บทท 6

ล ำดบและอนกรม

ล ำดบและอนกรม ในบทนจะศกษำล ำดบ 2 แบบคอ ล ำดบเลขคณต และล ำดบเรขำคณต และจะน ำควำมรเรองลมตในบทท 2 มำเปนพนฐำนส ำคญในกำรศกษำเรองลมตของล ำดบ รวมไปถงอนกรมเลขคณต อนกรมเรขำคณต อนกรมอนนต และอนกรมอนทควรจะทรำบ ซงจะสำมำรถน ำควำมรไปตอยอดในกำรเรยนล ำดบและอนกรมขนสงไดตอไป

6.1 ควำมหมำยล ำดบ

ถำ ฟงกชน y f x มโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก หรอจ ำนวนนบ เรยก

1 , 2 , 3 ,...f f f วำล ำดบ และถำโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก n จ ำนวนแรก เรยก

1 , 2 , 3 ,...,f f f f n วำล ำดบจ ำกด

เชน 2 1f x x จะได 2

1 1 1 0f

2

2 2 1 3f

23 3 1 8f

:

2

1f n n

เรยก 20,3,8,..., 1n วำล ำดบจ ำกด

ถำโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก เรยก

1 , 2 , 3 ,..., ,....f f f f n วำล ำดบอนนต

เชน 3xf x จะได 1

3 3 3f

2

2 3 9f

33 3 27f

:

3n

f n

:

เรยก 3,9,27,.... วำล ำดบอนนต

194

บทนยำมท 6.1 ล ำดบ (Sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก ถำล ำดบมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก n จ ำนวนแรกเรยกวำล ำดบจ ำกด (Finite Sequence)

ถำล ำดบมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวกเรยกวำล ำดบอนนต (Infinite Sequence)

จำกบทนยำมทสำมำรถเขยน 1f แทนดวย 1a นนคอ พจนแรกของล ำดบ

เขยน 2f แทนดวย 2a นนคอ พจนท 2 ของล ำดบ

เขยน 3f แทนดวย 3a นนคอ พจนท 3 ของล ำดบ

: :

เขยน f n แทนดวย na นนคอ พจนท n ของล ำดบ

กำรเขยนล ำดบสำมำรถเขยนแบบแจงพจน หรอเขยนแบบพจนทวไปโดยกำรก ำหนดสมำชกใน

โดเมนมำให เชน 2

3 1na n เมอ 1,2,...,11n

2 1na n n เมอ n N

ในกรณทไมไดก ำหนดสมำชกในโดเมนมำ ใหถอวำล ำดบนนเปนล ำดบอนนตเสมอ

ตวอยำงท 6.1 จงหำ 4 พจนแรกของล ำดบ 12 1

10n n

a

วธท ำ จำก 12 1

10n n

a

จะได 1a 1

12 1

10

9

210

1.8

2a 2

12 1

10

99

2100

1.98

3a 3

12 1

10

999

21000

1.998

4a 4

12 1

10

9999

210000

1.9998

กำรหำพจนทวไปของล ำดบ หำไดโดยกำรสงเกตล ำดบทงำย ๆ และก ำหนดพจนท n แลวลองแทนคำ n ตงแต 1,2,3,4,... อยำงนอย 3-4 คำ จงจะสรปไดวำพจนทวไปทก ำหนดถกตอง เชน กำรหำพจนท n ของล ำดบ 1,3,9,27,... พจนท n นำจะเปน 3n แตเมอแทนคำ 1n จะได 1

1 3 3a ซงไมถกตอง ดงนนตองหำพจนท n ใหม ถำ ก ำหนด พจนท n เปน 13n

na จะได เมอ 1 1 0

11 , 3 3 1n a ถกตอง

195

เมอ 2 1 122 , 3 3 3n a ถกตอง

เมอ 3 1 233 , 3 3 9n a ถกตอง

นนคอ พจนท n ของล ำดบ 1,3,9,27,... เปน 13n จรง หรอพจนทวไปคอ 13nna

ตวอยำงท 6.2 จงหำพจนทวไปของล ำดบ 1 2 3 4, , , ,...

2 3 4 5

วธท ำ จำก 1a 1

2

1 11

1 1

2a 2

3

2 21

2 1

3a 3

4

3 31

3 1

4a 4

5

4 41

4 1

ดงนนจะไดพจนทวไปคอ na 11

n n

n

6.1.1 ล ำดบเลขคณต

ถำ 1 2 3 1, , ,..., ,n na a a a a เปนล ำดบเลขคณตแลวจะไดวำ

2 1 3 2 1... n na a a a a a เทำกบคำคงทใดๆ จะเรยกคำคงทนวำ ผลตำงรวม

บทนยำมท 6.2 ล ำดบเลขคณต (Arithmetic Sequence or Arithmetic Progression) คอ ล ำดบท ผลตำงทเกดจำก พจนท 1n ลบดวย พจนท n จะเปนคำคงท และ เรยกคำคงทนวำ ผลตำงรวม (Common Difference) แทนดวย d

นนคอ 1n nd a a หรอ 1n na a d , n I

หรอจะกลำวไดวำ ล ำดบเลขคณต คอ ล ำดบทเพมหรอลด ครงละเทำ ๆ กน เชน 2,6,10,14,... เพมขนครงละ 4 เทำกน นนคอ 4d เปนล ำดบเพม 2,6,3,0,... ลดลงครงละ 3 เทำกน นนคอ 3d เปนล ำดบลด

2, 2, 2, 2,... ไมเพมและไมลดนนคอ 0d เปนล ำดบคงตว

รปแบบทวไปของล ำดบเลขคณต ก ำหนดให 1a แทนพจนแรกของล ำดบเลขคณต และ d เปนผลตำงรวม ดงนนรปแบบทวไปของล ำดบเลขคณตคอ

1 1 1 1, , 2 ,..., 1a a d a d a n d

196

จำกรปแบบทวไปจะได

1a

1 0a d 1 1 1a d

2a 1a d 1 2 1a d

3a

1 2a d 1 3 1a d

: :

จะไดวำ na 1 1a n d

ตวอยำงท 6.3 จงหำพจนท 27 ของล ำดบเลขคณต 3,2,7,12,...

วธท ำ เนองจำก 1 3a , 2 3 5d และ 27n

จำก na 1 1a n d

จะได 27a 3 27 1 5

127 ดงนนพจนท 27 ของล ำดบเลขคณต คอ 127

ตวอยำงท 6.4 ล ำดบเลขคณต 7,5,3,..., 93 มกพจน

วธท ำ เนองจำก 1 7a , 5 7 2d และ 93na

จำก na 1 1a n d

จะได 93 7 1 2n

100 1 2n

50 1n

51 n ดงนนล ำดบเลขคณต 7,5,3,..., 93 ม 51 พจน

ตวอยำงท 6.5 ,5 ,6 9x x x เปนสำมพจนแรกของล ำดบเลขคณต จงหำ x และพจนท 14

วธท ำ จำกผลตำงรวม 5x x 6 9 5x x

4x 9x

3x 9

x 3

จะไดสำมพจนแรกคอ 3,5 3 ,6 3 9

นนคอ 3,15,27

197

เนองจำก 1 3a , 15 3 12d และ 14n จำก

na 1 1a n d

จะได 14a 3 13 12

159

ดงนนจะได 3x และพจนท 14 คอ 159

ตวอยำงท 6.6 ล ำดบเลขคณตหนงมพจนท 3 เทำกบ 6 และพจนท 9 เทำกบ 18 จงหำพจนท 20

วธท ำ จำก 3a 1 2a d 6 (1)

9a 1 8a d 18 (2) (2)- (1) 6d 12

d 2

แทนใน (1) 1a d 6

1a 2

เนองจำก 1 2a , 2d และ 20n จำก na 1 1a n d

จะได 20a 2 19 2

40

ดงนนจะได พจนท 20 คอ 40

ตวอยำงท 6.7 ผลบวกของสพจนแรกของล ำดบเลขคณตหนงเทำกบ 28 และผลบวกก ำลงสองของสพจนดงกลำวเทำกบ 216 จงหำพจนทง 4 วธท ำ ก ำหนดใหสพจนแรกคอ 3 , , , 3a d a d a d a d

จะได 3 3a d a d a d a d 28 (1)

2 2 2 2

3 3a d a d a d a d 28 (2) จำก (1) 4a 28

a 7

จำก (2) 2 2 2 2 2 2 2 26 9 2 2 6 9a ad d a ad d a ad d a ad d 28

2 24 20a d 216

2 25a d 54

แทน 7a 249 5d 54

25d 5

198

2d 1

d 1

เมอ 7a และ 1d จะไดสพจนแรกคอ 4, 6, 8,10 เมอ 7a และ 1d จะไดสพจนแรกคอ 10, 8, 6, 4

6.1.2 ล ำดบเรขำคณต

ถำ 1 2 3 1, , ,..., ,n na a a a a เปนล ำดบเรขำคณตแลวจะไดวำ 3 12

1 2

... n

n

a aa

a a a

เทำกบคำคงทใดๆ จะเรยกคำคงทนวำ อตรำสวนรวม

บทนยำมท 6.3 ล ำดบเรขำคณต (Geometric Sequence or Geometric Progression)

คอ ล ำดบท อตรำสวนทเกดจำก พจนท 1n หำรดวยพจนท n จะเปนคำคงท และ เรยกคำคงทนวำ อตรำสวนรวม (Common Ratio) แทนดวย r

นนคอ 1n

n

ar

a

หรอ 1n na a r , n I

หรอจะกลำวไดวำ ล ำดบเรขำคณตคอล ำดบททวคณขนเรอย ๆ ซงจะเพมหรอลดหรอไมเพมไมลดกได ซงจะขนอยกบคำของอตรำสวน เชน

1,2,4,8,16,... จะได 22

1r

1 1 11, , , ...

3 9 27 จะได

1

13

1 3r

2 3 4

1 1 1 1, , , ,...

2 2 2 2 จะได

2

112

1 2

2

r

1 1 1 1, , , ,...

3 3 3 3 จะได

1

3 11

3

r

จำกตวอยำงทล ำดบเรขำคณตทมคำ r เปนจ ำนวนจรงทไมเทำกบศนย และเมอ 1r จะไดวำทกพจนของล ำดบเรขำคณตมคำเทำกนจะเรยกล ำดบนวำ ล ำดบคงตว

ขอสงเกต ล ำดบ 0,0,0,0,... ไมเปนล ำดบเรขำคณตแตเปนล ำดบเลขคณตไดเนองจำกมคำผลตำงรวม 0d

199

รปแบบทวไปของล ำดบเรขำคณต ก ำหนดให 1a แทนพจนแรกของล ำดบเรขำคณต และ r เปน

อตรำสวนรวม ดงนนรปแบบทวไปของล ำดบเรขำคณตคอ 2 1

1 1 1 1, , ,..., na a r a r a r จำกรปแบบทวไปจะได

1a 0

1a r 1 1

1a r

2a 1

1a r 2 1

1a r

3a 2

1a r 3 1

1a r : :

จะไดวำ na 1

1

na r

ตวอยำงท 6.8 จงหำพจนท 22 ของล ำดบเรขำคณต 1 1 11, , , ,...

3 9 27

วธท ำ เนองจำก 1 1a 1

13,1 3

r และ 22n

จำก na 1

1

na r

จะได 22a 22 1

11

3

21

1

3

ดงนนพจนท 22 ของล ำดบเรขำคณต คอ 21

1

3

ตวอยำงท 6.9 ล ำดบเรขำคณต 1128,64, 32,...,

16 มกพจน

วธท ำ เนองจำก 1 128a 64 1,

128 2r

และ 1

16na

จำก na 1

1

na r

จะได 1

16

11

1282

n

1

16 128

11

2

n

11

1

2

1

1

2

n

11 1n

12 n

ดงนนล ำดบเรขำคณต 1128,64, 32,...,

16 ม 12 พจน

200

ตวอยำงท 6.10 ถำ ,4 ,6 3x x x เปนพจนสำมพจนเรยงกนของล ำดบเรขำคณต จงหำพจนท 6

วธท ำ จำกอตรำสวนรวม 4x

x 6 3

4

x

x

16x 6 3x

10x 3

x 3

10

จะไดสำมพจนแรกคอ 3 3 3,4 ,6 3

10 10 10

นนคอ 3 6 24, ,

10 5 5

เนองจำก 1

3

10a

6

5, 43

10

r และ 6n

จำก na 1

1

na r

จะได 6a 6 13

410

143

410

1536

5

ดงนนจะได 3

10x และพจนท 6 คอ

1536

5

ตวอยำงท 6.11 ล ำดบเรขำคณตหนงมพจนท 5 เทำกบ 9 และพจนท 9 เทำกบ 4 จงหำพจนท 17

วธท ำ จำก 5a 4

1a r 9 (1)

9a 8

1a r 4 (2)

(2) (1) 4r 4

9

r 2

3

แทนใน (1) 1

4

9a

9

1a 81

4

201

เนองจำก 1

81

4a 2

,3

r และ 17n

จำก na 1

1

na r

จะได 17a

16

29

3

256

729

หรอจำก 1

81

4a 2

,3

r และ 17n

จำก na 1

1

na r

จะได 17a

16

29

3

256

729

ดงนนจะได พจนท 17 คอ 256

729

ตวอยำงท 6.12 ผลบวกของสำมพจนแรกของล ำดบเรขำคณตหนงเทำกบ 3 และผลคณของสำมพจนดงกลำวเทำกบ 8 จงหำล ำดบน

วธท ำ ก ำหนดใหสำมพจนแรกคอ , ,a

a arr

จะได a

a arr

3 (1)

a

a arr

8 (2)

จำก (2) a 2

แทน (1) 22 2r

r 3

22 2 2r r

r

3

22 5 2r r 0

2 1 2r r 0

r 1, 2

2

เมอ 2a และ 1

2r จะไดสำมพจนแรกคอ 4,2,1

เมอ 2a และ 2r จะไดสำมพจนแรกคอ 1,2,4

202

6.2 ลมตของล ำดบ

กอนจะศกษำเรองอนกรม จะตองศกษำเรองลมตของล ำดบกอน ซงมบทนยำมทดงน

บทนยำมท 6.4 ลมตของล ำดบ (Limit of Sequence) กำรพจำรณำคำของ na ของล ำดบเมอคำ

n มคำมำกขนเรอยๆ อยำงไมมทสนสด n เขยนแทนดวย lim nn

a

อำนวำ ลมตของ na

เมอ n

สำมำรถแบงกำรพจำรณำกำรหำลมตของล ำดบได 3 แบบดงน แบบท 1 คำของ na เขำใกลหรอเทำกบคำคงทคำหนง เมอ n เชน

ล ำดบเลขคณต 5,5,5,5,...

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

na

n

ภำพท 6.1 กรำฟ lim5

n

จำกกรำฟจะเหนวำ เมอ n คำของ na เขำใกล 5 หรอเขยนแทนดวยสญลกษณ lim5 5n

อำนวำ ลมตของล ำดบ na เมอ n ยำงเขำส อนนต )( หรอ (Infinity) มคำเทำกบ 5 ล ำดบเรขำคณต

1( , )f x y I R y

x

หรอ แทนดวย 1na

n หรอ

1 1 1(1,1), (2, ), (3, ),..., ( , ),...

2 3f n

n

สำมำรถเขยนกรำฟไดดงนคอ

203

1 2 3 4 5

0.5

1

n

na

ภำพท 6.2 กรำฟ 1

limn n

จะเหนวำ ถำให n เปนจ ำนวนเตมบวกทเขำใกลอนนต คำของ na จะยงเขำใกล 0

หรอเขยนแทนดวยสญลกษณ 1lim 0n n

อำนวำ ลมตของล ำดบ na เมอ n ยำงเขำส อนนต )( หรอ (Infinity) มคำเทำกบ 0

แบบท 2 คำของ na เพมขนหรอลดลงอยำงไมมขอบเขต เมอ n เชน ล ำดบเลขคณต 1,2,3,4,..., ,...n

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

n

na

ภำพท 6.3 กรำฟ limn

n

จำกกรำฟจะเหนวำ เมอ n คำของ na เขำใกล หรอเขยนแทนดวยสญลกษณ limn

n

ดงนน ล ำดบนไมมลมต หรอหำลมตไมได

204

ล ำดบเลขคณต 2, 4, 6, 8,..., 2 ,...n

1 2 3 4 5

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

n

na ภำพท 6.4 กรำฟ lim 2

nn

จำกกรำฟจะเหนวำ เมอ n คำของ na เขำใกล หรอเขยนแทนดวยสญลกษณ lim 2n

n ดงนน ล ำดบนไมมลมต หรอหำลมตไมได

แบบท 3 คำของ na เพมขนหรอลดลงสลบกนไป เมอ n เชน ล ำดบเรขำคณต 2,2, 2,2,...

n

na

1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

ภำพท 6.5 กรำฟ lim 1 2n

n

จำกกรำฟจะเหนวำ เมอ n คำของ na ไมเขำใกลหรอเทำกบคำใดคำหนงเลย ดงนน ล ำดบนไมมลมต หรอหำลมตไมได

205

บทนยำมท 6.5 ล ำดบลเขำ (Convergent Sequence) ล ำดบ

na เปน ล ำดบลเขำ กตอเมอ ถำแทนคำ n ดวยจ ำนวนเตมบวกทเขำใกลอนนต คำของ

na จะเขำใกลจ ำนวนจรง L เพยงคำเดยวเทำนนเขยนแทนดวย lim nn

a L

เรยก L วำเปนลมตของล ำดบ (Limit of Sequence)

บทนยำมท 6.6 ล ำดบลออก (Divergent Sequence) ล ำดบ

na เปน ล ำดบลออก กตอเมอ ถำแทนคำ n ดวยจ ำนวนเตมบวกทเขำใกลอนนต คำของ

na จะไมเขำใกลหรอเทำกบคำคงทใดคำหนง หรอล ำดบทหำคำลมตไมได ตวอยำงท 6.13 จงบอกวำล ำดบทก ำหนดใหเปนล ำดบลเขำหรอลออก

1. 4

nan

2. 2

3nb

3. 2 1nc n 4.

11

n

nd

วธท ำ 1. จำก 4na

n

4limn n

0

2. จำก 2

3nb

2lim

3n 2

3

3. จำก 2 1nc n

2lim 1n

n

4. จำก 1

1n

nd

1

lim 1n

n

หำคำไมได

ล ำดบ na และ nb เปนล ำดบลเขำ

ล ำดบ nc และ nd เปนล ำดบลออก และล ำดบ nd เรยกวำเปนล ำดบแกวงกวด (Oscillating Sequence )

206

ขอสงเกตเกยวกบล ำดบตำง ๆ 1. ลมตของล ำดบเลขคณต เปนล ำดบไดเวอรเจนต ยกเวน 0d 2. ลมตของล ำดบเรขำคณต เปนล ำดบคอนเวอรเจนต กตอเมอ 1r หรอ 1r และคำของ lim 0n

na

หรอ 1lim n

na a

ตำมล ำดบ

3. ล ำดบฮำรโมนก เปนล ำดบคอนเวอรเจนต 4. ล ำดบอน ๆ ตอง พจำรณำจำก lim n

na

เสมอ

ทฤษฎบทท 6.1 ทฤษฎบททเกยวกบลมต

ถำ lim nn

a L

และ lim nn

a M

โดยท L และ N เปนจ ำนวนจรงใดๆ

1. limn

c

c เมอ c เปนคำคงทใดๆ 2. lim n

nca

lim n

nc a

cL

3. lim n nn

a b

lim limn nn n

a b

L M

4. lim n nn

a b

lim limn nn n

a b

L M

5. lim n

nn

a

b

lim

lim

nn

nn

a

b

L

M

6. limk

nn

a

limk

nn

a

kL เมอ k เปนคำคงทใดๆ

7. lim pn

na

limp

nn

a

pL โดยท p

L เปนจ ำนวนจรง

ใหพสจนเปนแบบฝกหด

ตวอยำงท 6.14 จงหำคำของลมตตอไปนโดยใชทฤษฎบททของลมต

1. 9

lim2n n

2. 3

lim7

n

n

3. 2limn

n

4.

1limn n

5. 3lim 3 1n

n n

วธท ำ 1. 9

lim2n n

9 1lim

2 n n

90

2

0

2. 3

lim7

n

n

0

207

3. 2limn

n

2

1limn n

0

4. 1limn n

1

2

1limn

n

0 5. 3lim 3 1

nn n

ทฤษฎบทท 6.2 ทฤษฎบทของลมตเฉพำะรป

1. 1lim

kn n 0 เมอ k R

และ lim k

nn

0 เมอ k R

2. limkn

c

n 0 เมอ c R

3. lim n

nx

0 , 1 1

1 , 1

, 1

x

x

x

แตถำ 1x จะเปนล ำดบแกวงกวด

4.

lim

x

ny

f n

g n

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

...lim

...

x x x

x x x

y y yny y y

a n a n a n a n a

b n b n b n b n b

4.1 ถำ ( )lim

( )

x x

ny y

f n ax y

g n b เปนล ำดบคอนเวอรเจนต

4.2 ถำ ( )lim 0

( )

x

ny

f nx y

g n เปนล ำดบคอนเวอรเจนต

4.3 ถำ ( )lim

( )

x

ny

f nx y

g n เปนล ำดบไดเวอรเจนต

5. lim n

nn

1

6. lim n

na

1 0

0 0

a

a

ใหพสจนเปนแบบฝกหด

208

ตวอยำงท 6.15 จงหำคำของลมตตอไปน (ถำหำได)

1. lim3 5n

n

n

2.

3

2

3 6 7lim

7 8n

n n

n n

3. 5

7

3 8lim

7 6n

n n

n

4. lim( 1) 10n

n

5. 2

4

3lim

9 16n

n n

n

วธท ำ 1. lim3 5n

n

n

1

lim5

3n

n

lim1

5lim3 lim

n

n n n

1

3 0

1

3

2. 3

2

3 6 7lim

7 8n

n n

n n

2 3

2

6 73

lim7 8n

n n

n n

2 3

2

6 7lim3 lim lim

7 8lim lim

n n n

n n

n n

n n

3 0 0

0 0

3. 5

7

3 8lim

7 6n

n n

n

2 6 7

7

3 1 8

lim6

7n

n n n

n

2 6 7

7

3 1 8lim lim lim

6lim 7 lim

n n n

n n

n n n

n

0 0 0

7 0

0

209

4. lim( 1) 10n

n 10im( 1)n

n

lim( 1) 10n

n หำคำไมไดเปนลมตแกวงกวด

5. 2

4

3lim

9 16n

n n

n

4

13

lim4

9n

n

n

4

1lim3 lim

4lim3 lim

n n

n n

n

n

3 0

3 0

1

6.3 อนกรม

จะใหควำมหมำยของอนกรมจ ำกดและอนกรมอนนตดงน

บทนยำมท 6.7 อนกรม (Series) อนกรม คอ ผลบวกของพจนทกพจนของล ำดบ ก ำหนดให 1 2 3, , ,... na a a a เปนล ำดบจ ำกด

เรยก 1 2 3

1

...n

n i

i

a a a a a

เปนอนกรมจ ำกด

แทน 1

n

n i

i

S a

เปนผลบวก n พจนแรกของล ำดบ na

ก ำหนดให 1 2 3, , ,... ,...na a a a เปนล ำดบอนนต

เรยก 1 2 3

1

... ...n i

i

a a a a a

เปนอนกรมอนนต

แทน lim nn

S S

เปนผลบวกของล ำดบเมอ n

210

สญลกษณแทนกำรบวก เพอใหกำรเขยนอนกรมสะดวกขนโดยใชสญลกษณ แทนกำรบวก สมบตของ ทควรทรำบ

1. 1

n

i

c

cn เมอ c เปนคำคงทใดๆ

2. 1

n

i

i

ca

1

n

i

i

c a

3. 1

n

i i

i

a b

1 1

n n

i i

i i

a b

4. 1

n

i i

i

a b

1 1

n n

i i

i i

a b

สตรกำรหำอนกรมทอยในรป ของ ทควรทรำบ

1. 1 2 3 4 ... n 1

n

i

i

n 12

nn

2. 2 2 2 2 21 2 3 4 ... n 2

1

n

i

i

2n 2 1 1

6

nn n

3. 3 3 3 3 31 2 3 4 ... n 3

1

n

i

i

3n

2

12

nn

4. 1 2 2 3 3 4 4 5 ... ( 1)n n 1

( 1)n

i

i i

( 1)n n

1 23

nn n

5. 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 1)( 2)n n n ( 1)( 2)n n n

1 2 ( 3)4

nn n n

6. 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 ( 1)n n

1 1 1 1 1 1 11 ...

2 2 3 3 4 1n n

11

1n

1

( 1) 1

n

n n n

หรอ ในท ำนองเดยวกน

1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...

( ) 2 3 1 2 3n n k k k n n n n k

211

ตวอยำงท 6.16 จงเขยนแทนสญลกษณตอไปนในรปกำรบวก

1. 1

1

( 1)( 2)n n n n

2.

21

( 1) sin

3( 1)

nn

nn

n

วธท ำ 1. 1

1

( 1)( 2)n n n n

1 1 1 1

...1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6

1 1 1 1

...6 24 60 120

2.

21

( 1) sin

3( 1)

nn

nn

n

2 3 4

1 sin 1 sin 2 1 sin3 1 sin 4...

3 1 3 1 3 1 3 1

2 3 4

1 1 1 1...

3 3 3 3

ตวอยำงท 6.17 จงเขยนผลบวกของจ ำนวนตอไปนใหอยในรปสญลกษณแทนกำรบวก

1. 2 3 4

1 2 3 4...

5 5 5 5 2.

9 99 999 9,999...

10 100 1,000 10,000

3. 2 2 21 3 5 7 ... (30 พจน)

วธท ำ 1. 2 3 4

1 2 3 4...

5 5 5 5

1 5ii

i

2. 9 99 999 9,999

...10 100 1,000 10,000

1

10 1

10

i

ii

3. 2 2 21 3 5 7 ... (30 พจน) 30

2

1

2 1i

i

ตวอยำงท 6.18 จงหำคำของจ ำนวนตอไปน

1. 9

2

1i

i

2. 3 3 3 33 4 5 ... 10

3. 4 1 4 2 4 3 ... 4( )n

วธท ำ 1. 10

2

1i

i

10

2 10 1 10 16

385

2. 3 3 3 33 4 5 ... 10 10 2

3 3

1 1i i

i i

2 2

10 210 1 2 1

2 2

3,016

3. 4 1 4 2 4 3 ... 4( )n 1

4n

i

i

4 12

nn

2 1n n

212

6.3.1 อนกรมเลขคณต

จำก 1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1)a a d a d a d a n d เปนล ำดบเลขคณต

จะได 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( 1)a a d a d a d a n d เปนอนกรมเลขคณต (Arithmetic Series) ซง

1a เปนพจนแรกของอนกรม และ d เปนผลตำงรวมของอนกรมเลขคณต ก ำหนดให 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( 1)nS a a d a d a d a n d หรอผลบวก n พจนแรกของอนกรม จำก 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( 1)nS a a d a d a d a n d (1) จะได 1 1 1 1 1( 1) ( 2) ... ( 2 ) ( )nS a n d a n d a d a d a (2) (1)+ (2) 2 nS 1 1 12 ( 1) 2 ( 1) ... 2 ( 1)a n d a n d a n d 2 nS 12 ( 1)n a n d

nS 12 ( 1)

2

na n d

หรออำจจะเขยนผลบวก พจนแรกของอนกรมเลขคณตไดอกแบบหนงดงน

nS 12 ( 1)2

na n d

1 1 ( 1)2

na a n d

nS 12

n

na a

ตวอยำงท 6.19 จงหำผลบวก 31 พจนแรกของอนกรมเลขคณต 2 6 10 14 ... วธท ำ เนองจำก 1 2a , 6 2 4d และ 31n

จำก nS 12 ( 1)2

na n d

จะได 31S 31

2 2 30 42

31

1242

1,922

ดงนน ผลบวก 31 พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ 1,922

213

ตวอยำงท 6.20 จงหำผลบวกของอนกรมเลขคณต 3 5 7 ... 107 วธท ำ เนองจำก 1 3a , 5 3 2d และ 107na

จำก na 1 ( 1)a n d

จะได 107 3 1 2n

104 1 2n

52 1n

53 n

อนกรมนมทงหมด 53 พจน

จำก nS 12

n

na a

จะได 53S 53

3 1072

53 55

2,915

ดงนน ผลบวกของอนกรมเลขคณต คอ 2,915 ตวอยำงท 6.21 อนกรมเลขคณตหนงมพจนท n เปน 3 2n จงหำผลบวก 17 พจนแรกของอนกรม วธท ำ เนองจำก 1 5a 2, 8 , 8 5 3a d และ 17n

จำก nS 12 ( 1)2

na n d

จะได 17S 17

2 5 16 32

17

582

493

ดงนน ผลบวก 17 พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ 493

6.3.2 อนกรมเรขำคณต

จำก 2 3 1

1 1 1 1 1, , , ,..., na a r a r a r a r เปนล ำดบเรขำคณต จะได 2 3 1

1 1 1 1 1... na a r a r a r a r เปนอนกรมเรขำคณต (Geometric Series) ซง 1a เปนพจนแรกของอนกรม และ r เปนอตรำสวนรวมของอนกรมเรขำคณต ก ำหนดให 2 3 2 1

1 1 1 1 1 1... n n

nS a a r a r a r a r a r หรอผลบวก n พจนแรกของอนกรม จำก 2 3 2 1

1 1 1 1 1 1... n n

nS a a r a r a r a r a r (1)

214

(1) r 2 3 1

1 1 1 1 1... n n

nrS a r a r a r a r a r (2) (1)-(2) n nS rS

1 1

na a r 1 nr S 1 1 na r

nS 1 1

1

na r

r

เมอ 1r

หรออำจจะเขยนผลบวก พจนแรกของอนกรมเลขคณตไดอกแบบหนงดงน

nS 1 1

1

na r

r

1 1

1

na a r

r

1

1 1

1

na a r r

r

1

1

na a r

r

nS 1

1

na a r

r

เมอ 1r

ตวอยำงท 6.22 จงหำผลบวก 14 พจนแรกของอนกรมเรขำคณต 1 3 9 27 ...

วธท ำ เนองจำก 1 1a 3, 3

1r และ 14n

จำก nS 1 1

1

na r

r

จะได 17S 141 1 3

1 3

143 1

3 1

2,391,484.5

ดงนน ผลบวก 14 พจนแรกของอนกรมเรขำคณต คอ 2,391,484.5

ตวอยำงท 6.23 อนกรมเรขำคณต 1 1 11 ...

2 4 8 จะตองบวกกนกพจนจงจะไดผลลพธ 341

512

วธท ำ เนองจำก 1 1a 1

12,1 2

r

และ 341

512nS

จำก nS 1 1

1

na r

r

215

จะได 341

512

11 1

2

11

2

n

341

512

11

2

3

2

n

1023

1024

11

2

n

1

1024

1

2

n

10

1

2

1

2

n

n 10

ดงนนจะตองบวกกนทงหมด 10 พจน ตวอยำงท 6.24 อนกรมเรขำคณตอนกรมหนงมผลบวก 4 พจนแรกเปน 60 และพจนท 4 มคำเปน 4 เทำของพจนท 2 จงหำอนกรมเรขำคณตน วธท ำ เนองจำก 4 60S และ 4 24a a

4S 4

1 1

1

a r

r

60 (1)

3

1a r 14a r (2)

จำก (2) r 2

ถำ 2r 60 4

1 1 2

1 2

a

60 1 15a

4 1a

จะไดอนกรมเรขำคณตคอ 4 8 16 32 ...

ถำ 2r 60

4

1 1 2

1 2

a

180 1 15a

12 1a

จะไดอนกรมเรขำคณตคอ 12 24 48 96 ...

216

6.3.3 อนกรมอนนต

ก ำหนด 1 2 3, , ,... ,...na a a a เปนล ำดบอนนต

เรยก 1 2 3

1 1

... ...n i n

i n

a a a a a a S S

วำ อนกรมอนนต

บทนยำมท 6.8 อนกรมอนนต คอ ผลบวกของพจนทกพจนของล ำดบอนนต

ก ำหนดให 1S 1a

2S 1 2a a 3S 1 2 3a a a

: : nS 1 2 3 ... na a a a เรยก 1 2 3, , ,..., ,...nS S S S วาผลบวกยอย (Partial Sum) ก ำหนด 1 2 3, , ,... ,...na a a a เปนล ำดบอนนต

เรยก 1 2 3

1 1

... ...n i n

i n

a a a a a a S S

วำ อนกรมอนนต

ถำ lim nn

S M

โดยท M เปนจ ำนวนจรง แลว เรยก

1 2 3

1

... ...n n

n

a a a a a

วำ เปน อนกรมคอนเวอรเจนต แต

ถำ lim nn

S

หำคำไมได เรยก 1 2 3

1

... ...n n

n

a a a a a

วำเปน

อนกรมไดเวอรเจนต

หรอสรปได คอ ถำ 1 2 3

1

... ...n n

n

a a a a a

หำคำไดเปนจ ำนวนจรง

อนกรม1

n

n

a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

กำรคำของอนกรมอนนตใด ๆ หำได คอ 1

limn nn

n

a S S

1. อนกรมเลขคณต 1lim lim 2 ( 1)2

nn n

nS a n d

ดงนนเปนอนกรมไดเวอร

เจนต

2. อนกรมเรขำคณต 1 1(1 )lim lim

1 1

n

nn n

a r aS

r r

หรอ 1

1

aS

r

โดยท

1r ดงนนเปนอนกรมคอนเวอรเจนต แตถำ 1r จะเปนอนกรมไดเวอรเจนต

217

ตวอยำงท 6.25 อนกรมเลขคณต 3 7 11 15 ...

วธท ำ เนองจำกเปนอนกรมเลขคณต 1lim lim 2 ( 1)2

nn n

nS a n d

ดงนนอนกรมเลขคณตนหำคำไมได

ตวอยำงท 6.26 จงหำผลบวกของอนกรม 1 1 11 ...

3 9 27

วธท ำ เนองจำกเปนอนกรมเรขำคณต lim nn

S

1

1

a

r

1

11

3

3

2

ดงนนผลบวกของอนกรม 1 1 11 ...

3 9 27 คอ 3

2

ตวอยำงท 6.27 ก ำหนดให 2 3 51 ...

2x x x จงหำคำ x

วธท ำ เนองจำกเปนอนกรมเรขำคณต lim nn

S

1

1 r

5

2

2 5 5r

r 3

5

6.4 อนกรมอนทควรทรำบ

ในทนจะกลำวถง 2 อนกรมคอ อนกรมผสมระหวำงเลขคณตและเรขำคณต และอนกรมไฮเพอรฮำรโมนก ดงน

6.4.1 อนกรมผสมระหวำงเลขคณตและเรขำคณต

อนกรมเลขคณต คอ 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... [ ( 1) ] ...a a d a d a d a n d อนกรมเรขำคณต คอ 2 3 11 ... ...nr r r r 1( 1)a อนกรมผสม คอ 2 3 1

1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... [ ( 1) ] ...na a d r a d r a d r a n d r ก ำหนดให 2 3 1

1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... [ ( 1) ] n

nS a a d r a d r a d r a n d r (1) (1)r 2 3 1

1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 2) ] [ ( 1) ]n n

nrS a r a d r a d r a n d r a n d r (2) (1) (2) 2 1

1 1(1 ) ... n n n n

nr S a dr dr dr dr a r ndr 2 1

1 1(1 ) ( ) 1 ... ( )n n

nr S a dr r r r a nd r

218

1 1

1(1 ) ( ) ( )

1

nn

n

rr S a dr a nd r

r

1 1

2

( )(1 )

1 (1 ) (1 )

nn

n

a a nd rdr rS

r r r

ถำ 1r จะได 1

2lim

1 (1 )n

n

a drS S

r r

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต แตถำ

1r เปนอนกรมไดเวอรเจนต

ขอสงเกต จะใชสตร 1 1

2

( )(1 )

1 (1 ) (1 )

nn

n

a a nd rdr rS

r r r

หรอ 1

21 (1 )

a drS

r r

ไดก

ตอเมอ 1. พจนแรกของอนกรมเรขำคณต ตองเทำกบ 1 เทำนน และ 2. อตรำสวนรวมของอนกรมเรขำคณต ตองมคำ 1r เทำนน

ถำ ไมเปนไปตำมเงอนไขดงกลำวน ใหใชวธกำร ดงน ก ำหนดให 2 3 1

1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ... [ ( 1) ] n

nS a a d r a d r a d r a n d r (1) สรำงสมกำรใหมโดย น ำ (1)r เปนสมกำรใหมแลวแกสมกำรหำ nS และ หำ lim n

nS S

6.4.2 อนกรมไฮเพอรฮำรโมนก

จะอยในรป 1 1 11 ... ...

2 3p p pn

2.1 ถำ 1p เปนอนกรมคอนเวอรเจนต 2.2 ถำ 1p เปนอนกรมไดเวอรเจนต อนกรมไฮเพอรฮำรโมนก (P-series) หรอเรยกวำอนกรม P ในทนจะพจำรณำเฉพำะ กรณทเปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ เปนอนกรมไดเวอรเจนต เทำนน แตจะไมหำคำของอนกรม P นน ๆ

ตวอยำงท 6.28 ก ำหนดใหอนกรม 2 3

2 3 41 ...

4 4 4 จงหำ nS และ S

วธท ำ วธท 1 ใชสตร 1 1

2

( )(1 )

1 (1 ) (1 )

nn

n

a a nd rdr rS

r r r

จำก 1 1, 1a d และ 1

4r

จะได nS 2

1 1 1(1 ) (1 )

1 4 4 4

1 1 11 (1 ) (1 )

4 4 4

n n

n

219

nS

1 14(1 ) 4(1 )

4 4 4

3 9 3

n n

n

ใชสตร 1

21 (1 )

a drS

r r

จะได S

2

11 4

1 11 (1 )

4 4

S 16

9

วธท 2 ค ำนวณ

nS

1

2 3

2 3 4 11 ...

4 4 4 4

n

n

(1)

น ำ r (1) 1

4nS

2 3

2 3 4 11 ...

4 4 4 4

n

n

(2)

(1)- (2) 11

4nS

2 1

1 1 1 1 11 1 ... 1

4 4 4 4 4

n

nn

11

1 141 1

14 41

4

n

n

n

nS 2

11

11 1 14

1 14 411 114 44

n

nn

1 14(1 ) 4(1 )

4 4 4

3 9 3

n n

n

S 2 3

2 3 41 ...

4 4 4 (1)

น ำ r (1) 1

4S

2 3 4

1 2 3 4...

4 4 4 4 (2)

(1)- (2) 11

4S

2 3

1 1 11 ...

4 4 4

S 2

1

11

4

16

9

220

ตวอยำงท 6.29 จงพจำรณำอนกรมตอไปนวำเปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ อนกรมไดเวอรเจนต

1. 3 3 3

1 1 11 ... ...

2 3 n 2.

1 1 1

4 4 41 2 3 ... ...n

วธท ำ 1. เนองจำกอยในรป 1 1 11 ... ...

2 3p p pn เมอ 3p ซงถำ 1p เปนอนกรม

คอนเวอรเจนต

2. เนองจำกอยในรป 1 1 11 ... ...

2 3p p pn เมอ

1

4p ซงถำ ถำ 1p เปน

อนกรมไดเวอรเจนต

6.5 กำรตรวจสอบอนกรมททกพจนไมเปนลบ

กำรตรวจสอบอนกรมวำเปนอนกรมคอนเวอรเจนตหรอไม มวธตรวจสอบหลำยวธมำก ขอเสนอวธทเหมำะสมกบหลกสตรเทำนน

1. กำรทดสอบโดยใชอตรำสวน

ให 1

n

n

a

เปนอนกรม ซง 0na และ 1lim n

nn

aL

a

เมอ L เปนจ ำนวนจรง

1.1 ถำ 1L จะไดวำ 1

n

n

a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

1.2 ถำ 1L หรอ 1lim n

nn

a

a

จะไดวำ

1

n

n

a

เปนอนกรมไดเวอรเจนต

1.3 ถำ 1L ยงสรปไมได ตองใชวธอน 2. กำรทดสอบโดยใชวธกำรเปรยบเทยบ

ก ำหนด 1

n

n

a

และ 1

n

n

b

เปนอนกรมโดยท n nb a

กรณท 1 ถำ 1

n

n

a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต แลว 1

n

n

b

จะสรปไมได

แตถำ 1

n

n

a

เปนอนกรมไดเวอรเจนต แลว 1

n

n

b

จะเปนอนกรมไดเวอรเจนต

กรณท 2 ถำ 1

n

n

b

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต แลว 1

n

n

a

จะเปนอนกรมคอนเวอรเจนต

แตถำ 1

n

n

b

เปนอนกรมไดเวอรเจนต แลว 1

n

n

a

จะสรปไมได

221

ควำมสมพนธระหวำงล ำดบและอนกรม

1. ถำ 1

0n

n

a

แลว จะเปนอนกรมไดเวอรเจนต

2. ถำ 1

n

n

a

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต แลว na จะเปนล ำดบคอนเวอรเจนตแน ๆ และ

lim 0nn

a

3. ถำ na เปนล ำดบคอนเวอรเจนต ไมสำมำรถสรปอนกรม

1

n

n

a

ได

4. ถำ na เปนล ำดบไดเวอรเจนต แลวอนกรม 1

n

n

a

เปนอนกรมไดเวอรเจนต

5. ถำ 1

n

n

a

เปนอนกรมไดเวอรเจนตแลวสรปไมไดวำล ำดบ na เปนล ำดบชนดใด

6. กำรพจำรณำล ำดบ 6.1 ถำ lim 0n

na

จะเปนล ำดบ คอนเวอรเจนต และ มโอกำสทจะเปนอนกรมคอน

เวอรเจนต 6.2 ถำ lim 0n

na

แตมคำเปนจ ำนวนจรงเพยงคำเดยว จะเปนล ำดบ คอนเวอรเจนต

แตจะเปนอนกรมไดเวอรเจนต 6.3 ถำ lim n

na

หรอหำคำไมได หรอมหลำยคำ จะเปนล ำดบไดเวอรเจนต และ

กเปนอนกรมไดเวอรเจนต 7. กำรพจำรณำอนกรม

อนกรม 1

n

n

a

จะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตได ตอง lim 0nn

a

เทำนน

กำรหำคำของอนกรมในชนนใหพจำรณำอยำงงำย ๆ ดงตอไปนคอ 7.1 เปนอนกรมเรขำคณต ซง 1r หรอไม ถำใชเปนอนกรมคอนเวอรเจนตแน ๆ

และ 1

1

aS

r

7.2 เปนอนกรมผสมระหวำงเลขคณตและเรขำคณต ซง 1r หรอไม ถำใชเปน

อนกรมคอนเวอรเจนตแน ๆ และ 1

21 (1 )

a drS

r r

โดยท 1a ของอนกรมเรขำคณต

ตองเทำกบ 1 ถำไมเปนไปตำมเงอนไข ตองแสดงวธท ำ 7.3 เปนอนกรมทแยกเปนเศษสวนยอยไดหรอไม

222

ตวอยำงท 6.30 จงพจำรณำอนกรมตอไปนวำเปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรอ อนกรมไดเวอรเจนต

1. 2 3

1 1 1 1... ...

1 4 2 4 3 4 4nn

2. 2 3 4

1 1 1 1...

1 2 3 2 5 2 7 2

ก ำหนด 2 3 4

1

1 1 1 1...

1 2 3 2 5 2 7 2n

n

a

2 3 41

1 1 1 1...

2 2 2 2n

n

b

วธท ำ 1. พจำรณำ 1lim n

nn

a

a

1

1

1 4lim

1

4

n

n

n

n

n

lim4 4n

n

n

1

4

ถำ 11

4 จะไดวำ

2 3

1 1 1 1... ...

1 4 2 4 3 4 4nn

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

2. ก ำหนด 1

n

n

a

และ 1

n

n

b

เปนอนกรมโดยท n nb a

พจำรณำ 1lim n

nn

b

b

1

1

2lim1

2

n

n

n

1

2

เนองจำก 1

n

n

b

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต แลว 1

n

n

a

จะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตดวย

บทสรป เนอหำบทท 6 กลำวถงเรองล ำดบและอนกรม ซงมเนอหำคอล ำดบเลขคณตและล ำดบเรขำคณต ลมตของล ำดบ ซงเปนกำรน ำควำมรในบทท 2 มำใชดวย อนกรมเลขคณต อนกรมเรขำคณต อนกรมอนนต นอกจำกนนยงกลำวถง อนกรมของฟงกชนตำงๆ ทนำสนใจคอ อนกรมผสมระหวำงเลขคณตและเรขำคณต อนกรมไฮเพอรฮำรโมนก และกำรตรวจสอบอนกรมวำเปนอนกรมคอนเวอรเจนต หรออนกรมไดเวอรเจนต เนอหำโดยรวมในเลมนจงเปนกำรสรำงพนฐำนทดในกำรพฒนำตอยอดในกำรเรยนคณตศำสตรขนสงตอไป

223

แบบฝกหด

1. จงเขยน 4 พจนแรกของล ำดบตอไปน 1.1 3 11na n

1.2 3

2n

na

n

1.3 1

13

5n n

a

1.4 1

1 2n n

na

1.5 2n

na n 1.6 2 7na n n

2. จงเขยน 4 พจนแรกของล ำดบจำกควำมสมพนธตอไปน

2.1 , / ;xf x y y e x N

2.2 , / cos ;g x y y x Nx

2.3 2, / 100 ;h x y y x x I

2.4 2, / 9 ;i x y y x x I

3. จงเขยนพจนทวไปของล ำดบตอไปน 3.1 6,4,2,0,... 3.2 1,3,9,27,... 3.3 3, 3,3 3, 9,... 3.4 1,3,7,15,...

3.5 3 4 5

2, , , ,...2 3 4

3.6 1,2, 4,8,... 3.7 1,0,1,0,...

3.8 7 77 777

, , ,...10 100 1,000

4. จงบอกวำล ำดบตอไปนเปนล ำดบจ ำกดหรอล ำดบอนนต 4.1 8,16,24,32,...

4.2 1

3 ,2

n na n N

4.3 3,5,7,...., 2 1n

4.4 8

( 1) , 1,2,3,4,...,503 5

na nn

4.5 sin ,na n n N

224

5. จงหำพจนท 50 ของล ำดบเลขคณต 30,27,24,21,... 6. จงหำวำล ำดบตอไปน มทงหมดกพจน

6.1 2 11 48 27

, , ,...,5 15 45 5

6.2 3 2 , 2 4 , 6 ,..., 8 24a b a b a b a b 7. จงหำคำตอไปน

7.1 ล ำดบเลขคณตล ำดบหนงมพจนแรกเปน 20 และพจนท 11 เปน 35 จงหำพจนท25 7.2 จ ำนวนเตมทมคำระหวำง 300 ถง 1,000 มกจ ำนวนท 6 หำรลงตว 7.3 จ ำนวนจรง 3 จ ำนวนเรยงกนเปนล ำดบเลขคณต โดยมผลรวมของจ ำนวนทงสำม เทำกบ 9 และผลรวมของก ำลงสองของแตละจ ำนวนเปน 35 จงหำจ ำนวนจรงทง

สำมจ ำนวนนน 7.4 ถำจดแผนกระเบองกองหนงซอนๆ กน โดยใหชนลำงมกระเบองเรยงตำมยำวชดกน ตลอด 52 แผน วำงชนท 2 ใหแนวกงกลำงของกระเบองแตละแผนในชนนอยตรงกบ รอยตอของไมแตละคในชนแรก ท ำเชนนในชนตอๆ ไป จนชนบนสดมกระเบอง 4 แผน จงหำควำมสงของกองกระเบองน ถำกระเบองทกแผนเรยบและมขนำดเทำกน คอกวำง 15 ซม. ยำว 90 ซม หนำ 3 ซม.

7.5 จงหำพจนท 12 ของล ำดบเรขำคณต 1 1 11, , , ,...

5 25 625

7.6 ก ำหนดใหล ำดบเรขำคณต 824, , , ,.

27a b c จงหำคำ , ,a b c

7.7 ล ำดบเรขำคณตล ำดบหนง ถำพจนท 5 เทำกบ 1

16และพจนท 10 เทำกบ 1

512จง

หำล ำดบตอไปน 7.8 ผลบวกของสำมพจนแรกของล ำดบเรขำคณตคอ -3 ผลคณสำมพจนแรกคอ 8 จงหำ ล ำดบเรขำคณตน 7.9 จงหำจ ำนวนทอยระหวำงจ ำนวนสองจ ำนวนน -7, -129 แลวท ำใหจ ำนวนทงสำม เปนล ำดบเรขำคณต 7.10 162 เปนพจนทเทำไรของล ำดบเรขำคณต 2,-6,18,...

225

8. จงบอกวำล ำดบตอไปนเปนล ำดบเลขคณตหรอล ำดบเรขำคณต พรอมทงบอกผลตำงรวมหรออตรำสวนรวมนนๆ

8.1 1

9, 9,9, 9,..., 1 9n

8.2 4,2,0, 2,...

8.3 1 1

27,3, , ,...3 27

8.4 1 2 16 128

, , , ,...4 5 25 125

8.5 2,2, 2,2,...

9. จงพจำรณำวำล ำดบทก ำหนดพจนทวไปใหในแตละขอเปนล ำดบคอนเวอรเจนตหรอ ไดเวอรเจนตถำเปนล ำดบคอนเวอรเจนต จงหำคำลมตของล ำดบนน

9.1 3

9n

na

n

9.2

1

7

n

nna

9.3 23 8 1

5n

n na

n

9.4 1

n

na

n

9.5 11 3n n

na

9.6 sinnan

9.7 3

3

7

8 11n

n na

n

10. จงเขยนสญลกษณตอไปนใหอยในรปกำรบวก รวมทงหำคำ

10.1 11

1i

i

10.2 3

1

4i

i

10.3 9

3

1k

k

10.4 6

2

1

3 1j

j j

226

11. จงเขยนอนกรมตอไปนใหอยในรปทใชเครองหมำย

11.1 102 3 2 9 2 27 2 81 ...2 3

11.2

1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 1n n

11.3 2 3 4

1 ...10 100 1,000

11.4 2 4 8 2

... ...5 25 125 5

n

12. จงหำคำตอไปน 12.1 จงหำผลบวกของจ ำนวนคทงหมดทอยระหวำง 53 ถง 105 12.2 จงหำผลบวก 120 พจนแรกของ 12, 7, 2,...

12.3 อนกรมเลขคณตอนกรมหนงมพจนท 3 เทำกบ 27 และผลบวก 6 พจนแรกเทำกบ 144 จงหำอนกรมเลขคณตอนกรมนน

12.4 ไมกองหนงวำงซอนกนเปนชนๆ แตละชนมจ ำนวนไมมำกกวำจ ำนวนไมในชนถดไป เปนจ ำนวน 8 ทอนเสมอ ถำจ ำนวนไมบนสดม 20 ทอน ชนลำงสดม 500 ทอน จง หำวำไมกองนมทงหมดกทอน

12.5 ชำยคนหนงตองอำนหนงสอทงสน 225 หนำ วนแรกอำนได 1 หนำ วนทสองอำนได 3 หนำ วนทสำมอำนได 5 หนำ เปนเชนนเรอยๆไปถำมวำเขำจะใชเวลำอำนหนงสอ ทงหมดกวนจงจะอำนหมด

12.6 อนกรมเลขคณตอนกรมหนงมพจนแรกเปน 20 พจนท 51 เปน 120 จงหำผลบวก

ของอนกรมนตงแตพจนท 2 ถงพจนท 51 13. จงหำผลบวก 12 พจนแรกของอนกรมเรขำคณต 1+5+25+125+...

14. จงหำผลบวก 6 พจนแรกของอนกรมเรขำคณต 2 4 81 ...

3 9 27

15. อนกรมเรขำคณตอนกรมหนงมพจนแรกเปน 1

2และพจนท 4 เปน 32 จงหำผลบวก 13

พจนแรก

16. พนจฝำกเงนไวกบธนำคำรจ ำนวน 10,000 บำทในปแรก โดยธนำคำรคดอตรำดอกเบยใหรอยละ 4 ตอป เมอพนจฝำกเงนไดครบ 5 ปเตมโดยไมถอนดอกเบยออกมำเลยพนจจะไดรบเงนทงสนเทำไร

227

17. ในกำรฉดยำก ำจดปลวก เมอฉดยำแตละครงจะสำมำรถก ำจดปลวกได 40% ของปรมำณปลวก จงค ำนวณวำจะก ำจดปลวกไดเปนจ ำนวนกเปอรเซนตของจ ำนวนปลวกกอนก ำจด เมอฉดยำครบ 4 ครง

18. จงหำคำของ

18.1 1 1

1 ....8 64

18.2 13 13

13 ....2 4

18.3 1

1

3

i

i

18.4 1

3

5

k

k

18.5 1

2 1

9 5

j

j