi
L~=lPi
d) Media de medias: Si se disponen k medias: x1 con frecuencia fl, x2 con
frecuencia f2, ... , y xk con frecuencia fk, la medias de ellas viene dada por X:
166
fi fl f2 fk
Nota. El caso d) es aplicable a descomponer un número grande de datos en medias
parciales, y finalmente obtener la media de las medias parciales.
e) Para datos agrupados en clases: los intervalos de clase, tienen la forma <
' 1 ] y i-1 - y i
Son los límites, de estos intervalos, llamados límites reales de clase, que
intervendrán en las fórmulas de mediana, moda, y las cuantilas.
Límites reales Marca de clase frecuencias
' y'i Yi fí. y i-1 -
y' o - y' 1 Y1 [1
y'1 - y'z Yz fz
... ... ...
' y' k Y k !k y k-1 -
N
k
= I fí. i=1
167
El ejemplo que daremos, corresponde a las velocidades instantáneas agrupadas
en siete clases, ejemplo 6.1.2:
Tabla 6.4
Yt ft Ytft
56.3 1 56.3
68.9 6 413.4
81.5 23 1874.5
94.1 22 2070.2
106.7 19 2027.3
119.3 10 1193.0
131.9 4 527.3
85 8162.3
8162.3 85 = 96.02706
f) Método tipificado o clave para el cálculo de la media aritmética, de datos
agrupados en clases. Se disponen los datos de las columnas Yi• {;., ui con
ui = Yt-A, como se indica en la tabla 6.4. Donde A, es uno cualquiera de los e
Yi· De modo que un ui va a ser cero, y a partir de él, hacia arriba los ui
resultan ser -1, -2, -3, ... y hacia abajo: 1, 2, 3, ... se calcula el valor de X como
se indica en la tabla 6.5
168
Tabla 6.5
Yi {¡ U¡ Utfi
56.3 1 -3 -3
68.9 6 -2 -12
81.5 23 -1 -23
A= 94.1 22 o {-38 51
106.7 19 1 19
119.3 10 2 20
131.9 4 3 12
85 13
- Í:~-1 udf. (13) X = A + e "~ . = 94.1 + 12.6
85 = 96.02706
.l..t=lft
6.1.6.2. Propiedades de la media aritmética
i}. La suma de las diferencias de los datos menos su media aritmética es cero. Es
decir
~N (xi -.X)= 0, Li=l
k
ó ~ Ji (xi - .X) = O Li=l
Esta propiedad no permite el uso de las diferencias respecto de la media, para
hallar una medida de la dispersión, podría usarse entonces la suma de los
valores absolutos de las diferencias, pero no se prestan a la manipulación
matemática, motivo por el cual se usa la suma de los cuadrados de las
diferencias para definir otra medida importante de un conjunto de datos.
169
ii). La función f(t) = ¿f=1(xi- t) 2 se minimiza para t = i. En efecto, basta
derivar f (t) e igualar a cero, para demostrarlo.
iii). Si a cada uno de los datos se suma o resta una cantidad, la media aritmética
queda aumentada o disminuida en la misma cantidad.
iv) Si a cada uno de los datos, se multiplica o divide por una misma cantidad, la
media aritmética queda multiplicada o dividida respectivamente, por dicha
cantidad. Las propiedades iii) y iv) se resumen diciendo que si Yi = axi + b,
para cualesquier constantes a y b, entonces y = ai + b
v) La media aritmética es única, y es muy sensible al cambio de valores
extremos, que lo afectan automáticamente. Esta propiedad difiere respecto de
la moda, como veremos que puede no ser única, y de la mediana, que un valor
extremo puede cambiarse por una enorme cantidad sin afectar a la mediana del
conjunto, como también veremos. Calcular la media aritmética para Jos
siguientes datos: 3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7,7,8,8,8,9.
Solución: los datos los podemos agrupar en frecuencias y aplicar la fórmula b)
de media aritmética (otra alternativa equivalente es sumar todos los datos y
dividirlos por el número de datos).
Tabla 6.6
X¡ h xd;.
3 2 6
4 3 12
5 4 20
6 2 12
7 2 14
8 3 24
9 1 9
17 97
170
Ejemplo 6.1.3
a) Un docente desea aprobar a uno de los alumnos que mejores progresos ha
mostrado. Si las notas de este alumno en las cuatro evaluaciones sucesivas
son 06, 08, 10, 12. ¿qué pesos deberá publicar para cada evaluación si las
tres primeras deberán tener el mismo peso, y que el alumno en mención
tenga la nota aprobatoria mínima de 10,5?
Solución: Sea k el peso en porcentaje que le asigna al curso aprobatorio (12L
como los demás tienen el mismo peso éste será (100-K)/3, de modo que el
promedio ponderado será
6 coo3- k) + 8 coo3- k) + 10 (1003- k) + 12k
100 = 10,5
De donde k=62,5. En consecuencia los pesos (en porcentajes) de las 4
evaluaciones están en la tabla 6.5
Tabla 6.7~
xi Pi XiPi
06 12,5 75
08 12,5 100
10 12,5 125
12 62,5 750
sumas 100 1050
Y la nota promedio del alumno es 10,5~11. Pero la publicación deberá
indicar que esta escala se aplicará, sólo si beneficia al alumno, en otro caso
no. Por ejemplo un alumno con 11, 11, 11, 10 saldría desaprobado: su
promedio sería 10.37, casos como este, deben usar el promedio usual.
171
Y la nota promedio del alumno es 10,5-11. Pero la publicación deberá
indicar que esta escala se aplicará, sólo si beneficia al alumno, en otro caso
no. Por ejemplo un alumno con 11, 11, 11, 10 saldría desaprobado: su
promedio sería 10.37, casos como este, deben usar el promedio usual.
b) Demuestre la fórmula iv) de las propiedades de la media aritmética.
Tabla 6.6
Xi fi
X¡ {¡
Xz fz
... ...
xk fk
Sean los datos de la tabla 6.6. Entonces su media aritmética es X = 'L¡~~:~i
ahora vamos a cambiar a xi por Yi = axi se trata de demostrar que y = ax,
en efecto. Como
Lo que completa la prueba.
e) Use el método clave para para calcular la media aritmética de los siguientes
datos agrupados en clases, (tabla 6.7) use dos valores para A y verifique los
resultados.
Solución.
Agrupamos los datos considerando en primer lugar el origen de trabajo A= 60, y
después lo haremos para A'= 80, en la misma tabla,(tabla 6.8) y compararemos:
172
Tabla 6.~
yi fi
40 2
so 10
60 30
70 24
80 12
90 2
80
Para A= 60 usamos la columna ui, para A'= 80, usamos la columna vi.
Tabla 6.LO
yl fi ui fi ui vi vifi
40 2 -2 -4 -4 -8
50 10 -1 -10 -3 -30
1 A=60 30 o {-14 -2 -60 54
70 24 1 24 -1 -24
1 A'=80 12 2 24 o r-~22
90 2 3 6 1 2
80 40 -120
i = 60 + 10 (:~) = 65 (-120) Para A' = 80 i = 80 + 10 so = 80 - 15 = 65.
6.1.5.3. La mediana y las medidas de tendencia no central
Para datos simples ordenados, la mediana Me, es un número, que tiene ante y
después que él, el mismo número de datos. Por tanto, si los datos son impares,
siempre hay un dato que es la mediana; mientras que si los datos son pares la
173
mediana es la media aritmética de los dos, que quedan al medio. Para datos
agrupados en clases, usaremos la ojiva "O menos" para deducir la siguiente
fórmula
2 i-1
(
N - F ) ¡ i : clase mediana Me= y'1_1 +e ,donde e : amplitud de clase
fi f y F: frecuencias absolutas, simple y acumulada
Figura 6.10
J7i ----------------------------------------------------------
N
2
Y i-1 Me y'i
Las frecuencias acumuladas tienen a todos los datos, por tanto, la mediana está
en una de las clases, llamémosle clase i, o M e E < y' i-1, y' J En la figura 6.10
está dibujada parte de la ojiva "O menos". Nos interesa la hipotenusa del
triángulo mayor. Esta hipotenusa tiene por extremos los puntos(Yi-v Fi_1) e
(yi, Fa. (Recuérdese la definición de ojiva). Por semejanza de triángulos del
mayor (rojo) al menor se tiene:
, 1 y i- y i-1
Me- y'i-1
174
Y como Fí - Fí-l = Ji , y' í -y' í-l = e, remplazando en la igualdad, se tiene la
fórmula dada arriba.
Así como un punto, la mediana, separa a los datos en dos partes iguales, los tres
puntos que separan a los datos ordenados en cuatro partes iguales, se llaman
cuartiles, se denotan Ql, Q2, Q3 respectivamente, (Ql se lee "cuartil uno" o
"primer cuartil) Q2 es la mediana. Los nueve puntos que separan a los datos
ordenados en diez partes iguales se llaman deciles, se los denota 01, 02, ... , 09.
Y los 99 puntos que separan a los datos en 100 partes iguales se llaman
percentiles, se los denota Pl, P2, ... , P99. Los cuartiles, deciles y percentiles se
llaman cuantilas y se los denota e 1.. Si k=4, las cuantilas son los cuartiles. Así: k
Si k= 4, e1 = Ql, ez = Q2 y e3 = Q3 4 4 4
Si k= 10, e1 =Dv ez = D2 • •• e 9 = D9 10 10 10
Si k= 100, e 1 = Pl, e z = P2 • •• e 99 = p99 100 100 100
Cada una de las cuantilas, está en una de las clases, en que ha quedado
clasificado el conjunto de datos. Por tanto su obtención (de la cuantila) es
similar al método de obtención de la mediana, determinando en primer lugar la
clase cuantila (el valor de i) a partir del cual se deduce la fórmula. ¿Cómo se
deduce el valor de i? la respuesta indudable es: i =clase que contiene a t N. Así
para hallar el decil nueve i es la clase que contiene a~ N 10
(9 ) . ' ION- Fí-1
D9 = e.:!.... = y i-1 + e F. 10 Ji
175
Donde i es la clase que tiene al número (9/10) N. La fórmula para cualquier
cuantila es:
(
j ) { i: clase cuantila , ¡¿N- Fi-1 e: amplitud de clase
e. = ·- +e donde , ' . . . . f Y¡ 1 Ji. ' y i-1 : hmrte real mferwr de la clase cuantlla f y F: frecuancias, absoluta y abs. acumulada
Ejemplo 6.1.4. Hallemos, a) la mediana Me, b) el cuartil tres Q3, e) el decil uno 01 y
d) el percentil diez PlO. Que corresponden a los datos agrupados de la tabla
Tabla 6A\
Yi fi
56.3 1
68.9 6
81.5 23
94.1 22
106.7 19
119.3 10
131.9 4
85
Necesitamos calcular, los límites reales de clase y' i, las frecuencias absolutas
acumuladas Fí, la amplitud de clase e; además de los datos que tenemos en la
tabla. Todo lo podemos obtener con los datos de la tabla dada.
Los límites reales superiores de las clases 1 a 7 son: 56
'3+68
'9
= 62,6; 75,2; 87,8; 2
100A; 113,0; 125,6 y 138,2.(para la primera clase, hemos hallado la semisuma
de las dos primeras marcas de clase; las demás, se han ido incrementando la
amplitud de clase: 12,6. La amplitud se halla restando dos marcas de clase
176
consecutivas. Finalmente las frecuencias acumuladas se hallan por definición. Y
se han colocado en la tabla 6.10
Tabla 6.12
Clase y'i-1 ~y'¡ y¡ {¡ F¡
1 50-7 62,6 56,3 1 1
2 62,6-7 75,2 68,9 6 7
3 75,2-7 87,8 81,5 23 30
4 87,8 -7100,4 94,1 22 52
S 100,4-7113,0 106,7 19 71
6 113,0-7125,6 119,3 10 81
7 125,6-7138,2 131,9 4 85
85
a) Cálculo de la mediana: como hay 85 datos, el dato 43 tiene 42 antes que él y
42 después. Como el dato 43 está en la clase 4, se tiene i=4, luego
1 -z- Fi-1 -y- 30
(N ) (85 ) Me= y i-1 +e Ji = 87,8 + 12,6
22 = 94,959091
b) Cálculo de Q3. Hallamos i: clase que tiene a ~ (85) = 63.75, 4
luego i =S
-(85)- F4 63 75-52
(3 )
Q3 = ci = Y14 +e
4 fs = 100,4 + 12,6 ( ' 19 ) = 108,192
e) Cálculo de D1 Hallamos el valor de i, obteniendo i = 3, luego
1 10 85 - Fz 8,5 - 7
(
1 ) . D1 = Ct
0 =y 2 +e f
3 = 75,2 + 12,6(
23 ) = 72,0217
177
d) Se halló i = 3.
(
10 ) , 100 85 - Fz 8,5 - 7 P10 = e l:2._ =y 2 +e f = 75,2 + 12,6 ( ) = 72,0217
100 3 23
Nótese que P10 = e]!!_= e2.. = D1 100 10
6.1.5.4. La Moda
La moda es otra medida de tendencia central. Es el dato más frecuente. Por
tanto puede un conjunto de datos tener dos modas incluso más. Por ejemplo, si
ordenamos los datos 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7 hay dos modas: 3 y 6
(población bimodal). Y en datos agrupados si hay una moda ésta se halla por la
fórmula
M o= y'¡_1 +e ( . _ . Ji-:-~_ . ). e: amplitud de clase ¡ i: clase modal
(Ji fi-1) (Ji h+1) y'¡_1 : limite real inferior de la clase modal
Ejemplo 6.1.5. Calcular la moda del conjunto de datos agrupados, tabla 6.7:
1
En primer lugar determina~os la clase modal, o de mayor frecuencia: i = 3, (la
1
mayor frecuencia es 30, luego el límite real inferior de la clase 3: y' 2 = 50
;60
=
55) luego:
M 1 + ( Ji - fi.-1 ) o= y i-1 e (Ji. - fi-1) + (Ji. - fi+l)
( 30- 10 )
= 55 + 10 (30 - 10) + (30 - 24) = 62,6923
6.1.5.4. La media geométrica
Para datos simples x1 , x 2 , ... , xN, la media geométrica MG, se define:
178
Así Me (4, 9) = ..J4x9 = 6, (nótese que para esos números x = 6,5) y siempre
será Mg ~ x
Me (216, 8, 12S) = V'216x8x125 = V'63x23x53 = 60, pero Me (6, 6, 6, 2, 2, 2,
S, S, S) ;t 60
Para datos agrupados en clases, el cálculo se lleva a logaritmos. En efecto como
yi aparece fi veces, al expresarse como producto, se tiene y/i, por tanto Me =
N y{1y~2 ••• yf: y tomando logaritmos se tiene ln(Me) = ¿~=tCf~ln(y¡) es decir: el
logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos
Ejemplo 6.1.6. Hallemos la media geométrica de los datos siguientes, agrupados
en seis clases.
Tabla 6.13
yi fi In (yi) fi In (yi)
40 2 3.68888 7.37776
50 10 3.91202 39.12023
60 30 4.09434 122.83033
70 24 4.24850 101.96389
80 12 4.38203 52.58432
90 2 4.49981 8.99962
80 332.87615
332.87615 . Luego ln(Me) = = 4.16095. En consecuencia Me = 64,13
80
179
p --------------------
x M------------ -p -------
A R
Figura 6.11
Media aritmética y media
geométrica de una población
Como la media geométrica es menor que la media aritmética, nos permitimos
hacer el dibujo de la figura 6.11. Sospechamos que una población en
crecimiento a tasa constante r, en el período [A, B] con poblaciones PA y P8
respectivamente, tenga una población media MG = . .J PA P8 Hay una manera de
verificarlo, determinando la tasa r, descrito en la siguiente tabla
Tabla 6.14
Población al inicio del año Incremento anual a tasar Población al final de año Años
PA PAr PA (1 + r) 1
PA(1+r) PA(1+r)r PA (1 +r)2 2
PA(1+r)2 PA (1+r)2 r PA (1 + r) 3 3
... ... . .. . ..
PA (1 + r)n-1 PA (1 + r)n-1 r P8 = PA (1 + r)n n
180
Obsérvese que al final de cada año la población es la suma de las dos columnas
anteriores.
De la última igualdad, se despeja r, obteniéndose:
1
(P8 )n
r = PA -1
Si ahora calculamos la población media PM (en tiempo n/2), usando la tasa
hallada:
n
PM = PA [1+ ((:.)~ -l)r = PA(~:)j = p;P;
Confirmando nuestra sospecha. Luego la media geométrica se usa para hallar la
media de poblaciones en crecimiento, a tasa constante.
6.1.5.5. La Media armónica
Para datos simples x1, x2 , ... , xN, la media armónica: MH se define como:_g!
recíproco de la media aritmética de recíprocos. Así:
(1 1)-1 -+- 13 - 1 72 MH (4, 9) = 1....2 = (-) = - = 5,5385 (Se observa que MH :5 MG :5 .X)
2 72 13
( )
-1 1+ 1 + 1 -1
M (8 12s 27) = 8 m 27 = (4591
) = 17 6432 H ' ' 3 27000 1
181
Para datos agrupados en clases, obsérvese que como yi aparece fi veces, el
recíproco ~ aparecerá fi veces por tanto la suma de recíprocos es L~=l Ji y la Yi • Yi
media armónica es
Ejemplo 6.1.7. Hallemos MH, Me y X y comparemos, para los datos de la
distribución de la tabla 6.12.
Tabla 6.15
Vi fi
40 2
50 10
60 30
70 24
80 12
90 2
80
L~ F. 80 MH = t=lli = . = 63,2371393 Me = 64,1325419 X= 65
"'~ Ji 1,26507937 4.t=1 Yi
182
Nota. La media armónica se utiliza para obtener la media de un conjunto expresado
en forma de tasas. (Tantas unidades de una especie por unidades de otra) por
ejemplo para promediar velocidades, (km/h). Se ha calculado la velocidad media
de un vehículo, que recorre los datos de la tabla
Tabla 6.16
vi (km/h) di(km)
100 80
120 80
160 50
210
distancia recorrida Lf=1 di L~1 di 210 Vm = = = = MH = = 118 033
tiempo empleado Lf=1 ti L.{( di 1,77916 ' t=l vi
Observe que la media aritmética para ·los datos anteriores es 121,9048 (mayor
que MH)
6.1.7. Medidas de dispersión.
Supongamos que hay dos salones A y B de Estadística y disponemos de las notas
del mismo examen de ambos salones, ¿qué grupo es mejor, desde el punto de
vista de sus notas de estadística? Todavía no podemos dar una respuesta
precisa. Aún, conociendo las notas medias, quedarían dudas. ¿y si supiéramos
además, que las notas del grupo A, van de 02 a 17 y las de B de 08 a 14? ¿Cuál
183
grupo es mejor? Tampoco, no podemos dar una respuesta concluyente. Sólo
podemos afirmar que las notas de A están más dispersas que las de B. Pero no
sabríamos decir cuánto más dispersa. Después de estudiar este apartado,
daremos una respuesta precisa. Estudiaremos sólo tres medidas de la dispersión
de datos: la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
6.1.7.1. La varianza.
Para datos simples xv x2 , .. ·, xN se halla la media X, y la varianza se define:
N - 2
52 = Lt=l Cxt - X) N
Para datos agrupados en K clases, la varianza se define:
K 1 - 2
S2 - Lt=lfi0't- X)
- Kl Lt=lft
De la fórmula para la varianza de Ltos simples
operaciones que:
se deduce efectuando
"'N 2 2 .L.i=l Xt - 2 S = ·-X
N
Y de la otra se deduce:
Que nos indica cómo disponer los datos en una tabla para el cálculo de la
varianza.
También se puede aplicar el método clave para el cálculo de la varianza:
. 1
184
Ejemplo 6.1.8.
Hallar la varianza de los siguientes datos S, 8, 4, 12, 10, S, 11, 13, 9, 8, 12, 9, 1S,
8, 12 11, 6, 12, 13, 7, 6, 11, 4, 8, 13, 7, 8, 11, 12, 9, S, 10, 12,11, 9. Usando dos
métodos a) agrupando por frecuencias b) usando método clave.
Solución: a) agrupamos en una tabla:
Tabla 6.1!¡
xi fi xi fi
S 3 15
6 2 12
7 2 14
8 S 40
9 4 36
10 2 20
11 S 55
12 6 72
13 3 39
14 o o
15 1 15
33 318
- 318 Como X = - = 9,636363 ... se tiene que
33
(xi)2 fi
75
72
98
320
324
200
605
864
507
o
225
3290 1
185
b). Si usamos el método clave, con A= 10 y e= 1 se tiene los datos de 1 tabla 15
Tabla 6.18
xi fl ui fi ui fi(ui)2
)S 3 -S -1S 7S
6 2 -4 -8 32
7 2 -3 -6 18
8 S -2 -10 20
9 4 -1 -4 4
10 2 o o o
11 S 1 S S
12 6 2 12 24
13 3 3 9 27
14 o 4 o o
1S 1 S S 2S
33 -12 230 1
[~{( F.(u·)2 (~~ U· F.)2] [230 (-12)2] sz = c2 Llt=l~t t - L~t~1 tJt = 1 -- -- = 6,83746 Lt=lfi. 'Lt=lft 33 33
6.1.7.2. la Desviación estándar o desviación típica.
Es simplemente la raíz cuadrada de la varianza. Por tanto sus unidades son las
mismas que las unidades de los datos. Se la denota S.
186
6.1.7.3. El coeficiente de variación
Se le denota CV y se define como el cociente de la desviación estándar sobre la
media aritmética. En consecuencia el CV mide el promedio de la dispersión de datos.
Como las unidades de la media aritmética y los de la desviación estándar son las
mismas, el CV es una magnitud adimensional sirve para comparar poblaciones de
diferentes dimensiones: un conjunto de datos longitudinales puede estar medido en
pulgadas y otro en centímetros, sus CV son adimensionales así pues comparables;
Las notas en un país se evalúan de cero a diez, y en otro, de cero a veinte, para
comparar las dispersiones de las notas se deberá usar el CV. Aún, si tienen las
mismas unidades, como el caso de las notas que mencionamos al empezar el
apartado 6.1.6, la comparación de dos salones por sus notas, deberá considerarse
mejor el que tiene menor CV.
6.1.8 Asimetría y curtosis
S CV= X
La representación gráfica de un conjunto de datos puede informarnos si la
distribución de éstos es simétrica o no. En adelante nos referiremos a datos
unimodales. Si observamos que esta representación es simétrica respecto a una
recta vertical, diríamos entonces que dicho conjunto tiene distribución simétrica
o se distribuye simétricamente. Las siguientes representaciones indican que las
distribuciones de los conjuntos representados son simétricos:
187
Figura 6.12
Mientras que las distribuciones dela figura 6.13 siguientes son sesgadas
(asimétricas), ligeramente sesgada hacia la izquierda la primera y ligeramente
sesgada hacia la derecha, la segunda:
Figura 6.13
------~~ --·----rl- ----·
--- --~11 ___ -n
¿Qué función de los datos, nos da información acerca de la simetría o asimetría
de la distribución de éstos? Se usa el coeficiente de asimetría de Fisher
9(MONTERO LORENZO, 2007)que es función del momento central de orden 3,
por lo que previamente definiremos los momentos centrales de orden r, para
datos simples:
l¿N llr = N . (xi - xY, r = O, 1, 2 ...
t=l
9 La definición aparece en la obra mencionada p. 53
188
lLK LK llr = N . ti (yi - xY, r = O, 1, 2 ... , con N = . ti t=l t=l
Obviamente el momento central de orden cero, Jlo es l. Además, ya se
demostró que el momento central de orden 1 es cero, y el momento central de
orden 2 es la varianza. El momento centrado de orden 3, tiene unidades de los datos
elevados al cubo, para hacerlo adimensional lo dividiremos por el cubo de la
desviación típica de los datos, y el cociente se denomina coeficiente de asimetría de
Fisher:
/13 a--3- S3
Para el cálculo de los momentos centrales de orden tres, es conveniente
expresarlos como momentos de orden r de los datos respecto al origen que se
definen:
Observe que
Y por tanto se demuestra fácilmente, dos fórmulas útiles de cálculo:
189
Mientras que la asimetría es una especie de deformación horizontal, La curtosis
es la deformación vertical siendo la más alargada leptocúrtica, y la menos alargada
(achatada) platicúrtica, quedando la intermedia como mesocúrtica:
Figura 6.14
Platicúrtica a<3 mesocúrtica a= 3 leptocúrtica a>3
El coeficiente de curtosis se define:
/14 a4 = S4
La curtosis, de la distribución normal estándar es 3, luego si el valor de a: es 3
diremos que la distribución es mesocúrtica. si a:<3, la distribución es platicúrtica
y si a>3 la distribución es leptocúrtica.
Ejemplo 6.1.9 Hallemos los coeficientes de asimetría y curtosis de la distribución:
Tabla 6.18
y¡ f¡ f¡yi f¡rl f¡yf f¡yf
56.3 1 56.3 3169.69 178453.547 10046934.7
68.9 6 413.4 28483.26 1962496.614 135216016.7
81.5 23 1874.5 152771.75 12450897.63 1014748156
94.1 22 2070.2 194805.82 18331227.66 1724968523
106.7 19 2027.3 216312.91 23080587.5 2462698686
119.3 10 1193 142324.9 16979360.57 2025637716
131.9 4 527.6 69590.44 9178979.036 1210707335
85 8182.3 807458:77 82162002.55 8584023368
190
Cálculo de S, f13 y 114
807458,77- (8182,3)2
-85 85 - 15,26677
- 3 - 82162002.55 807458.77 8182.3 (8182.3)3 113 - m3 - 3m2m 1 + 2m1 -
85 - 3
85 85 + 2 ----ss- = 7283,6737
Ahora si, los coeficientes de asimetría y de curtosis son
113 7283,6737 a3 = S3 = 15,266773 = 2,0470
114 a 4 = 54
= 3.5883
El valor de a3 nos indica que la distribución es sesgada a la derecha. Y el valor de
Cl4 próxima a tres nos indica que es mesocúrtica, ligeramente sesgada a leptocúrtica
6.1.9. Diagrama de Caja y Bigotes
Un diagrama que aporta una apreciación global de las dimensiones de una
distribución, es el diagrama de caja y bigotes. La caja viene sobre una escala
horizontal que contiene las dimensiones de los datos. Sobre el cuartil inferior 01, se
ubica un segmento vertical, lado izquierdo de la caja. Sobre el cuartil superior 03 el
lado derecho de la caja, luego el 50% de los datos están dentro de la caja. El bigote
izquierdo es un segmento horizontal, que va del dato mínimo hasta el primer cuartil,
y el bigote derecho abarca del segundo cuartil hasta el dato máximo; con una
observación: dato mínimo y dato máximo mencionados son el menor y el mayor de
los datos, después de ser excluidos los datos atípicos. Y datos atípicos son los que
están a más de l.Ss ó 3s del cuartil más próximo, donde s = 03 - 01. Los que distan
más de 3s se llaman datos atípicos extremos y los otros moderados. Dentro de la
191
caja otro segmento vertical identifica a la mediana. El diagrama toma la forma
siguiente:
Diagrama de caja y bigotes
Nota. El diagrama de caja y bigotes, puede representarse también en forma vertical,
en cuyo caso la escala va a la izquierda de menor a mayor (el menor abajo)
Además el cuartil primero es el percentil 25, y el cuartil tres es el percentil 75,
por lo que algunos autores prefieren denotarlos de manera diferente.
Ejemplo 6.1.10. Construyamos el diagrama de caja y bigotes para el siguiente
conjunto de datos e interpretémoslos.
0,3 0,9 1,1 1,7 1,5 0,8 0,7 1,1 0,8 1,0
1,3 0,2 1,6 0,1 0,5 0,7 1,2 1,5 0,8 0,9
0,7 0,5 1,1 1,5 0,1 1,4 0,7 0,8 0,6 1,3
1,2 1,4 1,8 0,7 0,9 1,0 0,3, 1,2 1,8 1,0
Se tiene: mínimo: 0,1 máximo:1.8 Me=0,95 01 = 0,7 03=
1,3 S= 0,6 1,5s = 0,9 3s = 1.8 01-1,5s =-
0,2 (no hay atípicos menores) G.3+1,5s = 2,2 (no hay puntos atípicos
superiores)
192
0.0 0,1 0,2 0,3 0,5 ... 0,6 ... 0,7 ... 0,8 ... 0,9 ... 1,0 ... 1,1 ... 1,2 ... 1,3 ... 1,4 ... 1,5 ... 1,6 ... 1,7 ... 1,8 .... 1,9
Diagrama de caja y bigotes, para el ejemplo 6.1.10
En el diagrama se observan:
a) Los valores mínimo y máximo
b) Los cuartiles 01 y 03
e) La mediana,
d) La longitud des (largo de la caja)
-
e) No hay datos atípicos (más allá de 3s: extremos, ni de l,Ss: moderados, de
cada los cuartiles Ql y Q3 respectivamente)
193
CAPÍTULO VIl:
DISTRIBUCIONES DE MUESTREO V ESTIMACIÓN
7.1. Población y muestra.
Para abordar estos conceptos, hace falta un poco de filosofía. La existencia,
según Mario Bunge (Epistemología, Mario Bunge, p.SS), puede ser real (o física)
y conceptual. Existen: la ciudad de Lima, la población de ríos del Perú, la
población de paiches del río Amazonas, los artículos fabricados en una máquina,
los habitantes del departamento de Tacna. Todos ellos, tienen existencia real.
Por otro lado, el rango de la variable aleatoria X: número de caras cuando se
lanza un dados cuatro veces; Blanca Nieves; Macondo, una serie convergente; la
función generatriz de momentos de una variable aleatoria; al aplicar una
cantidad de droga a ciertos pacientes de un hospital, se va anotando O, si no le
hace efecto, 1 si experimenta leve mejoría y 2 si el paciente es curado entonces
hay una población de números O, 1 y 2, repetidamente; todos estos tienen
existencia conceptual, existen desde que los creó un cerebro humano y les dio
las características que tienen. Siguiendo a Bunge, diremos que hay poblaciones
reales y poblaciones conceptuales, ambas son susceptibles de muestrear, las
muestras de una población son subconjuntos de aquella, pero elegidas al azar
para garantizar su independencia, antes de una definición formal de muestra,
veamos un ejemplo de población real y una muestra de ella. Y después
mostraremos un ejemplo de población conceptual.
Digamos que nuestra población objetivo es la población de estudiantes de la
universidad del Callao matriculados en el ciclo 2014-B. Tomemos la variable
aleatoria X: talla de éstos alumnos (pueden definirse muchas variables
194
aleatorias en esta población, ver la nota 1, más abajo). Nuestra población en
última instancia es un conjunto de números, las tallas de los alumnos. Pero para
llegar a la población de tallas, debemos pasar por la población de alumnos. A la
fecha del muestreo seguramente que muchos alumnos ya no asistirán, y por
tanto no pueden estar en nuestra muestra. Otros matriculados en aquel ciclo y
que asisten normalmente, y que por distintas razones, no asistieron en la fecha
señalada, tampoco pueden estar en la muestra. Por tanto nuestra población se
redujo a lo que llamaremos población muestreada.
Supongamos que hay diez técnicos, (1, 2, ... , 10) cada uno de los cuales desea
obtener una muestra de tamaño n de nuestra población; se disponen a hallar la
primera de las n muestras. Cada uno elegirá al azar la primera muestra. Esta
primera muestra, como las demás, no tiene que coincidir en cada uno de los
técnicos, por esta razón es una variable aleatoria, la llamaremos X1 (con
mayúscula). Es claro que por provenir de la variable aleatoria X, la variable X11
tenga la misma distribución que ésta. El valor (un número) que tome esta
variable X11 se puede denotar x}, xf, ... , x}0 (con minúsculas) para cada uno de
los diez técnicos respectivamente. La segunda muestra se denotará X2, y por
tanto los resultados o valores los denotaremos xi, xi, ... , xi0 para cada uno de
los 10 técnicos. Finalmente Xn será la última muestra (variable aleatoria) y
x~, x~, ... , x~0 los valores hallados por cada técnico. Al final dispondremos de
diez muestras de tamaño n cada una, por ejemplo la muestra que halló el
técnico S será xf, x~, ... ,x~. Las muestras, que han de ser utilizadas en la
estadística deben de ser halladas al azar, para que tengan cierto valor, y una vez
hallado el valor de una muestra repondremos a la población la muestra, para
garantizar la independencia.
195
7.1.1 ¿Cómo elegir una muestra?
Nos limitaremos a explicar cómo hallar una muestra de tamaño 100, para el
ejemplo mencionado en el párrafo anterior. Para otros casos pueden obtenerse
los métodos adecuados leyendo libros de muestreo, o artículos que sobre este
tema hay en internet. El tamaño de una muestra es algo más delicado se verá
en el capítulo 8.
Hacemos una lista numerada de los alumnos matriculados digamos desde 1 a
11,832. Hallamos 105 números aleatorios en ese rango y obtenemos el listado
de los 105 alumnos, los entrevistamos y tomamos las 100 primeras tallas, se
eligieron 105, para asegurarnos que si fuera imposible obtener la talla de alguno
de ellos, reemplazarlo por otro. Nosotros para conseguir los 105 números de
nuestra muestra, entramos en internet, al buscador Google, a generador de
números aleatorios llenamos, inicio: 00001; final: 11832; número de veces: 105 y
click en calcular, obteniendo:
13, 76, 131, 162, 239, 312, 426, 637, 915, 1185, 1293, 1497, 1509, 1532, 1736,
1891, 1919, 2378, 2453, 2637, 2758, 2829, 3140, 3169, 3248, 3346, 3798, 3815,
4124,4191,4354,4355,4440,4639,4839,4859,4932,5036,5139,5171,5282,
5309,5338,5856,6170,6200,6226,6443,6528,6629,6659,6705,6748,6766,
6800,6835,6837,6900,6930,6951,6954,6983,6990,6998,7061,7256,7300,
7519,7537,7617,7792,7867,8289,8422,8557,8650,8663,8831,8982,8985,
9137, 9144, 9353, 9477, 9524, 9596, 9648, 9897, 10069, 10073, 10172, 10241,
10314, 10444, 10642, 10741, 10788, 11114, 11277, 11284, 11343, 11357,
11731,11746,11797.
Es claro que al repetir el experimento se obtienen muestras diferentes.
196
Definición 7.1. Se llama muestra aleatoria de tamaño n, de una población (de
variable aleatoria X) a un conjunto X11 X2, ... , Xn de variables aleatorias que
satisfacen dos condiciones: (i) son independientes y (ii) todas tienen la misma
distribución que X. (la misma función de densidad o la misma función de
distribución que X). Ambas propiedades se abrevian diciendo que una muestra
aleatoria es un conjunto de v.a.i.i.d. (variables aleatorias independientes
idénticamente distribuidas). La condición (1), está garantizada si cada elemento
de la población tiene la misma probabilidad de estar en la muestra, y significa
que la función de densidad conjunta de la muestra es el producto de sus
densidades unidimensionales (caso similar si son v.a. discretas).
Nota 1. Si estudiamos la variable aleatoria X: talla de los estudiantes de la
universidad del Callao, matriculados el ciclo 2014-B, obviamente la población
objetivo es la de los alumnos mencionados. Pero las muestras no son alumnos
sino la talla de ellos. Sin embargo hay que mencionar, que el mismo
procedimiento de muestreo de la misma población deberá realizarse para hallar
una muestra tamaño 100 si se estudiaran cada una de las siguientes variables
aleatorias definidas en aquella población: peso, presión sanguínea, grupo
sanguíneo, edad, si fuma o no, distrito donde vive, etc.
Nota 2. Debe estar claro que, cuando decimos que toda población tiene una
distribución, estamos queriendo decir que la variable estudiada tiene esa
distribución. Como al muestrear se supone que desconocemos la distribución de
la población (o sea de la variable X), usaremos la muestra para inferir qué
distribución tiene la población, lógicamente a partir de la muestra.
Definición 7.2. Si disponemos de una muestra de tamaño n: X1,X2, ... ,Xn, podemos
obtener fórmulas que involucren a estas variables aleatorias y a alguna
197
constante conocida, las llamaremos estadísticos o estadígrafos, por ejemplo la
media aritmética T1 = ~ Ef=1 Xi, la varianza T2 = n~1 Ef=1(Xi- X) 2, la suma
de los cuadrados T3 = Ef=1 xf, el promedio de la suma de cuadrados r4 =
1 '\'n X2 :;;: L..i=1 i rango de la muestra T5 = Xmax - Xmin etc, todos ellos son
estadísticos y por ser variables aleatorias se les representa con mayúsculas. Y si
los valores de la muestra se conocen, esto es, se conocen los números
x 11 x 2 , .•• ,xn, también se conocerán los números t 1 = x, t 2 = s2, t 3 =
'\'n 2 t _ 1 '\'n 2 L..i=1 Xi ' 4 - - ~i=1 Xi ts = Xmax - Xmin n
que son los valores de los
estadísticos. Un conjunto particular de estadísticos, importantes para la
estimación puntual de parámetros, son los momentos muestra les definidos:
1In Mk =- X/ n i=1
Sólo para estos estadísticos, (momentos muestrales), al hallar los valores de las
muestras, seguirán llamándose con mayúsculas (Mk), pero de menor tamaño,
puesto que las letras minúsculas denotan otro concepto (la media teórica o
esperanza de la variable aleatoria:
Podemos hallar las distribuciones de los estadísticos, es un tema de mucha
importancia, en la inferencia estadística, pero antes, tomemos el ejemplo de
una población conceptual. Como el muestreo de estas poblaciones involucra
reposición, aunque la población sea pequeña asumimos que es una población
infinita, podemos hallar el tamaño de muestra que queramos. Daremos una
población; tomaremos de ella todas las muestras de tamaño dos, (y después de
tamaño tres). Hallaremos la media y varianza de estas muestras, y obtendremos
la distribución de cada uno. Finalmente veremos que es posible con los
198
conocimientos que tenemos, obtener lo hallado sin pasar por todo el trabajo
realizado.
Ejemplo 7.1. Población: rango de la variable aleatoria X: Número de caras cuando se
lanza un dado tres veces, {O, 1, 2, 3}. La distribución de X es
xi o 1 2 3
P(xi) 1 3 3 1 - - -8 8 8 8
Obsérvese que no pretendemos realizar repetidamente (n veces) el
experimento de lanzar un dado tres veces, lo único que conseguiríamos es
aproximarnos a estos valores teóricos, tomando las frecuencias relativas como
probabilidad, pero indudablemente sería una buena forma de estimar la
distribución de la población si se la desconociera, o bien para verificar la que se
conoce. Muchos autores ya han realizado esta labor y muestran lo que se
supuso.
Tomaremos todas las muestras de tamaño dos y después de tamaño tres,
llegaremos a confirmar la parte teórica dada en los teoremas 5.6.7 y 5.6.8 y
corolarios respectivos.
La media y la varianza de la población (Rx ={O, 1, 2, 3}) son respectivamente
llx = 1,5 ag = 0.75
Se tomaron todas las muestras de tamaño dos, se calcularon las medias, están
en el siguiente párrafo; y sus medias con las probabilidades respectivas se
muestran en la tabla 7.1
199
(O, O), (0,1), (O, 2), (0, 3), (1, O), (1, 1), (1, 2), 1, 3), (2,0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0),
(3, 1), (3,2), (3, 3)
Tabla 7.1
(x, y) i¡ P(X¡)
(0, O) o 1/64
(O, 1) 0,5 3/64
(O, 2) 1 3/64
(O, 3) 1,5 1/64
(1, O) 0,5 3/64
(1, 1) 1 9/64
(1, 2) 1,5 9/64
(1, 3) 2 3/64
(2, O) 1 3/64
(2, 1) 1,5 9/64
(2, 2) 2 9/64
(2, 3) 2,5 3/64
(3, O) 1,5 1/64
(3, 1) 2 3/64
(3, 2) 2,5 3/64
(3, 3) 3 1/64
Con los resultados, hallamos la distribución de la media muestra! X
o
P(i¡) 1
64
0,5
6
64
1
15 64
1,5
20
64
2
15 64
2,5
6
64
3
1 64
200
X¡
P(x1)
Y por tanto, la media de la media muestra!, y su varianza son respectivamente
f.l.x = 1,5; y aJ = E(X2)- [E(X)] 2 = 0,375; confirmándose que f.l.x = f.l.x =
1 51 5 2 oJ 0,75 O 3 S ' ' ' Y ag = 2 = -2- = ' 7
Si el muestreo hubiera contenido todas las muestras de tamaño 3, entonces el
lector puede verificar que la distribución de la media muestra! sería
o 1/3 2/3 1 4/3 5/3 2 7/3 8/3 3
1/512 9/512 36/512 84/512 126/512 126/512 84/512 36/512 9/512 1/512
Y por tanto la media de la media muestra! f.l.x = 1,5 y la varianza de la media
muestra! aJ = 0,25. Confirmándose que
2 ag 0,75 f.l.x = f.l.x = 1,5 y ag = 3 = -
3- = 0,25
Sin embargo debemos informar al lector que no era necesaria la obtención de la
distribución de X en forma directa a partir de todas las muestras, para luego
hallar su media f.l.x y su varianza aJ, porque como las muestras aleatorias son
v.a.i.i.d. (ver definición 7.1.), podemos aplicar el corolario al teorema 5.6.7 que
afirma que, cuando se muestrea población N(~, a2), X sigue una distribución
normal y que:
f.l.x =f.l.x 2
2 ax ag =
n
O, como es nuestro caso, cuando se muestrea cualquier población, la media
muestra! según el corolario del teorema 5.6.8, también tiene distribución
2
normal y f.l.x = f.l.x y además aJ = ux, como lo hemos visto. n
201
muestras tamaño 2: Jlx = 1,5 = Jlx 2 0,75 ai ag = 0,375 = -2- = 2
muestras tamaño 3: Jlx = 1,5 = Jlx 2 0,75 al ag = 0,25 = -
3-= 3
1.2. Distribuciones muestrales
7.21. Distribución de la media muestra!
El siguiente teorema es conocido como distribución de la media muestra!:
Teorema 7.1 Si X11 X2, ... ,Xn es una muestra aleatoria de una población normal de
parámetros JI y al, entonces la media muestra/~ Lf-1 Xi =X tiene distribución n -
a-2 normal con parámetros JI y -(suele denotarse a la media y la varianza de
n
- 2 cr2 X: ~x = ~.Y ax = -)
n
Demostración. Como la muestra aleatoria es un conjunto de variables aleatorias
independientes donde cada elemento de la muestra es normal con parámetros
J1 y a 2 ya el teorema fue demostrado (ver corolario al teorema 5.6.7).
Una consecuencia inmediata, es la aplicación del corolario al teorema 4.2.4:
cuyos usos en la inferencia estadística son fundamentales cuando se muestrea
población N(J1, 0"2). La variable aleatoria siguiente, sigue una distribución normal
estándar:
X- 11 = X- 11 ""N(O, 1) ,.._ a ux -.Jñ
Ejemplo 7.1
202
Si se desconoce la distribución de la población de la cual proviene la muestra
aleatoria entonces el teorema del límite central (teorema 5.9.1) nos indica que
aún en este caso, si se muestrea cualquier distribución discreta o continua, una
muestra de tamaño n, suficientemente grande, la siguiente variable aleatoria:
Sigue una distribución aproximadamente normal estándar. Los especialistas
sugieren que n ~ 30 10, (WACKERLY/MENDENHAL/SCHEAFFER, 2010) es
suficientemente grande, lo que permitirá calcular probabilidades planteadas
para calcular 11 (desconocida) cuando la varianza es conocida. O bien permite
formular y resolver probabilidades sobre X cuando se conocen 11 y a. Como en
el muestreo (muestra grande) es muy poco probable conocer a, para cálculos
probabilísticos sobre 11, se emplea el mismo estadístico (*), donde se reemplaza
a por S.
En caso la muestra sea pequeña, y la varianza desconocida, veremos más
adelante, que se utiliza otra distribución, la llamada distribución t de Student.
7 .2.2 Distribución de la varianza muestra!:
En primer lugar, en la sección 6.1.6 se definió varianza de una población de
tamaño n:
10 "Por lo general, un valor de n mayor que 30 asegura ... " p.372
203
Podemos definir ahora, la varianza de una muestra aleatoria X11 X2 , ... ,Xn en la
misma forma, pero por razones que veremos más adelante preferimos definirla
de la siguiente forma:
N - 2 52 = Li=1 (X¡ - X)
n-1
Si la muestra aleatoria proviene de una población normal de parámetros 11 y u2
entonces
X. -!1 X¡ rvo N(/1, u 2 ), entonces _t __
(j
~ N(O, l),yportanto f (X';~')'~ x~ i=1
Tal como lo afirma el teorema 5.6.10, para n variables aleatorias
independientes, y porque la muestra es un conjunto de v.a.i.i.d.
Teorema 7.2 La variable aleatoria (n- 1)S2 ju 2 sigue una distribución Ji-cuadrado
con n-1 grados de libertad.
Demostración.
n n
~z ' - 2 'e - )2 (n- l)S = 1 ¿(X¡ -X) =z ¿ X¡ - 11 - (X- /1) =3
i=1 i=1
n I [(X¡- /1) 2- 2(X¡- /l)(X- /1) +(X -!1) 2
] =4
i=1
n n
L (X¡ -11) 2- 2(X -11) L (X¡ -11) + n(X -11) 2 =s
i=1 i=1
204
n
L (X¡- /1)2- 2(X- fl.)n(X- fl.) + n(X- f1.) 2 =6
i=l
n L (X¡ - /1)2 - n(X - /1)2 i=l
Igualando el primer miembro de la igualdad 1 con el segundo miembro de la
igualdad 6, trasponiendo términos y dividiendo por a 2 se tiene:
Y puesto que el segundo término del primer miembro es el cuadrado de una
normal estándar, tiene distribución Ji-cuadrado con un grado de libertad, y el
segundo miembro tiene distribución ji-cuadrado con n grados de libertad (ver
(*) más arriba), y aplicando la propiedad reproductora de la ji-cuadrado, se
tiene que (n- 1)S2 ja2 tiene distribución Ji-cuadrado con n-1 grados de
libertad, porque los sumandos del primer miembro son variables aleatorias
independientes, (la demostración de esta independencia, excede los alcances
de este libro) cqd.
Justificaciones de las igualdades: 1, definición de S2 • 2, sumando y restando fl·
3, reales. 4, sumatorias. S, reales. 6, reales.
7 .2.3 Tablas de la distribución Ji-cuadrado.
Ya sabemos que la variable aleatoria que sigue una distribución Ji-cuadrado, por
ser una distribución gamma, tiene por dominio los reales positivos. En las tablas,
*** del apéndice, puede el lector verificar que si X "" x~ (X sigue una
205
distribución ji-cuadrado con v grados de libertad) entonces para, v=15 y los siguientes
valores de a, (a=0,10, 0,05 y 0,01) los valores de la función de distribución de la ji
cuadrado son respectivamente:
P(X::; Xf-a,v) = 1- a; P(X::; X~,9o; 15) = 0,90 y X~,90;15 = 22,31
P(X::; Xf-a,v) = 1- a; P(X::; X~,95; 15) = 0,95 Y X~,95;15 = 25
P(X::; Xt-a,v) = 1- a; P(X::; X5,99; 15) = 0,99 Y x5,99;15 = 30,61
Es decir, para un valor fijo de v, cuando los valores en el eje X, (xf-a,v) varían de 22,31
a 30,61; las áreas del gráfico fig. 7.1 P(X::; xf-a,v) varían de 0,90 a 0,99.
2 '·-----------------------------------.... -........................................ ------------------- X 1-a, v
Figura 7.1
Función de distribución
de la Ji cuadrado {área
sombreada)
P(X ~ xf-a. v) = 1-a
En la misma forma verifíquese en las tablas que xi-a, v• para diferentes valores de a y
v son:
X~,9oo; 5 = 9,24 X~,95o; 5 = 11,07 x5,975; 5 = 12,84 x5,99o; 5 = 15,09 X~,995; 5
= 16,76
X~,005; 12 = 3,06 X~,010; 12 = 3,57 X~,025; 12 = 4.40 X~,050; 12 = 5,22 x8,100; 12
= 6,30
206
Nota l. Habrá notado el lector que en el teorema***se relaciona n (tamaño de la
muestra) con los grados de libertad. Por tanto, para muestras pequeñas ~s
válida esta distribución, por eso al definir la distribución t, en función de la
variable aleatoria Ji-cuadrado, es válida para pequeñas muestras.
Nota 2. Las tablas contienen las cuantilas para cada grado de libertad, desde v = 1
hasta v=100, para valores mayores que 100, (en realidad para v>30) se conoce
que la variable aleatoria ji-cuadrado puede aproximarse a la normal, por medio
de la siguiente relación:
Por ejemplo
x5,9s; 80 = ~(Zo,9s + .J159 / = ~ (1,65 + 12,61)2 = 101,67
Mientras que el valor exacto de tablas es 101, 88. Asimismo
x5,9o; 120 = ~(Zo,9o + ~2
= ~ (1,29 + 15,46)2 = 140,28
7 .2.4 La distribución t
Definición 7.3. La variable aleatoria T, se define como cociente de una normal
estándar entre la raíz cuadrada de una Ji-cuadrado sobre sus grados de libertad;
así si z es una normal estándar y X una Ji-cuadrado con v grados de libertad
entonces se define la variable T:
z T=--
.JX/v
207
Como Z varía en todo los reales, y X es positiva, la variable T varía en <-oo, oo> y
un teorema (que no demostraremos) afirma que si Z y X son variables aleatorias
independientes entonces la variable T así definida tiene una distribución, (una
función de densidad), llamada distribución t de Student en honor a su
descubridor el inglés W Gosset quien firmaba con el seudónimo de "Student".
La distribución t, depende del parámetro v de la ji-cuadrado, y por eso se llama
distribución t con v grados de libertad.
Si tenemos una muestra aleatoria X11 X2, ••. ,Xnde una población normal fl, a2
sabemos que :1Jn sigue una distribución normal estándar; también sabemos
-2
que Cn~~)s sigue una distribución Ji-cuadrado con n-1 grados de libertad, y que
las dos variables aleatorias, pese a provenir de las mismas muestras, son
independientes. Entonces la variable aleatoria
X-11 T= ~
.Jcn -1)S2/(n- 1)a2
Sigue una distribución t con n-1 grados de libertad.
Tabla de la distribución t
Si T sigue una distribución t con v grados de libertad, la tabla ***muestra las
cuantilas t 1 _a; v de la distribución t, que dan las siguientes probabilidades para
diferentes valores de a y v
P(T::; t1-a;v) = 1- a
Así por ejemplo para v =10 y a =0,10 y a= 0,05; se tienen respectivamente:
208
P(T ~ t 0,90; 10) = 0,90 o t 0,90; 10 = 1,372; P(T ~ t 0,95; 10) = 0,95 o t 0,95; 10
= 1,812
Otros ejemplos:
to,Ol;l = -31,821; to,Ol;S = -3,365; to,lO;S = -1,476; t 0,9o;S = 1,476
Como podrá observar el lector, la densidad de la distribución t, es muy similar a
la normal. Es también simétrica respecto a la recta x=O. Los especialistas
informan que para v>30 ambas distribuciones son prácticamente iguales. Por
ejemplo para v= 50, 60 y 70 se tienen
to,9o,; 50 = 1,299 y z 0,90 = 1,29 t 0,9s,; 50 = 1,696 y z 0,95 = 1,645
to,9o; 60 = 1,296 y z 0,90 = 1,29 t 0,95; 60 = 1,671 y z 0,95 = 1,645
t 0,9o,; 70 = 1,294 y z 0,90 = 1,29 t 0,95,; 70 = 1,667 y z 0,95 = 1,645
7.2.5. Distribución de la diferencia de medias muestrales
En esta sección, se verá que cuando se muestrean dos poblaciones normales X e
Y con medias Jlx, Jly y varianzas cri y Uf respectivamente, y se obtienen
muestras de tamaño m para la primera y n para la segunda población, entonces
la diferencia de medias muestrales: X- Y tiene una de las siguientes
distribuciones según sea el caso:
(1)
209
La diferencia de medias muestrales sigue la distribución (1) si las varianzas de
las poblaciones son iguales y ésta es conocida, además de cumplir lo
mencionado en el párrafo anterior.
(X- Y) - Cfl.x- fl.y)
JR '\7'-tm+n-2
1 S -p
(2)
La diferencia de medias muestrales sigue la distribución (2) cuando las varianzas
son iguales pero se desconoce su valor, por eso es suplida por sP, varianza
muestra! combinada de las varianzas muestra les, la que se define en la igualdad
(3)
(m - l)Si + (n - 1)S~
m+n-2 (3)
En caso que las varianzas de las poblaciones sean desconocidas y desiguales, la
diferencia de medias muestrales sigue una distribución t con v grados de
libertad, como lo indicamos en (4)
(4)
Donde los grados de libertad se hallan por la fórmula (5). Tomado de 11
(MILLER/FREUND/JOHNSON, 1992), aunque aparece también en 12
(MENDENHAL/TERRY /siNCICH, 1997)
(sf/n1 + s~/nz)2
v = (sffn1 ) 2 + (s'f./nz)2 n1 -1 n2 -1
(S)
11 Miller/Freund/Johnson Probabilidad y Estadística para ingenieros p. 254 Prentice Hall 12 Mendenhaii/Terry/Sincich Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias p.377.
210
Faltaría un caso, en que las variables aleatorias muestreadas tengan varianzas
conocidas y diferentes, pero entonces es fácil demostrar que
(6)
De las cuatro distribuciones para la diferencia de medias (dadas en (1), (2), (4) y
(6)), explicaremos (2), dejaremos para ejercicios (1) y (6), que son aplicaciones del
teorema del límite central y aceptaremos sin demostración (4), pues excede el
propósito del texto.
Veamos el fundamento de (2): Por (1) sabemos que
(7)
También sabemos que bajo las condiciones dadas para (2),
~2 (n- l)Sy 2
cr2 'V< Xn-1 (8)
Luego, de (8) se conoce que
(m - l)Si (n - l)Si (n - l)Si + (n - l)Si 2 (9
) cr2 + cr2 = cr2 'V< Xm+n-2
Entonces el cociente de (8) sobre la raíz cuadrada de (9) sobre sus grados de
libertad sigue una distribución t con m+n-2 grados de libertad, es decir:
211
(X- Y)- C11x- Jly)
a~ (X- Y)- CJlx- Jly) -j;::c===:;:~z;:=::::=====:;:~2;:=::::==== = ~ ""tm+n-z
n- 1)Sy + (n- 1).:~y/ _!_ + .!_ a2 m + n - 2 Sp m n
Obteniéndose la distribución (2), como queríamos demostrar.
7 .2.6. Distribución de la proporción muestra!
Cuando se muestrea una población Bernoulli, y obtenemos una muestra
X11 X2 , ... ,Xn, de tamaño n, donde cada X¡ es Bernoulli de parámetro p,
entonces X = Lf=1 Xi es el número de éxitos, X sigue una distribución binomial,
de parámetros n, p y en una muestra de tamaño n, la proporción muestra! de
éxitos es X/n. Más adelante pediremos al estudiante demostrar que el
estimador máximo verosímil de la proporción p es precisamente P = X/n
donde X sigue una distribución binomial de parámetros n, p.
Calculemos la media y la varianza del estadístico P, a fin de aplicar el teorema
del límite central:
~ (X) 1 np E ( P) = E - = -E (X) = - = p n n n
~ (X) 1 npq pq V(P)=V- =-V(X)=-=-
n n 2 n 2 n
En consecuencia
P-p
!! ""N(O, 1)
pq n
(10)
212
Si se desconoce p, se debe aproximar por p (y por tanto q por q). En
consecuencia la distribución (10) con los valores aproximados, debe
considerarse sólo una aproximación.
7.2.7. Distribución de la diferencia de dos proporciones muestrales
Omitiendo las demostraciones formales, podemos indicar que:
P1- Pz- (llí\ -fi2 ) = P1- Pz- CP1- Pz) ""N(O, 1)
aA -fi2 P1 q1 + Pz qz n1 nz
(11)
Cuando se muestrean dos poblaciones binomiales de proporciones P1 =
x1 y P2 = x 2 respectivamente, podemos calcular la esperanza y varianza de la nl n2
diferencia de estas proporciones muestrales. (permítasenos una digresión al
respecto: es obvio que cada muestra es una Bernoulli, por tanto la población
será de O's y l's, o sea de éxitos y fracasos. Pero la variable de interés es la suma
de éstos que sabemos es una binomial. Por ello cuando hablemos de
poblaciones es mejor llamarlas binomiales, así cuando digamos la proporción de
éxitos, o una estimación de éstos, estamos estimando la proporción de p de la
binomial)
Calculando lo mencionado arriba tenemos:
= P1- Pz
213
Y de aquí se cumple la distribución (11) por el teorema del límite central.
7.2.8. La Distribución F
Cuando tratamos de hacer inferencias sobre la varianza de una distribución
. , . (n-1)S2
determrnada, tenemos ya el estad1st1co: 2
que nos permite formular dichas (J
inferencias. Pero si tratamos con dos poblaciones normales independientes, con
varianzas (J"f y (}"J.y queremos hacer inferencias comparando sus varianzas, se
necesita la siguiente variable aleatoria que involucra el cociente de dos variables
aleatorias ji-cuadrado:
Xfv1 si X 'V< X~1 y Y 'V< X~2 se define la v. a. F = y fvz
La distribución de esta variable aleatoria se denomina distribución F con v1 y v2
grados de libertad. El dominio de su función de densidad es el conjunto de reales
positivos y tiene una forma parecida a la distribución ji-cuadrado, está dada en la
figura ***.El área sombreada es 1-a. La expresión [ 1 _:!. representa al número real 2
positivo que a su izquierda tiene el área bajo la función de densidad desde -00 hasta
dicho número, es decir 1 -!: 2
214
fa 2
Figura 7.2
Función de densidad de la
v.a. con distribución F y
probabilidad de la parte
sombreada
1-a
En la tabla de la distribución F, del anexo se puede apreciar que:
P(F:::;; fo.9o,1o,12) = 0.90 1- fo,90,10,12 = 2,19
(F :::;; fo,9s, 8, 1s) = 0.95 1- fo,95, 8, 15 = 2,64
(F :::;; fo,99, 8, 15) = 0.99 1- fo,99, 8, 15 = 4,00
fo,90,12,10 = 2,28 fo,90,30,12 = 2,01 fo.9o,u,3o = 1,79 fo,95,20,30 = 1,93
Se habrá notado que la tabla· sólo contiene las funciones de distribución de la
distribución F, para los porcentajes 0,90, 0,95, 0,99. Para valores pequeños 0,10, 0,05
y 0,01 se demuestra fácilmente, dado que la recíproca de una distribución F también
es una distribución F, procediéndose de la siguiente manera
1 1 fo,10;12,15 = =- = 0,476
/o,90;15,12 2,10 O sea P(F:::;; 0,476) = 0,10
1 1 fo,o5;12,15 = fc = 2 62 = 0,382
0,95;15,12 ' O sea, P(F:::;; 0,382) = 0,05
215
7.2.9. Distribución del cociente de varianzas muestrales
Supongamos que tenemos dos variables aleatorias normales independientes X e
Y. y sean X11 X2 , ... ,Xn y Yv Y2 , ... , Ym las muestras aleatorias respectivas.
Entonces de acuerdo a las fórmulas dadas en (8):
( ~2 m -l)Sy
2 (J2 ~ Xm-1
y
Y por tanto el cociente siguiente sigue una distribución F con n-1, y m-1 grados
de libertad:
Ejercicios 7.1
1 Los salarios diarios en cierta industria están distribuidos normalmente con una
media de S/. 132. Si el 9% de las medias de los salarios diarios en muestras de
25 obreros es inferías a S/. 125 ¿cuál es la desviación estándar de los salarios
diarios en esta industria?
2 Supongamos que se tienen en una urna 500 fichas numeradas 1, 2, 3, ... 500.
Después de mezclarlos completamente se sacan 16 fichas aleatoriamente. ¿cuál
es la probabilidad de que la suma se mayor que 3000?
3. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 2 de una población X cuya
distribución es:
216
Determinar la distribución de probabilidad de los siguientes estadísticos:
4 En la tarea de S tarjetas de Wason los sujetos deben decidir cuál de las tarjetas
levantará como respuesta a la pregunta del entrevistador. Supongamos una
muestra de 15 niños participantes cuyo nivel de desarrollo cognitivo les impide
analizar correctamente el problema y responden al azar. Obtenga las
probabilidades de a) que no acierte ninguno b)la proporción de aciertos no
llegue a 0,50 e) la proporción de aciertos sea mayor de 0,20
S De una población normal de varianza cr2 se extraen doa muestras de tamaño n.
Hallar cuál debe ser el tamaño de las muestras para que la probabilidad de que
las medias muestra les difieran en más de 2cr, sea 0,05.
6 Calcula el tamaño de la muestra si se tiene una población de 1000 enfermos y se
quiere estimar, al nivel de 0,95, la media del número de glóbulos rojos /mm3 en
la sangre, con un error menor que 100000. Supóngase que la desviación típica
de la población es 600 000 glóbulos rojos/mm3
7 El voltaje medio de una batería es de 15,0 V y una desviación típica de 0,2 V
¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de estas baterías conectada en serie
tengan un voltaje de 60,8 ó más voltios?
8 Un fabricante de radios recibe semanalmente un cargamento de lOO 000 pilas
de 6 voltios. Para decidir si acepta o rechaza el cargamento utiliza la siguiente
regla de muestreo: mide la vida útil de 36 pilas de cada cargamento. Si la media
de la muestra es de 50 ó más horas acepta el cargamento, en caso contrario, lo
rechaza. a) ¿cuál es la probabilidad de aceptar un cargamento que tiene una
217
vida útil de 49 horas y una desviación estándar de 3 horas? b) ¿cuál es la
probabilidad de rechazar un cargamento que tiene una vida útil media de 50,5 y
una desviación estándar de 3 horas? e) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un
cargamento que tiene una vida útil media de 50 horas? ¿cuál de aceptarlo?
9 Dada una muestra aleatoria de tamaño 16de una distribución normal con media
y varianza desconocidas ¿cuál es la probabilidad de que S2/a2 sea inferior o
igual a 2,041?
10 Suponga que X1, X2, ... Xu es una muestra aleatoria de una variable aleatoria
normal estándar, calcular P[5,23 < L~=l x[ < 15,8]
11 Si X1 tiene una distribución X~ y X2 tiene una distribución xi independiente de
X1, calcular la probabilidad de que X1 + X2 exceda a 12
12 . Examinados los incrementos salariales de los altos ejecutivos de un amplio
grupo de empresas se observa que tienen una distribución normal e media
12,1% y desviación estándar de 3,5%. Se toma una muestra aleatoria de 16
observaciones de la población de incrementos salariales. a) ¿cuál es el error
estándar de la media muestra! de incrementos salariales b) ¿cuál es la
probabilidad de que la media muestra! sea igual o inferior al10%? e) ¿cuál es la
probabilidad de que la desviación estándar muestra! sea superior a 4,52%?
13 Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones de
una población normal con va~ianza 6, tenga una varianza muestra! de a) mayor
que 9,1 b) entre 3,462 y 10,745
218
14 Sea X1, X2, ... Xsuna m.a. extraída de una población N(O, 1). Determine la
. C(X1 +x2 ) constante C d modo que la vanable V = 2 2 2 112
tenga distribución t de (x3+X4 +Xs)
Student
15 La temperatura de encendido de un interruptor controlado termostáticamente
se distribuye normalmente con media y varianzas desconocidas. Se va a tomar
una muestra aleatoria y determinar la varianza muestra!. ¿Cuántas
observaciones son necesarias para asegurar que P[~: :::;; 1,83] ~ 0,99?
16 En un proceso químico pueden emplearse dos catalizadores 1 y 2. Se sospecha
que el catalizador 2 podría tener en promedio mejor rendimiento que el
catalizador l. Para verificar esta afirmación se prepararon 15 lotes con el
catalizador 1 y 12 lotes con el catalizador 2. Para el primer lote el rendimiento
promedio fue de 86 con una desviación estándar de 3. Para el segundo lote se
obtuvo un rendimiento medio de 89 y una desviación estándar de 2. Verificar
las sospechas.
17 Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en dos diferentes
máquinas de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaños
m=14 y n=l2. Las medias y varianzas muestrales son x1 = 8,73, sf = 0,35, X2 =
8,68 , Si = 0,4 ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los diámetros
promedios de las varillas sea mayor que cero?
7 .3. Estimación Puntual
Nos referiremos en esta sección a las variables aleatorias discretas y continuas
importantes, que dependen de uno o más parámetros que habrá que estimarlos
219
a partir de una muestra aleatoria de tamaño n. Si se conoce el parámetro, o los
parámetros de una distribución podemos resolver, en forma completa, todo
tipo de problemas de probabilidad respecto de la distribución dada.
Recordemos, a continuación, algunas distribuciones y los parámetros de los que
dependen. Nos servirán como modelos para formular ejemplos generales de
estimación de sus parámetros, y después formularemos ejemplos específicos de
aplicación. Hay dos tipos de estimación de parámetros: una se denomina
estimación puntual, por el que propondremos un número, o una fórmula que
contenga a una muestra, misma que calculada será un número que estimará el
parámetro aludido. La otra estimación, consistirá en la búsqueda de un
intervalo que contenga al parámetro buscado, el intervalo se llamará intervalo
de confianza (por ejemplo del 95%). La estimación por intervalo se tratará en la
próxima sección. Recordemos algunas distribuciones, Poisson y exponencial,
que dependen de un parámetro; Pascal y uniforme que dependen de dos
parámetros, nos servirán como modelos para hallar una estimación puntual de
sus parámetros
e-íl A_ l.; p(k) =---¡¡¡--- k = 1,2, ... f(x) = A.e-ílx x > O
p(k) = (k- 1) pr qk-r, k = r, r + 1, r + 2, ... f(x) r-1
= {b ~ a, x E [a, b] O, otro caso
Existen dos métodos de estimación puntual, para estimar parámetros: el
método de los momentos, y el método de máxima verosimilitud. Veremos
también que las estimaciones de ambas no siempre son las mismas, pero hay
modo de compararlas para elegir el mejor.
220
7.3.1. Métodos de los momentos
Es el más antiguo, lo propuso el inglés Karl Pearson en 1894, igualando los
momentos teóricos de una v.a con los momentos muestrales. Recordemos que
los momentos teóricos (respecto al origen) se definieron en 3.3.1 y estos son:
k= 1, 2, 3, ...
Y los momentos muestra les de una muestra X1,X2, ..• ,Xn, que también ya se
mencionaron en la definición 7.2 son:
1In Mk =- X/ n i=l
Por ejemplo igualar el primer momento teórico denotado E(X) = f1 =m1 con el
primer momento muestra! denotado ~ Lf=1 Xi =X = M11 lleva a la estimación
íl=i
El método se justifica de la siguiente manera: se tiene la muestra de tamaño n
de una población, sabemos que la media muestra! es X= M1 . Como cada
elemento de la muestra tiene la misma distribución de la población, y la
población depende de un parámetro desconocido, digamos f1, toda función de
los elementos de una muestra, depende del parámetro f1, en particular la media
muestra!, que es el primer momento muestra! dependerá del parámetro. Al
igualar el primer momento muestra! con el primer momento teórico, podrá
despejarse el parámetro, ponerle un acento circunflejo y llamarle estimado del
parámetro. Si hay dos parámetros igualaremos los dos primeros momentos
teóricos con los dos primeros momentos muestrales y luego despejaremos los
parámetros y le llamaremos estimados. Falta un pequeño detalle, Los
momentos muestrales son variables aleatorias, luego se representan con
221
mayúsculas, y los parámetros son letras minúsculas, al igualarlos para tener
sentido, se les denota con las mismas letras pero con mayúsculas y acento
circunflejo, se les llama estimadores (esto es, un estimador es una variable
aleatoria). Después la misma letra minúscula (con acento circunflejo es .la
estimación, o el estimado, un número). Así si estamos estimando el parámetro
() (minúscula), al despejar lo llamamos "estimador de ()" y denotamos e, (theta
mayúscula) y iJ "theta estimado" será el valor de la estimación.
Ejemplos generales
Ejemplo 1. Sea X una v.a con distribución binomial de parámetros 30 y p. Sabemos
que su media (momento teórico) es E(X) = np. Por tanto para nuestro caso
E(X) = m 1 = 30p, y el momento muestra! M1 =X igualando tenemos, para los
estimadores y las estimaciones respectivamente:
3 O p = m1 = E (X) 30P =X X
p=-30
Por tanto si tenemos una muestra específica, obtendremos un número p
estimado para el estimador P. Obteniéndose la estimación p en función de la
media muestra!.
Ejemplo 2. Si la muestra proviene de una variable aleatoria exponencial con
parámetro A. sabemos que su media es 1/A., por tanto igualando con su primer
momento:
- 1 X=-;:::
A
~ 1 A.=
i
Ejemplo 3. Si la muestra proviene de una distribución uniforme en el intervalo [a, b],
con a y b desconocidos. Sabemos que su media teórica es
222
a+b E(X) = m1 = --
2
Para el momento 2, busquemos el equivalente a partir del dato:
De allí tenemos
(b - a) 2
V(X) = E(X2)- [E(X)] 2 = -1-2-
(1)
(2)
De las ecuaciones (1) y (2) se despejan A y B en función de los momentos
M1 y M2 , obteniéndose los estimadores de a y b respectivamente:
Ejemplo 4. Sea X, variable aleatoria con distribución de Pascal de parámetros r y p;
sus momentos teóricos son
T E(X) = m1 =
p
Igualando con sus momentos muestra les se tiene
Despejamos los estimadores en función de los momentos muestra les:
223
7.3.2. Método de máxima verosimilitud.
Este método de estimación puntual de un parámetro, es el más usado, al igual
que el otro método, se usa tanto para v.a discretas como para v.a continuas. En
muchos casos coinciden los estimados de los dos métodos, pero si hubiera
discrepancias se suele preferir al resultado que ofrece el método de máxima
verosimilitud.
Como una muestra aleatoria, consiste en variables aleatorias independientes
idénticamente distribuidas, su función de densidad conjunta es el producto de
sus marginales. Al ser el parámetro de la población desconocido, en la muestra
tampoco se le conoce, por tanto la función de densidad conjunta depende de
este parámetro (o parámetros). A la función de densidad conjunta se le llama
función de verosimilitud
Sea . L (e) la función de verosimilitud, esta función es no negativa, por ser
producto de funciones de densidad, las que por definición son no negativas;
luego se puede definir la función K (e) = In L(e). Y si un valor de e maximiza K,
también maximiza L. Suele ser más sencillo maximizar K. Al valor de e que
maximiza L, se le llama estimador del parámetro, se le denota con la misma
letra pero mayúscula, se le coloca un acento circunflejo y se le llama estimador
del parámetro.
Ejemplos generales
224
Ejemplo l. Supongamos que tenemos una muestra de tamaño n de una población
con distribución exponencial de parámetro desconocido A.. La función de
verosimilitud será:
Por tanto derivándola con respecto a A. se tiene:
Luego, el valor de A. que maximiza la función L (A.) es A.=l/i, y el estimador y el
estimado de A. son respectivamente:
~ 1 A=-=
X
~ 1 A.=
i
Nótese que se ha hallado el mismo estimador que el del método de los
momentos.
Ejemplo 2. Sea: X11 X2 , ... ,Xn muestra aleatoria de una población normal de
parámetros fl, G"2 desconocidos, hallar los estimadores (y estimaciones) máximo
verosímiles par 11 y G"2
Solución. Definiremos la función de verosimilitud L = L(fl, G"2), y a continuación In
L:
1 (In (X· - 11)2) n lnL=-- . t -nlnG"--ln(2rr) 2 t=l (J" 2
225
Hallando la derivada parcial de In L con respecto a Jl., se halla P.:
Hemos hallado los estimados, los estimadores, serán los mismos con
mayúsculas.
7 .4. Estimación por intervalos
Introducción. Un profesor pidió a 4 de sus alumnos que estimaran la edad del
decano de su facultad. Las respuestas fueron: 65, 70, entre 64 y 70, y más de 68
años. Las dos primeras 65 y 70 son estimaciones puntuales, las dos últimas: [64,
70], [68, oo), son estimaciones por intervalos. En este capítulo se estimarán por
intervalos de una confianza probabilística dada, el parámetro de la población,
empezaremos por estimar el parámetro Jl, por intervalos de confianza, cuando
se muestrea población normal, mediante muestras aleatorias de tamaño n,
tomadas de dicha población.
7.4.11ntervalos de confianza para la media. 1
Cuando se muestrea población normal, muestra grande, (n~30), varianza
conocida o no, o muestra pequeña, varianza conocida, se usan los intervalos
(7.4), (7,.6) u (7.10) siguientes según sea el caso. Si la muestra es grande y no se
conoce a, en su reemplazo se utiliza el estadístico S. Si la muestra es pequeña,
para poder aplicar el estadístico que pasamos a exponer se requiere conocer a.
226
La interpretación en términos de probabilidad, que nos inspira la figura 7.3, nos servirá
para hallar un intervalo de confianza unilateral para el parámetro 11 (la media
desconocida). En el gráfico se representan dos partes bajo la función de densidad de la
normal estándar, sobre el eje X. La parte sombreada tiene área (1-a), luego la otra parte
tiene área a. (el a, es arbitrario y pequeño, es el error (error tipo 1) que uno está
dispuesto cometer). El valor del eje X, que limita las dos regiones se denota z1-a, es
decir, el subíndice denota toda el área a su izquierda, y nos servirá para definir el
intervalo unilateral inferior de confianza. Para lo cual partiremos del gráfico de la figura
7.3. Para los intervalos de confianza bilaterales, el error tipo 1, deberá partirse en dos,
y se usará el gráfico de la figura 7.5, de modo que el área bajo la densidad de la normal
estándar queda separado en tres regiones sobre el eje X, cuyas bases son:
a
P (Z :::;; z1-a) = 1 - a
Figura 7.3
z1_a denota el valor (número)
del eje X, que a su izquierda
tiene el área 1-a
P(Z:::;; z1-a) = 1- a
(7.1)
Sabemos (TLC), que el estadístico X- 11/( a J..fñ) tiene distribución normal estándar.
Luego remplazando en la ecuación (7.1) Z, por este valor, tenemos (7.2) y de allí (7.3)
227
(X-fJ. ) P :Jn ~ Z1-a = 1- a (7.2)
(7.3)
(7.4)
El intervalo (7.4) es un intervalo inferior de (1-a) 100 % de confianza para ¡.¡..
Nótese que si a = 0.08 entonces el intervalo sería de 92% de confianza. Todos
los números que intervienen en el intervalo (7.4) son bien determinados. La
media muestra! (X) depende los datos muestrales. z1_a = z0.92 = 1.41 (tablas),
a debe conocerse y finalmente n es el tamaño de la muestra. De modo que el
intervalo unilateral que nos da una confianza del 92 % de contener a la media
está bien definido. En este capítulo, cuando hablemos de un intervalo de 95 %
de confianza para el parámetro ¡.¡., deberá interpretarse en el sentido siguiente:
de cada 100 intervalos de la misma confianza (95%) 95 contienen al parámetro
estimado ¡.t. y 5 no lo contienen.
La figura 7.4, en forma similar nos servirá para definir el intervalo de confianza
unilateral superior. En este caso el punto del eje X que delimita las regiones
sombreada y no sombreada es -z1_a = Za (tiene a su izquierda el área a). Y es
el negativo de z1_a por ser su simétrico respecto al cero. En la misma forma se
construyen para otras distribuciones, regiones similares, para determinar los
intervalos de confianza unilaterales
228
Figura 7.4
P (-Z1-a < Z) = 1 - a
Partiendo de la probabilidad dada, y remplazando Z por su valor (TLC), se tiene
P ( -z1_~::;; Z) = 1- a 2
(7.5)
Se llega al intervalo superior del (1-a) 100% de confianza para la media desconocida f1
( -oo, X+ z1_a :n] (7.6)
Ahora veamos los intervalos bilaterales de confianza. La figura 7.5, muestra la
probabilidad de que la normal estándar esté comprendida entre dos valores. Esta
probabilidad nos servirá para estimar un intervalo (bilateral) de confianza del (1-
a)lOO% para f.l..
(7.7)
229
Figura 7.5
P ( -z1_~ < Z < z1_~) =l-a
Según el teorema del límite central la variable aleatoria Z = X~¡.¡. sigue una distribución ,fñ
normal estándar, por lo que remplazando en la ecuación (7.7) se tiene
(7.8)
De lo que se deduce
(7.9)
Y de aquí, se dice que el intervalo (8.10)
(7.10)
Es un intervalo del (1-a)100 % para la media J1 desconocida. Si a:::: 0,05, entonces el
intervalo se conoce como un intervalo del 95% de confianza para Jl. El número a es
arbitrario, se llama nivel de significación, y en investigaciones se ha universalizado el
uso de tres valores de a: 0,10; 0,05 y 0,01. Cada uno de estos valores nos da un intervalo
de confianza del 90%, del 95% y del99% respectivamente.
Máximo error permisible y tamaño de la muestra
Observe el intervalo (7.10), Hay una cantidad que se resta y se suma a X, se llama
máximo error permisible, y se representa por E:::: z1_%~' de modo que si deseamos
230
cometer un error menor que el 5 %, podríamos despejar n, de la ecuación dada y así
conocer el tamaño de la muestra que nos permita la tolerancia mencionada
7.4.2. Intervalos de confianza para la media. 2.
Veamos el caso cuando se muestrea población normal, muestra pequeña, varianza
desconocida. En este caso usamos la variable aleatoria T = x?'' que sigue una ..¡n
distribución t con n-1 grados de libertad. Las notaciones vienen especificadas en la
figura 7.6, recordemos que la densidad de la distribución T, es muy parecida a la normal
estándar.
a 7.
Densidad de la distribución t
a
2
Figura 7.6
P ( -t1_~ < T < t1_~) =1-a
Usaremos la figura 7.6, para hallar el intervalo de confianza para Jl, partiendo de la
distribución T:
(7.11)
231
Entonces
( X-J.L ) P -t1_~ ~ -~- ~ t1_~ = 1- a
2 - 2 ,fñ
(7.12)
Y la desigualdad del paréntesis equivale a
(7.13)
Por lo que el intervalo pedido del (1-a) 100% para f1 es
(7.14)
Nota. No hemos obtenido los intervalos unilaterales, pero se deducen de la misma
forma que cuando se usó la distribución Z, sólo que esta vez deberá usarse la
distribución t. Debe tenerse en cuenta que para los intervalos unilaterales se
coloca en cada caso todo a, pero en los intervalos bilaterales de confianza se
usan a/2 a cada lado.
7.4.3. Intervalos de confianza para la varianza.
-z Cuando se muestrea población normal. Se usa la variable aleatoria X = (n-~)s
(T
que sigue una distribución Ji-cuadrado con n-1 grados de libertad. (X "" X~-1 ).
Las notaciones con subíndices son las usuales y está dada en la figura 7.7, sólo
que esta vez, deberá añadirse el parámetro (los grados de libertad) de la
distribución Ji-cuadrado.
232
a 2
Figura 7.7
Función de densidad de la Ji
cuadrado y probabilidad del
área sombreada
Usamos la ecuación de la figura 7.71 para deducir un intervalo de confianza para la
varianza:
p ( 2 < (n-1)52 < 2 ) = 1 _
x~,n-1- u2 - x1-~,n-1 a (7.15)
De donde se deduce
P ( (n-1)52 < 2 < (n-1)s
2) = 1 _
2 _a- 2 a X a Xa
12,n-1 z·n-1
(7.16)
Y los intervalos de confianza de (1-a)100 % para a 2 y para a (desconocidos) son
respectivamente los intervalos (7.17) y (7.18).
(n-1)§2] X~
z·n-1
(7.17)
(7.18)
233
7.4.4. Intervalo de confianza para la diferencia de medias.
Cuando se muestrea dos poblaciones normales, muestras grandes, varianzas
conocidas o no, o muestras pequeñas y varianzas conocidas. Se usa la variable
aleatoria diferencia de medias: X1 - X2 que sigue una distribución normal con
2 2 media ¡.t.1 - ¡.t.2 y varianza a1 + a2 y por tanto aplicando el teorema del límite
nt n2
central
(7.19)
La v.a (7.19) se usa para muestras grandes o pequeñas, varianzas conocidas o
no, en caso de no conocerse y las muestras sean grandes, las varianzas se
reemplazan por las varianzas muestrales.
En caso sean muestras pequeñas y varianzas desconocidas pero iguales, se usa
la variable aleatoria siguiente que sigue una distribución t con n1 + n2 - 2
grados de libertad:
(7.20)
Si finalmente se disponen de muestras pequeñas de dos poblaciones normales y
se aprecia que las varianzas no son iguales, se usa la variable aleatoria t con v
234
grados de libertad (este v, se halla por la fórmula (7.22)). La prueba se llama de
Smith-Satterthwaite13 (MILLER/FREUND/JOHNSON, 1992)
(7.21)
(7.22)
Con las variables aleatorias dadas en (7.19), (7.20) y (7.21) obtenemos siguiendo
el mismo procedimiento de los intervalos de confianza anteriores, los intervalos
de confianza (7.23), (7.24) y (7.25) respectivamente.
(7.23)
(7.24)
En (7.20) (nl-1)sf+Cnz-1)s~ 1 d' d 11 d . b' d e ra 1can o es ama o vananza com ma a. n1 +n2-2
(7.25)
7.4.5. Intervalo de confianza para la proporción.
Cuando se muestrea población binomial, conocemos que Z = p~-p es una pq n
variable aleatoria normal estándar, en consecuencia
13 lrwin Miller et al Probabilidad y estadística para ingenieros p.254
235
P ( -z1_~::; Z::; z1_~) = 1- a 2 2
(7.26)
Por tanto remplazando en (8.26) Z por su valor tenemos
( p-p ) p - z1 a :5 ~ :5 z1 a = 1 - a -- pq --
2 - 2 n
(7.27)
De donde se obtiene que el intervalo de confianza de (1-a) 100 % para la
proporción p:
[
A ~~q A ~~ql p-z a - p+z a -1-2 n' 1-2 n
(7.28)
Observe que al despejar debió salir .¡pq en vez de .,¡pE¡, que hemos colocado en
(7.28), pero como no se conoce p se reemplaza por su aproximación p .
. 7.4.6. Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.
Cuando se muestrea dos poblaciones binomiales, se usa la variable aleatoria
(7.29):
z = PcP2-CPcP2) "" N(O, 1) P1q1+P2q2
n1 n2
(7.29)
Por tanto para hallar un intervalo de confianza del (1-a) 100% para la diferencia
de proporciones p1 - p2 se empieza escribiendo:
P ( -z1_~ :5 Z < z1_~) = 1 - a 2 2
(7.30)
Y reemplazando Z por su valor dado en (7.29), continuando todo el
procedimiento conocido se llega al intervalo:
236
[p" _ p" _ z a Ptéh + P2ih ,p" _ p" + z a Ptftt + P2ft2] 1 2 1-- n n 1 2 1-- n n
2 1 2 2 1 2 (7.31)
Donde el radicando debió ser p1 q1 + p2q2 pero como no se conocen ni p1 ni p2 se usan
nl n2
sus aproximaciones p1 y p2 respectivamente.
7.4.7 Intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas muestrales
Cuando se muestrean dos poblaciones normales independientes X e Y de tamaños n1 y
-2; 2 n2 respectivamente; entonces ~~1u; sigue una distribución f con n1 -1 y n2 -1 grados de
Sy O"y
libertad, en ese orden (grados de libertad del numerador y del denominador
respectivamente). Esta variable aleatoria la utilizaremos para hallar un intervalo de
confianza del ( 1-a) 100 % para el cociente CJj / CJf. Como sabemos la función de
densidad de la variable aleatoria ftiene la forma dada en la figura 7.8.
fa 2
Considerando el área sombreada se tiene:
P (t!!. :::;; F :::;; f 1 _!!.) = 1 - a 2 2
Figura 7.8
Función de densidad de la
v.a. con distribución f y
probabilidad de la parte
sombreada
(7.32)
237
·2 ¡ 2
Remplazando F por el estadístico (~~~a~), se tiene: Sy CTy
Y despejando al/ a1:
., '
(7.33)
(7.34)
De donde se obtiene el intervalo de (1-a) 100% de confianza para el cociente de
varianzas:
(7.35)
Nota. En todo lo tratado sobre el uso de la distribución f para intervalos de
confianza aparecen simplificadamente f~ o f 1_~. debiendo añadirse, en los . 2 2
subíndices, los grados de libertad del numerador y del denominador,· en ese
orden, debiendo aparecer en la forma f!!!. n1
_ 1 n2
_ 1 o f 1_~ n1
- 1 n2
- 1 2 ' , 2 1 ,
respectivamente.
Ejercicios
1. Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de
una fibra. Diseña un experimento en que se observan las tensiones de ruptura,
en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. La tensiones son
20,8; 20,6; 21,0; 20,9; 19,9; 20,2; 19,8; 19,6; 20,9; 21,1; 20,4; 20,6; 19,7; 19,6;
20,3 y 20,7. supóngase que la tensión de una fibra se encuentra modelada por
una distribución normal con desviación estándar de 0,45 libras. Construir un
238
intervalo de confianza estimado del 98 % para el valor real de la tensión de
ruptura promedio de la fibra.
2. Con referencia al ejercicio 1, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son
apropiadas para la interpretación del intervalo de confianza?
(a) El la probabilidad de que la tensión promedio verdadera se encuentre, los
límites de confianza son de 0,98
(b) Aproximadamente el 98%, de todos los intervalos de confianza calculados
con base en repetidas muestras de tamaño 16, obtenidas en el proceso de
fabricación de las fibras incluirán el verdadero valor promedio de la tensión
de ruptura.
(e) La probabilidad de que la tensión de ruptura para cualquier fibra se
encuentre fuera de los límites de confianza es 0,02
3. Genere 100 muestras por computadora, cada una de tamaño 16 de una
distribución normal con media 100 y desviación estándar 10. para cada muestra
constrúyase un intervalo de confianza del 95% para IJ.. ¿Cuántos de éstos
contienen el verdadero valor de 100 para 11?
4. Una tienda de donas se interesa en estimar su volumen de ventas diarias.
Supóngase que el valor de la desviación estándar es de $50.
(a) Si el volumen de ventas se encuentra aproximado por una distribución
normal ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con una
probabilidad de 0,95, la media muestra! se encuentre a no más de $20 del
verdadero volumen de ventas promedio?
239
(b) Si no es posible suponer que la distribución es normal, obtener el tamaño
necesario de la muestra para la pregunta (a)
S. Con referencia al ejercicio 4, generar 100 muestras de igual tamaño determinado
en el inciso (a), de una distribución normal con media 400 y desviación estándar
SO. calcular la media muestra! para cada muestra. ¿Cuántas medias muestrales
se encuentran a no más de $20 del valor conocido de IJ.? ¿está su respuesta de
acuerdo con lo que se esperaba?
6. Se piensa que la diferencia entre el sueldo más bajo y el más alto que se paga
por hora a los mecánicos de automóviles es de $9. si se supone que estos
sueldos están normalmente distribuidos ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra
para que con una probabilidad de 0,99 la media muestra! se encuentre a no más
de un dólar del verdadero salario por hora promedio? Conteste la misma
pregunta sin suponer una distribución normal.
7. la Cámara de Comercio de una ciudad se encuentra interesada en estimar la
cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a convenciones,
calculando comidas, alojamiento y entretenimiento por día. De las distintas
convenciones que se llevan a cabo en la ciudad, se seleccionaron 16 personas y
se les preguntó la cantidad que gastaban por día. Se obtuvo la siguiente
información en dólares: 1SO, 17S, 163, 148, 142, 189, 13S, 174, 168, 1S2, 1S8,
184, 134, 146, 1SS, 163. si se supone que la cantidad de dinero gastada en un
día es una v.a. normal obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 9S y
98% para la cantidad promedio real.
8. Con referencia al ejercicio 1, determinar el intervalo de confianza estimado del
98% para la tensión de ruptura promedio sin suponer que se conoce la
240
desviación estándar de la población ¿cómo es este intervalo comparado con el
que se obtubo en el ejercicio 1?
9. Para verificar la sensitividad de la distribución t de Student con respecto a la
suposición de que se muestrea una distribución normal, generar 100 muestras
aleatorias cada una de tamaño 10 de una distribución exponencial con 8 = 20.
Para cada muestra, construir un intervalo de confianza estimado del 95 % para la
media. ¿Cuántos de estos intervalos contienen el valor medio conocido de 8 =
20? Repetir el proceso incrementando el tamaño de la muestra a 30. ¿Existe
alguna diferencia? Formular un comentario respecto a sus resultados.
10. Una muestra aleatoria de los salarios por hora para 9 mecánicos de automóviles
proporcionó los siguientes datos (en dólares)10,5; 11; 9,5; 12; 10; 11,5; 13; 9;
8,5. bajo la suposición que el muestreo se llevó a cabo sobre una población
normal construir los intervalos de confianza estimados de 90, 95 y 99% para los
salarios por hora promedio para todos los mecánicos. Interpretar los resultados.
11. Dos universidades financiadas por el gobierno tienen métodos distintos para
inscribir a sus alumnos al principio de cada semestre. Las dos desean comparar
el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar la inscripción. En
cada universidad se anotan los tiempos de inscripción para 100 alumnos
seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estándar muestrales son las
siguientes:
.X1 = 50,2 x2
= 52,9
S'¡ = 4,8 ~2 = 5,4
241
si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblaciones normales
independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95, y 99%
para la diferencia entre las medias del tiempo de inscripción para las dos
universidades. Con base en esta evidencia ¿se estaría inclinado a concluir que
existe una diferencia real entre los tiempos medios para cada universidad?
12. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se
selecciona un nuevo proceso en el que se añaden una aleación a la producción
del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera
diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos
procesos. Para cada metal se seleccionan doce especimenes y cada uno de éstos
se somete a una tensión hasta que se rompe. Los resultados en kilogramos por
centímetro cuadrado son:
Proceso estándar 428 419 458 439 441 456 463 429 438 445
441 463
Proceso nuevo 462 448 435 465 429 472 453 459 427 468
452 447
Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos v.a. normales
independientes con varianzas iguales, obtener los intervalos de confianza
estimados del 90, 95 y 99% para ~e - ~n· Con base en estos resultados, ¿se
estaría inclinado a concluir que existe una diferencia real entre para ~e y ~n?
13. Se espera tener una cierta variación aleatoria nominal en el espesor de las
láminas de plástico que una máquina produce. Para determinar cuándo la
variación en el espesor se encuentra dentro de ciertos límites, cada día se
seleccionan en forma aleatoria 12 láminas de plástico y se mide en milímetros su
242
espesor. Los datos que se obtuvieron son los siguientes 12.6, 11.9, 12.3, 12.8,
11.8, 11.7, 12.4, 12.1, 12.3, 12.0, 12.5, 12.9
Si se supone que el espesor es una v.a. normal obtener los intervalos de
confianza estimados del 90,95 y 99% para la varianza desconocida del espesor.
Si no es aceptable una varianza mayor de 0,9mm ¿existe alguna razón para
preocuparse en base a esta evidencia?
14. Con los datos del ejercicio 7, obtener un intervalo de confianza del 95% para la
varianza desconocida e interpretar el resultado.
15. Con referencia al ejercicio 3, construir para cada muestra un intervalo de
confianza del 95 % para cr2 ¿cuántos de estos intervalos contienen el valor
conocido de 100 para cr2? ¿Este resultado está de acuerdo con lo que se
esperaba?
16. Una agencia estatal tiene la responsabilidad de vigilar la calidad de agua, para la
cría de peces con fines comerciales. Esta agencia se encuentra interesada en
comparar la variación de cierta sustancia tóxica en dos estuarios cuyas aguas se
encuentran contaminadas por desperdicios industriales provenientes de una
zona industrial cercana. En el primer estuario se seleccionaron 11 muestras y en
el segundo 8, las cuales se enviaron a un laboratorio para su análisis, las
mediciones en ppm que se observaron en cada muestra son:
Estuario 1:10
8
Estuario 2:
10
11
12
8
13 9
9 7
8 12 12 10 14
10 8 8 10
243
Si las poblaciones muestreadas son normales independientes, obtener un
intervalo de confianza del 95% para el cociente de las dos varianzas no conocidas
2/ 2 0'"1 0'"2 Con base en este resultado ¿se podría concluir que las dos varianzas
son diferentes? ¿Por qué?
17. Con referencia al ejercicio 12, construir un intervalo de confianza estimado del
99 % para el cociente o-// o-/ donde 0'"1
2 es la varianza del proceso estándar y
2 0'"2 es la varianza del nuevo proceso. Con base en este resultado, ¿es razonable
la suposición de que las varianzas son iguales?
18. La lista electoral final en una elección reciente para senador, reveló que 1400
personas de un total de 2500 seleccionadas aleatoriamente, tienen preferencia
por el candidato A con respecto al candidato B.
(a) Obtener un intervalo de confianza unilateral inferior del 99 % para la
verdadera proporción de votantes a favor del candidato A. Con base en este
resultado ¿podría usted afirmar que el candidato A gane la elección? ¿Por
qué?
(b) Suponer que se selecciona una muestra aleatoria de 225 personas con la
misma proporción muestra! a favor del candidato A ¿Son los resultados
diferentes a los del inciso (a)?
19. Se recibe un lote muy grande de artículos proveniente de un fabricante que
asegura que el porcentaje de artículos defectuosos en la producción es del 1%.
Al seleccionar una muestra aleatoria de 200 artículos y después de
inspeccionarlos se descubren 8 defectuosos. Obtener los intervalos de confianza
aproximados del 90, 95 y 99 % para la verdadera proporción de artículos
244
defectuosos en el proceso de manufactura del fabricante. Con base en estos
resultados ¿qué se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante?
20. Un médico investigador desea estimar la proporción de hombres en edad
madura, que fuman en exceso y que desarrollarán cáncer pulmonar en los
siguientes cinco años. El investigador desea seleccionar una cierta cantidad de
hombres que hayan fumado por lo menos dos cajetillas de cigarrillos al día
durante 20 años y observarlos durante los próximos cinco años para saber
cuántos desarrollan cáncer pulmonar. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra de
manera tal que con probabilidad de 0,95, la proporción muestra! se encuentre a
no más de 0,02 unidades de la proporción verdadera.
245
CAPÍTULO VIII:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Introducción.
Una prueba de hipótesis es un procedimiento por etapas o pasos, el primer
paso consiste en la formulación de una· hipótesis que se va a poner a prueba, se
denomina hipótesis nula y se denota Ho. Por ejemplo una persona que adquirió
un auto quiere saber si es cierto que el rendimiento es de 35 kilómetros por
galón de gasolina (dato de la empresa vendedora). Su Ho sería J1 = 35,
precisamente se llama nula porque para empezar debe pensar que no existe
diferencia entre lo que se le afirmó al comprarlo, y lo que realmente rinde el
auto. Frente a esta Ho (hipótesis nula) se formula el comprador la hipótesis
alternativa denotada H1: J1 < 35. Es decir su sospecha, de que el galón se
consumió antes de transitar los 35 km. Toda investigación se formula una
alternativa, sin embargo la alternativa dada no es la única, también pueden
formularse como alternativas J1>35 y J.l.'l:-35 pero en otras pruebas. Veamos:
Supongamos que la compañía que vende el auto y que afirma que el consumo
es de 35 Km por galón, ha innovado el motor de los autos que vende, de modo
que se sospecha que el rendimiento por galón sea más de 35 km. Si el gerente
quiere someter a prueba de hipótesis su sospecha, para la misma Ho se
formulará la alternativa Ht J1 >35.
Para usar la tercera alternativa, mostremos la hipótesis nula de otra
investigación. En un laboratorio se producen ciertas pastillas en base a una
cantidad determinada de droga, si la cantidad de droga es menor que la
246
convenida, no hace efecto. Si la cantidad es mayor que la convenida hace daño.
Supongamos que la cantidad convenida es de 50 miligramos, entonces se
someterá a prueba Ha: J1. = 50 mg y si un médico que administra esta pastilla,
observa que no produce el efecto esperado, puede someter a prueba la
hipótesis nula frente a la alternativa H1 Jl.'.t50.
Se ha definido hasta aquí, un tipo de hipótesis nula, referente a la media 11· Hay
otros tipos de hipótesis nula, referente a la varianza: Ha:cr2 = crJ, referente a la
proporción, Ha: p = pa etc. En cada prueba se podrá elegir una de las tres
alternativas, la que corresponda. Faltan algunos pasos para llegar a la parte final
donde se decidirá si se rechaza o no la hipótesis nula. En eso consiste la prueba.
Formuladas las hipótesis, (nula y alternativa) el siguiente paso es determinar el
nivel de significación a la que se va a someter a prueba la hipótesis nula. Se la
denota con a, es arbitraria, la determina el investigador, es la probabilidad de
errar cuando Ha es verdadera.14 (MODE, 1982)15 (CANA VOS, 1995)Ya se dijo en
la sección anterior que se ha universalizado tres valores para a: 0,10; 0,05 y
0,01. Una prueba se realiza sólo a un nivel de significación.
El siguiente paso es determinar el estadístico de prueba observado. Se le denota
eobs (theta mayúscula observado) esta variable aleatoria será elegida de
acuerdo a los datos, y teniendo presente que es uno de los cuatro siguientes :
Zabs• Tabs• X~bs o Fabs· El estadístico de prueba toma un valor numérico al
reemplazar sus datos según el enunciado del problema. El número hallado es de
suma importancia para la prueba llamémoslo eobs (theta minúscula observado)
14 Un detallado concepto de error tipo 1, p. 112 15 Una definición formal de error tipo uno, p. 304
247
El penúltimo paso consiste en determinar la región crítica o de rechazo, se
denota R.C; para determinarla habrá que considerar tres elementos ya
formulados: 1. La hipótesis alternativa. 2. El nivel de significación y 3. El
estadístico de prueba. Si la alternativa es de la forma f1 <flo, se dice que la
prueba es de cola izquierda y la región crítica tiene la forma(-oo, -e1 _a)
siempre que el theta observado sea Zobs o Tobs para los demás casos la región
crítica de izquierda, toma la forma (0, ea)· Si la hipótesis alternativa es de la
forma f1 >flo se dice que la prueba es de cola derecha y la región crítica toma la
forma (e1_a, oo) cualquiera sea el theta observado. Finalmente si la alternativa
es de la forma f1 '#- flo entonces la prueba se llama de dos colas y la región crítica
toma la forma (-oo, -e1_~) U (e 1_~,oo) si el estadístico observado es
Zobs o Tobs de lo contrario tiene la forma (o, e~) U (e1_~, oo)
El último paso de la prueba de hipótesis es la decisión: Si eobs pertenece a la
región crítica (eobs E R.C.) se rechaza Ho de lo contrario no se rechaza. Y Allí
concluye la prueba. Si se rechaza la Ho, entonces tácitamente estaremos
aceptando la alternativa. Si no se la rechaza, diremos que no hemos encontrado
motivo suficiente para rechazarla y que efectivamente se confirma la hipótesis
nula
Resumen.
Una prueba de hipótesis consiste en someter a una hipótesis nula a un
procedimiento de seis pasos para llegar a una decisión de rechazarla o no. Los
siguientes son los pasos que iremos ejemplificando más adelante:
248
1. Formular una hipótesis nula, mostramos tres, hay muchas más:
{
Ho: /1 =/lo Ho: a2 = a5 Ha: P =Po
2. ~ormular la hipótesis alternativa (c/u de las Ha de 1, tiene tres alternativas
posibles, mostramos las tres posibles para Ha: P =Po=
{
Hl: p <Po, (Pba. de cola izquierda) H1: p >Po, (Pba. de cola derecha) H1: p *Po, (Pba. de dos colas)
3. Formular el nivel de significación, si no está determinada en el problemas a
¡a= 0.10
desarrollar se sugiere elegir una de las tres: a = 0.05
a= 0.01
4. Elegir el estadístico de prueba o estadístico observado, el que se adecúa al
problema, sólo uno de entre los cuatro Zobs• Tabs• x;bs o Fabs·
S. Hallar la región crítica o de rechazo. Considerando la hipótesis alternativa y
el estadístico de prueba, tiene el siguiente formato, donde e es el estadístico
de prueba
( -oo, -e1_a), Prueba de cola izquierda, y estadístico: Zobs o Tabs
(0, ea), Prueba de cola izquierda y estadístico: X;bs o Fabs
(e1-a, oo), Prueba de cola derecha y estadístico: Zobs• Tobs•X~bs o Fobs
( -oo, -e1_~) U (e 1_~, oo), Prueba de dos colas, estadístico: Zobs o Tabs
(o, e~) u (e1_~, oo), Prueba de dos colas, estadístico: x;bs o Fabs
6. Decisión: si eobs E (R. C.) se rechaza Ho, de lo contrario no se rechaza.
8.1. Prueba de Hipótesis para la media
l. El propietario de un automóvil compacto sospecha que la distancia promedio
por galón que ofrece su carro es menor que 30 millas por galón (especificación
de la EPA). El propietario toma nueve muestras y obtiene los siguientes datos:
249
28.3, 31.2, 29.4, 27.2, 30.8, 28.7, 29.2, 26.5, 28.1. el propietario conoce que la
distancia recorrida por galón es una v.a. normal con desviación estándar
conocida de 1.4 millas por galón. Con base en esta información ¿se encuentra
apoyada la sospecha del propietario con a= 0,01?
H0 : f1 = 30 H1 : f1 < 30 a= 0,01
x- f1 29,025 - 30 Zobs = !!.._ = 1,4 = -2,089
.¡g 3 R.C = (-oo,-z0,99} = (-oo,- 2,33} No se rechaza la hipótesis nula.
Una vez concluida la prueba, se tendrá el cuidado de dar respuesta concreta a la
pregunta: Con base a la información proporcionada, no se encuentra apoyada la
sospecha del propietario.
2. Una clínica ha establecido que el peso medio de un comprimido de fuerte acción
tóxica debe ser de 50 mg. La verificación muestra! de 121 comprimidos de la
partida de remedios recibida ha demostrado que el peso medio de esta partida
es 0,53 mg ¿Es congruente este resultado con el dado? Probarlo para a=O,OS,
sabiendo que la población de donde se tomó la muestra tiene distribución
normal con a=0,11 mg.
3. Por una muestra de n =16, escogida de una distribución normal, se halló quei =
118,2,y s = 3,6 para el nivel de significación a=O,OS probar la hipótesis nula ll
=120 versus la alternativa (a) ll ~ 120 (b) ll < 120
4. La dimensión teórica a calcular de los artículos producidos por una máquina
automática es ll =35 mm. Las mediciones de 20 artículos tomados al azar dieron
los siguientes resultados:
250
X¡ 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3
n¡ 2 3 4 6 S
Si los resultados son suficientemente diferentes del valor teórico, es necesario
parar la producción y reestructurar la máquina. ¿Hay suficiente motivo para
parar la producción? Suponer población normal y usar a=O,OS
5. Se determinó la cantidad de desgaste de un eje {0,0001 de pulgada), después de
un recorrido fijo de millas para cada uno de n = 8 motores de combustión
interna, que llevan cobre y plomo como material antifricción, resultando x =
3, 72, s = 1,25 si se supone que el desgaste del eje es normal use a= 0,05 para
probar Ho : ll = 3,50 contra H1 : ll > 3,50
8.2. Prueba de Hipótesis para la proporción
l. Los registros de la Dirección de Vehículos de Motor indican que de todos los
vehículos que se sometieron a prueba de emisiones durante el año anterior, 70%
pasaron al primer intento. Una prueba aleatoria de 200 automóviles probados
en un condado particular durante el año actual indica que 156 pasaron en la
prueba inicial. ¿sugiere esto que la verdadera proporción de este condado
durante el año actual difiere de la proporción anterior en el ámbito estatal? Usar
a=O,OS.
251
H0 : p = 0,70 H1: p -:f:. 0,70
a= 0,05 p - p o, 78 - 0,70
Z obs = -- ""= ---;:::=:=:=:== = 2,4 7 [pqnq (0,70)(0,30) ~n 2oo
R.C = (-oo,-zl-a/2) U (zl-a/2• oo)
(-oo,-zo,97s) U (z0,975 , oo) = (-oo,-1,96) U (1,96, oo) Se rechaza la hipótesis nula.
Respuesta: Efectivamente, la verdadera proporción de este condado, difiere de
la proporción anterior, al nivel de O,OS.
2. Una muestra aleatoria de lSO donaciones recientes en un banco de sangre
revela que 92 eran de tipo A. ¿Sugiere esto que el porcentaje real de donaciones
tipo A difiere del 40 %, el porcentaje de la población con sangre tipo A? Usar
a=O,Ol. ¿sería distinta su conclusión si usara a=O,OS?
3. En Alabama se hizo un estudio para ver si había discriminación contra los negros,
en la elección el gran jurado, como lo afirmaban algunos periodistas. Los datos
de un censo sugirieron que el 2S% de los elegibles para prestar servicio como
gran jurado eran negros, pero una muestra aleatoria de lOSO llamados para
presentarse para un posible servicio dio por resultado sólo 177 negros ¿Se
concluye de estos datos que hay discriminación? Usar a=O,Ol
4. Una partida de artículos se acepta si la probabilidad de que el artículo resulte
defectuoso no es mayor que 0,02. Entre 480 artículos escogidos al azar
resultaron 12 defectuosos. ¿Se puede aceptar la partida?
S. Algunos científicos piensan que los robots jugarán un papel esencial en las
fábricas en los próximos 20 años. Supongamos que en un experimento para
252
determinar si es factible el uso de robots para trenzar cables de computadora, se
empleó un robot para ensamblar 500 cables. Se examinaron los cables y
encontraron defectuosos 14 de ellos. Si los ensambladores humanos tienen una
tasa de 0,03 (3%) ¿Apoya esta información la hipótesis de que la proporción de
partes defectuosas es menor para robots que para humanos? Usar a=O,Ol.
8.3. Prueba de Hipótesis para diferencia de dos medias
1. Para verificar si los estudiantes varones tienen la misma propensión al
aburrimiento que sus similares mujeres en una universidad unos investigadores
aplicaron a 97 estudiantes varones y 148 mujeres la Escala de propensión al
aburrimiento. Los resultados fueron:
nH = 97, xH = 10,40, nM = 148, xM = 9,26,
SH = 4,83 SM = 4,68
Apoyan los resultados la hipótesis de que el aburrimiento en hombres es mayor
que en las mujeres estudiantes de universidades de Estados Unidos?
2. Las personas que tienen síndrome de Reynaud están propensas a sufrir un
repentino deterioro de la circulación sanguínea en los dedos de manos y pies.
En un experimento para estudiar la magnitud de este deterioro, cada persona
introdujo su dedo índice en el agua y se midió la salida resultante de calor
(cal/cm2/min). Para m =10 personas con el síndrome el promedio de salida del
calor fue x; = 0,64 y paran= 10 que no tienen el padecimiento, el promedio de
salida fue x2
= 2,05 Represente con 1-11 y ~2 el verdadero promedio de salida de
calor para los dos tipos de personas. Suponga que los dos tipos de salida de calor
son normales independientes con 01 = 0,2 y 02 = 0,4. Probar Ho: ~1- ~2 = -1,0
contra H1: ~1- ~2 < -1,0 al nivel de 0,01.
253
3. Por dos muestras independientes de tamaños n1 = 40 y n2 = 50, obtenidas de
poblaciones normales, se han hallado las medias muestrales x1 = 130, y x2 =
140. Las desviaciones típicas poblacionales son conocidas 01 = 9 y 02 = 10.
verifica al nivel de 0,01 la igualdad de medias contra la alternativa de medias
diferentes.
4. En dos partidas de artículos producidos por dos máquinas ajustadas de manera
idéntica se han escogido dos muestras aleatorias de m= 10 y n = 12:
Di m. 1ra máq. X¡ 3,4 3,5 3,7 3,9
m¡ 2 3 4 1
Dim.2da máq. y¡ 3,2 3,4 3,6
n¡ 2 2 8
Para el nivel de significación 0,02, hay que verificar la hipótesis nula de igualdad
de medias frente a la alternativa de diferencia de medias. Se supone que las
variables aleatorias X e Y están normalmente distribuidas y son variables
aleatorias independientes
Nota 1 Si las varianzas se conocen recuérdese en distribución de la diferencia de
medias se vió:
(X- Y)- (Jl.x- Jl.y) --r===:==::;-- '\70 N (0,1)
az crz _x+_y_ m n
254
Este mismo caso se aplicará para varianzas desconocidas pero muestras
grandes, en cuyo caso las varianzas desconocidas serán reemplazadas por las
varianzas muestrales.
Nota 2. Cuando se muestrean dos poblaciones normales, de tamaños m y n, de
varianzas desconocidas pero iguales se tiene en cuenta que la variable T tiene la
distribución:
(X- Y) - Úlx - Jl.v) (m - 1)Si + (n- 1)S~ T = ~ "" tm+n-z donde Sp = 1 1 m+n-2
sP m +n:
Nota. 3 Cuando las distribuciones de dos poblaciones son normales independientes,
las varianzas no conocidas y desiguales y las muestras son pequeñas, la v.a
X1- X2 - (J-lJ- Jl-2)
$2 S 2 _1_+_2_
~ 1lz
(~~+~')' sigue una distribución t con v g.l. donde v = -;{ _ _:__-,-,\2,-------;(----'------o\2-=
\S2d~L + S22lllz)
~-1 llz-1
S. Se espera que dos operadores produzcan, en promedio el mismo número de
unidades terminadas en el mismo tiempo. Los siguientes datos son los números
de unidades terminadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo:
Operador 1: 12 11 18 16 13
Operador 2: 14 18 18 17 16
255
Si se supone poblaciones normales independientes con varianzas iguales ¿se puede
discernir alguna diferencia entre las medias a un nivel 0,1?
8.4. Prueba de Hipótesis para datos pareados
1. Mediante dos aparatos se han medido 6 piezas en el mismo orden. Los
resultados en centésimas de milímetro fueron:
2 3 5 6 8 10
10 3 6 1 7 4
Para el nivel de a= 0.05 hay que establecer si los resultados de las mediciones se
diferencian significativamente o no {se efectúan las diferencias d¡ = X¡ -y¡ , y se
utiliza el conocimiento de que a-J;z 1 ~d sigue una distribución t con n-1 grados
de libertad, siempre que X e Y sean distribuciones normales independientes)
2. Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus
productos con un método propuesto que supuestamente reduce el proceso de
armado. Se seleccionaron 8 trabajadores de la planta de armado y se les pidió
que armaran las unidades con ambos procesos. Los siguientes son los tiempos de
armado en minutos.
Trabajador 1 2 3 4 5 6 7 8
Proceso actual 38 32 41 35 42 32 45 37
Proceso propuesto 30 32 34 37 35 26 38 32
Con a = 0,05 ¿existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el
proceso actual es mayor que el del método propuesto por más de dos minutos?
256
3. Se determinó un estudio para determinar el grado en el cual el alcohol
entorpece la habilidad de pensamiento para llevar a cabo determinada tarea. Se
seleccionaron al azar 10 personas de diferentes características y se les pidió que
participaran en el experimento. Cada persona llevó a cabo el experimento sin
nada de alcohol en su organismo. El experimento se repitió después de haber
ingerido una dosis de alcohol para tener un contenido en su organismo de 0,1%.
Los resultados, en minutos, fueron:
Persona 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10
Antes 28 22 55 45 32 35 40 25 37 20
Después 39 45 67 61 46 58 51 34 48 30
¿Puede concluirse a un nivel a = 0,05 que el tiempo promedio "antes" es menor
que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos?
4. Dos laboratorios han determinado por un mismo método y en igual orden el
contenido de carbono en 13 pruebas de acero no aleado, con los siguientes
resultados
Labl 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0,19 0,32 0,27 0,22 0,34
0,14 0,46
Lab2 0,16 0,09 0,08 0,05 0,13 0,10 0,14 0,30 0,31 0,24 0,28
0,11 0,42
Suponer poblaciones normales y establecer si los resultados medios se
diferencian de manera significativa para el nivel de 0,05.
257
8.5. Prueba de Hipótesis para varianza
l. De una población normal, se ha extraído una muestra de tamaño n = 21 y por
ella se ha hallado que la varianza muestra! 52 = 16,2. Verificar la hipótesis nula cr2
= 1S vs la alternativa cr2 > 1S al nivel de significación de 0,01
2. De una población normal se ha extraído la siguiente muestra:
X¡ 10,1 10,3 10,6 11,2 11,5 11,8 12,0
n¡ 1 3 7 10 6 3 1
Verificar la hipótesis nula de nula cr2 = 0,18 vs la alternativa cr2 > 0,18 al nivel de
significación de O,OS
3. Un contratista ordena un gran número de vigas de acero con longitud promedio
de S metros. Se sabe que la longitud de la viga está normalmente distribuida con
una desviación estándar de 0,02 m. Después de recibir el embarque el
contratista selecciona 16 vigas al azar y mide sus longitudes. Si la media
muestra! tiene un valor más pequeño que el esperado, se tomará la decisión de
enviar el embarque al fabricante. Si la probabilidad de rechazar un embarque
bueno es de 0,04 ¿cuál debe ser el valor de la media muestra! para que el
embarque sea regresado al fabricante?
4. Se admite una partida de productos si la varianza de la producción que se mide
no es mayor de manera significativa que 0,2. la varianza muestra! hallada para n
= 121 resultó ser 52 = 0,3 ¿Se puede admitir la partida para el nivel de
significación de 0,01?
S. Se inserta un remache en un agujero. Si la desviación estándar del diámetro del
agujero es mayor que 0,01mm existe una probabilidad inaceptablemente grande
258
de que el remache no entre en el agujero. Se toma una muestra aleatoria de 15
piezas y se mide el diámetro del agujero, la desviación estándar muestra! es 5 = 0,008 mm ¿Existe evidencia fuerte que nos indique que la desviación estándar
del diámetro del agujero es mayor que 0,01? Usar a= 0,01.
8.6. Prueba de Hipótesis para comparación de dos varianzas
muestra les.
1. Se encontró que la desviación estándar muestra! de concentración de sodio en
sangre entera para 20 anguilas marinas fue s1 = 40,5, mientras que la desviación
estándar muestra! de concentración para n = 20 anguilas de agua dulce fue s2 =
32,1. Si se supone normalidad para las dos distribuciones de concentración e
igualdad de varianzas, pruebe al nivel de 0,10 para ver si la información sugiere
cualquier diferencia entre varianzas de concentración para los dos tipos de
anguilas.
2. Para comparar la precisión de dos máquinas automáticas se toman dos muestras
de tamaños n1 = 10 y n2 = 8; con resultados siguientes:
X¡ 1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42
y¡ 1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38
¿Podemos considerar que las máquinas tienen igual precisión? Use a = 0,1 si la
alternativa es a12 ~ ai.
3. Las capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas en una
mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor
de las capas de óxido, es una característica crítica de la oblea y lo deseable para
los siguientes pasos es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos
259
mezclas diferentes de gases, con la finalidad de determinar con cuál se obtienen
mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad del espesor de
óxido. 20 obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estándar de cada
muestra del espesor de óxido son s1 = 1,96 angstroms y s2 = 2,13 angstroms
respectivamente. ¿Existe alguna evidencia que indique preferencia por alguno
de los gases? Usar a= 0,05
4. Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir de materia prima. La
concentración de un elemento en particular en este material es importante. La
concentración promedio de ambos proveedores es la misma pero se sospecha
que la variabilidad en la concentración puede diferir en las dos compañías. La
desviación estándar de la concentración en una muestra aleatoria de n1 = 15
lotes producidos por la compañía 1 es s1 = 4,7 g/1, mientras que para la compañía
2, una muestra aleatoria de n2 = 20 lotes proporciona una s2 = 5,8 g/1 ¿Existe
evidencia suficiente para concluir que las varianzas de las dos poblaciones son
diferentes? Usar a= 0,05.
260
REFERENCIALES
CANAVU!;, C:i. c. (199!:>). Prababiiidad y tstadlstica. Apicacianes y Métodos.
México: McGrawHill.
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MEYER, P. L. (1998). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México: Addison
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México: PRENTICE HALL
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matemática: Moscú: Mir.
WACKERLV/MENDENHAL/SCHEAFFER. (2010). Estadística Matemática. México:
CENGAGE Learning.
261
Apéndice
1.- Todas las tablas (en total 31) y figuras (en total 33) del texto, son creaciones o
elaboraciones del autor del presente texto: Están numerados por capítulo,
desde el capítulo 111 hasta el capítulo VIl. En el resto no hay tablas ni figuras.
En la elaboración de las figuras se han utilizado diferentes programas como
EXCEL, MATLAB, SPSS.
2.- Los ejemplos, de ejercicios y problemas resueltos, han sido elaborados en su
totalidad por el autor. Mostramos en el apéndice A, tres de éstos: el ejemplo
2.1.1, el ejemplo 2.1.2 y el ejemplo 3.4.4
3.- Los teoremas son de propiedad de la humanidad, lo que si es original es el
método de su demostración, un modelo de demostración de un teorema se ha
colocado en el apéndice B. En el apéndice C, hemos colocado los dos teoremas
creados por el autor.
4.:- Toda la obra es original, en el sentido que no tiene copia de párrafo alguno antes
publicado; es decir es original en su metodología, puesto que el conocimiento
que contiene la obra es universal, y patrimonio de la humanidad.
Apéndice A
Ejemplo 2.1.1: Un salón de clases tiene 40 alumnos de los cuales 15 son damas. Se
elige al azar un comité de tres varones y dos damas.
a) muestre un resultado posible del experimento aleatorio.
b) Halle el número de elementos del espacio muestra!
262
e) Halle la probabilidad de que María (una de las damas del salón) esté en el
comité
d) Halle la probabilidad de que María y Pedro (uno de los 25 varones) no estén
entre los elegidos.
Soluciones:
a).- Sea el conjunto de varones V = {vl, v2, v3, ... , v25} y el conjunto de damas D
= {d1, d2, ... , d15}. Entonces un resultado posible es {{v5, v10, v2}, {d8, d12}}.
b).- Tres varones de un total de 25 se puede elegir de e35
) maneras, y dos
damas de un total de 15 se puede elegir de (125
) maneras. Luego aplicando el
principio fundamental, tres varones y dos damas, se puede elegir de
(;5
) C25) = 241500 maneras.
e).- Si María está en el comité sólo queda elegir una de las damas restantes, lo
que puede hacerse de (114
)maneras. La probabilidad pedida es (casos
favorables/casos posibles)=
Obsérvese, que los casos favorables para que María esté en el comité son dos,
de los 15 posibles.
263
d).- Sea A, el suceso: 11Pedro y María están en el comité" se hallará: 1-P(A). En
efecto la probabilidad de que Pedro y María estén en el comité es ~~:¡¡:}j = ,:"s
1 b b'l'd d , 1 • , 1 46 79 por tanto a pro a 1 1 a que no esten en e com1te es -125
= 125
Ejemplo 2.1.2 En el esquema de "calles de una ciudad", si se elige un camino al
azar, para ir de A hasta B, tomando en cada esquina, una dirección al azar bien
hacia la derecha o hacia arriba, hállese la probabilidad de
a). pasar por la esquina C.
b). pasar por las calles CD
Solución: Como el camino de líneas oscuras puede denotarse (ver ejemplo
1.1.8) (H, H, V, H, H, V, V, H, H. H, H, V, V, H, H, H, V, V, H)
a). Casos favorables: primero se puede ir de A a C:de P(7; 4, 3) maneras; luego
se puede ir de C a B de P(12; 8, 4).maneras. Por tanto, al aplicar el principio
fundamental: se puede pasar por C de P(7; 4, 3) P(12; 8, 4) maneras. Los casos
posibles consisten en todos los caminos posibles para ir de A a B, es decir:P(19,
12, 7) maneras. Probabilidad buscada es el
cociente, o sea: 0.3438
b). Casos favorables: P(7; 4, 3)·P(8; 4,
4). Casos posibles: P(19, 12, 7). Probabilidad
buscada: 0.0486
Ejemplo 3.4.4._Un trabajador espacial tiene su aposento en el centro de un cubo,
desde donde debe salir eligiendo al azar, a cualquiera de los ocho vértices del
cubo donde cumplirá una labor. Ya estando en un vértice elegirá al azar cumplir
264
otra labor en un vértice adyacente o regresar a su aposento, teniendo la misma
probabilidad cualquiera de las cuatro elecciones (los tres vértices adyacentes y
el retorno).
a. Sugerir un método para elegir al azar cualquiera de los vértices
(naturalmente cada vértice debe tener la misma probabilidad de ser elegido)
b. Estando en un vértice, sugerir un método para elegir cualquiera de los tres
vértices adyacentes o el retorno
c. Hallar la distribución del número de vértices que visita el trabajador hasta su
retorno al aposento.
d. Hallar el número esperado de vértices que visita.
Solución.
a. Un procedimiento podría ser colocar los 8 números (del 1 al 8) en 8
papelitos) y hacerlos corresponder con los ocho vértices del cubo, elegir uno
al azar. Otro procedimiento puede ser lanzar una moneda tres veces, y a los
ocho resultados posibles hacerlos corresponder con cada vértice del cubo,
sólo que en la ingravidez, cómo saber elegir cara o sello requiere un poco de
ingenio.
b. Puede hacerse lo mismo que en a, con cuatro papelitos numerados y visitar
un vértice si salen l, 2, ó 3; y con 4 retorno a casa.
c. Sea X: número de vértices que visita el astronauta, hasta su retorno. Luego
X 'VI G (¡) , puesto que visitar un solo vértice es retornar de inmediato,
cuya probabilidad es .¡, si no retorna sigue visitando un vértice adyacente
cuya probabilidad es¡ = q
265
d. E(X) = ~=4 - p
Apéndice B
Teorema 2.2.3: A e B 1-:- P(A) ~ P(B)
Demostración:
(1). AU(B- A) = B Conjuntos: si AcB entonces AU(B-A) = B.
(2). AU(BnA') = B (1), conjuntos
(3). P(AU(BnA')) = P(B) (2)
(4). P(A) + P(BnA') = P(B) (3), Ax.2
(S). P(A)::; P(B) (4), Ax.l
cqd.
Apéndice C
Antecedentes:
Nos tenía intrigados, las relaciones entre la funciones generatrices de
momentos de la distribución geométrica y de la distribución de Pascal fueran
pé ( pet )r respectivamente --t y --t . Hasta que hallamos en Meyer, que la 1-qe 1-qe
variable aleatoria de Pascal podía expresarse como suma de variables aleatorias
geométricas. El resto fue fácil, aplicar el teorema del límite central a la
distribución de Pascal, como lo hemos hecho, y similarmente aplicar el teorema
5.6.2, según la cual si Y es suma de los Xi entonces la función generatriz de
266
momentos de Y es el producto de las funciones generatrices de momentos de
los Xi, que es el teorema que pasamos a demostrar:
Teorema. 5.5.5 La función generatriz de momentos de la distribución de Pascal de
parámetros r y p es mx(t) = ( pet t)r 1-qe
Demostración Como y= L[=lxi donde xi ""G(p), y la f.g.m. de la variable
geométrica está dada en el teorema 3.4.3 y nota a la definición 3.3.5, se tiene:
Justificación de las Igualdades 1, teorema 5.6.2. 2, teorema 3.4.3 y nota a
la definición 3.3.5 3, reales cqd.
5.8.3. Aproximación de la distribución de Pascal por la normal
También la distribución de Pascal puede expresarse como suma de r variables
aleatorias, pero en este caso geométricas Xi, de parámetro p c/u (la p de la
Bernoulli), como lo expresa16 (MEYER, 1998)la descomposición de la variable
aleatoria de Pascal por suma de r, variables geométricas:
X1: número de experimentos Bernoulli hasta que salga éxito por primera vez,
X2: número de experimentos Bernoulli desde que apareció éxito por primera
vez, hasta que aparezca éxito por segunda vez ...
Xr número de experimentos Bernoulli desde que apareció éxito por (r-1) ésima
vez hasta que aparezca éxito por r-ésima vez.
16 Paul Meyer. Probabilidad y Aplicaciones'Estadísticas p.179·
267
Obsérvese que Xi sigue una distribución geométrica de parámetro p, entonces
E(X) = 1/p y V(Xi) = q/p2• Si Y= Lf=1 Xi entonces E(Y) = r/p y varianza de Y es
rq/p2•
En consecuencia para r suficientemente grande Y= L[=1 Xi es una variable
aleatoria de Pascal de parámetros r y p. luego
y 1
r- p = y- r/p ""N(O, 1) ¡q ¡rq p p
) A. (b+l/2-r/p) En consecuencia P(Y :5 b = -y ..¡r¡jjp
268
Anexo
Tabla de la distribución normal
Tabla de la distribución ji-cuadrado
Tabla de la distribución t de Student
Tabla de la Distribución F de Fisher
269
0.00005
0.00007
0.00011
0.00016
0.00023
0.00034
0.00048
0.00069
0.00097
0.00135
0.00187
0.00256
0.00347
0.00466
0.00621
0.0082
0.01072
0.0139
0.01786
0.02275
0.02872
0.03593
0.04456
0.0548
0.06681
0.08076
0.0968
0.11507
0.13566
0.15865
0.18406
0.21185
0.24196
0.27425
0.30853
0.34457
0.38209
0.42074
0.46017
0.5
PROBABILIDAD ACUMULADA DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
P(Z::;zo)
0.00005
0.00007
0.0001
0.00015
0.00022
0.00032
0.00047
0.00066
0.00094
0.00131
0.00181
0.00248
0.00336
0.00453
0.00604
0.00798
0.01044
0.01355
0.01743
0.02222
0.02807
0.03515
0.04363
0.0537
0.06552
0.07927
0.0951
0.11314
0.1335
0.15625
0.18141
0.20897
0.23885
0.27093
0.30502
0.3409
0.37828
0.41683
0.4562
0.49601
0.00004
0.00007
0.0001
0.00015
0.00022
0.00031
0.00045
0.00064
0.0009
0.00126
0.00175
0.0024
0.00326
0.0044
0.00587
0.00776
0.01017
0.01321
0.017
0.02169
0.02743
0.03438
0.04272
0.05262
0.06425
0.0778
0.09342
0.11123
0.13136
0.15386
0.17878
0.20611
0.23576
0.26763
0.30153
0.33724
0.37448
0.41293
0.45224
0.49202
0.00004
0.00006
0.0001
0.00014
0.00021
0.0003
0.00043
0.00062
0.00087
0.00122
0.00169
0.00233
0.00317
0.00427
0.0057
0.00755
0.0099
0.01287
0.01659
0.02118
0.0268
0.03362
0.04181
0.05155
0.06301
0.07636
0.09176
0.10935
0.12924
0.1515
0.17618
0.20327
0.23269
0.26434
0.29805
0.33359
0.3707
0.40904
0.44828
0.48803
0.00004
0.00006
0.00009
0.00014
0.0002
0.00029
0.00042
0.0006
0.00084
0.00118
0.00164
0.00226
0.00307
0.00415
0.00554
0.00734
0.00964
0.01255
0.01618
0.02067
0.02619
0.03288
0.04093
0.0505
0.06178
0.07493
0.09012
0.10749
0.12714
0.14917
0.17361
0.20045
0.22965
0.26108
0.2946
0.32997
0.36692
0.40516
0.44433
0.48404
0.00004
0.00006
0.00009
0.00013
0.00019
0.00028
0.0004
0.00058
0.00082
0.00114
0.00159
0.00219
0.00298
0.00402
0.00539
0.00714
0.00939
0.01222
0.01578
0.02018
0.02559
0.03216
0.04006
0.04947
0.06057
0.07353
0.08851
0.10565
0.12507
0.14686
0.17105
0.19766
0.22663
0.25784
0.29116
0.32635
0.36317
0.40129
0.44038
0.48006
0.00004
0.00006
0.00008
0.00013
0.00019
0.00027
0.00039
0.00056
0.00079
0.00111
0.00154
0.00212
0.00289
0.00391
0.00523
0.00695
0.00914
0.01191
0.01539
0.0197
0.025
0.03144
0.0392
0.04846
0.05938
0.07214
0.08691
0.10383
0.12302
0.14457
0.16853
0.19489
0.22363
0.25462
0.28774
0.32276
0.35942
0.39743
0.43644
0.47607
0.00004
0.00005
0.00008
0.00012
0.00018
0.00026
0.00038
0.00054
0.00076
0.00107
0.00149
0.00205
0.0028
0.00379
0.00508
0.00676
0.00889
0.0116
0.015
0.01923
0.02442
0.03074
0.03836
0.04746
0.05821
0.07078
0.08534
0.10204
0.121
0.14231
0.16602
0.19215
0.22065
0.25143
0.28434
0.31917
0.35569
0.39358
0.4325
0.47209
0.00003
0.00005
0.00008
0.00012
0.00017
0.00025
0.00036
0.00052
0.00074
0.00103
0.00144
0.00199
0.00272
0.00368
0.00494
0.00657
0.00866
0.0113
0.01463
0.01876
0.02385
0.03005
0.03754
0.04648
0.05705
0.06944
0.08379
0.10027
0.119
0.14007
0.16354
0.18943
0.21769
0.24825
0.28095
0.31561
0.35197
0.38974
0.42857
0.46811
0.00003
0.00005
0.00008
0.00011
0.00017
0.00024
0.00035
0.0005
0.00071
0.001
0.00139
0.00193
0.00264
0.00357
0.0048
0.00639
0.00842
0.01101
0.01426
0.01831
0.0233
0.02938
0.03673
0.04551
0.05592
0.06811
0.08226
0.09852
0.11702
0.13786
0.16109
0.18673
0.21476
0.24509
0.27759
0.31206
0.34826
0.3859
0.42465
0.46414
270
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.758
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.999
0.9993
0.9995
0.9997
PROBABILIDAD ACUMULADA DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
P(Z::;zo)
0.504
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.695
0.7291
0.7611
0.791
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.992
0.994
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.983
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.5517
0.591
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.937
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.5557
0.5948
0.6331
0.67
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.4878
0.9904 - 0.9906
0.9927 0.9929
0.9945 0.9946
0.9959 0.996
0.9969 0.997
0.9977
0.9984
-o.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.877
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.975
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.834
0.8577
0.879
0.898
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.985
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.5714
0.6103
0.648
0.6844
0.719
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.881
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.998
0.9986
0.999
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.883
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.989
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.999
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
271
TABLA 3-Distribución Chi Cuadrado x 2
.J,vg.l Xos Xoss XoGo XoGs Xo1o Xo1s Xoso Xoss Xo9o Xo95 Xo97S Xo99 Xo995 Xo997S Xo999
1 0,4549 0,5707 0,7083 0,8735 1,0742 1,3233 1,6424 2,0722 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7,8794 9,1404 10,8274 2 1,3863 1,5970 1,8326 2,0996 2,4079 2,7726 3,2189 3,7942 4,6052 5,9915 7,3778 9,2104 10,5965 11,9827 13,8150 3 2,3660 2,6430 2,9462 3,2831 3,6649 4,1083 4,6416 5,3170 6,2514 7,8147 9,3484 11,3449 12,8381 14,3202 16,2660 4 3,3567 3,6871 4,0446 4,4377 4,8784 5,3853 5,9886 6,7449 7,7794 9,4877 11,1433 13,2767 14,8602 16,4238 18.4662 5 4,3515 4,7278 5,1319 5,5731 6,0644 6,6257 7,2893 8,1152 9,2363 11,0705 12,8325 15,0863 16,7496 18,3854 20,5147
6 5,3481 5,7652 6,2108 6,6948 7,2311 7,8408 8,5581 9,4461 10,6446 12,5916 14,4494 16,8119 18,5475 20,2491 22,4575 7 6,3458 6,8000 7,2832 7,8061 8,3834 9,0371 9,8032 10,7479 12,0170 14,0671 16,0128 18,4753 20,2777 22,0402 24,3213 8 7,3441 7,8325 8,3505 8,9094 9,5245 10,2189 11,0301 12,0271 13,3616 15,5073 17,5345 20,0902 21,9549 23,7742 26,1239 9 8,3428 8,8632 9,4136 10,0060 10,6564 11,3887 12,2421 13,2880 14,6837 16,9190 19,0228 21,6660 23,5893 25,4625 27,8767 10 9,3418 9,8922 10.4732 11,0971 11,7807 12,5489 13,4420 14,5339 15,9872 18,3070 20,4832 23,2093 25,1881 27,1119 29,5879
11 10,3410 10,9199 11,5298 12,1836 12,8987 13,7007 14,6314 15,7671 17,2750 19,6752 21,9200 24,7250 26,7569 28,7291 31,2635 12 11,3403 11,9463 12,5838 13,2661 14,0111 14,8454 15,8120 16,9893 18,5493 21,0261 23,3367 26,2170 28,2997 30,3182 32,9092 13 12,3398 12,9717 13,6356 14,3451 15,1187 15,9839 16,9848 18,2020 19,8119 22,3620 24,7356 27,6882 29,8193 31,8830 34,5274 14 13,3393 13,9961 14,6853 15,4209 16,2221 17,1169 18,1508 19,4062 21,0641 23,6848 26,1189 29,1412 31,3194 33,4262 36,1239 15 14,3389 15,0197 15,7332 16,4940 17,3217 18,2451 19,3107 20,6030 22,3071 24,9958 27,4884 30,5780 32,8015 34,9494 37,6978 16 15,3385 16,0425 16,7795 17,5646 18,4179 19,3689 20,4651 21,7931 23,5418 26,2962 28,8453 31,9999 34,2671 36,4555 39,2518 17 16,3382 17,0646 17,8244 18,6330 19,5110 20,4887 21,6146 22,9770 24,7690 27,5871 30,1910 33,4087 35,7184 37,9462 40,7911 18 17,3379 18,0860 18,8679 19,6993 20,6014 21,6049 22,7595 24,1555 25,9894 28,8693 31,5264 34,8052 37,1564 39,4220 42,3119 19 18,3376 19,1069 19,9102 20,7638 21,6891 22,7178 23,9004 25,3289 27,2036 30,1435 32,8523 36,1908 38,5821 40,8847 43,8194 20 19,3374 20,1272 20,9514 21,8265 22,7745 23,8277 25,0375 26,4976 28,4120 31,4104 34,1696 37,5663 39,9969 42,3358 45,3142 21 20,3372 21,1470 21,9915 22,8876 23,8578 24,9348 26,1711 27,6620 29,6151 32,6706 35,4789 38,9322 41,4009 43,7749 46,7963 22 21,3370 22,1663 23,0307 23,9473 24,9390 26,0393 27,3015 28,8224 30,8133 33,9245 36,7807 40,2894 42,7957 45,2041 48,2676 23 22,3369 23,1852 24,0689 25,0055 26,0184 27,1413 28,4288 29,9792 32,0069 35,1725 38,0756 41,6383 44,1814 46,6231 49,7276 24 23,3367 24,2037 25,1064 26,0625 27,0960 28,2412 29,5533 31,1325 33,1962 36,4150 39,3641 42,9798 45,5584 48,0336 51,1790 25 24,3366 25,2218 26,1430 27,1183 28,1719 29,3388 30,6752 32,2825 34,3816 37,6525 40,6465 44,3140 46,9280 49,4351 52,6187 26 25,3365 26,2395 27,1789 28,1730 29,2463 30,4346 31,7946 33,4295 35,5632 38,8851 41,9231 45,6416 48,2898 50,8291 54,0511 27 26,3363 27,2569 28,2141 29,2266 30,3193 31,5284 32,9117 34,5736 36,7412 40,1133 43,1945 46,9628 49,6450 52,2152 55,4751 28 27,3362 28,2740 29,2486 30,2791 31,3909 32,6205 34,0266 35,7150 37,9159 41,3372 44,4608 48,2782 50,9936 53,5939 56,8918 29 28,3361 29,2908 30,2825 31,3308 32,4612 33,7109 35,1394 36,8538 39,0875 42,5569 45,7223 49,5878 --52,~~55 - 54,!J662 58,3006
272
TABLA 3-Distribución Chi Cuadrado x 2• (Continuación)
J.v g.J Xos Xo4s Xo6o Xo6s Xo7o Xo7s Xoao Xoas Xo9o Xogs Xo975 Xo99 Xo995 Xo997 s Xo999 30 29,3360 30,3073 31,3159 32,3815 33,5302 34,7997 36,2502 37,9902 40,2560 43,7730 46,9792 50,8922 S3,6719 56,332S S9,7022 31 30,3359 31,3235 32,3486 33,4314 34,5981 35,8871 37,3591 39,1244 41,4217 44,9853 48,2319 52,1914 SS,0025 S7,6921 61,0980 32 31,3359 32,3394 33,3809 34,4804 35,6649 36,9730 38,4663 40,2563 42,5847 46,1942 49,4804 53,4857 S6,3280 59,0461 62,4873 33 32,3358 33,3551 34,4126 35,5287 36,7307 38,0575 39,5718 41,3861 43,7452 47,3999 50,7251 54,7754 S7,6483 60,3953 63,8694 34 33,3357 34,3706 35,4438 36,5763 37,7954 39,1408 40,6756 42,5140 44,9032 48,6024 51,9660 56,0609 S8,9637 61,7382 65,2471 3S 34,3356 35,3858 36,4746 37,6231 38,8591 40,2228 41,7780 43,6399 46,0588 49,8018 53,2033 57,3420 60,2746 63,0760 66,6192 36 35,3356 36,4008 37,5049 38,6693 39,9220 41,3036 42,8788 44,7641 47,2122 50,9985 54,4373 58,6192 61,S811 64,4097 67,9850 37 36,3355 37,4156 38,5348 39,7148 40,9839 42,3833 43,9782 45,8864 48,3634 52,1923 55,6680 59,8926 62,8832 65,7384 69,3476 38 37,3354 38,4302 39,5643 40,7597 42,0450 43,4619 45,0763 47,0072 49,5126 53,3835 56,8955 61,1620 64,1812 67,0628 70,7039 39 38,3354 39,4446 40,5935 41,8040 43,1053 44,5395 46,1730 48,1263 50,6598 54,5722 58,1201 62,4281 65,4753 68,3830 72,0S50 40 39,3353 40,4589 41,6222 42,8477 44,1649 45,6160 47,2685 49,2438 51,8050 55,7585 59,3417 63,6908 66,7660 69,6987 73,4029 4S 44,3351 45,5274 46,7607 48,0584 49,4517 50,9849 52,7288 54,8105 57,5053 61,6562 65,4101 69,9569 73,1660 76,2229 80,0776 so 49,3349 50,5923 51,8916 53,2576 54,7228 56,3336 58,1638 60,3460 63,1671 67,5048 71,4202 76,1538 79,4898 82,6637 86,6603 SS 54,3348 55,6539 57,0160 58,4469 59,9804 61,6650 63,5772 65,8550 68,7962 73,3115 77,3804 82,2920 85,7491 89,0344 93,1671 60 59,3347 60,7128 62,1348 63,6277 65,2265 66,9815 68,9721 71,3411 74,3970 79,0820 83,2977 88,3794 91,9518 95,3443 99,6078 70 69,3345 70,8236 72,3583 73,9677 75,6893 77,5766 79,7147 82,2553 85,5270 90,5313 95,0231 100,4251 104,2148 107,8079 112,3167 80 79,3343 80,9266 82,5663 84,2840 86,1197 88,1303 90,4053 93,1058 96,5782 101,8795 106,6285 112,3288 116,3209 120,1018 124,8389 90 89,3342 91,0234 92,7614 94,5809 96,5238 98,6499 101,0537 103,9040 107,5650 113,1452 118,1359 124,1162 128,2987 132,2554 137,2082 100 99,3341 101,1149 102,9459 104,8615 106,9058 109,1412 111,6667 114,6588 118,4980 124,3421 129,5613 135,8069 140,1697 144,2925 149,4488 120 119,3340 121,2850 123,2890 125,3833 127,6159 130,0546 132,8063 136,0620 140,2326 146,5673 152,2113 158,9500 163,6485 168,0814 173,6184 140 139,3339 141,4413 143,6043 145,8629 148,2686 150,8941 153,8537 157,3517 161,8270 168,6130 174,6478 181,8405 186,8465 191,5653 197,4498 160 159,3338 161,5868 163,8977 166,3092 168,8759 171,6752 174,8283 178,5517 183,3106 190,5164 196,9152 204,5300 209,8238 214,8081 221,0197 180 179,3338 181,7234 184,1732 186,7282 189,4462 192,4086 195,7434 199,6786 204,7036 212,3039 219,0442 227,0563 232,6198 237,8548 244,3723 200 199,3337 201,8526 204,4337 207,1244 209,9854 213,1022 216,6088 220,7441 226,0210 233,9942 241,0578 249,4452 255,2638 260,7350 267,5388 250 249,3337 252,1497 255,0327 258,0355 261,2253 264,6970 268,5987 273,1944 279,0504 287,8815 295,6885 304,9393 311,3460 317,3609 324,8306 300 299,3336 302,4182 305,5741 308,8589 312,3460 316,1383 320,3971 325,4090 331,7885 341,3951 349,8745 359,9064 366,8439 373,3509 381,4239 500 499,3335 503,3147 507,3816 511,6081 516,0874 520,9505 526,4014 532,8028 540,9303 553,1269 563,8514 576,4931 585,2060 593,3580 603,4458 600 599,3335 603,6942 608,1468 612,7718 617,6713 622,9876 628,8157 635,9329 644,8004 658,0936 669,7690 683,5155 692,5)809 701,832~ 71'}.,7726
273
TABLA 3-Distribución Chi Cuadrado x 2• {Continuación)
.t.vgl Xooo1 Xooozs Xooos Xoo1 Xoozs Xoos Xo1 Xo1s Xoz Xozs Xo3 Xo3s Xo4 Xo4s
1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0039 0,0158 0,0358 0,0642 0,1015 0,1485 0,2059 0,2750 0,3573 2 0,0020 0,0050 0,0100 0,0201 0,0506 0,1026 0,2107 0,3250 0,4463 0,5754 0,7133 0,8616 1,0217 1,1957 3 0,0243 0,0449 0,0717 0,1148 0,2158 0,3518 0,5844 0,7978 1,0052 1,2125 1,4237 1,6416 1,8692 2,1095 4 0,0908 0,1449 0,2070 0,2971 0,4844 0,7107 1,0636 1,3665 1,6488 1,9226 2,1947 2,4701 2,7528 3,0469 5 0,2102 0,3075 0,4118 0,5543 0,8312 1,1455 1,6103 1,9938 2,3425 2,6746 2,9999 3,3251 3,6555 3,9959
6 0,3810 0,5266 0,6757 0,8721 1,2373 1,6354 2,2041 2,6613 3,0701 3,4546 3,8276 4,1973 4,5702 4,9519 7 0,5985 0,7945 0,9893 1,2390 1,6899 2,1673 2,8331 3,3583 3,8223 4,2549 4,6713 5,0816 5,4932 5,9125 8 0,8571 1,1042 1,3444 1,6465 2,1797 2,7326 3,4895 4,0782 4,5936 5,0706 5,5274 5,9753 6,4226 6,8766 9 1,1519 1,4501 1,7349 2,0879 2,7004 3,3251 4,1682 4,8165 5,3801 5,8988 6,3933 6,8763 7,3570 7,8434 10 1,4787 1,8274 2,1558 2,5582 3,2470 3,9403 4,8652 5,5701 6,1791 6,7372 7,2672 7,7832 8,2955 8,8124
11 1,8338 2,2321 2,6032 3,0535 3,8157 4,5748 5,5778 6,3364 6,9887 7,5841 8,1479 8,6952 9,2373 9,7831 12 2,2141 2,6612 3,0738 3,5706 4,4038 5,2260 6,3038 7,1138 7,8073 8,4384 9,0343 9,6115 10,1820 10,7553 13 2,6172 3,1118 3,5650 4,1069 5,0087 5,8919 7,0415 7,9008 8,6339 9,2991 9,9257 10,5315 11,1291 11,7288 14 3,0407 3,5820 4,0747 4,6604 5,6287 6,5706 7,7895 8,6963 9,4673 10,1653 10,8215 11,4548 12,0785 12,7034 15 3,4825 4,0697 4,6009 5,2294 6,2621 7,2609 8,5468 9,4993 10,3070 11,0365 11,7212 12,3809 13,0298 13,6790
16 3,9417 4,5734 5,1422 5,8122 6,9077 7,9616 9,3122 10,3090 11,1521 11,9122 12,6243 13,3096 13,9827 14,6555 17 4,4162 5,0916 5,6973 6,4077 7,5642 8,6718 10,0852 11,1249 12,0023 12,7919 13,5307 14,2406 14,9373 15,6328 18 4,9048 5,6234 6,2648 7,0149 8,2307 9,3904 10,8649 11,9462 12,8570 13,6753 14,4399 15,1738 15,8932 16,6108 19 5,4067 6,1673 6,8439 7,6327 8,9065 10,1170 11,6509 12,7727 13,7158 14,5620 15,3517 16,1089 16,8504 17,5894 20 5,9210 6,7228 7,4338 8,2604 9,5908 10,8508 12,4426 13,6039 14,5784 15,4518 16,2659 17,0458 17,8088 18,5687
21 6,4467 7,2889' 8,0336 8,8972 10,2829 11,5913 13,2396 14,4393 15,4446 16,3444 17,1823 17,9843 18,7683 19,5485 22 6,9829 7,8648 8,6427 9,5425 10,9823 12,3380 14,0415 15,2787 16,3140 17,2396 18,1007 18,9243 19,7288 20,5288 23 7,5291 8,4503 9,2604 10,1957 11,6885 13,0905 14,8480 16,1219 17,1865 18,1373 19,0211 19,8657 20,6902 21,5095 24 8,0847 9,0441 9,8862 10,8563 12,4011 13,8484 15,6587 16,9686 18,0618 19,0373 19,9432 . 20,8084 21,6525 22,4908 25 8,6494 9,6462 10,5196 11,5240 13,1197 14,6114 16,4734 17,8184 18,9397 19,9393 20,8670 21,7524 22,6156 23,4724
26 9,2222 10,2561 11,1602 12,1982 13,8439 15,3792 17,2919 18,6714 19,8202 20,8434 21,7924 22,6975 23,5794 24,4544 27 9,8029 10,8733 11,8077 12,8785 14,5734 16,1514 18,1139 19,5272 20,7030 21,7494 22,7192 23,6437 24,5440 25,4367 28 10,3907 11,4973 12,4613 13,5647 15,3079 16,9279 18,9392 20,3857 21,5880 22,6572 23,6475 24,5909 25,5092 26,4195 29 10,986~_12,12Z!__ 13,1211 14,2564 16,0471 17,7084 19,7677 21,2468 22,4751 23,5666 24,5770 25,5391 26,4751 27,4025
274
TABLA 3-Distribución Chi Cuadrado x 2• (Continuación)
ivg.l Xooot Xooozs Xooos Xoot Xoozs Xoos X~o1 X5ts X02 Xozs Xo3o Xo3s Xo4o Xo4s 30 11,5876 12,7646 13,7867 14,9535 16,7908 18,4927 20,5992 22,1103 23,3641 24,4776 25,5078 26,4881 27,4416 28,38S8 31 12,1961 13,4073 14,4577 15,6555 17,5387 19,2806 21,4336 22,9762 24,2551 25,3901 26,4397 27,4381 28,4087 29,3694 32 12,8104 14,0555 15,1340 16,3622 18,2908 20,0719 22!2706 23,8442 25,1478 26,3041 27,3728 28,3889 29,3763 30,3533 33 13,4312 14,7092 15,8152 17,0735 19,0467 20,8665 23,1102 24,7143 26,0422 27,2194 28,3069 29,3405 30,3444 31,3375 34 14,0568 15,3679 16,5013 17,7891 19,8062 21,6643 23,9522 25,5864 26,9383 28,1361 29,2421 30,2928 31,3130 32,3219 35 14,6881 16,0315 17,1917 18,5089 20,5694 22,4650 24,7966 26,4604 27,8359 29,0540 30,1782 31,24S8 32,2821 33,3065 36 15,3243 16,7000 17,8868 19,2326 21,3359 23,2686 25,6433 27,3363 28,7350 29,9730 31,1152 32,1995 33,2S17 34,2913 37 15,9652 17,3730 18,5859 19,9603 22,10S6 24,0749 26,4921 28,2138 29,6355 30,8933 32,0S32 33,1S39 34,2216 3S,2764 38 16,6109 18,0501 19,2888 20,6914 22,8785 24,8839 27,3430 29,0931 30,5373 31,8146 32,9919 34,1089 3S,1920 36,2617 39 17,2612 18,7318 19,9958 21,4261 23,6543 25,6954 28,1958 29,9739 31,4405 32,7369 33,9315 3S,064S 36,1628 37,2472 40 17,9166 19,4171 20,7066 22,1642 24,4331 26,5093 29,0505 30,8563 32,3449 33,6603 34,8719 36,0207 37,1340 38,2328
45 21,2509 22,8994 24,3110 25,9012 28,3662 30,6123 33,3S04 35,2895 36,8844 38,2910 39,5847 40,809S 41,99SO 43,1638 50 24,6736 26,4636 27,9908 29,7067 32,3574 34,7642 37,6886 39,7539 41,4492 42,9421 44,3133 4S,6100 46,8638 48,0986 SS 28,1731 30,0974 31,7349 33,5705 36,3981 38,9581 42,0596 44,2448 46,0356 47,6105 49,0554 S0,4204 51,7391 53,0367 60 31,7381 33,7909 35,5344 37,4848 40,4817 43,1880 46,4589 48,7587 50,6406 52,2938 53,8091 55,2394 56,6200 57,977S 70 39,0358 41,3323 43,2753 45,4417 48,7575 51,7393 55,3289 57,8443 59,8978 61,6983 63,3460 64,8990 66,3961 67,8664 80 46,5197 49,0430 51,1719 53,5400 57,1532 60,3915 64,2778 66,9938 69,2070 71,1445 72,9153 74,S82S 76,1879 77,7631 90 54,1559 56,8918 59,1963 61,7540 65,6466 69,1260 73,2911 76,1954 78,5584 80,6247 82,5111 84,2854 8S,9925 87,6661
100 61,9182 64,8571 67,3275 70,0650 74,2219 77,9294 82,3581 85,4406 87,9453 90,1332 92,1290 94,0046 95,8078 97,S744 120 77,7555 81,0726 83,8517 86,9233 91,5726 95,7046 100,6236 104,0374 106,8056 109,2197 111,4186 113,4825 115,4646 117,4041 140 93,9253 97,5908 100,6547 104,0343 109,1368 113,6594 119,0293 122,7476 125,7580 128,3800 130,7657 133,0028 135,1491 13~,2476
160 110,3592 114,3496 117,6791 121,3457 126,8700 131,7560 137,5457 141,5475 144,7834 147,5988 150,1583 152,5564 154,8555 157,1019 180 127,0114 131,3050 134,8843 138,8205 144,7413 149,9687 156,1526 160,4206 163,8682 166,8653 169,5879 172,1373 174,5799 176,9652 200 143,8420 148,4262 152,2408 156,4321 162,7280 168,2785 174,8353 179,3550 183,0028 186,1717 189,0486 191,7409 194,3193 196,8359 250 186,5537 191,8020 196,1604 200,9387 208,0978 214,3915 221,8059 226,9048 231,0128 234,5768 237,8085 240,8297 243,7202 246,5387 300 229,9620 235,8126 240,6631 245,9727 253,9122 260,8781 269,0679 274,6901 279,2143 283,1353 286,6878 290,0062 293,1786 296,2700 so o 407,9458 415,8081 422,3034 429,3874 439,9360 449,1467 459,9261 467,2962 473,2099 478,3231 482,9462 487,2569 491,3709 495,3734 600 498,6219 507,3385 514,5285 522,3654 534,0185 544,1801 556,0560 564,1661 570,6681 576,2859 581,3623 586,0930 590,6057 594,9938
275
TABLA DE LA t DE STUDENT. P(T :5 t1-a,v)
J,vg.l. to 9995 to999 to 9975 to995 to99 to975 to 95 togo toso to7s to 70 1 636,6192 318,3088 127,3213 63,6559 31,8210 12,7062 6,3137 3,0777 1,3764 1,0000 0,7265 2 31,5991 22,3271 14,0890 9,9250 6,9645 4,3027 2,9200 1,8856 1,0607 0,8165 0,6172 3 12,9240 10,2145 7,4533 5,8408 4,5407 3,1824 2,3534 1,6377 0,9785 0,7649 0,5844 4 8,6103 7,1732 5,5976 4,6041 3,7469 2,7765 2,1318 1,5332 0,9410 0,7407 0,5686 S 6,8688 5,8934 4,7733 4,0321 3,3649 2,5706 2,0150 1,4759 0,9195 0,7267 0,5594 6 5,9588 5,2076 4,3168 3,7074 3,1427 2,4469 1,9432 1,4398 0,9057 0,7176 0,5534 7 5,4079 4,7853 4,0293 3,4995 2,9979 2,3646 1,8946 1,4149 0,8960 0,7111 0,5491 8 5,0413 4,5008 3,8325 3,3554 2,8965 2,3060 1,8595 1,3968 0,8889 0,7064 0,5459 9 4,7809 4,2968 3,6897 3,2498 2,8214 2,2622 1,8331 1,3830 0,8834 0,7027 0,5435
10 4,5869 4,1437 3,5814 3,1693 2,7638 2,2281 1,8125 1,3722 0,8791 0,6998 0,5415
11 4,4370 4,0247 3,4966 3,1058 2,7181 2,2010 1,7959 1,3634 0,8755 0,6974 0,5399 12 4,3178 3,9296 3,4284 3,0545 2,6810 2,1788 1,7823 1,3562 0,8726 0,6955 0,5386 13 4,2208 3,8520 3,3725 3,0123 2,6503 2,1604 1,7709 1,3502 0,8702 0,6938 0,5375 14 4,1405 3,7874 3,3257 2,9768 2,6245 2,1448 1,7613 1,3450 0,8681 0,6924 0,5366 15 4,0728 3,7328 3,2860 2,9467 2,6025 2,1315 1,7531 1,3406 0,8662 0,6912 0,5357 16 4,0150 3,6862 3,2520 2,9208 2,5835 2,1199 1,7459 1,3368 0,8647 0,6901 0,5350 17 3,9651 3,6458 3,2224 2,8982 2,5669 2,1098 1,7396 1,3334 0,8633 0,6892 0,5344 18 3,9216 3,6105 3,1966 2,8784 2,5524 2,1009 1,7341 1,3304 0,8620 0,6884 0,5338 19 3,8834 3,5794 3,1737 2,8609 2,5395 2,0930 1,7291 1,3277 0,8610 0,6876 0,5333 20 3,8495 3,5518 3,1534 2,8453 2,5280 2,0860 1,7247 1,3253 0,8600 0,6870 0,5329 21 3,8193 3,5272 3,1352 2,8314 2,5176 2,0796 1,7207 1,3232 0,8591 0,6864 0,5325 22 3,7921 3,5050 3,1188 2,8188 2,5083 2,0739 1,7171 1,3212 0,8583 0,6858 0,5321 23 3,7676 3,4850 3,1040 2,8073 2,4999 2,0687 1,7139 1,3195 0,8575 0,6853 0,5317 24 3,7454 3,4668 3,0905 2,7970 2,4922 2,0639 1,7109 1,3178 0,8569 0,6848 0,5314 25 3,7251 3,4502 3,0782 2,7874 2,4851 2,0595 1,7081 1,3163 0,8562 0,6844 0,5312 26 3,7066 3,4350 3,0669 2,7787 2,4786 2,0555 1,7056 1,3150 0,8557 0,6840 0,5309 27 3,6896 3,4210 3,0565 2,7707 2,4727 2,0518 1,7033 1,3137 0,8551 0,6837 0,5306 28 3,6739 3,4082 3,0469 2,7633 2,4671 2,0484 1,7011 1,3125 0,8546 0,6834 0,5304 29 3,6594 3,3962 3,0380 2,7564 2,4620 2,0452 1,6991 1,3114 0,8542 0,6830 0,5302 30 3,6460 3,3852 3,0298 2,7500 2,4573 2,0423 1,6973 1,3104 0,8538 0,6828 0,5300 40 3,5510 3,3069 2,9712 2,7045 2,4233 2,0211 1,6839 1,3031 0,8507 0,6807 0,5286 80 3,4163 3,1953 2,8870 2,6387 2,3739 1,9901 1,6641 1,2922 0,8461 0,6776 0,5265 120 3,3735 3,1595 2,8599 2,6174 2,3578 1,9799 1,6576 1,2886 0,8446 0,6765 0,5258 .... 3,2905 3,0902 2,8070 2,5758 2,3263 1,9600 1,6449 1,2816 0,8416 0,6745 0,5244
--~- - -· -· --- --- ---
276
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT P(T :::; t1_~ v) 2'
J.vg.l to 10 tozo to3o toso to 10 to,ao tooo togs togs to99 to999 1 0,1584 0,3249 0,5095 1,0000 1,9626 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 636,5776
2 0,1421 0,2887 0,4447 0,8165 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 31,5998
3 0,1366 0,2767 0,4242 0,7649 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 12,9244 4 0,1338 0,2707 0,4142 0,7407 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 8,6101 S 0,1322 0,2672 0,4082 0,7267 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 6,8685 6 0,1311 0,2648 0,4043 0,7176 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,9587 7 0,1303 0,2632 0,4015 0,7111 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 5,4081 8 0,1297 0,2619 0,3995 0,7064 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 5,0414 9 0,1293 0,2610 0,3979 0,7027 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,7809 10 0,1289 0,2602 0,3966 0,6998 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,5868
11 0,1286 0,2596 0,3956 0,6974 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,4369 12 0,1283 0,2590 0,3947 0,6955 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 4,3178 13 0,1281 0,2586 0,3940 0,6938 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 4,2209 14 0,1280 0,2582 0,3933 0,6924 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 4,1403 15 0,1278 0,2579 0,3928 0,6912 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 4,0728 16 0,1277 0,2576 0,3923 0,6901 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 4,0149. 17 0,1276 0,2573 0,3919 0,6892 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,9651!
18 0,1274 0,2571 0,3915 0,6884 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,9217 19 0,1274 0,2569 0,3912 0,6876 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,8833 20 0,1273 0,2567 0,3909 0,6870 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,8496
21 0,1272 0,2566 0,3906 0,6864 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,8193 22 0,1271 0,2564 0,3904 0,6858 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,7922 23 0,1271 0,2563 0,3902 0,6853 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,7676 24 0,1270 0,2562 0,3900 0,6848 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 3,7454 25 0,1269 0,2561 0,3898 0,6844 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,7251 26 0,1269 0,2560 0,3896 0,6840 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,7067 27 0,1268 0,2559 0,3894 0,6837 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,6895 28 0,1268 0,2558 0,3893 0,6834 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,6739 29 0,1268 0,2557 0,3892 0,6830 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,6595 30 0,1267 0,2556 0,3890 0,6828 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,6460 40 0,1265 0,2550 0,3881 0,6807 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 3,5510 80 0,1261 0,2542 0,3867 0,6776 1,0432 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 3,4164
120 0,1259 0,2539 0,3862 0,6765 1,0409 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 3,3734 C>O 0,126 0,253 0,385 0,674 1,036 - _1,282 ____ 1,645 __ ____1.¿6 __ ~~ -~~ 2,576 3,291
-- - -- -----
277
4. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (l-a)= 0,90
J.v2 1 2 3 4 5 6 7 8 v1 Grados de libertad del numerador
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1
1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 60.47 60.70 60.90 61.07 61.22 61.35 61.47 61.57 61.66 61.74 1
2 8.526 9.000 9.162 9.243 9.293 9.326 9.349 9.367 9.381 9.392 9.401 9.408 9.415 9.420 9.425 9.429 9.433 9.436 9.439 9.441 3 5.538 5.462 5.391 5.343 5.309 5.285 5.266 5.252 5.240 5.230 5.222 5.216 5.210 5.205 5.200 5.196 5.193 5.190 5.187 5.184 1
4 4.545 4.325 4.191 4.107 4.051 4.010 3.979 3.955 3.936 3.920 3.907 3.896 3.886 3.878 3.870 3.864 3.858 3.853 3.848 3.844 5 4.060 3.780 3.619 3.520 3.453 3.405 3.368 3.339 3.316 3.297 3.282 3.268 3.257 3.247 3.238 3.230 3.223 3.217 3.212 3.207 i
6 3.776 3.463 3.289 3.181 3.108 3.055 3.014 2.983 2.958 2.937 2.920 2.905 2.892 2.881 2.871 2.863 2.855 2.848 2.842 2.836 7 3.589 3.257 3.074 2.961 2.883 2.827 2.785 2.752 2.725 2.703 2.684 2.668 2.654 2.643 2.632 2.623 2.615 2.607 2.601 2.595 : 8 3.458 3.113 2.924 2.806 2.726 2.668 2.624 2.589 2.561 2.538 2.519 2.502 2.488 2.475 2.464 2.454 2.446 2.438 2.431 2.425 9 3.360 3.006 2.813 2.693 2.611 2.551 2.505 2.469 2.440 2.416 2.396 2.379 2.364 2.351 2.340 2.330 2.320 2.312 2.305 2.298 1
10 3.285 2.924 2.728 2.605 2.522 2.461 2.414 2.377 2.347 2.323 2.302 2.284 2.269 2.255 2.244 2.233 2.224 2.215 2.208 2.201 11 3.225 2.860 2.660 2.536 2.451 2.389 2.342 2.304 2.274 2.248 2.227 2.209 2.193 2.179 2.167 2.156 2.147 2.138 2.130 2.123 i
12 3.177 2.807 2.606 2.480 2.394 2.331 2.283 2.245 2.214 2.188 2.166 2.147 2.131 2.117 2.105 2.094 2.084 2.075 2.067 2.060 13 3.136 2.763 2.560 2.434 2.347 2.283 2.234 2.195 2.164 2.138 2.116 2.097 2.080 2.066 2.053 2.042 2.032 2.023 2.014 2.007 14 3.102 2.726 2.522 2.395 2.307 2.243 2.193 2.154 2.122 2.095 2.073 2.054 2.037 2.022 2.010 1.998 1.988 1.978 1.970 1.962 15 3.073 2.695 2.490 2.361 2.273 2.208 2.158 2.119 2.086 2.059 2.037 2.017 2.000 1.985 1.972 1.961 1.950 1.941 1.932 1.924 16 3.048 2.668 2.462 2.333 2.244 2.178 2.128 2.088 2.055 2.028 2.005 1.985 1.968 1.953 1.940 1.928 1.917 1.908 1.899 1.891 17 3.026 2.645 2.437 2.308 2.218 2.152 2.102 2.061 2.028 2.001 1.978 1.958 1.940 1.925 1.912 1.900 1.889 1.879 1.870 1.862 18 3.007 2.624 2.416 2.286 2.196 2.130 2.079 2.038 2.005 1.977 1.954 1.933 1.916 1.900 1.887 1.875 1.864 1.854 1.845 1.837 19 2.990 2.606 2.397 2.266 2.176 2.109 2.058 2.017 1.984 1.956 1.932 1.912 1.894 1.878 1.865 1.852 1.841 1.831 1.822 1.814 20 2.975 2.589 2.380 2.249 2.158 2.091 2.040 1.999 1.965 1.937 1.913 1.892 1.875 1.859 1.845 1.833 1.821 1.811 1.802 1.794 21 2.961 2.575 2.365 2.233 2.142 2.075 2.023 1.982 1.948 1.920 1.896 1.875 1.857 1.841 1.827 1.815 1.803 1.793 1.784 1.776 22 2.949 2.561 2.351 2.219 2.128 2.060 2.008 1.967 1.933 1.904 1.880 1.859 1.841 1.825 1.811 1.798 1.787 1.777 1.768 1.759 23 2.937 2.549 2.339 2.207 2.115 2.047 1.995 1.953 1.919 1.890 1.866 1.845 1.827 1.811 1.796 1.784 1.772 1.762 1.753 1.744 24 2.927 2.538 2.327 2.195 2.103 2.035 1.983 1.941 1.906 1.877 1.853 1.832 1.814 1.797 1.783 1.770 1.759 1.748 1.739 1.730 25 2.918 2.528 2.317 2.184 2.092 2.024 1.971 1.929 1.895 1.866 1.841 1.820 1.802 1.785 1.771 1.758 1.746 1.736 1.726 1.718 26 2.909 2.519 2.307 2.174 2.082 2.014 1.961 1.919 1.884 1.855 1.830 1.809 1.790 1.774 1.760 1.747 1.735 1.724 1.715 1.706 27 2.901 2.511 2.299 2.165 2.073 2.005 1.952 1.909 1.874 1.845 1.820 1.799 1.780 1.764 1.749 1.736 1.724 1.714 1.704 1.695 28 2.894 2.503 2.291 2.157 2.064 1.996 1.943 1.900 1.865 1.836 1.811 1.790 1.771 1.754 1.740 1.726 1.715 1.704 1.694 1.685 29 2.887 2.495 2.283 2.149 2.057 1.988 1.935 1.892 1.857 1.827 1.802 1.781 1.762 1.745 1.731 1.717 1.705 1.695 1.685 1.676 30 2.881 2.489 2.276 2.142 2.049 1.980 1.927 1.884 1.849 1.819 1.794 1.773 1.754 1.737 1.722 1.709 1.697 1.686 1.676 1.667 40 2.835 2.440 2.226 2.091 1.997 1.927 1.873 1.829 1.793 1.763 1.737 1.715 1.695 1.678 1.662 1.649 1.636 1.625 1.615 1.605 50 2.809 2.412 2.197 2.061 1.966 1.895 1.840 1.796 1.760 1.729 1.703 1.680 1.660 1.643 1.627 1.613 1.600 1.588 1.578 1.568 60 2.791 2.393 2.177 2.041 1.946 1.875 1.819 1.775 1.738 1.707 1.680 1.657 1.637 1.619 1.603 1.589 1.576 1.564 1.553 1.543 70 2.779 2.380 2.164 2.027 1.931 1.860 1.804 1.760 1.723 1.691 1.665 1.641 1.621 1.603 1.587 1.572 1.559 1.547 1.536 1.526 80 2.769 2.370 2.154 2.016 1.921 1.849 1.793 1.748 1.711 1.680 1.653 1.629 1.609 1.590 1.574 1.559 1.546 1.534 1.523 1.513 90 2.762 2.363 2.146 2.008 1.912 1.841 1.785 1.739 1.702 1.670 . 1.643 1.620 1.599 1.581 1.564 1.550 1.536 1.524 1.513 1.503
lOO 2.756 2.356 2.139 2.002 1.906 1.834 1.778 1.732 1.695 1.663 1.636 1.612 1.592 1.573 1.557 1.542 1.528 1.516 1.505 1.494 200 2.731 2.329 2.111 1.973 1.876 1.804 1.747 1.701 1.663 1.631 1.603 1.579 1.558 1.539 1.522 1.507 1.493 1.480 1.468 1.458 500 2.716 2.313 2.095 1.956 1.859 1.786 1.729 1.683 1.644 1.612 1.583 1.559 1.537 1.518 1.501 1.485 1.471 1.458 1.446 1.435 1000 2.711 2.308 2.089 1.950 1.853 1.780 1.723 1.676 1.638 1.605 1.577 1.552 1.531 1.511 1.494 1.478 1.464 1.451 1.439 1.428
278
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (cont)(l-a) = 0,90 v1 Grados de libertad del numerador
J.vz ~1 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 so 60 70 80 90 100 200 500 1000
1 61.8 61.9 61.9 62.0 62.1 62.1 62.1 62.2 62.2 62.3 62.5 62.688 62.8 62.9 62.9 63.0 63.0 63.2 63.3 63.3 2 9.444 9.446 9.448 9.450 9.451 9.453 9.454 9.456 9.457 9.458 9.466 9.471 9.475 9.477 9.479 9.480 9.481 9.486 9.489 9.490 3 5.182 5.180 5.178 5.176 5.175 5.173 5.172 5.170 5.169 5.168 5.160 5.155 5.151 5.149 5.147 5.145 5.144 5.139 5.136 5.135 4 3.841 3.837 3.834 3.831 3.828 3.826 3.823 3.821 3.819 3.817 3.804 3.795 3.790 3.786 3.782 3.780 3.778 3.769 3.764 3.762 S 3.202 3.198 3.194 3.191 3.187 3.184 3.181 3.179 3.176 3.174 3.157 3.147 3.140 3.135 3.132 3.129 3.126 3.116 3.109 3.107
6 2.831 2.827 2.822 2.818 2.815 2.811 2.808 2.805 2.803 2.800 2.781 2.770 2.762 2.756 2.752 2.749 2.746 2.734 2.727 2.725 7 2.589 2.584 2.580 2.575 2.571 2.568 2.564 2.561 2.558 2.555 2.535 2.523 2.514 2.508 2.504 2.500 2.497 2.484 2.476 2.473 8 2.419 2.414 2.409 2.404 2.400 2.396 2.392 2.389 2.386 2.383 2.361 2.348 2.339 2.333 2.328 2.324 2.321 2.307 2.298 2.295 9 2.292 2.287 2.282 2.277 2.272 2.268 2.265 2.261 2.258 2.255 2.232 2.218 2.208 2.202 2.196 2.192 2.189 2.174 2.165 2.162 10 2.194 2.189 2.183 2.178 2.174 2.170 2.166 2.162 2.159 2.155 2.132 2.117 2.107 2.100 2.095 2.090 2.087 2.071 2.062 2.059 11 2.117 2.111 2.105 2.100 2.095 2.091 2.087 2.083 2.080 2.076 2.052 2.036 2.026 2.019 2.013 2.009 2.005 1.989 1.979 1.9751 12 2.053 2.047 2.041 2.036 2.031 2.027 2.022 2.019 2.015 2.011 1.986 1.970 1.960 1.952 1.946 1.942 1.938 1.921 1.911 1.907 13 2.000 1.994 1.988 1.983 1.978 1.973 1.969 1.965 1.961 1.958 1.931 1.915 1.904 1.896 1.890 1.886 1.882 1.864 1.853 1.850 ; 14 1.955 1.949 1.943 1.938 1.933 1.928 1.923 1.919 1.916 1.912 1.885 1.869 1.857 1.849 1.843 1.838 1.834 1.816 1.805 1.801 1
15 1.917 1.911 1.905 1.899 1.894 1.889 1.885 1.880 1.876 1.873 1.845 1.828 1.817 1.808 1.802 1.797 1.793 1.774 1.763 1.759 : 16 1.884 1.877 1.871 1.866 1.860 1.855 1.851 1.847 1.843 1.839 1.811 1.793 1.782 1.773 1.766 1.761 1.757 1.738 1.726 1.722 17 1.855 1.848 1.842 1.836 1.831 1.826 1.821 1.817 1.813 1.809 1.781 1.763 1.751 1.742 1.735 1.730 1.726 1.706 1.694 1.690 18 1.829 1.823 1.816 1.810 1.805 1.800 1.795 1.791 1.787 1.783 1.754 1.736 1.723 1.714 1.707 1.702 1.698 1.678 1.665 1.661 19 1.807 1.800 1.793 1.787 1.782 1.777 1.772 1.767 1.763 1.759 1.730 1.711 1.699 1.690 1.683 1.677 1.673 1.652 1.639 1.635 20 1.786 1.779 1.773 1.767 1.761 1.756 1.751 1.746 1.742 1.738 1.708 1.690 1.677 1.667 1.660 1.655 1.650 1.629 1.616 1.612 21 1.768 1.761 1.754 1.748 1.742 1.737 1.732 1.728 1.723 1.719 1.689 1.670 1.657 1.647 1.640 1.634 1.630 1.608 1.595 1.591 22 1.751 1.744 1.737 1.731 1.726 1.720 1.715 1.711 1.706 1.702 1.671 1.652 1.639 1.629 1.622 1.616 1.611 1.590 1.576 1.571 23 1.736 1.729 1.722 1.716 1.710 1.705 1.700 1.695 1.691 1.686 1.655 1.636 1.622 1.613 1.605 1.599 1.594 1.572 1.558 1.554 24 1.722 1.715 1.708 1.702 1.696 1.691 1.686 1.681 1.676 1.672 1.641 1.621 1.607 1.597 1.590 1.584 1.579 1.556 1.542 1.538 25 1.710 1.702 1.695 1.689 1.683 1.678 1.672 1.668 1.663 1.659 1.627 1.607 1.593 1.583 1.576 1.569 1.565 1.542 1.527 1.523 26 1.698 1.690 1.683 1.677 1.671 1.666 1.660 1.656 1.651 1.647 1.615 1.594 1.581 1.570 1.562 1.556 1.551 1.528 1.514 1.509 27 1.687 1.680 1.673 1.666 1.660 1.655 1.649 1.645 1.640 1.636 1.603 1.583 1.569 1.558 1.550 1.544 1.539 1.515 1.501 1.496 28 1.677 1.669 1.662 1.656 1.650 1.644 1.639 1.634 1.630 1.625 1.592 1.572 1.558 1.547 1.539 1.533 1.528 1.504 1.489 1.484 29 1.668 1.660 1.653 1.647 1.640 1.635 1.630 1.625 1.620 1.616 1.583 1.562 1.547 1.537 1.529 1.522 1.517 1.493 1.478 1.472 30 1.659 1.651 1.644 1.638 1.632 1.626 1.621 1.616 1.611 1.606 1.573 1.552 1.538 1.527 1.519 1.512 1.507 1.482 1.467 1.462 40 1.596 1.588 1.581 1.574 1.568 1.562 1.556 1.551 1.546 1.541 1.506 1.483 1.467 1.455 1.447 1.439 1.434 1.406 1.389 1.383 50 1.559 1.551 1.543 1.536 1.529 1.523 1.517 1.512 1.507 1.502 1.465 1.441 1.424 1.412 1.402 1.395 1.388 1.359 1.340 1.333 60 1.534 1.526 1.518 1.511 1.504 1.498 1.492 1.486 1.481 1.476 1.437 1.413 1.395 1.382 1.372 1.364 1.358 1.326 1.306 1.299 70 1.517 1.508 1.500 1.493 1.486 1.479 1.473 1.467 1.462 1.457 1.418 1.392 1.374 1.361 1.350 1.342 1.335 1.302 1.281 1.273 80 1.503 1.495 1.487 1.479 1.472 1.465 1.459 1.453 1.448 1.443 1.403 1.377 1358 1.344 1.334 1325 1.318 1.284 1.261 1.253 90 1.493 1.484 1.476 1.468 1.461 1.455 1.448 1.442 1.437 1.432 1.391 1.365 1.346 1.332 1.321 1.312 1.304 1.269 1.245 1.237 100 1.485 1.476 1.468 1.460 1.453 1.446 1.440 1.434 1.428 1.423 1.382 1.355 1.336 1.321 1.310 1.301 1.293 1.257 1.232 1.223 200 1.448 1.438 1.430 1.422 1.414 1.407 1.400 1.394 1.388 1.383 1.339 1.310 1.289 1.273 1.261 1.250 1.242 1.199 1.168 1.157 500 1.425 1.416 1.407 1.399 1.391 1.384 1.377 1.370 1.364 1.358 1.313 1.282 1.260 1.243 1.229 1.218 1.209 1.160 1.122 1.106 1000 1.418 1.408 1.399 1.391 1.383 1.376 1.369 1.362 1.356 1.350 1.304 1.273 1.250 1.232 1.218 1.207 1.197 1.145 1.103 1.084
- - - - ---------
279
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (Cont) (1-a) = 0,95 v1 Grados de libertad del numerador
J-vz 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 161. 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 245 245 246 247 247 247 248 248 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.329 19.353 19.371 19.385 19.396 19.405 19.412 19.419 19.424 19.429 19.433 19.437 19.440 19.443 19.446 3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.785 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 8.683 8.675 8.667 8.660 4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 5.832 5.821 5.811 5.803 5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 4.590 4.579 4.568 4.558 6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 3.908 3.896 3.884 3.874 7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 3.480 3.467 3.455 3.445 8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.688 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 3.187 3.173 3.161 3.150 9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 2.974 2.960 2.948 2.936
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- --- -- - -
280
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (cont) (1-a) = 0,95 v1 Grados de libertad del numerador
Vz 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 200 500 1000 1 248.3 248.6 248.8 249.1 249.3 249.5 249.6 249.8 249.9 250.1 251.1 251.8 252.2 252.5 252.7 252.9 253.0 253.7 254.1 254.2 2 19.448 19.450 19.452 19.454 19.456 19.457 19.459 19.460 19.461 19.463 19.471 19.476 19.479 19.481 19.483 19.485 19.486 19.491 19.494 19.495 3 8.654 8.648 8.643 8.638 8.634 8.630 8.626 8.623 8.620 8.617 8.594 8.581 8.572 8.566 8.561 8.557 8.554 8.540 8.532 8.529 4 5.795 5.787 5.781 5.774 5.769 5.763 5.759 5.754 5.750 5.746 5.717 5.699 5.688 5.679 5.673 5.668 5.664 5.646 5.635 5.632 5 4.549 4.541 4.534 4.527 4.521 4.515 4.510 4.505 4.500 4.496 4.464 4.444 4.431 4.422 4.415 4.409 4.405 4.385 4.373 4.369 6 3.865 3.856 3.849 3.841 3.835 3.829 3.823 3.818 3.813 3.808 3.774 3.754 3.740 3.730 3.722 3.716 3.712 3.690 3.678 3.673 7 3.435 3.426 3.418 3.410 3.404 3.397 3.391 3.386 3.381 3.376 3.340 3.319 3.304 3.294 3.286 3.280 3.275 3.252 3.239 3.234 8 3.140 3.131 3.123 3.115 3.108 3.102 3.095 3.090 3.084 3.079 3.043 3.020 3.005 2.994 2.986 2.980 2.975 2.951 2.937 2.932 9 2.926 2.917 2.908 2.900 2.893 2.886 2.880 2.874 2.869 2.864 2.826 2.803 2.787 2.776 2.768 2.761 2.756 2.731 2.717 2.712 10 2.764 2.754 2.745 2.737 2.730 2.723 2.716 2.710 2.705 2.700 2.661 2.637 2.621 2.609 2.601 2.594 2.588 2.563 2.548 2.543 11 2.636 2.626 2.617 2.609 2.601 2.594 2.588 2.582 2.576 2.570 2.531 2.507 2.490 2.478 2.469 2.462 2.457 2.431 2.415 2.410 12 2.533 2.523 2.514 2.505 2.498 2.491 2.484 2.478 2.472 2.466 2.426 2.401 2.384 2.372 2.363 2.356 2.350 2.323 2.307 2.302 13 2.448 2.438 2.429 2.420 2.412 2.405 2.398 2.392 2.386 2.380 2.339 2.314 2.297 2.284 2.275 2.267 2.261 2.234 2.218 2.212 14 2.377 2.367 2.357 2.349 2.341 2.333 2.326 2.320 2.314 2.308 2.266 2.241 2.223 2.210 2.201 2.193 2.187 2.159 2.142 2.136 15 2.316 2.306 2.297 2.288 2.280 2.272 2.265 2.259 2.253 2.247 2.204 2.178 2.160 2.147 2.137 2.130 2.123 2.095 2.078 2.072 16 2.264 2.254 2.244 2.235 2.227 2.220 2.212 2.206 2.200 2.194 2.151 2.124 2.106 2.093 2.083 2.075 2.068 2.039 2.022 2.016 17 2.219 2.208 2.199 2.190 2.181 2.174 2.167 2.160 2.154 2.148 2.104 2.077 2.058 2.045 2.035 2.027 2.020 1.991 1.973 1.967 18 2.179 2.168 2.159 2.150 2.141 2.134 2.126 2.119 2.113 2.107 2.063 2.035 2.017 2.003 1.993 1.985 1.978 1.948 1.929 1.923 19 2.144 2.133 2.123 2.114 2.106 2.098 2.090 2.084 2.077 2.071 2.026 1.999 1.980 1.966 1.955 1.947 1.940 1.910 1.891 1.884 20 2.112 2.102 2.092 2.082 2.074 2.066 2.059 2.052 2.045 2.039 1.994 1.966 1.946 1.932 1.922 1.913 1.907 1.875 1.856 1.850 21 2.084 2.073 2.063 2.054 2.045 2.037 2.030 2.023 2.016 2.010 1.965 1.936 1.916 1.902 1.891 1.883 1.876 1.845 1.825 1.818 22 2.059 2.048 2.038 2.028 2.020 2.012 2.004 1.997 1.990 1.984 1.938 1.909 1.889 1.875 1.864 1.856 1.849 1.817 1.797 1.790 23 2.036 2.025 2.014 2.005 1.996 1.988 1.981 1.973 1.967 1.961 1.914 1.885 1.865 1.850 1.839 1.830 1.823 1.791 1.771 1.764 24 2.015 2.003 1.993 1.984 1.975 1.967 1.959 1.952 1.945 1.939 1.892 1.863 1.842 1.828 1.816 1.808 1.800 1.768 1.747 1.740 25 1.995 1.984 1.974 1.964 1.955 1.947 1.939 1.932 1.926 1.919 1.872 1.842 1.822 1.807 1.796 1.787 1.779 1.746 1.725 1.718 26 1.978 1.966 1.956 1.946 1.938 1.929 1.921 1.914 1.907 1.901 1.853 1.823 1.803 1.788 1.776 1.767 1.760 1.726 1.705 1.698 27 1.961 1.950 1.940 1.930 1.921 1.913 1.905 1.898 1.891 1.884 1.836 1.806 1.785 1.770 1.758 1.749 1.742 1.708 1.686 1.679 28 1.946 1.935 1.924 1.915 1.906 1.897 1.889 1.882 1.875 1.869 1.820 1.790 1.769 1.754 1.742 1.733 1.725 1.691 1.669 1.662 29 1.932 1.921 1.910 1.901 1.891 1.883 1.875 1.868 1.861 1.854 1.806 1.775 1.754 1.738 1.726 1.717 1.710 1.675 1.653 1.645 30 1.919 1.908 1.897 1.887 1.878 1.870 1.862 1.854 1.847 1.841 1.792 1.761 1.740 1.724 1.712 1.703 1.695 1.660 1.637 1.630 40 1.826 1.814 1.803 1.793 1.783 1.775 1.766 1.759 1.751 1.744 1.693 1.660 1.637 1.621 1.608 1.597 1.589 1.551 1.526 1.517 50 1.771 1.759 1.748 1.737 1.727 1.718 1.710 1.702 1.694 1.687 1.634 1.599 1.576 1.558 1.544 1.534 1.525 1.484 1.457 1.448 60 1.735 1.722 1.711 1.700 1.690 1.681 1.672 1.664 1.656 1.649 1.594 1.559 1.534 1.516 1.502 1.491 1.481 1.438 1.409 1.399 70 1.709 1.696 1.685 1.674 1.664 1.654 1.646 1.637 1.629 1.622 1.566 1.530 1.505 1.486 1.471 1.459 1.450 1.404 1.374 1.364 80 1.689 1.677 1.665 1.654 1.644 1.634 1.626 1.617 1.609 1.602 1.545 1.508 1.482 1.463 1.448 1.436 1.426 1.379 1.347 1.336 90 1.675 1.662 1.650 1.639 1.629 1.619 1.610 1.601 1.593 1.586 1.528 1.491 1.465 1.445 1.429 1.417 1.407 1.358 1.326 1.314
100 1.663 1.650 1.638 1.627 1.616 1.607 1.598 1.589 1.581 1.573 1.515 1.477 1.450 1.430 1.415 1.402 1.392 1.342 1.308 1.296 200 1.609 1.596 1.583 1.572 1.561 1.551 1.542 1.533 1.524 1.516 1.455 1.415 1.386 1.364 1.346 1.332 1.321 1.263 1.221 1.205 500 1.577 1.563 1.551 1.539 1.528 1.518 1.508 1.499 1.490 1.482 1.419 1.376 1.345 1.322 1.303 1.288 1.275 1.210 1.159 1.138
1000 1.566 1.553 1.540 1.528 1.517 1.507 1.497 1.488 1.479 1.471 1.406 1.363 1.332 1.308 1.289 1.273 1.260 1.190 1.134 1.110
281
. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (Cont) (1-a) = 0,975 V1 Grados de libertad del numerador
.Lv2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 647,8 799,5 864,1 899,6 921,8 937,1 948,2 9S6,6 963,3 968,6 973,0 976,7 979,8 982,S 984,9 986,9 988,7 990,3 991,8 993,1 2 38.S06 39.000 39.166 39.248 39.298 39.331 39.3S6 39.373 39.387 39.398 39.407 39.41S 39.421 39.427 39.431 39.436 39.439 39.442 39.446 39.448 3 17.443 16.044 1S.439 1S.101 14.88S 14.73S 14.624 14.S40 14.473 14.419 14.374 14.337 14.30S 14.277 14.253 14.232 14.213 14.196 14.181 14.167 4 12.218 10.649 9.979 9.604 9.364 9.197 9.074 8.980 8.905 8.844 8.794 8.7S1 8.71S 8.684 8.6S7 8.633 8.611 8.592 8.57S 8.S60 S 10.007 8.434 7.764 7.388 7.146 6.978 6.853 6.757 6.681 6.619 6.568 6.S2S 6.488 6.4S6 6.428 6.403 6.381 6.362 6.344 6.329 6 8.813 7.260 6.599 6.227 S.988 S.820 5.695 5.600 S.S23 S.461 5.410 S.366 S.329 S.297 5.269 5.244 5.222 5.202 5.184 S.168 7 8.073 6.S42 5.890 S.S23 S.285 S.119 4.995 4.899 4.823 4.761 4.709 4.666 4.628 4.S96 4.S68 4.S43 4.S21 4.501 4.483 4.467 8 7.S71 6.0S9 5.416 S.OS3 4.817 4.652 4.529 4.433 4.357 4.295 4.243 4.200 4.162 4.130 4.101 4.076 4.054 4.034 4.016 3.999 9 7.209 S.71S 5.078 4.718 4.484 4.320 4.197 4.102 4.026 3.964 3.912 3.868 3.831 3.798 3.769 3.744 3.722 3.701 3.683 3.667 10 6.937 5.456 4.826 4.468 4.236 4.072 3.950 3.855 3.779 3.717 3.665 3.621 3.S83 3.S50 3.S22 3.496 3.474 3.453 3.435 3.419
11 6.724 S.2S6 4.630 4.27S 4.044 3.881 3.759 3.664 3.588 3.S26 3.474 3.430 3.392 3.3S9 3.330 3.304 3.282 3.261 3.243 3.226 12 6.S54 5.096 4.474 4.121 3.891 3.728 3.607 3.512 3.436 3.374 3.321 3.277 3.239 3.206 3.177 3.152 3.129 3.108 3.090 3.073 13 6.414 4.965 4.347 3.996 3.767 3.604 3.483 3.388 3.312 3.250 3.197 3.1S3 3.11S 3.082 3.0S3 3.027 3.004 2.983 2.96S 2.948 14 6.298 4.8S7 4.242 3.892 3.663 3.501 3.380 3.285 3.209 3.147 3.095 3.0SO 3.012 2.979 2.949 2.923 2.900 2.879 2.861 2.844 15 6.200 4.76S 4.153 3.804 3.576 3.415 3.293 3.199 3.123 3.060 3.008 2.963 2.92S 2.891 2.862 2.836 2.813 2.792 2.773 2.7S6 16 6.11S 4.687 4.077 3.729 3.502 3.341 3.219 3.125 3.049 2.986 2.934 2.889 2.8S1 2.817 2.788 2.761 2.738 2.717 2.698 2.681 17 6.042 4.619 4.011 3.66S 3.438 3.277 3.156 3.061 2.985 2.922 2.870 2.825· 2.786 2.7S3 2.723 2.697 2.673 2.652 2.633 2.616 18 S.978 4.560 3.954 3.608 3.382 3.221 3.100 3.005 2.929 2.866 2.814 2.769 2.730 2.696 2.667 2.640 2.617 2.596 2.576 2.559 19 5.922 4.508 3.903 3.S59 3.333 3.172 3.051 2.956 2.880 2.817 2.765 2.720 2.681 2.647 2.617 2.S91 2.567 2.546 2.526 2.S09 20 S.871 4.461 3.859 3.S15 3.289 3.128 3.007 2.913 2.837 2.774 2.721 2.676 2.637 2.603 2.573 2.547 2.S23 2.501 2.482 2.464 21 5.827 4.420 3.819 3.47S 3.2SO 3.090 2.969 2.874 2.798 2.735 2.682 2.637 2.S98 2.564 2.534 2.S07 2.483 2.462 2.442 2.425 22 5.786 4.383 3.783 3.440 3.215 3.05S 2.934 2.839 2.763 2.700 2.647 2.602 2.563 2.S28 2.498 2.472 2.448 2.426 2.407 2.389 23 S.7SO 4.349 3.750 3.408 3.183 3.023 2.902 2.808 2.731 2.668 2.615 2.570 2.531 2.497 2.466 2.440 2.416 2.394 2.374 2.357 24 5.717 4.319 3.721 3.379 3.15S 2.99S 2.874 2.779 2.703 2.640 2.586 2.S41 2.502 2.468 2.437 2.411 2.386 2.365 2.345 2.327 1
2S S.686 4.291 3.694 3.3S3 3.129 2.969 2.848 2.753 2.677 2.613 2.560 2.515 2.476 2.441 2.411 2.384 2.360 2.338 2.318 2.300 26 S.6S9 4.265 3.670 3.329 3.105 2.94S 2.824 2.729 2.6S3 2.590 2.536 2.491 2.452 2.417 2.387 2.360 2.335 2.314 2.294 2.276 1
27 S.633 4.242 3.647 3.307 3.083 2.923 2.802 2.707 2.631 2.S68 2.514 2.469 2.429 2.39S 2.364 2.337 2.313 2.291 2.271 2.253 28 5.610 4.221 3.626 3.286 3.063 2.903 2.782 2.687 2.611 2.547 2.494 2.448 2.409 2.374 2.344 2.317 2.292 2.270 2.2S1 2.232 1
29 5.588 4.201 3.607 3.267 3.044 2.884 2.763 2.669 2.592 2.529 2.475 2.430 2.390 2.355 2.325 2.298 2.273 2.251 2.231 2.213 30 5.568 4.182 3.589 3.250 3.026 2.867 2.746 2.651 2.57S 2.511 2.458 2.412 2.372 2.338 2.307 2.280 2.2S5 2.233 2.213 2.19S 1
40 S.424 4.0S1 3.463 3.126 2.904 2.744 2.624 2.529 2.4S2 2.388 2.334 2.288 2.248 2.213 2.182 2.154 2.129 2.107 2.086 2.068 so 5.340 3.975 3.390 3.054 2.833 2.674 2.553 2.458 2.381 2.317 2.263 2.216 2.176 2.140 2.109 2.081 2.056 2.033 2.012 1.993 1
60 5.286 3.92S 3.343 3.008 2.786 2.627 2.507 2.412 2.334 2.270 2.216 2.169 2.129 2.093 2.061 2.033 2.008 1.985 1.964 1.944 70 5.247 3.890 3.309 2.97S 2.7S4 2.595 2.474 2.379 2.302 2.237 2.183 2.136 2.09S 2.059 2.028 1.999 1.974 1.950 1.929 1.910 80 5218 3.864 3.284 2.950 2.730 2.571 2.450 2.355 2.277 2.213 2.158 2.111 2.071 2.03S 2.003 1.974 1.948 1.925 1.904 1.884
90 5.196 3.844 3.265 2.932 2.711 2.S52 2.432 2.336 2.259 2.194 2.140 2.092 2.051 2.015 1.983 1.955 1.929 1.905 1.884 1.864 100 S.179 3.828 3.250 2.917 2.696 2.537 2.417 2.321 2.244 2.179 2.124 2.077 2.036 2.000 1.968 1.939 1.913 1.890 1.868 1.849 200 5.100 3.758 3.182 2.8SO 2.630 2.472 2.351 2.256 2.178 2.113 2.058 2.010 1.969 1.932 1.900 1.870 1.844 1.820 1.798 1.778 500 5.0S4 3.716 3.142 2.811 2.592 2.434 2.313 2.217 2.139 2.074 2.019 1.971 1.929 1.892 1.859 1.830 1.803 1.779 1.757 1.736
1000 S.039 3.703 3.129 2.799 2.579 2.421 2.300 2.204 2.126 2.061 2.006 1.9S8 1.916 1.879 1.846 1.816 1.789 1.765 1.743 1.722 -- -- -
282
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (Cont) (1-a) = 0,975 v1 Grados de libertad del numerador
J.v2 21 22 23 24 2S 26 27 28 29 30 40 so 60 70 80 90 100 200 soo 1000 1 994.3 99S.4 996.3 997.3 998.1 998.8 999.S 1000.2 1000.8 1001.4 100S.4 1008.1 1009.8 1011.0 1011.9 1012.6 1013.2 101S.7 1017.2 1017.7 2 39.4SO 39.4S2 39.4SS 39.4S7 39.4S8 39.4S9 39.461 39.462 39.463 39.46S 39.473 39.478 39.481 39.484 39.486 39.487 39.488 39.493 39.496 39.497 3 14.1SS 14.144 14.134 14.124 14.11S 14.107 14.100 14.093 14.086 14.081 14.036 14.010 13.992 13.979 13.970 13.962 13.9S6 13.929 13.913 13.908 4 8.546 8.S33 8.522 8.511 8.501 8.492 8.483 8.47S 8.468 8.461 8.411 8.381 ~.360 8.346 8.33S 8.326 8.319 8.288 8.270 8.264 S 6.314 6.301 6.289 6.278 6.268 6.258 6.250 6.242 6.234 6.227 6.175 6.144 6.123 6.107 6.096 6.087 6.080 6.048 6.028 6.022 6 5.154 S.141 S.128 5.117 S.107 S.097 5.088 S.080 5.072 S.06S S.012 4.980 4.9S9 4.943 4.932 4.923 4.91S 4.882 4.862 4.8S6 7 4.452 4.439 4.426 4.415 4.40S 4.39S 4.386 4.378 4.370 4.362 4.309 4.276 4.2S4 4.239 4.227 4.218 4.210 4.176 4.1S6 4.149 8 3.985 3.971 3.9S9 3.947 3.937 3.927 3.918 3.909 '3.901 3.894 3.840 3.807 3.784 3.768 3.7S6 3.747 3.739 3.70S 3.684 3.677 9 3.652 3.638 3.626 3.614 3.604 3.S94 3.584 3.576 3.568 3.560 3.SOS 3.472 3.449 3.433 3.421 3.411 3.403 3.368 3.347 3.340
10 3.403 3.390 3.377 3.365 3.3S5 3.34S 3.335 3.327 3.319 3.311 3.2SS 3.221 3.198 3.182 3.169 3.160 3.1S2 3.116 3.094 3.087 11 3.211 3.197 3.184 3.173 3.162 3.1S2 3.142 3.133 3.125 3.118 3.061 3.027 3.004 2.987 2.974 2.964 2.9S6 2.920 2.898 2.890 12 3.0S7 3.043 3.031 3.019 3.008 2.998 2.988 2.979 2.971 2.963 2.906 2.871 2.848 2.831 2.818 2.808 2.800 2.763 2.740 2.733 13 2.932 2.918 2.90S 2.893 2.882 2.872 2.862 2.8S3 2.845 2.837 2.780 2.744 2.720 2.703 2.690 2.680 2.671 2.634 2.611 2.603 14 2.828 2.814 2.801 2.789 2.778 2.767 2.7S8 2.749 2.740 2.732 2.674 2.638 2.614 2.597 2.S83 2.573 2.S6S 2.526 2.503 2.49S 1S 2.740 2.726 2.713 2.701 2.689 2.679 2.669 2.660 2.652 2.644 2.S8S 2.S49 2.524 2.S06 2.493 2.482 2.474 2.43S 2.411 2.403 16 2.665 2.6S1 2.637 2.625 2.614 2.603 2.594 2.584 2.576 2.568 2.509 2.472 2.447 2.429 2.415 2.40S 2.396 2.3S7 2.333 2.324 17 2.600 2.58S 2.S72 2.560 2.S48 2.S38 2.528 2.S19 2.510 2.502 2.442 2.405 2.380 2.362 2.348 2.337 2.329 2.289 2.264 2.2S6 18 2.543 2.529 2.51S 2.503 2.491 2.481 2.471 2.461 2.453 2.44S 2.384 2.347 2.321 2.303 2.289 2.278 2.269 2.229 2.204 2.19S 19 2.493 2.478 2.46S 2.4S2 2.441 2.430 2.420 2.411 2.402 2.394 2.333 2.29S 2.270 2.2S1 2.237 2.226 2.217 2.176 2.150 2.142 20 2.448 2.434 2.420 2.408 2.396 2.38S 2.375 2.366 2.357 2.349 2.287 2.249 2.223 2.205 2.190 2.179 2.170 2.128 2.103 2.094 21 2.409 2.394 2.380 2.368 2.3S6 2.34S 2.335 2.32S 2.317 2.308 2.246 2.208 2.182 2.163 2.148 2.137 2.128 2.086 2.060 2.0S1 22 2.373 2.3S8 2.344 2.332 2.320 2.309 2.299 2.289 2.280 2.272 2.210 2.171 2.145 2.125 2.111 2.099 2.090 2.047 2.021 2.012 23 2.340 2.32S 2.312 2.299 2.287 2.276 2.266 2.2S6 2.247 2.239 2.176 2.137 2.111 2.091 2.077 2.06S 2.0S6 2.013 1.986 1.977 24 2.311 2.296 2.282 2.269 2.2S7 2.246 2.236 2.226 2.217 2.209 2.146 2.107 2.080 2.060 2.04S 2.034 2.024 1.981 1.954 1.945 2S 2.284 2.269 2.2SS 2.242 2.230 2.219 2.209 2.199 2.190 2.182 2.118 2.079 2.0S2 2.032 2.017 2.00S 1.996 1.952 1.924 1.91S 26 2.259 2.244 2.230 2.217 2.20S 2.194 2.184 2.174 2.165 2.1S7 2.093 2.053 2.026 2.006 1.991 1.979 1.969 1.92S 1.897 1.888 27 2.237 2.222 2.208 2.195 2.183 2.171 2.161 2.1S1 2.142 2.133 2.069 2.029 2.002 1.982 1.966 1.9S4 1.94S 1.900 1.872 1.862 28 2.216 2.201 2.187 2.174 2.161 2.1SO 2.140 2.130 2.121 2.112 2.048 2.007 1.980 1.959 1.944 1.932 1.922 1.877 1.848 1.839 29 2.196 2.181 2.167 2.154 2.142 2.131 2.120 2.110 2.101 2.092 2.028 1.987 1.9S9 1.939 1.923 1.911 1.901 1.8SS 1.827 1.817 30 2.178 2.163 2.149 2.136 2.124 2.112 2.102 2.092 2.083 2.074 2.009 1.968 1.940 1.920 1.904 1.892 1.882 1.83S 1.806 1.797 40 2.051 2.03S 2.020 2.007 1.994 1.983 1.972 1.962 1.952 1.943 1.87S 1.832 1.803 1.781 1.764 1.7S1 1.741 1.691 1.659 1.648 so 1.976 1.960 1.945 1.931 1.919 1.907 1.89S 1.88S 1.875 1.866 1.796 1.7S2 1.721 1.698 1.681 1.667 1.6S6 1.603 1.569 l.SS7 60 1.927 1.911 1.896 1.882 1.869 1.857 1.845 1.83S 1.825 1.81S 1.744 1.699 1.667 1.643 1.62S 1.611 1.599 1.543 1.507 1.49S 70 1.892 1.876 1.861 1.847 1.833 1.821 1.810 1.799 1.789 1.779 1.707 1.660 1.628 1.604 1.58S 1.570 l.SS8 l.SOO 1.463 1.449 80 1.866 l.SSO 1.83S 1.820 1.807 1.79S 1.783 1.772 1.762 1.7S2 1.679 1.632 1.599 1.574 1.5SS l.S40 1.S27 1.467 1.428 1.414 90 1.846 1.830 1.814 1.800 1.787 1.774 1.763 1.7S2 1.741 1.731 1.6S7 1.610 1.576 1.5S1 1.S31 l.S16 1.S03 1.441 1.401 1.386 100 1.830 1.814 1.798 1.784 1.770 1.7S8 1.746 1.73S 1.725 1.71S 1.640 l.S92 1.SS8 1.S32 1.512 1.496 1.483 1.420 1.378 1.363 200 1.7S9 1.742 1.726 1.712 1.698 1.68S 1.673 1.661 1.6SO 1.640 l.S62 1.Sl1 1.474 1.447 1.42S 1.407 1.393 1.320 1.269 1.2SO soo 1.717 1.700 1.684 1.669 1.65S 1.641 1.629 1.617 1.606 l.S96 1.S15 1.462 1.423 1.394 1.370 1.3S1 1.336 1.2S4 1.192 1.166
1000 1.703 1.686 1.670 1.654 1.640 1.627 1.614 1.603 1.S91 l.S81 1.499 1.44S 1.406 1.376 1.3S2 1.332 1.316 1.230 1.162 1.132 - --- -- - - ~ -- -------
283
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (Cont) (1-a} = 0,99 v1 Grados de libertad del numerador
-wz= 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 4052 49999,5 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 6056 6083,4 6106,7 6125,8 6143,0 6157,0 6170,0 6181,2 6191,4 6200,7 6209 2 98.502 99.000 99.164 99.251 99.302 99.331 99.357 99.375 99.390 99.397 99.408 99.419 99.422 99.426 99.433 99.437 99.441 99.444 99.448 99.448 3 34.116 30.816 29.457 28.710 28.237 27.911 27.671 27.489 27.345 27.228 27.132 27.052 26.983 26.924 26.872 26.826 26.786 26.751 26.719 26.690 4 21.198 18.000 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 14.452 14.374 14.306 14.249 14.198 14.154 14.114 14.079 14.048 14.019 S 16.258 13.274 12.060 11.392 0.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 9.963 9.888 9.825 9.770 9.722 9.680 9.643 9.609 9.580 9.553 6 13.745 10.925 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7.976 7.874 7.790 7.718 7.657 7.605 7.559 7.519 7.483 7.451 7.422 7.396 7 12.246 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 6.719 6.620 6.538 6.469 6.410 6.359 6.314 6.275 6.240 6.209 6.181 6.155 8 11.259 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 5.911 5.814 5.734 5.667 5.609 5.559 5.515 5.477 5.442 5.412 5.384 5.359 9 10.562 8.022 6.992 6.422 6.057 5.802 5.613 5.467 5.351 5.257 5.178 5.111 5.055 5.005 4.962 4.924 4.890 4.860 4.833 4.808
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100 6.895 4.824 3.984 3.513 3.206 2.988 2.823 2.694 2.590 2.503 2.430 2.368 2.313 2.265 2.223 2.185 2.151 2.120 2.092 2.067 200 6.163 4.713 3.881 3.414 3.110 2.893 2.730 2.601 2.497 2.411 2.338 2.275 2.220 2.172 2.129 2.091 2.057 2.026 1.997 1.971 500 6.686 4.648 3.821 3.357 3.054 2.838 2.675 2.547 2.443 2.356 2.283 2.220 2.166 2.117 2.075 2.036 2.002 1.970 1.942 1.915
1000 6.660 4.626 3.801 3.338 3.036 2.820 2.657 2.529 2.425 2.339 2.265 2.203 2.148 2.099 2.056 2.018 1.983 1.952 1.923 1.897
284
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER (Cont) (l-a)= 0,99 va Grados de libertad del numerador
J..v, 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 200 500 1000
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