LAPORAN PRAKTIKUM PROGRAM LINIER

PENYELESAIAN PROGRAM LINIER DENGAN METODE GRAFIK

Dosen Pengampu : Pipit Pratiwi Rahayu, S.si

Asisten :

1. Ahmad Rofi Abu Yazid

2. Erlina Puspita Sari

3. Sirni Suryani

Disusun Oleh :

Rifka Wulan Permatasari (11610039)

MATEMATIKA

SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA2011

BAB I

PENDAHULUAN

A. Dasar Teori

Masalah program linier adalah masalah untuk menentukan titik yang memaksimalkan atau meminimalkan fungsi obyektif linear dan memenuhi kendala linear. Bentuk umum dari masalah program linear adalah :

Memaksimalkan

Dengan kendala : ;

;

:

:

;

.

Atau

Meminimalkan

Dengan kendala : ;

;

:

:

;

.

Masalah di atas dapat dituliskan dengan menggunakan notasi vektor. Jika didefinisikan

maka masalah di atas menjadi

Memaksimalkan

dengan kendala

.

Meminimalkan

dengan kendala

.

Kejadian Kejadian Khusus Penyelesaian dengan Metode Grafik

1. Penyelesaian alternative (Alternate Optima)

Masalah program linear dua variabel mempunyai penyelesaian alternative terjadi jika gradient fungsi objektifnya sama dengan gradient dari satu fungsi kendalanya.Berarti penyelesaian optimal berada pada semua titik dalam suatu ruas garis.

2. Solusi tak terbatas (Unbounded Solution)

3. Masalah Infeasible

Jika daerah fisibel dari suatu masalah program linear kosong, yaitu tidak ada titik yang memenuhi fungsi kendala, maka masalah program linear tersebut dikatakan infeasible.

B. Soal

Dalam laporan ini akan membahas dua soal mengenai masalah dalam Program Linier yang menggunakan metode grafik dalam penyelesaiannya, yakni :

1. Pension fund has $30 million to invest. The money is to be divided among Treasury notes, bonds, and stocks. The rules for administration of the fund require that at least $3 million be invested in each type of investment, at least half the money be invested in Treasury notes and bonds, and the amount invested in bonds not exceed twice the amount invested in Treasury notes. The annual yields for the various vestment are 7% for Treasury notes, 8% for bonds, and 9% for stocks. How should the money be allocated among the various investment to produce the largest return?

2. Your club plans to raise money by selling two sizes of fruit basket. The is to buy small baskets for $10 and sell them for $16 and to buy large baskets for $15 and sell them for $25. The club president estimates that you will not sell more than 100 baskets. Your club can afford to spend up to $1200 to buy the baskets. Find the number of small and large fruit baskets you should buy in order to maximize profit?

BAB II

PEMBAHASAN

A. Langkah-langkah Penyelesaian

Untuk menyelesaikan permasalahan 2 dua soal tersebut, langkah-langkah yang harus kita lakukan, adalah :

a. Untuk soal nomor 1

1. Pertama-tama kita pahami terlebih dahulu soal cerita dalam soal nomor 1, kemudian kita buat model matematikanya. Dan model matematikanya seperti berikut ;

Misalkan : X1 = Treasury Notes

X2 = Bonds

Stocks = 30 (X1+X2)

Sehingga didapat Model :

Maximum Z = 7%X1 + 8%X2 + 9%[30 (X1 + X2)]

= 0.07X1 + 0.08X2 + 0.09[30 (X1 + X2)]

= 2.7 (0.02X1 +0.01X2) (Dalam juta Dolar)

Kendala : X1, X2 3

30 - (X1 + X2) 3 (Definisi dari stocks)

X1 + X2 27

X1+X2 15

X2 2X1

-2X1 + X2 0

2. Membuka software WinQSB, dengan Klik Start Programs WinQSB Linear And Integer Programing.

3. Klik menu bar File kemudian pilih New Problem untuk memasukan suatu masalah.

4. Masukan banyaknya variabel, banyaknya kendala, pilih Maximization untuk mendapatkan hasil maksimal dari fungsi objectif yang kan diinputkan.

Kemudian Ok.

5. Maka muncul lembar baru Linier and Integer Progamming. Isi masing masing kolom dengan permasalahan program linier soal no 1. C1, C2, C3, C4 dan C5 adalah kendala, pengisian C1, C2, C3, C4 dan C5 tidak harus sama antar individu tetapi konsisten. Isi kolom maximize dengan koefisien X1 dan X2 dari kendala kendala masalah PL.

6. Kemudian kita dapat menyelesaikannya menggunakan metode grafik, dalam WinQSB untuk mengunakan metode grafik untuk mendapatkan suatu penyelesaian dapat dilakukan dengan Klik icon . Klik icon tersebut kemudian muncul kotak dialog Select Variables of Graphic Method. Disini dipilih X1 sebagai sumbu X dan X2 sebagai sumbu Y

Kemudian OK

7. Sehingga muncul kotak grafik fungsi sepeti dibawah ini :

b. Untuk soal nomor 2

1. Pertama-tama kita pahami terlebih dahulu soal cerita dalam soal nomor 2, kemudian kita buat model matematikanya. Dan model matematikanya seperti berikut ;

Misalkan : X1 = 1 Keranjang kecil

X2 = 1 Keranjang besar

Sehingga didapat Model :

Maximum Z = 6 X1 + 10 X2 (Dalam $)

Kendala : 10X1 +15 X2 1200

X1 + X2 100

X1 , X2 0

2. Membuka software WinQSB, dengan Klik Start Programs WinQSB Linear And Integer Programing.

3. Klik menu bar File kemudian pilih New Problem untuk memasukan suatu masalah.

4. Masukan banyaknya variabel, banyaknya kendala, pilih Maximization untuk mendapatkan hasil maksimal dari fungsi objectif yang kan diinputkan. Kemudian Ok.

Kemudian Ok

5. Maka muncul lembar baru Linier and Integer Progamming. Isi masing masing kolom dengan permasalahan program linier soal no 2. C1 dan C2 adalah kendala, pengisian C1 dan C2 tidak harus sama antar individu tetapi konsisten. Isi kolom maximize dengan koefisien X1 dan X2 dari kendala kendala masalah PL.

6. Kemudian kita dapat menyelesaikannya menggunakan metode grafik, dalam WinQSB untuk mengunakan metode grafik untuk mendapatkan suatu penyelesaian dapat dilakukan dengan Klik icon . Klik icon tersebut kemudian muncul kotak dialog Select Variables of Graphic Method. Disini dipilih X1 sebagai sumbu X dan X2 sebagai sumbu Y

7. Sehingga muncul kotak grafik fungsi sepeti dibawah ini :

B. Output

Dengan menggunkan software WinQSB, maka output penyelesaian yang kita dapatkan dari masalah program linier dengan 2 variabel adalah ;

a. Untuk soal nomor 1

Dari nilai fungsi objektif dan kendala yang kita inputkan kita mendapatkan penyelesaiannya. Untuk mengetahui hasilnya dapat kita melihatnya dengan melakulakan langkah-langkah seperti pada sub bab A. Langkah-langkah Penyelesaian untuk soal nomor 1, langkah ke 7, hingga kita dapatkan grafik fungsi untuk mendapatkan hasil maksimalnya dan gambar grafiknya ;

b. Untuk soal nomor 2

Dari nilai fungsi objektif dan kendala yang kita inputkan kita mendapatkan penyelesaiannya. Untuk mengetahui hasilnya dapat kita melihatnya dengan melakulakan langkah-langkah seperti pada sub bab A. Langkah-langkah Penyelesaian untuk soal nomor 2, langkah ke 7, hingga kita dapatkan grafik fungsi untuk mendapatkan hasil maksimalnya dan gambar grafiknya ;

C. Interprestasi

a. Untuk soal nomor 1

Interprestasi dari masalah program linier dengan 2 variabel pada soal nomor 1, setelah data kita inputkan pada software WinQSB kita mendapatkan penyelesaian berupa output sebagai berikut.

Dengan menentukan X1 = Treasury Notes

X2 = Bonds

Stocks = 30 (X1+X2)

Dan kendala yang kita dapat pada saat pengalokasian dana tersebut.

Constrain :

s.t X1, X2 3

30 - (X1 + X2) 3 (Definisi dari stocks)

X1 + X2 27

X1+X2 15

X2 2X1

-2X1 + X2 0

Dan dengan fungsi yang diinginkan yang didapat dari pembagian dana yang akan diinvestasikan.

Maximum Z = 7%X1 + 8%X2 + 9%[30 (X1 + X2)]

= 0.07X1 + 0.08X2 + 0.09[30 (X1 + X2)]

= 2.7 (0.02X1 +0.01X2) (Dalam juta Dolar)

Dari grafik kita bisa melihat bahwa ketika kita menginputkan nilai maximize dengan X1 = -0.02, X2 = -0.01, R.H.S = 2.7; C1 dengan X1 = 1, R.H.S = 3; C2 dengan X2 = 1, R.H.S = 3; C3 dengan X1 = 1, X2 = 1, R.H.S = 27; C4 dengan X1 = 1, X2 = 1, R.H.S = 15; C5 dengan X1 = -2, X2 = 1, R.H.S = 0. Maka didapatkan nilai OBJ -0.2. Sehingga dengan kata lain, uang tersebut akan dapat memperoleh keuntungan yang maksimal sebesar $ 2.5 million dengan mengalokasikannya ke Treasury Notes $ 5 million and Bonds $ 10 million.

b. Untuk soal nomor 2

Interprestasi dari masalah program linier dengan 2 variabel pada soal nomor 2, setelah data yang kita inputkan pada software WinQSB kita mendapatkan penyelesaian berupa output sebagai berikut.

Dengan menentukan X1 = 1 Keranjang kecil

X2 = 1 Keranjang besar

Dan kendala yang kita dapat saat pengumpulan uang tersebut.

Constrain :

s.t 10X1 +15 X2 1200

X1 + X2 100

X1 , X2 0

Dan dengan fungsi yang diinginkan yang didapat dari penjualan dua ukuran keranjang buah dengan ketentuan harga masing-masing.

Maximum Z = 6 X1 + 10 X2 (Dalam $)

Dari grafik kita bisa melihat bahwa ketika kita menginputkan nilai pada C1 : X1 = 10, X2 = 15 kemudian R.H.S = 1200 ; C2 : X1 = 1, X2 = 1 kemudian R.H.S = 100 .dan nilai maksimum X1 = 6, X2 = 10; maka titik optimum berada pada titik X1 = 0 dan X2 = 80 . Maka didapatkan nilai OBJ 800. Atau dengan kata lain, keuntungan akan maksimal jika kita hanya membeli 80 keranjang ukuran besar.

BAB III

KESIMPULAN

a. Untuk soal nomor satu

Dari masalah program linier pada soal nomor 1, setelah kita inputkan pada software WinQSB kita simpulkan bahwa uang tersebut bila dialokasikan diantara macam-macam investasi akan mendapatkan laba maksimum sebesar $ 2.5 million dengan nilai X1 = 5 dan X2 = 10.

Atau dengan kata lain, uang tersebut dapat memperoleh keuntungan yang maksimal sebesar $ 2.5 million dengan mengalokasikannya ke Treasury Notes $ 5 million and Bonds $ 10 million.

b. Untuk soal nomor dua

Dari masalah program linier pada soal nomor 2, setelah kita inputkan pada software WinQSB kita simpulkan bahwa pada permasalahan Program Linier tersebut nilai z maksimalnya adalah 800, dengan nilai X1 = 0 dan X2 = 80.

Atau dengan kata lain, keuntungan akan maksimal jika kita hanya membeli 80 keranjang ukuran besar.

(

)

121122

,,...,...

nnn

zfxxxcxcxcx

==+++

11112211

...

nn

axaxaxb

+++

21122222

...

nn

axaxaxb

+++

1122

...

mmmnnm

axaxaxb

+++

12

,,...,0

n

xxx

11112211

...

nn

axaxaxb

+++

21122222

...

nn

axaxaxb

+++

1122

...

mmmnnm

axaxaxb

+++

11121111

21222222

12

,,,

n

n

mmmnnmn

aaaxbc

aaaxbc

AXBC

aaaxbc

====

L

L

MMMMMM

L

T

zCX

=

AXB

0

X

AXB