38 superficies parametricas y area
DESCRIPTION
calculo vectorial, enseñado por UNITRANSCRIPT
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 1
SUPERFICIES
PARAMÉTRICAS
CAPÍTULO V
CÁCULO VECTORIAL
Rosa Ñique Alvarez 2
FUNCION VECTORIAL DE DOS PARAMETROS
),(),(: 32
vuvuSDr
r→
ℜ⊂→ℜ⊂
DvuvuzvuyvuxvuS
∈++=
),(;),(),(),(),( kjir:
Rosa Ñique Alvarez 3
FUNCION VECTORIAL DE DOS PARAMETROS
DvuvuzvuyvuxvuS
∈
=
),(;),(,),(,),(),(r:
),(),(: 32
vuvuSDr
r→
ℜ⊂→ℜ⊂
Rosa Ñique Alvarez 4
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(r:
Rosa Ñique Alvarez 5
SUPERFICIE PARAMÉTRICA
=∈=
=
),(),(;),(
),(:
vuzzDvuvuyy
vuxxS
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(r:
Rosa Ñique Alvarez 6
FAMILIA DE CURVAS C1 QUE SE ENCUENTRAN EN LA SUPERFICE S
),(),,(),,(),(: 00001
0
vuzvuyvuxvuC
uuPara
=
=
r
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 2
Rosa Ñique Alvarez 7
FAMILIA DE CURVAS C2 QUE SE ENCUENTRAN EN LA SUPERFICE ‘’S’’
),(),,(),,(),(: 00002
0
vuzvuyvuxvuC
vvPara
=
=
r
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
Rosa Ñique Alvarez 8
CURVAS C1 Y C2
Rosa Ñique Alvarez 9
EJEMPLO 1: CILINDRO
≤≤≤≤
++=
8020
:
;)(2)cos(2),(
vu
D
usenvuvuπ
kjir
4:
2;;cos2:22 =+
===
zxS
senuzvyuxS
Rosa Ñique Alvarez 10
Hacemos u constante es decir u = u0
Las variables x, z se hacen fijas, mientras que lavariable y =v varía
00001
02,,cos2: senuzvyuxC
uu===
=
usenzvyuxS 2;;cos2: ===
Rosa Ñique Alvarez 11
Interpretación del Ejemplo 1
u0π2
8 D
(x 0, 0, z 0
)
(x 0, 8, z 0
)
( u0, v )
( u0, 8 )
),( 0 vur
Rosa Ñique Alvarez 12
GRAFICA DEL CILINDRO
-2
-1
0
1
2 0
2
4
6
8-2
-1
0
1
2
Y
Cilindro
X
Z
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 3
Rosa Ñique Alvarez 13
EJEMPLO 2: Tubo Helicoidal
( ) ( )
≤≤≤≤
+++=
ππ
2040
:
cos,2,cos2),(
vu
D
vusenusenvusenvvur
Rosa Ñique Alvarez 14
Hacemos v = v0 obtenemos una curva Cllamada HELICE CIRCULAR
( )( )
+=≤≤+=
+=
0
0
0
2
cos402
cos2:
vuzusenusenvy
usenvxC π
( ) ( ) vusenusenvusenvvu:S cos,2,cos2),( +++=r
Rosa Ñique Alvarez 15
Interpretación del Ejemplo 2
-3
-2
-1
0
1
2
3 -3-2
-10
12
3
0
2
4
6
8
10
12
14
YX
Z
v0 = pi / 4
π4
π2
),( 0vurr
D
Rosa Ñique Alvarez 16
TUBO HELICOIDAL
-4-2
02
4 -3 -2 -10 1 2 3
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Y
TUBO HELICOIDAL
X
Z
Rosa Ñique Alvarez 17
SUPERFICIES DE REVOLUCION
• Girar y = f ( x ), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje X, donde f ( x ) ≥ 0.
• Si (x, y, z) es un punto de S, entonces
≤≤≤≤
===
πθ
θθ
20:
)(cos)(,:bxa
D
senxfzxfyxxS
Rosa Ñique Alvarez 18
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 4
Rosa Ñique Alvarez 19
EJEMPLO 3 Superficie Revolución
Xejedelalrededor20)(Girar π≤≤= xxseny
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rosa Ñique Alvarez 20
Ecuación de la superficie de revolución del Ejemplo 3
≤≤≤≤
===
πθπ
θθ
2020
:
,cos,:x
D
sensenxzsenxyxxS
Rosa Ñique Alvarez 21
01
23 4
56
7
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
X
SUPERFICIE DE REVOLUCION
Y
Z
Grafica de la superficie de revolución del Ejemplo 3
Rosa Ñique Alvarez 22
EJEMPLO 4: TORO
Rosa Ñique Alvarez 23
v
u
Rosa Ñique Alvarez 24
ECUACIONES DE LA SUPERFICIE TORO ( r < R )
( )
( )
=
≤≤≤≤
+=
+=
usenrzvu
DvsenurRy
vurRx
ππ
2020
:;cos
coscos
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 5
Rosa Ñique Alvarez 25
ECUACIONES DE LA SUPERFICIE TORO ( r =1 y R = 2 )
( )
( )
=
≤≤≤≤
+=
+=
usenzvu
Dvsenuy
vux
ππ
2020
:;cos2
coscos2
Rosa Ñique Alvarez 26
Curvas C1 y C2 para el Toro
-3-2
-10
12
3 -3-2
-1
0
12
3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v0=pi/4
u0=pi/4
Rosa Ñique Alvarez 27
EJEMPLO 5: CINTA DE MOBIUS
Rosa Ñique Alvarez 28
Ecuación Cinta de Mobius
( )( )
( )
≤≤≤≤−
=+=+=
πθ
θθ
θ
θ
θ
202/12/1
:
cos2coscos2
2
2
2
rD
rsenzrsenyrx
Rosa Ñique Alvarez 29
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Y
Z
Cinta de Mobius
Rosa Ñique Alvarez 30
DERIVADAS PARCIALES
( )),(,),(,),(),(Para
00001
0vuzvuyvuxvu
uu=
=r:C
∂∂
∂∂
∂∂
= ),(),,(),,(),( 00000000 vuvzvu
vyvu
vxvuvr
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 6
Rosa Ñique Alvarez 31
DERIVADAS PARCIALES
∂∂
∂∂
∂∂
= ),(),,(),,(),( 00000000 vuvz
vuvy
vuvx
vuvr
rv (u0, v0): Vector tangente a C1 en P0
( )),(,),(,),(),( 00001 vuzvuyvuxvu =r:C
Rosa Ñique Alvarez 32
DERIVADAS PARCIALES
( )),(,),(,),(),(Para
00002
0vuzvuyvuxvu
vv=
=r:C
∂∂
∂∂
∂∂
= ),(),,(),,(),( 00000000 vuuzvu
uyvu
uxvuur
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
Rosa Ñique Alvarez 33
DERIVADAS PARCIALES
( )),(,),(,),(),( 00002 vuzvuyvuxvu =r:C
∂∂
∂∂
∂∂
= ),(),,(),,(),( 00000000 vuuzvu
uyvu
uxvuur
r u (u0, v0): Vector tangente a C2 en P0
Rosa Ñique Alvarez 34
Vectores tangentes a C1 y C2
Rosa Ñique Alvarez 35
SUPERFICIE SUAVE
0≠vu rr xSi
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
Una superficie suave no tiene esquinas
Rosa Ñique Alvarez 36
SUPERFICIE SUAVE
0≠vu rr x
Es un vector perpendicular a la superficie S
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 7
Rosa Ñique Alvarez 37
uv rr x
Rosa Ñique Alvarez 38
PLANO TANGENTE
Rosa Ñique Alvarez 39
EJEMPLO 6: Superficie no suave
( )( )
≤≤≤≤
=−=−=
ππ
2020
:
coscos
vu
D
uzsenvuuy
vsenuux
Rosa Ñique Alvarez 40
-10
-50
5
10
-2-1
01
20
1
2
3
4
5
6
7
X
SUPERFICIE NO SUAVE
Y
Z
Grafica de una Superficie no suave
Rosa Ñique Alvarez 41
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
Rosa Ñique Alvarez 42
ivuvuii dAvuAS rrrr xx =∆∆=∆≈∆
iA∆
iS∆
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 8
Rosa Ñique Alvarez 43
AREA DE UNA SUPERFICIEPARAMÉTRICA
dAdSSAD
vu
S∫∫∫∫ == rr x)(
DvuvuzvuyvuxvuS ∈= ),(;),(,),(,),(),(: r
Rosa Ñique Alvarez 44
EJEMPLO 7 Calcular el área del Paraboloide
( )π20;40:
;,,cos),(:≤≤≤≤
=vuD
uvsenuvuvuS r
22:eParaboloid yxz +=
Solución
Rosa Ñique Alvarez 45
( )π20;40:
;,,cos),(:≤≤≤≤
=vuD
uvsenuvuvuS r
( )vuuvsen
uvvu
u u ,1,2
,2cos),( rr
=
=∂∂
( ) ),(0,cos,),( vuvusenvuvuv vrr
=−=∂∂
Solución
Rosa Ñique Alvarez 46
−=
−
=
21;;cos
0cos
122
cos
senvuvu
vusenvu
usenv
uv
vu
vu
rr
kji
rr
x
x
Solución
Rosa Ñique Alvarez 47
214
21;;cos
+=
−=
u
senvuvu
vu
vu
rr
rr
x
x
Solución
Rosa Ñique Alvarez 48
dAu
dAdS
u
vu
vu
214
214
+==
+=
rr
rr
x
x
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 9
Rosa Ñique Alvarez 49
Solución
dvduuSA
dAdSSAD
vu
S
∫ ∫
∫∫∫∫
+=
==
π2
0
4
0
1421)(
)( rr x
( )π20;40:
;,,cos),(:≤≤≤≤
=vuD
uvsenuvuvuS r
Rosa Ñique Alvarez 50
Solución
[ ]117176
)(
1421)(
)(
2
0
4
0
−=
+=
==
∫ ∫
∫∫∫∫
π
π
SA
dvduuSA
dAdSSAD
vuS
rr x
Rosa Ñique Alvarez 51
EJEMPLO 8
Calcular el área de la superficie
π20,10:
,cos2,cos:
≤≤≤≤
===
vuD
vzvuyvuxS
EF 2006II
Rosa Ñique Alvarez 52
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2-1
01
20
1
2
3
4
5
6
7
X
Gráfica de Superficie
Y
Z
SUPERFICIE3
π20,10:,cos2,cos:
≤≤≤≤===
vuDvzvuyvuxS
Solución
Rosa Ñique Alvarez 53
( )π20;10:;,cos2,cos),(:
≤≤≤≤=
vuDvvuvuvuS r
( ) ( )vuvvvuu u ,0,cos2,cos),( rr
==∂∂
( ) ),(1,2,),( vuusenvsenvuvuv vrr
=−−=∂∂
Solución
Rosa Ñique Alvarez 54
( )
v
vv
senvusenvu
vv
vu
vu
vu
cos5
0;cos;cos2
12
0cos2cos
=
−=
−−
=
rr
rr
kji
rr
x
x
x
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 10
Rosa Ñique Alvarez 55
Solución
54)(A
)superficie4/1(cos54)(A
)(A
1
0
2/
0
=
=
==
∫ ∫
∫∫∫∫
S
dudvvS
AdrrdSSD
vuS
π
x
Rosa Ñique Alvarez 56
EJEMPLO 9
Calcular el área de la superficie helicoidal
π20,10:
,,cos:
≤≤≤≤
===
vuD
vzusenvyvuxS
Rosa Ñique Alvarez 57
-1
-0.8
-0.6
-0. 4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0. 8
1
-2-1. 5-1-0.500.511. 52
0
2
4
6
8
X
Y
SUPERFICIE HELICOIDA L
Z
SuperficieHelicoidal
π20,10:,,cos:
≤≤≤≤===
vuDvzusenvyvuxS Solución
Rosa Ñique Alvarez 58
( )π20;10:
;,,cos),(:≤≤≤≤
=vuDvvsenuvuvuS r
( ) ( )vuvsenvvuu u ,0,,cos),( rr
==∂∂
( ) ),(1,cos,),( vuvusenvuvuv vrr
=−=∂∂
( )
21
;cos;
u
uvsenv
vu
vu
+=
−=
rr
rr
x
x
Rosa Ñique Alvarez 59
Solución
( )[ ]π
π
21ln2)(A
1)(A
)(A
2
0
1
0
2
++=
+=
==
∫ ∫
∫∫∫∫
S
dvduuS
AdrrdSSD
vuS
x
( )π20;10:;,cos2,cos),(:
≤≤≤≤=
vuDvvuvuvuS r
Rosa Ñique Alvarez 60
( )[ ]10221
0
2 1ln1211 uuuuduu ++++=+∫
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com