Clase 6, Superficies cuádricas Ing. David G.C. Pág. 1

SUPERFICIES CUÁDRICAS Ó CUADRÁTICAS. Como su nombre lo dice, se trata de superficies que están representadas por ecuaciones que tienen

variables de segundo grado. Estas superficies están representadas por la ecuación general: 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J+ + + + + + + + + =

que se trata de una ecuación de segundo grado en tres variables, en la que A, B, C, E, F no todos cero.

Como ésta ecuación es difícil de manipular, se puede transformar en otra más manejable, la que

se obtenga, después de una traslación y/o una rotación, de la misma forma que la ecuación de una

cónica en 2 , quedando como una de las siguientes, en 3 :

1. 2 2 2Mx Ny Pz R+ + = . Que se conoce como cuádricas con centro.

2. 2 2Mx Ny Sz+ = . Que se conoce cómo cuádricas sin centro.

Se conocen como con centro o sin centro, porqué por ejemplo en 2 , las cónicas tienen un centro

como la circunferencia, la elipse o la hipérbola, mientras que la parábola no tiene centro, y de la misma

manera en 3 , algunas superficies también tienen un centro (superficies cuádricas con centro)

mientras que otras no (superficies cuádricas sin centro).

Los dos tipos de superficies, los analizaremos, teniendo en cuenta que la superficie la sometimos a una

transformación, quedando expresada como una de las dos ecuaciones expresadas anteriormente. Por lo

que, ya no haremos alguna transformación, ni se recordará que ya esta sometida a una transformación.

La forma de transformar estas ecuaciones se verá en Cálculo 2 y en Álgebra 2 (Álgebra lineal), y

posiblemente la abordaremos en este curso.

Superficies Cuádricas con Centro. La ecuación que representa estas superficies es:

2 2 2Mx Ny Pz R+ + = con 0R > (Si R es negativo, multiplicar la ecuación por -1)

que expresada como un conjunto de puntos:

( ){ }2 2 2, , /x y z Mx Ny Pz RΣ = + + =

Lo que se puede observar de esta ecuación es que la superficie es simétrica respecto a los ejes y al

origen, siendo este el centro de la superficie.

Podemos cambiar un poco la ecuación para que quede una más sencilla de analizar. Recordando

que la ecuación de una cuádrica con centro es: 2 2 2Mx Ny Pz R+ + = (Si R es negativo, multiplicar toda la ecuación por -1)

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Dividiéndola entre R,

2 2 2M N P Rx y zR R R R

+ + =

Reacomodando,

2 2 2

1x y zR R RM N P

+ + =

Definiendo,

2 2 2, ,R R Ra b cM N P

= = =

es decir, la ecuación puede escribirse como:

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

Dependiendo de las valores de los coeficientes y del signo de cada uno de los términos ubicados en la

parte izquierda de esta ecuación, tenemos una de las siguientes combinaciones:

Cuando todos los coeficientes son diferentes de cero:

1. Los tres coeficientes son positivos: La superficie Σ ,es un elipsoide.

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = ejemplo: 2 2 2

116 36 25x y z

+ + =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, que parece un balón de futbol

americano.

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2. Dos de los coeficientes son positivos y uno negativo:

La superficie Σ ,es un hiperboloide de un manto.

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = ejemplo: 2 2 2

136 64 25x y z

− + =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del hiperboloide se localiza sobre la

variable que tiene el signo negativo, en el caso del ejemplo, sobre el eje y.

3. Uno de los coeficientes es positivo y dos negativos:

La superficie Σ ,es un hiperboloide de dos mantos. 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

− − = ejemplo: 2 2 2

14 9 16x y z

− − + =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del hiperboloide se localiza sobre la

variable que tiene el signo positivo, en el caso del ejemplo, sobre el eje z.

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4. Los tres coeficientes son negativos:

La superficie Σ ,es el conjunto vacío. (No existe ninguna gráfica) 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

− − − = ejemplo: 2 2 2

114 19 16x y z

− − − =

5. Uno de los coeficientes es nulo y dos positivos:

La superficie Σ ,es un cilindro elíptico. 2 2

2 2 1x ya b

+ = ejemplo: 2 2

14 9y z

+ =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del cilindro se localiza sobre la

variable que tiene NO aparece en la ecuación, en el caso del ejemplo, sobre el eje x.

6. Uno de los coeficientes es nulo, uno positivo y uno negativo:

La superficie Σ ,es un cilindro hiperbólico. 2 2

2 2 1x ya b

− = ejemplo: 2 2

116 4x z

− + =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del cilindro se localiza sobre la

variable que tiene NO aparece en la ecuación, en el caso del ejemplo, sobre el eje x.

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7. Uno de los coeficientes es nulo y dos negativos:

La superficie Σ ,es el conjunto vacío. (No existe ninguna gráfica) 2 2

2 2 1x ya b

− − = ejemplo: 2 2

19 25y z

− − =

8. Dos de los coeficientes son nulos, y el otro positivo:

La superficie Σ ,es un conjunto de dos planos paralelos. 2

2 1yb

= ejemplo: 2

116x

=

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde los planos son ortogonales al eje que

aparece en la ecuación. Los planos son paralelos, en el caso del ejemplo, son dos planos paralelos

entre ellos y perpendiculares ambos al eje x.

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9. Dos de los coeficientes son nulos y uno negativo:

La superficie Σ ,es el conjunto vacío. (No existe ninguna gráfica) 2

2 1zc

− = ejemplo: 2

116y

− =

Considerando de nuevo la ecuación: 2 2 2Mx Ny Pz R+ + = , pero ahora el valor de R es cero, es

decir, 2 2 2 0Mx Ny Pz+ + = . Por lo tanto tenemos los siguientes casos:

10. Los tres coeficientes son del mismo signo:

La superficie Σ ,es el origen. 2 2 2 0Mx Ny Pz+ + = ejemplo: 2 2 225 81 36 0x y z+ + =

11. Dos de los coeficientes con el mismo signo y el otro diferente:

La superficie Σ ,es un cono elíptico. 2 2 2 0Mx Ny Pz− + − = ejemplo: 2 2 24 2 9 0x y z− + =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, con vértice el origen y donde el eje del cono se

localiza sobre la variable con signo diferente, en el caso del ejemplo, sobre el eje y.

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12. Uno de los coeficientes es nulo y los otros con el mismo signo:

La superficie Σ ,es un eje coordenado. 2 2 0Mx Pz− − = ejemplo: 2 216 2 0x y+ =

El eje coordenado es el que corresponde a la variable que no aparece en la ecuación, en el caso del

ejemplo, se trata del eje Z.

13. Uno de los coeficientes es nulo y los otros con signos diferentes:

La superficie Σ ,es el conjunto de dos planos que se intersectan. 2 2 0Mx Py− + = ejemplo: 2 22 4 0x z− =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde los planos son paralelos al eje que NO

aparece en la ecuación. Los planos se intersectan en el eje de la variable que NO aparece, en el caso

del ejemplo, son dos planos paralelos al eje Y y donde ambos se intersectan en el eje Y.

14. Dos de los coeficientes son nulos y el otro de cualquier signo:

La superficie Σ ,es un plano coordenado. 2 0Pz = ejemplo: 22 0y =

El plano coordenado es el que corresponde al perpendicular al eje de la variable que aparece en la

ecuación, en el caso del ejemplo, se trata del plano coordenado XZ, o bien, se trata del plano

coordenado definido por las variables que NO aparecen en la ecuación, es decir en el ejemplo, el

plano coordenado XZ.

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Superficies Cuádricas sin Centro. La ecuación que representa estas superficies es:

2 2Mx Ny Sz+ = o similar (Cualquier variable puede ser la lineal)

que expresada como un conjunto de puntos:

( ){ }2 2, , /x y z Mx Ny SzΣ = + =

Lo que se puede observar de esta ecuación es que la superficie es simétrica respecto a uno de los ejes

(el de la variable lineal) y a dos de los planos coordenados.

Podemos cambiar un poco la ecuación para que quede una más sencilla de analizar. Recordando

que la ecuación de una cuádrica sin centro es:

2 2Mx Ny Sz+ = (Si S es negativo, multiplicar toda la ecuación por -1)

Dividiéndola entre S,

2 2M N Sx y zS S S

+ =

Reacomodando,

2 2x y z

S SM N

+ =

Definiendo,

2 2,S Sa bM N

= =

es decir, la ecuación puede escribirse como:

2 2

2 2

x y za b

+ =

Nota: La variable lineal puede ser x,y o z. Si la variables x o y, los casos son similares.

Consideraremos solo cuando z es positivo. Dependiendo de las valores de los coeficientes y del signo

de cada uno de los términos ubicados en la parte izquierda de esta ecuación, tenemos una de las

siguientes combinaciones:

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Cuando todos los coeficientes son diferentes de cero:

15. Los dos coeficientes son positivos: La superficie Σ ,es un paraboloide elíptico.

2 2

2 2

x y za b

+ = ejemplo: 2 2

4 16y z x+ =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del paraboloide se localiza sobre la

variable de primer grado, en el caso del ejemplo, sobre el eje x.

16. Un coeficiente es positivo y el otro negativo: La superficie Σ ,es un paraboloide hiperbólico.

2 2

2 2

x y za b

− = ejemplo: 2 2

4 9z y x− =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde la figura parece una silla de montar, donde

la parte superior de la silla se encuentra sobre el eje con variable lineal, en el caso del ejemplo,

sobre el eje x.

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17. Los dos coeficientes son negativos: La superficie Σ ,es un paraboloide elíptico.

2 2

2 2

x y za b

− − = ejemplo: 2 2

6 2x z y− − =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del paraboloide se localiza en el eje

con la variable de primer grado, y en sentido negativo, en el caso del ejemplo, sobre el eje Y.

18. Un coeficiente nulo, el otro de cualquier signo: La superficie Σ ,es un cilindro parabólico. 2

2

z xa

= ejemplo: 2

4z y− =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde el eje del cilindro se localiza sobre el eje

con la variable que no aparece en la ecuación, en el caso del ejemplo, sobre el eje X.

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Cuando el coeficiente en el segundo término es cero, ( S=0 ) genera otro tipo de superficies, es

decir, 2 2 0Mx Ny+ = , las combinaciones posibles son:

19. Los dos coeficientes son del mismo signo: La superficie Σ ,es un eje coordenado.

2 2 0Mx Ny+ = ejemplo: 2 22 35 0z y+ =

Donde el eje coordenado es el que corresponde a la variable que no aparece en la ecuación, en el

caso del ejemplo, sobre el eje X.

20. Uno de los coeficientes es positivo y el otro negativo:

La superficie Σ ,es un conjunto de dos planos paralelos.

2 2 0Mx Nz− + = ejemplo: 2 23 0z y− =

Estos dos dibujos pertenecen al mismo ejemplo, donde los planos son paralelos al eje, de la variable

que NO aparece en la ecuación. Los planos se intersectan en el eje que NO aparce, en el caso del

ejemplo, son dos planos paralelos al eje X, y que se intersectan en el eje X.

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21. Un coeficiente es nulo y el otro de cualquier signo: La superficie Σ ,es un plano coordenado.

2 0Ny = ejemplo: 25 0z− =

Donde el plano coordenado es el que corresponde a las variables que NO aparecen en la ecuación,

en el caso del ejemplo, es el plano XY, o visto de otra forma, es el que corresponde a la coordenada

que aparece en la ecuación, en el caso del ejemplo Z=0, es decir, el plano XY.