JANETTE CARDOSOROBERT VALETTERdPRV JCREDES DE PETRI.ArededePetri eummodelomatem aticocomrepresenta caogr acaquevemsendoamplamenteutilizado,hamaisde30anos,emv ariosdomniosdeatua cao,entreosquaisdestacam-seossistemasdemanufatura,decomunicac ao,detransporte,deinforma cao,logsticose,deformageral,todosossistemasaeventosdiscretos. Especicar,analisarocomportamentol ogico,avaliarodesempenhoeimplementaressestiposdesistemass aoasprincipaismotivac oesparaousodaRededePetri.Estelivrotrata,numaprimeiraparte,domodelob asicodarededePetricomsuasdenicoes,propriedadeseaan alisedestas.Nasegundaparte,apresentam-seasextens oesdarededePetriquepermitemtratarosdados,otempoeainterac aocomoambienteexterno.Finalizando,um ultimocaptuloabordatemasrecentesdepesquisasobreousodaRededePetriassociada` aslogicasnebulosaelineareasuaaplicac aoaoestudodesistemashbridos.Atravesdestelivro,osautorescolocamsualargaexperienciadeensinoepesquisaemrededePetri` adisposic aodosprofessores,estudanteseengenheirosquepretendemsefamiliarizarcomesteassunto,apresentandoumsuportecompletoeatualizadoparadisciplinasdegraduac aoep os-graduacaodecursosdeinform atica,engenhariasdeautomac ao,eletricaedeproduc aoentreoutros.Jean-MarieFarinesJanetteCardosoRobertValetteRedesdePetriFlorian opolis1997ParaThomasJanetteParaMarly,FabieneAlineRobertConte udoListadeFiguras 5Prefacio 7I ModeloBasico 101 VocabularioeConceitos 111.1 Sistemasdiscretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Noc oesbasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Conceitosutilizadosnamodelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Paralelismo,cooperac ao,competic ao . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 M aquinadeestadosnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Processoseq uencial unico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 V ariosprocessosseq uenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Exemplodesistemadiscretoparalelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Apresentac aodoexemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Modelagemusandomaquinasdeestado. . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Requisitosdamodelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Apresenta caoinformaldarededePetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 Elementosb asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2 Comportamentodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Modelandodiferentesinterac oesentreprocessos . . . . . . . . . . . . . . 191.7.1 Seq uencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.2 Evoluc oessncronaseassncronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7.3 Variantesecaminhosalternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.4 Repeti cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.5 Aloca caoderecursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Definicoes 302.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.1 RededePetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 Redemarcada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.3 Grafoassociadoenota caomatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.4 RededePetripura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.5 Transic aosensibilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.6 Disparodeumatransicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.7 Conitoeparalelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.8 Seq uenciadedisparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.9 Conjuntodemarcacoesacessveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 RededePetriesistemaderegras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Sistemaderegras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Gramatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Propriedadesdomodelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.1 Redemarcadak-limitada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.2 Redemarcadaviva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 Redemarcadareinici avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Propriedadesestruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.1 Componentesconservativos,invariantesdelugar . . . . . . . . . . 472.4.2 Componentesrepetitivos,invariantesdetransi cao . . . . . . . . . 492.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 AnalisedasPropriedades 533.1 An aliseporenumerac aodemarcacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.1 Decidibilidadedapropriedadek-limitada . . . . . . . . . . . . . . 543.1.2 Procuradasoutraspropriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 An aliseestrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Componentesconservativos,invariantesdelugar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Componentesrepetitivos,invariantesdetransi cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 An aliseatravesdereducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.1 Lugarsubstituvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2 Lugarimplcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.3 Transic aoneutraouidentidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.4 Transic oesidenticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4 Relac aoentreosdiversosmetodosdean alise . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Resultadosparticulares: subclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70II Dados,TempoeAmbienteExterno 724 RedesInterpretadas 734.1 Oque eainterpretac ao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2 An alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Validac aoporsimulac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4 ModelagemcomrededePetriinterpretada . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.1 Descricaodoprocesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.2 Modelodosistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 RedesdeAltoNvel 845.1 Caractersticasgerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 OsdiferentesmodelosdeRPAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.1 RededePetricolorida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.2 RededePetripredicado-transic ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.3 RededePetriaobjetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Caractersticasdosmodelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3.1 Achacomoelementodeinformacao . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3.2 Dobramentodastransic oesedoslugares . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Escolhadomodelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 RedesdePetri earepresentacaodotempo 1056.1 RededePetritemporizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.1 Tempoassociadoaolugar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.2 Tempoassociado` atransicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2 RededePetritemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.1 Representac aodowatchdog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.2 Comparac aoentreosdoismodelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3 RededePetriestoc astica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.1 Limitedasredestemporizadaetemporal . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.2 Duracaodesensibilizac aoestoc astica . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3.3 ObtencaodeumacadeiadeMarkov. . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127 Metodosdeimplementacao 1137.1 Abordagemprocedimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2 Abordagemnaoprocedimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.1 Princpio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.2 Comparac aocomaabordagemprocedimental . . . . . . . . . . . 1157.3 Abordagemdescentralizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168 RedesdePetri,logicasnaoclassicasesistemashbridos 1188.1 RedesdePetrinebulosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.1.1 Requisitosparamodelosdesistemasdinamicos . . . . . . . . . . 1188.1.2 CombinandoredesdePetrieconjuntosnebulosos . . . . . . . . . 1198.2 RedesdePetricomosem anticaparal ogicalinear . . . . . . . . . . . . . 1228.2.1 Logicalinear: noc oesdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.2.2 DescricaodarededePetriusandologicalinear . . . . . . . . . . . 1238.2.3 Seq uenciadetironalogicalinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.3 RedesdePetriparasistemashbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.3.1 Sistemadeproduc aohbrido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.3.2 Tecnicasdemodelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.4 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131AGrafos 132A.1 Denicoesformaisenotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.2 Conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.3 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136BCalculodoscomponentes 137B.1 Princpiodoc alculodeumabase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140B.3 Algoritmosimplicadoeprocuradassolu coespositivas . . . . . . . . . . 141Bibliografia 144Indice 149ListadeFiguras1.1 Sistemas: a)discretizado;b)discreto;c)aeventosdiscretos . . . . . . . . 121.2 a)Sistemadetriagem;b)Maquinadeestados . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Explos aocombinatoriadon umerodeestados . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Triagemdeobjetospesadoscomestoqueintermediario . . . . . . . . . . 161.5 Conjuntodemaquinascomunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 RededePetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Seq uenciadeprocessos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 a)Divisao;b)Junc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9 a)Caminhosalternativos;b)Repetic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10 Partilhamentodeumrecurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 a)Sistemadetransporte;b)ModelodocircuitoN0. . . . . . . . . . . . 241.12 ModelodoscircuitosN1eN2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.13 a)Sistematipobatelada;b)ModelorededePetri . . . . . . . . . . . . . 261.14 Grafodosistematipobatelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.15 Celuladefabricac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1 RededePetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 RededePetrin aopura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Seq uenciadedisparodetransic oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Redecomseq uencian aodisparavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Grafodemarcacoesacessveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 RededePetrin aolimitada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7 Redeparenteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8 Transic aoquasevivaenaoviva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9 Grafodasmarcacoes(transic aoquaseviva). . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10 Transi caoquasevivaeseq uenciainnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.11 a)Reden aoreinici avel;b)Grafoassociado . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.12 Redecompropriedadesdependentesdamarcacaoinicial . . . . . . . . . 472.13 Invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.14 Exerccio3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.15 Exerccio4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1 a)Lugarsubstituvelp4;b)Simplicacaodolugarp4. . . . . . . . . . . 613.2 a)Lugarimplcitop1;b)p1simplicado;c)Contra-exemplo . . . . . . . 623.3 a)Lugaresidenticos;b)Lugarimplcitodegenerado . . . . . . . . . . . . 633.4 Transic aoneutraa)t;b)d(n aosimplic avel) . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 a)Transi coest1et2identicas;b)Simplica caodet2. . . . . . . . . . . . 653.6 Caracteriza caodasmarcacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.7 Redecomconjuntodemarcac oesdiferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.8 a)Grafodeeventos;b)Circuitoselementares . . . . . . . . . . . . . . . . 693.9 An aliseporreduc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1 Disparodetransicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Associac aodeumaatividadeaumatransic ao . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Intera caodarededePetricomoambienteexterno . . . . . . . . . . . . 774.4 Marcac oesacessveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5 Estac aodecoletadepetroleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6 Modelodocontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.7 Modelodaplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1 Comportamento: a)detalhado;b)ums oprocesso;c)geral . . . . . . . . 865.2 Leitoreseescritores: redecompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Leitoreseescritores: rededobrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 RededePetricolorida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 RededePetripredicado-transicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.6 RededePetrisubjacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1 Temporizac aodarededePetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2 OtempoearededePetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3 Watchdog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4 a)RededePetriestocastica;b)GrafoGA(R; M) . . . . . . . . . . . . . 1127.1 Princpiodojogador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.1 a)P Q R,b)(P Q) (P R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.2 Recursoseseq uencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.3 Reator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.4 Receitadefabricacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.5 Explicitac aodotempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.6 Durac aonaocalcul avelapriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.1 a)Grafoconexo;b)Grafon aoconexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.2 Grafoa)fortementeconexo;b)fracamenteconexo. . . . . . . . . . . . . 135PrefacioHistoricoArededePetri eumaferramentagr acaematem aticaqueseadaptabemaumgrande n umero de aplicac oes em que as no coes de eventos e de evolu coes simult aneas s aoimportantes.Esta teoria e muito jovem, pois nasceu da tese, intitulada Comunicacao com automatos,defendida por Carl Adam Petri em 1962 na Universidade de Darmstadt, Alemanha. CarlAdamPetri,nascidoem1926emLeipzig, eprofessornaUniversidadedeBonn. AnatolW. Holtfoi seduzidoporestetrabalhoesobsuaimpulsaoumgrupodepesquisadoresdoMassachussettsInstituteof Technology-MIT, EstadosUnidos, lancaasbases, entre1968e1976, doquesetornouasredesdePetri. Entreestespioneirosdestacam-seF.CommonereM.Hack.Entre as aplicac oes pode-se citar: avalia cao de desempenho, an alise e vericacao for-mal em sistemas discretos, protocolos de comunicac ao, controle de ocinas de fabricacao,concepc ao de software tempo real e/ou distribudo, sistemas de informa cao (organiza caode empresas), sistemas de transporte, logstica, gerenciamento de base de dados, interfacehomem-m aquinaemultimdia.Em relacao ao controle de sistemas de fabricac ao automatizada, a aplicac ao de redesdePetri efetuou-sedeincionaFranca, sobaformaumpoucomodicadadanormaGrafcet, paraaprogramac aodeaut omatos program aveis industriais. EstanormafoiinicialmentepropostaporumacomissaodaAfcet-Associationfrancaisedessciencesettechnologiedelinformationetdessyst`emesem1977esetornouumanormaindustrial(C03.190-UTE) na Franca, em 1980, e em seguida em nvel europeu atraves do escrit oriocentraldaCEIsobreferenciaIEC848.Acomplexidadedos sistemas aeventos discretos, emparticular nocasodesiste-mas de fabricac ao automatizada, leva a uma decomposic ao hierarquica com varios nveisdecontrole. Emgeral s aoutilizadoscinconveis: planejamento, escalonamento, coor-denac aoglobal, coordenacaodesub-sistemasecontroledireto(aut omatosprogram aveisdiretamente conectados aos sensores e aos atuadores). Considerando a utilizac ao da rededePetrinonveldecoordenac ao,ospasesmaisativoss aoaAlemanha(SociedadePSIemBerlim)eoJapao(SociedadeHitachi). NaFrancapode-secitaraSociedadeIXI(Toulouse).As vantagens da utilizacao da rede de Petri podem ser resumidas pelas considerac oesseguintes:pode-se descrever uma ordem parcial entre varios eventos, o que possibilita levar-seemcontaaexibilidade;osestados,bemcomooseventos,s aorepresentadosexplicitamente;uma unicafamliadeferramentas eutilizadaatravesdaespecicacao,damodela-gem,daan alise,daavaliac aododesempenhoedaimplementacao;uma unica famlia de ferramentas e utilizada nos diversos nveis da estruturahier arquicadocontrole,oquefacilitaaintegrac aodestesnveis;uma descric ao precisa e formal das sincronizac oes torna-se possvel, o que e essencialparaalcancar-seanecess ariasegurancadefuncionamento.OrganizacaodolivroEste livro corresponde ` as notas de aula utilizadas, desde 1991, na disciplina Sistemasdetemporeal I docursodeP os-Graduac aoemEngenhariaEletricadaUniversidadeFederaldeSantaCatarina.Olivroe organizadoemduas partes. Aprimeiraparte tratadomodelob asico,chamado tambem de rede de Petri ordinaria. O captulo 1 faz uma introduc ao, iniciandocomadenic aodesistemasaeventosdiscretos, situandodemodoinformal omodelo,suaimportanciaeareasdeaplicacao.No captulo 2 s ao apresentados os aspectos basicos do modelo rede de Petri: denic oesepropriedades. Comorealizaraanalisedestasedescritonocaptulo3.Einteressantecomplementar o estudo deste captulo com o software ARP de an alise de redes de Petri,desenvolvidonoLCMI-Laborat oriodeControleeMicroinform aticadoDepartamentodeEngenhariaEletricadaUFSC(j adistribudoparaalgumasuniversidades, inclusivedaFran ca,BelgicaeInglaterra).Asegundapartedestelivrotratadaintera caoentrearededePetri eosdados, otempoeoambienteexterno. Ocaptulo4apresentaasredesdePetri interpretadas,quepermitemrepresentarainterac aocomoambienteexterno. Nocaptulo5s aoapre-sentadas as redes dealtonvel, quepermitemindividualizar acha, permitindoqueestatransporteinformac ao,aumentandoonveldeabstrac aodomodelo. Asdiferentesmaneirasdeexplicitarotempos aotratadasnocaptulo6.O captulo 7 trata dos metodos de implementac ao de sistemas representados por redesdePetri.Ocaptulo8serefereaaplicac oes mais recentes domodelo. TratadautilizacaoconjuntadarededePetri comoutrasteoriascomoalogicanebulosaealogicalinear.A primeira permite modelar a marcac ao imprecisa, representando, assim, situa coes reaisem que a informa cao sobre o sistema e incompleta. A segunda permite expressar a noc aode recursos, que a l ogica cl assica n ao permite. Este captulo trata tambem da utilizacaoderedesdePetri emsistemashbridos, comoossistemasdetipobatelada(batch, emingles),quecontemumapartecontnuaeumapartedirigidaporeventosdiscretos.Durantetodoolivroseraoapresentadasaplicac oesdarededePetriesuasextensoesnamodelagemenaimplementac ao,destacando-sea areadeautomacaodamanufatura.EstelivropodetambemserempregadonumcursoderedesdePetrideumsemestrenagraduac ao,utilizandooscaptulos1a4epartedoscaptulos6e7.AgradecimentosOs autores agradecemaos alunos e colegas que, atraves de perguntas, d uvidas esugest oes, trouxeramcontribuic oesaestetrabalhoeaBrigittePradin-Chezalviel queparticipoudaelaborac aodoitemRedesdePetricomosemanticaparalogicalinear.AgradecemtambemaUFSC, aCAPES, aoCNPqeaoLAASpor teremoportu-nizadoestelivroeoapoiodaequipedoLaboratoriodeControleeMicroinform aticaLCMI/EEL/UFSCqueajudouatorn a-lopossvel.Emparticular,agradecemaEduardoSouza(esms)que,duranteavers aonal,comprossionalismoegentileza, prestouinestim avel auxlionasemergenciasinformaticas,aoscolegasCarlosAlbertoMazieroeGuilhermeBittencourtqueacudiramaospedidosdesocorrolatexianos,aHugoLeonardoGosmannpelaajudanaeditorac aodepartedavers aonaleaMariaJoanaZucco,EdaBrustolineAnaL uciadoAmaralpeloapoioerapideznarevis ao.J.C.R.V.Florian opolis,SCMaiode1997ParteIModeloBasicoCaptulo1VocabularioeConceitosOmodeloderededePetrifoipropostoporCarlPetriparamodelaracomunicacaoentreautomatos, utilizados, naepoca1, pararepresentarsistemasaeventosdiscretos.Parasituaroleitornesta areadeatuac ao, eapresentadainicialmenteacaracterizacaodetais sistemas, eos conceitos b asicos utilizados nasuamodelagem. Am aquinadeestados nitos, bastante usada para representar tais sistemas, e discutida, apresentando-sesuaslimita coes.Antesdadenic aoformaldarededePetrinocaptulo2, erealizada,nestecaptulo,umaapresentac aoinformal. Oobjetivoefazercomqueoleitorpossa, desdeoincio,realizaramodelagemdealgunssistemasquelhes aofamiliares. Poderavericar,assim,o quanto este modelo e poderoso para representar os diferentes processos existentes numsistema, permitindo estruturar, de forma organizada, a modelagem. Mesmo sem estudarainda as tecnicas de an alise das propriedades, apresentadas no captulo 3, podera observarqueoformalismodomodeloauxilia, inclusive, adetectareventuaiserrospresentesnaespecic aoinformal.1.1 SistemasdiscretosDe um modo geral, um sistema discreto e um sistema no qual as mudancas de estadoocorrememinstantes precisos. Costuma-se situar os sistemas discretos emoposic aoaossistemascontnuos. Estaclassicac aodependedopontodevistaemquesecolocaoobservador edependedograudeabstrac aodesejado. Por exemplo, considereumafresadoranumsistemademanufatura. Dopontodevistadaoperac aodefresagem, osistema deve ser modelado por um modelo contnuo. Do ponto de vista da coordenac ao dosistemademanufatura,considerandooseventosinciodefresagememdefresagem,osistema deve ser modelado por um modelo a eventos discretos. Pode-se, de fato, encontrardiversasdenic oesdetaissistemas,representadosnaFIG.1.1,queseraoenumeradosaseguir.Sistemas discretizados: s aosistemas estudados somente eminstantes precisos.Trata-se, portanto, desistemas contnuos observadoseminstantes discretos (sistemasamostrados). As vari aveis de estado evoluem de maneira contnua, sem mudanca brusca1Recentemente, foi proposta a teoria de automatos hbridos, para modelar os sistemas que possuemum componente contnuo e um componente discreto (ver captulo 8).1.2Nocoesbasicas 12Figura1.1: Sistemas: a)discretizado;b)discreto;c)aeventosdiscretosdecomportamento, masesomenteainstantesdiscretosdotempoqueh ainteresseemconhecerseuvalor.Sistemasdiscretos: s aosistemasparaosquaisosvaloresdasvari aveisdeestado,ou ao menos de algumas delas, variam bruscamente a certos instantes. Entretanto, estesinstantesnaopodemnecessariamenteser previstoseoconhecimentodoestadoauminstantedadonaopermiteque,semcalculo,seconhe caoestadoseguinte.Sistemas a eventos discretos: s ao sistemas modelados de tal sorte que as vari aveisdeestadovariambruscamenteeminstantesdeterminadosequeosvaloresdasvariaveisnosestadosseguintes podem ser calculados diretamente a partir dos valores precedentesesemterqueconsiderarotempoentreestesdoisinstantes.Eestaclassedesistemasqueseraestudadanestelivro.1.2 Nocoesbasicas1.2.1 ConceitosutilizadosnamodelagemOsconceitosb asicosutilizadosnamodelagemdeumsistemabaseadanumaaborda-gemporeventosdiscretoss aoosseguintes:Eventos: saoosinstantesdeobservac aoedemudancadeestadodosistema.Atividades: sao as caixas-pretas utilizadas para recuperar e esconder a evoluc ao dosistemafsicoentredoiseventos. Portanto,oseventoscorrespondememgeralaoincioeaomdeumaatividade.Processos: saoseq uenciasdeeventosedeatividadesinterdependentes. Porexem-plo,umeventoprovocaumaatividade,queprovocaumeventodemdeatividade,queporsuavezpodeprovocarumaoutraatividadeeassimpordiante.1.3Maquinadeestadosnitos 131.2.2 Paralelismo,cooperacao,competicaoAevolucaodosprocessosnumsistemapodesedardeformasimultaneaoun ao. Seestased adeformasimult anea, osprocessospodemsercompletamenteindependentesourelativamenteindependentes.Estaindependenciarelativasignicaquecertasatividadess aototalmenteindepen-dentesentresi,enquantoqueoutrasatividadesnecessitamdepontosdesincronizacao,istoe, deeventoscomunsav ariasevoluc oes. Existemdiferentesformasdeinteracaoentreprocessos:Cooperacao: osprocessosconcorremaumobjetivocomum; procura-sedescreverumaindependenciadeprocessosantesdeumpontodesincronizac ao.Competicao: osprocessosdevemteracessoaumdadorecursopararealizarsuatarefa. Se existisse um n umero suciente de recursos, os processos seriam completamenteindependentes. Trata-se, portanto, de um partilhamento de recursos resolvido, em geral,porexclusoesm utuas. Procura-seportantodescreverumaexclus aoentredoisprocessosapartirdeumpontodesincronizac ao.Pseudo-paralelismo: oparalelismoeapenasaparenteeoseventos, mesmoinde-pendentes, nuncaser aosimult aneos. Elesseraoordenadosporumrel ogiocomum.Eocasodev arias tarefas inform aticas sendoexecutadas num unicoprocessador. Esteexecutasomenteumainstru caoporvez.Paralelismoverdadeiro: oseventospodemocorrersimultaneamente. Istosigni-ca que n ao existe uma escala de tempo comum sucientemente precisa para determinarqual evento precedeu o outro. Ocorre quando v arias tarefas inform aticas s ao executadasnumcomputadorparalelo,comumprocessadoralocadoparacadatarefaindependente.1.3 Maquinadeestadosnitos1.3.1 Processoseq uencial unicoArepresentac aocl assicadeumsistemaaeventosdiscretos,cujon umerodeestadose nito, consiste em enumerar todos os estados possveis e a descrever os eventos do tipomudan casdeestado,isto e,descreveropr oximoestadoapartirdecadaestado.Omodelomatem aticoM=(E, A, , E0)echamadomaquinadeestados nitoseconsisteemumconjuntonitodeestadosEcomumestadoinicialE0,umalfabetodeentradaAeumafunc aodetransic aodeestado:EA Equeassociaacadaparestado-entradaoproximoestado. Umgrafoeassociadoaomodelo, cujoconjuntoden oseoconjuntodeestadosE, eoarcoquelevadeumestadoEiaumestadoEjeetiquetadopeloeventoa A,talque(Ei, a) = Ej.Estemodelomatematicoexprimebemanoc aodeevento, eparcialmenteadeati-vidade(umestadoentredoiseventos); naoexprime, entretanto, anocaodeprocesso(evolu caosimult aneadediversosprocessosparalelos). Umam aquinadeestadosnitosdescreve,defato,apenasum unicoprocessoseq uencial.Considere um sistema simples de triagem numa esteira Tem movimento. Os objetospesadosdevemserretiradosporumoperador. UmsensorPindicaapresencadeumobjetopesado; quandoistoacontece, aesteiradeveparar paraqueooperador possaretirar o objeto. Uma vez retirado, a esteira entra novamente em movimento (FIG. 1.2.a).1.3Maquinadeestadosnitos 14a)PaMPb)PPPPTFigura1.2: a)Sistemadetriagem;b)M aquinadeestadosAFIG.1.2.bmostraamaquinadeestadodestesistema: E= M, Pa eoconjuntodeestados. Oestadoinicial Mrepresentaaesteiraemmovimento, eoestadoPa, aesteiraparada. OalfabetoA= P, Peformadopeloseventospossveisdeocorrernosistema. OeventoPindicaapresencadeumobjetopesado,eoeventoP,aausencia.Seoestadoatual dosistemaeM, aocorrenciadoeventoPleva-oaoestadoPa. Estecomportamento e traduzido pela transi cao de estado (M, P) = Pa. As demais transi coesdeestados aodadaspor: (Pa, P) = M,(Pa, P) = Pa,(M, P) = M.1.3.2 Variosprocessosseq uenciaisQuando enecessariodescreverv ariosprocessosseq uenciais,asoluc aomaissimples erepresentar osistema por umconjuntodem aquinasde estadonito. Seestas maquinass ao independentes, n ao existe nenhum problema. Entretanto, quando existe competicao,eprincipalmentequandoexistecooperac aoentrediversos processos, naoexisteinde-pendenciaentreasm aquinasquedever aosincronizar-seentresi. Tem-se,ent ao,ospro-cessosseq uenciaiscomunicantes. Asincronizac aoedescritafazendointervirnafuncaodeumam aquina,osestadosEi Edeoutrasm aquinas.A FIG. 1.3 mostra as m aquinas de estado M1 e M2 (ambas com n = 2) e a composicaode ambas numa m aquina de estado MG que descreve o comportamento global do sistema,comn = 4(ossinaiscompartilhadosn aos aomostrados).2431323 14M2: M1:412MG:Figura1.3: Explosaocombinat oriadon umerodeestadosOsprocessosseq uenciaiscomunicantespodemserdecompostosdediversasmanei-ras, podendotal decomposicaosermaterial oufuncional (noexemplodaFIG. 1.2.badecomposic aoematerial). Qualquerquesejaometodoutilizado, arepresenta caodascomunica coes entre as m aquinas difere da represen cao interna do seq uenciamento de umam aquina.Eporestarazaoqueasescolhasdedecomposic aoiniciaisseraodicilmente1.4Exemplodesistemadiscretoparalelo 15colocadasemquest ao. Portanto, eimpossvelutilizarumaabordagemporrenamentossucessivos(top-down).Enecessariodesdeoincioescolherumadecomposicaoquenaoser acolocadaemcausaaposteriori.ExplosaocombinatoriadeestadosSe existem informa coes partilhadas ou troca de sinais entre as maquinas, e necess arioanalisar o comportamento global do sistema. Esta an alise s o podera ser feita recalculandoumamaquinadeestadoquedescrevaosistemaglobal. Nestecaso, ocorreainevit avelexplos aocombinatoriadon umerodeestados. Defato, acomposicaodekm aquinas,tendocadaumanestados,produzumam aquinadenkestados.NaFIG. 1.3, n=2paraasm aquinasM1eM2eamaquinacompostaMGpossuin=4. Observenatabelaabaixoque` amedidaquenekaumentamocorreaexplosaocombinat oria:n 2 2 3 3 4 4 4 6 6 10 6 6k 3 4 3 4 2 3 4 2 3 3 4 5nk8 16 27 81 16 64 256 36 216 1031296 7776Nao-independenciadesubmaquinas,bloqueiomortalOra, aan alisedocomportamentoglobal dosistemaeindispens avel, poisumcerton umero de problemas graves podem aparecer em sistemas paralelos. O mais conhecido e obloqueio mortal. Em certas congurac oes, nenhuma m aquina de estado pode evoluir, poiscadamaquinaesperaumadeterminadaevoluc aodeumaoutram aquina. Tal evoluc aon aopodeocorrer, poisaoutram aquinaest aigualmentenumestadodeespera. Estefen omenoser ailustradoatravesdeumexemplo.1.4 Exemplodesistemadiscretoparalelo1.4.1 ApresentacaodoexemploConsidereumsistemadetriagemcomestoqueintermediarioqueutilizaesteirasro-lantes. TalsistemaerepresentadonaFIG.1.4. Osobjetoss aotransportadosporuma unicaesteiraT1eosobjetospesadosdevemserretiradoseencaminhadosparaaesteiraT2. Sup oe-sequeacadenciadosobjetoschegandoemT1e, ` asvezes, maiorqueadosobjetossaindodeT2,oqueexigeumarmazenamentointermediario(buer).AesteiraTAe utilizadacomointermedi ariaparaarmazenartemporariamenteosob-jetos pesados, evitando assim que o uxo de chegada de objetos em T1 seja interrompido.Sup oe-se que o comprimento de TA e suciente para evitar que esta seja totalmente ocu-pada, oquepermiteconsidera-lacomumacapacidadedearmazenamentoinnita. AesteiraTAecontroladapor dois sinais AeRqueafazemavancar erecuar deumaposic ao(comandodotipopassoapasso).OroboRbeutilizadoparadeslocarosobjetosdaesteiraT1paraaesteiraTA(ativi-dadeP1)edeTAparaT2(atividadeP2). UmsensorFindicaomdosmovimentosP1ouP2.Utilizando uma decomposic ao ligada ao material (hardware), cada subsistema (estei-ras T1e TAe rob o Rb) e descrito por uma m aquina de estados nitos. O sistema e entao1.4Exemplodesistemadiscretoparalelo 16FP1P2RbA RPT1TAT2MFigura1.4: Triagemdeobjetospesadoscomestoqueintermedi ariodescrito por tres m aquinas de estados nitos: T1, TA e RB. A m aquina T1 correspondeaocontroledaesteiraT1, am aquinaTAaocontroledaesteiraTAeamaquinaRBcorrespondeaocontroledorob oRb. Omecanismodefuncionamento eoseguinte:se um objeto pesado e detectado pelo sensor P(e gerado o evento P= 1), a esteiraTAdeveavancardeumpasso(A); aseguirosinalCP1eenviadoaocontroledorob o,oqueprovocaaexecu caodaatividadeP1(estado6);se a esteira T2est a livre e a esteira TAcontem ao menos um objeto (condic ao OK),o rob o executa a atividade P2e a esteira TAdeve recuar um passo (envio da ordemCAparaocontroledorob oeexecuc aodaatividadeRporTA).1.4.2 ModelagemusandomaquinasdeestadoAs tres maquinas de estados nitos que descrevem este sistema de triagem s ao dadasna FIG. 1.5. Os crculos representam os estados e os arcos, as transic oes entre os estados.Asetiquetasassociadasaosestadosdescrevemasatividades, ouasinformacoesuti-lizadasporoutrasm aquinas. Porexemplo, Massociadaaoestado3dam aquinaT1signicaque, nesteestado, aesteiraT1avanca(emmovimento). AetiquetaCR(con-troleR), associadaaoestado5dam aquinaRB(rob o), indicaqueestaesperaqueTArealizeaatividadeR(estadodeespera).Asetiquetasassociadasaosarcosdescrevemoseventosqueprovocamamudan cadeestado(passagemdoestadoatualaopr oximoestado). Porexemplo,Pdam aquinaT1corresponde` acondi caoP=1queindicaachegadadeumobjetopesado. AetiquetaCRassociadaaumarcodamaquinaTAindicaqueamudancadeestado(de1para7)ocorrequandoam aquinaRBest anoestado5.Ascomunicac oesentreasm aquinasTAeP(T1eindependente)s aofeitasatravesdeCR,deCP1edosensorF. Considereosistemanoseguinteestado:m aquinaTAnoestado1,RBem2eT1em3;aesteiraTAcontemobjetos pesados e aesteiraT2acabade liberar umlugar(condic aoOK).1.5Requisitosdamodelagem 179M3 10PPP24FCRFR26P1OK.CP15FCP1RB :R ACP1F7FVFRP.CRCRTA : T1 :18Figura1.5: Conjuntodem aquinascomunicantesA m aquina RBvai passar do estado 2 ao estado 4 e a atividade P2 vai ser executada. Seduranteestetempo chega um objeto pesado, a m aquina T1 vai passar para o estado 10 eTA para o estado 8. Ap os a execucao de P2 (sinal F),a m aquina RBvai passar para oestado 5;ap os A (sinal FA), a maquina TA vai para o estado 9. O sistema estara ent aototalmentebloqueado(bloqueiomortal ), poisTAesperaqueRBexecuteaatividadeCP1enquantoRBporsuavezesperaqueTAexecuteR! 21.5 RequisitosdamodelagemExistemtecnicas nateoriadem aquinas deestados nitos quepermitemevitar obloqueiomortal. Entretanto,umpontoimportante equeaestruturadosistema ecom-pletamente perdida. Dois arcos (transic oes) saindo do mesmo estado podem representaruma decis ao entre duas opc oes diferentes ou dois eventos independentes. Deve-se ressal-tar que o principal proposito de uma especicac ao clara de um sistema a eventos discretoseexplicitarasinterac oesentreosestadosdoprocessoeosistemadetomadadedecisaoque ira control a-lo. Outro ponto importante e que a introdu cao de modica coes, mesmopequenas,implicaaconstruc aodeumanovam aquinadeestados.O modelo de rede de Petri que introduziremos a seguir oferece, alem do conhecimentocomportamentalsobreosistema,tambemoconhecimentoestruturalcomoseravistoaolongodestelivro.1.6 ApresentacaoinformaldarededePetri1.6.1 ElementosbasicosOselementosb asicosquepermitemadenic aodeumarededePetri,emn umerodetres, saopolivalenteseemgrandemedidapodemserinterpretadoslivremente. Estes2O smbolomarca o nal de um exerccio resolvido.1.6Apresenta caoinformaldarededePetri 18elementoss aoosseguintes:Lugar(representadoporumcrculo): podeserinterpretadocomoumacondic ao,umestadoparcial, umaespera, umprocedimento, umconjuntoderecursos, umestoque, umaposic aogeogr acanumsistemadetransporte, etc. Emgeral, todolugar temumpredicadoassociado, por exemplo, maquinalivre, pecaemespera(FIG.1.6);Transicao(representadaporbarraouret angulo): eassociadaaumeventoqueocorrenosistema,comooeventoiniciaraoperacao(transic aotnaFIG.1.6);Ficha(representadoporumpontonumlugar): eumindicadorsignicandoqueacondic aoassociadaaolugarevericada. Poderepresentarumobjeto(recursooupeca)numacertaposi caogeograca(numdeterminadoestado),ouaindaumaestruturadedadosquesemanipula. Porexemplo, umachanolugarmaquinalivreindicaqueam aquinaest alivre(predicadoverdadeiro). Sen aotemchasnestelugar, opredicadoefalso, porconseguinteam aquinanaoestalivre. Senolugar pecas emesperahouvessetres chas, indicariaqueexistemtres pecas emespera.tb)m aquinalivrepe caemesperam aquinaemtoperac aoa)operac aom aquinalivrepe caemesperam aquinaemFigura1.6: RededePetriA primeira observa cao a fazer e que estas diversas interpretac oes dos lugares e chass aobastantevariadas. Podemserutilizadasparadescreverentidadasabstratascomocondic oesouestados, mastambementidadesfsicascomopecasoudep ositos. Pode-setambemchegaraumabanalizac aocompleta, nonvel descritivo, entreaspecas, ferra-mentase, demodogeral, entretodososrecursosutilizadosnaf abrica.Eestagrandebanalizacaoquepermiteumavisaosinteticadosistemaasermodeladoequeautorizacertosprocedimentosdean alise.1.6.2 ComportamentodinamicoOestadodosistemaedadopelarepartic aodechasnoslugaresdarededePetri,cadalugarrepresentandoumestadoparcial dosistema. Acadaeventoqueocorrenosistema, eassociadaumatransic aonomodeloderededePetri. Aocorrenciadeum1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 19eventonosistema(quefazcomqueestepassedoestadoatual aoproximoestado)erepresentado,nomodelo,pelodisparo datransic aoaoqualesteest aassociado.Odisparodeumatransic aoconsisteemdoispassos:retiraraschasdoslugaresdeentrada, indicandoqueestacondi caonaoemaisverdadeiraap osaocorrenciadoevento,edepositarchasemcadalugardesada, indicandoqueestasatividadesestar ao,ap osaocorrenciadoevento,sendoexecutadas.Por exemplo, a ocorrencia do evento iniciar a operacao, associado `a transic ao t(FIG. 1.6.a), s opodeacontecersehouver(aomenos)umachanolugarmaquinali-vree(aomenos)umachanolugarpecaemespera. Aocorrenciadoeventoiniciaraoperac ao, nosistema, equivaleaotirodatransic aotnarededePetri: eretiradaumacha do lugar maquinalivre e uma cha do lugar pecaemespera, e e colocada uma chanolugarmaquinaemoperacao(FIG.1.6.b).Valeaqui umaobservacaosobreostermosretirada(oudesaparecimento) eco-locac ao (ou criacao) de chas quando do disparo de uma transic ao t ` a qual e associadoumeventoedosistemaqueest asendomodelado.O disparo de t corresponde ` a ocorrencia do evento e no sistema real, que o faz passarde um estado atual Ei ao pr oximo estado Ei+1 (ver item 1.3). O estado Ei e representadona rede pela distribui cao de chas nos lugares, chamada marcacao Mi. Do mesmo modoque osistemas oatingir aoestadoEi+1ap os aocorrenciadoeventoese estiver noestado Ei, assim tambem a transicao t s o ser a disparada se a marcac ao for Mi(marcac aoemque, emparticular, oslugaresdeentradadetest aomarcados). Amarcac aoMi+1,correspondenteaoestadoEi+1,seraatingidaaposodisparodatransic aot.Odesaparecimentodaschasnoslugaresdeentradadetindicaqueascondicoesoupredicados associados `aqueles lugares n ao s ao mais verdadeiros, e o surgimento de chasnos lugares de sada indica que os predicados associados a estes lugares s ao verdadeiros.O comportamento din amico do sistema e, assim, traduzido pelo comportamento da rededePetri.1.7 Modelando diferentes interacoes entre processosComofoi vistonoitem1.2.1, osprocessospodemevoluiremcooperac ao, emcom-petic ao e em paralelo. Dependendo do nvel de detalhamento da modelagem, um processopodeserrepresentadoporsomenteumlugar, ouumaatividade. Osprocessospodemaindaevoluiremseq uencia,deformarepetida,etc. Estasdiferentesinteracoesentreosprocessos, num sistema a eventos discretos, ser ao modeladas, a seguir, de modo informal,utilizandoarededePetri.1.7.1 Seq uenciaConsiderearededaFIG.1.7. Estamesmaredepoderepresentar:Seq uenciadeumprocessodefabricac ao. OslugaresP1, P2eP3representamasdiferentes fases da operac ao sobre a peca, que devem ser encadeadas em seq uencia.Astransic oest1, t2et3descrevemoseventosdepassagemdeumafaseaoutrae1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 20as chas correspondem aos artigos. Um artigo esta sendo usinado em P1(fase J1),enquantoqueumoutroartigoesta, nestemomento, nafaseJ2, tendojapassadopelafaseJ1(lugaresP1eP2).P1t1P2t2P3t3J1J2Figura1.7: Seq uenciadeprocessosTrechodoitiner ariode umsistemade transporte. Este sistemae baseadoemveculosqueseguemcircuitospre-tracadosnosolo. Nestecaso,oslugaresdescre-vemassec oes; astransicoescorrespondem` apassagemdoveculodeumasec aoaoutra(passagemporumsensornosolo)easchasrepresentamosveculos. Umveculonasec aoSierepresentadonarededePetriporumachanolugarPi. Oevento sairdasecaoSieentrarnasecaoSi+1e associado `a transic ao ti. Assim, amarcac ao da rede da FIG.1.7 representa um veculo emP1e outro veculo emP3,indicandoqueepossvelaocorrencia(emparalelo!) doseventossairdeS1esairdeS3.NosdoiscasosacimaarededePetri eamesma,oqueexprimeque,fazendo-seabs-trac aodosdetalheseconsiderando-seapenasaestruturadosencadeamentosdeeventoseatividades,estesdoissistemassaoidenticos.1.7.2 Evoluc oessncronaseassncronasSearededePetridaFIG.1.7representaomodelodeumprocessodefabricac ao,aschasemP1eP3exprimemque,simultaneamente,existeumartigoqueestanafaseJ1e outro artigo que est a na fase J2. Do mesmo modo, se esta gura representa o trecho deumsistemadetransporte, entao, ve-sequesimultaneamentedoisveculoscirculamnomesmoitiner ario,emsec oesdiferentes(P1eP3). Aevolucaodestasduaschas(artigosouveculos),taiscomoelassaodescritaspelarede,s aoindependentesesedesenvolvemdemaneiratotalmenteassncrona: naoh anenhumacorrelacaoentreomdafaseJ1eomdafaseJ2.No caso da FIG. 1.8.a e descrito um procedimento de divisao ou separacao. O m daoperac aoP1consisteemsepararumartigo(nestecasoJ1)paracriardoisnovosartigoscorrespondendoaprocessosdefabricac aodiferentes. Portanto, osdoisartigosJ2eJ3s aocriados, simultaneamente, demodosncrono. Destepontodevista, eles n aos aoindependentes. Entretanto,ap ossuacriac ao,evoluemindependentementeumdooutrodemodoassncrono. OeventodesaparecimentodeumartigoJ1eacriacaodemaisumartigoJ2eJ3edescritodemodoclaroesinteticopelatransic aot2. Amarca caodaFIG. 1.8.aindicaqueoartigoJ1est asofrendoaopera caoP1(umachaemP1)eque, aomesmotempo, osartigosJ2eJ3tambemest aoemoperacao(lugaresP2eP3marcados).NocasodaFIG. 1.8.b, osartigosevoluemindependentemente, paralelamenteedemodoassncrono(transicoest1et2)nosdiferentesprocessosexcetonatransic aot3que1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 21J2b) a)P1P1t2t1P2P4P3J4J1J3J2t2J1J3t3Figura1.8: a)Divis ao;b)Juncaorequer, parainiciar, apresencasimult aneadeumachaemP2eumachaemP4. Aesta transic ao pode estar associado, por exemplo, o evento iniciaramontagem. O lugarP2poderepresentar,nestecaso,umam aquinalivre,eolugarP4,pe casesperandonumdep osito, aquantidadesendodadapelon umerodechasnolugar. Odesaparecimentodestas duas chas (quandodotirode t3) ser asncronoe criar anomesmoinstanteumanovachaquesofrer aaprimeiraoperac aodeseuprocessodefabricac ao(J4). Apassagem destas evoluc oes assncronas a uma evoluc ao sncrona implica necessariamenteuma espera nos lugares P2ou P4, dependendo de qual condic ao e verdadeira em primeirolugar: apecaesperaqueam aquinaselibere,ouamaquinaesperaquehajaumapecanodeposito.1.7.3 VariantesecaminhosalternativosAFIG. 1.9.arepresentaocasoemque, ap osumafase(ouoperac ao)P1, tem-seaescolhaentreasseq uenciasP2P3ouP4P5. Emseguida,executa-seP6. Paraexecutara seq uencia P2P3,a transi cao t2deve ser disparada,e para executar P4P5,a transi caot3deveserdisparada. Emboraasduastransic oesestejamsensibilizadas, apenasumadelas pode ser disparada,pois a cha e retirada do lugar P1durante o disparo. A partirdestemomento, aoutratransic aon aopodemaisdisparar. Entretanto, aestruturadarededePetri n aod anenhumainformac aosobreomecanismodetomadadedecisoesparaaescolhadaalternativaaefetuar(t2out3). Elasecontentadeindicarqueestainformac aodeveestardisponvelnonaldafaseP1.SearedemodelaotrechodoitinerariodeumsistemadetransportecomolugarPiassociado` atravessiadasec aoSiolugarP1representaoveculonumasecaoquepermite dois caminhos alternativos: passar pelas sec oes S2e S3oupelas pelas secoes S4eS5antesdeseguirpelasec aoS6.Comparando-seaFIG.1.9.aeaFIG.1.8.apode-seobservarque:umlugarcommaisdeumarcodesada(P1naFIG.1.9.a)correspondeaoinciodeumconjuntodecaminhosalternativos;1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 22t4a) b)P1P3P4P6P5P1t1P3P4P2t1P2t2t3t4 t2t3Figura1.9: a)Caminhosalternativos;b)Repeticaouma transic ao com mais de um arco de sada (t2na FIG. 1.8.a) corresponde a umadivis aoouinciodeevoluc oesparalelas.1.7.4 RepeticaoOutro comportamento que e necess ario modelar quando se deseja representar sistemasa eventos discretos e a repetic ao de uma atividade (ou seq uencia de atividades) enquantoumacondi caoforverdadeira. Porexemplo, umveculodeverepetirapassagempelocircuitoformadopelasse coesS2eS3atequevenhaumaordemdemudaroitinerario,ouquesejanecess ariocarregarabateria.ConsiderearededePetri daFIG. 1.9.b(novamente, acadalugar Pieassociadoatravessiadase caoSi). Estaredemodelaapossibilidadede, ap os P1, efetuar-seaseq uenciaP2-P3umcerton umerodevezes,antesdeexecutarP4. Maisumavezn aoh anenhumaindicac ao, nonvel dografo, sobreotestequedeveserefetuadoparadecidirentrearepetic aoouanaliza caodaseq uencia. Sabe-sesomentequeoresultadodeveestardisponvelaposomdaoperac aoP3(quepodeprecisamenteseraexecu caodesteteste).Considerenovamenteoexemplodoitinerariodosistemadetransporte. OveculodeverealizaralgumasvezesocircuitoC1quepassapelasse coesS2eS3,eap osrealizarumavezocircuitoC2, quepassapelassec oesS4eS5, voltandoentao`asec aoinicialS1. EstecomportamentopodesermodeladopelarededaFIG. 1.9.b: bastaadicionarumlugarP5(sec aoS5)comosadadet4, ligadoaolugarP1atravesdeumatransi caot5. Aindica caodequal circuito(C1ouC2)oveculodeveseguiredadapelonvel decoordenac ao, en aofazpartedaestruturadarede.3Estadeveapenasindicarasduaspossibilidadesexistentesparaoveculo.3Este tipo de informa cao faz parte da interpretacao e sera visto no captulo 4.1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 231.7.5 AlocacaoderecursosSemd uvida, autiliza caoderecursos, eprincipalmenteoseupartilhamento, eumdospontosmaisimportantesnamodelagemdeumsistema. Umveculoquedevelevarumadentrediferentespecasnumdadomomento,umrob oquepodelevarumapecadodep osito para a maquina e da maquina para a sada pode executar apenas uma atividadedecadavez. Umavezocupadocomumadelas,n aopodeestardisponvelparaaoutra.Embora a ideia seja trivial, a vericacao nem sempre o e. A modelagem do partilhamentoderecursos e,pois,fundamentalparaarepresentac aocorretadeumsistema.t6P3t2P1P2t4P4Prt1P5t3t5Figura1.10: PartilhamentodeumrecursoObservandoaFIG. 1.10, considereque, ap osumaatividadeP1, eprecisoexecutarumaoperac aoquenecessitaautilizac aodeumrecursor representadopelolugar Prnagura. Prmarcadocorrespondeaoestadoparcialrecursodisponvel. Atransic aot3exprimeatomadadorecursoeoinciodafaseP3.Para modelar separadamente o naldeatividadeP1e o inciodeP3, e preciso intro-duziratransic aot2associadaaomdaatividadeP1. OlugarP2corresponde` aesperadorecursoassociadoaolugarPr, seesten aoest adisponvel (estelugarfazumpapelsimilaraoslugaresP2eP4darededaFIG. 1.8.b). OlugarP2permiterepresentaroestadodosistemaemqueaatividadeP1j afoi executada, esperandoqueorecursoselibereparaexecutaraatividadeP3.Aausenciadet2eP2nestaredemodelariaumcomportamentodiferente. Comot3s o pode disparar se o lugar Prest a marcado,a espera do recurso bloquearia,neste caso,omdaatividadeP1.Cadautilizac aodorecursocorresponde`aexecu caodeumamalha, queiniciacomaocupac ao do recurso (tiro de t3na FIG. 1.10) e termina com a sua liberacao (tiro de t4naFIG. 1.10). Existem tantas malhas diferentes passando pelo lugar Prquantas utilizacoespossveisdorecurso.A rede FIG. 1.10 pode modelar o comportamento do rob o descrito no item 1.4.1, quedeveexecutarduasa coes: i)retirarumobjetodaesteiraT1ecolocarnaesteiraTA;ii)retirar um objeto de TAe colocar em T2. Observe que o sensor n ao ser a representado narede. OeventoretirarobjetodeT1eassociado`atransic aot3, eoeventoretirarobjeto1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 24deTAe associado ` a transic ao t5. As transic oes t4e t6est ao associadas, respectivamente,aos eventos colocarobjetoemTAe colocarobjetoemT2. Os lugares P3e P5representamaexecuc aodasac oesi)eii), respectivamente. Asmalhasmodelandoaocupa caoealiberac aodorob os aoduas: t3-P3-t4-Pret5-P5-t6-Pr.OrecursoretratadoexatamentecomoumartigoeaoperacaoP3ean alogaaumaoperac aodemontagemdoartigoemquest aocomredepoisdeumadivisao. Assim,osconceitosdeartigoerecurso, representadosporchas, s aobanalizados, bemcomoasoperac oes com os estoques (lugar P2) e as condic oes do tipo recurso livre (lugar Pr). Se orecurso rfaz parte de um conjunto de recursos, entao o lugar Prrepresenta diretamenteeste conjunto. Bastacolocar inicialmente tantas chas neste lugar quantos recursoselementaresexistem.Exemploresolvido1:Considereoitiner ariodeumsistemadetransporte,baseadoemveculosguiadosauto-b)C6M7S7S8C7t7tc7t8tc8t9C1C4S7C3C5C2C6C7C8M8C8a)Figura1.11: a)Sistemadetransporte;b)ModelodocircuitoN0maticamente (FIG. 1.11.a). Os veculos seguem automaticamente determinados circuitospre-tracados;suaslocaliza coess aoconhecidassomentenospontosCi,chamadosconta-tos. Oscomandosparaparar,continuaremudardeitinerarios aoenviadosaosveculosquandoestesest aosobreocontato.Paraevitarcolisoes, oscircuitoss aodecompostosemse coesdetal modoquepodehaversomenteumveculoporsecao. Portanto, antesdeentrarnaproximasec aodocircuito, enecess ariovericarseestaest alivre: ase caoe, pois, consideradacomoumrecursoaserrepartidoentreosdiferentesveculos. Asec aoaparecetracejadanagura,epossuiomesmonomedocontato.Considere apenas o circuito N0, formado pelas secoes S6, S7e S8, modelado pela redede Petri da FIG. 1.11.b. As sec oes s ao consideradas como recursos; a cada proposic ao Silivre corresponde um lugar Si. Existem dois predicados ainda associados `a se cao: veculoem movimento, associado ao lugar Mi e veculo parado no contato, associado ao lugar Ci.O evento entrarnasecaoSi+1 e associado `a transi cao ti+1. Sua ocorrencia se da quandoum veculo esta no contato da sec ao Si (lugar Ci) e a pr oxima secao Si+1 est a livre. Ap oso tiro da transic ao ti+1, o veculo libera a secao Si, e se encontra em movimento na sec aoSi+1(lugarMi+1). OeventopararnocontatoCieassociado` atransic aotci. Oestadoinicial dosistemaeumveculonocontatodasecaoS6esecoesS7eS8livres(lugaresC6,S7eS8marcados).1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 25Os circuitos podem possuir 4 tipos de se coes: convergentes, divergentes, que se cruzame em seq uencia. Neste caso, alem da noc ao de sec ao livre, e necessario introduzir a nocaode celula livre. Deve-se, ent ao, alem de vericar se a pr oxima sec ao Si+1do circuito est alivre, vericar se a outra secao S

da celula est a livre tambem. Caso contrario, durante atravessiadasec aoSi+1,oveculopoderiacruzarumoutroveculoqueatravessaasec aoS

.Considere apenas o circuito N1, formado pelas sec oes S1, S2e S3. O modelo e similaraodaFIG. 1.11.b; comoestecircuitoefechado, ap osatravessarasecaoS3oveculoretorna ` a sec aoS1. Se considerado de forma independente,o circuito N2,formado pelassec oes S1, S4e S5, e tambem modelado por uma rede similar. Entretanto, h a uma celulade cruzamento, formada pelas sec oes S3e S5, que deve ser considerada como um recurso.Antes de entrar numa se cao desta celula,deve-se vericar se ela esta livre,isto e,se n aoh anenhumveculoemmovimentoemS3eemS5. Pode, entretanto, haverumveculoparadonocontatodaoutrasec ao,poisnestecason aohaveracolis ao. Porestemotivo,acelulaseliberaquandooveculocheganocontato.tc2C2C3S3S2tc3C5t4S4tc5t3Pct1t

1tc1S1M2M3tc4t5M5S5C1t2M4M1C4Figura1.12: ModelodoscircuitosN1eN2AFIG. 1.12representaomodelocompletodos circuitos N1e N2dosistemadetransporte, em que o lugar Pccorresponde ` a celula de cruzamento. Observe que estandoemC1(contatononal dasec aoS1) oveculopode seguir ocircuitoN1ouN2: aestruturadaredeindicaapenasestaopc ao(transicoest1et

1emconito). Amarcac aoinicial darederepresentaoestadodosistemaemqueumveculoest aatravessandoasec aoS5enquantoooutroest aparadonocontatodasec aoS3. 1.7Modelandodiferentesinteracoesentreprocessos 26Exemploresolvido2:Umsistemadotipobatelada(batch)podeproduzirdoisprodutos(Pr1ePr2),utili-zando dois reatores em modo concorrente, como representado na FIG. 1.13.a. O produtoPr1podeser produzidopeloreator R1oupeloreator R2, devendoser, previamente,armazenado(respectivamente)nobuerB1ouB2. JaoprodutoP2podeserproduzidoapenaspeloreatorR2, ondeediretamentecarregado. Ocomportamentodosistemaerepetitivo: uma vez o produto pronto, cada reator e liberado e pode recomecar uma novaatividade. O reator R2, embora possa tratar dois tipos de produtos, o faz um de cada vez.OmodelodocomportamentodosistemaedadopelarededePetridaFIG.1.13.b. OsreatoresR1eR2,representadospeloslugaresp8ep9,respectivamente,s aoconsideradoscomorecursos,sendoR2partilhadoentreosdoislotesdeprodutoPr1ePr2.p1b)a)tdp4p6tatbp2p3 p5p8Pr1 Pr2reatorR1reatorR2B1B2tfthtgtetcp7p9Figura1.13: a)Sistematipobatelada;b)ModelorededePetriObserveque,quandoolugarp1est amarcado,indicandoqueh aumlotedoprodutoPr1aserproduzido, h adoiscaminhosalternativos, representadospelastransic oestaetd,associadas,respectivamente,aoseventosarmazenaremB1earmazenaremB2,poisoprodutoPr1(lugarp1)podeserarmazenadoemambososbuers. Olugarp2(p4)representaaatividadeprodutoPr1armazenadonobuerB1(B2),paraposteriormenteserprocessado,respectivamente,peloreatorR1(lugarp8)oupeloreatorR2(lugarp9).Atransic aotb(te)est aassociadaaoeventoinciodeoperacaodoreatorR1(R2)sobreolotedoprodutoPr1.Atransic aotgest aassociadaaoeventoinciodeoperacaodoreatorR2sobreolotedoprodutoPr2eexprimeaocupac aodorecursoR2(lugarp9),enquantoatransic aothexprime a sua liberac ao (arco para o lugar p9) e permissao para que um novo lote de Pr2possa ser processado. As transic oes tee tfindicam tambem ocupa cao e liberacao de R2,masemrela caoaoprodutoPr1.Dopontodevistadolugarp9, hatambemdoiscaminhosalternativos: processaroprodutoPr1(tirodete)ouprocessaroprodutoPr2(tirodetg). Aestruturadaredemodelaapenasoscomportamentospossveisparaosistema, semindicarqual escolhaser afeita.Este sistema pode tambem ser modelado por uma maquina de estados nitos global,representadanaFIG.1.14. OsnosEi,i = 0 . . . 8s aoosdiferentesestadosdosistema,e1.8Notas 27edE2E0E3 E6E1E5E4E8E7egegebeeefeceaehebecehedegeaegehehE0 : Pr1ePr2esperando, reatores livres;E1 : Pr1emB1,Pr2esperando, reatores livres;E2 : Pr1emB2,Pr2esperando, reatores livres;E3 : Pr1esperando,R2processandoPr2,R1livre;E4 : R1processandoPr1,Pr2esperando,R2livre;E5 : R2processandoPr1,Pr2esperando,R1livre;E6 : Pr1emB2,R2processandoPr2,R1livre;E7 : Pr1emB1,R2processandoPr2,R1livre;E8 : R1processandoPr1,R2processandoPr2.Figura1.14: Grafodosistematipobateladaos arcos indicam, para um estado Ei, qual o proximo estado Ei+1. Os eventos ea,, eh,que etiquetam os arcos, sao os mesmos eventos associados ` as transic oes ta,, th da rede.Observe, como foi discutido no item 1.5, que a estrutura do sistema foi completamenteperdida. Doisarcossaindodeummesmon o(estado)podemrepresentarumadecis aoentreduasopc oesoudoiseventosindependentes. Porexemplo, osarcosdon oE1s aoetiquetadosporeb(alocac aodeR1porPr1)eeg(alocac aodeR2porPr2),sendoesteseventosindependentes,podendoent ao,ocorreraomesmotempo. J aoseventoseaeed,queetiquetamosarcosdesadadoestadoE0, naopodemocorrersimultaneamente, es aoconcorrentes.No modelo rede de Petri, a escolha entre as duas opc oes de fabricac ao para o produtoPr1eclaramenteindicadanarede: olugar p1possui duas transic oes desada(taetd), indicandoasduasalternativas(armazenamentoemB1ouB2). Omesmoaconteceparaoreator R2, quepodeprocessar Pr1ouPr2, representadopelas alternativas tee tg. Emambos os casos, estas transic oes est aoemconcorrencia. J aas transic oestbe tg, quandoos lugares p2, p6, p8e p9est aomarcados, podemser disparadas deformaindependente. Portanto,arededePetriindica,napr opriaestrutura,quandoh aparalelismo ou concorrencia entre os eventos.E interessante retomar este exemplo ap osa leitura do captulo 2, onde as no coes de conito e paralelismo s ao denidas formalmente.

1.8 NotasOconceitodesistemaaeventosdiscretoseapresentadoemCASSANDRAS(1993).1.9Exerccios 28Para uma introduc ao ` a teoria de m aquinas de estado nito, ver ROSEN (1991) e JOHN-SONBAUGH (1993). Paraumestudo completoe aprofundado,ver CARROL &LONG(1989). Na areadesistemasconcorrentes, ANDREWS(1987)fazumaboaintroducaoparaquemn aoconheceoassunto.Leitura complementar para toda a Parte I, que trata do modelo b asico: PETERSON(1981),BRAMS(1983),COURVOISIER&VALETTE(1986)eDAVID(1989).1.9 ExercciosOs exerccios abaixosaopropostos attulodereex ao. Seencontrar diculdadesnestemomento,deixeparafaze-losap osaleituradocaptulo2.1. Modelarosistemadetriagemdescritonoitem1.4.1usandouma unicarededePetri. Tentemodelarosistemarealizandoumadecomposic aomaterial. Facaomesmousandoumadecomposic aofuncional.2. Um sistema de manufatura possui duas m aquinas M1 e M2. Dois tipos de processosde fabrica caos aoprevistos paraumapeca, segundoaordemde passagemnasm aquinas: P1=O11O12e P2=O21O22, emque Oije aj-esimaoperac aodoprocessode fabricac aoPi. AmaquinaM1realizaas operac oes O11e O22, e am aquinaM2, as operac oes O12e O21. Modele este sistemautilizandorede dePetri,considerandodoiscasosdiferentes: a)antesderealizarasegundaoperac aodeseuprocessodefabrica cao,amaquinadaprimeiraoperac aodeveserliberada;b)am aquinadaprimeiraoperac aoeliberadasomenteaposoinciodasegundaoperac aodeseuprocessodefabricac ao.3. Numa pequena cidade comumhidrante emcada rua,h a dois bombeiros. Quandoocorreumincendio, umdosbombeirossecolocaaoladodohidrante, eoutroaoladodoincendio. Obombeiroaoladodohidranteencheobaldeevainadire caodoincendio; obombeiroaoladodoincendio, umavezesvaziadoobalde, vai nadirec aodohidrante. Quandoambosseencontram, trocamdebaldeededirec ao(o que vinha do hidrante volta para encher o balde vazio do colega; o que vinha doincendiovoltacomobaldecheioquetraziaocolega). Considereque,mesmoseobombeiro que enche o balde seja i) muito rapido, ele nao chegara ao incendio antesque o outro esvazie o seu;ii) muito lento, ele j a tera enchido o balde antes que seucolegachegueaohidrantecomobaldevazio. a)Modele, usandorededePetri, ocomportamento dos dois bombeiros; b) Considere que um terceiro bombeiro venhaajudar, cando no meio do caminho para minimizar o deslocamento dos dois outros.Facaomodelodonovosistema.4. Modele, utilizandorede de Petri, aestruturadocontrole de velocidade de ummotorutilizandotiristores. Inicialmentedeveserfeitoainicializac aodosistemade controle (inicializar vari aveis, conversores anal ogico-digitais e digital-anal ogicos,etc.). O ciclo de controle consiste em realizar as medidas de temperatura e de uxo(deformaindependente), ecalcularap osalei decontrole. Nocasoparticulardamedidadetemperatura, seestaultrapassar umlimiteLT, umalarmedeveseracionado. Aomesmotempoqueoangulodedisparo ecalculadoeenviadodepois1.9Exerccios 29paraoconversor digital-analogico, e realizadoumc alculoparaumaestatsticaposterior. Umavezosc alculosterminados,ociclorecomeca.rob oRlixoLBeBstornoTmicr ometroMFigura1.15: Celuladefabricac ao5. Descrever, utilizando rede de Petri, uma celula de fabricac ao composta de um roboR, umtornoT eummicr ometrolaserM(FIG. 1.15), ligadosentresi porumarededecomunicac ao,cujofuncionamento eoseguinte:aspe cass aodepositadasnobuerdeentradaBe;orob opegaapecadeBeeacolocanotornoT. Umprogramadevesercarregadoparatornearapeca;ap ostorneada, orob opegaapecadotornoeadepositanomicr ometroMparainspecao;ap osrealizadaainspec ao, orob oRcolocaapecanobuerdesadaBsseest aest adeacordocomasnormas,ounolixoLemcasocontrario.a) Considere que h a somente um tipo de peca,e que o buer tem capacidade paraarmazenartrespecas;b)comocariaaredesehouvessedoistiposdepe cas?Sugest ao: antesdedesenhararededePetri,detalhe:asatividadeseoseventosexistentesnosistema;osrecursosaseremcompartilhados;quais as atividades que podem ser realizadas em paralelo e quais sao realizadas deformaconcorrente.Captulo2DefinicoesEstecaptuloapresentaarededePetrienquantoummodeloformal,atravesdetresvis oes:umgrafocomdoistiposdenoseumcomportamentodin amico;um conjunto de matrizes de inteiros positivos ou nulos cujo comportamento din amicoedescritoporumsistemalinear;umsistemaderegrasbaseadonumarepresentac aodoconhecimentosobaformacondicao acao.Os conceitos de marcacao e tiro de transicao, apresentados informalmente no captuloanterior,s aoaquidenidosformalmente,paracadaumadasvis oesacima.Asvis oesgr acaematricial, apresentadasnoitem2.1, diferenciam-seapenaspelaformaderepresentac ao. Ambaspermitemvericarseastransic oess aoparalelasouemconito, se uma transic ao est a ou nao sensibilizada, bem como disparar uma transicao efazer evoluir a rede. O grafo e utilizado pelo projetista que, num relance, pode fazer todasestas vericacoes, e ter uma ideia global do sistema modelado. A representac ao matricialeumarepresentac aonatural,utilizada,pelocomputador,navericacaoautom atica.J aarepresentac aosobumsistemade regras temoobjetivode compatibilizar arepresenta caodarededePetricomtecnicasdeInteligenciaArticial. Naespecica caode umsistema complexo, utilizandouma hierarquiade controle emv arios nveis, amodelagemdo nvelde coordenac ao dos subsistemas pode ser feita por redes de Petri,edonveldeplanejamento,porumsistemaperitoquefornecaaordemdepassagemdaspecasnasm aquinas.Embora a representac ao graca seja uma vantagem da rede de Petri, como o leitor jateve a possibilidade de constatar, a caracterstica mais importante deste modelo e o fatode ser formal. A vantagem da rede de Petri em relac ao a outros modelos, como o SADT,quetambemofereceumaboaferramentagracadeespecicacao,eque, sendoformal,epossvel obterinformac oessobreocomportamentodosistemamodelado, atravesdaan alise de suas propriedades, gerais ou estruturais. As propriedades gerais s ao apresenta-das no item 2.3. Os componentes conservativos e repetitivos estacion arios, que permitemaan alisedaspropriedadesestruturais,saodenidasnoitem2.4. Osmetodosdean alisedestaspropriedadess aoapresentadosediscutidosmaistardenocaptulo3.2.1Conceitos 312.1 Conceitos2.1.1 RededePetriUmarededePetri eumaquadruplaR = (2.1)onde:Peumconjuntonitodelugaresdedimensaon;Teumconjuntonitodetransic oesdedimens aom;Pre: PTINeaaplicac aodeentrada(lugaresprecedentesouincidenciaanterior),comINsendooconjuntodosn umerosnaturais;Post : PT IN e a aplicac ao de sada (lugares seguintes ou incidencia posterior).A qu adrupla R = com P= p1, p2, p3, T= a, b, c, d e os valoresdasaplicacoesdeentradaesadadadospor: Pre(p2, c) = 3, Pre(p1, b)=Pre(p2, a)=Pre(p3, d) = 1, Post(p2, d) = 3 e Post(p1, a) = Post(p2, b) = Post(p3, c) = 1, e uma rededePetri.2.1.2 RedemarcadaUmaredemarcadaNeumaduplaN= (2.2)onde:R eumarededePetri,Meamarcac aoinicialdadapelaaplica caoM: P IN. (2.3)M(p) eon umerodemarcasouchas(jetonsemfrances,tokensemingles)contidasnolugarp. Amarcac aoMeadistribui caodaschasnoslugares,sendorepresentadaporumvetorcolunacujadimens ao eon umerodelugareseelementosM(p).AduplaN=comRsendoarededePetri doexemploacimaemarca caoMT= [030](Teotranspostodovetor) eumarededePetrimarcada.2.1Conceitos 322.1.3 GrafoassociadoenotacaomatricialPode-seassociaraumarededePetriumgrafocomdoistiposdenos: noslugaresen os transic oes. Um arco liga um lugar p a uma transi cao t se e somente se Pre(p, t) = 0.Umarcoligaumatransic aotaumlugarpseesomentesePost(p, t) = 0.Apartirdoselementosaij=Pre(pi, tj)queindicamopesodoarcoligandoolugardeentradapi` atransi caotj, dene-seamatrizdeincidenciaanteriorPrededimensaon m: on umerodelinhas eigualaon umerodelugareseon umerodecolunas eigualaon umerodetransic oes. Damesmaforma, amatrizdeincidenciaposteriorPost dedimens aon m edenidaapartirdoselementosbij= Post(pi, tj).Os valores nao nulos das matrizes Pre e Post s ao associados aos arcos do grafo comoetiquetas. Seovaloreunit ario, n aoenecess arioetiquetar oarcocorrespondentenografo. Damesmaforma,senadaeindicadonografo,ovalorcorrespondentenamatrizeunit ario.p333cd bap2p1Figura2.1: RededePetriOgrafoassociado` arededePetri marcadaNdoitemanterior estarepresentadanaFIG. 2.1. Estarederepresentaopartilhamentodeumconjuntoderecursos(tres),representadopelolugarp2, entreduasatividades, representadaspeloslugaresp1ep3.Aatividadecorrespondenteap1necessitadeapenasumrecursodecadavez(opesodoarco(p2, a)vale1, ouPre(p2, a)=1). J aaatividadecorrespondenteap3necessitadetodosostresrecursosaomesmotempo. Observetambemqueh aumaexclus aom utuaentrep1ep3: apartirdotirodec, atransi caoan aopodemaisdisparar, evice-versa.Entretanto,ap osotirodea,estapodeaindadispararmaisduasvezes. Pode,portanto,havertresatividadesp1sendoexecutadasaomesmotempo.Anotacaomatricialdestarede edadapor: Pre =a b c d

0 1 0 01 0 3 00 0 0 1p1p2p3 Post =a b c d

1 0 0 00 1 0 30 0 1 0p1p2p3.ApartirdePreePostdeni-seamatrizdeincidenciaCC= Post Pre (2.4)2.1Conceitos 33queforneceobalan codaschasnaredequandodotirodastransic oes.Nesteexemplo,tem-se C =a b c d

1 1 0 01 1 3 30 0 1 1p1p2.p3Utiliza-se a notac ao Pre( . , t) para a coluna da matriz Pre associada a uma transi caot. Adimens aodestevetoredadapelon umerodelugares. Damesmaforma, dene-seos vetores coluna Post( . , t) e C( . , t) em relac ao `as matrizes Post e C, respectivamente.2.1.4 RededePetripuraUmarededePetriR epuraseesomentesep Pt TPre(p, t)Post(p, t) = 0. (2.5)O grafo equivalente nao possui nenhuma malha elementar, isto e, nenhuma transicaopossuiummesmolugarcomoentradaesadaaomesmotempo.p333cd bap2p1eFigura2.2: RededePetrin aopuraPor exemplo,a rede de Petri da FIG. 2.1 e pura. Entretanto, a rede da FIG. 2.2 naoo e,poisolugarp3elugardeentradaetambemdesadadatransicaoe:Pre(p3, e)Post(p3, e) = 1.2.1.5 TransicaosensibilizadaUmatransic aotest asensibilizadaouhabilitada(franchissableemfrances, enabledemingles)seesomentese:p P, M(p) Pre(p, t). (2.6)Istoe, seon umerodechasemcadaumdoslugaresdeentradaformaior(ouigual)queopesodoarcoqueligaestelugar`atransic ao.AequacaoacimapodeserescritanaformaM Pre( . , t)ondeovetorcolunaPre(., t)eacolunadamatrizPrereferente`atransic aoteM, ovetormarcac aoinicial.2.1Conceitos 34Existemoutras notac oes que exprimemque t est a sensibilizada para uma dadamarcac aoM:M Pre( . , t)M(t >Mt.NarededePetridaFIG.2.1,paraumamarca caoinicial:M =

030comPre( . , a) =

010 Pre( . , c) =

030astransicoesaecest aosensibilizadas,poisM> Pre( . , a) e M= Pre( . , c).2.1.6 DisparodeumatransicaoSetesensibilizadaporumamarcac aoM, umanovamarcacaoM

eobtidaatravesdotirooudisparo(tiroufranchissementemfrances,ringemingles)dettalque:p P, M

(p) = M(p) Pre(p, t) + Post(p, t). (2.7)Anovamarcac aoM

edadapelaequa caoM

= M Pre( . , t) + Post( . , t) = M+C( . , t). (2.8)O vetor coluna Pre(., ti) referente `a transicao ti da matriz Pre, pode ser escrito comoPre[1]i, produto da matriz Pre pelo vetor coluna [1]i (vetor com todos os elementos nulos,excetoodalinhai). Aequacaoacimapode,ent ao,serreescritacomoM

= M Pre[1]i + Post[1]i= M+ C[1]i. (2.9)As seguintes notac oes s ao utilizadas para representar a marcacao obtida com o disparodet:M(t > M

Mt M

.Odisparodet eumaoperac aoqueconsisteemretirarPre(p, t)chasdecadalugarprecedente p (peso do arco de entrada) e colocar Post(p, t) chas em cada lugar seguintep. Modicandoamarcacao,odisparodetrepresenta,nomodelo,amudancadeestadoocorridanosistemadevido`aocorrenciadoeventoassociado` atransic aot.Narede de Petri daFIG. 2.1, ap os otirode aapartir damarcacaoinicial M,obtem-se,utilizando-seaequac ao2.9,amarcac aoseguinteM

:

120 =

030 +

110 .2.1Conceitos 35Se, a partir da marcac ao inicial M, a transi cao c fosse disparada, obter-se-ia a marcac aoM

=[0 0 1]T. Ve-se pelaequac ao2.9que amatriz Cfaz umbalancodas chasquandodotirodatransi caot. CadaelementoC(pj, ti) < 0dovetorcolunaC[1]iindicaquantas chas s ao retiradas de cada lugar pjda rede quando do disparo de t. O elementoC(pj, ti) > 0 indica o n umero de chas adicionadas ` a marcac ao de cada lugar pj, quandododisparodet. SeC(pj, ti) = 0,amarcac aodepjn ao emodicada.2.1.7 ConitoeparalelismoAs noc oes de conitoe paralelismode transic oes, apresentadas informalmente noitem 1.7.2, ser ao denidas a seguir. Ter bem claro como uma e outra noc ao e representadana rede de Petri torna mais simples a tarefa de modelagem de um sistema. Uma vez feitaaidenticac aodaintera caoentreasatividades,bastafazeratradu caoparaomodelo.Oconitopodeexistirnaestruturadomodelo, semtodaviapoderserefetivado: enecess arioqueamarcac aopossibilitedefatosuaocorrencia. Omesmoocorrecomoparalelismo. Porocorrenciadoconitoentende-seaexistencia, numdadoestado, deduas(oumais)possibilidades,excludentes,deevoluc ao. Jaaocorrenciadoparalelismoimplicaquetodasasatividadespoder aoserexecutadasaomesmotempo.Conitoestrutural: duastransic oest1et2est aoemconitoestruturalseesomenteseelastemaomenosumlugardeentradaemcomum:p P, Pre(p, t1)Pre(p, t2) = 0. (2.10)Conitoefetivo: duastransic oest1et2est aoemconitoefetivoparaumamarcac aoMseesomenteseambasestaoemconitoestruturaleestaosensibilizadas:M Pre( . , t1) e M Pre( . , t2). (2.11)Paralelismoestrutural: duastransic oest1et2s aoparalelasestruturalmentesenaopossuemnenhumlugardeentradaemcomum:p P Pre(p, t1)Pre(p, t2) = 0 (2.12)que equivale a vericar se Pre( . , t1)TPre( . , t2) = 0, ondee o produto escalardedoisvetores.Paralelismoefetivo: Duas transi coes t1e t2s ao paralelas para uma marca cao dada Mseesomentesesaoparalelasestruturalmentee:M Pre( . , t1) e M Pre( . , t2). (2.13)Assim, narededePetri daFIG. 2.1, astransi coesaecest aoemconitoestrutural,poisPre(p2, a)Pre(p2, c)=3. Paraamarca caoinicial M, astransic oesaecest aoemconitoefetivo,poisest aoemconitoestruturaleM1> Pre(., a)eM1> Pre(., c).J aastransic oesbeds aoparalelasestruturalmente. Comefeito,comoPre( . , b) =

100 e Pre( . , d) =

0012.1Conceitos 36tem-sePre(., b)TPre(., d) = 0.NamesmaestruturadarededaFIG.2.1,masagoracomamarcac aoM

=

101 ,astransicoesbeds aoefetivamenteparalelas.Narede daFIG. 1.13.b, h aumconitoentre as transi coes tee tg, quee efetivoquandooslugaresp4ep6est aomarcados(existenciadeumlotedePr1nobuerB1eum lote de Pr2esperando para serem processados pelo reator R2). Este conito modelaopartilhamentodorecursoR2(lugarp9).O modelo de rede de Petri permite representar o paralelismo verdadeiro. Entretanto,nomomentodaimplementac aoousimulac ao,estepodesetransformarnumpseudopa-ralelismo. Oimportante equeomodelopermitetalrepresenta cao. Dequalquerforma,transic oesparalelaspodemserdisparadasdeformaindependenteentresi;odisparodeumanaoimpedindoodisparoda(s)outra(s)comonocasodastransic oesemconito.2.1.8 Seq uenciadedisparot1P2P1t2P3t3P4t4Figura2.3: Seq uenciadedisparodetransic oesObserve a rede de Petri da FIG. 2.3. A transi cao t1est a sensibilizada pela marcac aoM0= [ 1000 ]epodedisparar,levando`amarcac aoM1= [ 0100 ],M0t1 M1. Ap osseu disparo, a transic ao t2 por sua vez pode disparar, levando `a marca cao M2= [ 0 0 1 0 ],M1t2 M2. O disparo em seq uencia das transi coes t1 e t2 e chamado seq uencia de disparoe e notado, neste caso, por s = t1t2. Diz-se que a seq uencia s = t1t2 e dispar avel a partirdeM0,comaseguintenotac ao:M0t1 t2 M2ouainda:M0(t1t2> M2.ConsiderenovamentearededePetri daFIG. 2.1. Otirodaseq uencias=aab, apartir da marcac ao M0, leva a rede `a marca cao M1, M0aab M1, passando sucessivamentepelasmarcacoes:

030a

120a

210b

120 .M0M1M2M12.1Conceitos 37VetorcaractersticoConsidereovetorsondecadacomponentes(t)representaon umerodeocorrenciasdatransic aotnumaseq uenciadedisparos. Estevetorechamadovetorcaractersticodaseq uencias. Suadimensao eigualaon umerodetransicoesdarededePetri.Noexemploanterior,ovetorcaractersticosdaseq uencias = aab edadopor:s =

2100abcds(a) = 2indicaqueatransic aoafoidisparadaduasvezeses(b) = 1,queatransi caobfoidisparadasomenteumaveznaseq uencias. Osvaloresnulosdes(c)es(d)indicamqueastransi coescedn aoforamdisparadasnestaseq uencia.Aevoluc aodamarcacaodeumarededePetri, commarcacaoinicial M, paraumaseq uencias = titj . . . tl,aplicandosucessivamenteaequacao2.9 edadapor:M

= (. . . ((M+C[1]i) + C[1]j) + . . . +C[1]l= M+ C([1]i + [1]j + . . . + [1]l). (2.14)A soma dos vetores [1]i +[1]j +. . . +[1]lcorresponde exatamente ao vetor caractersticosdaseq uencias,indicandoquantasvezescadatransic aodaredefoidisparada. Tem-seent ao:M

= M+Cs comM 0, s 0. (2.15)Estaequac ao echamadaequacaofundamentaldarededePetri.ConsideracoessobreaexistenciadesAcaracterizacaodamarcac aonateoriaderededePetri pormeiodeumvetorMeprecisa(fornecetodaainformacaonecessariasobreoestado). J aarepresentac aodeumaseq uenciasatravesdovetorsn aoconsideraaordemdodisparodastransi coes.Defato, ovetorsedadopelasoma[1]i + [1]j+ . . . + [1]l; sendoasomaumaoperacaocomutativa,qualquerpermutac aonaordemdedisparodastransic oesti,tj. . .tldentrodaseq uenciaser arepresentadopelomesmovetor s. Aordemdedisparoeperdida,existindo, por conseguinte, umaperdadeinformac aoarespeitodaevoluc aodarede.Somente edescritaatransformac aodamarcac ao.Portanto, n aodevecausar surpresaqueaexistenciadeumvetor caractersticos,soluc aodaequac ao2.15, n aogarantaqueaseq uenciaspossaserrealmentedisparadae, portanto, queexistadefatoM

. Comefeito, enecess arioqueamarcac aoinicialsejatal queastransic oessejamdefatodisparadasparacadamarcac aointermedi aria.Bastaobservar arededaFIG. 2.3: paraamarcac aoM0dagura, aseq uenciat1t2,representadapelovetorsT=[ 110], edispar avel (leva` amarcac aoM2), enquantoaseq uencia t2t1, representada pelo mesmo vetor s, n ao pode ser disparada a partir de M0.2.1Conceitos 38p4abcp3p2dp1Figura2.4: Redecomseq uencian aodispar avelConsiderearededePetridaFIG.2.4. AmatrizCedadaporC =

1 1 1 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1.Deseja-sesaberseaseq uencias = abcd,representadapelovetors, edispar avelapartirdamarcac aoinicialM,M =

1000s =

1111.Aplicando-seaequa cao2.15,obtem-seamarcac aoM

= M+Cs = [1 0 0 0]T.Embora o valor de M

seja positivo, esta marcac ao n ao existe, pois a seq uencia abcd n aopodedispararapartirdeM. Bastausaraequa cao2.7paravericarque, apartirdeM, ap osotirodea, nenhumaoutratransic aopodedisparar. Assim, aexistenciadeumamarcac aoM

> 0atravesdaequa cao2.15n aoimplicaaexistenciadaseq uenciasque, defato, ageraria. SeM=[2000]TnarededaFIG. 2.4, obtem-se, aplicando-seaequacao2.15comomesmovetorsacima,amarcacaoM

= [1 1 0 0]T. Nestecaso,aseq uencias=abcd(nestaordem)e, efetivamente, disparavel, MabcdM

. Entretanto,qualqueroutraseq uencia,obtidapermutando-seaordemdastransic oes,naoo e.Asquestoesquesecolocamsaoasseguintes:2.2RededePetriesistemaderegras 39dadaumamarcac aoinicial Meumaseq uencias, existeumamarcacaoM

talqueMsM

? SeM

0,tampoucosetemgarantiadaexistenciades. Namelhor das hip oteses n aoseconheceaordemdedisparodastransic oes. NoexemplodaFIG. 1.7, paraM0=[100]Taseq uencias=t1t2t3edispar avel, mass=t2t3t1n aooe. EambassaocaracterizadaspelomesmovetorsT= [111];dadaumamarcac aoinicial Me umamarcac aoqualquer M

, existe s tal queMsM

? Ses0naosetemgarantiadaexistenciades(verinvariantesnoitem2.4emquesetalqueCs = 0;tem-seocasoparticularemqueM

= M);dada uma marca cao inicial Me uma marcac ao M

conhecidas,a existencia de umvetors>0implicaaexistenciadetodasasseq uenciass(obtidaspermutandoaordemdetirodastransic oes)representaveisporestevetor? Comoaordemn ao econhecida, algumasseq uenciasparaumadadamarcacaopoder aoexistireoutrasnao.Acaracterizac aodasseq uenciasdedisparonateoriaderededePetrin aoeprecisa.O captulo 8 mostra como obter uma caracterizac ao precisa de uma seq uencia, utilizandoalogicalinear.2.1.9 Conjuntodemarcac oesacessveisOconjuntode marcacoes acessveis A(R, M) de umarede de Petri marcadae oconjuntodasmarcac oesquepodemseratingidasapartirdamarcac aoinicial, atravesdeumaseq uenciadedisparo:A(R, M) = Mi, s Ms Mi. (2.16)Se este conjunto e nito, pode-se represent a-lo sob a forma de um grafo GA(R, M), cujosn ossaoasmarcacoesacessveisdoconjuntoA(R, M). Umarcoorientadoligadoisn osMie Mjse existe uma transic ao t sensibilizada que permite passar de uma marcac ao MiaumaoutraMj: Mit Mj. Estearco eetiquetadopelatransic aot.De fato, o grafo de marca coes acessveis e a m aquina de estados equivalente ` a rede dePetri. Entretanto, enecessarioobservarque, tendodesaparecidoano caodeprocesso,n ao se pode mais fazer, no grafo, a diferenca entre as transic oes paralelas e as transic oesemconitoparaumadadamarcacao.A FIG. 2.5 representa o grafo das marcac oes acessveis para a rede de Petri da FIG. 2.1eamarca caoinicialM= [030]T.2.2 RededePetriesistemaderegrasArededePetripodeservistasoboaspectogracooumatricial,comoapresentadono item precedente. Dada a sua caracterstica de fazer evoluir o estado, a partir de regrasrepresentadasportransic oes,arededePetripodeigualmenteserconsideradacomoumsistemaderegrasdeproducaobaseadoemumarepresentacaodaformasecondic aoentaoac ao.2.2RededePetriesistemaderegras 400000021102130aabbba cd03Figura2.5: Grafodemarcac oesacessveis2.2.1 SistemaderegrasUmsistemaderegras deproduc aodeconhecimento, ousimplesmentesistemaderegras, eformadode:umabasedefatos,representandooconhecimentodisponvelsobreosistema;umabasederegras,quepermitededuzirnovosfatos;ummecanismodeinferencia, chamadomotordeinferencia, quepermiterealizarnovasdedu coes,aplicandoasregrasaosfatos.Omecanismodeinferenciamaiselementarconsisteemdisporoconjuntoderegrasnumalista,epercorre-laseq uencialmente. Seapartecondicaodaregra everdadeiranocontexto atual (corresponde a um fato da base de fatos), a regra e aplicada ou disparada.Senenhumaregraeaplic avelouseumfatoterminal(conclusaoquesedesejadeduzir)ededuzido,omecanismodeinferenciap ara.Namaioriadas vezes, emumdadocontexto, varias regras podemser aplicadas.Oresultadodadedu cao,naturalmente,podeserdiferentesegundoaregraescolhida. Omecanismo de inferencia mais elementar escolhe a primeira regra, sem vericar se existemoutrasquepodemtambemseraplicadas.Umasituac aoondediversas regras podemser aplicaveis constitui umconito. Aresoluc aodeumconitoerealizadopelocontroledomotordeinferencia, quepodeserbastantecomplexo.A correspondencia entre a rede de Petri e os sistemas de regras e baseada nas corres-pondenciasseguintes:oconjuntodetransicoesdarede, comsuascondic oeseacoes, representadas, res-pectivamente,pelosvetoresPre( . , t)ePost( . , t)(item2.1.5),constituemabasederegras;amarcac aoinicialcorresponde`abasedefatosinicial,oucontextoinicial;2.2RededePetriesistemaderegras 41o controle e dado pela estrutura da rede: se as transic oes s ao paralelas, a ordem dedisparo e indiferente; se as transic oes est ao em conito efetivo, apenas uma poderaserdisparada.Avantagemdautilizac aodarededePetri pararepresentarumsistemaderegrasedevida ao seu formalismo, que permite a an alise. Um sistema de regras, diferente de umsistema descrito utilizando a l ogica classica, n ao permite a vericac ao formal. Entretanto,permiterepresentarsistemasbaseadosemconhecimentoeobterresultadosquandonaoexisteumalgoritmoconhecido, comoeocasodesistemasperitosparaprospec caodepetroleo,diagn osticomedico,etc.2.2.2 GramaticaUmagram aticaeumsistemadereescritadepalavrasdeumdadoalfabeto. SejaS=< IP, Q >agramaticaassociada`arededePetri R =, denidapor:umalfabetoIPcujossmboloss aooslugaresp P,eumconjuntoQderegrasdereescritat : (Pre(., t)) (Post(., t)). (2.17)TomeIMcomosendooconjuntodetodasasmarcac oesdarede. Aaplicac ao:IM IPassocia,aumvetormarcacaodarede,umapalavradovocabul arioIP. IPeoconjuntodeseq uenciasnitasdeelementosdeP,inclusiveaseq uenciavazia. Paracada marcac aoM(p) = i,i IN,dos lugares p Pda rede, eassociada a ocorrenciadeumsmbolodeIP; apalavra(M)eobtidaatravesdaconcatenac aodossmbolospi.Porabusodelinguagem,estapalavra e,nestelivro,tambemrepresentadaporM.Demodogeral, umaaplicac ao: INmIPassocia, aumvetorvdeINm, umapalavra(v)deIP.Umatransic aotest asensibilizadaporumamarca caoMseesomentese:(Pre(., t)) (M). (2.18)Otirodetlevaaumanovamarcac aoM

,dadapor:(M

) = (M) (Post(., t)) ` (Pre(., t)). (2.19)A expressao v windica,aqui,a concatenac ao de palavras ve w,e v ` w,a exclus ao dapalavrawdapalavrav.ConsiderearededePetridaFIG.2.1. Agram aticacorrespondente edenidapelo:alfabetoP= p1, p2, p3,econjuntoderegrasdereescrita Q =

a : p2 p1b : p1 p2c : p32 p3d : p3 p32.2.3Propriedadesdomodelo 42`A marca cao inicial M= [ 0 3 0 ]Tda rede, corresponde o axioma (M) = p32 da gram atica,apartir doqual novas palavras podemser derivadas (por abusode linguagem, ser autilizadaanota caoM= p32).A equac ao 2.18 permite vericar que,para a marca cao M= p32,apenas as transic oesaecest aosensibilizadas, pois(Pre(., a)) =p2 Me(Pre(., c)) =p32 M. Seatransic aoaedisparada, obtem-se, aplicandoaequac ao2.19: M

=p32 p2 ` p1=p22p1=p1p22. Valeaqui umaobservac ao: aordemdeescritadasletrasnaspalavrasdovocabularioIPn ao eimportante. Parafacilidadedeleitura,costuma-seescreveroslugaresemordemalfanumerica.Utilizando-se sucessivamente a equa cao 2.19, obtem-se o conjunto de marcac oesacessveis:A(R, M) = p32, p1p22, p21p2, p31, p3.Uma seq uencia de disparo s tambem pode ser representada como uma palavra de umvocabul arioT, formadoapartirdeumalfabetodetransic oesT. Diferentementedaspalavras do vocabul ario IP, numa palavra s T, a ordem das letras t Te importante,poisindicaaordemdedisparodetnaseq uencias. ParaarededaFIG. 2.1, apartirdamarcac aoinicial M, asseq uenciasa3, a2b, abab, cd(entreoutras) fazempartedovocabul ario efetivo da rede, mas as seq uencias ba, dc, ac, ca (entre outras) s ao proibidas.Emboraaregradereescritaa:p1 p2p3sejabastantesimilar`aformuladal ogicaproposicionalp1 p2 p3,arededePetrin aopodeserutilizadacomosem anticaparaalogicacl assica. Esteassunto etratadonocaptulo8.2.3 PropriedadesdomodeloNesteitemseraodenidasaspropriedadesrelativas` arededePetrimarcada: vivaci-dade,limitabilidadeereiniciabilidade,reagrupadassobonomegenericodeboaspropri-edades. Suas denic oes implicam considera coes sobre o conjunto de marca coes acessveisa partir da marca cao inicial. As redes de Petri marcadas n ao permitem a obtenc ao diretade algoritmos capazes de determinar se a propriedade e ou n ao vericada, pois o conjuntodemarca coesacessveisnao esemprenito. Osmetodosdean alisedestaspropriedadesbaseadosnografodemarcac oesser aoapresentadosnocaptulo3.As propriedades relativas ` as redes de Petri naomarcadas (que independem, por-tanto, dasuamarcac aoinicial)permitemderivarmetodosdecalculo, diretamentedasdenic oes,atravesdaresoluc aodeumsistemadeequacoeslineares. Estaspropriedadesser ao denidas no item 2.4 no que concerne aos componentes conservativos e repetitivosestacion arios.2.3.1 Redemarcadak-limitadaLugark-limitadoelugarbinarioUmlugarpdeumaredemarcadaNek-limitadoseesomentese:M

A(R, M), M

(p) k. (2.20)Sek = 1diz-sequeolugar ebinario(safeemingles).2.3Propriedadesdomodelo 43NarededePetri daFIG. 2.1, cujografodemarcac oeserepresentadonaFIG. 2.5,paraamarcac aoinicial M=p23(ouM=[030]T), olugarp3ebin ario, enquantooslugaresp1ep2s ao3-limitados.RededePetrimarcadak-limitadaeredemarcadabinariaUmaredemarcadaNek-limitada(bounded)seesomentesetodososseuslugaress aok-limitados.UmaredemarcadaNebinariaseesomentesetodososseuslugaress aobin arios.Diz-setambemsalvaousegura.ArededePetri daFIG. 2.1, paraamarca caoM=p23, e3-limitada, ou, limitadacomk= 3. Sesuamarca caoinicialfosseM= p2aredeseriabin aria(astransic oescedentretanton aoseriamnuncadisparadas).p2b cap1p3Figura2.6: RededePetrinaolimitadaConsiderearededePetridaFIG.2.6,comamarcac aoinicialM=p1. Acadavezqueaseq uencias=abedisparada, umachaeintroduzidanolugarp3. Estelugar,portanto,enaolimitadoeporsuavezaredetambemnaooe. Oslugaresp1ep2s aotambemnaolimitados.Umexemplodereden aolimitadaquedescreveummecanismocl assicoedadopelaFIG. 2.7. Seaaberturadeumparentese(parenteseesquerdo)eassociadaaotirodatransic aoaeofechamentodeumparentese(parentesedireito)aotirodatransicaob,as seq uencias detiros detransic aoquelevam, apartir damarcac aoinicial M=p1,` amesmamarcac aoM, descrevemtodasasexpress oesparenteseadaspermitidas.Eclaroqueestaredenaoelimitadapoissempresepodeabrirumparentese(disparara)eportantocolocarmaisumachanolugarp1.a( )p bFigura2.7: RedeparentesesApropositodapropriedadedaredeser limitada, ouemparticular, salva, deve-sesalientarque:2.3Propriedadesdomodelo 44arededePetri consideradaaqui esempreumaredecommarcac aoinicial dada(redemarcada);oconceitoderedelimitadacorrespondeaofatodequeumsistemafsico esemprelimitado. Entretanto,pode-se ser levado a utilizar uma rede de Petri nao limitadaquando se quer avaliar o desempenho de um sistema independentemente dos limitesdeseuselementosdearmazenamentointermedi arios.oconceitoderedesalvaapresentaointeresseseguinte: seoslugaresrepresentamcondic oesl ogicas, apresencademaisdeumachanumlugarsignicaqueumaincoerenciafoiintroduzidanomodelo. Emgeral,trata-sedeumacondic aologicacolocada a 1 durante um ciclo de funcionamento, que n ao foi utilizada (colocada a0) e que e recolocada a 1 no ciclo seguinte. Numa rede bin aria, apenas um processoe representado; as transicoes paralelas (efetivamente) que aparecem sao devidas ` asdivis oesexistentesemalgummomento, masquesesincronizamemseguida(verdiscuss aosec ao2.1.7);2.3.2 RedemarcadavivaTransicaoquasevivaUmatransicaotdeumaredemarcadaN=equasevivaseesomenteseexisteumaseq uenciadedisparostalques [ Ms M

e M

t . (2.21)Ouseja,atransic aot equasevivase epossvelsensibiliza-laporumamarcacaoM

dografodemarcac oesacessveis, obtida, apartirdamarcac aoinicial M, atravesdotirodeumaseq uenciadetransi coess, eventualmentevazia(s=). Diz-sequetpodesersensibilizadaapartirdeMatravesdodisparodaseq uencias. Aequac aoacimapodeserreescritasobaforma s [ Mst.TransicaovivaUmatransic aotdeumaredemarcadaN= evivaseesomentese:M

A(R, M), s [ M

st . (2.22)Paraserviva, atransicaotdevepodersersensibilizadaapartirdequalquermarcac aoM

dografodemarcac oesacessveis,atravesdeumaseq uenciasdedisparo.ConsiderearededePetridaFIG.2.8. Ografodasmarca coesacessveisassociado`amarcac aoinicial M=p3p4edadopelaFIG.2.9. Ve-sefacilmentequeatransic aodequaseviva,poispodeserdisparadaumavez(paraamarcacaoM= p3p4). Entretanto,n ao e viva: ap os este disparo, d e bloqueada,n ao sendo mais sensibilizada por nenhumamarcac ao. J a as transic oes a, b, c, e e fs ao vivas, pois para qualquer marcac ao acessvela partir de M, e possvel encontrar uma seq uencia s de disparo que leva a uma marca caoqueassensibiliza.Enecess ariotomarcuidadoporqueumatransic aopode,semserviva,aparecerumainnidade de vezes em seq uencias innitas de disparo de transic ao.E o caso da transic aognaFIG.2.10. Elapodesersempredisparadaantesdodisparoded,masn aopoder amaisserdisparadaap osodisparoded.2.3Propriedadesdomodelo 45p4p1p2p3acdbefFigura2.8: Transi caoquasevivaen aovivaabp24p23efbcacccebp1p2ap2p4fep1p4ap3p4p1p2p2p3p1p2p1p3p21p22bp1p2b cep3p4dff eafFigura2.9: Grafodasmarcac oes(transicaoquaseviva)RedemarcadavivaUmarededePetri marcadaN=evivaseesomentesetodas as suastransic oess aovivas:t T, M

A(R, M), s [ M

st . (2.23)Eimportanteobservarque:somente econsideradaaquiarededePetrimarcada;umarede de Petri vivagarante que nenhumbloqueiopode ser provocadopelaestruturadarede. Noentanto, elanaoprovaaausenciadeeventuaisbloqueiosprovocadosporumam ainterac aoentrearededePetri eseuambienteexterno(vermaisadiantenocaptulo4osproblemasligados` ainterpretacaodarededePetri);2.3Propriedadesdomodelo 46gp1p3acdbefp4p2Figura2.10: Transicaoquasevivaeseq uenciainnitaumarededePetrivivagarantetambemaausenciadepartesmortas(nuncaatin-gidas),valendoaquiamesmaobserva caoarespeitodainterpretac ao.Por exemplo, a rede de Petri da FIG. 2.1 e viva para a marcac ao inicial M= [ 0 3 0 ]T.J aarededaFIG. 2.8, paraM=p3p4n aooe, poisatransi caodn aoeviva(equaseviva).UmarededePetripodemuitobemsern aolimitadaeviva: eocaso, porexemplo,da rede da FIG. 2.7 (a seq uencia a b e sempre dispar avel qualquer que seja a marcac ao).2.3.3 RedemarcadareiniciavelUmaredemarcadaN= ereinici avel(oupr opria)seesomentese:M

A(R, M), s [ M

s M. (2.24)Epossvel, portanto,apartirdequalquermarcac aoacessvelM

deGA(R, M),en-contrarumaseq uenciadedisparosquelevearededevolta` amarcac aoinicial M. Amaioriadossistemaspossuemfuncionamentosrepetitivose,portanto,asredesdePetriutilizadaspararepresenta-loss aoreinici aveis.ConsiderearedemarcadadaFIG.2.11.a,cujografodemarcac oesacessveis edadopela FIG. 2.11.b. Esta rede e n ao reinici avel,pois nao existe nenhuma seq uencia de tiroquepermitavoltar` amarcac aoinicialM= p1p4ap osotirodatransic aoa. Noentanto,einteressanteobservarquearedeeviva, poisapartirdequalquermarca caoacessvel,existeumaseq uenciadedisparolevandoaumamarcac aoquesensibilizacadaumadastransic oesdarede.Masparaqualquerumadasseguintesmarcac oesiniciais: M=p2p4, M=p1p3ouM=p2p3, arededaFIG.2.11.ae, aomesmotempo, vivaereinici avel. Inversamente,arededePetri daFIG. 2.8ereinici avel paraamarcac aoM=p1semserviva, poisatransic aodnuncaser adisparada.Mais uma vez, e importante salientar que as propriedades que foram denidas s ao for-temente ligadas `a marca cao inicial. Considere, por exemplo, a rede de Petri da FIG. 2.12.Para a marca cao M= p1p3a rede e bin aria, viva e reinici avel. Se uma cha e adicionadano lugar p4a rede deixa de ser limitada (ver a seq uencia abab...). Enm para a marcac aoM= p1arede ebinariaenaoviva(nenhumatransic ao edisparavel).2.4Propriedadesestruturais 47p1p1p3p2p3aa) b)bp1p4ap2p4acbp2cp4p3Figura2.11: a)Reden aoreinici avel;b)Grafoassociadop5ac dp1p2p3bp4Figura2.12: Redecompropriedadesdependentesdamarca caoinicial2.4 PropriedadesestruturaisNesta sec ao ser ao consideradas as propriedades derivadas diretamente da estrutura darede de Petri e que, portanto, n ao dependem da sua marcac ao inicial. Estas propriedadess aodenidasatravesdoscomponentesconservativosdelugaredoscomponentesrepe-titivosestacion arios. Apartirdesteselem