Riset Operasi 08/09

Linier Programming
Metode Grafik

Riset Operasi 08/09

Pendahuluan

Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi tujuan baik maksimum maupun minimum. Pada Metode Grafik variabel keputusan yang akan muncul adalah 2 variabel.

Harapan setelah mempelajari Linear Programming metode grafik adalah :

Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan

Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming

Menyelesaikan permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik

Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy.

Riset Operasi 08/09

Metode Grafik Masalah Maksimasi

FORMULASI PERMASALAHAN, langkah-langkah :

Analisis secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi

Definisikan variabel keputusannya

Identifikasikan tujuan dan kendalanya

Gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis.

Riset Operasi 08/09

Pembuatan Grafik

Menggunakan diagram kartesius

x2

0

Jika x1 positif, x2 positif (+,+)

Jika x1 negatif, x2 positif (-,+)

Jika x1 negatif, x2 negatif (-,-)

Jika x1 positif, x2 negatif (+,-)

Riset Operasi 08/09

Contoh Permasalahan

PT Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.

Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja.

Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 2 jam kerja.

Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja.

Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu

Jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu.

Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Riset Operasi 08/09

Penyelesaian Permasalahan

Formulasi Permasalahan :

Analisis

Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit Variabel yg akan dicari berapa banyak meja (x1) dan kursi (x2) yang harus dibuat.

Riset Operasi 08/09

Lanjutan

Variabel Keputusan

Variabel yg akan dicari berapa banyak meja (x1) dan kursi (x2) yang harus dibuat

Riset Operasi 08/09

Lanjutan

Tentukan Fungsi Tujuan dan kendalanya

Fungsi Tujuan (Z mak)

Z mak = 7x1 + 5x2

Kendala

4x1 + 2x2 240

2x1 + 1x2 100

x1 0

x2 0

Riset Operasi 08/09

Lanjutan
Penyelesaian untuk menggabarkan Grafik

Tentukan Bidang 2 dimensi untuk menggambar grafik

x1

x2

0

Jika x1 positif, x2 positif

Jika x1 negatif, x2 positif

Jika x1 negatif, x2 negatif

Jika x1 positif, x2 negatif

Riset Operasi 08/09

Ubah tanda Batasan /kendala dg =

4x1 + 2x2 240 4x1 + 2x2 = 240

2x1 + 1x2 100 2x1 + 1x2 = 100

Jika memungkinkan sederhanakan :

(yang bisa disderhanakan hanya kendala no 1)

4x1 + 2x2 = 240 2x1 + x2 = 120

Riset Operasi 08/09

Cari titik potong dengan sumbu x1 dan x2

Kendala 1. 2x1 + x2 = 120

Titik potong dg sumbu x1, nilai x1 = 0

Masukkan nilai 0 pada x1, hasilnya :

2 x 0 + x2 = 120

x2 = 120

Hasil (x2,x1) : (120,0)

Titik Potong dg sumbu x2, nilai x2 = 0

Masukkan nilai 0 pada x2, hasilnya :

2x1 + 0 = 120

2x1 = 120

x1 = 120/2

x1 = 60

Hasil (x2,x1) : ( 0, 60)

x1x20120x1x2600

Riset Operasi 08/09

Gambarkan grafik ke dalam bidang

x1

x2

0

120

60

100

50

2x1 + x2 = 120

Riset Operasi 08/09

Cari titik potong dengan sumbu x1 dan x2

2. Kendala 2. 2x1 + 1x2 = 100

Titik potong dg sumbu x1, nilai x1 = 0

Masukkan nilai x1 dengan nilai 0

2 x 0 + x2 = 100

0 + x2 = 100

x2 = 100

Hasil (x2,x1) : (100,0)

Titik Potong dg sumbu x2, nilai x2 = 0

Masukkan nilai x2 dengan nilai 0

2x1 + 0 = 100

2x1 = 100

x1 = 100/2

x1 = 50

Hasil (x2,x1) : (0,50)

x1x20100500

Riset Operasi 08/09

Gambarkan grafik dg memasukkan tanda

x1

x2

0

120

60

100

50

2x1 + 1x2 = 100

2x1 + x2 = 100

Riset Operasi 08/09

Gambarkan grafik dg memasukkan tanda

x1

x2

0

120

60

100

50

2x1 + 1x2 = 100

2x1 + x2 = 100

Daerah yg diarsir 2 x

Riset Operasi 08/09

Tentukan Titik-titik pada daerah feasible

x1

x2

0

120

60

100

50

2x1 + 1x2 = 100

2x1 + x2 = 100

Daerah yg diarsir 2 x

A (50,0)

B (0, 100)

C (0,0)

Riset Operasi 08/09

Pencarian nilai Z mak = 7x1 + 5x2

Masukkan nilai-nilai yang mungkin :

Titik A (50, 0)

Titik B (0, 100)

Titik C (0,0)

Riset Operasi 08/09

Titik A (50,0)

Z mak = 7x1 + 5x2

Z mak = (7 x 50) + (5 x 0)

Z mak = 350 + 0

Z mak = 350

Riset Operasi 08/09

Titik B (0, 100)

Z mak = 7x1 + 5x2

Z mak = (7 x 0) + (5 x 100)

Z mak = 0 + 500

Z mak = 500

Riset Operasi 08/09

Titik C (0,0)

Z mak = 7x1 + 5x2

Z mak = (7 x 0) + (5 x 0)

Z mak = 0 + 0

Z mak = 0

Riset Operasi 08/09

Pilih yang paling MAKSIMAL

Titik A (50,0) = 350

Titik B (0, 100) = 500

Titik C (0,0) = 0

MAKSIMAL

Riset Operasi 08/09

Masalah minimasi

Seorang ahli penata diet merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu makanan A dan B. Kedua makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Jenis makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan jenis makanan B paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel 1 menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan

Riset Operasi 08/09

Tabel 1

Hitung biaya minimal yang harus dikeluarkan oleh penata diet

Jenis makananVitamin (unit)Protein (unit)Biaya per unit (Rp)AB212310080Minimum Kebutuhan812

Riset Operasi 08/09

Penyelesaian Permasalahan

Formulasi Permasalahan :

Analisis

Tujuannya adalah minimasi biaya produksi Variabel yg akan dicari berapa banyak makanan A (x1) dan makanan B (x2) yang harus dibuat.

Riset Operasi 08/09

Lanjutan

Variabel Keputusan

Variabel yg akan dicari berapa banyak makanan A (x1) dan makanan B (x2) yang harus dibuat, agar biaya produksi minimal.

Riset Operasi 08/09

Lanjutan

Tentukan Fungsi Tujuan dan kendalanya

Fungsi Tujuan (Z mak)

Z mak = 100x1 + 80x2

Kendala

2x1 + x2 8

2x1 + 3x2 12

x1 2

x2 1

Riset Operasi 08/09

Ubah tanda Batasan /kendala dg =

2x1 + x2 8 2x1 + x2 = 8

2x1 + 3x2 12 2x1 + 3x2 = 12

Jika memungkinkan sederhanakan

Riset Operasi 08/09

Cari titik potong dengan sumbu x1 dan x2

Kendala 1. 2x1 + x2 = 8

Titik potong dg sumbu x1, nilai x1 = 0

Masukkan nilai 0 pada x1, hasilnya :

2 x 0 + x2 = 8

x2 = 8

Hasil (x1, x2) : (0,8)

Titik Potong dg sumbu x2, nilai x2 = 0

Masukkan nilai 0 pada x2, hasilnya :

2 x x1 + 0 = 8

2x1 = 8

x1 = 8/2

x1 = 4

Hasil (x1,x2) : ( 4,0)

x1x208x1x240

Riset Operasi 08/09

Gambarkan grafik ke dalam bidang

x1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

8

x2

7

Riset Operasi 08/09

Gambarkan grafik ke dalam bidang - diarsir

x1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

8

x2

7

2x1 + x2 8,

Buktikan dgn titik (0,0) dimasukan pd persamaan,

2 x 0 + 0 8

0 8 SALAH,

DAERAH YG DIARSIR TIDAK MELEWATI (0,0)

Riset Operasi 08/09

Cari titik potong dengan sumbu x1 dan x2

2. Kendala 2. 2x1 + 3x2 = 12

Titik potong dg sumbu x1, nilai x1 = 0

Masukkan nilai x1 dengan nilai 0

2 x 0 + x2 = 12

0 + x2 = 12

x2 = 12

Hasil (x2,x1) : (12,0)

Titik Potong dg sumbu x2, nilai x2 = 0

Masukkan nilai x2 dengan nilai 0

2x1 + 0 = 12

2x1 = 12

x1 = 12/2

x1 = 6

Hasil (x2,x1) : (0,6)

x1x201260

Riset Operasi 08/09

Gambarkan grafik ke dalam bidang

x1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

8

x2

7

Riset Operasi 08/09

Masalah-masalah khusus dalam LP metode Grafik

Multiple Optimum Solution

Solusi yang dihasilkan lebih dari satu

No Feasible Solution

Tidak ada solusi yang feasible

Unbounded objective function

Tidak ada nilai Z dalam daerah feasible yang akan dipilih.

Riset Operasi 08/09

Latihan

Riset Operasi 08/09

SOAL

1. Arsirlah daerah yang memasuki sistem pertidaksamaan berikut :

4x + 2Y 60 ; 2x + 4Y 48 ; x 0 dan y 0

2x + 5y 60; 2x + 3y 30; x 15; x 0 dan y 0

Jika mempunyai daerah feasible hitung Zmak = 2x +5y

2. Selidiki apakah sistem pertidaksamaan berikut memiliki daerah yang feasible ?, jika ada tunjukkan dan jika tidak berilah alasan dan alternatif pemecahannya.

2x1 + 2x2 10 ; -x1 + x2 2 ; 5x1 + 4x2 40 ; x1 0 ; x2 0

2x1 8 ; 3 x2 15 ; 6x1 + 5x2 40 ; x1 0 ; x2 0

Riset Operasi 08/09

Tugas
Mandiri

Riset Operasi 08/09

1. PT Lezat merencanakan untuk membuat dua jenis kue kering donat dan bolu. Keuntungan per lusin donat Rp. 600,- dan perlusin bolu Rp. 325,-. Pembuatan kue donat menggunakan peralatan khusus dengan waktu 1/6 jam setiap lusin dan kue bolu menggunakan 2 jam tenaga kerja setiap lusin. Tenaga kerja Lezat 3 orang dan setiap orang dapat bekerja 40 jam per minggu. Permintaan kue donat tidak melebihi 500 lusin per minggu. Tentukan keuntungan PT lezat.

SOAL WAJIB

Riset Operasi 08/09

2. NIM GANJIL

Pedagang eceran Lumayan menyediakan biaya advertensi bulan mendatang Rp. 200.000,-. Ada dua alternatif media yang sedang dipertimbangkan yaitu majalah dan surat kabar. Biaya advertensi dalam majalah hanya Rp. 2.500,- dan dapat menjangkau 50 konsumen. Biaya surat kabar 12.000,- dan dapat menjangkau 600 konsumen. Perusahaan merencanakan paling sedikit 5 x permuatan dalam surat kabar, tetapi tidak lebih dari 30 x selama satu bulan. Jumlah advertensi di majalah paling sedikit 2x jumlah advertensi di surat kabar. Tentukan kombinasi advertensi yang terbaik, agar memaksimumkan jumlah konsumen yang dapat dijangkau selama satu bulan ?

Riset Operasi 08/09

3. NIM GENAP

PT Kido memproduksi dua jenis botol minuman bayi. Dua jenis produk tersebut diproses melalui dua jenis mesin. Waktu proses (jam) setiap mesin utk ke-2 jenis produk terlihat dalam tabel 1. PT Kido ingin memodifikasi botol bayi, untuk itu diperlukan tambahan satu jenis mesin. Setiap jenis botol memerlukan waktu pemrosesan masing-masing 1 jam di mesin baru dengan kapasitas 200 jam per bulan. Hitungan keuntungan yang paling optimal

Riset Operasi 08/09

Tabel 1

Jenis BotolMesinKeuntungan (Rp)AB 1221/213750500Kapasitas320300Jam per bulan