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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - ESCOLA NORMAL SUPERIOR

Disciplina: Equações Diferenciais

Professora: Geraldine Silveira Lima

Exercícios

Livro: James Stewart

Exercícios 9.1

1. Mostre que 1y x x é uma solução da equação diferencial ' 2xy y x

2. Verifique que cos cosy senx x x é uma solução do problema de valor inicial

2' cos , (0) 1y tgx y x y no intervalo 2 2

x

.

3. (Q10) A função y(t) satisfaz a equação diferencial 4 3 26 5dy

y y ydt

a) Quais são as soluções constantes da equação?

b) Para quais valores de y a população está aumentando?

c) Para quais valores de y a população está diminuindo?

Livro: Sérgio A. Abunahman___________________________ ___________

I. Formar as equações diferenciais das seguintes famílias de curvas:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1. xdx+ydy=0

2.

3.

4.

5.

6.

II. Resolva as equações separando as variáveis:

1) 1

0dy

tgyx dx

2) 2 24 ( 1) 0xy dx x dy

3) 3( 2) 0xydx y dy

Re

spo

stas

:

2

4) 2

0xxdx ye dy

5)

6)

7)

8)

9)

III. Resolva as equações homogêneas:

1)

2)

3)

4)

1:

2:

3:

4:

IV. Resolva as equações:

1)

2)

3)

4) (3x-y+2)dx+(9x-3y+1)dy=0

1:

2:

3:

4: 2x+6y+C=Lg(6x-2y+1)

V. Resolva as equações:

1)

2)

3)

4)

1:

2:

3:

4: C

VI. Procurar o fator integrante e resolver as seguintes equações:

a) dx b) c)

VII. Determinar as trajetórias ortogonais da família de curvas onde p é

um parâmetro e a é constante.

VIII. Resolva as equações lineares:

1)

2)

3)

R 1:

R 2:

1: xcosy=C

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8: Re

spo

stas

: R

esp

ost

as:

R

esp

ost

as:

Re

spo

stas

:

Re

spo

stas

:

3

IX. Achar a solução particular para 0y e 0x em 1

cos

dyytgx

dx x .

X. Resolva as equações de Bernoulli:

1) 3 3dyx y x y

dx

2) 4dy

y x ydx x

3) 22 0dy

xy y xdx

4) 22 2dy y

ydx x

5) 2( 1)xdy x y dx

6) 2 2(1 )dy

x xy xydx

7)

R

XI. Calcular a solução da equação , sabendo-se que y x é

solução particular.

XII. Dar a solução geral da equação , sabendo-se que y=-1 é solução

particular.

XIII. Conhecendo-se a solução particular da equação ,

calcular sua solução geral.

LIVRO: Dennis Zill (p11)____________________________________________________

Nos problemas abaixo, classifique as ED dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê

também a ordem de cada equação.

1. ´́(1 ) 4 ´ 5 cosx y xy y x

2.

43

32 0

d y dyx y

dx dx

3. 2´ 2 1yy y x

4. x2dy +(y- xy-xe

x)dx=0

5. x3y

(4)-x

2y´´+4xy´-3y=0

6.

7.

8.

2

2 2 2 2 4

2 2

22

2 2

11. 2 1 2. lg

2

3. lg 4. 2 1

15. 6.

1 1

x y cx y y x x C

cy x cx y xy

x

xy y

c x x

Re

spo

stas

:

Curso Cálculo II – Professora Geraldine Página

Livro: JON ROGAWSK_____________________________________________________

Exercícios 10.4 – Exercícios Prelimimares

1. Quais das seguintes são equações lineares de primeira ordem?

a) 2' 1y x y b) 2' 1y xy c) 5 ' xx y y e d) 5 ' yx y y e

2. Se ( )a x for um fator integrante de ' ( ) ( )y A x y B x , então '( )a x é igual a:

a) ( )B x b) ( ) ( )a x A x c) ( ) '( )a x A x d) ( ) ( )a x B x

Exercícios 10.4

2. Considere 32 tdyy e

dt

.

a) Verifique que 2( ) ta t e é um fator integrante;

b) Encontre a solução geral da equação;

c) Encontre a solução particular que satisfaz (0) 1y

Nos exercícios abaixo encontre a solução geral das equações:

9. 13 'xy y x

10. 'y xy x

11. 1 2' cos( )y x y x

28. Um tanque de 200 galões (gal) contém 100 gal de água com uma concentração de sal de

0,1Kg/gal. No tanque é colocada água com uma concentração de sal 0,4 kg/gal a uma taxa de 20

gal/min. O fluido é misturado instantaneamente e a água misturada é bombeada para fora do tanque a

uma taxa de 10 gal/min. Seja ( )y t a quantidade de sal no tanque no instante t, monte e resolva a

equação diferencial para ( )y t e diga qual é a concentração de sal quando o tanque transborda.

Equações Diferenciais, R.Kent Nagle - Capítulo 1 Campo de Direções

1. O campo de direção para 2dy

x ydx

aparece na figura abaixo.

a) Esboce a curva-solução que passa por (0,-

2). Por esse esboço escreva a equação para

a solução;

b) Esboce a curva solução que passa por (-

1,3);

c) O que você pode dizer sobre a solução do

item b) quando x ? E quando

x?


2. Dado campo de direção para 4dy x

dx y

a) Verifique se as linhas retas 2y x são

curvas de solução, desde que 0x

b) Esboce a curva solução com condição

inicial (0) 2y .

c) Esboce a curva solução com condição

inicial (2) 1y

3. O modelo para a velocidade v no instante t

de certo objeto caindo sob a influência da

gravidade em um meio viscoso é dado

pela equação 18

dv v

dt . Pelo campo de

direção mostrado abaixo esboce as

soluções com as condições iniciais

(0) 5,8v e 15. Por que o valor 8v é

chamado de ¨velocidade terminal¨?

1. Considere a equação diferencial

( 1)(2 )dp

p p pdt

para a população p

(em milhares) de uma certa espécie no

instante t.


Livro: Cálculo – James Stewart

Livro: Cálculo – James Stewart____________________________________________

Encontre uma equação da tangente à curva no

ponto correspondente aos valores dados

do parâmetro.

.

Encontre a área da superfície obtida pela

rotação da curva fornecida em torno do

eixo x

RESPOSTAS:

Encontre dy

dx e

2

2

d y

dx

Encontre o comprimento da curva:


Nos problemas 15 a 22, determine se o conjunto de funções dado é LI no intervalo .

2 2

1 2 315. ( ) , ( ) , ( ) 4 3f x x f x x f x x x

1 2 316. ( ) 0, ( ) , ( ) xf x f x x f x e

2 2

1 2 317. ( ) 5, ( ) cos , ( )f x f x x f x sen x

2

1 2 318. ( ) cos 2 , ( ) 1, ( ) cosf x x f x f x x

1 2 319. ( ) , ( ) 1, ( ) 3f x x f x x f x x

1 220. ( ) 2 , ( ) 2f x x f x x

Nos problemas 23 a 30, verifique se as funções dadas formam u conjunto fundamental de soluções da

equação diferencial no intervalo indicado. Construa a solução geral.

3 423. y'' ' 12 0; , ( , )x xy y e e em

24. y'' 4 ' 0; cosh 2 , 2 ( , )y x senh x em

25. y'' 2 ' 5 0; cos 2 , 2 ( , )x xy y e x e sen x em

2 226. 4y'' 4 ' 0; , ( , )

x x

y y e xe em

2 3 427. '' 6 ' 12 0; , (0, )x y xy y x x em

228. x y''+x ´ 0; cos(ln ), (ln ) ( , )y y x sen x em

3 2 2 229. x y'''+6x '' 4 ' 4 0; , , ln (0, )y xy y x x x x em

(4)30. y + '' 0; 1, cos , ( , )y x x senx em

Professora Geraldine Página 8

Exercícios Dennis Zill – pg 172

Nos problemas de 1 a 12, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Suponha um

intervalo apropriado.

Nos problemas de 1 a 16, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Encontre

uma segunda solução para as seguintes equações:

111. xy" +y' =0; y = lnx

12 2

112. 2x y" +y =0; y = lnxx


Equações Diferenciais, R.Kent Nagle - Capítulo 4.2

Nos problemas ache uma solução para a equação diferencial dada:

4. " 6 ' 9 0y y y

5. 2 " 7 ' 4 0y y y

6. " ' 2 0y y y

7. " 5 ' 6 0y y y

11. 4 " 20 ' 25 0w w w

Nos problemas resolva o problema de valor inicial dado:

13. " 2 ' 8 0; (0) 3, '(0) 12y y y y y

14. " ' 0; (0) 2, '(0) 1y y y y

15. " 4 ' 5 0; ( 1) 3, '( 1) 9y y y y y

16. " 4 ' 3 0; (0) 1, '(0) 1 / 3y y y y y

17. " 2 ' 2 0; (0) 0, '(0) 3z z z z z

26. Problemas de valor de fronteira. Quando os valores de uma solução para uma equação

diferencial são especificados em dois pontos diferentes, essas condições são chamadas de

Condições de fronteira. (Ao contrário, as condições iniciais especificam os valores de

uma função e sua derivada no mesmo ponto). A finalidade deste exercício é mostrar que,

para problemas de valor de fronteira, não há teorema de existência-unicidade que seja

semelhante ao Teorema 1. Dado que cada solução para ( ) " 0I y y tem a forma

1 2( ) cosy t c t c sent , onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, mostre que

a) Existe uma solução única para (I) que satisfaz as condições de limite y(0) =2 e

( / 2) 0y ;

b) Não existe uma única solução para (I) que satisfaz as condições y(0)=2 e

( ) 0y

c) Existem infinitamente muitas soluções para (I) que satisfazem y(0)=2 e

( ) 2y .

13. 13. 43 te

15. 5( 1) ( 1)2 t te e

17. 1 3 1 33

2

t te e

1. 3 31 2

t tc e c te

3. 21 2

t tc e c e

11. 5 5

2 21 2

t t

c e c te


35. Para cada uma das seguintes funções, determine se as três funções dadas são LD ou LI

em ( , ) .

a) 21 2 3( ) 1; ( ) ; ( ) .y t y t t y t t b) 2 2

1 2 3( ) 3; ( ) 5 ; ( ) cos .y t y t sen t y t t

43. Resolva o problema de valor inicial: "' ' 0; (0) 2, '(0) 3 "(0) 1y y y y e y

44. Resolva o problema de valor inicial: "' 2 " ' 2 0; (0) 2, '(0) 3 "(0) 5y y y y y y e y

Capítulo 4.3

Nos problemas abaixo, a equação auxiliar determina raízes complexas. Ache a solução

geral.

1. " 0y y

2. " 9 0y y

3. " 10 ' 26 0y y y

4. " 6 ' 10 0z z z

5. " 4 ' 7 0y y y

Capítulo 4.4 – pg136

Soluções:


Soluções:


Nos problemas 15 a 22, determine se o conjunto de funções dado é LI no intervalo

2 2

1 2 315. ( ) , ( ) , ( ) 4 3f x x f x x f x x x

1 2 316. ( ) 0, ( ) , ( ) xf x f x x f x e

2 2

1 2 317. ( ) 5, ( ) cos , ( )f x f x x f x sen x

2

1 2 318. ( ) cos 2 , ( ) 1, ( ) cosf x x f x f x x

1 2 319. ( ) , ( ) 1, ( ) 3f x x f x x f x x

1 220. ( ) 2 , ( ) 2f x x f x x

Nos problemas 23 a 30, verifique se as funções dadas formam u conjunto fundamental de

soluções da equação diferencial no intervalo indicado. Construa a solução geral.

3 423. y'' ' 12 0; , ( , )x xy y e e em

24. y'' 4 ' 0; cosh 2 , 2 ( , )y x senh x em

25. y'' 2 ' 5 0; cos 2 , 2 ( , )x xy y e x e sen x em

2 226. 4y'' 4 ' 0; , ( , )

x x

y y e xe em

2 3 427. '' 6 ' 12 0; , (0, )x y xy y x x em

228. x y''+x ´ 0; cos(ln ), (ln ) ( , )y y x sen x em

3 2 2 229. x y'''+6x '' 4 ' 4 0; , , ln (0, )y xy y x x x x em

(4)30. y + '' 0; 1, cos , ( , )y x x senx em

Exercícios Dennis Zill – pg 172

Nos problemas de 1 a 12, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial.

Suponha um intervalo apropriado.

( , )


Nos problemas de 1 a 16, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada.

Encontre uma segunda solução para as seguintes equações:

111. xy" +y' =0; y = lnx

12 2

112. 2x y" +y =0; y = lnxx

LIVRO: Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem; Dennis G. Zill

Exercícios 4.7 (pg 199):

Resolva a equação diferencial dada

21. " 2 0 x y y

22. 4 " 0 x y y

3. " ' 0 xy y

4. " 3 ' 0 xy y

25. " ' 4 0 x y xy y

26. " 5 ' 3 0 x y xy y

27. " 3 ' 2 0 x y xy y

28. " 3 ' 4 0 x y xy y

29. 25 " 25 ' 0 x y xy y

210. 4 " 4 ' 0 x y xy y 211. " 5 ' 4 0 x y xy y

212. " 8 ' 6 0 x y xy y

Nos problemas abaixo, resolva a equação diferencial dada por variação de parâmetros:

419. " 4 ' xy y x

2 220. 2 " 5 ' x y xy y x x

221. " ' 2 x y xy y x

2 422. " 2 ' 2 xx y xy y x e


Nos problemas abaixo, resolva o problema de valor inicial dado.

223. " 3 ' 0, (1) 0, '(1) 4 x y xy y y

224. " 5 ' 8 0, (2) 32, '(2) 0 x y xy y y y

Respostas

1 2

1 21. y c x c x 1 23. lny c c x

1 25. cos(2ln ) (2ln )c x c sen x

(2 6) (2 6)

1 27. y c x c x 1 11 25 5

9. cos( ln ) ( ln )y c x c sen x 2 2

1 211. lny c x c x x

5 511 2 5

19. lny c c x x x 2

1 221. ln (ln )y c x c x x x x 223. 2 2y x

LIVRO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES; R.Kent Nagle/Edward

B.Saff/Arthur david pg281

Nos problemas use a definição para determinar a transformada de Laplace da função dada:

34. tte 0, 0 29. ( )

, 2

tf t

t t

27. cos3te t1 , 0 1

10. ( )0, 1

t tf t

t

5. cos2t

, 011. ( )

0,

sent tf t

t

LIVRO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – DENNIS G. ZILL/MICHAEL R. CULLEN

Exercícios 7.3

Nos problemas abaixo encontre F(s) ou f(t) como indicado:

101. tteL

62. tteL

3 23. tt eL

10 74. tt eL

26. cos4te tL

57. s h 3te en tL

cosh8. tt

eL

2 29. ( )t tt e eL 2 210. ( 1)te t L 211. te sen tL

212. 3te cos tL

3

1 1

213.

s

L

4

1 1

114.

s

L

2

1 1

6 1015.

s s

L

2

1 1

2 516.

s s

L

2

1

4 517. s

s s

L


2

1 2 5

6 3418. s

s s

L

2

1

119. s

s

L

3

1 5

220. s

s

L

32

1 2 1

121. s

s s

L

2

4

( 1)1

222. s

s

L

Nos Problemas 51-58, escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a

transformada de Laplace da função dada:

2, 0 351. ( )

2, 3

tf t

t

1, 0 4

52. ( ) 0, 4 5

1, 5

t

f t t

t

30, 0

254. ( )

3,

2

t

f t

sent t

, 0 2

55. ( )0, 2

t tf t

t

, 0 256. ( )

0, 2

sent tf t

t

LIVRO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES; WILLIAM E.

BOYCE/RICHARD C. DIPRIMA.

CAPÍTULO 6.2 – PG 251

Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa dada:

2

31. ( )

4F s

s

3

42. ( )

( 1)F s

s

2

23. ( )

3 4F s

s s

2

34. ( )

6

sF s

s s

2

2 25. ( )

2 5

sF s

s s

2

2 36. ( )

4

sF s

s

2

2 17. ( )

2 2

sF s

s s

2

2

8 4 128. ( )

( 4)

s sF s

s s

2

1 29. ( )

4 5

sF s

s s

Em cada um doa problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o

problema de valor inicial dado:

11. '' ' 6 0; (0) 1, '(0) 1y y y y y

12. '' 3 ' 2 0; (0) 1, '(0) 0y y y y y

13. '' 2 ' 2 0; (0) 0, '(0) 1y y y y y

14. '' 4 ' 4 0; (0) 1, '(0) 1y y y y y

15. '' 2 ' 4 0; (0) 2, '(0) 0y y y y y

16. '' 2 ' 5 0; (0) 2, '(0) 1y y y y y

(4) (3)17. 4 6 " 4 ' 0; (0) 0, '(0) 1, "(0) 0, "'(0) 1y y y y y y y y y

(4)18. 0; (0) 1, '(0) 0, "(0) 1, "'(0) 0y y y y y y

(4)19. 4 0; (0) 1, '(0) 0, "(0) 2, "'(0) 0y y y y y y


CAPÍTULO 6 - pg 243

Em cada um dos Problemas de 1 a 2, esboce o gráfico da função dada. Em cada saco

determine se f é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas no intervalo

0 3t .

2 , 0 1

1. ( ) 2 ,1 2

6 , 2 3

t t

f t t t

t t

2

1

, 0 1

2. ( ) 1 ,1 2

1, 2 3

t t

f t t t

t

Lembre-se que 2

cosh( )bt bte ebt

e 2

s h( )bt bte een bt

. Em cada um dos problemas abaixo,

encontre a transformada de Laplace da função dada, com a e b constantes reais.

7. ( ) cosh( )f t bt

8. ( ) s h( )f t en bt

9. ( ) cosh( )atf t e bt

10. ( ) s h( )atf t e en bt

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