superficies cuÁdricas

SUPERFICIES

CUADRÁTICAS

Universidad Nacional San Luis

Gonzaga -Ica

Departamento de Matemáticas FACULTAD DE CIENCIAS

ALBERTO GUTIERREZ BORDA

Alberto Gutiérrez Borda Facultad de Ciencias-UNICA 2

SUPERFICIES CUADRÁTICAS

1. INTRODUCCIÓN

Las funciones de una variable se representan mediante curvas en el plano XY.

Representamos las funciones de dos variables mediante superficies en el espacio De

esta forma, las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su

generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

2. SUPERFICIES CUADRÀTICAS

DEFINCIÓN

Una superficie cuadrática (o cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo

grado en tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J (1)

donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes; salvo casos degenerados.

Observación: En la ecuación (1) los términos mixtos xy, xz y yz generan

superficies con rotación que no voy a tratar en este artículo, sólo trataremos la

superficie:

2 2 2 0Ax By Cz Dx Ey Fz G (2)

Hay seis tipos básicos de superficies cuadráticas de la forma (2) y que son:

o Elipsoide

o Hiperboloide de una hoja

o Hiperboloide de dos hojas

o Cono elíptico

o Paraboloide elíptico

o Paraboloide hiperbólico

Estas superficies se caracterizan porque sus trazas (intersecciones con los planos

coordenados) y/o sus curvas de nivel (intersecciones con planos paralelos a los

planos coordenados), corresponden a secciones cónicas tales como círculos, elipses,

hipérbolas, parábolas, etc.

La forma canónica de la ecuación de una superficie cuádrica, corresponde a aquella

que tiene su centro en el origen y ejes de simetrías coincidiendo con los ejes

coordenados.

3. ELIPSOIDE

Tiene por ecuación canónica:

Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene

intersección con los ejes coordenados en (a, 0, 0); (-a, 0, 0); (0, b, 0); (0, -b, 0); (0,

0, c) y (0, 0, -c). Las trazas del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados

son elipses. La figura 1 muestra su gráfica.



Figura 1. Elipsoide

Estas trazas son: z = 0, 2 2

2 21

x y

a b se tiene la sección transversal de la elipse

en el plano XY.

y = 0, 2 2

2 21

x z

a c elipse en el plano XZ.

x = 0, 2 2

2 21

y z

b c elipse en el plano YZ.

Los números a, b, c, son las longitudes de los semiejes del elipsoide. Si cualquiera

dos de los tres números son iguales, tenemos un elipsoide de revolución que

también se llama esferoide. Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos

números iguales, se dice que es alargado. Un esferoide alargado tiene la forma de un

balón de futbol americano. Un esferoide achatado se obtiene si el tercer número es

menor que los dos números iguales. Si a = b = c se tiene una esfera.

Figura 2: Trazas



4. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA


La superficie no está acotada: Está centrada en el origen y es simétrica a los tres

planos coordenados. Sus trazas sobre planos horizontales (paralelo al plano XY)

son elipses

Las trazas del hiperboloide son hipérbolas (o un par de rectas que se intersecan) en

planos paralelos al plano XZ y al YZ.

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la

ecuación negativa (en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el

hiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

Su gráfica se muestra en la figura 2.

Figura 3. Hiperboloide de una hoja

Si a = b, todas las secciones planas al plano XY son circunferencias y tenemos un

hiperboloide de revolución.

Hiperbola 12

2

2

2 0 xSi

c

z

b

y Hiperbola 12

2

2

2 0y Si

c

z

a

x



Figura 4: trazas

5. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS


La superficie es simétrica con respecto a los tres planos coordenados y está centrada

en el origen. Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos

horizontales son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas. Las trazas

para planos paralelos a XZ son hipérbolas al igual que para planos paralelos al YZ.

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas. Su

gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 5. Hiperboloide de dos hojas

hiperbola 12

2

2

2 0 xsi

b

y

c

z

hiperbola 12

2

2

2 0y si

a

x

c

z



Figura 6: Trazas

6. CONOS ELÍPTICOS


La superficie no está acotada, hay simetría respecto a los tres planos coordenados.

Las trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas:

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses:

Su gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 7. Cono elíptico

Si a = b, las secciones planas son circunferencias 2 2

2

2 2

x yz

a b y tenemos lo que

comúnmente se llama cono circular doble o simplemente cono. La porción superior

e inferior del cono se llama hojas.

rectas Dos c

b y

2

2

2

2 0 xSi z

c

z

b

y

rectas Dos c

a x

2

2

2

2 0y Si z

c

z

a

x

b?a si ¿Y Elipse, 2

2

2

2

2

2K z si

c

k

b

y

a

x



Figura 8: Trazas

7. PARABOLOIDE ELÍPTICO

La ecuación canónica es:

2 2

2 2

x y z

ca b

La superficie no está acotada. El origen se denomina vértice. Sus trazas sobre planos

horizontales son elipses:

2 2

2 2

x y k

ca b

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k ó y = k son parábolas:

De ahí el término “paraboloide elíptico”. Su diferencia con las otras cuádricas es

que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen

el mismo signo.

parábola 2

2 2

2 0y Si

c

zax

c

z

a

x

parábola 2

2 2

2 0 xSi

c

zby

c

z

b

y



Figura 9. Paraboloide elíptico

La superficie es simétrica con respecto al plano XZ y el plano YZ. También es

simétrico con respecto al eje Z. Si a = b,2 2

2 2

x yz

a a , la superficie es un

paraboloide de revolución.

Figura 10: Trazas

8. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO


2 2

2 2

y x z

cb a

Hay simetría con respecto al plano XY. Sus trazas sobre planos horizontales

son hipérbolas o dos rectas ( ).



Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano XZ son parábolas que abren

hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano YZ

son parábolas. De ahí el término “paraboloide hiperbólico”.

El origen es un punto mínimo para la traza en el plano XZ, pero es un punto

máximo para la traza en el plano YZ. El origen se llama minimáx o punto de

ensilladura de la superficie. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como

se observa en la figura 6.

Figura 11. Paraboloide hiperbólico

En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico.

Figura 12: Trazas

2si x 0 se tiene parábolas

2

y z

cb

2si y 0 se tiene parábolas

2

x z

ca

2 2si z 0 si tiene 0 es decir x dos rectas.

2 2

x y ay

ba b



9. OTRAS SUPERFICIES CUADRÁTICAS: CILINDROS

Otras superficies cuadráticas son cilindros. A continuación ilustramos tres tipos de

cilindros.

A. CILINDRO ELÍPTICO

La ecuación canónica es: 2 2

2 21

x y

a b . La superficie está formada por todas las

rectas que pasan por la elipse si son perpendiculares al plano XY.

Por ejemplo: Un Cilindro elíptico con eje en el eje z:

Consideramos la ecuación de la elipse 2 24 4y z en el plano YZ, al recorrer el

eje X se obtiene la superficie:

En el espacio En el plano

z z

y

x y

CILINDRO CIRCULAR RECTO

Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie,

entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo la ecuación canónica:

2 2

2 21

x y

a a

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del

cilindro se extenderá paralelo al eje z.

La gráfica en el plano: La gráfica en el espacio:

a

x

Y

x

y

z



Cilindro circular recto con eje en el eje y :

En este caso la ecuación es de la forma::

Gráfica en el plano: Gráfica en el Espacio

Z

a

B. CILINDRO HIPERBÓLICO

La superficie consta de dos partes cada uno de ellos generada por una rama de la

hipérbola. Por ejemplo si consideramos la ecuación canónica es: 2 2

2 21

x y

a b .

Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:

Considere la ecuación 2 2 1y x que corresponde a una hipérbola centrada en el

(0,0) en el plano XY, al recorrer z se obtiene la superficie

En el espacio

En el plano

2 2

2 21

x z

a a

x

a

x

y

z



C. CILINDRO PARABÓLICO

Para explicar consideremos una ecuación. Esta superficie está formada por todas las

rectas que pasan por la parábola 2y x , y son perpendiculares al plano XY, claro,

al variar z se obtiene la superficie

En el plano

En el espacio

OBSERVACIÓN: Una superficie cuádrica puede presentarse con una ecuación no

canónica, pero mediante algunos arreglos algebraicos, se pueden llevar a una forma

canónica.

Las gráficas de las ecuaciones de segundo grado son de cualquiera de los seis tipos

de cuádricas anteriores, o bien, degeneran en un cilindro, plano, recta, punto o el

conjunto vacío.

0 = x2 - y

2 dos planos x - y = 0 y x + y = 0.

z2 = 0 un plano, el plano XY.

0 = x2 + y

2 una recta, el eje z.

0 = x2 + y

2 + z

2 un solo punto, el origen.

0 = x2 + y

2 + z

2 + 1 el conjunto vacío.

Ejemplo 1

A manera de ilustración realizamos la gráfica del paraboloide hiperbólico 2 2

16 9

y xz

Ejemplo 2

Identifique cada una de las siguiente superficies cuadráticas:



a)

b)

Solución (a)2

Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos:

lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja, con el eje Y como eje de

simetría.

Solución (b)

Completando el cuadrado en para la segunda superficie obtenemos:

( )

que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje Y.

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