1

§B.4. 利潤最大化問題§B.4.1. 利潤最大化問題と利潤関数

短期利潤関数：総収入

固定要素費用可変要素費用

総生産費用

s.t. F (xv

, y; x̄f

) = 0：生産技術制約

(p, w, xf

) ⇥ maxxv,y0

p · y − [wv

· xv

+ wf

· xf

]

(p, w) ⇥ maxx,y0

p · y − w · x s.t. F (x, y) = 0

長期利潤関数：

2

L(x, y,) = p · y w · x F (x, y)ラグランジュ関数：

F (x, y) = 0x

y1

y2

例：1種類の生産要素・２種類の生産財の場合：

投入・産出が明確に区別できる場合

}

3

F (x⇤, y

⇤) 0

⇤F (x⇤, y⇤) = 0

[w − ⇤⇥x

F (x⇤, y⇤)] · x⇤ = 0

[p− ⇤⇥y

F (x⇤, y⇤)] · y⇤ = 0

p ⇤ry

F (x⇤, y⇤)

1階条件：

w ≥ ⇤rx

F (x⇤, y⇤)

2階条件：

v ·D2F (x⇤

, y

⇤)v 0 ⇤v ⇥ R

m+n ：(x*,y*)周辺でFが凹関数

4

pi

pj

=F (x⇤, y⇤)/y

i

F (x⇤, y⇤)/yj

pi

wj

=F (x⇤, y⇤)/y

i

F (x⇤, y⇤)/xj

wi

wj

=F (x⇤, y⇤)/x

i

F (x⇤, y⇤)/xj

内点解：

λ⇤ =pi

⇥F (x⇤, y⇤)/⇥yi

= wj

⇥F (x⇤, y⇤)/⇥xi

：限界生産物価値の一致

：限界生産物価値と生産財価格が整合

：生産財価値が同等

5

(p, w) ⇥ maxx0

p · f(x)− w · x

単一生産財の場合：

y = f(x)無制約化

1階条件：

v ·D2f(x⇤)v 0 ⇤v ⇥ R

n

p ·⇥f(x⇤) ≤ w

[p ·⇥f(x⇤)− w] · x⇤ = 0

2階条件：

F (x, y) ⌘ y − f(x) 0

6

y = f(x)

y

x

Y

O

2階条件を満たす生産関数：

１生産要素・１生産財の場合：

7

w/p

y =

p+

w

px

/p

y

x

O

/p

y =

p+

w

px

w/p

等利潤線

>

所与の利潤水準に整合する投入産出関係： = p · y w · x

8

y = f(x)

y

x

Y

O

w/p

y =

p+

w

px

/p

x

0x

00

pf

0(x00) < w

最適化されていない状態

限界生産物価値

9

y = f(x)

y

x

Y

O

/p

y =

p+

w

px

w/p

実現不可能

10

y = f(x)

y

x

Y

O

y =⇤

p+

w

px

⇤/pw/p

pf

0(x⇤) = w

x

⇤

内点解の場合

11

y = f(x)

y

x

Y

O

端点解の場合

pf

0(0) < w

12

§B.4.2. 供給関数

生産財が1種類の場合の(長期)利潤最大化問題：maxy0

py C(y;w)

１階(内点解)条件：C

0y

(y⇤;w) = p

2階条件： C

00y

(y⇤;w) > 0 i.e., MC

0y

(y⇤;w) > 0

13

y

O

w/p

S字型(短期)生産関数の場合

y

⇤y = f(x1, x2)

y = + w2x2

p+

w1

px1

pf

01(x

⇤1, x2) = w1

x

⇤1

x1

14

y

O

w2x2/pBE

(i.e., ⇡ = 0)

y = f(x1, x2)

x1

損益分岐価格：短期利潤＝固定費

w1/pBE

y =w2x2

p

BE

+w1

p

BE

x1

x

BE

1

y

BE

pf

01(x

BE

1 , x2) = w1

15

y

O

y = f(x1, x2)

x1

操業停止価格：短期利潤＝０

(i.e., = w2x2)y =w1

p

SD

x1

w1/pSD

w1/pBE

y

SD

x

SD

1

⇒ 固定費を回収できない

pf

01(x

SD

1 , x2) = w1

p

p

MC

y(p) y

MCAC

pBEpSD

y'(p)

AC

AVC

16

損益分岐価格：

生産中止価格：

限界・平均費用と利潤最大化

p > MC(y;w)

p = MC(y⇤;w)

y

⇤

投入要素が1種類の場合：

17

s(p, w) =

8<

:

0 if p < p

SD

{0, y(p)} if p = p

SD

y(p) if p > p

SD

定義B.39(供給関数)

pMC

y

MCAC

pSD

AVCs(p, w)

18

d(p, w) ⌘ h(s(p, w);w)

定義B.40((無制約の)要素需要関数)

定義B.41(利潤関数)

(p, w) ⌘ ps(p, w)− C(y;w)

19

w/p

y =

p+

w

px

/p

y

x

O

y = f(x)

! x

⇤ = 1

pf

0(x) > w 8x ≥ 0

※ 利潤最大化と生産関数の形状

生産関数が収穫一定の場合 (1)

20

w/p

y =

p+

w

px

y

x

O

y = f(x)

pf

0(x) < w 8x ≥ 0

! x

⇤ = 0

生産関数が収穫一定の場合 (2)

21

y

x

O

y =⇤

p+

w

px

y = f(x)

pf

0(x) = w 8x ≥ 0

→ 任意の非負xで最適(ゼロ利潤)

生産関数が収穫一定の場合 (3)

22

y

x

O

生産関数が収穫逓増の場合 (1)y = f(x)

y =

p+

w

px

pf

0(x) > w

! x

⇤ = 1

w/p

23

y

x

O

生産関数が収穫逓増の場合 (2)

y = f(x)

w/p

pf

0(x) < w

! x

⇤ = 0

24

§B.4.3. 利潤関数と要素需要関数の性質

定理B.33(価格に対する反応)

w0 wp0 ≥ p

) (p0, w0) ≥ (p, w)

(p0, w0) ⇥ p0 · y0 − w0 · x0

⇤ p0 · y − w0 · x⇤ p · y − w · x [* p0 ⇤ p]

= (p, w)

証明：

x 2 d(p, w), y 2 s(p, w)x

0 2 d(p0, w0), y0 2 s(p0, w0)

)

等号：端点解を含む場合

25

定理B.34(1次同次性)

(tp, tw) = t(p, w) 8t ≥ 0

x 2 d(p, w)y 2 s(p, w)

) (p, w) ⇥ p · y − w · x ⇤ p · y0 − w · x0 ⇧(x0, y0) ⌅ Y

両辺に t かける

t(p · y − w · x) ⇥ t(p · y0 − w · x0) ⇤t ⇥ 0

) (tp, tw) = tp · y − tw · x ⇥ t(p, w)

証明：

tp · y − tw · x ⇥ tp · y0 − tw · x0 ⇤t ⇥ 0

26

定理B.35(価格に関する凸性)

(p00, w00) ⌘ t(p, w) + (1− t)(p0, w0), t 2 [0, 1]

8(p, w), (p0, w0) > 0

(p00, w00) t(p, w) + (1− t)(p0, w0)

証明：

(p00, w00) ⇥ [tp+ (1− t)p0] · y00 − [tw + (1− t)w0] · x00

= t (p · y00 − w · x00)| {z }(p,w)

+(1− t) (p0 · y00 − w0 · x00)| {z }(p0,w0)

⇤ t(p, w) + (1− t)(p0, w0)

27

定義B.42(等利潤曲線)

�(p, w) Rm+n

+ |(p, w) =

利潤水準　　の下での等利潤曲線：⇡

生産関数・利潤関数間の双対性

(x,y)が最適投入産出量となる価格(p,w)

最大化利潤水準： ⇡

生産関数 等利潤曲線(利潤関数)価格(p,w)の下で最適となる投入産出量(x,y)

p

w

x

y

x*

B

A

y − f(x)

w*y*

x*/y*

w*/p*

π = py

π = p*y − w*x

π /p*

π = py* − wx*

πy*

p*

π −p*y*=wx

28

① 生産関数を描く② 利潤水準を設定する

④ 点Aが最適となる価格比 → w*

③ 生産関数上の投入産出ベクトルを決める： 利潤最大化 → p*

⑤ 価格平面の等利潤線切片確定

⑥ 傾きx*/y*の等利潤線を描く

⑦ (x*,y*)が最適生産点となる価格(p*,w*)

29

p

w

x

y

x*

w'

B'

B

x'A'

A

y − f(x)

w*y*

w'/p'

x*/y*

w*/p*

y'π = py

π = p*y − w*x

π /p'π /p*

π = py* − wx*

π = py' − wx'

x'/y'

p'

πy'

πy*

p*

π −p*y*=wxπ −p'y'=wxπ = p'y − w'x

⑧ 生産関数上の別の投入産出ベクトルを決める

⑨ 価格比の決定

⑩ 切片確定

⑪ 傾き の等利潤線を描くx

0/y

0

⑫ が最適生産点となる価格(x0, y

0) (p0, w0)

30

p

w

x

y

x*

w'

B'

B

x'A'

A

y − f(x)

w*y*

w'/p'

x*/y*

w*/p*

y'

π = p*y − w*x

π /p'π /p*

π = py* − wx* π = py' − wx'x'/y'

p'

πy'

πy*

p*

π = p'y − w'x

(p’,w’)下で(x*,y*)で生産→利潤

(p*,w*)下で(x’,y’)で生産→利潤

∴等利潤曲線上の価格ベクトル・その点を通る(接する)等利潤線上・その他の等利潤線より下方に位置{)

p

w

x

y

x*

w'

B'

B

x'A'

A

y − f(x)

w*y*

w'/p'

x*/y*

w*/p*

y'

π = p*y − w*x

π /p'π /p*

π = py* − wx*

π = py' − wx'

x'/y'

p'

πy'

πy*

p*

π(p,w) = π

π = p'y − w'x

31

∴等利潤曲線：等利潤線の下方包絡線

※ 生産関数の凹性 → 利潤関数の凸性

p

w

x

y

x*

B

A

y − f(x)

y*

x*/y*

w*/p*

π = p*y − w*x

π /p*

π = py* − wx*

πy*

π(p,w) = π

x*/y*

tπ = py* − wx*

tπy*

π(p,w) = tπ

32

1次同次性

t 倍

最適投入産出ベクトルは不動

(p⇤, w⇤)

(tp⇤, tw⇤)

33

w1

p

π

π(p,w*)

π(p*,w)

w1 *

p*

O

利潤関数の形状

34

π = py' − wx'x'/y'x*/y*

π(p,w) = π

π = py* − wx*

πy'

πy*

p*

π /p'π /p*y*y ww* w'

x*

x'

p'

p

B'

B

A

w*/p*

w'/p'

π = p*y − w*x

y − f(x)

y'

αに漸近

α

π = py

π −p*y*=wxπ −p'y'=wx

x

生産可能集合が非凸な場合

利潤関数は生産関数の凸包の情報のみを持つ

定理B.33-35：生産関数の凹性に依存しない

as p %

35

minp,w>0

(p, w)

s.t. p · y⇤ − w · x⇤ ⇥ ⇤

maxx,y≥0

p

⇤ · y w

⇤ · x

s.t. y − f(x) 0

利潤最大化問題双対問題

x

⇤ ⌘ d(p, w)

y

⇤ ⌘ s(p, w)

⇤ ⇥ p⇤ · y⇤ − w⇤ · x⇤

(w⇤, p

⇤)

(x⇤, y⇤),⇤

f(x) = y

w

⇤/p

⇤

(x⇤, y

⇤)

x

y

⇤ = p⇤ · y w⇤ · x

x

⇤/y

⇤

(w⇤, p

⇤)

w

p

(p, w) = ⇤

⇤ = p · y⇤ w · x⇤

36

定理B.36(ホテリングの補題)⇥

⇥pπ(p, w) = s(p, w)

⇥

⇥wi

π(p, w) = d(p, w)

(p, w) = ps(p, w) C(s(p, w), w)

0p

(p, w) = s(p, w) +⇥p C 0

y

(y⇤;w)⇤

| {z }=0

s0p

(p, w)

証明：

= h(y⇤;w) ⌘ d(p, w)

0wi(p, w) =

⇥p C 0

y

(y⇤;w)⇤

| {z }=0

s0wi(p, w) C 0

wi(y⇤;w)

| {z }

∵シェパードの補題

37

双対問題の１階条件として

L(p, w, µ) = (p, w) + µ(⇤ p · y⇤ + w · x⇤)

0wi(p⇤, w⇤) = −µ⇤x⇤

i

= −x⇤i

⌘ −di

(p, w)

0p

(p⇤, w⇤) = µ⇤y⇤

= y⇤ [* (p⇤, w⇤) ⌘ ⇤ ) µ⇤ ⌘ 1]

⌘ s(p, w)

38

定理B.37(要素需要・供給関数の性質）

(i) 0次同次性

d(p, w) = d(tp, tw)

s(p, w) = s(tp, tw)8t > 0} 利潤関数の1次同次性

ホテリングの補題* }

y = f(x)

y

x

O

y =⇤

p⇤+

w⇤

p⇤x

x

⇤

y

⇤

p

w

O

(p, w) = ⇤

(p, w) = t⇤

p =⇤

y⇤+

x⇤

y⇤w

p =t⇤

y⇤+

x⇤

y⇤w

⇤/y⇤

t⇤/y⇤⇤/p⇤ =t⇤/tp⇤ (w⇤

, p

⇤)

(tw⇤, tp

⇤)

39

(ii)利潤関数の2階連続微分可能性＋要素価格に関する凸性

：半正値定符号D2(p, w) 対称

wi

di

(p, w) 0

ps(p, w) 0

供給・要素需要の価格効果：

wj

di

(p, w) =

wi

dj

(p, w)

交叉価格効果の対称性：

40

⇡

O

w

p

(p, w) = 0

(p, w) = ⇤

(p, w) = 00

>

>

p

⇤

w

⇤

⇤ = py⇤ wx⇤

双対問題の最適２階条件と利潤関数の凸性

(x

⇤, y

⇤)