三角関数に関する計算問題 - phoenix c
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△ について， ＝ ， ＝ ， ＝ のとき，
問題 ～ について，それぞれの値を求めよ。
ただし，
△ の外心，内心，重心，垂心を
それぞれ ， ， ， とする。
と の交点を ， と外接円の
交点を とする。
内接円と ， ， との接点を
それぞれ とする。
， ， は 点 で交わる。
（ 点）
直線 と内接円の 以外の交点を
とする。
△ の面積，外接円の半径，内接円の
半径をそれぞれ ， ， とする。
また，問題 ～ の問いに答えよ。
１.
２.
３.
４.
５.
６.
７.
８.
９.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
三角関数に関する計算問題
-1-
19.
20.
辺 上に点 を固定し， ＝ とおく。辺 上に動点 ，辺 上に動点 をとるとき， ＋ ＋ を最小21.
にする点 ， を求め，そのときの ＋ ＋ の値を求めよ。
辺 上に動点 ，辺 上に動点 ，辺 上に動点 をとるとき， ＋ ＋ を最小にする点 ， を求め，22.
そのときの ＋ ＋ の値を求めよ。
△ 内部に点 をとるとき， ＋ ＋ を最小にする点 を求め，そのときの ＋ ＋ の値を求めよ。23.
， ， とするとき，24.
25.
･26.
27.
のとき，28.
29.
30.
△ の外心，内心，垂心， 内の傍心をそれぞれ ， ， ， とする。 点 ， ， ， ， が同一円周上に31.
あるとき， を求めよ。
△ の外心，内心をそれぞれ ， とする。 辺 ， ， が等差数列をなすとき， を求めよ。32.
△ において，次の場合の の大きさを求めよ。ただし， とする。33.
， ，
， ，
円に内接する四角形 （ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ）の面積 を求めよ。34.
-2-
余弦定理より，
から に下した垂線の足を とおき， ＝ とおくと， ＝ 。
△ ，△ に三平方の定理を適用すると，
－ ＝ － より，
１.
第 余弦定理より， ， ，
これらを連立させて ， ， について解くと，
， ，
２.
＝
＝
ここで， とおくと
･･･ （ヘロンの公式）
より であるから，正弦定理 より，３.
･
△ の内心を とすると，△ ＝△ ＋△ ＋△ であるから，４.
より，
外心を とし， の延長と外接円との交点を とすると，
四角形 は平行四辺形となるから，
＝ ＝ ･ ･
頂点 ， から対辺に下した垂線の足をそれぞれ ， とする。
△ △ より， ： ＝ ：
＝･ ･
＝ ･ ･
５.
＝ ， ＝ ， ＝ とおくと，
-3-
と の交点を とおくと，中線定理により，６.
より
＝ ･
中線定理（パップスの定理）
△ の の中点を とすると，
＋ ＝ であるから，
余弦定理を適用して，
･ ･
分母を払って，
＝ を代入すると，
問題 より， ＝ ７.
-4-
： ＝ のとき，スチュアートの定理 ･ より８.
･ ･
より
が角の二等分線であるとき， ＝ ， ＝ とおくと， ＝
の延長と△ の外接円の交点を ， ＝ ， ＝ とおく。
△ △ より，
方べきの定理より，
より
△ ＋△ ＝△ より
･ より，
ここで， であるから
スチュアートの定理
△ の 上の点を とし， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ， とおくと，
＋ ＝ であるから，
余弦定理を適用して，
分母を払って，
と の交点を とすると， ： ＝ ： より，
＝ ･
９.
-5-
， から に下した垂線の足をそれぞれ ， とし， から に下した
垂線の足を とする。
＝ － ＝ － － ＝
＝
＝ － ＝
直角三角形 に三平方の定理を適用すると，
10.
＝ ･
＝ ･ ･ ･ ･
＝ ＝
＝
＝ （ここで， ）
＝ ＝
＝ ＝
より， ＝
ただし， ， ， ，
， ，
， ， とすると，問題 ， より，
＝
＝ ＝
△ の垂心 ，重心 ，外心 は 直線上にあり， ＝ である。
頂点 ， から対辺に下した垂線の足をそれぞれ ， ， の中点を ，
△ の外接円と の交点を とする。
四角形 は平行四辺形となり， は の中点であるから， の中点である。
△ において， は ， の交点であるから重心である。
は△ の中線で ： ＝ ： であるから， は△ の重心と一致する。
よって，△ の垂心 と重心 と外心 は 直線（オイラー線）上にあり，
＝ である。
11.
-6-
＝ とおく。△ に正弦定理を適用して，
＝
問題 より， であるから
＝ ＝
12.
＝ とおくと， ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ 13.
問題 と より， ＝ ･ 14.
方べきの定理により ＝ ＋ － ＝ －15.
＝ － ＝
＝
オイラー チャップルの定理により ＝ － ＝ ･ ･
＝
オイラー チャップルの定理
△ の外心，内心をそれぞれ ， ，外接円，内接円の半径をそれぞれ ， とすると，
＝
と外接円の交点を とすると，方べきの定理により
＝
また， ＝ ＝ ･
･
より （等号は正三角形の場合）
-7-
＝ ＋ ＝ 16.
＝ と変形できる。また，問題 の結果と合わせて， ･
問題 より， ＝ であるから，
△ △ より， ： ＝ ： ＝･
四角形 にトレミーの定理を適用すると， ＝ ＋ であるから
＝･ ･
･ ･
トレミーの定理 円に内接する四角形 について， ＋ ＝ が成り立つ。
上に点 を△ △ となるようにとると，
： ＝ ： ＝ …①
また， ＝ ， ＝ より，△ △ であるから，
： ＝ ： ＝ …②
①＋②より， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
よって， ＋ ＝
， ， とおくと，
この 式を辺々加え， で割ると，
よって，
17.
スチュアートの定理により 18.
より，
･ ･ ･ ･ ，チェバの定理の逆により， ， ， は 点で交19.
わる。
△ と直線 にメネラウスの定理を適用して，
･ ･ ･ ･
･
＝
（ についての対称式）
-8-
方べきの定理により ･20.
＝
の ， に関する対称点をそれぞれ ， とし， と ，
の交点をそれぞれ ， とすると，
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （直線）が最小となる。
＝ ＝ ＝ であるから，△ に余弦定理を適用して，
＝ ･
＝ ･ ･
21.
前問より， から に下した垂線の足を としたとき，最小となる。
また， の ， に関する対称点をそれぞれ ， とし， と ，
の交点をそれぞれ ， とする。
このとき， ＋ ＋ ＝ の値は最小となる。
求める最小値は， のときであるから，
＝ ･･
22.
△ 内に ＝ ＝ （＝ ）となる点 （ 点）をとると，
＝ において， ＋ は最小となる。
， ， を△ ，△ ，△ が正三角形になるようにとると，
＋ ＋ ＝ ＋ （＝ ＋ ＋ ）となるからである。
， であるから，△ に余弦定理を適用すると
＝ ･ ･ ＝
より， ＝
23.
となる点 をとると， ･ ･24.
同様に， となるので， は垂心，すなわち ＝
よって，
問題 で， ＝ より， ･
問題 より， 25.
･26.
＝
-9-
･ ･ ･27.
ここで，
＝
＝ ･ より
＝
より，
問題 より，この値は に等しい。（問題 の別解）
28.
半角の公式 を用いても計算できる。
， より，29.
半角の公式より，
30.
半角の公式より，
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ である。
＝ とおくと， より
このとき， ＝ ＝ ＝ となり，
点 ， ， ， は同一円周上にある。
また， ＝ となり， は に関して と反対側にあるから
も同じ円周上にある。
よって， ＝
31.
-10-
＝ ， ＝ ， ＝ とおくと，
仮定より， …①
と外接円の交点を とおく。
四角形 にトレミーの定理を適用すると，
＋ ＝
＝ より， ＝
①を代入すると， ＝ ＝
とおくと， ＝ ＝ より，
＝ ＝
32.
は の中点となるから， より， ＝
余弦定理を適用すると
＝ ＝
＝
より，
のとき，
のとき， 名古屋
のとき，
33.
同様に， ＝
＝ ＝
より，
のとき， 七五三
のとき，
-11-
より， ， である。
…①
…②
…③
③－②より， …④
①の両辺を 乗すると，
34.
＝ ＝ （ ④を代入した。）
＝
＝ ＝
ここで， とおくと， ＝ ＝ ＝ ，等より
＝ ･ ･ ･ ＝
より， （プラマグプダの定理）
（ 時岡）
-12-