บทท 8

กลศาสตรของของไหล (Fluid mechanics)

บทนา

ของไหล คอ สสารทสามารถไหลไดตามธรรมชาต และมรปรางเปลยนแปลงไปตาม

ภาชนะทบรรจ แบงไดเปนสองชนด คอ ของเหลว (Liquid) และกาซ (Gas) ของเหลวโดยทวไปจะม

ปรมาตรคงทและรปรางจะเปลยนแปลงตามภาชนะทบรรจภายใตความโนมถวงของโลก สวนกาซ

เมอบรรจอยในภาชนะและประกอบกนเปนของเหลวจะอยตดกนเสมอ แตในสภาพทเปนกาซ

โมเลกลตาง ๆ จะแยกจากกนเปนอสระ เราจะไดศกษาตอไปในทฤษฎจลนของกาซระหวาง

ของเหลวและกาซมขอแตกตางกนทเหนไดชดอยางหนง คอ การเปลยนแปลงปรมาตรภายใตแรง

กดดนภายนอก เมอทงของเหลวและกาซอยในภาชนะปดสนท (Compressibility) เชน เมอของเหลว

อยในกระบอกสบจะทมลกสบปดสนทพอด เมอออกแรงภายนอกกดลกสบอยางรนแรง ปรมาตร

ของของเหลวในกระบอกสบจะลดลงเพยงเลกนอย จนถอไดวาปรมาตรเทาเดม จงแยกวาของไหล

ทไมสามารถกดใหหดได (Incompressible fluid) สาหรบกาซเมอออกแรงเพยงเลกนอยตอลกสบ

ปรมาตรของกาซภายในลกสบจะเปลยนแปลงอยางงายดายและเหนไดชด จงเรยกกาซวาเปน

ของไหลทสามารถกดใหหดได (Compressible fluid) ของไหลทกชนดเมอมการเคลอนทจะเกด

แรงเสยดทานภายในชนทประกอบเปนของไหลเอง ซงกคอแรงเสยดทานระหวางโมเลกลของไหล

ทอยนงเมอมวตถเคลอนทผานกจะมแรงตานทานการเคลอนทของวตถเกดขนเชนกน แรงดงกลาวน

เรยกวา แรงหนด(Viscous force) สมบตของของไหลททาใหเกดแรงหนดไดนเรยกวา ความหนด

(Viscosity)

8.1 สถตศาสตรของของไหล (Fluid static)

สถตศาสตรของของไหล เปนการศกษาคณสมบตของของเหลวและกาซทอยนง ณ

อณหภมปกต โดยจะศกษาเกยวกบความดนหลกของอารคมดส ความตงผว และความหนด

8.1.1 ความดนของของไหลและกฎของปาสคาล

แรงกระทาของระบบโมเลกลตอภายนอก ทมโมเลกลยดกนเปนของแขงหรอเปน

ของไหลกตามจะปรากฏเฉพาะทผวของสสารเทานน แรงทผวนถาเปนของแขงแรงนสามารถ

แสดงออกไดทกทศทางของพนทผวของของแขงนน แตสาหรบของของไหลหรอของเหลว แรงท

พนทผวจะเกดในทศทางตงฉากกบพนผวเทานน ทงนถาเกดแรงทไมตงฉากขนเมอใด ของเหลวนน

211

จะไมสมดลและจะไหลเปลยนรปทรงจนทาใหแรงนตงฉากกบพนผวจงจะเกดสมดลและรกษา

รปทรงไวได

ของไหลแตละชนดมแรงกระทาในแนวตงฉากตอพนผวมากหรอนอยเทาไร ขนอย

กบปรมาณของของไหลและพนผวทหอหมของไหลนนดวย ซงยากตอการเปรยบเทยบและกลาว

อาง ดงนนจงไดกาหนดคาทสามารถแสดงออกในเชงทดแทนแรงกระทาไดเปนคาความดน

(Pressure, P) โดยนยามความดน คอ ขนาดของแรงกระทาในแนวตงฉากกบพนผวตอหนงหนวย

พนผวนน ถาแรงกระทาเปน F และพนทเปน A เราสามารถเขยนสมการความดนไดเปน

P = AF

…..(8-1)

หนวยของความดน คอ N/m2 แตอาจจะบอกเปนบรรยากาศ (atm) ปาสคาล (Pa)

บาร (bar) ทอร (Torr) หรอมลลเมตรของปรอท โดยกาหนดความสมพนธดงน

ความดน 1 บรรยากาศ = 760 mm.Hg

ความดน 1 บรรยากาศ = 1.013 105 N/m2

ความดน 1.013 105 N/m2 = 1 bar

ความดน 1 N / m2 = 1 Pa

ความดน 1 mm.Hg = 1 Torr

สาหรบของไหลทมพนผวอยในจาพวกรปทรงธรรมดา การหาคาความดน

จะเหมาะสมขน ถาใชอนพนธของฟงกชน คอ

P = A

Fitlim

0A ΔΔ

Δ =

dAdF

…..(8-2)

โดยของไหลจะมการเปลยนแปลงความหนาแนนหรอปรมาตร เมอม

การเปลยนแปลงความดนและอณหภมของของไหลนน ดงนนการกาหนดความหนาแนนของของ

ไหลทกครง จะตองกากบดวยวาคานนเปนความหนาแนนทความดนและอณหภมเทาไรดวย

ตวอยางท 8-1 นามนเครองมวล 1,430 kg บรรจในถงรปทรงกระบอกซงมเสนผาศนยกลาง 0.7 m

จงคานวณหาความดนทกนถงรปทรงกระบอกน

วธทา ขนาดของแรงทกระทาตอกนถง = 1,430 9.8 = 14,014 N

พนทกนถงรปทรงกระบอก = 4d 2π

= 4

)7.0( 2π

= 0.385 m3

212

ดงนนความดนทกนถง P = AF

= 385.0014,14

= 36,400 N/m2 ตอบ

ความดนในของไหล ณ จดใด ๆ

ความสมพนธระหวางความดน P ณ จดใด ๆ ในของไหลกบความสง y จากระดบ

อางองพจารณาดงน ถาของไหลอยในสภาวะสมดล ทกสวนภายในของไหลจะอยในสภาวะสมดล

ดวย พจารณาของไหลแผนบาง ๆ ดงรปท 8-1 ซงมความหนา dy มพนทผว A ของไหลม

ความหนาแนน มวลของของไหลสวนเลก ๆ นจะมคา Ady และมนาหนก dW = gAdy แรงท

กระทาตอชนของไหลอนเนองมาจากของไหลทลอมรอบยอมตงฉากกบผวชนของไหลนทกจด แรง

ลพธในแนวราบทกระทาตอชนของไหลยอมเทากบศนย สวนแรงดนขนจะอยตรงผวดานลาง คอ

PA และแรงดนลงหรอกดลงทผวดานบนของชนของไหล คอ (P + dP)A

รปท 8-1 แรงกระทาตอชนเลก ๆ ของของไหลทอยในสมดล

(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.396)

เนองจากของไหลชนนอยในสภาวะสมดล คอ ไมมการไหล ดงนน

Fy = 0

PA – (P + dP)A - gAdy = 0

dAdP

= -g …..(8-3)

เนองจาก และ g เปนบวกและมคาคงท ดงนน เมอ dy เพมขนหรอสวนสง

เพมขน dP จะมคาลดลง ถา P1 และ P2 เปนความดนทระดบ y1 และ y2 เหนอระดบอางองแลว

Integrated สมการท (8-3) ได

P2 - P1 = -g(y2 - y1) …..(8-4)

213

รปท 8-2 ตาแหนงความดนของของเหลวทตองการหา

(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.397)

เมอนาสมการท (8-4) นมาใชกบของเหลวทอยในภาชนะเปด ดงรปท 8-2

โดยกาหนดใหจดท 1 มความดน P และจดท 2 อยทผวของของเหลวทมความดนเทากบความดน

บรรยากาศ Pa ดงนน

Pa - P = -g(y2 - y1)P = Pa + gh …..(8-5)

เมอ h คอ ความลกของของเหลวเมอวดจากผวของของเหลว และจากสมการท

(8-5) ถาเพมความดน Pa เพมขนจะทาใหความดน P ทความลกใด ๆ เพมขนเปนจานวนเทากบ

ความดนทเพมขนน

รปท 8-3 ความดนไมเปลยนแปลงไปกบรปรางของภาชนะ

(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.397)

214

จากผลทไดจะเหนวาทความลก h ใด ๆ จะมคาแรงดนเทากนหมด ไมวาภาชนะนน

จะมรปรางเปนอยางไรกตาม ดงรปท 8-3 ซงกหมายความวาความดนทกระทาตอผนงของภาชนะท

ระดบเดยวกน และตงฉากกบพนผวเทากนเชนกน

จากการศกษาความดนของของไหลทจดใด ๆ น ปาสคาลเปนผพบ เรยกวา กฎของ

ปาสคาล (Pascal’s Law) มใจความวา “ถาออกแรงกดของไหลทอยในพนทผวกาหนดแนนอน แรง

กดนจะถกถายทอดไปทวทงของไหลนนโดยไมลดลงเลย และจะแสดงออกทผวหรอทผนงของ

ภาชนะดวยความดนทเทากนทกจด” เรานาหลกการนมาใชประโยชน คอ ทาเครองอดไฮดรอลก

ดงรปท 8-4

รปท 8-4 เครองอดไฮดรอลกพนทหนาตด A และ a

(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.397)

เมอออกแรงกดขนาด f ทลกสบเลกจะเกดความดน f/a สงผานไปตลอดทก ๆ สวน

ของของไหล ซงมตอไปยงลกสบใหญเกดแรงขนาด F = PA ในเมอความดนของทงสองลกสบ

เทากน ดงนน

P = af

= AF

หรอ F = aA

f …..(8-6)

จะเหนไดวาถาเราทาให F ใหญมากเทาใดกไดทปลอดภยและสะดวก แตถาลกสบ

ใหญมาก ๆ ตองใชของไหลมากและเสยเวลามาก เครองใชอาศยหลกการนกอยางเชน เกาอชาง

ทาฟน เกาอชางตดผม แมแรงยกของ หามลอไฮดรอลค เปนตน

215

ตวอยางท 8-2 ลกสบเลกและลกสบใหญในเครองไฮดรอลค ซงมขนาดเสนผาศนยกลาง 3 cm และ

24 cm ตามลาดบ ถาออกแรงกระทาทลกสบเลก 600 N จงคานวณวาแรงทเกดทลกสบใหญกนวตน

วธทา จากสมการท (8-6) แรงทกระทาตอลกสบใหญจะมคาเทากบ

F = aA

f

เมอ A = (12 10-2)2 และ a = (1.5 10-2)2 และ f = 600 N แทนคา จะได

F = 22

22

)105.1(

)1012(-

-

ππ 600

F = 38,400 N ตอบ

เครองมอวดความดน

เครองมอวดความดนทพบมากทสด คอ แบบมาโนมเตอร (Manometer) ดงรปท

8-5 ซงมลกษณะเปนหลอดแกวรปตวย โดยปลายหลอดดานขวามอเปดสบรรยากาศซงมความดน

บรรยากาศ Pa สวนบรเวณดานซายมอเปนบรเวณทตองการวดความดน ภายในหลอดแกวรปตวย

จะมของเหลวทมความหนาแนน บรรจอย

รปท 8-5 นาโนมเตอรบรรจของเหลวความหนาแนน

สมมตวาบรเวณทจะวดความดนมความดนเทากบ P และระดบของเหลวปลายปด

เมอเทยบกบระดบอางองอยท y1 และปลายเปดอยท y2 ตามลาดบ จะได

ความดนทกนหลอดดานซายมอ = P + gy1

ความดนทกนหลอดดานขวามอ = Pa + gy2

เนองจากความดนทระดบเดยวกน (กนหลอด) ยอมเทากน ดงนน

P + gy1 = Pa + gy2

P - Pa = g(y2 – y1) = gh …..(8-7)-

ความดน P เรยกวา ความดนสมบรณ (Absolute pressure) สวนผลตางของ

ความดนสมบรณกบความดนบรรยากาศ คอ P - Pa เรยกวา ความดนเกจ (Gauge pressure)

216

สวนเครองมอวดความดนอกแบบหนงทนยมใช คอ แบบบารโรมเตอร ซงเปน

เครองทใชวดความดนของบรรยากาศ มลกษณะเปนหลอดแกวปด บรรจของเหลวความหนาแนน

แลวควาลงในกระบะอางทบรรจของเหลวชนดเดยวกน ดงแสดงในรปท 8-6 ซงทาใหจด P2 ม

ความดนเปนศนย และจด P1 = Pa ซงเปนคาทตองการทราบ ดงนน

รปท 8-6 บารโรมเตอรบรรจปรอท ความหนาแนน

ความดนทกนกระบะอางเนองจากตาแหนงท 1 = Pa + gy1

ความดนทกนกระบะอางเนองจากตาแหนงท 2 = 0 + gy2

ความดนทระดบเดยวกนยอมเทากน นนคอ

Pa + gy1 = 0 + gy2

Pa = g(y2 - y1) = gh …..(8-8)

ถาในกระบะอางบรรจปรอท จะเหนวาความสงของลาปรอทแปรผนโดยตรงกบ

ความดนบรรยากาศ เราจงมกบอกความดนของบรรยากาศและความดนอน ๆ เปนความสงของ

ปรอท เชน ความดน 760 มลลเมตรของปรอท เปนตน

ตวอยางท 8-3 จงคานวณหาความดนบรรยากาศในวนหนงซงความสงของปรอทในบารโรมเตอร

อานได 76 cm กาหนดใหความหนาแนนของปรอทเทากบ 13.6 103 kg/m3 และอตราเรงเนองจาก

ความโนมถวงของโลกเทากบ 9.8 m/s2

วธทา จากสมการท 8-8 ความดนบรรยากาศ

Pa = g(y2 - y1) = gh

= 13.6 103 9.8 0.76

= 1.013 105 N/m2 ตอบ

217

ตวอยางท 8-4 จงคานวณหาความดนเครองวดทพอดใชกบแมแรงไฮดรอลค ซงลกสบมพนท 800

cm2 เพอยกรถยนตทมมวล 1,500 kg

วธทา แรงสทธ = ความดนของเครองวด พนท

1,500 9.8 = Pg 800 10-4

ดงนน Pg = 1.84 105 N/m2

หรอ Pg = 184 kPa ตอบ

8.1.2 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส

หลกการลอยตวของเรอ หรอของวตถทลอยตวอยในของเหลว หรอนาหนกขอ

วตถลดลงขณะอยในของเหลวนน ทงหมดนเปนไปตามหลกของอารคมดส ซงไดกลาวไววา “วตถ

ใด ๆ จะมบางสวนจมอยในของเหลวหรอจมอยในของเหลวทงหมดกตาม วตถนนจะถกแรงลอยตว

กระทาตลอดเวลา โดยแรงลอยตวทกระทาตอวตถนนจะเทากบนาหนกของของเหลวทมปรมาต

เทากบปรมาตรของวตถสวนทอยในของเหลวนน หรออาจกลาวไดอกอยางหนงคอปรมาตรของ

ของเหลวทถกแทนทนนเอง”

แรงลอยตวทกระทาตอวตถนจะตองผานจศนยกลางมวลของวตถนน วตถจงจะอย

ในสภาวะสมดลได เมอใดกตามถาแรงลอยตวไมกระทาผานจดศนยกลางมวล เชน การลอยของเรอ

ทเอยงจะเกดการปรบตวของเรอจนแรงลอยตวผานจดศนยกลางมวลจะทาใหเรอกลบสจดสมดลได

รปท 8-7 แรงดนทดานใตวตถแรงดนลงบนวตถ

218

พจารณาจากรปท 8-7 ถาแทงวตถรปสเหลยมซงมพนทหนาตด A จมอยใน

ของเหลวทมความหนาแนน ทผวดานขางมแรงดนจากของเหลวกระทาในแนวราบและจะหกลาง

กนหมด สวนผวดานบนของวตถจะไดรบแรงดน F1 ซงเปนแรงดนลง มคาเทากบ

F1 = P1A = (Pa + gh1)A

และแรง F2 ซงเปนแรงดนขน เทากบ

F2 = P2A = (Pa + gh2)A

ดงนน แรงลพธ = F2 - F1 = g(h2 - h1)A

= ghA

= นาหนกของของเหลวปรมาตรเทาวตถ

แรงลพธ = นาหนกของของของเหลวทถกแทนท .....(8-9)

กรณของเรอดานาทลอยนงอยใตทะเล ณ ความลกคาหนงได เพราะนาหนกของเร

เทากบนาหนกของนาทะเลทถกแทนท นนคอความหนาแนนเฉลยของเรอดาน าจะเทาก บ

ความหนาแนนของนาทะเล วตถทมความหนาแนนเฉลยนอยกวาความหนาแนนของของเหลว

สามารถลอยในของเหลว และบางสวนของวตถจะโผลเหนอผวของของเหลว เรอทกลานอกจาก

จะสรางใหลอยนาไดแลวยงตองสรางใหอยในสภาวะสมดลเสถยรและไมโคลงเคลงไปมาดวย ดงน

ในการตอเรอใด ๆ จงตองทาใหแนวแรงลอยตวของเรอผานจดศนยกลางมวลของเรอดวย

ตวอยางท 8-5 อลมเนยมชนหนงหนก 24 N ในอากาศ และ 15.1 N เมอจมมดในนา จงหาปรมาต

ของอลมเนยมชนน และความหนาแนนของอลมเนยม

วธทา นาหนกทหายไปในนา เทากบ 24 - 15.1 = 8.9 N ซงเปนนาหนกของนาทถกแทนท

เนองจากนา 1 m3 หนก 1,000 9.8 = 9,800 N เพราะ

ดงนนนาหนกของนา 8.9 N จะม

ปรมาตร = 800,99.8

= 9.1 10-4 m3

ดงนน ความหนาแนนของอลมเนยม คอ

= Vm

= 4101.9

8.9/24-

= 2.69 103 kg/m3 ตอบ

219

ตวอยางท 8-6 แทงอลมเนยมหนก 63 N เมอชงในอากาศ และหนก 45 N เมอจมอยในของเหลว

ชนดหนง ถาความหนาแนนของอลมเนยมเทากบ 2.7 103 kg/m3 จงหาความหนาแนนของ

ของเหลวนน

วธทา ปรมาตรของอลมเนยม คอ

V = ρm

= 3107.2

8.9/63

= 2.38 10-3 m3

และ

แรงลอยตวของแทงอลมเนยม = นาหนกของของเหลวทถกแทน

63 - 45 = 1 2.38 10-3 9.8

ความหนาแนนของของเหลว

1 = 7.7 102 kg/m3 ตอบ

ตวอยางท 8-7 อยากทราบวาภเขานาแขงลอยโผลเหนอผวนาทะเลรอยละเทาไรของปรมาตร

ทงกอน เมอกาหนดใหความหนาแนนของนาแขงและนาทะเลเทากบ 9.2 102 kg/m3 และ

1.03103 kg/m3 ตามลาดบ

วธทา นาหนกของนาแขง Wi = iVig โดย Vi คอปรมาตรของนาแขงและนาหนกของนาท

ปรมาตร VW ทถกแทนท คอ แรงลอยตว B = WVWg

เนองจาก Wi = B ดงนน WVWg = iVig

จดเทอมจะได i

W

VV

= W

i

ρρ

= 3

2

1003.1

102.9

= 0.89

นนคอ ปรมาตรของนาทถกแทนท คอปรมาตรของนาแขงสวนทจมเทากบ 89% หรอโผล

พนนา 11% ตอบ

220

8.1.3 ความตงผว (Surface tension)

จากทกลาวมาแลววาของเหลวเปนสสารทมโมเลกลยดกนแบบหลวม ๆ ทาใหผว

ของของเหลวปรากฏแรงกระทาสภายนอกในทศตงฉากกบพนผวนน การยดกนของโมเลกลตามผว

ของของเหลวสามารถทจะยดกบโมเลกลตางชนดกนไดดวยแรงกระทาระหวางโมเลกล เราสามารถ

แบงแยกออกเปน 2 ประเภท ไดดงนคอ

1) แรงยดตด (Cohesive force) เปนแรงยดระหวางโมเลกลชนดเดยวกน

2) แรงเกาะตด (Adhesive force) เปนแรงยดระหวางโมเลกลตางชนดกน

สาหรบพฤตกรรมของแรงเกาะตดของของเหลวน สามารถแสดงไดโดยการเอา

หวงลวดเลก ๆ จมลงในของเหลว แลวคอย ๆ ดงขนมาจะปรากฏวา จะตองออกแรงมากกวาแรงยก

นาหนกของหวงลวดนนขนมา และระหวางทกาลงจะพนผวของของเหลว จะเหนวาของเหลว

จะเกาะตดหวงนนสงตามหวงลวดขนมาดวย ดงแสดงในรปท 8-8 และ รปท 8-9

รปท 8-8 การหาความตงผว

พจารณารปท 8-8 เปนลวดวงแหวนผกหอยเปนสาแหรก ซงนยมใชสาหรบหาคา

ความตงผว ถากาหนดให L คอ ความยาวของเสนรอบวงของลวด ของเหลวจะยดลวดไวทงสองผว

คอทงผวดานในและผวดานนอก สมมตวาแรงทเพมขน F นพอด ทาใหขดลวดหลดออกจากผว

ของเหลวได ดงนน F = 2L แรงนหาไดโดยแขวนปลายเชอกไวกบตาชงสปรง แลวคอย ๆ ดงถวย

ของเหลวลง สปรงจะยดออกจนกระทงผวของแผนฟลมเนองจากของเหลวหลดออกจากขดลวด

อานคาของแรง F ทเพมขนจากเดมตอนขดลวดอยนงในของเหลวกบตอนทพอดหลดออกจาก

ของเหลว โดยคาความตงผว คอ

= L2F

…..(8-10)

221

รปท 8-9 ลวดยาว L อยในสมดลภายใตแรงตงผว 2L กบแรงดงลง F = W1 + W2

หรอกรณของรปท 8-9 แสดงกรอบลวดรปตวย มลวดเกลยงตรงอนหนงเลอนไป

มาไดคลองบนขาตวย เมอจมลวดนลงในนาฟองสบ แลวคอย ๆ ดงขนชา ๆ ถานาหนกของลวด W1

ไมมากนก จะเหนเปนแผนฟลมตดอยทกรอบลวด เพมนาหนก W2 ลงไป แรง F = W1 + W2 จะฉด

ใหแผนฟลมยดออกและยงคงอยในสภาวะสมดล พนทของแผนฟลมบาง ๆ จะมขนาดคงท

ถาอณหภมคงท พนทนจะเปลยนไปมากตามคณสมบตของความตงผวของฟลม วาจะทนแรงดงได

มากนอยเทาใด ถาความยาวของลวดทเลอนไดยาว L แตเนองจากผวฟลมมสองผว ดงนนความยาว

ของผวลวดทถกแรงกระทาจงยาวเทากบ 2L ความตงผว มนยามเปนอตราสวนระหวางแรง F ท

กระทาไปตามผวตอความยาวของผวทถกแรงนนกระทา ความยาวนตองตงฉากกบแรงดวย

เพราะฉะนนเราสามารถเขยนความตงผวไดตามสมการท 8-10 โดยมหนวยเปน N/m สาหรบตาราง

ท 8-1 แสดงคาของความตงผวของสารบางอยาง จากตารางนเราจะเหนวาความตงผวของนา

จะลดลงเมออณหภมเพมขน

222

ตารางท 8-1 คาความตงผวของสสารบางชนดทไดจากการทดลอง

ของเหลวเมอสมผสกบอากาศ อณหภม (C) ความตงผว (N/m)

กลเซอรน 20 6.3110-2

คารบอนเตตระคลอไรด 20 2.6810-2

นา 0 7.5610-2

นา 20 7.2810-2

นา 60 6.6210-2

นา 100 5.8910-2

นาสบ 20 2.5010-2

นามนมะกอก 20 3.2010-2

เบนซน 20 2.8910-2

ปรอท 20 4.6510-1

เอธลแอลกอฮอล 20 2.2310-2

ออกซเจน -193 1.5710-2

นออน -247 5.1510-3

ฮเลยม -269 1.2010-4

(ก) (ข)

รปท 8-10 (ก) ของเหลวในหลอดแกวขนสงจนนาหนกของลาของของเหลวเทากบความตงผวทแตกออกไป

ตามแนวดง (ข) ของเหลวทไมเปยกภาชนะซงมมมสมผสเกน 90 ของเหลวทอยในหลอดจะตากว

ขางนอกหลอด

223

สาหรบหลอดแกวรเลกปลายเปด เมอจมลงในของเหลว ดงแสดงในรปท 8-10

ของเหลวจะขนไปตามหลอดแกวสงกวาระดบของเหลวในภาชนะ ในกรณของปรอทระดบปรอท

ในหลอดแกวจะตากวาระดบปรอทในภาชนะสาหรบของเหลวทขนไปตามหลอดแกวได เนองจา

แรงดงดดระหวางโมเลกลของของเหลวมคานอยกวาหรอมากกวาแรงดงดดตางโมเลกลระหวาง

ของเหลวกบแกว

ในการคานวณหาความสงของของเหลวทขนไปตามหลอดแกว ดงรปท 8-10 (ก)

เนองจากของเหลวเกาะหลอดแกวเปนรปวงกลมตามรปทรงของหลอด ณ เสนสมผสของเหลวทา

มม กบผนงของหลอดแกว มมนเรยกวา มมสมผส (Contact angle) ของเหลวจะขนสงจนกระทง

นาหนกของลาของเหลวซงสง h มคาเทากบแรงตงผวทแยกออกไปตามแนวดง ถาให เปน

ความตงผว และ r เปนรศมของรหลอดแกว ของเหลวทามมสมผสรอบหลอดไปตามเสนรอบวง

ซงยาว 2r ดงนน

แรงดงขนทงหมด คอ

F = 2rcos

และแรงดงลง คอ นาหนกของของเหลวในหลอดแกวซงมคาเทากบ

W = mg

gV = gr2h

เพราะวาของเหลวในหลอดแกวอยในสภาวะสมดล ดงนน

h = gr

cos2ρ

θγ …..(8-11)

สาหรบของเหลวทเปยกหลอดแกวมมสมผส จะเลกมาก คาของ cos

มคาประมาณหนง เชน กรณนากบแกว สาหรบปรอทกบแกว คา เทากบ 139 จะไดคา h จาก

สมการท 8-11 เปนคาลบ ดงแสดงในรปท 8-9 (ข) ถาเปนนากบโลหะเงน คา เทากบ 90 และน

จะไมขนไปตามหลอดโลหะเงน มมสมผสระหวางของเหลวกบของแขงชนดตาง ๆ สามารถแสดง

ไดดงรปท 8-11

รปท 8-11 มมสมผสระหวางของเหลวและของแขง

224

หลกการของความตงผวทเกยวของกบชวตประจาวนมหลายอยาง เชน การเตมสบ

หรอผงซกฟอกลงไปในนาเพอลดแรงตงผวของนา ทาใหนาซมเขาไปในเสอผาไดงาย และผลกด

สงสกปรกออกมา กรณเสอกนนากใชวธการฉาบสารบางอยางบนเสอผาเพอลดแรงดงดดระหวา

โมเลกลนากบเสอผา นาจะไมเปยกเสอผา แตจะรวมตวกนเปนหยดนาแลวหลดรวงไป จากสงทกลา

ทงห มดจ ะเ หนว าป ราก ฏกา รณ ทนา หลอดแ กว ร เลก ๆ ป ลาย เปด ไป จมในข องเ หลว

แลวของเหลวจะไหลขนไปในรหลอดสงกวาระดบของเหลวภายนอก ปรากฏการณเชนน เรยกวา

คะปลลารต (Capillarity) ตวอยางทอาศยหลกการคะปลลารต เชน การซมของนามนกาดขนไปตา

ไสตะเกยง การซมของนาในเสอผา หรอกระดาษซบ การซมของนาใตดน การล าเลยงนาและอาหา

ลาตนของพช เปนตน

ตวอยางท 8-8 จมลวดวงแหวนซงมเสนผาศนยกลาง 75 mm ลงในนามนดบ ปรากฏวาตองออกแร

8.62 10-3 N จงจะดงใหหลดพนจากนามนดบนได จงหาความตงผวของนามนดบน

วธทา เมอดงลวดออกจากผวของนามนดบ ผวฟลมจะเกาะทงดานในและดานนอกของเสนรอบ

วงของผวฟลมทงสองดานน โดยมลกษณะเปนวงกลมรวมจดศนยกลางเดยวกน และม

เสนผาศนยกลางประมาณเทากบเสนผาศนยกลางของลวดวงกลม

เสนรอบวงของลวด = เสนผาศนยกลาง

= 3.14 75 10-3

= 0.236 m

จากความตงผวของนามนดบ

= L2F

= 236.021062.8 3

-

= 0.0183 N/m ตอบ

225

ตวอยางท 8-9 เมอเอาหลอดคะปลลารจมลงในของเหลวชนดหนง ปรากฏวาระดบของเหลวนน

สงขน 5 mm และผวของเหลวสวนทตดกบผนงหลอดแกวทามม 30 ถาหลอดแกวมเสนผาศนยกลาง

เทากบ 1 mm และของเหลวนมความหนาแนนเทากบ 1.3 103 kg/m3 จงหาความตงผวของ

ของเหลวน

วธทา จากปรากฏการคะปลลารตความสง

h = gr

cos2ρ

θγ

เมอ h = 5 10-3 m, = 300, = 1.3 103 kg/m3 และ r = 0.510-3 m ดงนน

= θρcos2

grh

= 30cos2

105105.08.9103.1333 --

= 0.018 N/m ตอบ

8.2 พลศาสตรของของไหล (Fluid Dynamic)

พลศาสตรเปนวชาทวาดวยการเคลอนทของสสารใด ๆ โดยเฉพาะอยางยงการเคลอนท

ของของไหล ในตอนเรมตนนจะพจารณาลกษณะของไหลทเรยกวา ของไหลในอดมคต (Ideal

fluid) กลาวคอ เปนของไหลทอดไมไดและไมมความหนด หรอไมมแรงเสยดทานภายในของเหลว

นนเอง สาหรบขอสมมตเรองสภาพอดไมไดนใชไดดในกรณทเปนของเหลว สวนกาซนนสามารถ

พจารณาวาไมถกอดตวเมอการไหลนนอยในสภาพทความดนไมแตกตางกนมากนก ความเสยดทาน

ภายในของไหลจะทาใหเกดความเคนเฉอน เมอชนของไหลสองชนเคลอนทสมพทธกน หรอเมอ

ของไหลไหลในหลอดหรอไหลรอบสงกดขวางการไหลจรง ๆ สวนใหญแลวพอทจะตดแรงเฉอนน

ทงได เพราะมคานอยมากเมอเทยบกบแรงโนมถวงของโลก และแรงทเกดจากความดนทแตกตางกน

8.2.1 ความหนด (Viscosity)

เปนความเสยดทานภายในของของไหล ซงเปนความเสยดทานระหวางโมเลกล

ของของไหล เวลาไหลไป หรอระหวางวตถอนกบของไหลขณะเคลอนทไปในของไหลนน

ในการหาความหนด สมมตใหของไหลจานวนหนงถกแรงกระทาทชนบนสด

และมทศทางไปทางขวามอของของไหลนน ชนบนของของไหลจะพยายามไหลตามแรงทกระทา

แตถกแรงเสยดทานซงมทศทางตรงกนขามตานไว ทาใหของไหลชนตาง ๆ ไหลตาม แตความเรว

จะคอย ๆ นอยลง ดงแสดงในรปท 8-12

226

รปท 8-12 แสดงการไหลของของไหลเมอถกกระทาดวยแรง F

ถาพจารณาของไหลบรเวณ a b c d เมอถกแรง F กระทาจะเปลยนไปเปน a b dcจากพฤตกรรมทเกดขนน ถาหาอตราเฉลยของแรงกระทาตอพนทจะไดเทากบ F/A และอตราเฉลย

เปลยนแปลงความเรวตอความหนาจะไดเทากบ v/L ซงอตราทงสองนจะเปนปฏภาคโดยตรง

หรอผนแปรกนโดยตรงตอกน นนคอ

AF

Lv

ตามหลกการพนฐานทางคณตศาสตร จะได

AF

= Lv

เมอ (อานวา Eta) เปนคาคงท ซงจะตองเปนคณสมบตเฉพาะของของไหลนน

เรยกวาคาสมประสทธความหนด (Coefficient of viscosity) หรอเรยกสน ๆ วา ความหนด (Viscosity)

ดงนน

= vAFL

…..(8-12)

หรอ F = L

vA

หนวยของ มหนวยเปน N/m2 หรอ dyne-sec/cm2 สาหรบหนวยเฉพาะทนยมใช

คอ Poise โดยกาหนดให 1 Poise = 1 dyne-sec/cm2

สโตค (Stokes) ไดทาการศกษาเรองความหนดของของไหล โดยนาเอาวตถทรง

กลมเคลอนทไปในของไหล และในทสดสามารถหาความสมพนธ ทเรยกวา กฎของสโตค

(Stokes’s Law) ซงกาหนดให

Ff = 6rv …..(8-13)

เมอ Ff คอ แรงเสยดทานภายในของเหลว

คอ ความหนด

227

r คอ รศมทรงกลม

v คอ ความเรวเฉลยทวตถทรงกลมเคลอนทไปในของเหลวนน

รปท 8-13 แสดงวตถทรงกลมกาลงเคลอนในของไหล

คาความเรว v ในสมการท 8.13 สามารถหาไดจากการทดลอง ดงแสดงในรปท

8-13 หรอหาจากการคานวณ โดยการคานวณหาคาความเรว v นนเรมจากการหานาหนกของ

ทรงกลม คอ

W = mg = 34 r3g

และแรงลอยตว B = 34 0r

3g

เมอ เปนความหนาแนนของทรงกลม

0 เปนความหนาแนนของของไหล

ถาสมมตวาวตถทรงกลมเคลอนทลงมา จากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน

จะได

W - B- Ff = ma …..(8-14)

หรอ a = g - m

FB f

ถากาหนดใหแรงเสยดทานภายในของเหลว Ff = 0 และเรมปลอยวตถทรงกลม

ในของเหลวทตาแหนงจดหยดนง v = 0 วตถทรงกลมตกลงมาดวยความเรง a0 ดงนน

a0 = g - mB

= g - 3

30

r34

gr34

πρ

πρ

a0 = g ρρρ 0-

…..(8-15)

228

แสดงวา ขณะทลกทรงกลมกาลงเคลอนทไปในของไหลดวยความเรง a0 ความเรว

จะเพมขนเรอย ๆ ซงหมายความวาแรงตานหรอแรงเสยดทานภายในของเหลวเพมขนดวย

เมอความเรวถงจดพอเหมาะหรอสมดล ความเรวนนจะคงท คาความเรงจะเปนศนย ดงนนสมการท

(8-14) จะเปน

W - B- Ff = 0 …..(8-14)

หรอ 34 r3g =

34 0r

3g + 6rv

ดงนน v = 92

ηρρ )(gr 0

2 - …..(8-16)

ตวอยางท 8-10 จงหาความเรวปลายของลกปนทรงกลมรศม 2 mm ในกลเซอรน ถากาหนดให

ความหนาแนนของเหลก 7.9 10-3 kg/m3 และของกลเซอรน 1.3 103 kg/m3 สวนความหนดของ

กลเซอรนเทากบ 0.833 N.s/m2

วธทา จากรปท 8-12 แรงภายนอกทกระทาตอลกปน คอแรงโนมถวงของโลกในทศทางพงลง

และแรงลอยตวมทศพงขน จากกฎของสโตค และสมการท (8.16) จะได

v = 92

ηρρ )(gr 0

2 -

เมอ r = 2 10-3 m, = 7.9 103 kg/m3, 0 = 1.3 103 kg/m3

ดงนนแทนคาจะได

v = 92

833.0)3.19.7(8.9)102( 323 --

= 0.069 m/s

ดงนนความเรวปลายของลกปนขณะตกลงมาคอ 0.069 m/s ตอบ

8.2.2 สมการตอเนอง (The Equation of continuity)

เมอบางสวนหรอทงหมดของของไหลถกแรงกระทา ไมวาจะเปนแรงภายนอก

หรอแรงภายในกตาม ของไหลจะเกดการเคลอนททนท เนองจากโมเลกลของของไหลยดตดกน

แบบหลวม ๆ และมความหนดในของไหล ทาใหการเคลอนทของแตละสวนของของไหล

มความสมพนธซงกนและกนตลอด ซงเปนพฤตกรรมการไหล ถาพฤตกรรมการไหลของของไหล

เปนระเบยบเรยบรอยเราเรยกวา การไหลสมาเสมอ (Steady flow) และถาการไหลของของไหล

ไมเปนระเบยบหรอไมสมาเสมอจะเรยกวา การไหลแบบปนปวน (Non steady flow)

229

สาหรบการไหลแบบสมาเสมอ จะหมายถงการไหลแบบสายกระแส หรอเส

กระแส (Stream line flow หรอ laminar flow) ณ จดใดจดหนงในบรเวณทมการไหลนน ของไหล

ทจดนนจะมความเรวเทากบ v และเมอของไหลจานวนนผานไปแลว ของไหลจานวนใหมทผาน

เขาถงจดนนจะมความเรวเทากบ v เชนเดม อาจกลาวไดวาการไหลแบบเปนระเบยบเสมอนเปน

การไหลในหลอด ซงเรยกแนวบรเวณการไหลนวา หลอดกระแส (Tube of flow)

(ก) แสดงความเรวของของไหลทจดใด ๆ (ข) หลอดการไหลหอมลอมดวยสายกระแส

รปท 8-14 แสดงความเรวและสายกระแส

(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.403)

พจารณาการเคลอนทของของไหลจากรปท 8-14 (ก) เปนการไหลแบบสายกระแส

โดยทกๆ โมเลกลของของไหล เมอเคลอนทมาถงจด a จะตองมความเรวเทากบ va แลวเคลอนท

มาถงจด c จะตองมความเรวเทากบ vc โดยเสนแนวทางการไหลจะขนานกบทศทางความเรวตลอด

ดงแสดงเปนรปหลอดกระแสในรปท 8-14 (ข) ดงนนการไหลแบบสายกระแสจงสามารถกาหนด

ขอบเขตการไหลทตองการไดสะดวก ซงเปนลกษณะหลอดของการไหลดงทกลาวมาแลว

การไหลของของไหลแตละสวนหรอแตละโมเลกลของของไหลนน สามารถจะม

ความเรวทแตกตางกนและมความเรวทเปลยนไปตามจดตาง ๆ ได แตจานวนมวลของของไหลท

ผานไป ณ จดใดจดหนงจะตองเทากนกบจดอน ๆ ในชวงเวลาเดยวกนเสมอ กลาวคอ อตราการ

เปลยนมวลในหนงหนวยเวลา ซงเรยกวา มวลฟลกซ (Mass flux) จะคงท

t

m

ΔΔ

= constant …..(8-17)

230

รปท 8-15 พนทแรเงาแสดงปรมาณ

การไหล

ถาพจารณาสองบรเวณในการไหลแบบสายกระแส ดงแสดงในรปท 8-15 มวลของ

ของไหลในหลอดของการไหลจะไมสญเสยไปนอกบรเวณเลย ถาทจด P มพนทหนาตด A1 ของ

ไหลมความเรว v1 และทจด Q มพนทหนาตด A2 มความเรว v2 ดงนนในชวงระยะเวลา dt ทจด P

จะมมวลไหลผาน

P

t

m

ΔΔ

= v11A1 …..(8-18)

และทจด Q

Q

t

m

ΔΔ

= v22A2 …..(8-19)

เนองจากในหลอดกระแสของการไหลเดยวกน มวลฟลกซจะตองคงทเสมอ ดงนน

= v11A1 = v22A2

หรอ vA = constant …..(8-20)

สาหรบของไหลชนดเดยวกน ความหนาแนน () จะไมเปลยนแปลง นนคอจะได

สมการ

vA = constant …..(8-21)

คาของ vA นอาจจะเรยกเปนอตราปรมาตรของของไหล (Volume Flux) หรออตรา

การไหล (Volume flow rates) ได และเรยกสมการท 8-21 วาสมการตอเนอง (Equation of Continuity)

ตวอยางท 8-11 นาในทอตรงทมพนทภาคตดขวาง 1.0 10-3 m2 มความเรว 1.2 m/s เมอไหลไปถง

ทอทมพนทภาคตดขวาง 2.0 10-4 m2 จะมความเรวเทาใด

วธทา จากสมการตอเนอง

vA = constant

ดงนน 2

1

vv

= 2

1

AA

231

แทนคา จะได v2 = v1 2

1

AA

= 1.2 4

3

100.2

100.1-

-

v2 = 6.0 m/s

นนคอ ของไหลขณะเคลอนทผานพนท 2.010-4 m2 จะมความเรวเทากบ 6.0 m/s ตอบ

8.2.3 สมการเบอรนล (Bernoulli’s equation)

พจารณาของไหลทไหลในทออยางสมาเสมอ ดงรปท 8-16 ใหพนทภาคตดขวาง

ของทอเปน A1 ทางปลายทอดานซายมออยสงจากระดบอางอง y1 ทอคอย ๆ โตขนและสงขน

พรอม ๆ กนไปจนมพนทหนาตด A2 และอยเหนอระดบอางอง y2 จะพจารณาเฉพาะสวนทแรเงาไว

และเรยกของไหลสวนนวา “ระบบ (System)” สงเกตการเคลอนทของระบบจากตาแหนง ดงแสดง

ในรปท 8-16 (ก) ไปยงรปท 8-16 (ข) ทก ๆ จดในสวนทแคบของทอมความดน P1 ความเรว v1 และ

ในสวนทอกวางมความดน P2 ความเรว v2

(ก) (ข)

รปท 8-16 สวนของไหลเคลอนทผานทอจากตาแหนง ดงแสดงในรป (ก) ไปยงรป (ข)

จากทฤษฎงานและพลงงานทกลาววา “งานทกระทาโดยแรงลพธตอระบบมคา

เทากบการเปลยนพลงงานจลน” ในรปท 8-16 แรงทกระทาตอระบบ คอ P1A1 และ P2A2 ซงกระทา

ทางซายและทางขวา ตามลาดบ กบแรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก เมอของไหลไหลไปตามทอ

ผลทไดเมอเทยบระหวางรปทงสองกคอ ยกของไหลสวนทแรเงาในรปท 8-16 (ก) ไปยงตาแหนงใน

รปท 8-16 (ข) ปรมาณของของไหลทแรเงาไมเปลยนแปลงเนองจากการไหล เราสามารถหางาน W

ทแรงลพธกระทาตอระบบไดดงน คอ

1) งานเนองจากแรงดน P1A1 คอ P1A1x1

2) งานเนองจากแรงดน P2A2 คอ -P2A2x2 (เครองหมายลบหมายถงงานเนองจาก

ระบบ)

232

3) งานเนองจากแรงโนมถวงของโลกซงยกของไหลสวนทแรเงาจากระดบความสง

y1 ไปยงความสง y2 คอ -mg(y2 - y1) เมอ m เปนมวลของของไหลสวนทแรเงา เครองหมายลบ

แสดงถงงานทระบบกระทาเพอตานแรงโนมถวง ดงนนงานลพธ W ทเกดจากแรงลพธกระทาตอ

ระบบจะหาไดจากผลบวกทางพชคณตของแตละเทอมขางบน คอ

W = P1A1x1 -P2A2x2 - mg(y2 - y1)

เนองจาก A1x1 เทากบ A2x2 และเปนปรมาตรของของไหลสวนทแรเงา ซงมคา

เทากบ m/ เมอ เปนความหนาแนนของของไหลซงคงท ดงนน

W = (P1 - P2) ρm

- mg(y2 - y1)

เนองจากของไหลเคลอนทจากตาแหนงท 1 ซงมความเรว v1 ไปยงตาแหนงท 2

ซงมความเรว v2 การเปลยนแปลงพลงงานจลนของของไหลกคองานทใชในการเคลอนท ดงนน

W = (Ek)1 - (Ek)2

= 22mv

21

- 21mv

21

22mv

21

- 21mv

21

= (P1 - P2) ρm

- mg(y2 - y1)

จดรปแบบสมการใหม จะได

P1 + 21v

21ρ +gy1 = P2 + 2

2v21ρ +gy2=

หรอ P + 21 v2 +gy = constant …..(8-22)

สมการท (8-22) เรยกวา สมการเบอรนล (Bernoulli’s equation) ใชไดกบของ

ไหลทไมหนด อดไมได และไหลสมาเสมอ

ตวอยางท 8-12 นาไหลในทอดวยอตราการไหลเทากบ 10 ลกบาศกเมตรตอนาท ทอนผานจดสอง

จดมระดบตางกน 0.6 m ทระดบสงทอมเสนผาศนยกลาง 0.3 m มความดนนาเทากบ 105 N/m2

สวนจดทอยระดบตาทอมเสนผาศนยกลางเทากบ 0.15 m ทจดระดบตานจะมความดนเทาไร

วธทา จากสมการตอเนอง

v1A1 = v2A2

เมออตราการไหลของนาเทากบ 10 ลกบาศกเมตรตอนาท = 0.16 m3/s ดงนน

v1A1 = v2A2 = 0.16

สามารถคานวณหา

233

v1 = 1A16.0

= 2

215.0

16.0

π

= 9.05 m/s

และ v2 = 2A

16.0 = 2

230.0

16.0

π

= 2.26 m/s

สาหรบ y2 - y1 = 0.6 m , ความหนาแนน = 103 kg/m3 และ g = 9.8 m/s2

จากสมการเบอรนล

P1 + 21v

21ρ +gy1 = P2 + 2

2v21ρ +gy2=

หรอ P1 = P2 + )vv(21 2

222 -ρ +g(y2 - y1)

แทนคาจะได P1 = 105 + 21 103(2.262 - 9.052) + 103 9.8 0.6

= 6.79 104 N/m2 ตอบ

ประโยชนของสมการเบอรนล (Application of Bernoulli’s equation)

เราสามารถนาสมการเบอรนลมาประยกตใชไดหลายอยาง เชน ทฉดยากนยง ทฉดนาหอม

เครองฉดนาใหเปนละอองฝอย เปนตน นอกจากนเรายงสามารถใชสมการเบอรนลพสจนหาความด

ทจดใด ๆ ในของเหลวทบรรจในภาชนะปดใด ๆ ดงแสดงในรปท 8-17 ถาความเรวทจดท 1 และ 2

มคาเทากบ v1 = v2 = 0 และความดนทจดท 2 คอ P2 = Pa ซงเปนความดนบรรยากาศ

รปท 8-17 ของเหลวบรรจอยในภาชนะปดใด ๆ

ดงนน จากสมการเบอรนล ในสมการท (8-22)

P1 + 21v

21ρ +gy1 = P2 + 2

2v21ρ +gy2

234

ดงนนนน เมอแทนคาจะสามารถหาความดนทจดท 1 ได ดงน

P1 = P2 + (h2 - h1) = Pa +gh

ซงผลลพธทไดจะใหผลลพธเชนเดยวกบสมการท (8-5)

ทฤษฎของเทอรรเชลล (Thorri Celli’s theorem)

ทฤษฎเทอรรเชลลกลาววา “ของเหลวทไหลออกมาจากรขางถงบรรจของเหลว จะม

ความเรวเทากบของเหลวนนตกลงมาอยางอสระภายใตแรงโนมถวงของโลก จากระยะทางเทากบ

ความลกของจดนนในของเหลว” ดงแสดงในรปท 8-18

รปท 8-18 แสดงความเรวของของไหล

จากสมการเบอรนล

P1 + 21v

21ρ +gy1 = P2 + 2

2v21ρ +gy2

ในสภาพของของเหลวไหลจากร ณ ตาแหนงท 1 ทความสง h1 เมอวดจากกนถง ความดน

ในของเหลวจะเทากบความดนบรรยากาศ ดงนน P1 = P2 = Pa สาหรบความเรวของของเหลว

ทตาแหนงท 2 จะมคาเทากบศนย และเมอแทนคาในสมการเบอรนล จะได

Pa + 21v

21ρ +gh1 = Pa + gh2

21v

21ρ = g(h2 - h1) = gh

v1 = gh2 …..(8-23)

หมายเหต: ความเรวจากการตกอยางอสระพจารณาจาก 21v =

22v + 2gh เมอ v2 = 0

235

เครองวดเวนจร (Venturi meter)

เปนเครองมอวดความเรวของของไหลภายในทอมลกษณะ ดงรปท 8-19 ถากาหนดให v1

และ v2 เปนความเรวของของไหลทมพนทภาคตดขวาง A1 และ A2 ซงมความดนทวดโดยเครองมอ

วดความดน G1 และ G2 คอ P1 และ P2 ตามลาดบ

รปท 8-19 เวนจรมเตอรใชวดความเรวของของไหล

เราอาจหาความเรวของของไหลในรปผลตางของความดนได ถาพจารณาจากสมการ

ตอเนอง

2

1

vv

= 2

1

AA

หรอ v2 = 2

1

AA v1

กรณททอทงสองปลายอยในแนวราบ ดงนนสมการเบอรนล จะเปน

P1 + 21v

21ρ +gy1 = P2 + 2

2v21ρ +gy2

P1 + 21v

21ρ = P2 + 2

2v21ρ

P1 + 21v

21ρ = P2 +

2

12

1v

AA

21

ρ

P1 - P2 = 2

12

1v

AA

21

ρ - 2

1v21ρ

แกสมการจะได v1 =

1

A

A

)PP(22

22

21

21

-

-

A2 = )AA(

)PP(222

21

21

-

-

ρ

236

และมอตราการไหลเทากบ

A1v1 = A1A2)AA(

)PP(222

21

21

-

-

ρ

ตวอยางท 8-13 นามนมความหนาแนน 8.5102 kg/m3 ไหลในทอขนาดเสนผาศนยกลาง 3 cm

มความดน 1.6105 N/m2 และไหลในทอขนาดเสนผาศนยกลาง 2 cm มความดน 1.0 105 N/m2

จงคานวณหาอตราการไหลของนามนในทอ

วธทา จากโจทยกาหนด P1 = 1.6105 N/m2 และ P2 = 1.0105 N/m2

ดงนน P1 - P2 = 6.0 104 N/m2

และ 2

2

1

AA

=

2

2

2

)02.0(4

)03.0(4

π

π = 5.06

จาก v1 =

1

A

A

)PP(22

22

21

21

-

-

= 06.5105.8

10622

4

= 5.89 m/s

ดงนน อตราการไหลของนามน = A1v1

= 89.5)03.0(4

2π

= 4.16 10-3 m3/s

237

แบบฝกหด

1. ลกสบของแมแรงไฮดรอลกมเสนผาศนยกลาง 14 cm จงหาความกดดนเปน N/m2 เพอใชยก

รถยนตมวล 2,000 kg

2. ถาของเหลวในมานอมเตอรปลายเปดดงรป คอปรอท และมคา h = 5 cm ความดนบรรยากาศ

เทากบ 970 mbar

รปภาพ สาหรบโจทยขอท 2

(ก) ความดนสมบรณทกนหลอดแกวรปตวยเปนเทาไร

(ข) ความดนสมบรณในหลอดปลายเปดทความลก h = 5 cm จากผวเปนเทาไร

(ค) ความดนสมบรณของกาซในถง A เปนเทาไร

(ง) อานความกดดนของกาซจากเครองมอวดไดกเซนตเมตรของปรอท

(จ) ความดนทอานไดนเทากบกเซนตเมตรของนา

3. ความดนคาหนงดนนาใหสง 60 cm แตดนนาเกลอไดสง 50 cm ถามวานาเกลอม

ความหนาแนนเทาใด

4. ลกสบของแมแรงไฮดรอลกมรศม 5 cm และ 30 cm

(ก) จะตองออกแรงทลกสเลกเทาไร จงจะไดแรงดนทลกสบใหญ 5, 000 N

(ข) ความดนทลกสบใหญเทากบเทาใด

(ค) ความดนทลกสบเลกเทากบเทาใด

238

5. วงลวดเหลกเสนรอบวงยาว 160 mm หยอนใหแตะผวแอลกอฮอล ปรากฏวาตองออกแรงดง

อนเนองจากแรงตงผว 7.22 10-3 จงจะดงวงลวดออกจากแอลกอฮอลได จงหาความตงผว

ของแอลกอฮอล

6. หลอดแกวปลายปดมพนทภาคตดขวาง 1 cm2 ตดตงอยกบกระบะสง 1 cm ซงกระบะอางนม

พนทหนาตด 100 cm2 เมอเตมนาลงทางปลายหลอดแกวจนสง 100 cm จากกนของกระบะอาง

ดงรป

รปภาพ สาหรบโจทยขอท 6

(ก) แรงดนของนาทกนกระบะเปนเทาไร

(ข) นาทงหมดมนาหนกเทาไร

7. แทงไมรปลกบาศกยาวดานละ 0.1 m ลอยอยระหวางนากบนามนดงรป ดานลางอยตากว

ผวสมผสระหวางนามนและนา 0.02 m ถานามนมความหนาแนน 600 kg/m3 จงหา

รปภาพ สาหรบโจทยขอท 7

(ก) มวลของแทงไม

(ข) ความดนเกจทดานลางของแทงไม

8. หลอดแกวมเสนผาศนยกลางภายนอกและภายในเทากบ 4 และ 3.5 cm ตามลาดบ จมอยในน

โดยหลอดแกวอยในแนวดง จงหาแรงดงทกระทาตอหลอดแกวอนนเนองจากแรงตงผว

กาหนดความตงผวของนาเทากบ 0.074 N/m

239

9. จงคานวณหาความตงผวของของเหลวซงขนไปไดสง 50 cm ในหลอดแกวขนาด

เสนผาศนยกลางภายใน 0.04 mm ความหนาแนนของของเหลวเทากบ 8.0 102 kg/m2 มม

สมผสระหวางของเหลวกบหลอดแกวเทากบ 20

10. จงคานวณหาพนทหนาตดของกอนนาแขงหนา 30 cm ซงสามารถรองรบคนหนก 784 N ไวได

โดยไมจม ถาความหนาแนนของกอนนาแขงเทากบ 9.17 102 kg/m3 ละนาแขงลอยอยใน

นาจด

11. โลหะผสมทองและอลมเนยมหนก 49 Nแขวนกบตาชงสปรง แลวจมโลหะนลงในอางนาอา

นาหนกได 32.9 N จงหานาหนกของทองในโลหะผสมน กาหนดใหความหนาแนนของทอ

และอลมเนยมเทากบ 1.93 104 kg/m3 และ 2.5 103 kg/m3 ตามลาดบ

12. วตถ A แขวนกบตาชงสปรง D และจมอยในของเหลว C ทบรรจอยในภาชนะ B ดงรป

ถานาหนกของภาชนะ B เทากบ 9.8 N นาหนกของของเหลวเทากบ 14.7 N ตาชงสปรง D

อานคาได 24.5 N และเครองชง E อานคาได 73.5 Nปรมาตรของวตถ A เทากบ 2.710-3 m3

จงหาความหนาแนนของของเหลว C

รปภาพ สาหรบโจทยขอท 12

240

13. ถาตองการใหนาพงออกจากปลายทอนาดบเพลงดวยความเรว 24 m/s ดงรป จงหาความดนเกจ

ทจดซงอยหางจากปลายทอ A เลกนอย กาหนดใหเสนผาศนยกลางของทอ A และ B มคา

เทากบ 8 และ 4 cm ตามลาดบ

รปภาพ สาหรบโจทยขอท 13

14. จงหาความเรวปลายของทรงกลมรศม 2 mm ในกลเซอรน กาหนดใหความหนาแนนของเหลก

และกลเซอรนเทากบ 7.9103 kg/m3 และ 1.3 103 kg/m3 ตามลาดบ และคาสมประสทธของ

ความหนดของกลเซอรนเทากบ 0.833 Ns/m2

15. จงหาความเรวปลายของฟองอากาศขนาดเสนผาศนยกลาง 1 mm กาลงลอยขนในของเหลวทม

สมประสทธความหนด 1.5 cent-poise และมความหนาแนน 9 102 kg/m3 ในทานองเดยวกน

ถาของเหลวนนเปนนาซงคาความหนด 0.656 centi-poise ความเรวปลายของฟองอากาศจะเปน

เทาไร

16. ทอสงนาอนหนง ดงรป เมอวดพนทหนาตดของรใหญ A และทอรเลก B ได 0.02 และ 0.01 m2

ตามลาดบ ถาตาแหนงศนยกลางทอเลก B อยตากวา A เทากบ 0.1 m ขณะทมการสงนาดว

ปรมาณ 2 m3/s และวดความดนในทอ B ได 7,000 N/m2 จงหาความดนในทอ A

รปภาพ สาหรบโจทยขอท 16

17. เครองบนลาหนงตองมแรงยก 20 N/m2 จงจะสามารถบนขนได ถาความเรวของอากาศทพด

ผานสวนลางของปกเทากบ 300 m/s จงหาความเรวของอากาศทพดผานสวนบนของปกเพอให

เกดแรงยก 20 N/m2 กาหนดความหนาแนนของอากาศในขณะนนเทากบ 1.29103 kg/m3