superficies cuadráticas (329

7/30/2019 Superficies Cuadrticas (329

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elips12b

y2a

x0zi =+=

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Superficies Cuadrticas

Definicin:

Una superficie cuadrtica (o cudrica ) es la grfica de una ecuacin desegundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuacin es:

0JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx 222 =+++++++++

donde A, B, C, , J son constantes.

1. Elipsoide.

Tiene por ecuacin 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2=++

Las trazas del elipsoide son elipses,es decir, la interseccin con planosparalelos a los planos coordenados es una elipse

2. Hiperboloide de una hoja.


z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=+

Las trazas delhiperboloide sonhiperbolas enplanos paralelos alplano XZ y al YZ,mientras que enplanos paralelos al

elipse12c

2z2b

2y0xSi =+=elipse1

2c

2z2a

2x0ySi =+=


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XY las trazas sonelipses.

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el ejecuya variable aparece en la ecuacin negativa ( en estecaso eje z). La diferencia fundamental entre elhiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tieneuna variable con signo negativo.

3. Hiperboloide de dos hojas.


z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2=+

Las trazas de esta

superficies son :Para planosparalelos a XZ son

hiperbolas al igualque para planosparalelos al YZ.

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dosvariables negativas .

Hiperbola12c

2

z2b

2y0xSi == Hiperbola12c

2

z2a

2

x0ySi ==

Elipse12b

2y2a

2x0zSi =+=

hiperbola12b

2y2c

2z0xsi ==

hiperbola12a

2x2c

2z0ysi ==


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4. Paraboloides

Tiene por ecuacinc

z

b

y

a

x2

2

2

2=+

Las trazas delparaboloide son:Para planosparalelos al XY

son elipses, paraplanos paralelosal XZ o al YZ sonparbolas.

Su diferencia con las otras cudricas es que tienen una

variable que no est elevada al cuadrado, y las otras

variables tienen el mismo signo.

5. Paraboloide hiperblico.Tiene por ecuacin

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

=

Su diferenciafundamental con lasotras superficies esque ella tiene en su

grficahayno!!imposible!12b

2y2a

2x0zsi ==

parbolac

z2b2yc

z2b

2y0xSi ===

parbolac

z2a2xc

z2a

2x0ySi ===

Crculobasiy,Elipsec

k2b

2y2a

2xKzSi ==+=


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ecuacin una variableque no est elevada alcuadrado, y las otrasvariables tienen el

signos contrarios.

Trazas:

6. Conos

La superficie cudrica que tiene por ecuacin

Se denomina Cono.

Las trazas del cono son:

parbolasc

z2b

2y0xsi == parbolas

c

z2a

2x0ysi ==

!rectas!Dosyba

x02b

2y2a

2x0zsi ===

2c

2z2b

2y2a

2x=+

rectasDoszcb

y2c

2z2b

2y0xSi ===

X

Z

rectasDoszc

ax

2c

2z2a

2x0ySi ===

b?asiYElipse,2c

2k2b

2y2a

2xKzsi ==+=


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7. Cilindro circular recto:

Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la

ecuacin de la superficie, Entonces la superficie es un

Cilindro. Por ejemplo:

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z.Por lo tanto, la grfica del cilindro se extenderparalelo al eje z

En el plano: En el Espacio:

222 ayx =+

a

x

Y

x

z


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8. Cilindro circular recto con eje en el eje

y:

Considere la ecuacin:

En el plano: En elEspacio

8. Cilindro parablico:

Considere la ecuacin 2 0x y+ = , que corresponde a

una parbola en el plano xy, al variar z se obtiene lasuperficie

En el plano Enel espacio

222 azx =+

x

z

a

x

y

z


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9. Cilindro elptico con eje en el eje z:

Considere la ecuacin de la elipse ( )2 24 4y z+ = en elplano yz , al recorrer el eje x se obtiene lasuperficie

En el espacioEn el plano


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10. Cilindro hiperblico con eje en eleje z:

Considere la ecuacin 2 2 1y x = que

corresponde a una hiprbola centrada en el ( 0,0) enel plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie

En el espacioEn el plano

La esfera:

Una esfera, en geometra, es un cuerpo slido limitadopor una superficie curva cuyos puntos equidistan deotro interior llamado centro de la esfera. Tambin se
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)


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denomina esfera, o superficie esfrica, a laconformada por los puntos del espacio tales que ladistancia (llamada radio) a un punto denominado centro,es siempre la misma. La esfera, como slido de

revolucin, se genera haciendo girar una superficiesemicircular alrededor de su dimetro (Euclides, L. XI,def. 14).

Esfera proviene del trmino griego , sphara, quesignifica pelota (para jugar). Coloquialmente hablado, seemplean palabras como bola, globo (globo terrestre),etc., para describir un volumen esfrico.

Ecuacin vectorial:Si es una recta que pasa por los puntos

, y si ponemos

entonces

1. La ecuacin vectorial de es

2. Despejando obtenemos las ecuaciones

parmetricas de
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Uso_coloquialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Uso_coloquial


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3. Si cada , despejando obtenemos las ecuacionessimtricas de

Ecuacin cartesiana:

En un sistema de coordenadas cartesianas en unespacio eucldeo tridimensional, la ecuacin de la esferaunitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

Esta ecuacin se obtiene considerando que en el puntoM (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a1.

Generalizando, la esfera de radio r, de centro (a, b,c) tiene como ecuacin:

La ecuacin del plano tangente en el punto M (x', y',z') se obtiene mediante el desdoblamiento de lasvariables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

Volumen:


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El Volumen de una esfera, segn Arqumedes, es dostercios del volumen del cilindrocircunscrito a la esferacuya base es igual al circulo del dimetro de lacircunferencia de la esfera. Entonces:

es decir, 2/3 el rea de la base del cilindro por sualtura (mirar imagen).

rea:

Arqumedes dijo que la superficie de la esfera eratambin de dos tercios respecto al cilindro, entonces:

2r2r es el lado del cilindro, es un rectngulo conbase 2r y altura de 2r. 2r es el rea de las dosbases circulares. Al sumar todas las reas nos da eltotal del cilindro (mirar imagen).
http://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cilindrohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Circunscrito&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Circulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cilindrohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Circunscrito&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Circulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulo


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superficies cuadráticas (329

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