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Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones
Procesos Estocásticos 1-2011 UNEFA-Núcleo Mérida
Ing. Lucileima Rosales Ing. Josmary Hernández
Todos los fenómenos que ocurren en la naturaleza son determinísticos o aleatorios (no determinísticos), es por ello que resulta necesario estudiar este tipo de fenómenos.
· Fenómenos Determinísticos: son aquellos fenómenos cuyos resultados podemos predecir de antemano, por ejemplo; si suelto el lapicero que tengo en la mano, se puede predecir con toda certeza que caerá hacia abajo debido a la ley de gravedad.
· Fenómenos Aleatorios: son todos aquellos fenómenos cuyos resultados no podemos predecir con certeza, por ejemplo; no sabemos con certeza cuál será el número ganador de la lotería de Navidad, ni que número va a aparecer cuando lance un dado.
En PROCESOS ESTOCÁSTICOS se estudiarán todos aquellos fenómenos aleatorios (no determinísticos o estocásticos). A continuación se definen algunos conceptos básicos:
I. CONCEPTOS BÁSICOS
1.- EXPERIMENTO: es cualquier situación en la que existe un conjunto de resultados posibles. Por ejemplo; una competencia o un juego, una carrera de caballos, una votación.
1.1.- Experimento Aleatorio
Definición 1: conjunto de pruebas realizadas bajo las mismas condiciones y cuyos resultados son impredecibles.
Definición 2: se llama experimento aleatorio a la expresión y observación de fenómenos no determinísticos o aleatorios. Por ejemplo: lanzar un dado para observar cuál de los seis números aparece, sacar un fósforo de una caja que contiene 25 para verificar si se prende o no.
Los rasgos que distinguen a los experimentos aleatorios son:
· Todos los resultados del experimento son conocidos con anterioridad a su realización.
· No se puede predecir el resultado del experimento.
· El experimento puede repetirse en condiciones idénticas.
2.- ESPACIO MUESTRAL: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denota con la letra griega Ω. Este espacio muestral puede ser un conjunto finito, infinito numerable, infinito no numerable. También se puede clasificar en:
· Discreto: es aquel cuyo resultado puede ponerse en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales N, por ejemplo; registrar el sexo de un recién nacido, lanzar una moneda hasta que aparezca cara.
· Continuo: aquel cuyos resultados consisten de un intervalo de los números reales, por ejemplo, registrar cuánto tiempo dura funcionando un bombillo, tiempo que tarda un atleta en recorrer 100 metros planos.
3.- PUNTO MUESTRAL: es cada posible resultado de un experimento conceptual (el adjetivo “conceptual” excluye situaciones tales como “la probabilidad de que mi novia me quiera”).
Ejemplos:
· Arrojar una moneda una vez. Hay dos puntos muestrales: {(cara, sello)}.
· Arrojar una moneda dos veces. Se tienen cuatro puntos muestrales: {(cara, cara),(cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)}.
· En la clase de procesos estocásticos hay 20 alumnos. Se hace un examen y se va a observar cuántos alumnos aprueban. ¿Cuál sería el espacio muestral? El espacio muestral contiene un número finito de puntos muestrales, Ω = {0,1,2,3,…….,20}.
· Se lanza una moneda hasta que salga cara. El espacio muestral es discreto y contiene un número infinito de puntos muestrales.
· Se lanza una flecha contra un blanco y se va a medir la distancia desde el punto de impacto hasta el centro del blanco. En este caso el espacio muestral es continuo y está dado por el intervalo Ω = {x Ι x≥0}.
4.- SUCESO O EVENTO: se llama suceso a cualquier subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo; al lanzar un dado, el espacio muestral es el conjunto Ω = {1,2,3,4,5,6} y el suceso “se obtuvo un número par” será el subconjunto {2,4,6}.
5.- PROBABILIDAD: la probabilidad es una medida de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro. Este concepto es importante cuando se trabaja con sucesos físicos, biológicos o sociales que generan observaciones que no pueden predecirse con certeza, por ejemplo, la presión arterial de una persona en un momento determinado no puede predecirse con exactitud.
· Puede asumir valores entre cero y uno inclusive.
· Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el evento suceda.
· Hay tres definiciones de probabilidad: clásica o “a priori”, empírica o “a posteriori” y subjetiva.
5.1.- Probabilidad Clásica o “a priori”
La definición clásica aplica cuando hay n resultados igualmente probables y mutuamente excluyentes.
Ejemplos:
· Si un dado es lanzado, cuál es la probabilidad de que salga el 2? Cada uno de los lados del dado tiene igualdad de aparecer, son eventos equiprobables, por lo tanto la probabilidad de que salga el 2 es 1/6.
· Una moneda es lanzada al aire. Hay dos posibles resultados cara o sello. Estos dos resultados no pueden ocurrir al mismo tiempo (mutuamente excluyentes), y tienen la misma probabilidad, decimos entonces que la probabilidad de tener cara es ½.
5.2.- Probabilidad empírica, relativa, frecuencial o “a posteriori”
En muchas ocasiones no es posible aplicar la definición clásica porque los n resultados no son igualmente probables, o bien porque el número de resultados es infinito, en este caso, se aplica la definición empírica.
Este tipo de probabilidad se aplica cuando el número de veces que ocurre un evento se divide por el número total de observaciones.
Ejemplos:
· ¿Cuál es la probabilidad de que un bombillo dure funcionando más de 100 horas?
En este caso no es posible aplicar la definición clásica porque la duración de la bombilla es una variable continua y entonces el número posible de resultados es infinito.
· Si un dado está cargado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 al lanzar dicho dado?
Tampoco es posible aplicar la definición clásica porque se ha perdido la simetría, los resultados posibles siguen siendo 6, pero esos resultados no tienen la misma probabilidad.
Una forma de obtener la probabilidad, sería realizando un experimento como el siguiente: se lanza el dado cargado 150 veces y se obtienen los siguientes resultados:
1
2
3
4
5
6
23
23
45
10
25
24
La probabilidad de sacar 3 con ese dado es: P(3) ≈ 45/150 ≈ 0.3
Nota: se escribe P(3)≈0.3 y no P(3)= 0.3, pues si se repite el experimento, es decir, si lanzamos de nuevo el dado 150 veces, es muy posible que el 3 no salga 45 veces como antes, sino tal vez 42, 37, 44, etc.
· En el departamento académico del profesor López, se ha asignado un total de calificaciones de “A” de 186 entre un total de 1,200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su sección este semestre reciba una calificación de “A”?
La probabilidad pedida está dada por: P(A) = 186/1,200 = 0.155
5.3.- Probabilidad Subjetiva
Este tipo de probabilidad se basa en cualquier información disponible.
Ejemplos:
· Estimar la posibilidad de que el equipo de los Patriotas de Nueva Inglaterra participe en el juego del Super Tazón de futbol americano para el próximo año (en EUA).
· Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors, pierda su lugar número 1 en el total de unidades vendidas, frente a la Ford o la Chrysler, en un lapso de dos años.
5.3.1.- Reglas Básicas de probabilidad
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.
P(A o B) = P(A) + P (B)
Ejemplo:
La oficina de vuelos de Aeroméxico tiene registrada la siguiente información en su bitácora de vuelos entre Ciudad de México y Acapulco.
Llegadas
Frecuencia
Temprano
100
A tiempo
800
Tarde
75
Cancelado
25
Total
1000
Si A es el evento de que el vuelo llegue temprano, entonces: P(A) = 100/1000 = 0.10
Si B es el evento de que el vuelo llegue tarde, entonces: P (B) = 75/1000 = 0.075
La probabilidad de que el vuelo llegue temprano o tarde es:
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0.10 + 0.075 = 0.175
5.3.2.- La regla del complemento
· La regla del complemento es utilizada para determinar la probabilidad de que un evento ocurra, restando a 1 la probabilidad de que no ocurra dicho evento.
· Si P(A) es la probabilidad de un evento A y P(~A) es la probabilidad del complemento de A,
P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 – P(~A)
· Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento se apreciaría así:
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
|
(
2
2
1
1
1
1
1
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
A
P
+
=
)/()()/()(
)/()(
)|(
2211
11
1
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
4783
.
)
04
(.
45
.
)
03
(.
55
.
)
03
(.
55
.
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
=
+
=
+
=
B
U
P
B
P
A
U
P
A
P
A
U
P
A
P
U
A
P
4783.
)04(.45.)03(.55.
)03(.55.
)/()()/()(
)/()(
)/(
BUPBPAUPAP
AUPAP
UAP
Figura 1: Regla del complemento
Ejemplo:
Retomando el ejercicio anterior, use la regla del complemento para encontrar la probabilidad de un evento (A) temprano o un evento (B) tarde.
· Si C es el evento de que el vuelo llegue a tiempo, entonces P(C) = 800/1000 = 0.8
· Si D es el evento de que el vuelo se cancele, entonces P(D) = 25/1000 = 0.025
· P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [0.8 +.025] =0.175
5.3.3.- La regla general de la adición
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) es dada por la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
Ejemplo:
En una muestra de 500 estudiantes, 225 afirmaron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV, y 100 afirmaron tener ambos.
)!
(
!
r
n
n
P
r
n
-
=
)!(
!
rn
n
P
rn
)!
(
!
!
r
n
r
n
C
r
n
-
=
)!(!
!
rnr
n
Crn
792
)!
5
12
(
!
5
!
12
5
12
=
-
=
C
792
)!512(!5
!12
512
C
Figura 2: Diagrama de Venn
· Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga sólo un estéreo, sólo una TV, y ambos un estéreo y una TV?
P(S) = 225/500 = 0.45; P(T) = 175/500 = 0.35; P(S y T) = 100/500 = 0.20
· Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su cuarto?
P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S yT) = 0.45 + 0.35 - 0.20 = 0.60
5.4.- Probabilidad Conjunta: es aquella probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea. Un ejemplo podría ser el evento de que un estudiante elegido al azar tenga ambos, un estéreo y una TV en su cuarto.
5.4.1.- Regla especial de la multiplicación
· La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes.
· Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
· Esta regla se escribe: P(A y B) = P(A)P(B)
Ejemplo:
Cristina tiene dos acciones, IBM y GE. La probabilidad de que la acción de IBM aumente de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que la acción de GE aumente su valor el próximo año es 0.7. Suponga que las dos acciones son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas acciones incrementen su valor el próximo año?
P (IBM y GE) = (0.5)(0.7) = 0.35
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente su valor durante el próximo año?
P(al menos una) = (0.5)(0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.15 + 0.35 +0.35 = 0.85
5.5.- Probabilidad Condicional: es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A/B).
5.5.1.- Regla general de la multiplicación: es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran. La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.
La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula:
P(A y B) = P(A)P(B/A) ó P(A y B) = P(B)P(A/B)
Ejemplo:
El director de la Escuela de Negocios de la Universidad Nacional, recopiló la siguiente información acerca de estudiantes no graduados en su escuela:
Especialidad
Hombre
Mujer
Total
Contaduría
170
110
280
Finanzas
120
100
220
Mercadotecnia
160
70
230
Administración
150
120
270
Total
600
400
1000
· Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea una mujer (F) pasante de contaduría (A)?
P(A y F) = 110/1000
· Dado que el estudiante es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ella sea pasante de contaduría?
P(A/F) = P(A y F)/P(F) = [110/1000]/[400/1000] = 0.275
6.- PROCESO ESTOCÁSTICO: Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos necesarios para realizar una actividad, además de las formas o maneras en que cada uno de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades, dicho de otra manera, cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso estocástico.
7.- DIAGRAMA DE ÁRBOL: es una representación gráfica útil para organizar cálculos que abarcan varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento.
Ejemplo:
En una bolsa que contiene 7 chips rojos y 5 chips azules, usted selecciona dos chips uno después del otro sin reemplazarlo. Elabore un diagrama de árbol mostrando esta información.
8.- TEOREMA DE BAYES: es un método que utiliza la probabilidad revisada con base en información adicional. Se calcula utilizando la siguiente fórmula:
040
,
95
)!
5
12
(
!
12
5
12
=
-
=
P
040,95
)!512(
!12
512
P
Ejemplo:
Una embotelladora de refresco de cola recibió varias denuncias acerca del bajo contenido de sus botellas. Una denuncia fue recibida hoy, pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas en Aguascalientes (A o B) llenó estas botellas. ¿Cuál es la probabilidad de que las botellas defectuosas provengan de la planta A?
La siguiente tabla resume la experiencia de producción de dicha embotelladora:
Plantas
% del total de
producción
% de botellas
defectuosas
A
55
3
B
45
4
)]
(
[
x
xP
S
=
m
)]([xxP
La probabilidad de que las botellas fueran llenadas en la planta A se redujo de 0.55 a 0.4783
9.- PRINCIPIO DE CONTEO:
· Fórmula de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existirán m x n formas de hacer ambas.
Ejemplo: el Dr. Velasco tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos juegos de camisa y corbata puede tener? Resp: (10)(8) = 80
·
)]
(
)
[(
2
2
x
P
x
m
s
-
S
=
)]()[(
22
xPx
Permutación: un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. El orden del arreglo es importante en las permutaciones.
· Combinación: es el número de maneras de escoger r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden:
3
.
11
)
10
)(.
13
(
)
35
)(.
12
(
)
30
)(.
11
(
)
25
)(.
10
(
)]
(
[
)
(
=
+
+
+
=
S
=
=
x
xP
x
E
m
3.11
)10)(.13()35)(.12()30)(.11()25)(.10(
)]([)(
xxPxE
Ejemplo:
Hay 12 jugadores en el equipo de básquetbol de la Preparatoria Popular. El director técnico Tomás Pérez debe escoger 5 jugadores de los 12 del equipo para formar su línea de inicio. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo?
91
.
0
2890
.
0
1715
.
0
0270
.
0
4225
.
0
)
10
(.
)
3
.
11
13
(
...
)
25
(.
)
3
.
11
10
(
)]
(
)
[(
2
2
2
2
=
+
+
+
=
-
+
+
-
=
-
S
=
x
P
x
m
s
91.0
2890.01715.00270.04225.0
)10(.)3.1113(...)25(.)3.1110(
)]()[(
22
22
xPx
Suponiendo que además de formar los grupos de 5 jugadores, el técnico debe respetar el orden de los mismos de acuerdo a su habilidad.
!
)
(
x
e
x
P
u
x
-
=
m
!
)(
x
e
xP
ux
I. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad es la lista de todos los resultados posibles de un experimento y la correspondiente probabilidad.
Definiciones Básicas:
1.- Variable Aleatoria: es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.
2.- Tipos de Variables Aleatorias
2.1. Variable discreta: es aquella que su conjunto de posibles resultados es contable. Ej. Datos que se cuentan, tales como Nº de niños nacidos en un hospital en un mes, Nº de accidentes de carretera por año.
2.2. Variable continua: es aquella que puede tomar valores en una escala continua. Ej. Datos medidos en pesos, alturas, temperaturas, etc.
Tipos de Distribuciones de Probabilidad
1. Distribución de probabilidad discreta: puede asumir sólo valores claramente separados. Ejemplos: el número de estudiantes en una clase, el número de niños en una familia, el número de autos entrando en un auto lavado por hora, el número de clientes que llegan a una estética cada hora.
2. Distribución de probabilidad continua: puede asumir un número infinito de valores dentro de un rango determinado. La distancia que recorre cada estudiante para llegar a su clase. Ejemplos: el tiempo que le toma a un ejecutivo llegar a su trabajo, el tiempo invertido en una llamada telefónica, la estatura de los alumnos de un grupo en clase.
1.- Distribución de Probabilidad Discreta
Definición: el conjunto de pares ordenados (x, f(x)), es una distribución de probabilidad de la variable aleatoria X; donde f(x) es una función de probabilidad y si se cumple para cada posible resultado x, que:
1.- f(x) ( 0
2.-
å
=
x
x
f
1
)
(
3.- P(X = x) = f(x)
Ejemplo:
Considere un experimento aleatorio en el cual una moneda es lanzada tres veces. Sea x el número de caras. Sea H la que representa el resultado cara y T el resultado cruz.
Sea X la variable aleatoria que representa el número de caras en tres lanzamientos de una moneda.
Los posibles resultados (espacio muestral) para este experimento serán:
{TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}
Entonces los valores posibles para x (número de caras) son 0, 1, 2, 3.
X
f(x) = P(X = x)
F(x)=P(X(x)
0
1/8
1/8
1
3/8
4/8
2
3/8
7/8
3
1/8
1
(f(x) = 1
Donde:
f(x): Función de Probabilidad.
F(x) = Función de Distribución Acumulada.
Toda Variable Aleatoria tiene las siguientes características:
1.- Función de probabilidad
2.- Función de distribución
3.- Esperanza Matemática
4.- Varianza
5.- Desviación Estándar
La FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN se define como F(x) = P(X ( x)
Calculando la función de distribución para el ejemplo anterior se tiene:
F(x) = P(X ( x)
P(x ( 1) = 4/8 = 0.5
Haciendo uso de función de distribución, se pueden calcular las probabilidades siguientes:
· P(1 ( x ( 3) = P(x ( 3) – P(x < 1) = 1 – 1/8 = 7/8
· P(x ( 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – ¼ = 4/8 = 0.5
Toda variable aleatoria tiene ESPERANZA E(X) Y VARIANZA V(X)
· E(x) = (xiP(x)
· V(x) = E(x2) – (E(x))2
En el ejemplo la esperanza es:
E(x) = (0 x 1/8) + (1 x 3/8) + (2 x 3/8) + (3 x 1/8) = 12/8 = 1.5
E(x2) = (12 x 3/8) + (22 x 3/8) + (32 x 1/8) = 24/8 = 3
Otra fórmula para la varianza es:
V(x) = E(x2) – E(x)2
la cual se deduce de la definición:
V(x) = E(x – E(x))2
V(x) = E(x2 – 2xE(x) + E(x)2)
V(x) = E(x2) – 2E(x)2 + E(x)2
V(x) = E(x2) – E(x)2
Al aplicarla al ejemplo, se tiene:
V(x) = 3 – (1.5)2 = 0.75
MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE PROBABILIDAD
· Registra la ubicación central de los datos.
· Es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria.
· También se le conoce como su valor esperado, E(x), en una distribución de probabilidad.
· Es un promedio ponderado.
· La media es calculada con la fórmula:
30
)
200
)(
15
.
0
(
=
=
=
np
m
30)200)(15.0( np
Donde: µ representa la media, y P(x) es la probabilidad de que x asuma algún valor.
VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE PROBABILIDAD
· La varianza mide el tamaño de la dispersión de una distribución.
· La varianza de una distribución discreta es representada por la letra griega σ2 (sigma cuadrada).
· La desviación estándar es la raíz cuadrada σ2 .
· La varianza de una distribución de probabilidad discreta es calculada con la siguiente fórmula:
5
.
25
)
15
.
0
1
)(
30
(
)
1
(
2
=
-
=
-
=
p
np
s
5.25)15.01)(30()1(
2
pnp
Ejemplo:
David Ramírez, dueño de un negocio de servicios de pintura, estudió sus registros de las últimas 20 semanas y reporta el siguiente número de casas pintadas por semana:
# de casas
pintadas
semanas
10
5
11
6
12
7
13
2
· Distribución de Probabilidad
Número de casas pintadas, x
Probabilidad, P(x)
10
0.25
11
0.30
12
0.35
13
0.10
TOTAL
1.00
· Calcule el número medio de casas pintadas por semana:
0498
.
5
5
.
25
=
=
s
0498.55.25
· Calcule la varianza del número de casas pintadas por semana:
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
|
(
2
2
1
1
1
1
1
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
A
P
+
=
1.1.- Distribución Binomial
La Distribución Binomial surge de un experimento Bernoulli, nombrado así en honor del matemático suizo James Bernoulli (1654-1785). Cuando en un solo ensayo puede ocurrir sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, como éxito, fracaso, alivio o muerte, presencia o ausencia, macho o hembra, el ensayo se denomina ensayo Bernoulli.
4783
.
)
04
(.
45
.
)
03
(.
55
.
)
03
(.
55
.
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
=
+
=
+
=
B
U
P
B
P
A
U
P
A
P
A
U
P
A
P
U
A
P
0 fracaso
Sea Yi =
1 éxito
Una secuencia de ensayos de Bernoulli forma un proceso de Bernoulli si se cumplen las siguientes condiciones:
1. En cada ensayo ocurre uno de los posibles resultados mutuamente excluyentes. Uno de los posibles resultados se denota (arbitrariamente) como un éxito y el otro como un fracaso.
2. La probabilidad de un éxito, denotado por p, permanece constante de un ensayo a otro, y la probabilidad de fracaso, 1 – p, se denota por q, q = 1-p.
3. Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de algún ensayo en particular no es afectado por el resultado de cualquier otro ensayo.
La variable aleatoria Binomial, se define como una suma de variables Bernoulli: X = ( Yi.
Las características de esta variable son:
1. Función de probabilidad:
(
)
(
)
,...n
,
para x
q
p
x
n
x
X
P
x
f
x
n
x
1
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
=
-
2. Función de Distribución:
(
)
(
)
0
x
n
x
x
q
p
x
n
x
X
P
x
F
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
£
=
å
a. La esperanza matemática es: E(x) = np
b. La varianza es V(x) = npq
Donde:
n: es el número de ensayos.
x: es el número de éxitos.
p: probabilidad de éxito en cada ensayo.
q: probabilidad de fracaso.
Ejemplo:
Se desea calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos de Bernoulli. Supóngase que en cierta población el 52% de todos los nacimientos que se registraron son varones. Si aleatoriamente se seleccionan cinco registros de nacimientos dentro de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos pertenezcan a varones?
)!
(
!
r
n
n
P
r
n
-
=
Sea A el suceso correspondiente a las combinaciones del nacimiento exactamente de tres varones de entre cinco.
A = {VVVHH, VVHVH, VVHHV, VHVVH, VHVHV, VHHVV, HVVVH, HVVHV, HVHVV, HHVVV}
Ahora vamos a calcular la probabilidad del nacimiento exactamente de tres varones empleando las nociones de probabilidad.
La probabilidad de del nacimiento de tres varones y dos hembras es:
P(V, V, V, H, H) = pppqq
P(V, V, V, H, H = p3q2
Para las 10 posibles combinaciones es:
P(x = 3) = 10 x p3q2
P(x = 3) = 10 x (0.52)3 (0.48)2
P(x = 3) = 0.3240
Calculando dicha probabilidad empleando la función de probabilidad, se tiene:
P(X = x) = f(x) =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
n
pxqn – x = nCx pxqn – x
P(x = 3) =
324
.
0
)
48
.
0
(
)
52
.
0
(
10
)
48
.
0
(
)
52
.
0
(
!
2
!
3
!
5
)
48
.
0
(
)
52
.
0
(
3
5
2
3
2
3
3
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
1.2.- Distribución de Poisson: esta distribución es llamada así en honor al matemático francés Simeon Denis Poisson (1781-1840), la cual ha sido empleada extensamente en biología y medicina.
La distribución de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado.
Esta distribución también es una forma límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande.
Características del Proceso de Poisson
1. Las ocurrencias de los eventos son independientes. La ocurrencia de un evento en un intervalo de espacio o tiempo no tiene efecto en la probabilidad de una segunda ocurrencia del evento en él mismo o en algún otro intervalo.
2. Teóricamente, es posible la ocurrencia de un evento un número infinito de veces dentro del intervalo.
3. La probabilidad de una sola ocurrencia del evento en un intervalo dado es proporcional a la dimensión del intervalo.
4. En cualquier fracción infinitesimal del intervalo, la probabilidad de más de una ocurrencia del evento es insignificante.
Una característica interesante de esta distribución es que su esperanza y varianza son iguales. Por lo tanto, su esperanza matemática es E(x) = µ y su varianza es V(x) = µ.
)!
(
!
!
r
n
r
n
C
r
n
-
=
La distribución de Poisson puede describirse matemáticamente utilizando la siguiente fórmula:
Donde:
· µ ó λ es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo específico.
· e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico neperiano).
· x es el número de éxitos.
· P(x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado de x.
Ejemplo:
1.- La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos en el banco del centro de Peralvillo. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo?
µ = np = 40(.025) = 1 P(3) = 13e-1/3! = 0.0613
2.- Supóngase que se sabe que en cierta área de una gran ciudad el número promedio de ratas por manzana es de cinco. Supóngase que el número promedio de ratas sigue una distribución de Poisson, encuentre la probabilidad de que en una manzana elegida aleatoriamente: (Daniel, pág. 118).
a. Existan exactamente cinco ratas.
b. Existan más de cinco ratas.
c. Existan menos de cinco ratas.
d. Existan entre cinco y siete ratas, inclusive.
Para ( = 5
a) P(x = 5) =
176
.
0
01755
!
5
5
5
5
@
=
-
e
Si se hace uso de la tabla tenemos:
P(x = 5) = P(x ( 5) – P(x ( 4) = 0.616 – 0.440 = 0.176
b) P(x > 5) = 1 – P(x ( 5) = 1 – 0.616 = 0.3840
c) P(x < 5) = P(x ( 4) = 0.440
d) P(5 ( x ( 7) = P(x ( 7) – P(x < 5) = P(x ( 7) – P(x ( 4) = 0.867 – 0.440
P(5 ( x ( 7) = 0.4270
2.- Distribuciones de Probabilidad Continua
Una distribución es continua cuando “la masa” (en el caso continuo se supone que la probabilidad es una masa unitaria distribuida sobre el eje real) total de la probabilidad se encuentra distribuida continuamente en el eje real, con función densidad f(x).
En el caso de variables aleatorias continuas solo tiene sentido hablar de probabilidades sobre intervalos, más no sobre valores puntuales, esto se debe a que las probabilidades se representan mediante áreas bajo una curva, y para que exista un área se requieren dos dimensiones (largo y ancho).
Propiedades de una función de densidad
Si f(x) es una función de densidad entonces:
1.- f(x) ≥ 0 para cualquier valor de x.
2.-
· Si la variable aleatoria x tiene una función de densidad f(x), la probabilidad de que x se encuentre en el intervalo [a, b] es:
ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). El valor esperado o esperanza matemática de x es:
VARIANZA : V(x) = E(X2) - µ
2.1.- Distribución Normal
Es la distribución más importante de la Estadística, la formula para esta distribución fue publicada por Abraham de Movre (1667-1754) el 12 de Noviembre de 1733 (citado por Daniel, pág. 122). También, es conocida como distribución de Gauss en reconocimiento a las contribuciones realizadas por Friedrich Gauss (1777-1855).
La función de densidad Normal está dada por:
(
)
(
)
,
2
1
2
2
2
/
s
m
s
p
-
-
=
x
e
x
f
¥
<
<
¥
-
x
Los parámetros de la distribución son la media (() y la desviación estándar ((). La densidad Normal alcanza su valor máximo en la media. La desviación típica expresa la concentración de la distribución alrededor del valor esperado
Características de la distribución Normal:
1. Es simétrica respecto a su media.
2. Las medidas de tendencia central: media, mediana y moda son iguales.
3. El área total bajo la curva sobre el eje de las x es una unidad de área, puesto que es una distribución de probabilidad. Además, por ser simétrica, el 50% del área está a la derecha de la perpendicular que se levanta sobre la media, y el otro 50% a su izquierda.
4. Los parámetros ( y ( determina la distribución, es decir, que para cada valor diferente de ( y ( se especifica una distribución Normal diferente. Por tal razón se habla de la familia de la distribución Normal.
792
)!
5
12
(
!
5
!
12
5
12
=
-
=
C
µ x
Figura 4: Distribución Normal
La curva de la Normal tiene la forma de Campana, simétrica. Dependiendo de la Desviación Estándar y para una misma media poblacional la curva Normal, puede tomar tres formas: Platicurtica, Leptocurtica y Mesocurtica, tal como se muestra en la figura 5. Mientras, en la figura 6 se observan tres distribuciones normales con diferentes medias poblacionales e igual variabilidad.
2.2.- Distribución de Probabilidad Normal Estándar
· La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1. También es llamada distribución z.
· Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar, σ. La fórmula es:
Z = (x – µ)/σ
Por lo tanto al sustituir en la función de densidad queda:
(
)
,
2
1
2
/
2
z
e
z
f
-
=
p
¥
<
<
¥
-
z
Ejemplo:
1.- El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200?
Z = (x – µ)/s = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00
· Cuál es el valor z de $1,700?
Z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50
Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar arriba de la media de $2,000.
Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la media de $2,000.
2.- En un estudio de dactilografía, una característica cuantitativa muy importante es el total de surcos en los 10 dedos de un individuo. Supóngase que el total de surcos en los dedos de los individuos en una población tienen distribución aproximadamente normal con una media de 140 y una desviación estándar de 50. Calcular la probabilidad de que un individuo, elegido al azar de entre esa población, tenga un total de surcos en los dedos: (Daniel, pag. 133).
a. De 200 a más.
b. Menos de 100.
c. Entre 100 y 200.
d. Entre 200 y 250.
e. En una población de 10.000 personas, ¿cuántos puede esperarse que tengan un total de 200 surcos o más?
Sea
( = 140 y ( = 50, para calcular la probabilidad se debe transformar la variable x en z, es decir debemos estandarizar:
a) P(x ( 200) = 1 – P(x < 200) = 1 – P(Z <
50
140
200
-
) = 1 – P(Z <
50
60
) = 1 - P(Z < 1.2)
= 1 - 0.8849 = 0.1151
b) P(x < 100) = P(Z <
50
140
100
-
) = P(Z < -0.80) = 0.2119
c) P(100 < x < 200) = P(x < 200) – P(x < 100) = P(Z <
50
140
200
-
) – P(Z <
50
140
100
-
)
P(100 < x < 200) = P(Z < 1.2) – P(Z < -0.80) = 0.8849 – 0.2119 = 0.6730
d) P(200 < x < 250) = P(x < 250) – P(x < 200)
P(200 < x < 250) = P(Z <
50
140
250
-
) – P(Z <
50
140
200
-
) = P(Z < 2.2) – P(Z < 1.2)
= 0.9861 – 0.8849 = 0.1012
e) El número de surcos esperados se calcula como: np, donde n=10.000 y p=0.1151, por tanto, np = 10.000 x 0.1151 = 1151.
Áreas bajo la curva normal
· Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa µ +- 1σ.
· Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa µ +- 2σ.
· Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir µ +- 3σ.
Ejemplo:
El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones. Aproximadamente 68% de ellos ¿cuántos galones de agua consumen?
Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones.
· ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al azar consuma entre 20 y 24 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (20 – 20)/5 = 0.00
Z = (x – µ)/σ = (24 – 20)/5 = 0.80
El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881.
Por lo tanto se concluye que el 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones de agua por día.
· ¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (18 – 20)/5 = – 0.40
Z = (x – µ)/σ = (26 – 20)/5 = 1.20
El área asociada con un valor z de – 0.40 es de 0.1554 y con un valor z de 1.20 es de 0.3849. Sumando estas áreas, el resultado es 0 .5403.
Por lo tanto se concluye que el 54.03% de los residentes consumen entre 18 y 26 galones de agua por día.
La aproximación normal a la binomial
· La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n.
· La distribución de probabilidad normal es generalmente una buena aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando np y n(1 – p) son ambos mayores que 5.
Factor de corrección de continuidad
El valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad discreta se aproxima por medio de una distribución de probabilidad continua.
Ejemplo:
Un estudio reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares esperaría que tengan videocámara?
040
,
95
)!
5
12
(
!
12
5
12
=
-
=
P
Esta es la media de una distribución binomial.
·
)]
(
[
x
xP
S
=
m
¿Cuál es la varianza?
· ¿Cuál es la desviación estándar?
)]
(
)
[(
2
2
x
P
x
m
s
-
S
=
· ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan videocámaras?
Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5. El valor z es:
Z = (x – µ)/σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88
· El área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699.
· Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .5000 + .4699 = .9699.
La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan videocámara es aproximadamente 97%.
2.3.- Distribución Gamma: algunas variables aleatorias son siempre no negativas y por diversas razones dan origen a distribuciones de datos sesgados (asimétricas) a la derecha, es decir, la mayor parte del área bajo la función de densidad está cerca del origen, y la función de densidad disminuye gradualmente a medida que aumenta y. En la figura se observa funciones de densidad gamma.
Este tipo de distribución es usada por ejemplo para calcular tiempos entre fallas de funcionamiento de los motores de cierto avión, tiempos que pasan los clientes formados para llegar a la caja en un supermercado.
La distribución gamma se define a partir de la función gamma, cuya ecuación es:
· La función de densidad de la distribución gamma es:
α y β son los parámetros de la distribución.
· La media y la varianza de la variable gamma son:
· La función de densidad Gamma en la que α = 1 se llama función de densidad exponencial. Su función de densidad es:
· Su parámetro es β.
· La media y la varianza de la distribución exponencial son:
2.4.- Distribución Beta
La función de densidad beta es una función de densidad con dos parámetros, definida en el intervalo cerrado 0
Se dice que una variable aleatoria beta X tiene una distribución de probabilidad beta con parámetros α > 0 y β>0 si y solo si la función de densidad de X está representada por la expresión:
Donde:
2.5.- Distribuciones Bidimensionales
A menudo el experimentador quiere saber más de la intersección de dos o más eventos. Por ejemplo, un biólogo que observa la cantidad de crías que sobreviven en una camada está interesado en la intersección de los siguientes eventos:
A: La camada contiene n animales
B: y animales sobreviven
De manera similar, la observación de la estatura y el peso de una persona representan la intersección de un par de eventos específicos relacionados con la medición de la altura y el peso.
Es posible definir diversas variables aleatorias en el mismo espacio muestral. Por ejemplo, considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados. El espacio muestral contiene 36 puntos muestrales, que corresponden a las mn = 6 * 6 = 36 maneras en que pueden aparecer los números en las caras del dado.
Cualquiera de las siguientes variables aleatorias definidas en el espacio muestral podría interesar al experimentador:
X1: Número de puntos que muestra el dado 1.
X2: Número de puntos que muestra el dado 2.
X3: Suma del número de puntos de los dados.
X4: Producto del número de puntos que aparecen en los dados.
Los 36 puntos muestrales relacionados con el experimento son equiprobables y corresponden a los 36 eventos numéricos (x1, x2). Por lo tanto, lanzar un par de números uno constituyen el evento simple (1,1); obtener un 2 en el primer dado y un 3 en el segundo dado constituye el evento simple (2,3). Ya que todos los pares (x1, x2) ocurren con la misma frecuencia relativa, asignemos una probabilidad de 1/36 a cada punto muestral. De ahí que la función de probabilidad bivariable sea:
p(x1, x2) = p(X1 = x1, X2 = x2) = 1/36, x1 =1,2,…,6, x2 = 1,2,…..6.
· Si X1 y X2 son dos variables aleatorias discretas, la distribución de probabilidad conjunta (o bivariable) de x1 y x2 está determinada por:
p(x1, x2) = p(X1 = x1, X2 = x2) ,
Denominaremos a la función P(x1, x2) función de probabilidad conjunta.
· Si X1 y X2 son dos variables aleatorias discretas con una función de probabilidad conjunta p(x1, x2), entonces:
1.- p(x1, x2) ≥ 0, para toda x1, x2.
2.- donde la suma incluye todos los valores (x1, x2) que tienen asigandas probabilidades diferentes de cero.
· La función de distribución conjunta F(x1, x2) de dos variables aleatorias discretas X1 y X2 cualesquiera, está dada por:
F(x1, x2) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2),
· La función de distribución conjunta F(x1, x2) de dos variables aleatorias continuas X1 y X2 cualesquiera, está dada por:
, para toda
· Para variables aleatorias continuas f(x1, x2) se llama función de densidad de probabilidad conjunta y se cumple que:
1.- f(x1, x2) ≥ 0, para toda x1, x2.
2.-
~A
A
Estéreo
225
Ambos 100
TV
175
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
3
.
11
)
10
)(.
13
(
)
35
)(.
12
(
)
30
)(.
11
(
)
25
)(.
10
(
)]
(
[
)
(
=
+
+
+
=
S
=
=
x
xP
x
E
m
91
.
0
2890
.
0
1715
.
0
0270
.
0
4225
.
0
)
10
(.
)
3
.
11
13
(
...
)
25
(.
)
3
.
11
10
(
)]
(
)
[(
2
2
2
2
=
+
+
+
=
-
+
+
-
=
-
S
=
x
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x
m
s
!
)
(
x
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-
=
m
30
)
200
)(
15
.
0
(
=
=
=
np
m
5
.
25
)
15
.
0
1
)(
30
(
)
1
(
2
=
-
=
-
=
p
np
s
0498
.
5
5
.
25
=
=
s