แผนการจดการเรยนรท 10 รหสวชา 3000-1406 วชา แคลคลสพนฐาน หนวยท 5 ชวโมงท 28-30 ชอหนวย การประยกตอนพนธของฟงกชน

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคด การประยกตอนพนธของฟงกชนเปนการน าความรเรองอนพนธของฟงกชนทเรยนมาใชประโยชนใหเหนจรง เชน น ามาใชใน

การเขยน กราฟของฟงกชน ความชนของเสนโคง การหาคาสงสดและตาสดสมพนธ ของฟงกชน โดยใชอนพนธอนดบทหนง และอนพนธอนดบทสอง การนาความรเรองคาสงสดและตาสดไปใชประโยชน ในทางชางและชวตประจ าวน การหาความเรวของวตถทเคลอนทในแนวเสนตรง การหาคาอตราสมพทธ เปนการหาคาอตราการเปลยนแปลงชวขณะของสองสงเปรยบเทยบกน การหาคาประมาณโดยใชผลตางอนพนธ (คาเชงอนพนธ)

สาระการเรยนร 1. ความชนของเสนโคง

2. การหาคาอนพนธของฟงกชนจากนยาม

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. เขยนกราฟของเสนโคงของฟงกชนและหาความชนของเสนโคงได 2. หาคาและค านวณคาสงสดและคาต าสดสมพทธของฟงกชนได 3. มการพฒนาคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงคทอาจารยสามารถสงเกตเหนได ในดานความม

มนษยสมพนธ ความมวนย ความรบผดชอบ ความเชอมนในตนเอง ความสนใจใฝร ความรกสามคค ความกตญญกตเวท

กจกรรมการเรยนการสอน ขนนาเขาสบทเรยน 1. อาจารยทบทวนในเรองการหาอนพนธของฟงกชน

ขนสอน 2. อาจารยอธบายความหมายของความชนของเสนโคงใหนกศกษาเขาใจเพอเปนพนฐานของคาตางๆ โดยใชรปประกอบ

จดตดแกน x และจดตดแกน y เราจะพบวา จดตดแกน x ม 3 จดคอ A (a, o), D (d, o) และ F (f, o) จดตดแกน y มจดเดยว คอ B (o, b) เนองจากกราฟเปนเสนโคง ดงนนจงมทงโคงคว า และโคงหงาย ชวงใดทเปนโคงคว ากจะท าใหเกดจดสงสดของ

G H

F(f, 0)

E

D(d, 0)0

B(0, b)C

y

x

y = f(x)

(a, 0)A

ฟงกชนในชวงนน เราเรยก จดสงสดสมพทธ (Relative Maximum Point) ในรป คอ จด C ชวงจาก A ถง D เรยกวา ชวงโคงควา ชวงใดทเปนโคงหงาย กจะท าใหเกดจดต าสดของฟงกชนในชวงนนๆ เราเรยกวา จดตาสดสมพทธ (Relative Minimum Point) ในรปคอ จด E ชวงจาก D ถง F เรยกวา ชวงโคงหงาย นอกจากนถาชวงใดคาของฟงกชนมคาเทากนทกคาตลอดในชวงนน เราจะเรยกวา เปนชวงคงทของฟงกชน (Constant Interval) เชนในชวง G ถง H

3. ใหนกศกษาศกษาการหาคาอนพนธฟงกชนจากนยามจากหนงสอเรยน สรปลงในสมด 4. อาจารยน าตวอยางจากหนงสอมาอธบายบนกระดานในนกศกษาท าความเขาใจ โดยการถาม – ตอบ และชวยกนสรปวธท

งายทสดในการหาคาอนพนธฟงกชน ในหวขอตอไปน - ความหมายของอนพนธเรขาคณต

ตวอยาง จงหาความชนของเสนโคง y = x2– 2x + 5 ทจด (2, 5)

ความชนของเสนโคงทจดใดๆ คอ อนพนธของเสนโคงทจดนน

จาก y = x2 – 2x + 5

dxdy

= dxd

(x2–2x+5)

= dxdx 2

–dxd

dxxd 52

dxdy

= 2x–2

ดงนน ความชนของเสนโคงทจด (2, 5) คอ 2(2)–2 = 2 สรป การหาความชนของเสนโคงหรอเสนสมผสโคง มหลกดงน

1. หาอนพนธของเสนโคงทก าหนดให ซงจะเทากบความชนของเสนโคงนนทจดใดๆ 2. ให (x1, y1) เปนพกดของจดทตองการ (จดสมผส) 3. แทนคา (x1, y1) ลงในอนพนธตามขอ 1 กจะเปนความชนของเสนโคง หรอความชนของเสนสมผสโคงตรงจดสมผสท

ตองการ - สมการของเสนสมผสและเสนแนวลากของเสนโคง ม

- เสนสมผสโคง - เสนแนวตงฉาก

ตวอยาง จงหาสมการของเสนสมผส และเสนตงฉากกบพาราโบลา y2 = 4x ทจด (1, 2) จากสมการเสนสมผสโคง y – y1 = m(x – x1)

m = dxdy

จากสมการ y2 = 4x

dxdy 2

= xdxd

4

2y dxdy

= dxdx

4

dxdy

= y24

= y2

(x1, y1) คอ (1, 2) m = )(22

= 1

เสนสมผสโคงคอ y – 2 = 1(x–1)

สมการเสนสมผสคอ y = x + 1

ความชนของเสนตงฉาก = m1

= 11

= –1

สมการของเสนตงฉาก คอ y – 2 = –1(x–1) = –x + 1

สมการเสนตงฉาก คอ y = –x + 3 - มมทเสนโคงสองเสนตดกน - จดสงสด จดต าสด และจดเปลยนเวา

5. ท าแบบประเมนผลการเรยนรท 5.1

ขนสรปและการประยกต 6. นกศกษารวมกนสรปการประยกตอนพนธของฟงกชน ทงหมดลงในสมด 7 . อาจารยตรวจแบบประเมนผลการเรยนรท 5.1 และชแจงสงทบกพรองหรอผดพลาดใหนกศกษาทราบ

สอการเรยนการสอน 1. หนงสอเรยนวชา แคลคลสพนฐาน (3000-1406) 2. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.1

การวดผลและการประเมนผล วธวดผล 1. สงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล 2. ตรวจแบบประเมนผลการเรยนรท 5.1 3. การสงเกตและประเมนผลพฤตกรรมดานคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค

เครองมอวดผล 1. แบบสงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล 2. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.1 3. แบบประเมนคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค โดยอาจารยและนกศกษารวมกนประเมน

เกณฑการประเมนผล 1. แบบสงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล เกณฑผาน ตองไมมชองปรบปรง 2. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.1 ท าถกตอง 70% ขนไป 3. แบบประเมนคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค คะแนนขนอยกบการประเมนตามสภาพจรง

แผนการจดการเรยนรท 11 รหสวชา 3000-1406 วชา แคลคลสพนฐาน หนวยท 5 ชวโมงท 31-33 ชอหนวย การประยกตอนพนธของฟงกชน (ตอ)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคด สรป วธหาคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธ โดยใชอนพนธอนดบทสอง

1. จาก y = f(x) หาอนพนธอนดบทหนงกอน คอ หา dxdy

แลวให dxdy

= 0 แกสมการหาคาของ x สมมตวา ได x = a

2. จาก dxdy

ในขอ 1 หาอนพนธอนดบทสอง คอ หา 2

2

dxyd

3. น าคา x = a จากขอ 1 แทนลงใน 2

2

dxyd

ในขอ 2 แลวพจารณาคาของ 2

2

dxyd

ถามคาเปนบวก

แสดงวา x = a เปนคาทจดต าสดสมพทธ ถามคาเปนลบ แสดงวา x = a เปนคาทจดสงสดสมพทธ แตถา 2

2

dxyd

= 0 จะ

ทดสอบไมไดวา เปนคาสงสดสมพทธหรอต าสดสมพทธ ตองกลบไปใชวธการในตอนแรก คอ ใชอนพนธอนดบท 1

สาระการเรยนร 3. อตราสมพทธ

4. การหาคาเชงอนพนธ (ผลตางอนพนธ)

ผลการเรยนรทคาดหวง

3. แกปญหาโจทยเกยวกบคาสงสดและคาต าสดสมพทธได 4. แกปญหาโจทย ความเรวและความเรงของวตถทเคลอนทในแนวเสนตรงได 5. มการพฒนาคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงคทอาจารยสามารถสงเกตเหนได ในดานความม

มนษยสมพนธ ความมวนย ความรบผดชอบ ความเชอมนในตนเอง ความสนใจใฝร ความรกสามคค ความกตญญกตเวท

กจกรรมการเรยนการสอน ขนนาเขาสบทเรยน 1. อาจารยทบทวนการหาคาอนพนธของฟงกชนจากนยาม โดยการถาม – ตอบ

ขนสอน 2. นกศกษาศกษาใบความร เรอง การหาคาสงสด, คาต าสดสมพทธ หรอจดเปลยนเวามขนตอนในการด าเนนการอยางไร 3. นกศกษาท าใบกจกรรม เพอฝกความช านาญและทดสอบความร 4. สมนกศกษาออกมาแสดงวธหาค าตอบโดยเพอนในหองเปนผชวยเหลอ 5. อาจารยอธบายและสรปเพมเตมใหนกศกษาเขาใจมากขน 6. นกศกษาท าแบบประเมนผลการเรยนรท 5.2

ขนสรปและการประยกต 7. นกศกษารวมกนสรปการประยกตอนพนธของฟงกชน ทงหมดลงในสมด 8. อาจารยตรวจแบบประเมนผลการเรยนรท 5.2

สอการเรยนการสอน 1. หนงสอเรยนวชา แคลคลสพนฐาน (3000-1406) 2. ใบความร 3. ใบกจกรรม 4. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.2

การวดผลและการประเมนผล วธวดผล 1. สงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล 2. ตรวจใบกจกรรมและแบบประเมนผลการเรยนรท 5.2 3. การสงเกตและประเมนผลพฤตกรรมดานคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค

เครองมอวดผล 1. แบบสงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล 2. ใบกจกรรมและแบบประเมนผลการเรยนรท 5.2 3. แบบประเมนคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค โดยอาจารยและนกศกษารวมกนประเมน

เกณฑการประเมนผล 1. แบบสงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล เกณฑผาน ตองไมมชองปรบปรง 2. ใบกจกรรมและแบบประเมนผลการเรยนรท 5.2 ท าถกตอง 70% ขนไป 3. แบบประเมนคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค คะแนนขนอยกบการประเมนตามสภาพจรง

ใบความร

การทดสอบคาสงสด, คาตาสดสมพทธ หรอจดเปลยนเวามขนตอนในการดาเนนการ ดงน ถา y = f(x) เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b] โดยม c เปนจดหนงในชวงเปด (a, b) ซง f(c) = 0 และสมมตวา เรา

สามารถหาอนพนธของ f(x) ได ทกคาของ x ในชวงเปด (a, b) เวนแตจะหาไมไดท x = c นนคอ ถา f(x) เปนฟงกชนของ x

และ x = c เปนจดวกฤต (critical point) ของ f(x) ซง )c(f = 0 หรอ )c(f หาคาไมได

ถา a และ b เปนจ านวนจรงซง a < c < b โดยท f ตอเนองตลอดชวงปด [a, b], f (a) และ f (b) หาคาได และ c เปนจดวกฤตเพยงจดเดยวในชวงปด [a, b] แลว จะไดวา

1. f (c) จะเปนสงสดสมพทธของ f(x) ถา f (a) > 0 และ f (b) < 0

2. f (c) จะเปนต าสดสมพทธของ f(x) ถา f (a) < 0 และ f(b) > 0

3. จด (c, f(c)) จะเปนจดเปลยนเวาของ f(x) ถา f(a) > 0 และ f(b) > 0 หรอ f(a) < 0 และ f(b) < 0

วธการหาคาสงสด, คาต าสดสมพทธ หรอจดเปลยนเวาทกลาวมา เราเรยกวา “การหาคาสงสดโดยใชอนพนธอนดบหนง” สามารถใชอนพนธอนดบสองในการหาคาสงสด หรอคาต าสดสมพทธไดดวย สรป วธหาคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธ โดยใชอนพนธอนดบทสอง

1. จาก y = f(x) หาอนพนธอนดบทหนงกอน คอ หา dxdy

แลวให dxdy

= 0 แกสมการหาคาของ x สมมตวา ได x = a

2. จาก dxdy

ในขอ 1 หาอนพนธอนดบทสอง คอ หา 2

2

dxyd

3. น าคา x = a จากขอ 1 แทนลงใน 2

2

dxyd

ในขอ 2 แลวพจารณาคาของ 2

2

dxyd

ถามคาเปนบวก

แสดงวา x = a เปนคาทจดต าสดสมพทธ ถามคาเปนลบ แสดงวา x = a เปนคาทจดสงสดสมพทธ

แตถา 2

2

dxyd

= 0 จะทดสอบไมไดวา เปนคาสงสดสมพทธหรอต าสดสมพทธ ตองกลบไปใชวธการในตอนแรก คอ ใช

อนพนธอนดบท 1

การประยกตคาสงสดและตาสดสมพนธ

ขอสรปวธการแกปญหาเกยวกบการใชคาสงสดหรอคาต าสด เปนขนตอนไว 5 ขนตอน ดงน ขนท 1 เขยนรปประกอบเกยวกบปรมาณตางๆ ทเกยวของกบปญหาทงหมดใหได รายละเอยดใหมากทสด

ขนท 2 สรางสมการจากโจทยทก าหนดใหทมคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธในรปของตวแปร

ขนท 3 ถาสมการทสรางขนมตวแปรมากกวา 2 ตวแปร ตองพยายามหาทางก าจดตวแปรออกไปใหเหลอเพยงฟงกชนตวแปรเดยว

ขนท 4 หาคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธ ตามวธการทเรยนมาแลว ขนท 5 ใชเทคนคทเรยนมาเกยวกบการทดสอบคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธ น ามาประยกตใชกบปญหาแตละตอน

อตราสมพทธ (Related Rate) คอ การเปรยบเทยบอตราการเปลยนแปลงของสงตางๆ เทยบกบสงเดยวกน

ความเรว (Velocity) คอ อตราการเปลยนแปลงของระยะทางกบเวลาทเปลยนไป ก าหนดใหระยะทาง คอ การเปลยนแปลงของต าแหนงวตถเมอเวลาเปลยนไป ดงนน เราจงเขยนระยะทางไดเปน s = f(t) นนคอ ระยะทาง s จะเปลยนแปลงไปตามเวลาทเปลยนไป

s = f(t) …………… (1) เมอเวลาผานไป t ระยะทางกจะเปลยนไป s เมอเวลา t + t วตถจะเคลอนทไปไดระยะทาง s + s

s + s = f(t + t ) ……………. (2) (2) – (1) ; s = f(t + t ) – f(t)

เมอเวลาเปลยนไป t จะเทยบกบระยะทางไดเปน ts

ts

= t

)t(f)tt(f

เราเรยก ts

วา ความเรวเฉลย เมอ t 0 ความเรวเฉลยนจะกลายเปนความเรวชวขณะของเวลา t ใดๆ นน

คอ

ความเรวชวขณะเวลา t ใดๆ = ts

limt

0 = dt

ds

เขยนแทน dtds

ดวย v นนคอ v(t) = dtds

นนเอง

ขอสงเกต

1. ถา v > 0 วตถจะเคลอนทในทศทางทไดระยะทางเพมขน 2. ถา v < 0 วตถจะเคลอนทในทศทางทไดระยะทางลดลง

3. ถา v = 0 แสดงวาวตถจะหยดนงชวขณะ

ความเรง (acceleration) คอ อตราการเปลยนแปลงของความเรวเทยบกบเวลาทเปลยนแปลงไปก าหนดให

v(t) = dtds

เมอเวลาเปลยนไปจาก t เปน t + t ความเรวจะเปลยนไปเปน v + v

ดงนน tv

= t

)t(v)tt(v

tv

limt

0 = t

)t(v)tt(vlimt

0

dtdv

= tv

limt

0

เราเรยก dtdv

วา อตราเรงชวขณะของการเคลอนทของวตถ เขยนแทนดวย a

a = dtdv

แต v = dtds

dxdy

a = )dtds

(dtd

= 2

2

dtsd

ขอสงเกต 1. ถา a > 0 ความเรวเพมขน

2. ถา a < 0 ความเรวลดลง 3. ถา v และ a มเครองหมายเหมอนกน อตราเรวของวตถจะเพมขน แต ถา v และ a มเครองหมายตางกน อตราเรวของวตถจะลดลง

dxdy

ใบกจกรรม

จงเตมสวนทหายไปใหสมบรณและถกตอง

1. จงหาคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธของ f(x) = x4 – 2x2 จากโจทย f(x) = y = x4 - 2x2 …………… (1) จาก (1) หาอนพนธอนดบท 1

dxdy = dx

d(x4 – 2x2)

dxdy = …………………………………………….…………………. (2)

จาก (2) ให dxdy = 0 แลวแกสมการหาคาของ x

4x3 – 4x = 0 .…………………... = 0 .…………………... = 0 x = ……….…….., ………………., ……….…….. คา x ทเปนคาวกฤต คอ คา x ทเทากบ –1, 0, 1

จาก (2) หา 2

2

dxyd จะไดวา

2

2

dxyd = )xx(dx

d44 3

= ……………………….

2

2

dxyd = ………………………………………….……………… (3)

พจารณาคา x = –1, 0, 1 ซงเปนคา x ทจดวกฤต

นนคอ แทนคา x = –1 ใน 2

2

dxyd

2

2

dxyd = …………………………..

ท x = –1 จะให………………….. y = ……………………………

จดต าสดสมพทธของ f(x) = x4– 2x 4 คอ (–1, –1)

แทนคา x = 0 ใน 2

2

dxyd

2

2

dxyd = ………………….. = …………………..

ท x = 0 จะให …………………. f(0) ………………….. = …………………..

จดสงสดสมพทธของ f(x) = x4 – 2x 4 คอ (0, 0)

แทนคา x = 1 ใน 2

2

dxyd

2

2

dxyd = ………………….. = …………………..

ท x = 1 ………………….. f(1) = ………………….. = …………………..

จดต าสดสมพทธของ f(x) = x4 – 2x 4 คอ (1, –1)

เฉลยใบกจกรรม

1. จงหาคาสงสดหรอคาต าสดสมพทธของ f(x) = x4 – 2x2 จากโจทย f(x) = x4 – 2x2 …………… (1)

จาก (1) หาอนพนธอนดบท 1

f (x) = dxd

(x4 – 2x2)

f (x) = 4x3 – 4x …………… (2)

จาก (2) ให f (x) = 0 แลวแกสมการหาคาของ x

4x3 – 4x = 0 4x(x2– 1) = 0 4x(x + 1)(x – 1) = 0

x = 0, 1, –1 คา x ทเปนคาวกฤต คอ คา x ทเทากบ –1, 0, 1

จาก (2) หา f (x) จะไดวา

f (x) = )xx(dxd

44 3

= xdxd

xdxd

44 3

f (x) = 412 2x …………… (3)

พจารณา คา x = –1, 0, 1 ซงเปนคา x ทจดวกฤต นนคอ แทนคา x = –1 ใน (3)

f (–1) = 12(–1)2– 4 = 8 > 0

ท x = –1 จะใหคาต าสดสมพทธ

f(–1) = (–1)4 – 2(–1) 4 = –1

จดต าสดสมพทธของ f(x) = x4– 2x 4 คอ (–1, –1) ตอบ แทนคา x = 0 ใน (3)

f (0) = 12(0)2 – 4 = –4 < 0

ท x = 0 จะใหคาสงสดสมพทธ f(0) = (0)4 – 2(0) 4 = 0

จดสงสดสมพทธของ f(x) = x4 – 2x 4 คอ (0, 0) ตอบ แทนคา x = 1 ใน (3)

f (1) = 12(1)2 – 4 = 8 > 0

ท x = 1 จะใหคาต าสดสมพทธ f(1) = (1)4 – 2(1) 4 = –1

จดต าสดสมพทธของ f(x) = x4 – 2x 4 คอ (1, –1) ตอบ

แผนการจดการเรยนรท 12 รหสวชา 3000-1406 วชา แคลคลสพนฐาน หนวยท 5 ชวโมงท 34-36 ชอหนวย การประยกตอนพนธของฟงกชน (ตอ)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคด ในการหาคาอตราสมพทธ หรอ ท าโจทยปญหาเกยวกบอตราสมพทธ (Related Rate) คอ

1. ไมควรรบรอนแทนคาของตวแปรหรอตวไมทราบคากอนการหาอนพนธ เพราะจะท าใหการหาคาอนพนธไดศนยทงหมด 2. การแทนคาอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา ควรตองมการก าหนดเครองหมายของอตราการเปลยนแปลงดวย คอ

2.1 ถาตวแปรเพมขน เมอเวลาเพมขน ใหอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา มคาเปน บวก 2.2 ถาตวแปรลดลง เมอเวลาลดลง ใหอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา มคาเปน ลบ

สาระการเรยนร 5. การหาคาโดยประมาณของฟงกชนโดยใชคาเชงอนพนธ

ผลการเรยนรทคาดหวง

5. แกปญหาโจทยทเกยวกบอตราสมพทธได 6. หาคาโดยประมาณของฟงกชนโดยใชผลตางอนพนธได 7. มการพฒนาคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงคทอาจารยสามารถสงเกตเหนได ในดานความม

มนษยสมพนธ ความมวนย ความรบผดชอบ ความเชอมนในตนเอง ความสนใจใฝร ความรกสามคค ความกตญญกตเวท

กจกรรมการเรยนการสอน ขนนาเขาสบทเรยน 1. อาจารยทบทวน อตราสมพทธ โดยการสนทนา ถาม - ตอบ

ขนสอน 2. อาจารยยกตวอยาง อตราสมพทธ พรอมทงอธบายและซกถาม

ตวอยาง 1 ถาจรวดล าหนง ตามรปท 5.11 ก าลงถกยงขนในแนวดงดวยความเรว 880 ฟต/วนาท ในขณะนนจรวดอยหางจากฐานยง 4,000 ฟต กลองสงเกตการณอยหางจากฐานยงจรวด 3,000 ฟต จงหาความเรวขณะใดขณะหนง ทจรวดก าลงเคลอนทหางออกจากกลองสงเกตการณอนน

ก าหนดให t = เวลาทจรวดใชในการเดนทาง (วนาท) y = ระยะทางจากกลองถงจรวดหลงจากยงจรวดไปแลว t วนาท (ฟต) x = ความสงของจรวดทหางจากฐานยงหลงจากเวลาผานไป t วนาท (ฟต)

y ft

กลอง

จรวด

3,000 ft

x ฟต

dtdy

= ความเรวขณะใดขณะหนงทจรวดก าลงเคลอนทหางออกไปจากกลองมหนวยเปน ฟต/วนาท

dtdx

= ความเรวขณะใดขณะหนงทจรวดก าลงถกยงขนในแนวดงมหนวยเปน ฟต/วนาท

จากรป 5.11 และจากทฤษฎบทของปธากอรส เราจะไดวา

y 2 = x 2 + (3,000) 2 ………………. (1) จากสมการ (1) หาอนพนธเทยบกบเวลา t ทงสองขาง

dtdy 2

= dtdx 2

+ 2000,3 )(dtd

2y dtdy

= 2x dtdx

+ 0

dtdy

= yx

22

. dtdx

…….………………. (2)

จาก (1) ; เมอ x = 4,000 ฟต เราสามารถหาคา y ไดดงน

y = 22 000,3000,4 )()( = 5,000 ฟต

เมอ x = 4,000 ฟต, y = 5,000 ฟต และ dtdx

= 880 ฟต/วนาท

จาก (2) ; dtdy

= yx

dtdx

dtdy

= )(880000,5000,4

= 704 ฟต/วนาท ความเรวขณะใดขณะหนง ทจรวดก าลงเคลอนทหางออกจากกลอง

= 704 ฟต/วนาท 3. สมนกศกษาออกมาแสดงวธหาค าตอบของตวอยางบนกระดานโดยเพอนในหองเปนผชวยเหลอ 4. ใหนกศกษาจ าสตรการหาอนพนธ และสตรการหาคาเชงอนพนธ เพอน าไปใชในการหาคาอนพนธ 5. นกศกษาท าแบบประเมนผลการเรยนรท 5.3 สงอาจารย 6. อาจารยเฉลยแบบประเมนผลการเรยนรท 5.3 และใหนกศกษาชวยกนซกถามขอสงสย

ขนสรปและการประยกต 7. นกศกษารวมกนสรปการประยกตอนพนธของฟงกชน ทงหมดลงในสมด 8. อาจารยใหนกศกษาท าแบบประเมนผลการเรยนรท 5.4 สงตามก าหนด 9. อาจารยตรวจแบบประเมนผลการเรยนรท 5.4 และชแจงขอบกพรองหรอขอผดพลาดใหนกศกษาทราบ

สอการเรยนการสอน 1. หนงสอเรยนวชา แคลคลสพนฐาน (3000-1406)

2. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.3 และ 5.4 3. ใบความร

การวดผลและการประเมนผล วธวดผล 1. สงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล 2. ตรวจแบบประเมนผลการเรยนรท 5.3 และ 5.4 3. การสงเกตและประเมนผลพฤตกรรมดานคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค

เครองมอวดผล 1. แบบสงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล 2. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.3 และ 5.4 3. แบบประเมนคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค โดยอาจารยและนกศกษารวมกนประเมน

เกณฑการประเมนผล 1. แบบสงเกตพฤตกรรมการปฏบตงานรายบคคล เกณฑผาน ตองไมมชองปรบปรง 2. แบบประเมนผลการเรยนรท 5.3 และ 5.4 ท าถกตอง 70% ขนไป 3. แบบประเมนคณธรรม จรยธรรม คานยม และคณลกษณะอนพงประสงค คะแนนขนอยกบการประเมนตามสภาพจรง

ใบความร สตรตางๆ สตรการหาอนพนธ สตรการหาคาเชงอนพนธ

1. dxdc

= 0 1. dc = 0

2. wvudxd

= dxdw

dxdv

dxdu

2. wvud = dwdvdu

3. dxdx

= 1 3. dx = 1-dx

4. cu dxd

= dxdu

c 4. dcu = cdu

5. uvdxd

= dxdu

vdxdv

u 5. uvd = udv + vdu

6. vu

dxd

=

dxdv

udxdu

vv 2

1 6. v

ud = udvvdu

v2

1

7. n udxd

= dxdu

nu n 1 7. dun = dunu n 1

8. u sindxd

= dxdu

u cos 8. dsin u = u ducos

9. u cosdxd

= dxdu

u sin 9. dcos u = u dusin

10. u tandxd

= cosec2 u dxdu

10. dtan u = duusec2

11. u cotdxd

= –cosec2

dxdu

u 11. dcot u = -cosec2 u du

12. usecdxd

= dxdu

u tan u sec 12. dsec u = u dutan u sec

13. dxd

cosec u = –cosec u dxdu

u cot 13. dcosec u = -cosec u cot u du

14. usindxd 1 = dx

du

u 21

1

14. dsin-1 u = duu 21

1

15. ucosdxd 1 = dx

du

u

21

1

15. dcos-1 u = du

u 21

1

16. utandxd 1 = dx

duu 21

1

16. dtan-1 u = duu 21

1

17. ucotdxd 1 = dx

du

u 21

1

17. dcot-1 u = du

u 21

1

สตรการหาอนพนธ สตรการหาคาเชงอนพนธ

18. u secdxd 1 = dx

du

uu 1

12

18. dsec-1 u = duuu 1

12

19. dxd

cosec-1 u = dxdu

uu

112

19. dcosec-1 u = du

uu 112

20. ulogdxd

a = dxdu

elogu a

1 20. dloga u = duelogu a

1

21. ulndxd

= dxdu

.u1

21. dln u = .duu1

22. adxd u = dx

du aln a u 22. dau= adu ln a u

23. uedxd

= dxdu

e u 23. deu = due u