แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 1¸šทที่...

6

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ

แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 1

หัวข้อเนื้อหำประจ ำบท 1.1 บทน า

1.2 จ านวน การนับและฐาน

1.3 ชื่อจ านวน

1.4 การนับและตัวเลข

ผลกำรเรียนรู้ที่คำดหวังประจ ำบท อธิบายโครงสร้างการเกิดระบบจ านวนโดยอาศัยหลักทฤษฎีการเกิดระบบจ านวน วิธีกำรสอนและกิจกรรม

1. บรรยายประกอบเอกสารและใช้เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ Ipad หรือ Tablet 2. บรรยาย ยกตัวอย่างประกอบ อภิปรายและตอบข้อค าถาม 3. ให้นักศึกษาท าแบบฝึกหัดบางข้อในชั้นเรียนทั้งรายบุคคลและรายกลุ่มแล้วน าเสนอหน้าชั้น 4. มอบหมายให้นักศึกษาไปท าแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน

สื่อกำรสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาระบบจ านวน 2. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ IPad และ Tablet

กำรวัดผลและประเมินผล 1. ประเมินจากการตอบค าถาม การอภิปรายและรายงานหน้าชั้น 2. ประเมินจากการตรวจแบบฝึกหัดงานที่ได้รับมอบหมาย 3. ประเมินจากความรับผิดชอบ ซื่อสัตย์และตรงต่อเวลา 4. ประเมินจากการทดสอบย่อย

7


บทท่ี 1 จ ำนวน กำรนับ และตวัเลข

ระบบจ านวนเป็นเรื่องของธรรมชาติที่มนุษย์ต้องการใช้ในการนับจ านวน เพ่ือจะได้ทราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้ประโยชน์ในชีวิตประจ าวันได้มากมายมหาศาล ในบทนี้จะกล่าวเกี่ยวกับจ านวน การนับและตัวเลขที่เป็นเหตุการณ์ที่ส าคัญในประวัติศาสตร์ของมนุษย์ และมีการเปลี่ยนแปลงมาถึงยุคปัจจุบัน

1.1 บทน ำ แนวคิดครั้งแรกที่เกี่ยวกับจ านวน (number) ของมนุษย์เรานั้นเริ่มตั้งแต่สมัยใด ไม่มีใครทราบแน่ชัด อาจนับย้อนหลังได้ตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ หากกลับไปพิจารณามนุษย์สมัยยุคหินเก่า (Old stone age) หรือที่เรียกว่า Paleolithicum ซึ่งเป็นเวลาผ่านมานับร้อยนับพันปี มนุษย์อาศัยในถ้ า ความเป็นอยู่ของมนุษย์ต่างจากสัตว์แต่เพียงเล็กน้อย แรงงานของมนุษย์ส่วนใหญ่ใช้เพ่ือรวบรวมอาหารในถิ่นที่พอจะหาได้เท่านั้น จากนั้นมาอาวุธถูกสร้างขึ้นเพ่ือล่าสัตว์และการตกปลา ภาษาพูดเริ่มพัฒนาการขึ้นเพ่ือใช้เป็นสื่อสารของการติดต่อระหว่างบุคคล ในปลายยุคหินเก่าความเป็นอยู่ของมนุษย์ดีขึ้น มนุษย์รู้จักแบบรูป รูปปั้น และการเขียนภาพ ภาพเขียนในถ้ าในประเทศฝรั่งเศสและสเปนราว ๆ 15,000 ปีมาแล้วเป็นประจักษ์พยานที่ส าคัญแสดงว่ามนุษย์เริ่มเข้าใจในแบบรูป (form) แล้ว การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยน าไปสู่ความเข้าใจเรื่องค่าของตัวเลข (numeral) และในที่สุดจากการรวบรวมอาหารก็เปลี่ยนเป็นผลิตผล จากการล่าสัตว์และตกปลาก็กลายเป็นการเกษตร จากการเปลี่ยนแปลงขั้นมูลฐานนี้ปฏิวัติทัศนคติที่เฉยชาของมนุษย์ให้กลับกระฉับกระเฉงขึ้น ซึ่งเป็ นอีกก้าวหนึ่งที่น ามนุษย์ไปสู่ยุคหินใหม่ (new stone age) หรือที่เรียกว่า ยุคหินใหม่ (Neolithicum) เหตุการณ์ที่ส าคัญอีกอย่างหนึ่งในประวัติศาสตร์ของมนุษย์เกิดขึ้นประมาณหมื่นปีมาแล้วเมื่อแผ่นน้ าแข็งที่ปกคลุมยุโรปและเอเชียเริ่มสลายก่อให้เกิดที่ว่างเกิดเป็นป่าและทะเลทราย พวกพเนจรหาอาหารเริ่มจะหมดสิ้นไปเกิดชาวนาแทนพวกหาปลาและล่าสัตว์ชาวนาเหล่านี้จะอยู่ในที่แห่งหนึ่งนานเท่าที่พ้ืนดินยังอุดมสมบูรณ์อยู่ มนุษย์เริ่มสร้างที่พักอาศัยให้ถาวรหมู่บ้านเริ่มเกิดขึ้นเพ่ือกันภัยทั้งศัตรูและภูมิอากาศหมู่บ้านเหล่านี้ค้นพบในสมัยหลังแสดงให้เห็นว่าการช่างฝีมือเช่นเครื่องปั้นดินเผางานไม้เริ่มพัฒนาการขึ้นเพราะอิทธิพลของความหนาวเย็นก่อให้เกิดการสะสมอาหารไว้ใช้เมื่อถึงคราวขาดแคลนมนุษย์รู้จักท าขนมปัง ต้มเบียร์ รู้จักหลอมทองแดงและบรอนซ์ การประดิษฐ์เบื้องต้นเริ่มเกิดขึ้น เช่น ล้อของพาหนะต่าง ๆ เรือ บ้านเรือน ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นเป็นที่น่าสังเกตว่าการ

8


เปลี่ยนแปลงเหล่านี้เกิดขึ้นในที่เฉพาะแห่งเท่านั้นมิได้กระจายไปยังท้องถิ่นอื่นด้วยตัวอย่างง่ายๆที่เห็นได้ชัดก็คืออเมริกันอินเดียนไม่รู้จักใช้ล้อเลื่อน ทั้ง ๆ ที่ท้องถิ่นใกล้เคียงใช้กันแล้ว การค้าขายเริ่มเกิดขึ้นระหว่างหมู่บ้านต่อหมู่บ้านจากระยะทางใกล้ ๆ จนถึงระยะทางนับร้อยไมล์ห่างกัน การค้นพบวิธีหลอมทองแดงและบรอนซ์ เพ่ือท าเครื่องใช้และอาวุธช่วยกระตุ้นให้การค้าเจริญขึ้นและการค้านี้แหละช่วยให้เกิดภาษีอีกทอดหนึ่งถ้อยค าภาษาก็เป็นรูปธรรมเสียเป็นส่วนใหญ่ มีนามธรรมเพียงเล็กน้อยเท่านั้น แต่ก็ยังมีค าที่แสดงตัวเลขและแบบรูป (form) อยู่ด้วย

1.2 จ ำนวน กำรนับ และฐำน ในสมัยก่อนประวัติศาสตร์ มนุษย์ยังไม่มีการท าไร่ท าสวน อุตสาหกรรมหรือการค้า มนุษย์หาอาหารโดยการล่าสัตว์ มนุษย์ไม่รู้จักเขียนและอ่าน ไม่รู้จักจ านวนความคิดหรือความรู้สึกเกี่ยวกับจ านวนที่มนุษย์รู้จักก่อนอ่ืนก็คือค าว่า “มากกว่า” (more) และ “น้อยกว่า” (less) หากเราเอาสิ่งอ่ืนมาเพ่ิมกับสิ่งที่มีอยู่มนุษย์จะรู้สึกว่าสิ่งนั้นมากกว่าแต่หากเอาออกไปจากสิ่งที่มนุษย์มีอยู่จะรู้ว่าสิ่งนั้นน้อยกว่า ความคิดเช่นนี้หรือความรู้สึกชนิดนี้ไม่แต่เพียงมนุษย์โบราณจะรู้สัตว์บางประเภทก็มีความรู้สึกอย่างนี้เหมือนกัน จากนั้นความคิดเกี่ยวกับจ านวนเริ่มพัฒนาการขึ้น มนุษย์โบราณเริ่มรู้ หนึ่งและสอง แต่ไม่รู้จักสามหรือสี่ หรือจ านวนอื่นๆท่ีสูงกว่านั้น มนุษย์ในสมัยนั้นนับได้สูงสุดเพียงสองจ านวนที่มากกว่านั้นเขานับว่ามาก (many) ต่อจากสมัยนั้นมา มนุษย์รู้จักปลูกพืชและเลี้ยงสัตว์มีผลผลิตจากสิ่งประดิษฐ์เมื่อเกิดการซื้อขาย มนุษย์เกิดความจ าเป็นต้องชั่ง นับสิ่งของขึ้น มนุษย์จ าเป็นต้องหาและตั้งชื่อจ านวนใหม่ๆและในขณะเดียวกันก็เริ่มหัดเขียนตัวเลขด้วย ไม่มีที่สิ้นสุดในจ านวนนับที่มีอยู่ จ านวนที่ใช้อยู่จะเพ่ิมขึ้นเรื่อยๆคล้ายขั้นบันได หนึ่งก็เหมือนขั้นแรก สองก็คือขั้นที่สอง การนับจึงเหมือนกับการขึ้นบันไดเมื่อหมดจ านวนนี้ก็มีจ านวนอ่ืน ๆ ต่อไปอีกไม่มีที่สิ้นสุด ในปัจจุบันยังเข้าใจค าว่า “จ านวน” (number) และ “ตัวเลข” (numeral) สับสนกันอยู่มากที่แท้จริงแล้วจ านวนหมายถึงปริมาณท่ีใช้นับอาจเป็น หก สิบห้า สองร้อย หรือสามพัน ส่วนตัวเลขนั้นเป็นสัญลักษณ์ท่ีเขียนแทนจ านวน เช่น 6 ๖ หรือVI ก็ได้ คนต้องการชื่อส าหรับจ านวนใหม่ๆที่คิดขึ้น หากเรียกชื่อใหม่ส าหรับทุกจ านวนที่คิดขึ้นใหม่แล้ว ในไม่ช้าก็ไม่สามารถหาชื่อส าหรับจ านวนใหม่ๆที่คิดขึ้นได้เพ่ือแก้ความล าบากอันนี้มนุษย์เริ่มนับสิ่งของเป็นหมู่ย่อย ๆ มนุษย์สามารถเรียกชื่อจ านวนใหญ่ๆโดยเอาชื่อของจ านวนน้อย ๆ รวมเข้าด้วยกัน จากการศึกษาชนเผ่าในออสเตรเลีย ไม่มีเผ่าใดเลยที่นับได้ถึงสี่ บางชนเผ่า เช่น ชนออสเตรเลียเผ่า Kamilaroi นับหนึ่งว่า mal สองว่า bulan สามว่า guliba ไม่มีชื่อเฉพาะส าหรับสี่

9


เขาเรียกสี่ว่า bulan bulan ซึ่งหมายถึงสองกับสอง ห้าเรียก bula guliba ซึ่งหมายถึงสองกับสาม ส่วนหกนั้นเรียกว่า guliba-guliba เป็นต้น เมื่อมนุษย์มีความจ าเป็นจะต้องนับ กระบวนการนับจึงจ าเป็นจะต้องจัดให้มีระบบดียิ่งขึ้น ซึ่งท าได้โดยจัดจ านวนให้เป็นกลุ่มย่อย ๆ ขนาดของกลุ่มหรือหมู่ (group) จะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับกระบวนการจับคู่ (correspondence) ที่เกี่ยวข้องด้วยหรืออาจพูดอีกอย่างหนึ่งได้ดังนี้ สมมุติว่ามีจ านวน b จ านวนหนึ่งซึ่งเลือกเอาเป็นฐาน (base) ส าหรับจ านวน b นี้บางทีก็เรียกว่า Radix หรือ Scale จากนั้นก็มีชื่อเรียกจ านวนตั้งแต่ หนึ่ง สอง สาม … เรื่อย ๆ ไปจนถึง b ส่วนจ านวนที่มากกว่า b ก็เรียกชื่อโดยอาศัยผลรวมของจ านวนน้อยใน Scale นั้น ไม่ว่าจะใช้ Scale อะไรก็ตาม จ าต้องมีตัวเลขเท่ากับจ านวนของ Scale นั้น เช่นระบบจ านวนในปัจจุบันนี้เป็นระบบ Scale 10 ตัวเลข จึงมี 10 ตัวคือ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ตัวเลขแต่ละตัวนี้เรียกว่า Digit หากใช้ Scale 8 ตัวเลขที่จะใช้คงมีเพียง 0 1 2 3 4 5 6 7 เท่านั้น เนื่องจากนิ้วมือของมนุษย์ช่วยให้กระบวนการจับคู่เป็นไปด้วยความง่ายดาย มนุษย์โบราณจับคู่ของสิ่งหนึ่งกับนิ้วมือนิ้วหนึ่ง ของสองสิ่งกับนิ้วสองนิ้ว อย่างนี้เรื่อยๆไป มนุษย์ปัจจุบันนิยมนับสิ่งของเป็นหมู่ย่อยๆ นิยมรับสิ่งของในหมู่ของสิบ เช่น สิบห้า หมายถึง สิบ กับ ห้า สามสิบ หมายถึง สามเท่าของสิบ เป็นต้น จึงเห็นได้ชัดว่ามนุษย์ปัจจุบันส่วนใหญ่ใช้ 10 เป็นฐานหรือที่เรียกว่า Scale 10 ปัญหาที่ว่าท าไมจึงนับสิ่งของใน Scale 10 เหตุผลง่ายๆ ก็คือเพราะเรามีนิ้วมือสิบนิ้วนั้นเอง ในสมัยก่อนเมื่อคนต้องการนับจ านวนคนก็เอาสิ่งของจับคู่กับนิ้วมือ เมื่อหมดสิบนิ้วก็เอากิ่งไม้ขีดพ้ืนไว้ที หนึ่ง และเริ่มนับต่อไป จึงอาจเรียกจ านวนนี้ว่า “จ านวนสองมือ”( two-handed number) ก็น่าจะได้ ชนบางพวกใช้ระบบ “จ านวนมือเดียว” หรือที่เรียกว่า one hand number เพราะเหตุว่ามือหนึ่งมีห้านิ้วเขานับสิ่งของในหมู่ของห้า ชนพวกนี้ได้แก่โรมันซึ่งอาศัยอยู่ในอิตาลีเมื่อ 2000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวโรมันใช้ I แทนหนึ่งและ V แทน ห้า ดังนั้น หก จึงเขียนว่า VI ซึ่งหมายถึง ห้ากับหนึ่ง สมัยก่อนมนุษย์ยังไม่สวมรองเท้าจึงสามารถใช้นิ้วเท้าช่วยในการนับได้ชนพวกนี้อาจเรียกว่าพวกแบบ Barefoot arithmetic เขานับสิ่งของในหมู่ของยี่สิบ นั้นก็หมายความว่าเขาใช้ทั้งนิ้วมือและนิ้วเท้าในการนับชนพวกนี้ ได้แก่ มายา (Mayas) ซึ่งครองเม็กซิโกเม่ือหลายร้อยปีก่อน มีหลักฐานปรากฏชัดว่า สอง สาม สี่ ก็นิยมใช้เป็นฐานของมนุษย์โบราณตัวอย่างเช่น ชาวพ้ืนเมืองของกรีนแลนด์นับเพียงแต่ หนึ่ง สอง สองกับหนึ่ง สองเท่าของสอง มาก (one, two ,two and one , two twos, much)122 แอฟริกันปิกมี่บางเผ่านับ หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า และ หก ว่า a, oa, ua, oa-oa, oa-oa-a, oa-oa-oa พวก Tierra del Fuego นิยมใช้ฐานสาม พวกอเมริกาใต้บางเผ่าใช้ฐานสี่ในการนับ

10


Quinary Scale หรือระบบจ านวนฐานห้า ก็ใช้กันอย่างกว้างขวางชนบางเผาของอเมริกาใต้นับโดยมือดังนี้ หนึ่ง สอง สาม สี่ มือ มือกับหนึ่ง หรือ one, two, three, four, hand, hand and one พวก Yukaghris ในไซบีเรีย ใช้ฐานผสมโดยนับดังนี้ one, two, three, three and one, five, two three, one more, two fours, ten with one missing, ten คนบ้านนอกของเยอรมันใช้ปฏิทินที่ใช้ฐานห้าจนถึงปี ค.ศ. 1800 มีหลักฐานหลายอย่างที่แสดงว่าสิบสอง ก็เคยใช้เป็นฐานในการนับ สิบสอง นี้มีความสัมพันธ์กับการนับและวัดเป็นอย่างมาก เช่น จ านวนของเดือนในปฏิทินทางจันทรคติ สิบสองนิ้วเป็น หนึ่งฟุตหรือแม้แต่ หนึ่งโหลก็มีสิบสองชิ้น Vigesimal Scale หรือ scale 20 ก็ใช้กันอย่างกว้างขวางนอกจากพวกมายาแล้วฝรั่งเศสโบราณก็นับทีละ ยี่สิบ เรียกยี่สิบว่า Vingt แม้แต่ในปัจจุบัน แปดสิบ ฝรั่งเศสเรียกว่า Quatre Vingt ซึ่งหมายถึง four twenties และ เก้าสิบเรียกว่า Quatre vingt dix ซึ่งหมายถึง four twenties and ten ชาวกรีนแลนด์ใช้ หนึ่งคน (one man) แทน ยี่สิบและสองคน (two man) แทน สี่สิบ Sexagesimal scale หรือ scale 60 ใช้กันในสมัยโบราณเช่นชาวบาบิโลเนียเพราะเหตุว่า หกสิบมีความสัมพันธ์กับการนับ หกสิบวินาทีเป็น หนึ่งนาทีและ หกสิบนาทีเป็น หนึ่งชั่วโมง

1.3 ชื่อจ ำนวน ชื่อจ านวนเช่น หนึ่ง สอง สาม เป็นถ้อยค าชุดแรกที่มนุษย์พูดได้หลังจากที่เริ่มหัดพูด ชื่อจ านวนนี้มนุษย์ใช้พูดเสมอจึงเห็นว่าชื่อจ านวนมีบทบาทที่ส าคัญอย่างยิ่งในชีวิตประจ าวันของมนุษย์ ชื่อจ านวนบางครั้งอาจพูดได้ว่าเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น แม้ว่าเวลาจะผ่านมานับพันพันปีก็ตามมนุษย์โบราณออกเสียงในล าคอว่า ung (อัน) และมีความหมายว่า หนึ่ง ไม่เป็นการแปลกอะไรที่สันนิษฐานว่าค านี้ เพ้ียนมากลายเป็นค าว่า one หรือหนึ่ง ในภาษาไทย ตารางข้างล่างแสดงจ านวนนับนั้นถ้าหากใช้เรียกชื่อสิ่งเดียวกันแล้ว แม้จะต่างชาติต่างภาษาก็มีความหมายคล้ายกันมากพอสมควรช่องที่เว้นว่างไว้แสดงว่าชื่อนั้นภาษานั้นไม่คล้ายกับภาษาอ่ืน

อังกฤษ (ปัจจุบัน)

ฝรั่งเศส เยอรมัน อังกฤษ (โบราณ)

ลาติน กรีก

one Un ein an unus oinos two Deux zewi two duo duo

three Trois drei threo tres treis four --- vier feower --- --- five --- funf fif --- ---

11


six Six sechs -- sex hex seven Sept sieben seofon septem hepta eight huit acht ahta octo okto night neuf neun nigon novem ennes ten -- zehn fien decem deka

ตารางที่ 1.1 จ านวนนับ ต่างชาติต่างภาษา

สังเกตว่าจ านวนที่เท่ากัน ชื่อเรียกจะคล้ายกันแม้จะต่างชาติต่างภาษากัน อินเดียถือว่าเป็นบ่อเกิดของอารายธรรมในสมัยโบราณ ประชาชนส่วนใหญ่พูดภาษาสันสกฤต ชนบางพวกของอินเดีย ได้ท่องเที่ยวไปทางตะวันตก ไปทางกรีซและอิตาลีจากนั้นก็เข้าไปสู่ยุโรปกระจายการออกไปทั้งทางเหนือและตะวันตก ภาษาพูดในประเทศเหล่านี้เรียกชื่อต่างกัน เช่น ลาติน กรีก เยอรมันเป็นต้น แต่นับภาษาก็รวมภาษาเหล่านี้เข้าเป็นพวกเดียวกันและเรียกว่าภาษาอินโดยูโรเปียน (Indo-European) ที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะจุดเริ่มต้นของภาษาเหล่านี้มาจากสันสกฤตของอินเดียเดียวกันนั่นเอง ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ค าว่า “เจ็ด” ในภาษาสันสกฤตว่า สัปตะ จากตาราง ที่ 1.1 อาจพอมองเห็นได้ว่าค าว่าเจ็ด ในภาษาอ่ืนวัฒนาการจากค าว่า “สัปตะ”ในภาษาสันสกฤตทั้งนั้น จ านวน “หนึ่ง” นั้นมนุษย์โบราณหรือว่าแตกต่างไปจากจ านวนอ่ืน ๆ ฮีบรูและอาหรับเริ่มต้นนับจากสอง ค าว่า “หนึ่ง” สงวนสิทธิ์ไว้ส าหรับพระผู้เป็นเจ้าเท่านั้นอาหรับเรียกหนึ่งว่า u-khd ซีเรียนั้นเรียกว่า kh-ad แม้แต่ในยุโรปสมัยก่อน ก็ไม่นับศูนย์และหนึ่ง ว่าเป็น เลขโดด (digit) คือตัวเลขตัวหนึ่งตัวใดก็ได้ค าว่า เลขโดด นี้ภาษาละตินเรียกว่า digiti ซึ่งแปลว่านิ้วเพราะมนุษย์เริ่มนับด้วยนิ้วมือของตนเองนั่นเองเพราะถือว่าศูนย์ไม่เป็นจ านวนและหนึ่งก็เป็นบ่อเกิดของจ านวนอ่ืนๆ ฉะนั้นเลขโดดในสมัยก่อนจึงมีตัวเลขเพียง 8 ตัวเท่านั้นคือจาก 2-9 ปัจจุบันนี้เรานับ 0 และ1 เป็นเลขโดดด้วย

ชนบางชาติถือว่า “สอง” แตกต่างไปจากจ านวนอ่ืน กรีกมีวิธีพิเศษแสดงว่าก าลังพูดถึงของสองสิ่ง ตัวอย่างเช่น ค าว่าพลเมืองอังกฤษเรียกว่า citizen กรีกเรียกว่า polites พลเมืองสองคนเรียกว่า polita ถ้ามากกว่าสองคนเรียกว่า politai พยางค์สุดท้ายแสดงว่าเป็นกี่คนกันแน่ ฮีบรูก็ใช้อย่างนี้เหมือนกันพหูพจน์มีมากกว่าสองลงท้ายด้วย im ซึ่งออกจะดูเป็นเรื่องที่สับสนมากพอสมควร

จ านวนที่ใช้นับ เช่น หนึ่ง สอง สาม เรียกว่า จ านวนนับ (cardinal number) ส่วนล าดับที่เช่นที่ หนึ่ง ที่ สอง เรียกว่า ล าดับที่ (ordinal number) เป็นความจริงที่น่าประหลาดว่ามีภาษาหลายภาษาท่ีค าว่า หนึ่ง กับ ที่หนึ่ง สอง กับ ที่สอง ไม่มีส่วนคล้ายกันเหมือนในภาษาไทยของเราเลย เช่น

12


English One first German Ein der erste

Latin Unus primus Russian od-in pervi Hebrew akh-d rishon French un premier Italian uno primo

ตารางที่ 1.2 ล าดับที่ของจ านวนนับ

ในท านองเดียวกัน สอง กับที่สอง ก็ไม่ส าคัญกันเลย มนุษย์ในระยะต่อมาเพ่ิงจะเห็น

ความสัมพันธ์ระหว่างสามกับท่ีสาม (three and third) และสี่กับท่ีสี่ (four and fourth) ลองกลับไปดูตารางในตารางที่ 1.1 ในสี่ค าท้ายของภาษาละติน อาจนึกถึงสี่เดือนสุดท้าย แต่เดือนที่ เก้า หรือ September เริ่มต้นด้วยค าว่า Septem ซึ่งแปลว่าเจ็ด เดือนที่สิบ หรือ october เริ่มต้นด้วยค าว่า octo ซึ่งแปลว่าแปดและ November ก็ท านองเดียวกัน ที่เป็นเช่นนั้นก็เพราะว่าเดือนไหนจะเป็นเดือนแรกนั้น แล้วแต่ประชาชนในท้องถิ่นจะเลือกกันเองไทยเราก็เคยนับเมษายนเป็นเดือนแรกในกลุ่มประเทศลาตินซึ่งรวมทั้งยุโรปตะวันตกเขาถือเอาเดือนมีนาคมเป็นเดือนแรกจึงไม่แปลกอะไรที่ September เป็นเดือนที่เจ็ด

1.4 กำรนับ และตัวเลข ไม่ทราบแน่นอนว่า มนุษย์เริ่มรู้จักการถ่ายทอดความคิดของตัวเองให้กับคนอ่ืนโดยใช้ค าพูด

เป็นสื่อนั้นนานมากน้อยเพียงใด ทราบแต่เพียงว่ามนุษย์เรียนรู้วิธีใช้ถ้อยค าหรือพูดได้ก่อนการเรียนรู้จักวิธีเขียนนับด้วยพันปี ในท านองเดียวกันมนุษย์ก็รู้จักชื่อของจ านวนมาช้านานแล้วก่อนที่จะรู้จักใช้สัญลักษณ์แทนชื่อจ านวนนั้น ตัวอย่างเช่น มนุษย์รู้จักค าว่า “สอง” ก่อนที่จะรู้จักเลข “2” มนุษย์เริ่มใช้ตัวเลขตั้งแต่เมื่อใดและที่ใดค าถามนี้ดูเหมือนจะตอบยากเกินไป แต่หากหันกลับไปมองประวัติศาสตร์อีกครั้งหนึ่งจะเห็นว่าอียิปต์ซึ่งตั้งอยู่บนสองฝั่งแม่น้ าไนล์ประมาณ 3000 ปีก่อนคริสต์ศักราชหรือกว่านั้นเคยมีความเจริญรุ่งเรืองมีย่านตลาดการค้ามีย่านธุรกิจมีรัฐบาลปกครองรัฐจ าเป็นต้องเก็บบันทึกดุลการค้าซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวเลขจ านวนมากๆ ดังนั้นชาวอียิปต์จึงจ าเป็นต้องคิดหาตัวเลขซึ่งสามารถเขียนแทนจ านวนถึงแสนล้านก็ได้

13


สัญลักษณ์ระบบตัวเลขคิดค้นที่ถูกน ามาใช้แทนตัวเลข ยกตัวอย่างเช่นชาวอียิปต์ใช้สัญลักษณ์ตัวเลขต่อไปนี้

ภาพที่ 1.1 สัญลักษณ์ชาวอียิปต์

ที่มำ : Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Maine: J. Weston Walch, 1964, page 9.

ชาวจีนมีระบบตัวเลขที่เก่าแก่ที่สุดที่อยู่บนพ้ืนฐานของไม้ที่วางอยู่บนโต๊ะเพ่ือใช้เป็นตัวแทน

ในการค านวณ ดังนี้

ภาพที่ 1.2 ตัวเลขเก่าแก่ของชาวจีน

ที่มำ : David Smith and Jekuthiel Ginsburg, Numbers and Numerals. W. D. Reeve, 1937, page 11.

14


จากประมาณ 450 ปีก่อนคริสตกาล ชาวกรีกมีหลายวิธีที่จะเขียนตัวเลขของพวกเขา วิธีที่พบมากที่สุดคือการใช้ตัวอักษรตัวแรกในสิบตัวอักษรของพวกเขา แยกระหว่างตัวเลขและตัวอักษร โดยอักษรแต่ละตัวดังนี้

ภาพที่ 1.3 ตัวอักษรชาวกรีก


ระบบตัวเลขโรมันยังคงใช้มาจนถึงปัจจุบันแม้ว่าสัญลักษณ์ที่มีการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่าน

ไป ชาวโรมันมักจะเขียนเป็นสี่ IIII แทน IV ทุกวันนี้เลขโรมันที่ใช้แทน ตัวเลขบทของหนังสือ ในรูปแบบที่เก่าแก่ที่สุดของค่าตัวเลขโรมันคือ

ภาพที่ 1.4 ตัวอักษรชาวโรมัน


เลขนิ้วมือ ถูกน ามาใช้โดยชาวกรีกโบราณ ชาวโรมัน และชาวยุโรปในยุคกลางและในปัจจุบัน

ยังคงเห็นเด็กเรียนรู้การนับโดยใช้นิ้วมือ ระบบการใช้นิ้วมือแบบเก่าเป็นดังนี้

15


ภาพที่ 1.5 สัญลักษณ์นิ้วมือ

ที่มำ : Tobias Dantzig, Number: The Language of Science. Macmillan Company, 1954, page 2.

จากการนับ ฝูง สัญลักษณ์นิ้วมือ ระบบตัวเลขของเราในปัจจุบันมีวิวัฒนาการมาจากเลขฮินดู

ที่ใช้ ทุกวันนี้ จาก 2400 ปีก่อนคริสตกาลยังคงใช้บางส่วนของระบบตัวเลขและสัญลักษณ์แบบเก่า ในคริสต์ศักราช2140 เราจะยังคงนับโดยใช้นิ้วมือหรือไม่

ภาพที่ 1.6 การเปลี่ยนแปลงของตัวเลขตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงรูปแบบปัจจุบัน

ที่มำ : Esther Ortenzi, Numbers in Ancient Times. Maine: J. Weston Walch, 1964, page 23.

16


สรุป

แต่ละชาติแต่ละภาษา มีระบบค า ระบบภาษาแต่ละตัวเอง แต่ภาษาคณิตศาสตร์ เป็นภาษาสากลก็มีลักษณะการใช้ค า สัญลักษณ์แทนค า และภาษาที่แตกต่างกันออกไป แต่สิ่งที่ท าให้เข้าใจตรงกันคือ การนับ ตัวเลข แทนสิ่งของ ที่ต้องการ สื่อความหมาย มนุษย์โบราณเขียนเลขหนึ่งคล้าย ๆ เลข “1” ตัวเลขนี้น่าจะมาจากนิ้วมือที่ชี้ขึ้น ซึ่งดูเหมือนจะเป็นวิธีธรรมชาติที่ง่ายที่สุดที่แสดงว่าหมายถึง “หนึ่ง” สัญลักษณ์แทน 1 นี้อาจใช้ก้อนกรวดหนึ่งก้อนหรือลูกบาศก์หนึ่ง ลูกแทนก็ได้ แต่

บางครั้งก็เขียนด้วยเส้นตรงลักษณะอย่างนี้ ซึ่งแทนท่อนไม้ท่อนหนึ่ง

แบบฝึกหัด

1. จงอธิบายว่าจ านวนและตัวเลขแตกต่างกันอย่างไร

2. จงยกตัวอย่าง การเขียนจ านวนของประเทศท่ีสนใจ มา 1 ประเทศ

แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 1¸šทที่...

Documents