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Thème 17: Optimisation

Introduction :

Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l’aide d’une formule contenant une fonction. Il peut s’agir de la température d’un corps au moment t, du volume d’un gaz dans un ballon sphérique de rayon x, de la vitesse d’un corps au temps t … Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce que l’on appelle un problème d’optimisation.

17.1 L’optimisation lors de la construction de boîtes

Modèle 1 :

Optimisation

On souhaite construire une boîte en découpant quatre carrés aux coins d’une feuille cartonnée, et en rabattant les bords restants. La feuille mesure 22 cm de long et 18 cm de large. De la taille des carrés découpés dépendra le volume de la boîte. Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus grand volume possible.

46 THÈME 17

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Exercice 17.1:

On désire construire une boîte en carton à partir d’une feuille rectangulaire en coupant 6 carrés à chaque coin et au milieu des côtés et en pliant les côtés. Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm, le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum.

a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule de base ?

b) Justifier les relations suivantes :

p = 30 – 2x l =45 − 3x2

c) Déterminer ED, l’ensemble des valeurs admissibles pour x.

d) Montrer que le volume exprimé en fonction de x est :

V (x) = 3x3 − 90x2 + 675x

e) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est maximum.

f) Que vaut alors ce volume optimisé ?

x

p

l

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Exercice 17.2:

On désire construire un garage en forme de parallélépipède rectangle. La paroi du fond, les deux parois latérales, ainsi que le toit du garage sont en tôle. La porte est en bois. Le garage doit avoir une profondeur de 6 mètres et un volume de 75 m3.

On sait que le prix de la tôle est de 20 francs le m2, alors que le prix de la porte en bois est de 30 francs le m2.

Le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. a) Quelle est la fonction à optimiser? b) Montrer que la fonction à optimiser est donnée par la formule:

prix = 50xh + 120x + 240h c) À l'aide de l'information concernant le volume, montrer que h

peut s'exprimer en fonction de x par la relation:

h =25

2x

d) Montrer que le prix de revient en fonction de x est donné par:

p(x) = 625+120x +3000

x

e) Déterminer ED, l’ensemble des valeurs admissibles pour x. f) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce prix est minimum. g) Déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix

de revient total. Que vaut alors ce prix de revient optimisé ?

Source: examen du Gymnase de Burier 2008

6

x

hx

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Une méthode générale ?

La variété des problèmes d’optimisation est telle qu’il est bien difficile de donner une méthode générale de résolution.

Nous allons néanmoins donner sous forme d’une marche à suivre, une stratégie d’approche de ces problèmes. Cependant, ce n’est qu’au prix de quelques efforts et d’entraînements que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes.

Essayez donc avec … persévérance ! 17.2 Marche à suivre pour la résolution des problèmes d’optimisation

Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant parallèlement une figure d’étude pour y indiquer toutes les informations.

Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, …) comme fonction d’une ou de plusieurs variables.

Si Q dépend de plus d’une variable, disons n variables, trouvez au moins (n – 1) équations liant ces variables.

Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d’une seule variable (par substitutions).

Déterminer l’ensemble de définition ED des valeurs admissibles de cette variable.

À l’aide d’un tableau de signes de la dérivée de Q , étudiez la croissance de cette fonction.

Calculez les extremums de Q sans oublier de contrôler ce qui se passe au bord de ED.

Répondez finalement à la question posée à l’aide d’une phrase.

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17.3 L’optimisation d’une aire dans une figure géométrique

Modèle 2 :

Optimisation

ABCD est un carré de côté 6. Le point I est le milieu de [CD]. M est un point quelconque de [AB], N est le point de [CB] tel que CN = BM.

Quelle doit être la position de M sur [AB] pour que l’aire du Δ MNI soit minimale ?

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Solution:

Relire l’énoncé du problème et profiter de faire une figure d’étude "intelligente" :

La quantité à optimiser est l’aire du triangle MNI et se calcule grâce à :

Les (n – 1) équations liant ces variables :

Exprimons l’aire du triangle en fonction d’une variable :

L’ensemble des valeurs possibles ED :

AB

I

N

C D

M

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Solution (fin):

Calcul de la dérivée de A(x) puis étudier sa croissance :

Recherche des min (avec le bord du domaine) :

La réponse est donc :

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Exercice 17.3:

ABCD est un carré de 8 cm de côté. A ′ B ′ C ′ D est un carré de x cm de côté.

Pour quelle valeur de x, la partie ombrée a-t-elle la plus grande aire ?

Que vaut alors cette aire optimale ?

Exercice 17.4:

On considère le rectangle ABCD de 12 cm de long et 8 cm de large. Soit M le point milieu de CD. On inscrit dans ce rectangle un parallélogramme admettant deux de ses côtés parallèles à AM . Déterminer la position du point P sur AB tel que ce parallélogramme soit d’aire maximum. Que vaut alors cette aire ?

DA

B'

D'

C'

B C

x

A B

CD

P

M

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17.4 L’optimisation d’un coût de construction

Modèle 3 :

Optimisation

On désire construire une caisse en bois (sans couvercle) de volume 0,64 m3 et dont la hauteur est égale à la profondeur. Le bois prévu pour le fond coûte Fr. 20.- par m2, celui pour les faces Fr. 10.- par m2. Quels sont les dimensions et le prix de la caisse la moins chère (on admet que l’épaisseur du bois est négligeable) ?

hauteur

profondeur

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Exercice 17.5:

Une cabine de douche de forme parallélépipédique à base carrée est fabriquée à partir de 2 matériaux différents : le sol (carré) revient à Fr. 400.- par m2 ; les cinq autres parois coûtent Fr. 100.- par m2. Sachant que le coût total des matériaux est de Fr. 1500.- , quelles sont les dimensions de la cabine si l’on veut que son volume soit le plus grand possible ? a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule

en fonction de x (côté du carré) et h (la hauteur de la douche) ?

b) À l’aide de l’information concernant le prix des différentes parois, montrer que h peut s’exprimer en fonction de x par la relation :

h =15 − 5x2

4x

c) Montrer que le volume de la cabine en fonction de x est :

V (x) = −5

4x3 +

15

4x

d) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce volume est maximum.

e) Quelles sont alors les dimensions optimales de cette cabine

de douche ?

Exercice 17.6:

L’entreprise de portes et fenêtres qui vous emploie projette la construction d’un entrepôt de 450 m2 de surface au sol. Les exigences municipales de la commune de Morges sur l’esthétisme des rues commerciales obligent les commerçants à recouvrir la façade de leurs édifices avec des matériaux de première qualité alors que les côtés et l’arrière peuvent être recouverts avec des matériaux de moindre qualité. Les coûts ont été estimés à Fr. 800.- le mètre carré pour la façade et de Fr. 100.- le mètre carré pour les côtés et l’arrière. Sachant que la hauteur de l’édifice sera de 3 mètres, déterminer le coût minimum possible de recouvrement des 4 parois de l’entrepôt.

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17.5 L’optimisation de la surface

Modèle 4 :

Optimisation

Parmi tous les rectangles admettant un périmètre de 1 m, quel est celui dont l’aire est maximale ? Que vaut alors cette aire ?

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Exercice 17.7:

On dispose de 250 m de clôture grillagée pour construire 6 cages mitoyennes et identiques pour un zoo (cf. schéma ci-contre)

a) Exprimer y en fonction de x. b) Montrer que la surface au sol d’une cage est donnée par :

S(x) =1

24(−3x2 + 250x)

c) Quelles dimensions doit-on donner à une de ces cages de manière à maximaliser sa surface au sol ?

Exercice 17.8:

Un éleveur de bovins désire enclore un terrain rectangulaire bordant une rivière rectiligne. Il dispose de 1000 m de fil et ne veut pas enclore le côté longeant la rivière, car ses bovins ne savent pas nager. Calculer la surface maximale qu’il peut créer.

17.6 L’optimisation d’un cylindre

Modèle 5 :

Optimisation

On fait tourner un rectangle de périmètre 40 cm autour de l’un de ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rectangle pour que le cylindre ainsi obtenu ait le plus grand volume.

y x

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Exercice 17.9:

On fait tourner un rectangle de périmètre 40 cm autour de l’un de ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rec-tangle pour que le cylindre ainsi obtenu ait : a) la plus grande aire latérale ; b) la plus grande aire totale.

17.7 Un petit mélange de tout !!

Exercice 17.10:

Un aquarium (ouvert au-dessus) de 15 cm de haut doit avoir une contenance de 600 cm3. Désignons par x la longueur et par y la largeur de la base (voir figure).

Déterminer les dimensions de cet aquarium permettant de minimiser la surface S de verre.

Exercice 17.11:

On désire accoler à une construction existante un abri rectangulaire ouvert composé de deux parois verticales de 1 m de profondeur et d’un toit plat (voir figure). Le toit est exécuté en zinc qui coûte 40 fr. le m2 et les deux autres côtés en contre-plaqué qui coûte 15 fr. le m2.

Si on dispose de 300 fr, déterminer les dimensions de cet abri admettant un volume maximum. Que vaut alors ce volume ?

Exercice 17.12:

On se propose d’envoyer un colis de volume égal à 12 dm3 dont la forme est celle d’un parallélépipède rectangle de base carrée (AB = BC). Son emballage est maintenu à l’aide d’une ficelle comme le montre la figure. Trouver les dimensions du colis permettant d’utiliser le moins de ficelle possible.

Exercice 17.13:

Une feuille de papier doit contenir 600 cm2 de texte imprimé. Les marges supérieures et inférieures doivent avoir 5 cm chacune, et celles de côté 3 cm chacune. Déterminer les dimensions de la feuille pour lesquelles il faudra un minimum de papier.

x

y 1 m

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