the mathematica journal on the integral of the product of

The Mathematica® Journal

On the Integral of the Product of Three Bessel Functions over an Infinite DomainFourier-Space Representation of Nonlinear Dynamics of Continuous Media in Cylindrical GeometryS. K. H. Auluck

Fourier-space representation of the partial differential equations describing nonlinear dynamics of continuous media in cylindrical geometry can be achieved using Chandrasekhar–Kendall (C–K) functions defined over infinite domain as an orthogonal basis for solenoidal vector fields and their generating function and its gradient as orthogonal bases for scalar and irrotational vector fields, respectively. All differential and integral operations involved in translating the partial differential equations into transform space are then carried out on the basis functions, leaving a set of time evolution equations, which describe the rate of change of the spectral coefficient of an evolving mode in terms of an aggregate effect of pairs of interacting modes computed as an integral over a product of spectral coefficients of two physical quantities along with a kernel, which involves the following integral:

DHHm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''LL = Ÿ0¶r dr JmHg rL Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL,

involving the product of three Bessel functions of the first kind of integer order. This article looks at this integralʼs properties using a semi-empirical approach supported by numerical experiments. It is shown that this integral has well-characterized singular behavior. Significant reduction in computational complexity is possible using the proposed empirical approximation to this integral.

The Mathematica Journal 14 © 2012 Wolfram Media, Inc.

Fourier-space representation of the partial differential equations describing nonlinear dynamics of continuous media in cylindrical geometry can be achieved using Chandrasekhar–Kendall (C–K) functions defined over infinite domain as an orthogonal basis for solenoidal vector fields and their generating function and its gradient as orthogonal bases for scalar and irrotational vector fields, respectively. All differential and integral operations involved in translating the partial differential equations into transform space are then carried out on the basis functions, leaving a set of time evolution equations, which describe the rate of change of the spectral coefficient of an evolving mode in terms of an aggregate effect of pairs of interacting modes computed as an integral over a product of spectral coefficients of two physical quantities along with a kernel, which involves the following integral:

DHHm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''LL = Ÿ0¶r dr JmHg rL Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL,

involving the product of three Bessel functions of the first kind of integer order. This article looks at this integralʼs properties using a semi-empirical approach supported by numerical experiments. It is shown that this integral has well-characterized singular behavior. Significant reduction in computational complexity is possible using the proposed empirical approximation to this integral.

‡ IntroductionFourier-space representation of the nonlinear dynamics of continuous media is useful instudies on turbulent or self-organizing behavior that looks at the transport of energy acrossa wide range of scale lengths. Many problems in physics possess a native cylindrical geom-etry, and for such cases Chandrasekhar–Kendall (C–K) functions [1] (curl eigenfunctions)provide a complete orthogonal basis [2] for solenoidal fields, under appropriate boundaryconditions. C–K functions defined over a finite cylinder have been used as an orthogonalbasis for spatial-spectral expansion methods in plasma physics, usually in the incompress-ible regime [3, 4, 5], which neglects the role of irrotational fields in plasma dynamics.However, there are important physical effects [6] that involve a nonlinear interaction be-tween solenoidal and irrotational fields, which can be studied only if both irrotational andsolenoidal fields are taken into account on an equal footing.

The limitation to incompressible flows (or solenoidal fields in general) in spatial-spectralmethods referred to above arises from the fact that the radial component of C–K functionsand the radial derivative of their generating function (scalar potential solution of theHelmholtz equation) cannot both be zero on the same finite cylinder, so that the gradientof the generating function does not provide an orthogonal basis for irrotational flow. Incontrast, when defined over an infinite domain, the generating function and its gradient doserve as orthogonal bases for scalar and irrotational vector fields, respectively. This isequivalent to Fourier-space representation in cylindrical geometry.

Although the mathematics of Fourier-space representation deals with spatial dimensionsof the system and Fourier-space coordinates ranging from zero to infinity, no physical sys-tem has infinite size, and physical models of continuous media often stipulate a lowerbound on scale lengths as a condition for their applicability. An infinite domain thus has autilitarian meaning within the context of a physical theory: the upper and lower limits of in-tegral transforms used in a physical theory are physically meaningful large and small num-bers; mathematical zero and infinity are used to obtain the limit of a sequence of calcula-tions with increasingly smaller and larger limits of integration in the interest of obtaininga tractable model and experimentally verifiable predictions [7]. The C–K functions, eigenfunctions of the curl operator in cylindrical geometry (definedby unit vectors r̀, q

`, z̀ and with coordinates Hr, q, zL) are defined as “ µ A = s k A,

s = ±1, 0 b k b ¶. The set of eigenfunctions, labeled by the four parameters m, k, g, s, is

2 S. K. H Auluck


(1)Amkgs = k-2 expHi m q - i k zL

i g

2r̀HHs k + kL Jm+1Hg rL + Hs k - kL Jm-1Hg rLL +

g

2q`HHs k + kL Jm+1Hg rL - Hs k - kL Jm-1Hg rLL + z̀ g2 JmHg rL .

The parameter s labels circular polarizations and m is the azimuthal mode number; the ra-dial mode number g and axial mode number k are related to the magnitude of the eigen-

value by the relation k = g2 + k2 . The orthogonality relations over an infinite cylinderare:

(2)‡0

2 pdq ‡

-¶

¶

dz ‡0

¶

r dr Amkgs* Hr, q, zL ÿ Am' k' g' s'Hr, q, zL =

8 p2 k-2 g dmm' dss' dHk - k 'L dHg - g 'L.

For the infinite domain, the generating function of C–K functions

(3)ymkgHr, q, zL = JmHg rL expHi m q - i k zL

satisfies the relation

(4)‡0

2 pdq ‡

-¶

¶

dz ‡0

¶

r dr ymkg* Hr, q, zL ym' k' g'Hr, q, zL =

4 p2 g-1 dmm' dHk - k 'L dHg - g 'L,

and its gradient satisfies the following relations

(5)

‡0

2 pdq ‡

-¶

¶

dz ‡0

¶

r dr “ymkg* Hr, q, zL ÿ “ym' k' g'Hr, q, zL =

4 p2 k2 g-1 dmm' dHk - k 'L dHg - g 'L,

‡0

2 pdq ‡

-¶

¶

dz ‡0

¶

r dr “ymkg* Hr, q, zL ÿ Am' k' g' s'Hr, q, zL =

4 p2 i k-2Hk g ' - k ' gL dmm' dHk - k 'L dHg - g 'L = 0,

‡0

2 pdq ‡

-¶

¶

dz ‡0

¶

r dr “ymkgHr, q, zL ÿ Am' k' g' s'Hr, q, zL =

- iH-1Lm 4 p2 k-2Hk g ' + k ' gL dm,-m' dHk + k 'L dHg - g 'L = 0.

The orthogonality between the gradient of the generating function and the C–K functionsis an exact consequence of their structure and does not depend on their asymptotic behav-ior. Partial differential equations of the nonlinear dynamics of continuous media can betranslated into cylindrical Fourier space by performing all differential and integral opera-tions with respect to spatial variables on the basis functions, leaving a set of time evolu-tion equations. As an example, the equation of continuity,

(6)¶∂n

¶∂ t+ “ ÿ Hn vL = 0,

On the Integral of the Product of Three Bessel Functions over an Infinite Domain 3


can be written in transform space as

(7)

¶∂nmHs, tL

¶∂ t=

-g

4 p2‚s'

‚m'=-¶

¶

‚m''=-¶

¶

‡£

‡²″

wm£s£Hs ', tL nm²″Hs '', tL SH1L@Hm, sL, Hm ', s ''L,

Hm '', s ''L, s 'D

-g

4 p2‚

m'=-¶

¶

‚m''=-¶

¶

‡£

‡²″

um'Hs ', tL nm''Hs '', tL

9k '-1 SH2L@Hm, sL, Hm ', s 'L, Hm '', s ''LD -

k ' SH3L@Hm, sL, Hm ', s 'L, Hm '', s ''LD=,

with the following shorthand notation: Ÿ£

óŸ-¶¶ dk ' Ÿ0

¶dg '; sóHk, gL. The spectral coef-ficient of density is nmHk, g, tL, that of solenoidal velocity is wm sHk, g, tL, and that of irrota-tional velocity is umHk, g, tL. The functions SH1L, º⋯, SH3L of mode numbers used in equation(7) are defined as

(8)

SH1L@Hm, sL, Hm ', s 'L, Hm '', s ''L, s 'D ª ‡ d3 r ymkg* IAm' k' g' s' ÿ “M ym'' k'' g'' =

i k '-2 4 p2 dm,Hm'+m''L dHk ' + k '' - kL

:g ' g''

2Hs ' k ' + k 'LD@Hm, gL, Hm ' + 1, g 'L, Hm '' - 1, g ''LD -

g ' g ''

2Hs ' k ' - k 'LD@Hm, gL, Hm ' - 1, g 'L, Hm '' + 1, g ''LD -

k '' g '2 D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''LD>,

(9)

SH2L@Hm, sL, Hm ', s 'L, Hm '', s ''LD ª ‡ d3 r ymkg* I“ym' k' g' ÿ “M ym'' k'' g'' =

-4 p2 dm,Hm'+m''L dHk ' + k '' - kL :g ' g ''

2D@Hm, gL, Hm ' - 1, g 'L, Hm '' + 1, g ''LD +

g ' g ''

2D@Hm, gL, Hm ' + 1, g 'L, Hm '' - 1, g ''LD +

k ' k '' D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''LD>,

(10)SH3L@Hm, sL, Hm ', s 'L, Hm '', s ''LD ª ‡ d3 r ymkg

* ym' k' g' ym'' k'' g'' =

4 p2 dm, Hm'+m''L dHk ' + k '' - kLD@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''LD.

Time-evolution equations like (7) describe the rate of change of the spectral coefficient ofan evolving mode on the left-hand side (LHS) in terms of an aggregate effect of pairs of in-teracting modes on the right-hand side (RHS) computed as an integral over a product ofspectral coefficients of two physical quantities along with a kernel. The physics containedin the vector and differential operators of the partial differential equations is transferred tothe functions of mode numbers similar to SH1L, º⋯, SH3L, which involve the following inte-gral over an infinite domain consisting of products of three Bessel functions of the firstkind of integer order,

4 S. K. H Auluck


Time-evolution equations like (7) describe the rate of change of the spectral coefficient of

teracting modes on the right-hand side (RHS) computed as an integral over a product ofspectral coefficients of two physical quantities along with a kernel. The physics containedin the vector and differential operators of the partial differential equations is transferred tothe functions of mode numbers similar to SH1L, º⋯, SH3L, which involve the following inte-gral over an infinite domain consisting of products of three Bessel functions of the firstkind of integer order,

(11)D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D ª ‡0

¶

r dr JmH˝ rL Jm'H˝ ' rL Jm''H˝ '' rL.

This integral, referred to in the next section as the triple-Bessel (or 3B) integral, belongsto a class of integrals discussed by Watson [9, 10], whose analytical theory is not knownand is the subject of this article. From (7), its properties as a distribution are seen to be rele-vant, but not its numerical value as a conventional Riemann integral, which may not existfor some values of its arguments. The comment made above concerning the utilitarianmeaning of infinity in physical theory applies in this context, where properties of a se-quence of integrals similar to (11) with increasingly larger but finite upper limit can be in-vestigated usefully. The upper limit of integration is therefore mentioned as an argumentin (11). Whenever the argument is not mentioned, it is implied to be infinity. Transformation of the equations of continuity and momentum conservation in the two-fluid model of plasma into cylindrical Fourier space involves 115 instances of the 3B inte-gral in 19 expressions similar to those described in equations (8)–(10) [8]. Investigationsof plasma phenomena involving nonlinear interaction between solenoidal and irrotationalfields, such as self-organization or turbulence in the two-fluid plasma model, would bene-fit considerably if an adequate approximation of the 3B integral becomes available. Thisis the motivation of the present work.

‡ Properties of the Triple-Bessel IntegralThe 3B integral is trivially invariant under permutation of pairs of arguments Hm, gL,Hm ', g 'L, Hm '', g ''L. If the arguments g, g ', g '' are scaled as gè = g a, gè ' = g ' a, gè '' = g '' a,then the integral scales as

Dè@Hm, gèL, Hm ', gè 'L, Hm '', gè ''L, ¶D = a-2 D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D.

Since azimuthal mode numbers can be positive or negative integers or zero,

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, H-m '', g ''L, ¶D = H-1Lm'' D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D,

reflecting the property of Bessel functions of integer orders: J-nHxL = H-1Ln JnHxL.



Using the known relations for Bessel functions

(12)‡0

¶

g dg JmHg rL JmHg r 'L = r-1 dHr - r 'L;

‡0

¶

r dr JmHg rL JmHg ' rL = g-1 dHg - g 'L,

(13)JmHx + yL = ‚m'=-¶

¶

dm, Hm'+m''L Jm'HxL Jm''HyL,

the following properties of the triple-Bessel integral can be derived as

(14)‡0

¶

g dg JmHg rLD@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D =

‡0

¶

r ' dr ' Jm'Hg ' r 'L Jm''Hg '' r 'L r-1 dHr - r 'L = Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL.

The 3B integral is thus the Hankel transform of Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL of order m, and its in-verse Hankel transform is also seen to exist.Relations (12) and (13) yield

(15)

‚m'=-¶

¶

dm, Hm'+m''L D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D =

‡0

¶

r dr JmHg rL ‚m'=-¶

¶

dm, Hm'+m''L Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL

= ‡0

¶

r dr JmHg rL JmHHg ' + g ''L rL = Hg ' + g ''L-1 d Hg ' + g '' - gL.

For g = 0, JmHg rL = dm, 0. If in addition m ' = m '',

(16)D@Hm, 0L, Hm ', g 'L, Hm ', g ''L, ¶D = dm, 0Hg 'L-1 d Hg ' - g ''L.

For m = 0, m ' = m '', the following result is known [10, p. 412] in terms of Legendre func-tions Pl

m, Qlm:

(17)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm ', g ''L, ¶D =

0, g2 < Hg ' - g ''L2

Pm'-1ê21ê2 J

g'2+g''2-g2

2 g' g''N

g' g'' 2 p K1-J g'2+g''2-g2

2 g' g''N2O1ê4 , Hg ' - g ''L2 < g2 < Hg ' + g ''L2

H-1Lm' Qm'-1ê21ê2

Jg2-g'2-g''2

2 g' g''N

g' g'' p3ë2 KJg2-g'2-g''2

2 g' g''N2-1O

1ê4 , Hg ' + g ''L2 < g2.

6 S. K. H Auluck


The following simpler case is also known, corresponding to the case n = 0, equation 3 inWatson’s treatise [10, p. 411]:

(18)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm ', g ''L, ¶D =

H2 p DL -1, Hg ' - g ''L2 < g2 < Hg ' + g ''L2

0, g2 < Hg ' - g ''L2 or g2 > Hg ' + g ''L2

¶ , g2 = Hg ' - g ''L2 or g2 = Hg ' + g ''L2

where D = 14,HHg + g ' + g ''L Hg + g ' - g ''L Hg - g ' + g ''L H-g + g ' + g ''LL.

Relations (15)–(18) point to the existence of singular behavior of the 3B integral at spe-cific values of its arguments. While (17) and (18) are formulas for the 3B integrals in thesense of Riemann integrals, (15) and (16) refer to them in the sense of distributions.

‡ Approximation to the Triple-Bessel Integral This integral occurs as part of a kernel in an integral over the mode numbers g ', g '' overthe interval @0, ¶D, which itself is a term in a summation over azimuthal mode numbersm ', m '' (integers) from -¶ to +¶. Although the exact evaluation of this integral in thesense of a Riemann integral is probably not possible [9], the existence of the singular be-havior noted above suggests that its behavior in the neighborhood of singularities providesthe dominant contribution. In view of known difficulties in the analytical approach [10]and the availability of the sophisticated numerical integrator in Mathematica 8.0.4, a semi-empirical approach [11] is chosen. The upper limit of integration is taken as a large but fi-nite number R, so that the required integral can be treated as the limit of a sequence for in-creasing R. For large values of argument, the Bessel function can be approximated as [10]:

(19)JmHxL ~2

p xcos x -

1

2m p -

1

4p for large x.



The scaling property of the 3B integral discussed above suggests that the radial mode num-bers can always be scaled so that approximation (19) becomes a good approximation inmost of the infinite domain of integration (except perhaps in a small region around r = 0).This yields

(20)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RD = ‡0

Rr dr JmHg rL Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL

>2

p g

2

p g '

2

p g ''µ ‡

0

Rr-1ê2 dr cosKg r -

1

2m p -

1

4pO

cos g ' r -1

2m ' p -

1

4p cos g '' r -

1

2m '' p -

1

4p =

1

p 2 p g g ' g ''‡0

Rr-1ê2 dr cos Hg + g ' + g ''L r -

1

2Hm + m ' + m ''L -

3

4p

+1

p 2 p g g ' g ''‡0

Rr-1ê2 dr cos Hg - g ' - g ''L r -

1

2Hm - m ' - m ''L +

1

4p

+1

p 2 p g g ' g ''‡0

Rr-1ê2 dr cos Hg + g ' - g ''L r -

1

2Hm + m ' - m ''L -

1

4p

+1

p 2 p g g ' g ''‡0

Rr-1ê2 dr cos Hg - g ' + g ''L r -

1

2Hm - m ' + m ''L -

1

4p .

Each integral on the right-hand side of (21) is of the form

(21)IHP, Q, RL ª ‡

0

Rr-1ê2 dr ÿ cosHP r + Q p ê 2 + H2 p + 1L p ê 4L;

p = -2, -1, 0 and Q is an integer.

For P = 0,

(22)IHP, Q, RL = cosHQ p ê 2 + H2 p + 1L p ê 4L 2 R .

8 S. K. H Auluck


For P ¹≠ 0,

(23)

IHP, Q, RL = cosHQ p ê 2 + H2 p + 1L p ê 4L ‡0

Rr-1ê2 dr cosH†P§ rL -

sinHQ p ê 2 + H2 p + 1L p ê 4L signHPL ‡0

Rr-1ê2 dr sinH†P§ rL =

2 R :cosHQ p ê 2 + H2 p + 1L p ê 4LC 2 p-1 †P§ R

2 p-1 †P§ R-

sinHQ p ê 2 + H2 p + 1L p ê 4L signHPLS 2 p-1 †P§ R

2 p-1 †P§ R>.

The functions CHxL ª Ÿ0xcosIp t2 ë 2M dt and SHxL ª Ÿ0

xsinIp t2 ë 2M dt are the Fresnel cosineand sine integrals. Applying (24) to (21),

(24)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RD º

-1

p 2 gg ' g ''::cos

1

2pHm + m ' + m ''L + sin

1

2pHm + m ' + m ''L >

CK 2 p-1 †g + g ' + g ''§ R O

2 p-1 †g + g ' + g ''§ R-

:cos1

2pHm + m ' + m ''L - sin

1

2pHm + m ' + m ''L >

signHg + g ' + g 'LSK 2 p-1 †g + g ' + g ''§ R O

2 p-1 †g + g ' + g ''§ R> +

1

p 2 gg ' g ''::cos

1

2pHm - m ' - m ''L + sin

1

2pHm - m ' - m ''L >

CK 2 p-1 †g - g ' - g ''§ R O

2 p-1 †g - g ' - g ''§ R-

> +



(24)

:cos1

2pHm - m ' - m ''L - sin

1

2pHm - m ' - m ''L >

signHg - g ' - g ''LSK 2 p-1 †g - g ' - g ''§ R O

2 p-1 †g - g ' - g ''§ R> +

1

p 2 gg ' g ''::cos

1

2pHm + m ' - m ''L - sin

1

2pHm + m ' - m ''L >

CK 2 p-1 †g + g ' - g ''§ R O

2 p-1 †g + g ' - g ''§ R+

:cos1

2pHm + m ' - m ''L + sin

1

2pHm + m ' - m ''L >

signHg + g ' - g ''LSK 2 p-1 †g + g ' - g ''§ R O

2 p-1 †g + g ' - g ''§ R> +

1

p 2 gg ' g ''::cos

1

2pHm - m ' + m ''L - sin

1

2pHm - m ' + m ''L >

CK 2 p-1 †g - g ' + g ''§ R O

2 p-1 †g - g ' + g ''§ R+

:cos1

2pHm - m ' + m ''L + sin

1

2pHm - m ' + m ''L >

signHg - g ' + g ''LSK 2 p-1 †g - g ' + g ''§ R O

2 p-1 †g - g ' + g ''§ R>.

10 S. K. H Auluck


This can be simplified as follows: When m '' + m ' + m is an odd integer, the cosine term inthe ratio

:cosJ 12 pHm + m ' + m ''LN + sinJ 12 pHm + m ' + m ''LN>

:cosJ 12 pHm + m ' + m ''LN - sinJ 12 pHm + m ' + m ''LN>

is zero, so that the ratio is -1. Similarly, if this number is an even integer or zero, the sineterm is zero, so that the ratio must be +1. Hence this ratio can be represented asH-1LHm+m'+m''L. Applying this logic to (25),

(25)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RD º

-:cosJ 12 pHm + m ' + m ''LN + sinJ 12 pHm + m ' + m ''LN>

p 2 gg ' g ''

:KCK 2 p-1 †g + g ' + g ''§ R O - H-1LHm+m'+m''L signHg + g ' + g ''L

SK 2 p-1 †g + g ' + g ''§ R OO ì K 2 p-1 †g + g ' + g ''§ R O> +

:cosJ 12 pHm - m ' - m ''LN + sinJ 12 pHm - m ' - m ''LN>

p 2 gg ' g ''

:KCK 2 p-1 †g - g ' - g ''§ R O - H-1LHm-m'-m''L signHg - g ' - g ''L

SK 2 p-1 †g - g ' - g ''§ R O ì K 2 p-1 †g - g ' - g ''§ R OO> +

:cosJ 12 pHm + m ' - m ''LN - sinJ 12 pHm + m ' - m ''LN>

p 2 gg ' g ''

:KCK 2 p-1 †g + g ' - g ''§ R O + H-1LHm+m'-m''L signHg + g ' - g ''L

SK 2 p-1 †g + g ' - g ''§ R OO ì K 2 p-1 †g + g ' - g ''§ R O> +

:cosJ 12 pHm - m ' + m ''LN - sinJ 12 pHm - m ' + m ''LN>

p 2 gg ' g ''

:KKCK 2 p-1 †g - g ' + g ''§ R O + H-1LHm-m'+m''L signHg - g ' + g ''LO

SK 2 p-1 †g - g ' + g ''§ R OO ì K 2 p-1 †g - g ' + g ''§ R O>.



Equation (25) has the advantage that both its sides can be independently computed, andtheir numerical equivalence and computational time can be compared, particularly at thesingular points. Each term in (25) has a factor of the form

(26)Q±HHx - aL RL ª:CK 2 p-1 †x - a§ R O± signHx - aL SK 2 p-1 †x - a§ R O>

2 p-1 †x - a§ R.

The functions Q±HxL, which are mirror images of each other, are plotted in Figure 1 andsome numerical values are shown in Table 1.

-40 -20 0 20 40-0.20.00.20.40.60.81.01.2

x

Q+HxL

-1000 -500 0 500 1000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

Q+HxL

-40 -20 0 20 40-0.20.00.20.40.60.81.01.2

x

Q-HxL

-1000 -500 0 500 1000-0.20.00.20.40.60.81.01.2

x

Q-HxL

Ú Figure 1. Plot of functions Q±HxL.

12 S. K. H Auluck


Q±(x) ± x1.22747 1.30512 (Maximum)1.0 0, 2.724580.9 -0.278373, 3.070650.8 -0.527887, 3.405070.7 -0.761583, 3.750280.613735 -0.9564366748, 4.077167171 HHalf-MaximumL

0.6 -0.987166, 4.133610.5 -1.21026, 4.61558, 7.68346, 8.842240.4 -1.43586, 10.15980.3 -1.66937, 16.6852, 20.3536, 21.607

Ú Table 1. Numerical values of functions Q±HxL.

For a large but finite number R, only one term out of four in (25) dominates wheng ± Hg '± g ''L = x R-1 a 1, and then the integral has the value

(27)

DAIm, g ' + g '' + x R-1M, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RE º

8cosHpHm - m ' - m ''L ê 2L + sinHpHm - m ' - m ''L ê 2L<

QH-1LHm-m'-m''LHxL R

p p °g ' + g '' + x R-1• g ' g '',

(28)

DAIm, †g ' - g ''§ + x R-1M, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RE º

8cosHpHm - signHg ' - g ''L Hm ' - m ''LL ê 2L +sinHpHm - signHg ' - g ''L Hm ' - m ''LL ê 2L<

Q-H-1LIm-signHg'-g''L Hm'-m''LHxL R

p pI°†g ' - g ''§ + x R-1•M g ' g ''; g ' - g '' ¹≠ 0.

The full width at half maximum (FWHM) of the peaks of D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RDas a function of any one of the radial mode number arguments is seen to be ~5 R-1, irre-spective of other arguments. The semi-empirical relations (27) and (28), based on a largebut finite upper limit of integration, are numerically validated in the next section, showingthat (20) is a reasonably good approximation near the upper and lower singularities atg ' + g '' and †g ' - g ''§.



When g ' and g '' are equal, the last two terms in (25) become comparable, and (28) breaksdown. However, the question of how close g ' and g '' can be before (28) breaks down canform the basis of a numerical experiment. Set g '' = g ' I1 + y x R-1M, where y is a suffi-ciently large positive number. Then (28) takes the form

(29)

DAIm, H†g ' y x§ + xL R-1M, Hm ', g 'L, Im '', g ' I1 + y x R-1MM, RE º

8cosHpHm + signHxL Hm ' - m ''LL ê 2L + sinHpHm + signHxL Hm ' - m ''LL ê 2L<Q-H-1Lm+signHxL Hm'-m''LHxL R

p g ' pH††y x§ + x§L I1 + y x R-1M

.

The ratio of the numerically evaluated LHS and RHS for randomly selected parameterscan be plotted against †g ' - g ''§ ê g ' by varying y over many decades. This is considered inthe next section. The value of y above which the formula breaks down is seen to be of the

order of 1010, irrespective of the upper limit of integration, which is varied over fivedecades. The numerical experiments show that (28) remains valid for increasingly closevalues of g ' and g '' as the limit of integration is increased.

The limit R Ø ¶ requires some care. It is seen from (27) and (28) that the maximum ofD@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RD at †g ± Hg '± g ''L§ = 1.30521 R-1 shifts to †g ± Hg '± g ''L§ U 0and tends to infinity. At the same time, the FWHM of the peak tends to zero. Theweighted area of the peak at g = †g '± g ''§ for a smooth weight function wHgL is defined interms of an arbitrarily small positive number d and a function f HeL where limeØ0 f HeL = 1as

(30)

‡g'+g''-d

g'+g''+ddg ÿ g wHgL f HeLD@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D =

limRØ¶

‡-d

d

dIx R-1M ÿ wIg ' + g '' + x R-1M g ' + g '' + x R-1

f HeLDAIm, g ' + g '' + x R-1M, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RE .

For smooth weight functions, wIg ' + g '' + x R-1M Ø wHg ' + g ''L in the limit as R Ø ¶, andthe integral on the RHS of (29) can be written as

(31)

‡-d

d

dIx R-1M wIg ' + g '' + x R-1M f HeL g ' + g '' + x R-1

DAIm, g ' + g '' + x R-1M, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RE @

8cosHpHm - m ' - m ''L ê 2L + sinHpHm - m ' - m ''L ê 2L<wHg ' + g ''L

p pg ' g ''‡-d R

d Rdx f HeLQH-1LHm-m'-m''LHxL IR

-1M R .

Observing that the integral Ÿ-¶¶Q±HxL dx does not converge, choose e = x ê HRHg ' + g ''LL,

f HeL ª 1 ë I1 + e2M in order to ensure convergence in the infinite limit of R. The integral onthe RHS of (30) is then evaluated with infinite limits

14 S. K. H Auluck


Observing that the integral Ÿ-¶¶Q±HxL dx does not converge, choose e = x ê HRHg ' + g ''LL,

f HeL ª 1 ë I1 + e2M in order to ensure convergence in the infinite limit of R. The integral onthe RHS of (30) is then evaluated with infinite limits

(32)‡-¶

¶

dx ÿQH-1LHm-m'-m''LHxL

1 + Hx ê Hg ' + g ''L RL2IR-1M R =

p3ê2

2g ' + g '' erfB R g ' + g '' F.

The weighted area under the peak is therefore given by the R Ø ¶ limit of (31)

(33)

‡g'+g''-d

g'+g''+ddg ÿ wHgL f HeL g D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D @

8cosHpHm - m ' - m ''L ê 2L + sinHpHm - m ' - m ''L ê 2L<wHg ' + g ''L g ' + g ''

2 g ' g ''.

Similar logic can be applied to (28) when †g ' - g ''§ is treated as a fixed nonzero number

(34)

‡†g'-g''§-d

†g'-g''§+ddg ÿ wHgL f HeL g D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D @

8cosHpHm - signHg ' - g ''L Hm ' - m ''LL ê 2L +sinHHm - signHg ' - g ''L Hm ' - m ''LL ê 2L<

wH†g ' - g ''§L †g ' - g ''§

2 g ' g ''; g ' - g '' ¹≠ 0.

The region away from singularities does not need a finite upper limit of integration. Forthis case, a better approximation for the 3B integral can be constructed by applying (19) toonly two out of three Bessel functions:

(35)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D approx º

-sinHpHm ' + m ''L ê 2L

p g ' g ''‡0

¶

dr JmHg rL cosHHg ' + g ''L rL +

cosHpHm ' + m ''L ê 2L

p g ' g ''‡0

¶

dr JmHg rL sinHHg ' + g ''L rL +

cosHpHm ' - m ''L ê 2L

p g ' g ''‡0

¶

dr JmHg rL cosH†g ' - g ''§ rL +



(35)

sinHpHm ' - m ''L ê 2L signHg ' - g ''L

p g ' g ''‡0

¶

dr JmHg rL sinH†g ' - g ''§ rL

This can be computed by recognizing that (for positive m)

(36)

‡0

¶

dr JmHg rL cosHw rL =QHg - wL cosIm arcsinIwg-1MM

g 1 - Iwg-1M2

-

sinHp m ê 2L QHw - gL

g Iwg-1M2

- 1 + Iwg-1M

m

Iwg-1M2

- 1

,

(37)

‡0

¶

dr JmHg rL sinHw rL =QHg - wL sinIm arcsinIwg-1MM

g 1 - Iwg-1M2

+

cosHp m ê 2L QHw - gL

g Iwg-1M2

- 1 + Iwg-1M

m

Iwg-1M2

- 1

.

The Heaviside Q-function in (36) and (37) excludes the singular points. Some general fea-tures of this approximate expression require attention. For all pairs of primed azimuthalmode numbers whose sum is even (or odd), the expression is unchanged. For g ' = g '', thethird term in (35) varies as Hgg 'L-1, and the fourth term is zero. For g p Hg ' + g ''L, the ex-pression oscillates rapidly as cosIm arcsinIHg ' + g ''L g-1MM and at the same time falls off in

magnitude as g-1. For 0 < g ` †g ' - g ''§, the last terms of (36) and (37) provide a sharpfall. Significant magnitude of the expression is thus expected only in the region satisfyingthe triangle inequality: †g ' - g ''§ < g < Hg ' + g ''L as in the analytical results (17) and (18).

A computational survey of the behavior of the above approximation to the 3B integral canbe graphically presented in terms of scaled parameters gè ' ª g-1 g ', gè '' ª g-1 g '', makinguse of the scaling relation mentioned above:

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D = g2 Dè@Hm, 1L, Hm ', gè 'L, Hm '', gè ''L, ¶D.

16 S. K. H Auluck


This may be conveniently displayed in terms of the scaled gè :

gè s = H1 - †gè ' - gè ''§L ê Hgè ' + gè '' - †gè ' - gè ''§L .

This parameter is negative below the lower singularity and greater than 1 above the uppersingularity.This is considered in the next section.

‡ Numerical Exploration of the Triple-Bessel IntegralNumerical exploration of the triple-Bessel integral, treated as a function of g for given val-ues of g ', g '', uses Mathematica 8.0.4, which implements sophisticated algorithms for nu-merical integration of highly oscillating functions with user-defined precision. Since the in-tegral is expected to diverge at g = †g '± g ''§, the upper limit of numerical integration iskept at a high but finite number, which is also a parameter varied in the study. Although the NIntegrate function in Mathematica is well tested, it is nevertheless pru-dent to benchmark it against the known result (18) in order to confirm that its options andparameters are correctly chosen for the intended application. The result of benchmark cal-culations is displayed in Figure 2, which summarizes the results of thousands of calcula-tions with randomly generated arguments satisfying the triangle inequality and locatednear the lower singularity, upper singularity, or between the singularities. It is seen thatthere is quite good, but not perfect, agreement between the numerically calculated resultand the formula for the following options: MaxRecursion Ø 1000,AccuracyGoal Ø 11, PrecisionGoal Ø 11, and WorkingPrecision Ø 50,which were chosen after a few trials. Outside the triangle inequality region, NIntegrate gives very small values, consistentwith the zero value from the analytical formula.The upper limit of integration used in these calculations is symbolic Infinity, which isinterpreted by NIntegrate as a large number that delivers the requested performance.The upper limit thus may not be the same in all calculations of the triple-Bessel integral.Using arbitrary fixed large numbers for the upper limit, however, gives absurd results.



10-10 10-7 10-4 0.1 100 105

1.0

10.0

5.0

2.0

3.0

1.5

7.0

Formula

NumericalIntegration¸Formula

Benchmark Test within Triangle InequalitySummary of 3600 calculations

Ú Figure 2. Result of 3600 calculations of D@H0, gL, H0, g 'L, H0, g ''L, ¶D with randomly chosen g ' and g '' in various decade ranges and g randomly chosen to lie in the region between †g ' - g ''§ and Hg ' + g ''L.

Figures 3 and 4 show the detail of the variation (magnified 107 times) of the triple-Besselintegral, treated as a function of g for g ' = 4.5, g '' = 3.7, m ' = 2, m '' = 3, m = 5 in the

neighborhood of Hg ' + g ''L and †g ' - g ''§ , with integration limit 1010. The relevant Mathe-matica code is shown in Appendix 2. Figure 3 took over six hours to generate on a Core-2Duo, 2 GHz, 4 GB ram machine. The resemblance of the shape of the plot to the functionsQ±HxL is evident. Note the glitches at values of g away from the singularity, showing thatthe numerical integrator does not work well for some values of the parameters. Sinceg ' - g '' > 0, the sign of the singularity in Figure 4 (time of computation: nearly ninehours) is negative for the given values of azimuthal mode numbers, as predicted by (29).

18 S. K. H Auluck


-1000 -500 0 500 1000

0

500

1000

1500

Hg-Hg'+g''LL µ 1010

D

Ú Figure 3. 107 magnification detail in the neighborhood of Hg ' + g ''L: g ' = 4.5, g '' = 3.7, m ' = 2, m '' = 3, m = 5. Time required: about 22000 seconds.

-1000 -500 0 500 1000-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

Hg-Hg'+g''LL µ 1010

D

Ú Figure 4. 107 magnification detail in the neighborhood of †g ' - g ''§: g ' = 4.5, g '' = 3.7, m ' = 2, m '' = 3, m = 5. Time required: about 31000 seconds.

A randomized parameter space survey of (27) was carried out using the following proto-col: 200 values of g ' and g '' were chosen randomly in each of four decades from 10-1 to

103, x was chosen randomly in the range -50 to 50, and integers m, m ', m '' were chosenrandomly in the range 0 to 100. For each set of parameters, the result of numerical integra-tion over the limit 10r, r in the range of 9–12, divided by the value calculated using (27),was plotted against the latter. The result is summarized in Figure 5. A similar exercise forequation (28) is summarized in Figure 6. The code used is described in Appendix 3. It isseen that a higher integration limit gives less deviation from the formula.



A randomized parameter space survey of (27) was carried out using the following proto-col: 200 values of g ' and g '' were chosen randomly in each of four decades from 10-1 to

103, x was chosen randomly in the range -50 to 50, and integers m, m ', m '' were chosenrandomly in the range 0 to 100. For each set of parameters, the result of numerical integra-tion over the limit 10r, r in the range of 9–12, divided by the value calculated using (27),was plotted against the latter. The result is summarized in Figure 5. A similar exercise forequation (28) is summarized in Figure 6. The code used is described in Appendix 3. It isseen that a higher integration limit gives less deviation from the formula.

Ê ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ

ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê Ê ÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ

ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê

Ê

ÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê Ê ÊÊ

Ê Ê ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊ

ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê

Ê

ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ

ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ

Ê Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê Ê ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ Ê Ê ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê Ê ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ

Ê

ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡

‡

‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ

ÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï Ï ÏÏÏ Ï ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï Ï ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ Ï Ï ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú Ú ÚÚÚ Ú ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú Ú ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ Ú Ú ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù Ù ÙÙÙ Ù ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙÙ Ù ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙ Ù Ù ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙÙ Ù Ù ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙÙÙ Ù ÙÙÙ Ù

10-6 10-4 0.01 1 100 1040

1

2

3

4

Formula


Upper Singularity Random TestSummary of calculations with 1010 random sets

Ù Upper limit 1013

Ú Upper limit 1012

Ï Upper limit 1011

‡ Upper limit 1010

Ê Upper limit 109

Ú Figure 5. Randomized parameter space survey of formula (27).

ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ

Ê

ÊÊ Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê Ê

Ê

ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ

Ê

ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ

Ê

ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ

Ê

ÊÊ Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ

Ê

ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ

Ê

ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊ

ÊÊ ÊÊ

Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ

ÊÊ Ê Ê ÊÊÊ

Ê

Ê

ÊÊÊ ÊÊÊ

Ê

ÊÊ Ê

Ê

ÊÊÊ

ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ Ê

Ê

ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ

Ê

Ê ÊÊ

ÊÊÊ ÊÊÊ

Ê ÊÊÊ ÊÊÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê ÊÊ

Ê

Ê ÊÊÊÊÊÊ Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊÊÊ

Ê

ÊÊÊ

Ê

Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊ

Ê

ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê ÊÊ Ê Ê ÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ Ê

Ê

ÊÊ

Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ

ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê

Ê

Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ

Ê

Ê ÊÊÊÊ

ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê Ê

Ê

ÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊ Ê

Ê

Ê ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ

Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ Ê Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê Ê ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ

Ê

ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡

‡‡‡ ‡‡‡

‡

‡‡ ‡

‡

‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡

‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡

‡

‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡

‡

‡‡

‡

‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡

‡‡ ‡‡‡‡‡

‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡

‡

‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡

‡

‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡

‡

‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡

‡

‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡

‡

‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ

ÏÏÏÏ

ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ

Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ

ÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚÚ Ú Ú ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ Ú Ú ÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú Ú ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÙÙÙ Ù ÙÙÙÙÙÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙ Ù Ù ÙÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙ Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙÙÙ Ù ÙÙÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ Ù ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ Ù ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙÙÙ ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙ Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙÙÙÙ

10-6 10-4 0.01 1 100 104

0.0

0.5

1.0

1.5

Formula


Lower Singularity Random TestSummary of calculations with 1000 random sets

Ù Upper limit 1013

Ú Upper limit 1012

Ï Upper limit 1011


Ê Upper limit 109

Ú Figure 6. Randomized parameter space survey of formula (28).

As discussed in the previous section, (28) is expected to break down when g ' and g '' aresufficiently close, since the assumption concerning domination of only one term of (25)fails. This phenomenon is explored in the following test. (See Appendix 4).

20 S. K. H Auluck


The closeness of g ' and g '' is quantified in terms of a multiple y of the parameter x R-1,which scans the width of the peak by setting g '' = g ' I1 + y x R-1M. For a set of randomly se-lected parameters m, m ', m '', g ', and x, the ratio of values obtained from numerical integra-

tion and (28) is plotted against y, which varies over 11 decades from 100 to 1010. This plot

is generated for five values of upper integration limit 1014, 1015, 1016, 1017, and 1018 forthe same set of randomly selected parameters, This is repeated for many randomly se-lected sets of m, m ', m '' in the range 0 to 100, 50 random values of g ' in each of four

decades from 10-1 to 102, and x in the range -50 to 50. The result is shown in Figure 7.The formula is seen to hold good when y is above 1010, irrespective of the limit ofintegration.

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊÊ Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊÊ

Ê


Ê

Ê

ÊÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ ÊÊ Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê ÊÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê ÊÊ


Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê

ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê


Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê


Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê


ÊÊ

Ê


Ê

Ê

Ê

Ê


Ê


Ê ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê


Ê

Ê

ÊÊ

Ê


Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ


Ê

Ê


Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê


Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê




Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê


Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡ ‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

‡

‡

‡

‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï ÏÏ

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï

ÏÏ

Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ ÏÏ Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ ÏÏ Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏÏ

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï


Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

ÏÏ Ï


Ï

Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï


Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï

ÏÏ

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ ÏÏ

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï


Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï


Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ

ÏÏ Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï

ÏÏ

ÏÏ Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï

Ï

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï

Ï


Ï

Ï

Ï


ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï


ÏÏ Ï


ÏÏ

Ï


Ï


Ï

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏÏ

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï


Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ


Ï

Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï


Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï


Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï


Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï


ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï

Ï

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï ÏÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚÚ

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

ÚÚ ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú


Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ


ÚÚ Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú

ÚÚ

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ

Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú ÚÚ

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú


Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú ÚÚ

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú

Ú


ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

ÚÚ


ÚÚ Ú


Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú


ÚÚ


Ú

Ú

Ú

Ú


Ú

Ú


Ú

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ


ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú


Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú


Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú


ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú ÚÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù ÙÙ

Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù



Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù


Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù ÙÙ Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù


Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù

ÙÙ

Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ


Ù Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù Ù


Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù


Ù

ÙÙ


Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù


Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù


Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù


ÙÙ

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ

Ù

Ù

ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù ÙÙ Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù Ù

Ù

Ù

Ù


1 100 104 106 108 1010-20

-10

0

10

20

y

Num

ericalIntegration¸Formula

Nearly Degenerate Case Random TestSummary of calculations with 200 random sets

Ù Upper limit 1018Ú Upper limit 1017Ï Upper limit 1016‡ Upper limit 1015Ê Upper limit 1014

Ú Figure 7. Randomized parameter space survey of formula (28) with g '' = g ' I1 + y x R-1M.



The same dataset is displayed as a function of †g ' - g ''§ ê g ' in Figure 8 for different valuesof the upper limit of integration.

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

10-15 10-13 10-11 10-9 10-7 10-5 0.001-600

-400

-200

0

200

400

Hg-Hg'+g''LL

Num



Integration limit 1015

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê


Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4-400

-200

0

200

400

Hg-Hg'+g''LL

Num




Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊÊ Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê


Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

10-15 10-13 10-11 10-9 10-7 10-5

-400

-200

0

200

400

Hg-Hg'+g''LL

Num





ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ

ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê

10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6

-400

-200

0

200

400

Hg-Hg'+g''LL

Num




Ú Figure 8. Randomized parameter space survey of formula (28) with g '' = g ' I1 + y x R-1M. The agree-ment between numerical integration and formula becomes better at closer values of †g ' - g ''§ êg ' as the limit of integration is increased.

Formula (28) is seen to be valid for increasingly smaller values of difference in g ' and g ''as the limit of integration is increased: less than a few parts per million when the integra-tion limit is 1018. For infinite limit of integration, the formula should therefore hold for ar-bitrarily close g ' and g ''.

The significance of numerical validation of (27) and (28) demonstrated above is that the de-pendence of the polarity of the peak on the three azimuthal mode numbers is correctly re-produced without a single error in several thousand calculations (where g ' and g '' differmore than a few parts per million), in addition to a reasonable agreement with peak ampli-tude and shape, for a large number of randomly selected parameters. A similar exercise for the better approximation for regions away from singularities, for-mula (35), gives a very different picture: the formula overestimates the numerically calcu-lated integral by several orders of magnitude. In order to understand this, a randomized sur-vey of the approximation (35) and the numerical integration with upper limits 1030, 1060,1090 was carried out and is summarized below. The program used in this survey is givenin Appendix 5. The parameters used in the survey were: MaxRecursion Ø 1000,AccuracyGoal Ø 11, PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø 200.NIntegrate did not report any errors. Consistency of the trend in the survey suggeststhat the 3B integral tends to zero for the infinite upper limit of integration wheng ¹≠ †g '± g ''§: a (tentative) conclusion, which is predicated on the assumption thatNIntegrate works correctly in these kinds of calculations. That can, in principle, be fur-ther examined by repeating this test for a much larger number of calculations and many dif-ferent sets of options.

22 S. K. H Auluck


A similar exercise for the better approximation for regions away from singularities, for-mula (35), gives a very different picture: the formula overestimates the numerically calcu-lated integral by several orders of magnitude. In order to understand this, a randomized sur-vey of the approximation (35) and the numerical integration with upper limits 1030, 1060,1090 was carried out and is summarized below. The program used in this survey is given

AccuracyGoal Ø 11, PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø 200.NIntegrate did not report any errors. Consistency of the trend in the survey suggeststhat the 3B integral tends to zero for the infinite upper limit of integration wheng ¹≠ †g '± g ''§: a (tentative) conclusion, which is predicated on the assumption thatNIntegrate works correctly in these kinds of calculations. That can, in principle, be fur-ther examined by repeating this test for a much larger number of calculations and many dif-ferent sets of options.Using symbolic Infinity for the upper limit in these calculations is found to give ab-surd results. There is thus a distinct possibility that NIntegrate sometimes behaves inan anomalous manner while calculating the triple-Bessel integral.

ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ

ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ

ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ Ê

ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊÊ Ê ÊÊ Ê ÊÊÊ ÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ ÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊ

ÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊÊ ÊÊÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊÊÊÊ ÊÊÊ Ê ÊÊ ÊÊ

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ Ê

ÊÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊÊ

ÊÊ

Ê

ÊÊÊ

Ê Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊÊ

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊÊ ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

ÊÊ ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊÊÊ

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊÊ ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

ÊÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê ÊÊÊ

ÊÊÊ

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊÊ

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê Ê

ÊÊ Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê ÊÊ

Ê

Ê

Ê

ÊÊÊ

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

ÊÊ Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê Ê

ÊÊ

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÊÊ

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

‡‡ ‡‡ ‡‡‡

‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡

‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡

‡ ‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡

‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡

‡ ‡‡

‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡

‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡

‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡

‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡

‡‡‡ ‡‡

‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡

‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡

‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡

‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡

‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡

‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡‡

‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡

‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡

‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡

‡‡‡ ‡ ‡‡‡

‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡

‡ ‡‡ ‡‡

‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡

‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡

‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡

‡‡‡‡ ‡‡‡

‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡

‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡

‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡

‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡

‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡

‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡

‡‡‡ ‡‡‡‡‡

‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡

‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡

‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡

‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡

‡‡

‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡

‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡

‡

‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡

‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡

‡ ‡‡‡‡‡‡

‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡

‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡

‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡

‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡

‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡

‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡

‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡

‡‡ ‡‡ ‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡

‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡‡‡ ‡‡‡ ‡‡‡

‡

ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ

ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ Ï Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ

ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ

ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ

ÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ

Ï ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏ

Ï ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ

ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ

ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ

ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ Ï

ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ

ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ

ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ

ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ Ï

Ï Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ

Ï ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï

Ï Ï ÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ Ï

ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏ

ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏ Ï

Ï ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ

ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏ

ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ

ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ

Ï ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ Ï

ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ

Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ Ï

Ï

Ï ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ

ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï

Ï ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ

ÏÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏ ÏÏÏÏ

ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ

Ï ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏ

ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ Ï ÏÏ

ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ ÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏÏ Ï ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏ

ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏ ÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏ Ï

ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ

ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ Ú Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ

ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ

Ú ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ

Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ

Ú ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ

ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ Ú

ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ

Ú Ú ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ Ú

Ú

ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ

ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú

ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ

Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ Ú

ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ Ú

ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú Ú ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ

ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ

ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ

ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ

ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ

Ú ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚ Ú

ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ

ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ

ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ

ÚÚ

ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ

Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ Ú

Ú

Ú ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ

ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ

Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ

ÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ ÚÚ

ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚ Ú

ÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ

ÚÚ

ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ

ÚÚÚÚ

ÚÚÚÚ ÚÚ ÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚÚ Ú ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ

ÚÚÚ ÚÚ ÚÚÚÚÚÚ

ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ Ú

-2 0 2 410-56

10-46

10-36

10-26

10-16

10-6

Scaled gè

NumericalIntegrationorformula

Random Test Away from SingularitiesSummary of 1500 calculations

Ú Upper limit 1090

Ï Upper limit 1060


Ê Formula

Ú Figure 9. Randomized survey of Dè@Hm, 1L, Hm ', gè 'L, Hm '', gè ''L, RD as functions of scaled gè , which are

gè s = H1 - †gè ' - gè ''§L ê Hgè ' + gè '' - †gè ' - gè ''§L for various upper limits compared with (35).

The reasonable degree of agreement between the results of three theoretical formulas((18), (27), and (28)) and numerical integration (with symbolic Infinity as the upperlimit for (18) and a large number as the upper limit in (27) and (28)), with randomly se-lected parameters, tends to establish the credibility of numerical integration. At the sametime, the fact that absurd results are produced by using a large number as the upper limitin the test for (18) and symbolic Infinity as the upper limit in the above test suggeststhat there is scope for improvement in the implementation of NIntegrate.



‡ Proposed Approximate Formula for the Triple-Bessel Integral The above discussion and numerical experimentation lead to the following observations,subject to the caveat concerning the correct behavior of NIntegrate:

1. D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D tends to infinity as g Ø †g '± g ''§.

2. The FWHM of the peak of D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, RD at g = †g '± g ''§ tends tozero as R Ø ¶.

3. The weighted integrals (32) and (33) over this peak converge to finite values forsmooth weight functions.

4. Both outside and within the triangle inequality region †g ' - g ''§ < g < Hg ' + g ''L,D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D is negligibly small.

These observations suggest the following approximate semi-empirical representation ofthe 3B integral in the sense of distribution with respect to g for smooth weight functions:

(38)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D º8cosHpHm - m ' - m ''L ê 2L + sinHpHm - m ' - m ''L ê 2L<

1

2 g ' g ''dHg - Hg ' + g ''LL

+8cosHpHm - Hm ' - m ''LL ê 2L + sinHpHm - Hm ' - m ''LL ê 2L<1

2 g ' g ''dHg - Hg ' - g ''LL HHg ' - g ''L

+8cosHpHm + Hm ' - m ''LL ê 2L + sinHpHm + Hm ' - m ''LL ê 2L<1

2 g ' g ''dHg - Hg '' - g 'LL HHg '' - g 'L.

Here, HHxL = 1 for x r 0, and HHxL = 0 for x < 0. Note the inclusion of the case g ' = g '':this is proposed as the generalization of the results displayed in Figure 8 to the infinite inte-gration limit. Putting g = 0, m = 0, m ' = m '' in (38) recovers the usual orthogonality for-mula (12) for Bessel functions, supporting the discussion concerning equation (33) andalso the inclusion of the g ' = g '' case.

24 S. K. H Auluck


Essentially, (38) assumes, without rigorous mathematical proof but with supporting evi-dence from a limited number of numerical experiments [11], that the integral of arbitraryweight functions within and outside the triangle inequality region †g '- g ''§ < g < Hg '+ g ''Lis negligibly small as compared with the contribution from the singularities. The analyti-cal results (17) and (18) support this assumption for the region outside the triangleinequality. An argument supporting the assumption outside the triangle inequality regionis outlined in Appendix 6. As with all approximations, (38) may have a kind of remainder,probably representing the contribution within the triangle inequality region, whose upperbound is at present not determined. The approximate nature of this formula is evident notonly from the use of approximation (19) in the above discussion, but also from the factthat it cannot be used to obtain the exact relations (14) and (15). Its only claim to merit is that it is a less restrictive approximation than the total neglectof irrotational and scalar fields in spatial-spectral treatments of nonlinear dynamics ofcontinuous media. Adoption of (38) as a kind of tentative semi-empirical model for thetriple-Bessel integral, at least until a better replacement becomes available, would enableconstruction of a theoretical framework for studying effects arising out of the nonlinear in-teraction of solenoidal and irrotational electron modes in the two-fluid plasma model incylindrical geometry [6], which is currently an intractable problem. This framework canbe improved if and when further research, hopefully motivated by this discussion, leads toa better representation of (38).

‡ Discussion The insight gained above about the properties and numerical behavior of the 3B integralhas significant implications concerning the usefulness of the Fourier space representationof nonlinear dynamics of continuous media in cylindrical geometry. The question, how faris infinity?, in the context of a physical theory, is seen to have an answer in terms of the er-ror with which a physical quantity, such as radial mode number, might be defined usingan experimental procedure. Two radial mode numbers may then be considered equivalentif their difference lies within the error band. The reciprocal of this error band would thenrepresent the order of magnitude of the limit of integration in coordinate space, which re-produces, within experimental errors, the result that nonlinear interaction of these modesgenerates a near-zero radial-mode-number mode. The origin of the singularities in this integral, treated as a function of three radial andthree azimuthal mode numbers, can be seen from (20) to lie in resonant interaction be-tween three waves of radial mode numbers g, g ', g '', having phases governed by the az-imuthal mode numbers m, m ', m '', when any radial mode number equals the sum or differ-ence of the other two radial mode numbers.



The triple-Bessel integral occurs in expressions that describe how the rate of change of thespectrum of a given quantity (the evolving mode), labeled by mode numbers 8m, k, g, s<without primes, depends on the interaction between the spectra of two other quantities, la-beled by primed mode numbers (the interacting modes) and is accompanied by the factordm,m'+m''. The semi-empirical model (38) then takes on a much simpler form, expressed be-low as a distribution with respect to g '' using the invariance with respect to a permutationof pairs of arguments Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L:

(39)

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm - m ', g ''L, ¶D º

1

2 gg '9dHg '' - Hg - g 'LL HHg - g 'L + H-1Lm-m' dHg '' - Hg ' - gLL HHg ' - gL +

H-1Lm' dHg '' - Hg + g 'LL=.

According to the model formula (40), the contribution of the 3B integral to the evolutionof the spectrum is governed by two singularities. One evolves the spectrum toward higherradial mode numbers than the radial mode numbers of interacting quantities, generatingsmaller radial scale lengths and steeper gradients as in shock formation or turbulence. Theother evolves the spectrum toward radial scale lengths larger than the radial scale lengthsof the interacting modes, indicating the formation of a larger structure, as in self-organiza-tion. The tendencies toward turbulence/shock formation or self-organization are influ-enced by azimuthal mode numbers. The computational advantage of the semi-empirical model of the 3B integral presentedabove can be judged by comparison with the approach of Chen, Shan, and Montgomery(CSM) [4, 5]. The first advantage over the method of CSM is that the spatial-spectral repre-sentation of irrotational vector fields as well as scalar fields becomes possible in additionto solenoidal fields: while the CSM method is limited to solenoidal fields only, over the in-finite domain, an orthogonal basis becomes simultaneously available for scalar, irrota-tional, and solenoidal fields, facilitating the investigation of effects due to their nonlinearinteraction [6]. The second advantage is that rather than computing a table of numericalvalues of coupling coefficients for an infinity (or a suitably large number) of azimuthalmode numbers, the dependence on azimuthal mode numbers is reduced to a simple compu-tation of sign of a term. The semi-empirical formula (40) takes on the role of the table ofcoupling coefficients in the Galerkin approach of CSM [4, 5].The spatial-spectral representation of the equation of continuity then becomes

(40)

¶∂nmHk, g, tL

¶∂ t=

- i g ‚m'=-¶

¶

‡-¶

¶

dk ' ‡0

¶

dg 'g '

k '2 + g '2wm'Hk ', g ', tL 9Hg k ' - k g 'L

nm-m'Hk - k ', g - g ', tL HHg - g 'L + Hg k ' - k g 'L H-1Lm-m'

nm-m'Hk - k ', g ' - g, tL HHg ' - gL -

= +

26 S. K. H Auluck


(40)

nm-m'Hk - k ', g ' - g, tL HHg ' - gL -

Hg k ' + k g 'L H-1Lm' nm-m'Hk - k ', g + g ', tL= +

0.5 g ‚m'=-¶

¶

‡-¶

¶

dk ' ‡0

¶

dg 'g '

k '2 + g '2um'Hk ', g ', tL

9Hg g ' + k k 'L nm-m'Hk - k ', g - g ', tL HHg - g 'L +

Hk k ' + g g 'L H-1Lm-m' nm-m'Hk - k ', g ' - g, tL HHg ' - gL +

Hk k ' - g g 'L H-1Lm' nm-m'Hk - k ', g + g ', tL=.

The third advantage is the significant reduction in the computational complexity of equa-tion (7) noticed in its reduced form (40): reduction in the number of integrations, simplerdependence on azimuthal mode numbers, and simpler form of the coupling factors. Thisopens up the possibility of doing computations similar to those of CSM without the restric-tion to incompressible flow and with a much larger number of modes.

‡ Summary and ConclusionThis article concerns the integral of the product of three Bessel functions of the first kindof integer orders over the semi-infinite domain @0, ¶D, which is encountered when trans-forming a system of nonlinear partial differential equations containing solenoidal vectorfields, scalar fields, and irrotational vector fields, using Chandrasekhar–Kendall functions,their generating function, and its gradient as orthogonal bases over the semi-infinite do-main. Known properties of this integral, which show singular behavior, are summarized.Using the approximation of Bessel functions for large arguments, it is shown that thetriple-Bessel integral represents resonant three-wave interaction that leads to singularitieswhen one argument equals the sum or difference of the other two arguments. Numerical in-vestigations using Mathematica have been used to validate a scaling formula for the polar-ity, absolute magnitude, and shape of the singular peak with a large finite upper limit of in-tegration. A semi-empirical approximate formula of the integral has been suggested interms of the Dirac delta function for regions near the singularities for smooth weight func-tions. It is shown that the computational complexity of a cylindrical Fourier-space represen-tation of the equation of continuity is reduced considerably using this formulation. Thisopens up the possibility of computational efforts similar to those of CSM without restric-tion to incompressible dynamics for a much larger number of modes.



‡ Appendix 1This generates Figure 2.

SetDirectory@NotebookDirectory@DD;list = 881.0, 1.0, 81.0, 1.0, 1.0<<<;message = 8"AT LOWER SINGULARITY", "BETWEEN SINGULARITIES",

"AT UPPER SINGULARITY"<;Formula@g1_, g2_, g3_D :=

ModuleA8<, IfAg12 < Hg2 - g3L2, 0,

IfAHg2 - g3L2 < g12 < Hg2 + g3L2,

Hp * Sqrt@Hg1 + g2 + g3L * Hg1 + g2 - g3L * Hg1 - g2 + g3L *

H-g1 + g2 + g3LD ê 2.L-1,IfAHg2 + g3L2 < g12, 0EEEE;

int@g1_, g2_, g3_, ps_D :=

SetPrecision@NIntegrate@SetPrecision@x * BesselJ@0, g1 * xD * BesselJ@0, g2 * xD *

BesselJ@0, g3 * xD, psD, 8x, 0, Infinity<,MaxRecursion Ø 1000, AccuracyGoal Ø 11,PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø psD, 10D;

DoAPrint@message@@rDDD;

DoA

DoA

Print@" q= ", q, " Ò", i, " ", DateString@DD;8g1, g2< = SetPrecisionARandomRealA910.q, 10.q+2=, 2E,

10E;

8g3< = SetPrecision@If@r ã 1, RandomReal@8Abs@g1 - g2D * 1.00001,

Abs@g1 - g2D * 1.0001<, 1D,If@r ã 2, RandomReal@8Abs@g1 - g2D * 1.00001,

Hg1 + g2L * 0.999<, 1D,If@r ã 3, RandomReal@8Hg1 + g2L * 0.999,

Hg1 + g2L * 0.999999<, 1D,If@r ã 4, RandomReal@80., Abs@g1 - g2D * 0.999999<,

1D,If@r ã 5, RandomReal@8Hg1 + g2L * 1.00001,

Hg1 + g2L * 10.<, 1DDDDDD, 10D;

Print@"g1=", g1, "\ng2=", g2, "\ng3= ", g3D;i1 = Formula@g1, g2, g3D; i2 = int@g1, g2, g3, 50D;If@i1 == 0, Ratio = Null, Ratio = i2 ê i1D;Print@"Formula gives:", i1, "\nNIntegrate gives:",i2, "\nRatio=", RatioD;

AppendTo@list, 8i1, Ratio, 8g1, g2, g3<<D,8i, 200<

E,

28 S. K. H Auluck


E,

8q, -2, 3<E,

8r, 1, 3, 1<E;

Export@"D000-list.csv", listD;listplot = Table@8list@@iDD@@1DD, list@@iDD@@2DD<,

8i, 2, Length@listD<D;Show@ListLogLogPlot@listplot, PlotRange Ø Full,

Mesh Ø All, Frame Ø True, LabelStyle Ø 8Black, Medium<,FrameLabel Ø 88"Numerical Integration and Formula", ""<,

8"Formula",StringForm@"Benchmark Test within Triangle Inequality\nSummary

of `` calculations", HLength@listplotDLD <<D,[email protected], 8x, Min@Abs@listplotDD,

Max@Abs@listplotDD<DDNotebookSave@EvaluationNotebook@DD;



‡ Appendix 2This generates Figures 3 and 4.

D@m_, m1_, m2_, g_, g1_, g2_, ps_, limit_D :=

NIntegrate@SetPrecision@r * BesselJ@m, g * rD * BesselJ@m1, g1 * rD *BesselJ@m2, g2 * rD, psD, 8r, 0, limit<,

MaxRecursion Ø 1000, AccuracyGoal Ø 8, PrecisionGoal Ø 8,WorkingPrecision Ø psD;

g1 = [email protected], 30D; g2 = [email protected], 30D; m1 = 2; m2 = 3; m3 = 5;Dg = Abs@g1 - g2D; Sg = g1 + g2;PlotADAm1, m2, m3, g1, g2, Sg + xx * 10-10, 30, 1010E,

8xx, -1000, 1000<, PlotRange Ø Full, Mesh Ø All,LabelStyle Ø Directive@Black, SmallD,PlotStyle Ø Directive@Black, AbsoluteThickness@MediumDD,MeshStyle Ø Directive@PointSize@SmallD, BlackD,Frame Ø True, FrameLabel Ø 8"g-Hg'+g''LLµ1010", "D"<,WorkingPrecision Ø 30, ImageSize Ø FullE êê AbsoluteTiming

PlotADAm1, m2, m3, g1, g2, Dg + xx * 10-10, 30, 1010E,

8xx, -1000, 1000<, PlotRange Ø Full, Mesh Ø All,LabelStyle Ø Directive@Black, SmallD,PlotStyle Ø Directive@Black, AbsoluteThickness@MediumDD,MeshStyle Ø Directive@PointSize@SmallD, BlackD,Frame Ø True, FrameLabel Ø 9"Hg-»g'-g''»L µ 1010", "D"=,

, E êê AbsoluteTimingWorkingPrecision Ø 30, ImageSize Ø FullE êê AbsoluteTiming


SetDirectory@NotebookDirectory@DD; list = 881.0, 1.0<<;Q@x_, s_D :=

HFresnelC@Sqrt@2 * Abs@xD ê pDD -Sign@xD * s * FresnelS@Sqrt@2 * Abs@xD ê pDDL ê

HSqrt@2 * Abs@xD ê pDL;output = OpenWrite@"Upper Singularity.out"D;formula@m1_, m2_, m3_, g1_, g2_, r_, X_D :=

HCos@p * Hm3 - m1 - m2L ê 2D + Sin@p * Hm3 - m1 - m2L ê 2DL *

QAX, H-1Lm3-m2-m1E ë

Ip * SqrtAp * Ig1 + g2 + X * 10-rM * g1 * g2 * 10-rEM;

int@m1_, m2_, m3_, g1_, g2_, X_, r_, ps_D :=

SetPrecisionA

NIntegrateA

SetPrecisionAx * BesselJ@m1, g1 * xD * BesselJ@m2, g2 * xD *

BesselJAm3, Ig1 + g2 + X * 10-rM * xE, psE, 9x, 0, 10r=,

MaxRecursion Ø 1000, AccuracyGoal Ø 11,PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø psE, 10E;

DoA

DoA

Print@" q= ", q, " Ò", i, " ", DateString@DD;8m1, m2, m3< = RandomInteger@100, 3D;8g1, g2< = SetPrecisionARandomRealA910.q, 10.q+1=, 2E, 10E;

8X< = SetPrecision@RandomReal@8-30., 30.<, 1D, 10D;DoA

PrintA

" m1=", m1, " m2= ", m2, " m3= ", m3, " r=", r," g1= ", g1, " g2= ", g2, " g3=g1+g2+", X * 10-r

E;

i1 = N@formula@m1, m2, m3, g1, g2, r, XD, 10D;i2 = int@m1, m2, m3, g1, g2, X, r, 50D;Print@" Formula gives:", i1, "; NIntegrate gives:",i2 ", ratio=", i2 ê i1D;

WriteAoutput, " q= ", q, " Ò", i, " ", DateString@D,

" g1= ", g1, " g2= ", g2, " g3=g1+g2+", X * 10-r," Formula gives:", i1, "; NIntegrate gives:",i2, " ratio=", i2 ê i1E;

, E,

30 S. K. H Auluck


AppendTo@list, 8i1, i2 ê i1<D, 8r, 9, 12<E,

8i, 100<E,

8q, -1, 3<E; Close@outputD;

ShowAListLogLogPlot@Drop@list, 1D, PlotRange Ø Full,

Mesh Ø All, Frame Ø True, LabelStyle Ø 8Black, Medium<,FrameLabel Ø 88"Numerical Integration or Formula", ""<,

8"Formula", StringForm@"Summary of `` calculations",HLength@listD - 1LD <<D,

LogLogPlotA1.0, 9x, 10-7, Max@Drop@list, 1DD=EE

This generates Figure 6.

<< PlotLegends`SetDirectory@NotebookDirectory@DD;list = Table@881., 0., 1, 1, 1, 1., 1., 1., 1.<<, 8i, 1, 5<D;Q@x_, s_D :=


HSqrt@2 * Abs@xD ê pDL;formula@m_, m1_, m2_, g1_, g2_, r_, X_D :=

HCos@p * Hm - Sign@g1 - g2D * Hm1 - m2LL ê 2D -Sin@p * Hm - Sign@g1 - g2D * Hm1 - m2LL ê 2DL *

QAX, -H-1Lm-Sign@g1-g2D*Hm1-m2LE ë

Ip * SqrtAp * AbsAAbs@g1 - g2D + X * 10-rE * g1 * g2 * 10-rEM;

int@m_, m1_, m2_, g1_, g2_, X_, r_, ps_D :=

SetPrecisionA

NIntegrateA

SetPrecisionAx * BesselJAm, IAbs@g1 - g2D + X * 10-rM * xE *

BesselJ@m1, g1 * xD * BesselJ@m2, g2 * xD, psE,

9x, 0, 10r=, MaxRecursion Ø 1000, AccuracyGoal Ø 11,

PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø ps,Method -> 8"GlobalAdaptive",

"MaxErrorIncreases" Ø 10000<E, 10E;

DoA

DoA

Print@" q= ", q, " Ò", i, " ", DateString@DD;8m, m1, m2< = RandomInteger@100, 3D;8g1, g2< = SetPrecisionARandomRealA910.q, 10.q+2=, 2E, 15E;


PrintA"m=", m, " m1=", m1, " m2=", m2, " r=", r,

"\ng1= ", g1, "\ng2= ", g2, "\nx=", X,, E;



"\ng3=Abs@g1-g2D+", X * 10-rE;

i1 = N@formula@m, m1, m2, g1, g2, r, XD, 10D;i2 = int@m, m1, m2, g1, g2, X, r, 100D;ratio = i2 ê i1;Print@"Formula gives:", i1, "\nNIntegrate gives:",i2, "\nratio=", ratioD;

AppendTo@list@@r - 8DD,8i1, ratio, m, m1, m2, g1, g2, X, r<D,

8r, 9, 13<E,

8i, 200<E,

8q, -1, 3<E;

Export@"lower singularity random test list.csv", listD;listplot =

Table@Table@8list@@jDD@@iDD@@1DD, list@@jDD@@iDD@@2DD<,8i, 2, Length@list@@jDDD<D, 8j, 1, 5<D;

plt = ListLogLinearPlotATable@listplot@@jDD, 8j, 1, 5<D,

PlotRange Ø Full, Mesh Ø All, Frame Ø True,LabelStyle Ø 8Black, Small<, GridLines Ø 88<, 81.0<<,PlotMarkers Ø Automatic,PlotLegend Ø 9"Upper limit 109", "Upper limit 1010",

"Upper limit 1011", "Upper limit 1012","Upper limit 1013"=, LegendPosition Ø 80.8, -0.4<,

LegendSize Ø 0.6, LegendSpacing Ø 0, LegendTextSpace Ø 5,LegendShadow Ø None, ImageSize Ø Full,FrameLabel Ø 88"Numerical Integration and Formula", ""<,

8"Formula",StringForm@"Lower Singularity Random Test\nSummary of

calculations with `` random sets",Length@listplot@@1DDDD <<E

NotebookSave@EvaluationNotebook@DD;

32 S. K. H Auluck


‡ Appendix 4This generates Figures 7 and 8.

<< PlotLegends`;leg = 9"Upper limit 1014", "Upper limit 1015",

"Upper limit 1016", "Upper limit 1017","Upper limit 1018"=;

leg = Style@Ò, FontFamily Ø "Helvetica", FontSize Ø 12D & êüleg;

SetDirectory@NotebookDirectory@DD;list = Table@881., 0., 1.0, 1, 1, 1, 1., 1., 1., 1.<<,

8i, 1, 5<D;Q@x_, s_D :=


HSqrt@2 * Abs@xD ê pDL;formula@m1_, m2_, m3_, g1_, g2_, r_, X_D :=

HCos@p * Hm3 - Sign@g1 - g2D * Hm1 - m2LL ê 2D -Sin@p * Hm3 - Sign@g1 - g2D * Hm1 - m2LL ê 2DL *

QAX, -H-1Lm3-Sign@g1-g2D*Hm1-m2LE ë

Ip * SqrtAp * AbsAAbs@g1 - g2D + X * 10-rE * g1 * g2 * 10-rEM;

int@m1_, m2_, m3_, g1_, g2_, X_, r_, ps_D :=

SetPrecisionA

NIntegrateA

SetPrecisionAx * BesselJ@m1, g1 * xD * BesselJ@m2, g2 * xD *

BesselJAm3, IAbs@g1 - g2D + X * 10-rM * xE, psE,

9x, 0, 10r=, MaxRecursion Ø 1000, AccuracyGoal Ø 11,

PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø ps,Method -> 8"GlobalAdaptive",


DoA

DoA

8m, m1, m2< = RandomInteger@100, 3D;8g1< = SetPrecisionARandomRealA910.q, 10.q+1=, 1E, 20E;


DoA

y = Hr - 13L * 10.p;g2 = SetPrecisionAg1 * I1. + y * X * 10.-rM, 20E;

dg = y * X * 10.-r;Print@" q= ", q, " Ò", i, " ", DateString@DD;PrintA



"m=", m, " m1=", m1, " m2=", m2, " r=", r,"\ng1= ", g1, "\ng2= ", g2, "\nX=", X, "\nY=",ScientificForm@yD, "\ng3=Abs@g1-g2D+", X * 10.p * 10.-r

E;

i1 = N@formula@m, m1, m2, g1, g2, r, XD, 10D;i2 = int@m, m1, m2, g1, g2, X, r, 100D;ratio = i2 ê i1;Print@"Formula gives:", i1, "\nNIntegrate gives:",i2 "\nratio=", ratioD;

AppendTo@list@@r - 13DD,8i1, Abs@dgD, ratio, m, m1, m2, g1, g2, X, r<D,

8p, 0, 10<E, 8r, 14, 18<E, 8i, 50<E, 8q, -1, 2<E;

Export@"Degenerate Case random test list.csv", listD;listplot1 =

Table@Table@8list@@jDD@@iDD@@2DD *

10.^list@@jDD@@iDD@@10DD ê Abs@list@@jDD@@iDD@@9DDD,list@@jDD@@iDD@@3DD<, 8i, 2, Length@list@@jDDD<D,

8j, 1, 5<D;listplot2 =

Table@Table@8list@@jDD@@iDD@@2DD, list@@jDD@@iDD@@3DD<,8i, 2, Length@list@@jDDD<D, 8j, 1, 5<D;

plt1 = ListLogLinearPlot@Table@listplot1@@jDD, 8j, 1, 5<D,PlotRange Ø 8-20., 20.<, Mesh Ø All, Frame Ø True,LabelStyle Ø 8Black, FontFamily Ø "Helvetica",

FontSize Ø 12<, GridLines Ø 88<, 81.0<<,PlotMarkers Ø Automatic, PlotLegend Ø leg,LegendPosition Ø 80.8, -0.4<, LegendSize Ø 0.6,LegendSpacing Ø 0, LegendTextSpace Ø 5, LegendShadow Ø None,ImageSize Ø Full,FrameLabel Ø 88"Numerical Integration and Formula", ""<,

8"y", StringForm@"Nearly Degenerate Case Random Test\nSummary

of calculations with `` random sets",Length@listplot@@1DDD ê 11D <<D

plt2 =TableFormA

TableAListLogLinearPlotAlistplot2@@i + jDD,

PlotRange Ø Full, Mesh Ø All, Frame Ø True,LabelStyle Ø 8Black, FontSize Ø 9,

FontFamily Ø "Helvetica"<, ImageSize Ø [email protected],GridLines Ø 88<, 81.0<<, PlotMarkers Ø Automatic,FrameLabel Ø 98"Numerical Integration and Formula", ""<,

9"†g'-g''§êg'",

StringFormA

"Nearly Degenerate Case Random Test\nSummaryof calculations with `` random

34 S. K. H Auluck


of calculations with `` randomsets\nIntegration limit 10``",

Length@listplot@@1DDD ê 11, i + j + 13E ==E,

8j, 1, 3, 2<, 8i, 1, 2<EE



<< PlotLegends`;SetDirectory@NotebookDirectory@DD;list = 881., 0., 0., 0., 0., 81, 1, 1, 1., 1., 1., 1.<<<;fcos@m_, g_, w_D :=

FullSimplify@FourierCosTransform@BesselJ@m, g * rD, r, wDD *Sqrt@p ê 2D;

fsin@m_, g_, w_D :=

FullSimplify@FourierSinTransform@BesselJ@m, g * rD, r, wDD *Sqrt@p ê 2D;

formula@m_, m1_, m2_, g_, g1_, g2_, ps_D :=

SetPrecision@Re@

-Sin@Hm1 + m2L * p ê 2D ê Hp * Sqrt@g1 * g2DL *fcos@m, g, g1 + g2D +

Cos@Hm1 + m2L * p ê 2D ê Hp * Sqrt@g1 * g2DL *fsin@m, g, g1 + g2D +

Cos@Hm1 - m2L * p ê 2D ê Hp * Sqrt@g1 * g2DL *fcos@m, g, Abs@g1 - g2DD +

Sin@Hm1 - m2L * p ê 2D * Sign@g1 - g2D ê Hp * Sqrt@g1 * g2DL *fsin@m, g, Abs@g1 - g2DDD,

psD;int@m_, m1_, m2_, g_, g1_, g2_, r_, ps_D :=

SetPrecisionA

NIntegrateA

SetPrecision@x * BesselJ@m, g * xD * BesselJ@m1, g1 * xD *BesselJ@m2, g2 * xD, psD, 9x, 0, 10r=,

MaxRecursion Ø 1000, AccuracyGoal Ø 11,PrecisionGoal Ø 11, WorkingPrecision Ø ps,Method -> 8"GlobalAdaptive",


DoA

DoA

Print@" q= ", q, " Ò", i, " ", DateString@DD;8m, m1, m2< = RandomInteger@20, 3D;

;



8g1, g2< = SetPrecisionARandomRealA910.q, 10.q+1=, 2E, 10E;

gs = H1 - Abs@g1 - g2DL ê Hg1 + g2 - Abs@g1 - g2DL;Print@"m=", m, " m1=", m1, " m2=", m2, "\ng=1.", "\ng1= ",g1, "\ng2=", g2, "\nScaled g= ", gs

D;i1 = formula@m, m1, m2, 1., g1, g2, 10D;i2 = int@m, m1, m2, 1., g1, g2, 30, 200D;i3 = int@m, m1, m2, 1., g1, g2, 60, 200D;i4 = int@m, m1, m2, 1., g1, g2, 90, 200D;PrintA

"formula gives:", i1, "\nNIntegrate gives:", i2,"for upper limit 1030","\nNIntegrate gives:", i3, "for upper limit 1060","\nNIntegrate gives:", i4, "for upper limit 1090"E;

AppendTo@list, 8gs, i1, i2, i3, i4,8m, m1, m2, 1., g1, g2, gs<<D,

8i, 500<E,

8q, -1, 1<E;

Export@"Away from singularities random test list.csv",listD;

listplot =Table@Table@8list@@iDD@@1DD, Abs@list@@iDD@@j + 1DDD<,

8i, 2, Length@listD<D, 8j, 1, 4<D;ListLogPlotAlistplot, PlotRange Ø Full, Mesh Ø All,

Frame Ø True, ImageSize -> Full,PlotLegend Ø 9"Formula", "Upper limit 1030",

"Upper limit 1060", "Upper limit 1090"=,

LegendPosition Ø 80.8, -0.4<, LegendSize Ø 0.8,LegendSpacing Ø 0, LegendTextSpace Ø 5, LegendShadow Ø None,Joined Ø 8False, False, False, False<,PlotMarkers Ø Automatic, LabelStyle Ø 8Black, Small<,GridLines Ø 88<, 81.0<<,FrameLabel Ø 98"Numerical Integration or Formula", ""<,

9"Scaled gè",

StringForm@"Random Test Away from Singularities\nSummary

of `` calculations",HLength@listplot1DLD ==E;


36 S. K. H Auluck


‡ Appendix 6The following outlines an argument in support of the assumption that the 3B integral iszero outside the triangle inequality region. Using the integral representation of the Besselfunction

JnHk rL =1

2 p in ‡0

2 pdq expHi k r cos qL expHi n qL,

the 3B integral can be written as

D@Hm, gL, Hm ', g 'L, Hm '', g ''L, ¶D = limeØ0

‡0

¶

r dr JmHg rL Jm'Hg ' rL Jm''Hg '' rL expH-e rL

=H- iLm+m'+m''

H2 pL3ÿ ‡0

2 pdq expHi m qL ‡

0

2 pdq expHi m ' q 'L ‡

0

2 pdq expHi m '' q ''L

limeØ0 ‡0

¶

r dr ÿ expH-e rL expHi rHg cos q + g ' cos q ' + g '' cos q ''LL

= -H- iLm+m'+m''

H2 pL3ÿ ‡0

2 pdq expHi m qL ‡

0

2 pdq expHi m ' q 'L

‡0

2 pdq expHi m '' q ''L

1

Hg cos q + g ' cos q ' + g '' cos q ''L2.

The integral would be zero if g cos q + g ' cos q ' + g '' cos q '' has no zeros. This would corre-spond to the region outside the triangle inequality.



‡ AcknowledgmentsThis article owes its origin to the following insightful question from an anonymous ref-eree of Physics of Plasmas: “How far is infinity?” The help given by William Rummler ofWolfram Technical Support is gratefully acknowledged.

‡ References[1] S. Chandrasekhar and P. C. Kendall, “On Force-Free Magnetic Fields,” Astrophysical Jour-

nal, 126, 1957 pp. 457–460. doi:10.1086/146413.

[2] Z. Yoshida, “Eigenfunction Expansions Associated with the Curl Derivatives in Cylindrical Ge-ometries: Completeness of Chandrasekhar–Kendall Eigenfunctions,” Journal of Mathemati-cal Physics, 33(4), 1992 pp. 1252–1256. doi:10.1063/1.529703.

[3] D. Montgomery, L. Turner, and G. Vahala, “Three Dimensional Magnetohydrodynamic Turbu-lence in Cylindrical Geometry,” Physics of Fluids, 21(5), 1978 pp. 757–764.doi:10.1063/1.862295.

[4] H. Chen, X. Shan, and D. Montgomery, “Galerkin Approximations for Dissipative Magnetohy-drodynamics,” Physical Review A, 42(10), 1990 pp. 6158–6165.doi:10.1103/PhysRevA.42.6158.

[5] X. Shan, D. Montgomery, and H. Chen, “Nonlinear Magnetohydrodynamics by Galerkin-Method Computation,” Physical Review A, 44(10), 1991 pp. 6800–6818.doi:10.1103/PhysRevA.44.6800.

[6] S. K. H. Auluck, “Role of Electron-Inertia-Linked Current Source Terms in the Physics ofCylindrically Symmetric Imploding Snowplow Shocks,” Physics of Plasma, 9(11), 2002pp. 4488–4494. doi:10.1063/1.1508775.

[7] P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Part I, New York: McGraw-Hill, 1953 p. 3.

[8] S. K. H. Auluck, “Coherent Effects in the Stochastic Electrodynamics of Two-Fluid Plasma.”arxiv.org/abs/1208.1573.

[9] G. N. Watson, “An Infinite Integral Involving Bessel Functions,” Journal of the London Mathe-matical Society, s1–9(1), 1934 pp. 16–22. jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/1/16.extract.

[10] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed., London: CambridgeUniversity Press, 1944.

[11] D. H. Bailey, J. M. Borwein, N. J. Calkin, R. Girgensohn, D. R. Luke, and V. H. Moll, Experi-mental Mathematics in Action, Wellesley, MA: A. K. Peters, 2007.

S. K. H. Auluck, “On the Integral of the Product of Three Bessel Functions over an Infinite Domain,” The Math-ematica Journal, 2012. dx.doi.org/doi:10.3888/tmj. 14–15.

38 S. K. H Auluck


http://www.mathematica-journal.com/2012/12/on-the-integral-of-the-product-of-three-bessel-functions-over-an-infinite-domain/

About the Author

The author holds the designation Outstanding Scientist in the Physics Group at BhabhaAtomic Research Centre, Mumbai, India and is a professor at the Homi Bhabha NationalInstitute, Mumbai, a deemed university. He is the representative of India on the Interna-tional Scientific Committee for Dense Magnetised Plasmas (ISC-DMP), which overseesthe scientific programs of the International Center for Dense Magnetised Plasmas estab-lished at Warsaw under an agreement between UNESCO and the Polish National AtomicEnergy Agency in 1999. S. K. H. AuluckPhysics GroupBhabha Atomic Research CentreMumbai 400085, [email protected]@barc.gov.in



the mathematica journal on the integral of the product of

Documents