แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 7¸šทที่...

68

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ

แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 7

หัวข้อเนื้อหำประจ ำบท 7.1 สมบัติพื้นฐาน 7.2 การบวกและการคูณจ านวนจินตภาพแท้ 7.3 จ านวนเชิงซ้อนในทางเรขาคณิต 7.4 ระบบพิกัดเชิงขั้วและระบบพิกัดตรีโกณมิติ 7.5 การคูณและการหารจ านวนเชิงซ้อน 7.5.1 การคูณจ านวนเชิงซ้อน 7.5.2 การหารจ านวนเชิงซ้อน 7.5.3 การหารากจ านวนเชิงซ้อน ผลกำรเรียนรู้ที่คำดหวังประจ ำบท

อธิบายระบบจ านวนเชิงซ้อนพร้อมพิสูจน์ทฤษฎีที่ส าคัญและให้เหตุผลได้ทุกขั้นตอนพร้อม ทั้งบอกคุณสมบัติต่างๆของจ านวนเชิงซ้อนได้ วิธีกำรสอนและกิจกรรม

1. บรรยายประกอบเอกสารและใช้เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ Ipad Tablet หรือ software ส าเร็จรูป WolframAlpha 2. บรรยาย ยกตัวอย่างประกอบ อภิปรายและตอบข้อค าถาม 3. ให้นักศึกษาท าแบบฝึกหัดบางข้อในชั้นเรียนทั้งรายบุคคลและรายกลุ่มแล้วน าเสนอหน้าชั้น 4. มอบหมายให้นักศึกษาไปท าแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน

สื่อกำรสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาระบบจ านวน 2. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ IPad และ Tablet 3. software ส าเร็จรูป วูลแฟรมแอลฟา โดยใช้เว็บไซต์ หลักคือ www.wolframalpha.com

กำรวัดผลและประเมินผล 1. ประเมินจากการตอบค าถาม การอภิปรายและรายงานหน้าชั้น 2. ประเมินจากการตรวจแบบฝึกหัดงานที่ได้รับมอบหมาย 3. ประเมินจากความรับผิดชอบ ซื่อสัตย์และตรงต่อเวลา 4. ประเมินจากการทดสอบย่อย

69


บทท่ี 7 จ ำนวนเชิงซ้อน

ในบทนี้จะกล่าวเกี่ยวกับสมบัติพื้นฐาน จ านวนเชิงซ้อน

7.1 สมบัติพื้นฐำน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อดีโอฟานโตส (Diophantos) เริ่มเห็นว่าระบบจ านวนจริงนั้นยังไม่เพียงพอ ในราว พ.ศ. 818 เมื่อท่านต้องการแก้ปัญหาซึ่งดูเสมือนง่ายมากคือ หาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซ่ึงมีเส้นรอบรูปเท่ากับ 12 หน่วย และมีพ้ืนที่เท่ากับ 7 ตารางหน่วย ปัญหานี้ก่อให้เกิดสมการ

26 43 84 0x x โดยที่ x เป็นความยาวของด้านๆหนึ่ง เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ได้ในเซตของจ านวนจริง นักคณิตศาสตร์หลายท่านจึงได้สร้างจ านวนใหม่ขึ้น เรียกว่าจ านวนเชิงซ้อน(complex number) ซึ่งก าหนดให้ 1i ความจ าเป็นของมนุษย์ในการหาค าตอบในปัญหาต่าง ๆ จ าเป็นต้องคิดค้นจ านวนชนิดใหม่ขึ้น เช่น 2 4x ต้องใช้ จ านวนธรรมชาติ 3 1x ต้องใช้ จ านวนเต็มลบ 2 3x ต้องใช้ จ านวนตรรกยะ 2 2x ต้องใช้ จ านวนอตรรกยะ 2 1 0x ต้องใช้ จ านวนเชิงซ้อน บทนิยำมที่ 7.1 จ านวนเชิงซ้อน (complex numbers) สัญลักษณ์แทนด้วย คือจ านวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป a bi เมื่อ a และ b เป็นจ านวนจริง และ 2 1i จ านวน a เรียกว่า ส่วนจริง (real part) ส่วน bi เรียกว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) จ านวนเชิงซ้อน a bi เป็นจ านวนจริง (real) ถ้า 0b และจะเป็นจ านวนจินตภาพถ้า

0b ดังนั้น 3 3 0 , 0 0 0i i จึงเป็นจ านวนจริง ไม่ใช่จ านวนจินตภาพ จ านวนเชิงซ้อน a bi เป็นจ านวนจินตภาพแท้ (pure imaginary) ถ้า 0b และ 0a ถ้า

0a และ 0b เรียกว่า mixed imaginary

70


การด าเนินการบนจ านวนเชิงซ้อน สามารถให้นิยามได้ดังนี้ ความเท่ากัน a bi c di ก็ต่อเมื่อ a c และ b d การบวก a bi c di a c b d i การคูณ a bi c di ac bd bc ad i ตัวอย่ำงท่ี 7.1

1. 3 6 2 3 5 3i i i

ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการบวกของจ านวนเชิงซ้อน 3 6 2 3 i i ดังภาพที่ 7.1

ภาพที่ 7.1 การบวกของจ านวนเชิงซ้อน 3 6 2 3 5 3i i i

2. 7 5 1 2 6 3i i i

ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการลบของจ านวนเชิงซ้อน 7 5 1 2 i i ดังภาพที่ 7.2

71


ภาพที่ 7.2 การลบของจ านวนเชิงซ้อน 7 5 1 2 6 3i i i

3. 25 7 3 4 15 41 28 15 28 41 13 41i i i i i i

ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการคูณของจ านวนเชิงซ้อน 5 7 3 4 i i ดังภาพที่ 7.3

ภาพที่ 7.3 การคูณของจ านวนเชิงซ้อน 5 7 3 4 13 41 i i i

72


บทนิยำมที่ 7.2 a bi เป็นจ านวนเชิงซ้อน คอนจุเกต (conjugate) ของ คือจ านวนเชิงซ้อน a bi ในการท าเศษส่วนของจ านวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูป a bi อาจท าได้ดังนี้

1 1 a bi

a bi a bi a bi

2 2 2 2 2 2

a bi a bi

a b a b a b

ตัวอย่ำงท่ี 7.2 จงหาค่าของ a bi

c di

วิธีท ำ a bi a bi c di

c di c di c di

2 2

ac bd bc ad i

c d

ตัวอย่ำงท่ี 7.3 จงหาค่าของ 3 5

2 3

i

i

วิธีท ำ 3 5 3 5 2 3

2 3 2 3 2 3

i i i

i i i

2 2

6 15 10 9

2 3

9 19

13

9 19

13 13

i

i

i

การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาค่าของ 3 5

2 3

i

i

ดังภาพที่ 7.4

73


ภาพที่ 7.4 การหารจ านวนเซิงซ้อน 3 5 9 19

2 3 13 13

i i

i

ตัวอย่ำงท่ี 7.4 จงหาค่าของ 1. 48 2. 25i 3. 6 12 วิธีท ำ

1. 48 48 1

48 1

16 3 1

4 3i

การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาค่าของ รากที่สองของ 48 ดังภาพที่ 7.5

ภาพที่ 7.5 การหารากของจ านวนเชิงซ้อน

2. 25i 24i i

64

61

i i

i

i

การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาค่าของ i ยกก าลัง 25 ดังภาพที่ 7.6

74


ภาพที่ 7.6 การยกก าลังของจ านวนเชิงซ้อน

3. 6 12 6 1 12 1

2

2

6 12

6 2

6 2

i

i

การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาผลคูณของรากของจ านวนเชิงซ้อน 6 12 ดังภาพที่ 7.7

ภาพที่ 7.7 ผลคูณของรากของจ านวนเชิงซ้อน

75


เพ่ือที่จะพัฒนา จ านวนเชิงซ้อน ในแนวตรรกวิทยา และสมเหตุสมผล จึงนิยามจ านวนเชิงซ้อนใหม่ดังนี้ บทนิยำมที่ 7.3

1. จ านวนเชิงซ้อน คือคู่อันดับของจ านวนจริง

2. จ านวนเชิงซ้อน ,0a เรียกว่า ส่วนจริงของจ านวนเชิงซ้อน ,a b

3. จ านวนเชิงซ้อน 0,b เรียกว่า ส่วนจินตภาพของจ านวนเชิงซ้อน ,a b และเรียก จ านวน

เชิงซ้อนชนิดนี้ว่า จ านวนจินตภาพแท้

บทนิยำมที่ 7.4 1. , ,a b c d ก็ต่อเมื่อ a c และ b d

2. , , ,a b c d a c b d

3. , , ,a b c d ac bd ad bc

จะเห็นว่ามี การแปลง (mapping) ชนิด 1-1 ระหว่าง จ านวนเชิงซ้อน ,0a และจ านวนจริง a ผลบวกและผลคูณระหว่าง จ านวนเชิงซ้อน และจ านวนจริง ก็เป็น การแปลง 1-1 กัน นั่นคือ

,0 ,0 ,0a c a c a,0 c,0 ac,0

a c a c a c ac การแปลง ชนิดนี้เรียกว่า สมสัณฐาน (Isomorphism) และเซตของจ านวนเชิงซ้อน เป็นIsomorphism กับเซตของจ านวนจริงทั้งบวกและการคูณ จึงสรุปว่าจ านวนจริงเป็นสับเซต (subset) ของจ านวนเชิงซ้อน

7.2 กำรบวกและกำรคูณจ ำนวนจินตภำพแท้ การบวกและการคูณจ านวนจินตภาพแท้ 0,b ก็คือ 0, 0,c 0,b b c 0, 0,c 0b bc นั่นคือผลคูณของ จ านวนจินตภาพแท้สองจ านวนจะเป็นจ านวนจริงเสมอ เช่น

0,1 0,2 2,0 จะเห็นว่านิยามโดยใช้สัญลักษณ์ a bi แทนด้วย a,b นั้นเหมือนกันทุกประการ โดยที่สัญลักษณ์ทั้งสองมีความสัมพันธ์กัน คือ

76


จ านวนจริง ,0a a จ านวนจินตภาพแท้ 0,b bi จ านวนเชิงซ้อน ,a b a bi สมบัติปิด สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและสมบัติการสลับที่ ทั้งการบวกและการคูณยังคงเป็นจริงอยู่ในเซตของจ านวนเชิงซ้อน เพ่ือจะแสดงว่า สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม ของผลบวกเป็นจริงนั่นคือต้องแสดงว่า

, , , , , ,a b c d e f a b c d e f พิสูจน์ , , , , ,a b c d e f a c b d e f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 ,a c e b d f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 ,ba c e d f สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม , ,a b c e d f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 , , ,a b c d e f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 เพ่ือจะแสดงว่า สมบัติการสลับที่ ของผลคูณเป็นจริงนั่นคือต้องแสดงว่า , , , ,a b c d c d a b

พิสูจน์ , , ,a b c d ac bd ad bc บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 3 ,ca db da cb สมบัติการสลับที่ ,ca db cb da สมบัติการสลับที่ , ,c d a b ในท านองเดียวกันกฎอ่ืน ๆ อาจพิสูจน์ได้เช่นกัน ส าหรับจ านวนเชิงซ้อน ,a b

1. เอกลักษณ์การบวกคือ 0,0

2. ผกผันการบวกคือ ,a b

3. เอกลักษณ์การคูณคือ 1,0

4. ผกผันการคูณคือ 2 2 2 2

,a b

a b a b

77


7.3 จ ำนวนเชิงซ้อนในทำงเรขำคณิต ในท านองเดียวกันกับที่แทนจ านวนจริงด้วยจุดบนเส้นตรง จะแทนจ านวนเชิงซ้อนด้วยจุดในระนาบ โดยแทนจ านวนเชิงซ้อน a bi หรือ ,a b ด้วยจุดซึ่งมีพิกัด ,a b เช่น เขียนแทนจ านวนเชิงซ้อน3 2i จึงมีจุดอยู่ท่ี 3,2 เมื่อจุดทั้งหลายบนระนาบ ใช้แทนเซตของจุดเหล่านั้นเรียกว่าระนาบเชิงซ้อน ผู้ริเริ่มการแทนจ านวนเชิงซ้อนด้วยจุดในระนาบนี้ ได้แก่ เกาส์ (Gauss) และ อาร์กองด์ (Argand) ในบางครั้งจึงเรียกระนาบนี้ว่าระนาบของเกาส์ (Gaussian plane) หรือระนาบของอาร์กองด์ (Argand diagram) ระนาบเชิงซ้อน แกนตามแนวนอนเรียกว่าแกนจริง (real axis) เรียกว่า real-axis และตามแนวตั้งเรียกว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) หรือ i-axis โดยที่การบวกของจ านวนเชิงซ้อนคือการบวกของพิกัด ดังนั้นหากลากเส้นจากจุดก าเนิดต่อเข้ากับจุดเหล่านี้ก็จะกลายเป็นเวกเตอร์ (vector) เช่น เวกเตอร์ 0P เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 0P ตัวอย่ำงท่ี 7.5 จงบวก 5 6i ด้วย 3 2i วิธีท ำ

5 6 3 2 8 4i i i และ 3 2 5 6 8 4i i i

ภาพที่ 7.8 ผลบวก 5 6i ด้วย 3 2i

5 6i

8 4i

3 2i

5 6i

3 2i

78


7.4 ระบบพิกัดเชิงขั้วและระบบพิกัดตรีโกณมิติ จุด P ในระนาบมีระบบพิกัดฉาก (Cartesian coordinate) หรือมีระยะทาง r จากจุดก าเนิดและท ามุม องศากับแกนนอน เรียก ,r ว่าระบบพิกัดเชิงขั้วของ P

ภาพที่ 7.9 รูปแบบพิกัดเชิงขั้ว

ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดเชิงขั้ว ได้ดังนี้ cos , sin ______ 1a r b r

2 2 , tan ______ 2b

r a ba

ตัวอย่ำงท่ี 7.6 จงหาระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งระบบพิกัดฉากเป็น 2, 2 วิธีท ำ จากโจทย์ 2, b 2a

ดังนั้น 222 2 8 2 2r

2tan 1

2

b

a

เพราะฉะนั้น 3315

4

นั่นคือ พิกัดกัดเชิงขั้ว คือ 2 2,315

จากแนวคิดนี้ อาจเขียนจ านวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปอื่นได้คือ ให้ a bi เป็นจ านวนเชิงซ้อน และ P เป็นจุดแทนจ านวนนี้ ดังนั้น P จึงมี ระบบพิกัดฉากเป็น ,a b และมีระบบพิกัดเชิงขั้ว ,r จาก 1 จะได้ cos , sina r b r ดังนั้น cos sin ______ 3a bi r i

เมื่อ 2 2r a bi a b

และ tanb

a

79


จ านวนทางขวามือของ 3 เรียกว่าระบบพิกัดตรีโกณมิติ (trigonometric form) หรือ รูปแบบเชิงขั้วของจ านวนเชิงซ้อน a bi

จ านวน 2 2r a b เรียกว่า ค่าสัมบูรณ์ (absolute value) หรือ มอดุลัส (Modulus) ของจ านวนเชิงซ้อน และเขียนแทนด้วย a bi จ านวนทางขวามือของ 3 เรียกว่ารูปแบบพิกัดฉาก (rectangular form) ดังนั้นจ านวนเชิงซ้อนจึงเป็นเวกเตอร์ที่มีทั้งส่วนสูง (absolute value) และทิศทาง (argument) เรียกมุม ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) หรือ แอมพลิจูด (amplitude) เขียนแทนด้วย

arg a bi ถ้า อยู่ในช่วง , เรียกว่า ว่า อาร์กิวเมนต์หลัก (principal argument) และเขียนแทนด้วย rgA a bi ตัวอย่ำงท่ี 7.7 จงเขียน 1 i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ และรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว วิธีท ำ เมื่อเปลี่ยน 1 i กับ a bi จะได้ 1a และ 1b

2 2 1 1 2r a b

1tan 1

1

b

a

จะได้ 454

ดังนั้น arg 14

i

และ 14

Arg i

นั่นคือ 1 2 cos45 sin 45i i อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ

1 2 cos sin4 4

i i

อยู่ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว

ตัวอย่ำงท่ี 7.8 จงเขียน 2 2 3i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ และรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว วิธีท ำเมื่อเปลี่ยน 2 2 3i กับ a bi จะได้ 2a และ 2 3b

222 2 2 2 3 16 4r a b

2 3tan 3

2

b

a

จะได้ 4240

3

ดังนั้น 4arg 2 2 3

3i

และ 2

2 2 33

Arg i

นั่นคือ 2 2 3 4 cos240 sin 240i i อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ

80


2 22 2 3 4 cos sin

3 3i


หรือ 2 22 2 3 4 cos sin

3 3i


ตัวอย่ำงท่ี 7.9 จงเปลี่ยน 6 cos240 sin 240i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดฉาก วิธีท ำ ให้ cos sina bi r i

จะได้ 1

cos 6 cos 240 6 32

a r

3

sin 6 sin 240 6 3 32

b r

ดังนั้น 6 cos240 sin 240i อยู่ในรูปแบบพิกัดฉาก คือ 3 3 3

ตัวอย่ำงท่ี 7.10 จงหามอดุลัสและอาร์กิวเมนต์ของ 3 cos sin6 6

i

วิธีท ำ จากโจทย์ มอดุลัส คือ 3

จะหาอาร์กิวเมนต์ ของ3 cos sin6 6

i

จะได้ 3 cos sin 3 cos sin6 6 6 6

i i

5 53 cos sin

6 6i

ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ คือ 5

6

7.5 กำรคูณและกำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน 7.5.1 กำรคูณจ ำนวนเชิงซ้อน การคูณจ านวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้วหรือรูปแบบตรีโกณมิติ อาจจะสลับกันเล็กน้อย เพื่อความสะดวกจะเขียนย่อ cos sinr i ว่า c sr i ให้ 1 1c sr i และ 2 2c sr i เป็นจ านวนเชิงซ้อน

1 1 2 2 1 2 1 2c s c s c s c sr i r i r r i i

81


1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

cos sin

c s

r r i i

r r i

r r i

r r i

ดังนั้นผลคูณของจ านวนเชิงซ้อน 1 2 1 2c sr r i

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3c s c s c s c sr i r i r i r r r i ถ้า 1 2 3, , ต่างก็เท่ากับ และ 1 2 3, ,r r r ต่างก็เท่ากับ r จะได้ว่า

3 3c s 3r i r cis ท านองเดียวกัน c s ______ 4

n nr i r cisn เมื่อ n เป็นจ านวนจริง จะเรียก 4 ว่า ทฤษฎีเดอร์มัวฟ์ (De Moivre’s Theorem)

ตัวอย่ำงที่ 7.11 จงหาผลคูณของจ านวนเชิงซ้อน 3 cos sin4 4

i

และ

5 52 cos sin

6 6i

วิธีท ำ จากผลคูณจ านวนเชิงซ้อน 1 1 2 2 1 2 1 2c s c s c sr i r i r r i

จะได้ 5 5 53 cos sin 2 cos sin 3 2

4 4 6 6 4 6i i cis cis

5

3 24 6

cis

266

24cis

136

12cis

13 136 cos sin

12 12i

นั่ นคื อ ผลคูณของจ านวนเชิ งซ้ อน 3 cos sin4 4

i

และ 5 5

2 cos sin6 6

i

คื อ

136

12cis

หรือ 13 136 cos sin

12 12i

7.5.2 กำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน การหารจ านวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้วหรือรูปแบบตรีโกณมิติ

ให้ 1 1c sr i และ 2 2c sr i เป็นจ านวนเชิงซ้อน

2 21 1 1 1

2 2 2 2 2 2

c sc s c s

c s c s c s

r ir i r i

r i r i r i

82


1 2 1 2

2

2

11 2

2

c s

c s0

c s

r r i

r i

ri

r

ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วนของจ านวนเชิงซ้อนสองจ านวนก็คือ เศษส่วนของค่าสัมบูรณ์ อาร์กิวเมนต์หลักของเศษส่วนก็คือ อาร์กิวเมนต์ของเศษลบด้วยอาร์กิวเมนต์ของส่วน

ตัวอย่ำงที่ 7.12 จงหาผลหารของจ านวนเชิงซ้อน 3 35 cos sin

4 4i

และ 2i

วิธีท ำ จากการหารจ านวนเชิงซ้อน

1 1 1

1 2

2 2 2

c sc s

c s

r i ri

r i r

และ 2i สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วได้ดังนี้

2 0 2 2 cos sin2 2

i i i

ดังนั้น

3 35 cos sin

5 34 4

2 4 22 cos sin

2 2

i

cis

i

5

2 4cis

5cos sin

2 4 4

i

นั่นคือ ผลหารของจ านวนเชิงซ้อน 3 35 cos sin

4 4i

และ 2i คือ 5

2 4cis

หรือ

5cos sin

2 4 4i

7.5.3 กำรหำรำกจ ำนวนเชิงซ้อน การหารากอันดับที่ n ใด ๆ ของจ านวนเชิงซ้อนที่ก าหนดมาให้ กล่าวคือ เมื่อก าหนด

จ านวนเชิงซ้อน w โดยที่ 0w และจ านวนเต็มบวก 1n มาให้แล้ว ราก (root) ที่ n ของ w ถ้า a bi สอดคล้องสมการ

na bi w โดยการค านวณหารากของจ านวนเชิงซ้อน มีวิธีการ

ค านวณดังนี้ cos sinnw r n i n จ านวนเชิงซ้อน 2 จ านวนเท่ากัน แสดงว่า ทั้งค่ามอดุลัสและค่าอาร์กิวเมนต์ต้องเท่ากัน จึง

สรุปว่า 1

2 2cos sinn

k ka bi r i

n n n n

โดยที่ 0,1,2, , 1k n

83


หรือ 1

2n

ka bi r cis

n n

โดยที่ 0,1,2, , 1k n

ตัวอย่ำงที่ 7.13 จงหารากท่ี 2 ของสมการ 2 2 3i

วิธีท ำ มอดุลัส 22

2 2 3 16 4r

2 3tan 3

2

b

a

จะได้ 4240

3

ดังนั้น 4arg 2 2 3

3i

รากที่ 2 ของสมการ 2 2 3i ที่ต้องการคือ

รากที่ 1 กรณี 0;k 4

2 0 232 22 2 3

cis cis

1 32

2 2i

1 3i

รากที่ 2 กรณี 1;k 4

2 1 532 22 2 3

cis cis

1 32

2 2i

1 3i ดังนั้น รากที่ 2 ของสมการ 2 2 3i คือ 1 3i และ 1 3i ตัวอย่ำงที่ 7.14 จงหารากท่ี 3 ของ i วิธีท ำ i สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วได้ดังนี้

0 1 cos sin2 2

i i i

มอดุลัส 2 2

0 1 1 1r

0902

84


ดังนั้น arg2

i

รากที่ 3 ของสมการ i ที่ต้องการคือ

รากที่ 1 กรณี 0;k 2 02

3 3 6cis cis

3

2 2

i

รากที่ 2 กรณี 1;k 2 1 52

3 3 6cis cis

3

2 2

i

รากที่ 3 กรณี 2;k 2 2 32

3 3 2cis cis

i

ดังนั้น รากที่ 3 ของสมการ i คือ 3,1 3

2 2

ii และ i

สรุป

จ านวนเชิงซ้อนมีระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดเชิงขั้ว

แบบฝึกหัด

จงหาค่าสัมบูรณ์และอาร์กิวเมนต์ของจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1. 2 cos sin8 8

i

2. 2 cos sin8 8

i

3. 2 cos sin8 8

i

85


4. 2 sin cos8 8

i

5. 1 3i

6. 1

1

i

i

จงหารากของสมการ

1. 2 16 0x

2. 2 4 9 0x x จงหาค่าของ

1. 6

1 i

2. 5

1 3i

3. 4

2 2i

แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 7¸šทที่...

Documents