§4　緩増加超関数入門

4.1 緩増加超関数

4.2 Fourier変換

4.3 周期超関数

4.3 Sobolev空間

4.1 緩増加超関数 2

関数 f P L1pRq と汎関数 C80 pRq Q φ ÞÝÑ Tf pφq :“

ş8

´8fpxqφpxq dx P C を

しばしば同一視する. この見方により関数の概念を拡張することができる.

《定義》 φ P C8pRq に対して,

pkpφq :“ max0ďjďk

supxPR

xxyk|φpjqpxq| pk P N0q, xxy :“ p1 ` x2q1{2.

(1) S “ SpRq :“ tφ P C8pRq | pkpφq ă 8 p@kqu (φ P S を急減少関数と呼ぶ)

(2) S において tφnu Ă S が φ P S に収束する (φn Ñ φ in S と表す)defô @k P N0に対して pkpφn ´ φq Ñ 0.

〔例〕 (Hermite関数) ※ D :“d

dx

h0pxq “14?πe´x2{2,

?2n hnpxq “ px´Dqhn´1pxq pn “ 1, 2, 3, . . . q

で定まる hn は S に含まれる. (hnpxq “ pxのn次多項式q e´x2{2：n次Hermite関数)

実は, L2pRq の正規直交基底をなすことが知られている.

3

《定義》 (緩増加超関数) ※汎関数=関数空間からCの写像

(1) S “ SpRq上の連続線型汎関数を緩増加超関数と呼ぶ. (超関数の一種)

すなわち, T が緩増加超関数であるとは,

(i) T : S Ñ C が線型写像, かつ

(ii) T : S Ñ C が連続, i.e. φn Ñ φ in S ñ pT, φnq Ñ pT, φq in C.(φ の T による像 T pφq を pT, φq と表す)

緩増加超関数全体の作る空間を S 1 “ S 1pRq と表す.

(2) S 1 において tTnu Ă S 1 が T P S 1 に収束する (Tn Ñ T in S 1 と表す)

defô @φ P Sに対して pTn, φq Ñ pT, φq.

〈注〉 上の定義(1)の(ii)は次で置き換えることができる.

(ii)1 φn Ñ 0 in S ñ pT, φnq Ñ 0 in C.(ii)2 Dk P N DC ą 0 s.t. |pT, φq| ď C pkpφq p@φ P Sq.

4

〔例〕 (基本的な緩増加超関数)

(1) Dk P N s.t. xxy´kfpxq P L1pRq (i.e. f が緩増加局所可積分関数) のとき,

pf, φq :“

ż 8

´8

fpxqφpxq dx pφ P Sq

と定めれば, f P S 1. 実際,

|pf, φq| ď

ż

xxy´k|fpxq| ¨ xxy

k|φpxq| dx ď

ˆż

xxy´k|fpxq| dx

˙

pkpφq.

(2) Diracのデルタ関数 δapxq pa P Rq

pδa, φq :“ φpaq pφ P Sq

によって, δa P S 1が定義される(a “ 0のときは単に δ と表す). 実際,

|pδa, φq| ď |φpaq| ď p0pφq.

5

(3)1

xに対応する超関数 pv

` 1

x

˘

`

pv1

x, φ

˘

:“ limεÑ0

ż

|x|ěε

φpxq

xdx

loooooooooomoooooooooon

Cauchyの主値

“

ż 8

0

φpxq ´ φp´xq

xdx pφ P Sq

と定めれば, pv` 1

x

˘

P S 1. 実際,

ˇ

ˇ

`

pv1

x, φ

˘ˇ

ˇ ď

ż 1

0

|φpxq ´ φp´xq|x

dx`

ż 8

1

|φpxq| ` |φp´xq|x

dx

ď

ż 1

0

2x|φ1pξxq|x

dx`

ż 8

1

xxy |φpxq| ` xxy |φp´xq|x2

dx

pDξx P p´x, xqq

ď 2 p1pφq ` 2 p1pφq “ 4 p1pφq.

〈注〉 大雑把に言って, (緩増加)超関数は関数の拡張概念であるが, 通常の関数がすべて超関

数というわけではない. 1{xは通常の関数であるが, x “ 0の近傍での可積分性がないた

めにx “ 0での意味がはっきりせず, このままでは超関数と見なせない.

6

(4) δpxqに収束する関数列の例

u P L1pRq がş

upxq dx “ 1 を満たすとき (例えば u “ χr0,1q, h20 ),

uεpxq “1

εu

´

x

ε

¯

pε ą 0q

とおけば, uε Ñ δ in S 1 (ε Ñ 0). 実際, @φ P S に対して,

puε, φq “

ż

uεpxqφpxq dx “

ż

upyqφpεyq dy py “ x{εq.

|upyqφpεyq| ď p0pφq|upyq| P L1 より,

Lebesgueの収束定理が適用できて,

limεÑ0

puε, φq “ limεÑ0

ż

upyqφpεyq dy

“ φp0q

ż

upyq dy “ φp0q “ pδ, φq.

3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

7

【緩増加超関数に対する基本演算】

※作用素=関数空間の間の写像

定理4.1 (原理) S上の連続線型作用素 A : S Ñ S に対して,ż

pAψqφdx “

ż

ψ ptAφq dx pψ,φ P Sq ¨ ¨ ¨①

を満たす連続線型作用素 tA : S Ñ S (Aの転置作用素) が存在すると仮定する.

このとき,

pAu, φq :“ pu, tAφq pu P S 1, φ P Sq ¨ ¨ ¨②

により, A は S 1上の連続線型作用素 A : S 1 Ñ S 1 に拡張される.

〈注〉 A : S Ñ S が連続であるとは, φn Ñ φ in S ñ Aφn Ñ Aφ in S である

ということ(φ “ 0の場合だけで十分). あるいは, 次を満たすこと :

@k P N0 DC ą 0 Dl P N0 s.t. pkpAφq ď Cplpφq p@φ P Sq.

8

［証］

• ② がAu P S 1 を定めること. 示すべきは, u P S 1のとき Au : S Ñ C が連続線型汎関数となること. まず線型性は明らか. 連続性を示すために, φn Ñ φ in Sであるとすれば, tAに

関する仮定により tAφn Ñ tAφ in S. よって,

pAu, φnq “ pu, tAφnq Ñ pu, tAφq “ pAu, φq.

• A : S 1 Ñ S 1 の連続性. un Ñ u in S 1 とすれば, @φ P S に対して,

pAun, φq “ pun,tAφq Ñ pu, tAφq “ pAu, φq.

• ①は②が u “ φ P S Ă S 1 に対して成り立つことを表す. よって, ②で定まる

A : S 1 Ñ S 1 は, 明らかに, 最初に与えられた A : S Ñ S の拡張である.

以下, 緩増加超関数に対するいくつかの基本演算を挙げる.

9

[a] 緩増加C8関数の掛け算

f P C8pRq が緩増加C8関数, すなわち f が

@k P N0 Dl “ lpkq P N0 : max0ďjďk

supxPR

xxy´l|f pjqpxq| ă 8

を満たすとき, u P S 1 に対して fu P S 1 を次式で定義する：

pfu, φq :“ pu, fφq pφ P Sq.

Aφ “ fφ (φ P S) と定めれば,

pkpAφq “ max0ďjďk

supxPR

xxyk|tfpxqφpxqu

pjq|

ď C max0ďj1`j2ďk

supxPR

`

xxy´l|f pj1q

pxq| ¨ xxyk`l|φpj2q

pxq|˘

ď

´

C max0ďjďk

supxPR

xxy´l|f pjq

pxq|¯

pk`lpφq.

よって, A : S Ñ S は連続. また, 明らかに tA “ A が成り立つ.

10

[b] 微分

u P S 1 に対して Dlu “ uplq P S 1 (l P N) を次式で定義する：

puplq, φq :“ p´1qlpu, φplqq pφ P Sq.

Aφ “ φplq (φ P S) と定めれば,

pkpAφq “ max0ďjďk

supxPR

xxyk|tφplq

pxqupjq| ď pk`lpφq.

よって, A : S Ñ S は連続. また, 部分積分を繰り返してż

ψplqpxq φpxq dx “ p´1q

l

ż

ψpxqφplqpxq dx pψ,φ P Sq

が得られるので, tAφ “ p´1qlφplq. 明らかに tA : S Ñ S も連続.

11

次の定理は緩増加超関数の1つの特徴付けを与える.

定理4.2 T P S 1 ならば, 緩増加局所可積分関数 F pxq および p P N が存在して,

T “ DpF.

〔例〕 超関数の導関数

(1) Hapxq :“

"

1 px ě aq

0 px ă aq(Heaviside関数) の導関数. (H0はHと書く)

xxy´2Hapxq P L1pRq より Ha P S 1. @φ P S に対して,

pH 1a, φq “ ´pHa, φ

1q “ ´

ż 8

a

φ1pxq dx “ ´“

φpxq‰8

a“ φpaq “ pδa, φq

となるので, H 1a “ δa.

12

(2) log |x| の導関数.

xxy´2 log |x| P L1pRq より log |x| P S 1. @φ P S に対して,

pplog |x|q1, φq “ ´plog |x|, φ1q “ ´

ż 8

0

pφ1pxq ` φ1

p´xqq log x dx

“ ´ limεÑ0

ż 8

ε

pφ1pxq ` φ1

p´xqq log x dx

“ limεÑ0

´

´

”

pφpxq ´ φp´xqq log xı8

ε`

ż 8

ε

φpxq ´ φp´xq

xdx

¯

“

ż 8

0

φpxq ´ φp´xq

xdx “

⟨pv

´ 1

x

¯

, φ⟩.

よって, plog |x|q1 “ pv´

1

x

¯

.

【問4.1】 k P N0, l P N とする. xl は緩増加C8関数であるから, xlδpkq P S 1 である.

xlδpkq“

#

0 pk ă lq

cpn, kq δpk´lq pl ď kqpcpn, kqは定数q

と簡約化されることを示し, cpn, kqの具体形を求めよ.

13

(3) 原始超関数

u P S 1 に対して, 原始超関数 up´1q P S 1 (i.e. Dup´1q “ u) が存在する.

up´1q は以下のように与えられる. まず, φ P S に対して,

φ̃pxq “ φpxq ´ p1, φqh0pxq2´

p1, φq “ż 8

´8φpyq dy

¯

と定める(h0 は0次Hermite関数). ここで,

φ ÞÑ Φpxq :“ż x

´8φ̃pyq dy は S から S への作用素として連続 ¨ ¨ ¨①

であることに注意. C を任意定数として,

pup´1q, φq :“ ´

´

u,ż x

´8φ̃pyq dy

¯

` Cp1, φq pφ P Sq

と定めれば, ①より up´1q P S 1 であり, 更に Dup´1q “ u を満たす.

【問4.2】 次が成り立つことを示せ.

(i) @k P N に対し, l P N, C ą 0 が存在して, pkpΦq ď Cplpφq pφ P Sq. (①の証明)

(ii) pDup´1q, φq “ ´pup´1q, φ1q “ pu, φq pφ P Sq.

14

[c] 変数変換

緩増加C8級関数 y “ ρpxq が infxPR

|ρ1pxq| ą 0 を満たせば, 逆関数 x “ ρ´1pyq

が存在し, やはり緩増加C8級関数となる. このとき,

u P S 1 に対して, pρ˚uqpxq ” upρpxqq P S 1 を次式で定義する :

pρ˚u, φq “ pupyq, φpρ´1pyqq |ρ1pρ´1pyqq|q pφ P Sq

〔例〕 (伸張作用素と平行移動作用素) S P S 1 に対して,

pDaSqpxq “ Spaxq pa ‰ 0q を pDaS, φq :“1

|a| pS, D1{aφq で,

pTbSqpxq “ Spx´ bq pb P Rnq を pTbS, φq :“ pS, T´bφq で定める. pφ P Sq

【問4.3】 δ P S 1, s ą 0 に対して, δpsxq “ s´1δpxq (´1次正斉次) となることを示せ.

15

《定義》 (台 “ support)

(1) f P CpRq の台 supp f とは, supp f :“ tx | fpxq ‰ 0u.

(2) T, S P S 1 および I Ă R (開区間 or 開区間の合併) に対して,

T “ S in Idefô pT ´ S, φq “ 0 @φ P S, suppφ Ă I.

(3) T P S 1 の台 suppT とは

suppT :“ R z tx | T “ 0 in DIx pxの開近傍qu.

特に, suppT がコンパクト集合(“有界閉集合) のとき, T はコンパクト台をもつ超

関数と呼ぶ. また, コンパクト台をなす超関数の空間を E 1 pĂ S 1q と表す.

〔例〕 χr0,1q P E 1, suppχr0,1q “ r0, 1s. δa P E 1, supp δa “ tau.

定理4.3 u P S 1の台が t0u ならば u “kř

j“0

ajδpjq の形に書ける.

16

[d] 合成積

f, g P S 1のとき, g P E 1 ならば 合成積 f ˚ g P S 1 が定義できる. (概略のみ)

　Step 1 φ P S に対して, pg ˚ φqpxq :“ pg, Txφ̌q, φ̌pxq :“ φp´xq と定めれば,

g ˚ φ P S で, φ Ñ 0 in S ñ g ˚ φ Ñ 0 in S.

〈注〉 g P S なら,

　pg, Txφ̌q “

ż

gpyqTxφ̌pyq dy “

ż

gpyqφ̌py ´ xq dy “

ż

gpyqφpx ´ yq dy “ g ˚ φpxq.

　Step 2 pf ˚ g, φq :“ pf, pg ˚ φ̌qˇq pφ P Sq により, f ˚ g P S 1 が定義される.

〈注〉 f, g P S なら,

pg ˚ φ̌qˇpxq “ pg ˚ φ̌qp´xq “

ż

gpyqφ̌p´x ´ yq dy “

ż

gpyqφpx ` yq dy “

ż

gpz ´ xqφpzq dz,

pf, pg ˚ φ̌qˇq “

ż

fpxq´

ż

gpz ´ xqφpzq dz¯

dx

“

ż

´

ż

fpxqgpz ´ xq dx¯

φpzq dz “

ż

pf ˚ gqpzqφpzq dz.

【問4.4】 上の説明に従って f P S 1 に対して f ˚ δ “ f を示せ.

4.2 Fourier変換 17

T P S 1 のFourier変換 pT “ FT を

pFT, φq :“ pT, Fφq`

ô p pT , φq “ pT, pφq˘

pφ P Sq.

により定義する.

Aψ “ Fψ “ pψ pψ P Sq と定める. 0 ď j, k ď ℓ のとき,

ωkpψpjq

pωq “ ωkDjω

ż

ψpxqe´iωx dx “

ż

p´ixqjψpxq ωke´iωx dx

“ p´iqjikż

xjψpxqDkxe

´iωx dx “ p´iqj`k

ż

txjψpxqupkq e´iωx dx.

6 |ω|k| pψpjqpωq| ď

ż

xxy2|txjψpxqu

pkq| dx

xxy2ď C pk`2pψq.

これより, pkpAψq “ pkp pψ q ď Cpk`2pψq が得られ, A “ F : S Ñ S は連続. また, Fubiniの定

理により容易にż

pψpyqφpyq dy “

ż

ψpxq pφpxq dx pψ,φ P Sq

が得られ, tA “ F “ A.

18

定理4.4

(i) F : S 1 Ñ S 1 は連続な逆 F´1 : S 1 Ñ S 1 を持ち, T P S 1 に対して F´1T は

pF´1T, φq “ pu, F´1φq pφ P Sq

で与えられる. ここで,

F´1φpxq :“1

2π

ż

φpωqeixω dω (逆Fourier変換).

(ii) T P S 1 のとき, ωjpi´1DωqkFT “ Fppi´1Dxqjp´xqkT q.

［証］ (i) S 上で F´1F “ FF´1 “ I (変転公式)が成り立つから, T P S 1, φ P S に対して,

pF´1pFT q, φq “ pFT, F´1φq “ pT, FpF´1φqq “ pT, φq.

よって, F´1FT “ T . 同様に FF´1T “ T . すなわち, S 1 上でも F´1F “ FF´1 “ I.

19

(ii) この関係式は S 上では容易に確かめられる. よって, @φ P S に対して,

pFppi´1Dqjp´xq

kT q, φq “ ppi´1Dqjpp´xq

kT q, pφ q “ p´1qjpp´xq

kT, pi´1Dqj

pφ q

“ p´1qj`k

pT, xkpi´1DqjFφq “ p´1q

j`kpT, Fppi´1Dq

kp´ωq

jφqq

“ p´1qj`k

pFT, pi´1Dqk

p´ωqjφq “ pωj

pi´1DqkFT, φq.

〔例〕 F : S 1pRxq Ñ S 1pRωq

(1) Fδa “ e´iaω

(2) F´

ř

kPZδpx´ 2πkq

¯

“ř

nPZδpω ´ nq

(3) Fpxke´iaxq “ 2πikδpkqpω ` aq

(4) F´

pv1

x

¯

“ ´πi sgnω

(5) F´

ř

nPZane

inx¯

“ 2πř

nPZanδpω ´ nq

(6) F´

ř

nPZane

inxχr´π,πspxq

¯

“ 2πř

nPZan

sin πpω ´ nq

πpω ´ nq(tanu P ℓ2pZqとする)

20

いくつか計算してみよう. 以下では, φ P S “ SpRωq とする.

(1) pFδa, φq “ pδa, pφq “ pφpaq “

ż

φpωqe´iaω dω “ pe´iaω, φq

(2)´

F´

ř

kPZδpx´ 2πkq

¯

, φ¯

“

´

ř

kPZδpx´ 2πkq, pφ

¯

“ř

kPZpδpx´ 2πkq, pφq “

ř

kPZpφp2πkq.

ここで, ψpxq :“ř

kPZpφpx` 2πkq P C8pTq はFourier級数展開可能: ψpxq “

ř

nPZcne

inx,

cn “1

2π

ż

Tψpxqeinx dx “

1

2π

ż

T

ÿ

kPZpφpx` 2πkqeinx dx

“1

2π

ÿ

kPZ

ż 2π

0

pφpx` 2πkqeinx dx “1

2π

ż 8

´8

pφpxqeinx dx “ φpnq.

よって,ř

kPZpφpx` 2πkq “

ř

nPZφpnqeinx. 特に,

ÿ

kPZpφp2πkq “

ÿ

nPZφpnq (Poissonの和公式)

これより,´

F´

ř

kPZδpx´ 2πkq

¯

, φ¯

“

´

ř

nPZδpω ´ nq, φ

¯

.

21

(3) pFpxke´iaxq, φq “ pxke´iax, pφq “

ż

e´iaxxkˆ

ż

e´iωxφpωq dω

˙

dx

“

ż

e´iax

ˆż

ikpDkωe

´iωxqφpωq dω

˙

dx´

Dω “d

dω

¯

“ 2πp´iqk ¨1

2π

ż

eip´aqx

ˆż

e´iωxφpkqpωq dω

˙

dx

“ 2πp´iqkφpkqp´aq “ 2πp´iqkpδpω ` aq, φpkq

pωqq

“ p2πikδpkqpω ` aq, φq.

(4)´

F´

pv1

x

¯

, φ¯

“

´

pv1

x, pφ

¯

“ limεÑ0

ż

|x|ěε

pφpxq

xdx “ lim

εÑ0RÑ8

ż R

ε

pφpxq ´ pφp´xq

xdx

“ limεÑ0RÑ8

ż R

ε

ˆż 8

´8

e´ixω ´ eixω

xφpωq dω

˙

dx

“ ´2i limεÑ0RÑ8

ż 8

´8

ˆż R

ε

sinωx

xdx

˙

φpωq dω (Fubiniの定理)

“ ´2i limεÑ0RÑ8

ż 8

´8

sgnω

ˆż |ω|R

|ω|ε

sinx

xdx

˙

φpωq dω “ p´πi sgnω, φq.

4.3 周期超関数 22

4.4 Sobolev空間 23

《定義》 (Sobolev空間)

　α P Rのとき,

Hα “ HαpRq :“ tf P S 1 | xωyα pfpωq P L2u pxωy “ p1 ` |ω|2q1{2q

　をα次のSobolev空間と呼ぶ.

• α “ 0 のとき, H0 “ L2.

• α “ 1, 2, 3, . . . のとき,

f P Hα ô f P L2 X Cα´1 かつ f pαq P L2 (f pαqはS 1の意味での微分)

• α “ ´1,´2,´3, . . . のとき,

Hα は1点に台をもつ |α|次以下のすべての超関数を含む

• Hα は

xf, gyα :“1

2π

ż 8

´8

pfpωqpgpωq xωy2α dω pf, g P Hαq

を内積とするHilbert空間となる.