analiza v. batagelj analiza omre zij -...
TRANSCRIPT
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Analiza omrezij5. Zgradba omrezij
povezanosti
Vladimir Batagelj
Univerza v Ljubljani, FMF, matematika
Interdisciplinarni doktorski studijski program StatistikaLjubljana, april 2014
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Kazalo
1 Sprehodi2 Povezanosti3 Pomembna vozlisca
4
4
4
32
2
3
3
3
2
456
5
56
3 2
BCD A
1
1
Self colours
Title
Quad Royal Tube Map Version 2 Date
Size
1/9/2005
4 Colour Process + 4 Self Colours S/S
Pantone®
485 CPantone®
470 CPantone®
235 CPantone®
072 C
Process colours
River Thames
River Thames
A
B
C
D
E
F
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
C
D
E
F
Tubemap
D2 Acton CentralD2 Acton TownD6 AldgateD7 Aldgate EastD8 All SaintsB2 AlpertonA1 AmershamC6 AngelB5 ArchwayA6 Arnos GroveB6 Arsenal
C4 Baker Street F4 BalhamD6 BankC6 BarbicanC9 BarkingB9 BarkingsideD3 Barons CourtC3 BayswaterE9 Beckton
D9 Beckton ParkC9 BecontreeB5 Belsize ParkD6 BermondseyC7 Bethnal GreenD5 BlackfriarsB7 Blackhorse RoadD8 BlackwallC4 Bond StreetE6 BoroughD1 Boston ManorA6 Bounds GreenC8 Bow ChurchC7 Bow RoadB4 Brent CrossF5 Brixton C8 Bromley-by-BowB3 BrondesburyB3 Brondesbury ParkA8 Buckhurst Hill A4 Burnt Oak
B6 Caledonian RoadB6 Caledonian Road
& BarnsburyB5 Camden RoadB5 Camden TownD7 Canada WaterD8 Canary WharfD8 Canning TownD6 Cannon StreetB7 CanonburyA3 Canons ParkA1 Chalfont & LatimerB5 Chalk FarmC5 Chancery LaneD5 Charing CrossA1 CheshamA9 ChigwellD2 Chiswick ParkA1 ChorleywoodF4 Clapham CommonF4 Clapham North F4 Clapham SouthA6 Cockfosters
A4 ColindaleF4 Colliers WoodD5 Covent GardenE8 Crossharbour
& London ArenaA2 CroxleyD9 Custom HouseF8 Cutty SarkD9 Cyprus
B9 Dagenham EastB9 Dagenham HeathwayB7 Dalston KingslandA8 DebdenF7 Deptford BridgeC8 Devons RoadB3 Dollis Hill
C1 Ealing BroadwayD2 Ealing CommonD3 Earl's CourtC2 East ActonA2 EastcoteA5 East Finchley
C8 East HamD8 East IndiaE3 East PutneyA4 EdgwareC4 Edgware Road (Bakerloo)C4 Edgware Road
(Circle/District/H&C)E5 Elephant & CastleB9 Elm ParkF7 Elverson RoadD5 EmbankmentA8 EppingC5 EustonC5 Euston Square
B9 FairlopC6 FarringdonA5 Finchley CentralB4 Finchley RoadB4 Finchley Road & FrognalB6 Finsbury ParkE3 Fulham Broadway
E9 Gallions Reach
B8 Gants HillD3 Gloucester RoadB4 Golders GreenD3 Goldhawk RoadC5 Goodge StreetB5 Gospel OakA9 Grange Hill C5 Great Portland StreetB1 GreenfordF7 GreenwichD4 Green ParkE2 Gunnersbury
B7 Hackney CentralB7 Hackney WickA9 HainaultD3 HammersmithB5 HampsteadB5 Hampstead HeathC2 Hanger LaneB3 HarlesdenA3 Harrow & Wealdstone B2 Harrow-on-the HillE1 Hatton Cross
E1 Heathrow Terminals 1, 2, 3
E1 Heathrow Terminal 4A4 Hendon CentralD8 Heron QuaysA5 High BarnetB6 Highbury & IslingtonA5 HighgateD3 High Street KensingtonA1 HillingdonC5 Holborn C3 Holland ParkB6 Holloway RoadB7 HomertonB9 HornchurchE1 Hounslow CentralD1 Hounslow EastE1 Hounslow WestD4 Hyde Park Corner
A1 IckenhamE8 Island Gardens
E5 Kennington
B3 Kensal GreenB3 Kensal RiseD3 Kensington (Olympia)B5 Kentish TownB5 Kentish Town WestA3 KentonE2 Kew GardensB4 KilburnC3 Kilburn ParkB3 KingsburyC5 King’s Cross St. PancrasD4 Knightsbridge
C3 Ladbroke GroveE5 Lambeth NorthC4 Lancaster GateC3 Latimer RoadD5 Leicester SquareF7 LewishamB8 LeytonB8 LeytonstoneD7 LimehouseC6 Liverpool StreetD6 London Bridge
A8 Loughton
C3 Maida ValeB6 Manor HouseD5 Mansion HouseC4 Marble ArchC4 MaryleboneC7 Mile EndA5 Mill Hill EastD6 MonumentC6 MoorgateA2 Moor ParkF4 MordenB5 Mornington Crescent E8 Mudchute
B3 NeasdenB9 Newbury ParkF7 New CrossF7 New Cross GateC2 North ActonC2 North EalingD1 NorthfieldsD8 North Greenwich
A2 North HarrowB1 NortholtB3 North WembleyB3 Northwick ParkA2 NorthwoodA2 Northwood HillsE9 North WoolwichC3 Notting Hill Gate
A6 OakwoodC6 Old StreetD3 OlympiaD1 OsterleyF5 Oval C4 Oxford Circus
C3 PaddingtonC2 Park RoyalE3 Parsons GreenC1 PerivaleD5 Piccadilly CircusE4 PimlicoA2 PinnerC8 Plaistow
D8 PoplarB3 Preston RoadD9 Prince RegentC8 Pudding Mill LaneE3 Putney Bridge
A3 QueensburyB3 Queen’s ParkC3 Queensway
D3 Ravenscourt ParkB2 Rayners LaneB8 RedbridgeC4 Regent’s ParkE2 RichmondA1 RickmansworthA8 Roding ValleyD7 RotherhitheD9 Royal AlbertC3 Royal OakD9 Royal VictoriaA1 RuislipB1 Ruislip GardensA2 Ruislip Manor
C5 Russell Square
D4 St. James’s ParkC4 St. John’s WoodC6 St. Paul’sB7 Seven SistersD7 ShadwellC3 Shepherd’s Bush
(Central)D3 Shepherd’s Bush
(Hammersmith & City)C7 Shoreditch E9 SilvertownD4 Sloane SquareB8 SnaresbrookD2 South ActonD2 South EalingE3 SouthfieldsA6 SouthgateB2 South HarrowD4 South KensingtonB3 South KentonE8 South QuayB1 South Ruislip
E5 SouthwarkF4 South WimbledonB8 South WoodfordD2 Stamford BrookA3 StanmoreC7 Stepney GreenF5 StockwellB3 Stonebridge ParkC8 StratfordB2 Sudbury HillB2 Sudbury Town E7 Surrey QuaysB4 Swiss Cottage
D5 TempleA8 Theydon BoisF4 Tooting BecF4 Tooting BroadwayC5 Tottenham
Court RoadB7 Tottenham HaleA5 Totteridge &
WhetstoneD7 Tower Gateway
D6 Tower HillB5 Tufnell ParkD2 Turnham Green A6 Turnpike Lane
B9 UpminsterB9 Upminster BridgeC9 UpneyC8 Upton ParkA1 Uxbridge
E4 VauxhallD4 Victoria
B7 Walthamstow CentralB8 WansteadD7 WappingC5 Warren StreetC3 Warwick AvenueE5 WaterlooA2 WatfordB3 Wembley CentralB3 Wembley ParkC2 West Acton
C3 Westbourne ParkD3 West BromptonD7 WestferryA5 West FinchleyC8 West HamB4 West HampsteadB2 West HarrowD8 West India QuayD3 West KensingtonD5 WestminsterA1 West RuislipC7 WhitechapelC3 White CityB3 Willesden GreenB3 Willesden JunctionE3 WimbledonE3 Wimbledon ParkA8 WoodfordA6 Wood GreenA5 Woodside Park
µ:
Ÿ Á :
Ÿ Á
:
Á:
Á : µŸ :
Á µ
Á µÁ :
Á µ
Ÿ ÁÁ µ
:
ÁµÁŸ ÁÁ
Ÿ Á :Ÿ
µ
Á : µ: µÁ : µ
Ÿ Á :Ÿ Á : µ
:
Ÿ Á : µ
ÁŸ Á : µÁÁÁŸ Á :
Ÿ Á
µ
Ÿ Á :Á µÁ µÁ µ
Á: µ
Ÿ ÁÁ µµ:
Á :
µ
Ÿ :Ÿ Á
Á µÁ µÁŸ Á
µÁ µ
Ÿ Á : µ: ∏
Ÿ ::
Ÿ Á
Á :µ
Á µ
Á :Á
:
Ÿ Á :Á µ:
Á
Ÿ Á :Á µ
Á :
Ÿ µŸ Á :Ÿ Á
: µ ∏
:
µŸ Á :ÁŸ
Ÿ Á µ
Á
Ÿ ÁÁŸ : µŸ Á µ
Ÿ Á: µ
Á
: µ
Á : µÁ : µ Á :Á : ∏
ÁÁ
Á : µ:
Ÿ :µÁ : ∏: µ
Ÿ Á
Á :
Ÿ
Ÿ Á :Ÿ :
µ
:
Ÿ Á :Á µ
Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ
Á :Á :
Á :Ÿ Á ::
Ÿ Á :
: µŸ Á :
: :
ÁŸ Á :: ∏
Ÿ Á :Ÿ Á
Á : µ:
Á µµÁ
Ÿ Á :
ÁŸ Á :Ÿ Á :
Ÿ Á : µŸ Á :
ÁÁ µ
Á µŸ Á :Ÿ ::
Á :
Á :
Ÿ Á :
Ÿ:
µŸ Á
Á µ
Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ
µ:
Ÿ Á : µÁÁ
Ÿ :
Ÿ Á : µŸ Á :
µ
Ÿ Á : µ
: µ
Á µ
: ∏
Ÿ ÁŸ
Á :Ÿ Á ::
Ÿ Á :Á :
µ: µµ:
:
µ
µŸ ::
:
Á :Á : µŸ Á : µ
Ÿ Á : µÁŸ Á : µ
231124D1
2/342
131145213
35222132114
3/42232
2/32254
22
22223125C211D53B22
2/35
4312
A3
2/33
5526
2/323
33
1/2253
3/42/32/3511
1/26
2/31611
5142222
3
413212514
2/313
2252
2/333355
5/6
6
63/4252316122264451
62
2
222224
3/422411
21121
2/33
3/4211
6
22/31112411
6/A422
3422
2/333
2/3
5544663
1/2
512421
13241153
243
2/32
421
25414A52323656
1
121322
2
2314333451425
13/442522334422
16331
34
1
12
2/33
66436
1/21
342121A443
2224325221622
2/3333434
A
B
C
D
F
G
H
I
K
L
M
N
O
Q
P
R
S
T
V
W
U
E
Grid Stations Zones Grid Stations Facilities Zones
Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities ZonesIndex to stations
Sponsored by
Travel information
Step-free accessStations displaying this symbolin the index have step-freeaccess between the street andplatforms. This facility is usefulfor passengers with luggage,shopping or buggies as well asfor wheelchair users
To plan a journey in a wheelchair,see our leaflet ‘Tube access guide’ or call
0845 330 9880
For journey planning and travel advice call
µ
Station facilitiesThe index on this map also shows
Other RailwaysFor a map of all Railways in Greater London, consult the High Frequency Services Map nearby
‰ Car parksBicycle parking
Stations with toilets on siteor nearby
Á
∑
Travel Information Centres∏
Facilities
Transport for London
Key to lines and symbols
Central
Bakerloo
District
Circle
East London Docklands Light Railway
Northern
Metropolitan
Piccadilly
Victoria
Waterloo & City
National Rail
Connections withNational Rail
Connection withTramlink
Airport interchange
Connections withriverboat services
Interchange stations
Poster 09.05
OpensDecember 2005
020 7222 123424 hour travel information
020 7918 3015Textphone
www.tfl.gov.ukWebsite
020 7918 3015Textphone
www.tfl.gov.ukWebsite
Jubilee
Hammersmith & City
Covent Garden station gets very busy at weekends and in the evenings, but you can avoid the crowds by walking there from Holborn, Leicester Square or Charing Cross. The short walk is clearly signposted above ground and maps are on display at each station.
This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck
Bermondsey
SouthwarkWaterloo East
Chalfont &Latimer
Moor Park
NorthwoodNorthwoodHills
Pinner
Eastcote North Harrow
Maida Vale
Queen's ParkKensal Green
Neasden
Dollis Hill
Willesden Green
Kilburn
WestHampstead
Swiss CottageSt. John's Wood
Finchley Road
Amersham
Ruislip Manor
Chesham
Chorleywood
Rickmansworth
Watford
Croxley
Harrow-on-the-Hill
PrestonRoad
Hillingdon Ruislip
Rayners Lane
West Harrow NorthwickPark Wembley
Park
Ealing Common
EalingBroadway
GreatPortland
StreetBakerStreet
FarringdonBarbican
Moorgate
Aldgate
EustonSquare
ActonTown
ChiswickPark
TurnhamGreen
WestActon
EastActon
Shepherd'sBush
StamfordBrook
RavenscourtPark
Hammersmith
WestKensington
West Brompton
Fulham Broadway
Parsons Green
Putney Bridge
East Putney
Southfields
Wimbledon Park
Wimbledon
VictoriaSouthKensington
GloucesterRoad
Embankment
Blackfriars
MansionHouse
Temple
Cannon Street
Bank
Monument
BaronsCourt
Fenchurch Street
Whitechapel
TowerGateway
TowerHill
AldgateEast
Stepney Green
Mile End
BowRoad Bow
ChurchBromley-by-Bow
West Ham
Plaistow
Upton Park
East Ham
Becontree
DagenhamHeathway
Elm Park
Upney
DagenhamEast
Hornchurch
UpminsterBridge
Upminster
High StreetKensington
NottingHill Gate
Bayswater
Kensal Rise Brondesbury
EdgwareRoad
St. James'sPark
SloaneSquare
Westminster
Barking
Latimer Road
Westbourne Park
Finchley Road& Frognal
Ladbroke Grove
Royal Oak
Shepherd'sBush
Goldhawk Road
West Ruislip
Greenford
RuislipGardens
SouthRuislip
Northolt
HangerLane
Perivale
NorthActon
WhiteCity
HollandPark
Paddington
Paddington
ChanceryLaneBond
StreetOxfordCircus
TottenhamCourt Road
St. Paul'sMarbleArch
Queensway
LancasterGate
BethnalGreen
Stratford
Leyton
Leytonstone
Snaresbrook
SouthWoodford
Woodford
Epping
Theydon Bois
DebdenLoughton
Buckhurst Hill
Redbridge
ChigwellRodingValley
Hainault
Fairlop
BarkingsideNewbury
Park
GrangeHill
Wanstead GantsHill
South Ealing
Knightsbridge
Hyde ParkCorner
Green Park
PiccadillyCircus
LeicesterSquare
RussellSquare
Caledonian Road
CaledonianRoad &
Barnsbury
DalstonKingsland
Homerton
Holloway Road
Arsenal
Manor House
Turnpike Lane
Wood Green
Bounds Green
Arnos Grove
Southgate
Oakwood
Cockfosters
Uxbridge Ickenham
ActonCentral
Waterloo
Morden
Colliers Wood Tooting Broadway
South Wimbledon
Tooting BecBalham
Clapham South ClaphamCommon
Clapham NorthClapham High Street 100m
StockwellOval
Kennington
Borough
SouthActon
Old Street
Angel
GoodgeStreet
Euston
MorningtonCrescent
Camden Town
Chalk Farm
Regent’s Park
Belsize Park
Hampstead HampsteadHeath
GospelOak
CanonburyHackneyCentral
HackneyWick
KentishTown West
CamdenRoad
Hendon Central
Colindale
BurntOak
Mill Hill East
High Barnet
Totteridge & Whetstone
Woodside Park
West Finchley
Finchley Central
East Finchley
Highgate
Archway
Tufnell Park
KentishTown
CanadaWater
Canary Wharf
Elverson Road
Deptford Bridge
Harrow &Wealdstone
Kenton
Stanmore
Canons Park
Queensbury
Kingsbury
South KentonNorth Wembley
Wembley Central
Stonebridge ParkHarlesden
Willesden Junction
Kilburn ParkWarwick Avenue
EdgwareRoad
BrondesburyPark
Marylebone
LambethNorth
Elephant & Castle
King's CrossSt. Pancras
CharingCross
Covent Garden
Highbury &Islington
BlackhorseRoad
SevenSisters
WalthamstowCentral
TottenhamHale
FinsburyPark
Pimlico
Brixton
Shoreditch
Wapping
Rotherhithe
Surrey Quays
New CrossNew Cross Gate
Vauxhall
Limehouse
Westferry
DevonsRoad
PuddingMill Lane
West IndiaQuay
Cutty Sarkfor Maritime Greenwich
Greenwich
Lewisham
Blackwall
EastIndia
Warren Street
Edgware
All Saints
Heron Quays
South Quay
Crossharbour &London Arena
Mudchute
Island Gardens
Shadwell
No service between Woodford - Hainault
after 2000 hours
Gunnersbury
Richmond
Kew Gardens
Poplar
London Bridge
Change atChalfont & Latimer
on most trains
No Piccadilly line serviceUxbridge - Rayners Lane
in the early mornings
Special fares apply forprinted single and return
tickets to and from this station
Also served byPiccadilly linetrains early
mornings andlate evenings
100m
100m
Euston 200m
150m
Charing Cross 100m
200m
HeathrowTerminals
1, 2, 3
Hounslow Central
Osterley
Northfields
Boston ManorHounslow
East
HounslowWest
LiverpoolStreet
No Hammersmith & City line serviceWhitechapel - Barking early mornings,late evenings or all day Sundays.
Mondays - Fridays open0700 - 1030 and 1530 - 2030
Saturdays closedSundays open 0700 - 1500
No entry from the streeton Sundays 1300 - 1730
(exit and interchange only)
Waterloo & City lineMondays - Fridays 0615 - 2130
Saturdays 0800 - 1830Sundays closed
At off-peak times most trains run to/from Morden via the Bank branch.To travel to/from the Charing Cross branch please change at Kennington.
Open Mondays -Saturdays
200m
South Harrow
Sudbury Hill
North Ealing
Park Royal
Alperton
Sudbury Town
Mondays - Saturdaysopen 0700-2345
Sundaysopen 0800-2345
Kensington(Olympia)
Earl'sCourt
Holborn
King George V
LondonCityAirport
WestSilvertown
PontoonDock
Opens
December 2005
Opens December 2005
Silvertown
North Woolwich
Royal Victoria
Custom Housefor ExCeL
Prince Regent
Royal Albert
Beckton Park
Cyprus
GallionsReach
Beckton
Canning TownBus to London City Airport
OpenMondays - Fridays
until 2100 onlySaturdays 0730 - 1930
Golders Green
Brent Cross
HeathrowTerminal 4
Hatton Crossfor Heathrow Terminal 4
Bus ser
vice
Improvement work to tracks and stations mayaffect your journey, particularly at weekends.
For help planning your journey look forpublicity at stations, call 020 7222 1234
or visit www.tfl.gov.uk
Closed until May 2006
Sudbury Hill Harrow150m
Station in Zone 11
Station in Zone 2
3
4
5
6
Station in Zone 3
Station in Zone 5
Station in Zone 6
2
Station in Zone 4
A Station in Zone A
B Station in Zone B
C Station in Zone C
D Station in Zone D
Station in Zone 6 and Zone A
Station in both zones
Station in both zones
Explanation of zones
TM Quad 2n Version 2 1/9/05 4 Colour Process + 4 Self Colours
NorthGreenwich
London Tube
wiki: http://pajek.imfm.si/doku.php?id=event:pdApril 14, 2014/ marec 2013
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Sprehodi
dolzina |s| sprehoda s je stevilopovezav, ki ga sestavljajo.s = (j , h, l , g , e, f , h, l , e, c, b, a)|s| = 11Sprehod je sklenjen ali obhod ntk. nje-gov zacetek in konec sovpadata.Ce ne upostevamo smeri povezavv ’sprehodu’, dobimo polsprehod aliverigo.sled – sprehod z razlicnimi povezavamipot – sprehod z razlicnimi vozliscicikel – sklenjen sprehod z razlicniminotranjimi vozlisci.
Graf je aciklicen, ntk. ne vsebuje nobenega cikla.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Najkrajse poti
Dolzino najkrajse poti iz u v voznacimo z d(u, v).Ce ne obstaja sprehod iz u v vpostavimo d(u, v) =∞.d(j , a) = |(j , h, d , c, b, a)| = 5d(a, j) =∞d(u, v) = max(d(u, v), d(v , u)) jerazdalja:d(v , v) = 0, d(u, v) = d(v , u),d(u, v) ≤ d(u, t) + d(t, v).
Premer grafa je enak razdalji med, glede na d(u, v), najoddaljenejsimavozliscema: D = maxu,v∈V d(u, v).
Network/Create New Network/Subnetwork with Paths/
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Najkrajse poti
black
backlack clackblank
rack wackbalk bank basklick lanklace clickclankblink
rick race wickwalk bilkbale bane bastlinklice lanelate clink chick
rice rate winkwale bilehale wanebine wastbaitline chinkcline chic
rite winewilewhale wait chine chit
write whinewhile whit
white
DICT28.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Enakovrednosti in razbitja
Relacija R na V je enakovrednost (ekvivalencna) ntk. jerefleksivna ∀v ∈ V : vRv , simetricna ∀u, v ∈ V : (uRv ⇒ vRu) intranzitivna ∀u, v , z ∈ V : uRz ∧ zRv ⇒ uRv .Vsaka enakovrednost R doloca neko razbitje v razrede [v ] = {u : vRu}.Vsako razbitje C doloca neko enakovrednostuRv ⇔ ∃C ∈ C : u ∈ C ∧ v ∈ C .
k-sosedi vozlisca v je mnozica vozlisc, ki so za k oddaljena od v ,Nk(v) = {u ∈ v : d(v , u) = k}.Mnozica vseh mnozic k-sosedov, k = 0, 1, ... of v je razbitje mnozice V.k-sosescina vozlisca v , N(k)(v) = {u ∈ v : d(v , u) ≤ k}.
Network/Create Partition/k-Neighbors/
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Sosescina Motorole
####
AOL
MSFT
Yahoo!
Sun
IBM
Cisco
iPlanet
3COM
Motorola
AvantGo
BaltimoreTechnologies
Unisys
ComputerAssociates
Nextel
MapInfo
GM
MasterCard
Fujitsu
55
1
365
40
46
1
33
19
23
4
22
2
1
4
6
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
####
AOL
MSFT
Yahoo!
Sun
IBM
Cisco
iPlanet
3COM
Motorola
AvantGo
BaltimoreTechnologies
Unisys
ComputerAssociates
Nextel
MapInfo
GM
MasterCard
Fujitsu
Debelina povezav je koren iz vrednosti.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Povezanosti
Vozlisce u je dosegljivo iz vozlisca vntk. obstaja sprehod z zacetkom v inkoncem u.Vozlisce v je sibko povezano z vo-zliscem u ntk. obstaja veriga skrajiscema v in u.Vozlisce v je krepko povezano z vo-zliscem u ntk. sta vzajemno dosegljivi.Sibka in krepka povezanost staenakovrednosti.graphCon.net
Razredi porajajo sibke/krepke komponente ali kose grafa.
Network/Create Partition/Components/
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Sibke komponente
Ce preuredimo vozlisca omrezja,tako da vozlisca iz iste skupinesibkega razbitja postavimo sku-paj, dobimo matricni prikaz ses-tavljen iz diagonalnih blokov –sibkih komponent.Za vecino problemov velja, dajih lahko loceno resimo za vsakosibko komponento posebej innato dobljene resitve zdruzimo vresitev za celotno omrezje.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Posebni grafi – dvodelni, drevo
Graf G = (V,L) je dvodelen ntk. lahko mnozico vozlisc V razbijemo napodmnozici V1 in V2, tako da ima vsaka povezava iz L eno krajisce v V1
drugo pa v V2.Sibko povezan graf G je drevo ntk. ne vsebuje (zank in) polciklov dolzinevsaj 3.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Krepka skrcitev grafa (kondenzacija)
Ce v danem grafu skrcimo vsako krepko komponento v ustrezno vozlisce,odstranimo zanke in zdruzimo vzporedne povezave, je tako dobljeni skrcenigraf aciklicen. Za vsak aciklicni graf obstaja urejenost / ostevilcenjei : V → N, tako da velja (u, v) ∈ A ⇒ i(u) < i(v).
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Skrcitev grafa – primer
Network/Create Partition/Components/Strong [1]Operations/Network+Partition/Shrink Network [1][0]Network/Create New Network/Transform/Remove/Loops [yes]Network/Acyclic Network/Depth Partition/AcyclicPartition/Make PermutationPermutation/Inverse Permutationselect partition [Strong Components]Operations/Partition+Permutation/Functional Composition/Partition*PermutationPartition/Make Permutationselect [original network]File/Network/Export Matrix to EPS/Using Permutation
a
b
c
d
e
f
g
h
i
jk
l
#a
#e
f g
i
k
Pajek - shadow [0.00,1.00]
i
e
h
j
l
a
b
c
d
g
f
k
i e h j l a b c d g f k
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Zgradba krepkih komponent
Notranja zgradba krepke komponente –naj bo d najvecji skupni delitelj dolzin ob-hodov v krepki komponenti.Komponenta je enostavna, ce je d = 1;sicer je periodicna s periodo d .
Mnozico vozlisc V krepko povezanega us-merjenega grafa G = (V,R) je mogocerazbiti na d skupin V1, V2, . . . , Vd , takoda za vsako povezavo (u, v) ∈ R veljau ∈ Vi ⇒ v ∈ V(imod d)+1 .
Network/Create Partition/
Components/Strong-Periodic
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
. . . Zgradba krepkih komponent
Bonhourejev periodicni graf. Pajek – matrike
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Spletni metuljcek (Bow-tie)
Kumar &: The Web as a graph
Naj bo S najvecja krepka kompo-nenta v omrezju N ; W sibka kom-ponenta, ki vsebuje S; I mnozicavozlisc, iz katerih je S dosegljiva; Omnozica vozlisc dosegljivih iz S; T(cevi) vozlisca (niso v S) na potehiz I v O; R =W \ (I ∪S ∪O∪T )(lovke); in D = V \W. Razbitje
{I,S,O, T ,R,D}
imenujemo metuljcno razbitje V.
Opomba: za splosna usmerjena omrezja slika ne prikazuje vseh moznosti – vmnozici R so lahko tudi verige.
Network/Create Partition/Bow-Tie
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Dvopovezanost
Vozlisci u in v sta dvopovezani ntk. sta povezani (v obe smeri) s podvema neodvisnima (brez skupnih notranjih vozlisc) potema.Dvopovezanost doloca razbitje mnozice povezav.
Vozlisce je sticno vozlisce ali sticisce ntk. njegova odstranitev povecastevilo sibkih komponent grafa.
Povezava je most ntk. njena odstranitev poveca stevilo sibkihkomponent grafa.
Network/Create New Network/with Bi-Connected Components
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
k-povezanost
Vozliscna povezanost κ grafa G je enaka najmanjsemu stevilu vozlisc,ki jih je potrebno odvzeti iz grafa, tako da je graf porojen s prestalimivozlisci nepovezan ali trivialen (enak K1).
Povezavna povezanost λ grafa G je enaka najmanjsemu stevilupovezav, ki jih je potrebno odvzeti iz grafa, tako da je graf porojen sprestalimi povezavami nepovezan ali trivialen.Velja Whitneyeva neenakost: κ(G ) ≤ λ(G ) ≤ δ(G ) .
Graf G je (po vozliscih) k−povezan, ce je κ(G ) ≥ k in je popovezavah k−povezan, ce je λ(G ) ≥ k .
Velja Whitneyeva razlicica Mengerjevega izreka: Graf G je povozliscih/povezavah k−povezan ntk. vsak par vozlisc povezuje vsaj kpo vozliscih/povezavah locenih sprehodov.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Trikotniska povezanost – neusmerjeni grafi
V neusmerjenem grafu imenujemo trikotnik podgraf izomorfen K3.Zaporedje trikotnikov (T1,T2, . . . ,Ts) grafa G (vozliscno) trikotniskopovezuje vozlisci u, v ∈ V ntk. u ∈ T1 in v ∈ Ts ali u ∈ Ts in v ∈ T1 terV(Ti−1) ∩ V(Ti ) 6= ∅, i = 2, . . . s; in povezavno trikotnisko povezujevozlisci u, v ∈ V ntk zadosca se strozji razlicici zadnjega pogojaE(Ti−1) ∩ E(Ti ) 6= ∅, i = 2, . . . s.
Vozliscna trikotniska povezanost je enakovrednost na vozliscih; povezavnapa na povezavah. Clanek.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Trikotnisko omrezje
Naj bo G = (V, E) enostaven neusmerjen graf.Prirejeno trikotnisko omrezje NT (G) = (V, ET ,w)doloceno z G je podgraf GT = (V, ET ) grafa G, kjerje ET mnozica tistih povezav iz E , ki leze na vsajenem trikotniku. Utez w(e) povezave e ∈ ET jeenaka stevilu razlicnih trikotnikov, ki jim povezava epripada.
Trikotniska omrezja omogocajo ucinkovito razkrivanje gostih delovomrezja. Ce povezava e pripada k-kliki (podgrafu izomorfnemu Kk) v G, jew(e) ≥ k − 2.
Network/Create New Network/with Ring Counts/3-Rings/Undirected
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Povezavni prerez na ravni 16 trikotniskega omrezjaErdos-ovega grafa sodelovanj
AJTAI, MIKLOS
ALAVI, YOUSEF
ALON, NOGA
ARONOV, BORIS
BABAI, LASZLO
BOLLOBAS, BELA
CHARTRAND, GARY
CHEN, GUANTAO
CHUNG, FAN RONG K.
COLBOURN, CHARLES J.FAUDREE, RALPH J.
FRANKL, PETER
FUREDI, ZOLTANGODDARD, WAYNE D.
GRAHAM, RONALD L.
GYARFAS, ANDRAS
HARARY, FRANK
HEDETNIEMI, STEPHEN T.
HENNING, MICHAEL A.
JACOBSON, MICHAEL S.
KLEITMAN, DANIEL J.
KOMLOS, JANOS
KUBICKI, GRZEGORZ
LASKAR, RENU C.
LEHEL, JENO
LINIAL, NATHAN
LOVASZ, LASZLO
MAGIDOR, MENACHEMMCKAY, BRENDAN D.
MULLIN, RONALD C.
NESETRIL, JAROSLAV
OELLERMANN, ORTRUD R.
PACH, JANOS
PHELPS, KEVIN T.
POLLACK, RICHARD M.
RODL, VOJTECHROSA, ALEXANDER
SAKS, MICHAEL E.
SCHELP, RICHARD H.
SCHWENK, ALLEN JOHN
SHELAH, SAHARON
SPENCER, JOEL H.
STINSON, DOUGLAS ROBERT
SZEMEREDI, ENDRE
TUZA, ZSOLT
WORMALD, NICHOLAS C.
brez Erdosa,n = 6926,m = 11343
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Trikotniska povezanost – usmerjeni grafi
Ce je graf G mesan, zamenjamo neusmerjene povezave s parinasprotno usmerjenih. Naj bo G = (V,A) enostaven usmerjen grafbrez zank. Za izbrano usmerjeno povezavo (u, v) ∈ A obstajajo stirivrste usmerjenih trikotnikov: cyclic, transitive, input in output.
cyc tra in out
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
. . . Trikotniska povezanost – usmerjeni grafi
Ce pozabimo na vlogo izbrane povezave, imamo le dve vrstitrikotnikov, ki jim povezava lahko pripada: ciklicne (cyc) intranzitivne (tra, in, out). V programu Pajek ukaz
Network/Create New Network/with Ring Counts/3-Rings/Directed
omogoca dolociti ustrezna omrezja (Ncyc – ciklicne utezi, Ntra –tranzitivnostne utezi, Nsc – tranzitivne bliznjice).
Pojem trikotniske povezanosti lahko posplosimo na povezanost skratkimi (pol)cikli – obroci in ustrezna omrezja; lahko pa tudi napovezanost z majhnimi podgrafi (npr. ”klikami”, glejte Palla).
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Povezavni prerez na ravni 11 tranzitivnegatrikotniskega omrezja slovarja ODLIS
abstract
American Library Association /ALA/
American Library Directory
bibliographic record
bibliography
binding
blanket order
book
book size
Books in Print /BIP/
call number
catalog
charge
collation
colophon
condition
copyright
cover
dummy
dust jacket
edition
editor
endpaper
entry
fiction
fixed location
folio
frequency
front matter
half-title
homepage
imprint
index
International Standard Book Number /ISBN/
invoice
issue
journal layout
librarian
library
library binding
Library Literature
new book
Oak Knoll
page
parts of a book
periodical
plate
printing
publication
published price
publisher
publishing
review
round table
serial
series
suggestion box
table of contents /TOC/text
title
title page
transaction log
vendor
work
Pajek
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Pomembna vozlisca v omrezju
Pri izgradnji mer pomembnosti moramo najprej upostevati ali jeomrezje usmerjeno ali neusmerjeno. Meram pomembnosti naneusmerjenih omrezjih pravimo mere srediscnosti; na usmerjenihomrezjih pa mere veljave. Slednje se naprej delijo na mere ugleda alipodpore (upostevamo vstopajoce povezave) in mere vpliva(upostavamo izstopajoce povezave).
Ce zamenjamo dano usmerjeno omrezje z njemu nasprotnim(obrnemo smeri povezav) preidejo mere ugleda v mere vpliva, inobratno.
Dejanski pomen mere pomembnosti je odvisen od relacije (omrezja).Tako npr. je ’najuglednejsa’ oseba glede na relacijo ’ ne marasodelovati z ’ dejansko najmanj priljubljena oseba.
Odstranitev pomembnega vozlisca iz omrezja povzroci obcutnospremembo v zgradbi/delovanju omrezja.
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Normalizacija
Naj bo p : V → R neka mera pomembnosti vozlisc omrezja N = (V,L).Ce zelimo vrednosti mere p primerjati med razlicnimi omrezji, moramoposkrbeti za primerljivost. Pogosto jo poskusamo zagotoviti tako, da merop normaliziramo.Naj bo N ∈ N(V), kjer je N(V) izbrana mnozica omrezij nad isto mnozicoV,
pmax = maxN∈N(V)
maxv∈V
pN (v) in pmin = minN∈N(V)
minv∈V
pN (v)
Tedaj je normalizirana mera enaka
p′(v) =p(v)− pmin
pmax − pmin∈ [0, 1]
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Stopnje
Najpreprostejso mero pomembnosti predstavljajo stopnje vozlisc. Ker staza enostavna omrezja degmin = 0 in degmax = n − 1, je ustreznanormalizirana mera
srediscnost deg′(v) =deg(v)
n − 1in podobno
ugled indeg′(v) =indeg(v)
n
vpliv outdeg′(v) =outdeg(v)
nNamesto stopenj glede na osnovno omrezje lahko vzamemo tudi stopnjeglede na relacijo dosegljivosti (tranzitivna ovojnica).
Network/Create Partition/Degree
Network/Create Vector/Centrality/Degree
Network/Create Vector/Centrality/Proximity Prestige
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Dostopnost
Ce upostevamo razdalje d(u, v) med vozlisci v omrezju N = (V,L) lahkovpeljemopolmer r(v) = maxu∈V d(v , u)Kolicino D = maxu,v∈V d(v , u) imenujemo premer omrezja.skupna dostopnost S(v) =
∑u∈V d(v , u)
Za usmerjeno omrezje sta vpeljani meri meri vpliva. Meri ugleda dobimo,ce v obrazcih d(u, v) zamenjamo z d(v , u).
Ce omrezje ni krepko povezano, sta rmax in Smax enaki ∞. Sabidussi (1966)je zato kot mero dostopnosti vpeljal 1/S(v) oziroma v normalizirani obliki
dostopnost cl(v) =n − 1∑
u∈V d(v , u)
Network/Create Vector/Centrality/Closeness
Network/Create New Network/Subnetwork with Paths/Info on
Diameter
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Vmesnost
Pomembna so tudi vozlisca, ki lahko nadzirajo pretok podatkov poomrezju. Ce privzamemo, da so za prenos pomembne le najkrajse poti,dobimo kot mero vmesnosti (Anthonisse 1971, Freeman 1977)
b(v) =1
(n − 1)(n − 2)
∑u,t∈V:gu,t>0
u 6=v,t 6=v,u 6=t
gu,t(v)
gu,t
kjer je gu,t stevilo najkrajsih poti iz u v t; in gu,t(v) stevilo takih mednjimi, ki gredo skozi vozlisce v .
Hiter postopek za izracun vmesnosti je razvil Brandes.
Network/Create Vector/Centrality/Betweenness
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Padgett-ove floretinske rodbine
Acciaiuoli
Albizzi
Barbadori
Bischeri
Castellani
Ginori
Guadagni
Lamberteschi
Medici
Pazzi
Peruzzi
Ridolfi
Salviati
Strozzi
Tornabuoni
close between
1. Acciaiuoli 0.368421 0.000000
2. Albizzi 0.482759 0.212454
3. Barbadori 0.437500 0.093407
4. Bischeri 0.400000 0.104396
5. Castellani 0.388889 0.054945
6. Ginori 0.333333 0.000000
7. Guadagni 0.466667 0.254579
8. Lamberteschi 0.325581 0.000000
9. Medici 0.560000 0.521978
10. Pazzi 0.285714 0.000000
11. Peruzzi 0.368421 0.021978
12. Ridolfi 0.500000 0.113553
13. Salviati 0.388889 0.142857
14. Strozzi 0.437500 0.102564
15. Tornabuoni 0.482759 0.091575
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Kazala in viri
Vozliscem povezanega usmerjenega omrezja N = (V,L) priredimo dvevrednosti: kakovost vira (vsebine) xv in kakovost kazala yv (Kleinberg,1998). Na dober vir kazejo dobra kazala in dobro kazalo kaze na dobre vire
xv =∑
u:(u,v)∈L
yu in yv =∑
u:(v,u)∈L
xu
Naj bo W matrika omrezja N in x ter y vektorja obeh lastnosti. Tedajlahko zvezi zapisemo x = WTy oziroma y = Wx.
Zacnimo z y = [1, 1, . . . , 1] in nato zaporedoma izracunamo po obehzvezah nove priblizke za x in y. Oba vektorja po vsakem korakunormaliziramo. To ponavljamo dokler se vektorja ne ustalita.Pokazati je mogoce, da opisani postopek konvergira. Limitni vektor x∗ jeglavni lastni vektor matrike WTW; y∗ pa matrike WWT .
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
. . . Kazala in viri
Podobni postopki se uporabljajo v spletnih iskalnikih za ocenjevanjepomembnosti posameznih strani.PageRank, PageRank / Google, HITS / AltaVista, SALSA, teorija.
Network/Create Vector/Centrality/Hubs-Authorities
Na naslednji prosojnici: Na svetovnem nogometnem prvenstvu v Parizu leta1998 je sodelovalo 22 nogometnih reprezentanc. V omrezju so vse drzave,iz katerih so nogometasi igrali v ligah teh 22 drzav, in vse drzave, v katerihligah so igrali nogometasi iz teh 22 drzav. Relacija je igralec iz drzave x igrav drzavi y; utez je stevilo takih igralcev. Podatke je zbral Lothar Krempel.football.net
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
. . . Kazala in viri: nogometasi
ARG
AUT
BEL
BGR
BRA
CHE
CHL
CMR
COL
DEU
DNK
ESP
FRA
GBR
GRE
HRV
IRN
ITA JAM
JPN
KOR
MAR
MEX
NGA
NLD
NORPRT
PRY
ROM
SCO
TUN
TUR
USA
YUG
ZAF
Izvozniki (kazala/hubs)
ARG
AUT
BEL
BGR
BRA
CHE
CHL
CMR
COL
DEU
DNK
ESP
FRA
GBR
GRE
HRV
IRN
ITA JAM
JPN
KOR
MAR
MEX
NGA
NLD
NORPRT
PRY
ROM
SCO
TUN
TUR
USA
YUG
ZAF
Uvozniki (viri/authorities)
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Nakopicenost
Nakopicenost v vozliscu v je dolocena kot razmerje med stevilom vsehpovezav v podgrafu G 1(v) porojenim s sosescino danega vozlisca instevilom povezav v polnem grafu na teh vozliscih
C(v) =2|L(G 1(v))|
deg(v)(deg(v)− 1)
za deg(v) > 1; in C(v) = 0 sicer.
Vpliv velikosti sosescine lahko zagotovimo z naslednjim popravkom
C1(v) =deg(v)
∆C(v)
kjer je ∆ najvecja stopnja v grafu G . Ta doseze najvecjo mozno vrednostle na vozliscih, ki pripadajo osamljeni kliki reda ∆.
Network/Create Vector/Clustering Coefficients/CC2
clanek
V. Batagelj Analiza omrezij
Analizaomrezij
V. Batagelj
Sprehodi
Povezanosti
Pomembnavozlisca
Usredinjenost omrezja
Mero pomembnosti p : V → R lahko povzamemo na celotnem omrezju kotnjegovo usredinjenost C(p):
p∗ = maxv∈V
p(v)
D(p) =∑v∈V
(p∗ − p(v))
D∗ = maxN∈N(V)
D(pN )
Tedaj je usredinjenost glede na p
C(p) =D(p)
D∗
Za vecino mer je najbolj usredinjena zvezda Sn in najmanj polni graf Kn.
V. Batagelj Analiza omrezij