Sistem LinierTujuan KuliahMahasiswa mempunyai kemampuan mendefinisikan sistem linier, menggunakan alat-alat standar untuk menganalisis sistem linier, dan merealisasikan dan mengimplementasikan sistem linier yang memenuhi spesifikasi yang dipersyaratkan. The students get the ability to define linear systems, to analyse linear systems using standard tools and to realize and implement given predefined linear systems.

Tema-tema1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Pengantar tentang Sistem, Sinyal dan Sistem Linier Operasi Matematis Terhadap Sinyal Sistem dan Atributnya Konvolusi, Properti Sistem Linier Penggunaan Metode Transformasi Pole-Zero Plot dan Bode Plot Realisasi Sistem Linier Implementasi Sistem Linier Kontinyu dengan Rangkaian Op-Amp

Klik di sini untuk melihat beberapa program MatLab penting yang dipakai di web ini.

TugasInsya Allah akan ada sekitar delapan tugas untuk dikerjakan dalam satu semester, masing-masing empat untuk setiap paruh semester. Nilai tugas dan mid semester dapat dilihat dalam daftar nilai (update:...). Jika dirasa terdapat kejanggalan pada nilai, segera hubungi dosen atau kirim e-mail. Komplain dilayani jika disampaikan sebelum ...1. Tugas 1. Langkah awal pemodelan sistem, pengumpulan: Senin, 18 Maret 2002 (update; 3 Maret 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

2002) Tugas 2. Sinyal, pengumpulan: Senin, 25 Maret 2002 (update 10 Maret 2002) Tugas 3. Sinyal dasar, pengumpulan: Senin, 8 Maret 2002 (update 30 Maret 2002) Tugas 4. Konvolusi, pengumpulan: Saat MID Sistem Linier (update 5 April 2002) Tugas 5. Metode transformasi, pengumpulan: Saat ujian (update 3 Mei 2002) TUGAS HARAP DIBAWA SAAT UJIAN. PERTANYAAN UJIAN AKAN BERKAIT DENGAN TUGAS YANG DIBUAT Tugas 6. Pole-Zero plot dan Bode plot, pengumpulan: Saat ujian (update 14 Mei 2002) Tugas 7. Realisasi Sistem Linier, pengumpulan: Saat ujian Tugas 8. Implementasi Sistem Linier Kontinyu dengan Rangkaian Op-Amp, pengumpulan: Saat ujian

Referensi1. Oppenheim, A.V., Signals and Systems 2. Van Valkenburg, M.E., Kinariwala, B.K, Linear Circuits, (New Jersey: Prentice Hall, 1982) 3. Hanselman, D., Littlefield, B., Mastering MatLab, A Comprehensive Tutorial and Reference, (New

Jersey: Prentice Hall, 1996)

Realisasi Sistem LinierYang dimaksud dengan realisasi sistem adalah penggambaran sistem ke bentuk diagram blok yang terdiri atas unsur-unsur elementer penyusun blok. Realisasi mutlak diperlukan ketika akan mewujudkan sistem linier diskret baik dengan perangkat lunak atau dengan perangkat keras. Realisasi juga dibutuhkan ketika akan mensimulasi sistem linier kontinyu dengan perangkat lunak. Sedangkan pewujudan sistem linier kontinyu ke perangkat keras lebih sering dilakukan secara langsung dari transfer function sistem orde satu dan sistem orde dua, tanpa melalui realisasi.

Komponen-komponen realisasiRealisasi biasanya berangkat dari bentuk transfer function sistem. Jadi transfer function sistem harus diketahui terlebih dahulu. Tapi dapat pula realisasi berangkat dari persamaan diferensial sistem kontinyu (differential equation) atau persamaan bedaan sistem diskret (difference equation).

Jika diperhatikan persamaan diferensial sistem linier kontinyu, maka ada tiga operasi matematis yang muncul:

Penjumlahan Perkalian dengan konstanta Pendiferensialan

Dan jika diamati persamaan bedaan sistem linier diskret, maka ada tiga operasi matematis yang muncul:

Penjumlahan Perkalian dengan konstanta Tundaan (delay)

Sedangkan pada transfer function sistem terdapat tiga operasi matematis yang muncul:

Penjumlahan Perkalian dengan konstanta Perpangkatan variabel s pada sistem kontinyu atau variabel z pada sistem diskret

Namun operasi perpangkatan variabel z pada bentuk transfer function setara dengan proses tundaan pada persamaan bedaan sistem diskret. Dan operasi perpangkatan variabel s setara dengan operasi pendiferensialan pada sistem kontinyu. Jika transformasi Laplace dari sinyal y(t) adalah Y(s), maka transformasi Laplace dari dy(t)/dt adalah sY(s) dan transformasi Laplace dari dmy(t)/dtm adalah smY(s). Jika transformasi Z dari y[n] adala Y(z) maka transformasi Z dari y[n-1] adalah z -1Y(z) dan transformasi Z dari y[n-k] adalah z -kY(z). Kini jelaslah bahwa diperlukan tiga macam komponen untuk merealisasikan sistem linier, yaitu 1. Penjumlah: untuk merealisasikan proses penjumlahan, untuk sistem kontinyu dan diskret. 2. Pengali=Penguat=Gain: untuk merealisasikan proses perkalian dengan konstanta, untuk sistem kontinyu dan diskret. 3. Tundaan: untuk merealisasikan proses tundaan, untuk sistem diskret atau Differensiator/derivatif: untuk merealisasikan proses pendiferensialan, untuk sistem kontinyu atau Integrator: untuk merealisasikan proses integral yang merupakan kebalikan proses pendiferensialan, untuk sistem kontinyu. Komponen dan Bentuk Penjumlah: Sinyal Masukan x(t), y(t) X(s), Y(s) x[n], y[n] X(z), Y(z) Pengali: x(t) X(s) x[n] X(z) Diferensiator=Derivatif: x(t) X(s) Integrator: x(t) X(s) Tundaan=Delay: x[n] X(z) X(s) s x[n-1] z -1X(z) = X(z)/z Sinyal Keluaran x(t)+y(t) X(s)+Y(s) x[n]+y[n] X(z)+Y(z) Ax(t) AX(s) Ax[n] AX(z) dx/dt sX(s)

Realisasi Langsung Bentuk I

Ada beberapa konfigurasi dalam realisasi yaitu realisasi langsung, realisasi paralel, realisasi kaskada, realisasi ladder, dan lain-lain. Di sini hanya akan dikenalkan mengenai Realisasi Langsung melalui contohcontoh. Contoh-contoh berikut ini mengenai realisasi sistem diskret. Contoh 1. Realisasikan sistem ini: y[n]=2x[n-1] Jawab: Masukan sistem adalah x[n] dan keluarannya adalah y[n]. Setelah melewati pengali gain=2 maka sinyal x[n] berubah menjadi sinyal 2x[n]. Dan setelah melewati tundaan, sinyal 2x[n] berubah menjadi sinyal 2x[n-1].

Contoh 2. Realisasikan sistem ini: y[n]=3x[n]-x[n-1] Jawab: Sinyal masukan dialirkan ke dua komponen. Satu menuju pengali dengan gain=3 dan satu lagi menuju pengali dengan gain=-1 dan tundaan. Setelah itu kedua sinyal dijumlahkan dan menghasilkan sinyal 3x[n]-x[n-1].

Contoh 3. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.9y[n-1]=x[n] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.9y[n-1]+x[n]

Contoh 4. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.6y[n-1]+0.5y[n-2]=x[n-1] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.6y[n-1]-0.5y[n-2]+x[n-1]

Contoh 5. Realisasikan sistem ini: y[n]-0.4y[n-1]=x[n]-2x[n-1] Jawab: Persamaan sistem di atas setara dengan persamaan y[n]=0.4y[n-1]+x[n]-2x[n-1]

Contoh 6. Realisasikan sistem ini: Y(z)=X(z)-3z -1X(z) Jawab:

Contoh 7. Realisasikan sistem ini: H(z)=1/(1-z -1) Jawab: H(z) adalah transfer function yang sama dengan Y(z)/X(z). Jadi persamaan di atas dapat diubah menjadi Y(z)/X(z)=1/(1-z -1) Y(z)(1-z -1)=X(z) Y(z)-z -1Y(z)=X(z) Y(z)=z -1Y(z)+X(z) dengan realisasi:

Contoh 8. Realisasikan sistem ini:

Jawab: Persamaan di atas dapat diubah menjadi:

dengan realisasi:

Contoh 9. Realisasikan sistem ini:

Jawab: Persamaan di atas dapat diubah menjadi:

dengan realisasi:

Contoh 10. Realisasikan sistem pada soal 9 dengan menggunakan komponen Integrator: Jawab: Agar dapat direalisasikan dengan komponen integrator, diusahakan agar numerator dan denominator bukan merupakan perpangkatan s melainkan perpangkatan s-1. Karena itu numerator dan denominator pada persamaan di atas masing-masing dibagi dengan s sehingga diperoleh persamaan yang dapat diubah menjadi:

dengan realisasi:

Contoh 11. Realisasikan sistem ini dengan komponen integrator:

Jawab: Dengan membagi numerator dan denominator dengan s2, persamaan di atas berubah menjadi:

dengan realisasi:

Realisasi Langsung Bentuk IIRealisasi Langsung Bentuk II merupakan modifikasi dari realisasi langsung bentuk I dengan keuntungan berupa jumlah tundaan/integrator yang minimal. Perhatikan realisasi sistem pada contoh 5 di atas yang digambarkan lagi di bawah ini.

Realisasi sistem di atas menggunakan dua buah komponen tundaan. Berdasarkan sifat asosiatif sistem linier, realisasi di atas dapat diubah menjadi bentuk seperti di bawah ini.

Pada gambar terakhir ini, terlihat bahwa kedua komponen tundaan itu mempunyai sinyal masukan yang sama. Karena itu cukup digunakan satu komponen tundaan seperti gambar di bawah ini:

Bentuk seperti inilah yang dimaksud dengan realisasi langsung bentuk II yang secara umum lebih baik dari realisasi langsung bentuk I. Latihan 7. Topiknya adalah realisasi sistem linier, dan simulasi sistem dengan MatLab/Simulink. Simulink adalah salah satu TOOLBOX dari MatLab. Jika MatLab diinstal lengkap, maka salah satu komponennya adalah Simulink. Tentang MatLab/Simulink dapat dipelajari. Ingat a=tiga digit terakhir NIM, b=digit terakhir NIM. Soal 1. Realisasikan sistem berikut ini: y[n]= ax[n-1] Soal 2. Gunakan Realisasi Langsung Bentuk II untuk merealisasi sistem y[n]-y[n-b]=x[n]-0.5x[n-1] Soal 3. Realisasikan sistem ini dengan integrator H(s)=(s+a)/(sb+2) Soal 4. Sebuah sistem diskret mempunyai gain K=2, zero di z=b/10 dan di z=a/200 dan pole di z=b/a dan di z=0.6, tentukan transfer functionnya dan realisasikan sistem dengan realisasi langsung bentuk II. Soal 5. Hitunglah transfer function sistem invers dari sistem pada soal 4. Beri nama HI(z). Soal 6. Realisasikan HI(z) dari soal 5 dengan realisasi langsung bentuk II. Soal 7. Buatlah model simulink dari H(z) dan HI(z) dalam bentuk seperti gambar di bawah ini

Gunakan komponen Step sebagai sumber sinyal. Gunakan Sample time=0.1 detik. Jalankan simulasi. Dan print bentuk sinyal yang dikeluarkan oleh osiloskop. Soal 8. Ulangi soal 7 untuk sumber sinyal Sinusoidal dengan amplitudo=1 dan frekuensi 1 hertz. Jangan lupa untuk menyetel Sample time=0.1 detik.

Pengantar tentang sistem, sinyal dan sistem linier

SistemBerbicara tentang sistem berarti berbicara tentang sekumpulan elemen/unsur yang menyusun sistem, dan berbicara tentang cara berhubungan antara elemen-elemen penyusun itu. Umumnya pengertian sistem menyangkut sesuatu yang tersusun dari elemen-elemen. Jadi sebuah komponen tidak dapat disebut sistem (tapi secara mikroskopis, sebuah elemen juga tersusun dari elemen-elemen yang lebih kecil sehingga dapat disebut sistem juga). Elemenelemen penyusun sistem mempunyai perilaku yang khas dalam sistem, atau mempunyai tugas yang spesifik yang tidak dapat digantikan oleh elemen lain. Jika sebuah elemen penyusun sistem tidak ada, maka sistem menjadi tidak ada atau sistem berganti menjadi sistem lain.

Tabel ini mendaftar contoh beberapa sistem berikut elemen penyusun dan fungsi setiap elemen.Sistem Elemen Mekanik playback Sistem audio Penguat Speaker Tombol volume Matahari Tata surya Planet Satelit Fungsi elemen Mengubah sinyal magnetis dari kaset ke sinyal elektris Memperkuat sinyal elektris Mengubah sinyal elektris menjadi sinyal suara/audio Mengubah penguatan penguat Pusat tata surya Mengitari pusat tata surya Mengitari planet

Sistem audio mempunyai empat elemen, jika salah satunya tidak ada, maka tidak dapat lagi disebut sistem audio. Tanpa penguat dan mekanik playback, sistem dikatakan rusak. Tanpa speaker, sistem tidak lengkap dan tidak dapat dimanfaatkan. Tanpa tombol volume, semua orang akan tertawa. Hal yang penting untuk disepakati ketika seseorang berbicara tentang sistem teknik adalah model sistem. Memodelkan sebuah sistem berarti menyepakati besaran keluaran sistem, lalu menentukan masukan sistem dan akhirnya menentukan hubungan antara keluaran dan masukan itu. Persamaan matematis dapat disebut model sistem, yaitu model komponen elektronik resistor. Dalam model ini, besaran keluaran yang disepakati adalah arus resistor, sehingga masukannya adalah tegangan dan hubungan antaran keluaran dan masukan adalah persamaan matematis itu sendiri. Diagram blok berikut ini menyatakan bentuk umum dari sistem:

Bentuk diagram blok di atas sudah dapat disebut model. Dalam bentuk diagram blok, biasanya besaran masukan dan keluaran sudah diketahui, dan dapat pula persamaan matematisnya sudah diketahui dan dicantumkan pada label blok. Diagram blok sebuah resistor dengan keluaran arus adalah seperti berikut:

Jika keluaran sistem telah disepakati, maka penentuan masukan haruslah mengandung alasan (argumentasi). Alasan itu diperoleh dari fakta fisik sistem bahwa jika masukan diubah-ubah maka keluaran berubah. Jika arus disepakati sebagai keluaran sistem resistor, maka tegangan adalah masukan. Alasannya adalah jika tegangan resistor diubah-ubah maka arus resistor berubah. Pemodelan tidak dimaksudkan untuk mendapatkan kebenaran mutlak tentang sistem yang dimodelkan. Pemodelan dimaksudkan untuk memperoleh manfaat dari model dan kebenarannya adalah kondisional dalam batas-batas yang dipersyaratkan. Terhadap resistor berlaku persamaan matematis . Artinya jika sebuah resistor 1 diberi input berupa tegangan 1 V maka akan diperoleh output berupa arus sebesar 1 A. Persamaan di atas berlaku dalam batasbatas tertentu. Resistor 1 5 watt dapat diberi tegangan 1 V untuk dan menghasilkan arus 1 A, tapi resistor itu tidak dapat diberi tegangan 10 V karena akan menyebabkan resistor berada di luar batas yang diijinkan. Arus sebesar 10 A yang dihasilkan akan menyebabkan daya sebesar 100 watt masuk ke resistor dan merusak resistor itu. Resistor menjadi short atau resistor menjadi putus sehingga sesaat kemudian catu daya menjadi rusak atau tidak ada arus sama sekali yang mengalir. Contoh-contoh tentang penentuan masukan sistem beserta alasannya tersaji pada tabel.Sistem Filamen setrika Bendungan Keluaran panas aliran air ke persawahan Masukan arus posisi pintu air Alasan Jika diberi arus filamen mengeluarkan panas. Semakin besar arus, semakin besar panas yang dikeluarkan filamen. Semakin tinggi posisi pintu air, semakin banyak air mengalir

Sepeda motor kecepatan

posisi handel Semakin besar sudut handel gas, semakin cepat gas sepeda motor berlari

Tugas 1. Carilah dua sistem lain. Tentukan/pilih keluarannya. Tentukan masukannya, sertakan alasannya. Kerjakan pada kertas double-folio bergaris. Gunakan tinta biru atau gunakan kertas bergaris biru. (updated 3 Maret 2002)

SinyalKata lain sinyal adalah isyarat. Tapi penggunaan sehari-hari kata "sinyal" dan kata "isyarat" sedikit berbeda. Seseorang menyuruh diam dengan meletakkan telunjuk ke bibir disebut memberi isyarat. Kereta berangkat menunggu sinyal dari petugas PPKA berupa tiupan peluit. Dalam pembicaraan tentang sistem teknik, kedua kata di atas adalah sama. Sinyal adalah besaran yang diamati dalam selang waktu tertentu. Dalam selang waktu yang dimaksud, biasanya besaran berubah secara dinamis. Dalam keseharian dikenal sinyal suara atau sinyal gambar yang besarannya senantiasa berubah terhadap waktu. Namun besaran yang tidak berubah terhadap waktu secara teknis disebut sinyal juga asalkan merupakan pengamatan dalam selang waktu tertentu. Sehingga cahaya yang keluar dari sebuah lampu (meskipun intensitasnya tetap) disebut sinyal cahaya. Sebuah sepeda motor mempunyai besaran fisik: berat, warna, ukuran, kecepatan, jumlah persnelling, dan lain-lain. Semuanya adalah sinyal yang dikeluarkan oleh sepeda motor jika diamati dalam selang waktu tertentu. Namun di antara besaran-besaran yang dimiliki oleh sepeda motor, mungkin hanya kecepatan yang sifatnya dinamis, besaran lain bersifat statis. Oleh karena itu kecepatan merupakan besaran yang paling banyak diamati/diperhatikan untuk sepeda motor.

Pembicaraan tentang sistem seringkali melibatkan pembicaraan tentang sinyal. Sistem dikenali dari sinyal yang dikeluarkannya, dan sistem diamati karena ada dinamika sinyal padanya. Masukan dan keluaran sistem berwujud sinyal. Masukan dari sistem audio adalah sinyal magnetis dari pita kaset dan keluarannya adalah sinyal suara. Dalam sistem bendungan, aliran air ke persawahan adalah sinyal, aliran air dari hulu adalah sinyal, hujan adalah sinyal, pengubahan posisi pintu air oleh petugas irigasi adalah sinyal, bahkan watt listrik yang dihasilkan (jika ada PLTA-nya) adalah sinyal. Secara teknis sinyal dibedakan menurut keberadaan dan nilai besarannya. Gambar berikut ini memperlihatkan empat macam sinyal yaitu: sinyal kontinyu (analog), sinyal kontinyu terkuantisasi, sinyal diskret, dan sinyal diskret terkuantisasi (digital).

Sinyal kontinyu merupakan bentuk kebanyakan sinyal yang ada di alam. Debit aliran air sungai, arus listrik yang masuk ke sebuah rumah pelanggan PLN dan suhu suatu ruangan adalah contohnya. Sinyal kontinyu mempunyai nilai di semua waktu dan nilainya bisa berapa saja. Sinyal kontinyu terkuantisasi mempunyai nilai di semua waktu tapi nilainya hanya tertentu saja. Contohnya adalah nilai tukar rupiah terhadap dollar, atau harga suatu barang di toko. Sinyal diskret mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya bisa berapa saja. Contohnya adalah data harian curah hujan di Solo, atau nilai indeks harga saham gabungan di bursa pada saat penutupan transaksi. Sinyal diskret terkuantisasi mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya hanya tertentu. Contohnya adalah sinyal komunikasi digital. Pembicaraan dalam kuliah sistem linier secara umum adalah menyangkut sinyal kontinyu dan diskret yang tidak terkuantisasi.

Sistem LinierSistem linier adalah sistem dengan sifat khusus berupa linieritas. Artinya hubungan masukan dan keluarannya bersifat linier. Jika digambar pada grafik hubungan itu berupa garis lurus. Namun gambaran grafis berupa garis lurus hanya berlaku pada saat sistem berada pada kondisi mantap (steady) dan bukan pada kondisi transisi (transien). Jika resistor tiba-tiba diberi tegangan, arus resistor tidak langsung muncul sesuai hukum ohm. Ada masa transisi dari kondisi belum diberi tegangan (kondisi awal) menuju kondisi

mantap (meskipun hanya dalam hitungan mikrodetik atau nanodetik). Hukum ohm hanya berlaku pada kondisi mantap. Kondisi transisi ini tidak diperhatikan pada desain rangkaian elektronik biasa, tapi kondisi ini menjadi perhatian pada sistem frekuensi tinggi di mana sinyal berubah dengan sangat cepat. Ada dua alasan penting mengapa studi sistem linier menjadi perlu:1. Model sistem linier dapat dipelajari lebih mudah dan pembahasannya telah mendalam. Alat bantu analisis dan desain sistem linier telah banyak tersedia. 2. Kebanyakan sistem fisik dapat dimodelkan dengan sistem linier. 3. Sinyal 4. Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam

bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+ ) = A sin(t+ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.5. 1. Operasi matematis terhadap sinyal

6. a. Negasi.

7. 8. b. Perkalian dengan konstanta.

9. 10. c. Perkalian/penjumlahan dengan sinyal lain.

11. 12.

Contoh Sistem dan SinyalPerhatikan bahwa sistem seringkali baru didefinisikan setelah manusia mendefinisikan interestnya, artinya manusia menyatakan pengamatan apa yang hendak dilakukan atau manfaat apa yang ingin diperoleh dari pendefinisian sistem.

Pengamatan yang hendak dilakukan: mengamati irama pernafasan dan detak jantung di bawah pengaruh anaesthesia (pembiusan). Pengamatan ini penting dilakukan untuk memberikan jumlah obat bius yang tepat

Nama sistem: Sistem respirasi dan transportasi Keluaran: 1. Irama jantung (dalam detak per menit), 2. Frekuensi pernafasan (dalam nafas per menit) Masukan: Dosis obat bius (dalam ml)

Jika dosis obat bius sudah diketahui, maka ada dua bentuk sinyal masukan yang dapat diberikan ke sistem: 1. Sinyal impulse: Obat bius disuntikkan. Sejumlah obat bius dalam waktu yang "singkat" dimasukkan ke sistem. 2. Sinyal step: Obat bius dimasukkan melalui aliran infus. Sejumlah obat bius dimasukkan ke botol infus. Tubuh akan secara konstan menerima sejumlah obat bius dalam waktu yang relatif lama.

SinyalDalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+ ) = A sin(t+ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.

2. Operasi matematis terhadap argumen sinyal

a. Negasi.

b. Perkalian dengan konstanta/penskalaan.

c. Penjumlahan dengan konstanta/pergeseran. Penjumlahan argumen dengan konstanta akan menyebabkan sinyal tergeser ke kiri sejauh nilai konstanta sedangkan pengurangan argumen dengan konstanta akan menyebabkan sinyal tergeser ke kanan.

Pergeseran akibat penjumlahan dengan konstanta dipengaruhi oleh operasi negasi dan penskalaan. Penjumlahan dengan konstanta pada sinyal hasil negasi menyebabkan sinyal tergeser ke kanan sedangkan pengurangan dengan konstanta menyebabkan sinyal tergeser ke kiri. Sinyal x(-t-2) mempunyai bentuk seperti sinyal x(-t) yang tergeser sejauh 2 ke kiri. Penjumlahan dengan konstanta pada sinyal yang terskala menyebabkan nilai pergeseran terskala. Sinyal x(2t) terskala sehingga bentuk sinyal mengkerut menjadi 1/2 kali bentuk sinyal x(t). Sinyal x(2t-2) mempunyai bentuk sama dengan sinyal x(2t) tapi tergeser ke kanan sejauh 2/2 (bukan sejauh 2). Nilai pergeseran ikut terskala.

Manakah di antara kedua sinyal berikut ini yang benar???

Soal latihan 2.1

Pada gambar di atas tampak dua sinyal kontinyu x(t) dan h(t). Perhatikan bahwa sinyal x(t) mempunyai garis miring yang berawal dari titik (0,2) dan berakhir di titik (b,-1) dengan b adalah digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. x(-t) b. x(t+2) c. x(2t) d. -2x(t) e. x(3t-3) f. x(-2t-2) g. x(t)h(t) h. x(t-1)h(2t/3) Soal latihan 2.2.

Gambar di atas menampilkan sinyal h[n]. Perhatikan bahwa sinyal h[n] mengandung impuls di n=1 dengan nilai sebesar b yaitu digit terakhir NIM saudara. Gambarlah dengan baik sinyal-sinyal berikut ini: a. h[3n/2+2] b. h[-n-1]/2 Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+ ) = A sin(t+ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.

3. Bentuk sinyal kontinyu dasarAda tiga bentuk dasar sinyal kontinyu.1. Sinyal eksponensial sinusoidal kompleks x(t) = Ceat. Dalam rumusan ini, e adalah bilangan natural

2,718... , t adalah argumen waktu, C dan a adalah parameter kompleks. Bentuk sinyal Ceat bervariasi tergantung nilai C dan a. o Untuk C dan a riel. Sinyal akan berbentuk eksponensial, yaitu eksponensial naik jika a > 0 dan eksponensial turun jika a < 0. Pada saat t=0, nilai sinyal adalah x(t)=C.

o

Untuk a imajiner. Bilangan imajiner a dapat ditulis menjadi a=j sehingga rumusan sinyal menjadi x(t) = Cej t = C cos j t + j sin j t. Yang terlihat dan terdeteksi dari sinyal kompleks adalah bagian rielnya yaitu Re{x(t)} = C cos j t. Sinyal akan berbentuk sinusoidal dengan amplitudo C dan frekuensi . Sinyal sinusoidal ini bersifat periodik, artinya bentuk sinyal muncul secara berulang-ulang sehingga x(t+T)=x(t). Jangka waktu saat sinyal mulai berulang disebut periode yaitu T. Untuk sinyal sinusoidal ini, T = 2 / .

o

Untuk C dan a kompleks. Konstanta kompleks C dapat ditulis menjadi C = |C|ej dan konstanta kompleks a dapat ditulis sebagai a = r + j . Rumusan sinyal akan menjadi x(t) = |C|ej e(r + j )t x(t) = |C|ertej( t+ ) Bagian riel sinyal adalah Re{x(t)} = |C|ertcos ( )t+ ) yang jika digambar akan berbentuk eksponensial sinusoidal.

2. Sinyal tangga satuan (unit step) u(t). Step artinya tangga. Bentuk sinyal tangga adalah seperti satu

anak tangga. Untuk sinyal tangga satuan, kenaikan sinyal terjadi di t=0 dan kenaikannya sebesar satu. Secara matematis, sinyal u(t)=1 untuk t > 0 dan u(t)=0 untuk t < 0. Sinyal tangga sering dipakai untuk memodelkan proses pensaklaran on-off.

3. Sinyal impuls satuan (unit impulse) (t). Impulse artinya denyut. Sinyal impuls adalah sinyal yang

muncul sesaat lalu hilang kembali. Seberapa lama sebuah denyut muncul agar dapat disebut impuls? Sangat relatif! Bagi manusia, aktivitas jantung adalah denyut, tapi bagi komputer, sinyal jantung sangat lama dan tidak layak disebut denyut. Ketika sebuah bola dilempar ke dinding, dinding akan memberi gaya kepada bola dalam waktu yang singkat. Gaya yang diterapkan dinding terhadap bola disebut denyut/impuls karena keberadaan gaya cukup singkat dibanding aktivitas bola. Secara matematis, unit impuls adalah sinyal yang hanya muncul di t=0 dengan energi sebesar 1. Dengan kata lain, (t)=1 untuk t=0 dan (t)=0 untuk t 0.

Sinyal-sinyal dasar dapat diubah bentuknya dengan operasi matematis terhadap sinyal. Bahkan sebagian besar sinyal di alam dapat dibangun dari sinyal-sinyal dasar. Berikut adalah contoh bentuk sinyal dasar yang diberi operasi matematis. Sinyal u(t-1) adalah sinyal u(t) yang digeser sejauh 1 ke kanan. Sinyal u(2t) mengalami penskalaan tapi tidak terlihat berbeda dari sinyal u(t). Sinyal u(2t-1) adalah sinyal u(2t) yang digeser sejauh 1/2 ke kanan (Perhatikan bahwa efek penskalaan menyebabkan pergeseran sinyal diskalakan, pergeseran sinyal u(2t-1) bukan 1 ke kanan, melainkan 1/2 ke kanan). Sinyal e(-1+4i)tu(t) merupakan hasil perkalian sinyal u(t) dengan sinyal eksponensial sinusoidal. Efek perkalian sinyal x(t) dengan sinyal u(t) adalah untuk t < 0 nilai sinyal menjadi 0 dan untuk t > 0 sinyal tetap seperti bentuk semula.

[ Balik ] [ Lanjut ] Dalam analisis sistem linier, masukan dan keluaran merupakan sinyal yang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi matematis ataupun gambar grafis. Sistem mengolah sinyal masukan dan mengeluarkan sinyal keluaran. Akibat pengolahan sistem, fungsi matematis sinyal berubah. Sebagai contoh sebuah sinyal sinus x(t) = sin t jika dimasukkan ke rangkaian kapasitor paralel akan berubah menjadi sinyal keluaran y(t) = A x(t+ ) = A sin(t+ ) yang secara fisis berarti bahwa amplitudo dan fase sinyal berubah. Bab ini berbicara tentang apa saja pengaruh operasi matematis terhadap bentuk sinyal dan bagaimana bentuk-bentuk sinyal dasar.

1. Operasi matematis terhadap sinyala. Negasi.

b. Perkalian dengan konstanta.

c. Perkalian/penjumlahan dengan sinyal lain.

[ Balik ] [ Lanjut ]

Sistem dan AtributnyaPenggambaran model sistemDua cara berikut biasa digunakan untuk menggambarkan sistem teknik:

Analitis, artinya dengan persamaan matematika. Sistem dinyatakan dengan persamaan matematika yang menyatakan bagaimana keluaran dipengaruhi oleh masukan. Persamaan matematis y(t)=Rx(t) merupakan gambaran dari sebuah sistem yang disebut resistor dengan R adalah resistansi, x(t) masukan berupa arus dan y(t) keluaran berupa tegangan. Atau persamaan yang lebih sering dijumpai untuk resistor adalah v(t)=Ri(t). Persamaan matematis Cdv/dt=i(t) merupakan gambaran dari sistem yang disebut kapasitor dengan C adalah kapasitansi. Diagram blok. Sistem digambarkan dengan sebuah blok atau kotak dengan dua panah. Satu panah masuk untuk menggambarkan sinyal masukan dan satu panah keluar untuk menggambarkan sinyal keluaran. Di dalam blok diberikan penjelasan tentang sistem yang dapat berupa kata-kata, simbol atau persamaan matematis.

Properti sistemIstilah properti sistem merupakan terjemahan dari istilah bahasa Inggris system properties, namun istilah Indonesia yang lebih tepat adalah atribut sistem. Setiap sistem mempunyai atribut seperti juga setiap benda mempunyai atribut. Sawo matang, putih dan hitam adalah bentuk-bentuk dari atribut warna kulit manusia. Manusia juga punya atribut bentuk rambut: keriting, ikal dan lurus. Setiap benda dikenali dari atributnya. Sistem juga dikenali dari atributnya. Ada enam atribut sistem: 1. Kepemilikan memori. Sistem bisa memiliki memori dan bisa tanpa memori. Sistem disebut memiliki memori jika sistem bisa menyimpan sinyal atau menyimpan energi yang masuk. Sebuah resistor jelas tidak mempunyai memori. Sebuah kapasitor mempunyai memori karena dapat menyimpan tegangan

2.

3.

4.

5.

6.

dalam bentuk muatan listrik pada keping-kepingnya. Sebuah induktor juga mempunyai memori karena dapat menyimpan arus dalam bentuk medan magnit. Sebuah komputer jelas mempunyai memori. Invertibilitas. Sistem disebut invertibel jika sinyal keluarannya dapat diproses lagi sedimikian sehingga terbentuk kembali sinyal masukannya. Sistem pemancar radio memproses sinyal suara (dari musik atau penyiar) menjadi gelombang elektromagnetik. Sistem ini invertibel karena sinyal gelombang elektro magnetik itu dapat diproses lagi sehingga terbentuk sinyal suara yang sama dengan masukannya. Sistem yang memproses secara invertibel disebut sistem invers. Sistem pemancar radio mempunyai sistem invers, yaitu pesawat penerima radio. Kausalitas. Sistem disebut kausal jika keluarannya berasal dari masukan pada saat-saat sebelumnya. Lebih jelas lagi, keluaran di saat t=1 muncul akibat masukan di saat-saat t