conferencias descriptiva

TABLA DE CONTENIDO

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA ........................................................................................................... 2

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES:.................................................................................................. 2

CAPÍTULO 2. EL PUNTO: .............................................................................................................. 8

CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA .................................................................................................. 12

CAPÍTULO 4. EL PLANO.............................................................................................................. 24

CAPÍTULO 5. INTERSECCIÓN ENTRE SUPERFICIES PLANAS ............................................... 32

CAPÍTULO 6. ROTACIÓN O REVOLUCIÓN .............................................................................. 39

TALLER DE EJERCICIOS .............................................................................................................. 45

INTERSECCIONES: LÍNEA Y PLANO (MÉTODO DE PLANO AUXILIAR CORTANTE) .......................................................... 50 INTERSECCIONES: PLANO Y PLANO (MÉTODO DE LÍNEA INDIVIDUAL)..................................................................... 50 TRAZAS DE UN PLANO ............................................................................................................................ 50 ROTACIÓN DE UNA RECTA ....................................................................................................................... 52 ROTACIÓN DE UN PLANO......................................................................................................................... 52

INTERSECCIÓN VOLUMEN - VOLUMEN ................................................................................... 55

2.002

UNIVERSIDAD DEL CAUCA ARQ. DIANA VELASCO GALVIS Facultad de Ingeniería Civil

CONFERENCIAS DE GEOMETRIA DESCRIPTIVA 2

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES: La Geometría Descriptiva es la parte de las matemáticas que trata del espacio físico y tiene por objeto representar en dos dimensiones, los objetos que están en un espacio tridimensional. Permite entonces, detallar la relación que guardan las partes de un objeto respecto a las partes de otro; la relación entre una pieza de un elemento con otra pieza del mismo. Estas relaciones espaciales que se expresan y analizan mediante la Geometría Descriptiva son factores importantes para el diseño de sistemas de ingeniería y estructuras arquitectónicas. Pero tal vez el aporte más importante de esta ciencia, tiene que ver con que nos permite conocer el espacio tridimensional; nos exige imaginar y analizar más allá de las dos dimensiones y este es un aspecto bastante importante a la hora de concebir cualquier proyecto y realizar su respectivo levantamiento planimétrico. Antes de entrar a fondo en el tema, es importante anotar que la aplicación de la Geometría Descriptiva es en un alto porcentaje práctica. Sin embargo, su fundamentación teórica es factor indispensable y la esencia para el buen entendimiento del tema. GENERACIÓN DE UN ESPACIO EN TRES DIMENSIONES: Antes de entrar a detallar los componentes de la Descriptiva recordemos cómo se genera un espacio en tres dimensiones:

a. PUNTO: Elemento básico del espacio

Punto ideal de dimensión cero

b. LINEA:

Posición final de P Se genera por el desplazamiento de un

punto en determinada dirección. La línea es entonces un espacio de UNA dimensión

Posición inicial de P

c. PLANO:

Posición inicial de la recta Si la recta se traslada en una dirección

determinada, genera un plano y es un espacio de DOS dimensiones.

Posición final de la recta



90°Proyección del punto P

Línea de proyección

Punto P en el espacio

d. SÓLIDO GEOMÉTRICO O VOLUMEN:

Posición inicial del plano Si un plano de dos dimensiones se

traslada en una dirección paralela a sí mismo, el plano habrá generado un sólido geométrico que limita un espacio de TRES dimensiones

Posición final del plano El espacio tridimensional queda definido entonces por los planos descritos anteriormente los cuales son perpendiculares entre sí y es en éste marco o escenario donde vamos a describir y analizar los diferentes problemas de la Geometría Descriptiva. PUNTOS Y PLANOS DE PROYECCIÓN EN UN ESPACIO DE DIMENSIÓN TRES: Como la Geometría Descriptiva trata del espacio y sus diferentes relaciones espaciales tridimensionales, se requiere de un sistema que nos permita ver este análisis en dos dimensiones, con el fin de poder representarlo en una hoja de papel. Este sistema es la PROYECCIÓN ORTOGONAL, sistema que se basa en la proyección de puntos que están en el espacio sobre “planos de proyección” que definen este espacio

Como veremos en detalle más adelante, para conocer e interpretar en su totalidad un elemento que esté en el espacio se requieren como mínimo tres planos de proyección: El plano horizontal, el vertical y el de perfil. Estos planos nos permitirán determinar la localización exacta de dicho elemento en el espacio. La forma o dimensión real de los planos de proyección no es importante, siempre que la línea de tierra sea conocida y esté localizada.



Proyección de P en el plano vertical

PL

ANO

VERTIC

AL (¶2)

90°

90°90° Proyección de P en el plano

horizontal

PLANO HORIZONTAL (¶1)

PLANO DE PERFIL (¶3)

Proyección de P en el plano de perfil

Punto P en el espacio

PLANO DE PROYECCIÓN HORIZONTAL

Vista de Canto del plano vertical

Vista de Canto del plano de perfil

Vista de Canto del plano de perfil

PLANO DE PROYECCIÓN VERTICAL

Vista de Canto del plano horizontal

Plano horizontal (¶1)

Plano de

perfil

(¶3 )

PLANO VERTICAL (¶2)

Si analizamos por separado cada plano de proyección tendriamos la siguiente representación:



Vista de Canto del plano vertical

Vista de Canto del plano horizontal

PLANO DE PROYECCIÓN DE PERFIL



Plano Vertical (¶2)

Es importante recordar que el objeto siempre se ubicará entre el observador y el plano de proyección. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS: Los siguientes términos y conceptos constituyen la fundamentación de la Geometría Descriptiva. Es importante que estos términos no sean memorizados, sino que se integren completamente al pensamiento, desarrollo y análisis de los diferentes problemas.

• Líneas visuales: En el sistema de proyección ortogonal son las líneas de la vista de un observador que mira un punto o una serie de puntos.

• Planos de proyección: Superficies planas que no tienen espesor, son transparentes (como un

acetato) y su posición es tal que siempre son perpendiculares a las líneas visuales del observador. • Líneas de proyección: Son rectas que pueden considerarse como prolongación de las líneas

visuales del observador y que van desde el punto en el espacio hasta los planos de proyección. Estas rectas son entonces siempre, perpendiculares a los planos de proyección.

• Línea de Tierra (LT): Es la recta común a dos planos de proyección mutuamente perpendiculares

que se intersecan. Uno de estos planos es siempre el plano de proyección horizontal. Esta línea se usa como base para las mediciones que se efectúan para localizar el punto en el espacio.

• Proyección horizontal: Es la proyección de un punto o una serie de puntos que están en el

espacio, sobre el plano de proyección horizontal. Esta es la vista que el observador aprecia cuando sus líneas visuales son verticales o perpendiculares al plano de proyección horizontal.

• Proyección vertical: Es la proyección de un punto o una serie de puntos que están en el espacio,

sobre el plano de proyección vertical. Esta es la vista que el observador aprecia cuando sus líneas visuales son horizontales o perpendiculares al plano de proyección vertical.

• Líneas de referencia: Al igual que la línea de tierra, una línea de referencia es la recta común a dos

planos de proyección mutuamente perpendiculares que se intersecan. No necesariamente alguno de los planos debe ser el horizontal. Por ejemplo una línea de referencia es la que une el plano vertical con el plano de perfil.



ABATIMIENTO DEL PLANO VERTICAL

PLANO VERTICAL ABATIDO

P2 y

y

P2P

P1

Ejercicio: Indicar en el siguiente gráfico, cada una de las definiciones anteriores

PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL: La Geometría Descriptiva trabaja a partir de mediciones y por tanto se debe disponer de los medios adecuados para efectuar mediciones exactas desde un punto en el espacio hasta cada plano de proyección; de esta manera dicho punto podrá representarse totalmente en una hoja de papel. Esto se logra “abatiendo” cada plano de proyección hasta que todos coincidan sobre un solo plano horizontal. Así, el plano de proyección horizontal se mantendrá fijo, el vertical girará respecto a la línea de tierra y el plano de perfil lo hará respecto a su línea de intersección con el plano horizontal y vertical.



P1

ABATIMIENTO DEL PLANO DE PERFIL (Primer Paso)


PLANO VERTICAL (¶

2)

P3

P

PLANO DE PERFIL ABATID

O

P3

PLANO VERTICAL A

BATIDO


O (1p)

PLANO HORIZONTAL (

¶1)

ABATIMIENTO DEL PLANO DE PERFIL (Segundo Paso)


O (2p)

P3

P3

LINEAS VISUALES DEL OBSERVADOR(perpendiculares a planos de proyección)


O

REPRESENTACIÓN FINAL DE LAS PROYECCIONES DE UN PUNTO

PLANO VERTICAL A

BATIDO

P2

PLANO HORIZONTAL (¶

1)P1

Línea de proyecciónP3

Una vez realizado el abatimiento de los planos de proyección, tendremos sobre un mismo plano en “dos” dimensiones, los valores del punto en el espacio dados mediante sus proyecciones en cada uno de los planos horizontal, vertical y de perfil. Es importante resaltar que una vez realizado el abatimiento de los planos, el observador debe continuar considerando dicho planos mutuamente perpendiculares.



ancholargo

Plano vertical

Plano horizontal

Plano horizontal

ABATIMIENTO DE PLANOS(Figura espacial)

altu

ra

Plano horizontal

Plano vertical

largo

anch

oal

tura

El siguiente es un ejemplo donde se muestran las proyecciones horizontal y vertical de un volumen en particular: CAPÍTULO 2. EL PUNTO: SISTEMA DE NOTACIÓN: Para identificar los puntos en el espacio y sus proyecciones así como los planos de proyección y las líneas de referencia, se debe emplear un sistema organizado de notación.

• Plano de proyección horizontal: (¶1) • Plano de proyección vertical: (¶2) • Plano de proyección de perfil: (¶3) • Puntos, rectas, planos y volúmenes en el espacio: Letras mayúsculas. (P) • Proyecciones de todos puntos, rectas, planos y volúmenes: Letras minúsculas con el subíndice

correspondiente al plano de proyección (p1 para la proyección de P en el plano horizontal) • Líneas de referencia: Se identifican con los números correspondientes a los planos que dicha línea

contiene. Ejemplo: 1-2 ; 2-3 ; 1-3



POSICISN DEL OBJETO RESPECTO DEL OBSERVADOR

Observador


Objeto

PLANO VERTICAL (¶2)

Plano de

perfil

(¶3)


Posición del observadorFIGURA ESPACIAL

PLA

NO

VERTIC

AL (¶2)

zx


y

El objeto siempre se supone ubicado entre el observador y cada plano de proyección COORDENADAS DE UN PUNTO: Son las mediciones que permiten conocer la ubicación exacta de un punto en el espacio. Se denota como P(x,y,z) donde x= Distancia, y= Cota ó altura, z= Alejamiento

Al emplear la figura descriptiva, se elimina el contorno de los planos de proyección y solo se usan las líneas de referencia para identificarlos.

yy

45°

FIGURA DESCRIPTIVA

Posición del observador

P1

Plano horizontal

L

x

z

zT

Plano vertical

P2

Plano de perfil

xP3



O

IIIC

p1m2

r1

L

-

o2

m1

o1

IVC

R

r1

p2IIC

-

M

P

T

+

IC

+

REGIONES: El observador siempre se supone situado en el espacio tridimensional conformado por los planos de proyección descritos anteriormente. Este espacio se denomina como “primer cuadrante ó región”. Los planos de proyección horizontal y vertical dividen el espacio en 4 regiones para las cuales la línea de tierra será común a ellas. Es importante tener en cuenta los signos correspondientes a cada cuadrante. Así, según el gráfico: P(x,y,z) IC M(x,y,-z) IIC O(x,-y,-z) IIIC R(x,-y,z) IVC

Analicemos ahora la figura descriptiva para cada punto ubicado en cada uno de los cuadrantes o regiones. Para ello realizamos el abatimiento de los planos verticales en el sentido contrario a las manecillas del reloj, tal como lo muestra la figura. Entonces:

Primer Cuadrante Segundo Cuadrante



Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

Recordemos que la separación precisa desde la línea de tierra a cada una de las proyecciones quedará determinada por los valores de las coordenadas x,y,z. Además la proyección horizontal nos va a indicar siempre el alejamiento (z) del punto y las proyecciones vertical y de perfil, la altura (y). PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. También encontramos casos en los que el punto del espacio está en alguno de los planos de proyección. Así, si “P” está en ¶1, él mismo será su proyección horizontal y la proyección vertical de P estará ubicada en la línea de tierra. Este mismo análisis se hará para cada plano de proyección. El punto A no tiene altura. A (x,0,z) El punto B no tiene alejamiento B (x,y,0) El punto C no tiene distancia C (0,y,z)



a2

b2

B

A

Plano proyectantePlano horizontal

Figura espacial

A

a3

b3

Bb2

a2

a1

b1

Plano ve

rtical

Plano horizontal

Plano de perfil

Figura descriptiva

b1

a1

b3

a3

b2

a2

CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA La proyección ortogonal de una línea está formada por las proyecciones ortogonales de todos los puntos sobre el mismo plano. El conjunto de proyecciones de los puntos de la línea constituye una superficie llamada plano proyectante. La proyección a1b1 además de ser el conjunto de las proyecciones de todos los puntos de AB, es también la intersección del plano proyectante con el plano de proyección. Si la recta es perpendicular al plano, su proyección será un punto.

Veamos como se representa una recta ubicada en el primer cuadrante:

Si después de obtener a1b1, a2b2 y a3b3 abatimos el plano vertical y de perfil mediante la conocida rotación alrededor de la línea de tierra, se obtiene la figura descriptiva de la recta en los tres planos. De esta manera queda totalmente identificada la recta AB.

TRAZAS DE UNA RECTA Las trazas de una recta son los “puntos” en que dicha recta encuentra o atraviesa cada plano de proyección. Según cual sea el plano que la recta esté atravesando, las coordenadas de la recta tendrán el valor cero en x, y ó z. Las trazas se denotan:



Th

Tv

Tp

A

B

b2

a2

a3

b3

b3

Plano horizontal

Plano de perfilPlano vertical

FIGURA ESPACIAL

Tpa2 a3

Tv

b2

a1

b3

Thb1FIGURA DESCRIPTIVA

TH(AB) para la traza horizontal de la recta AB (x,0,z) TV(AB) para la traza vertical de la recta AB (x,y,0) TP(AB) para la traza de perfil de la recta AB (0,y,z)

En el ejemplo, según la disposición de la recta AB las trazas horizontal y vertical se encuentran en el primer cuadrante TH(AB) y TV(AB). Si se sigue prolongando la recta hasta encontrar el plano de perfil, la traza en este plano, estará en el segundo cuadrante. TP(AB) Para obtener la figura descriptiva, se realiza el abatimiento de los planos vertical y de perfil, tal como lo muestra la figura. La traza de perfil de la recta AB es un punto que se encuentra en el segundo cuadrante. Si recordamos la figura X de la página X, las proyecciones de este punto estarán encima de la línea de tierra. Después de la rotación del plano de perfil, tendremos que el valor del alejamiento de la traza de perfil, que es negativo (-z), coincidirá sobre LT. Este procedimiento se realiza a través de una línea a 45º. Una vez determinado el alejamiento de la traza, su altura la dará la prolongación de a3b3 Según que la recta del espacio atraviese la 1ª, 2ª, 3ª ó 4ª región, varía la posición de cada traza con respecto a la línea de tierra.



o1

+

+

IC

T

IIC

-

Thm2

TvL

m1

IIIC IVC

o2

-

Th m1

o2

-

-

IVCIIIC

IIC

T

L

IC

+

Tv

m2

o1

+

Th

m2

Tv

+

+

IC

T

IIC

-o2

m1

o1

L

IIIC IVC-

FIGURA ESPACIAL

FIGURA DESCRIPTIVA

FIGURA ESPACIAL

FIGURA DESCRIPTIVA

FIGURA ESPACIAL

FIGURA DESCRIPTIVA



V.M.

V.M.

Plano horizontal

Plano

vertic

al

Plano de perfil

A

B

b1

a1

b3

a3

b2

a2

(igual alejamiento)

POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA – Rectas notables CASO GENERAL DE RECTAS PARALELAS A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: Cuando una recta en el espacio está orientada de manera que es paralela a un plano de proyección, su proyección sobre ese plano representa la verdadera magnitud de la recta dada, ya que todos los puntos de la recta son equidistantes del plano.

LINEAS PRINCIPALES

• Línea vertical o frontal: Es una recta paralela al plano de proyección vertical. La proyección de esta recta en ¶2 aparece en verdadera magnitud.

La proyección horizontal a1b1 es paralela al plano vertical ¶2 y a la línea de tierra. La proyección de la recta en ¶2 puede tener infinito número de posiciones. La proyección a3b3 es paralela a la línea de referencia 2-3. Todos los puntos de AB tendrán igual alejamiento



Plano de perfil

Plano horizontal

Plano

vertic

al

b3a3

b1

a1

b2 B

Aa2

(igual altura)

RECTA DE PERFIL(igual distancia)

Plano

vertic

al

Plano horizontal

Plano de perfil

A

B

a3

b3

b1a1

a2

b2

• Línea horizontal: Es una recta paralela al plano de proyección horizontal. La proyección de esta recta en ¶1 aparece en verdadera magnitud.

La proyección vertical a2b2 es paralela al plano horizontal ¶1 y a la línea de tierra. La proyección de la recta en ¶1 puede tener infinito número de posiciones. La proyección a3b3 también será paralela a ¶1 y a la línea de tierra. Todos los puntos de AB tendrán igual altura.

• Línea de perfil: Es una recta paralela al plano de proyección perfil. La proyección de esta recta en ¶3 aparece en verdadera magnitud. Todos sus puntos tendrán igual distancia.

La proyección horizontal y vertical, son paralelas a la línea de referencia 2-3. La proyección de la recta en ¶3 puede tener infinito número de posiciones. La proyección a3b3 también será paralela a ¶1 y a la línea de tierra. Todos los puntos de AB tendrán igual distancia.



PROYECCIÓN AUXILIAR(Figura espacial)

Plano vertical

Plano horizontal

Plano de perfil

PLANO AUXILIAR

Plano vertical

Plano horizontal

Plano Auxiliar

z

zPlanta

Planta

Elevación

PROYECCIÓN AUXILIAR(Figura descriptiva)

Plano horizontal

Plano ve

rtical

Plano de perfil

Recta oblicua

Plano auxiliar paralelo a l t AB

a4

b4

A

B

V.M.

VERDADERA MAGNITUD Antes de detenernos en el tema de Verdadera Magnitud, es importante conocer que en un espacio tridimiensional, se requieren no solamente las vistas principales para conocer totalmente un objeto, sino que también requerimos en algunas ocasiones, de las vistas auxiliares. Estas nuevas proyecciones son necesarias cuando se desea conocer un elemento o posición en particular del objeto en el espacio. El siguiente gráfico muestra la representación gráfica y descriptiva del manejo de las vistas o proyecciones auxiliares. VERDADERA MAGNITUD DE UNA RECTA.

Si una recta en el espacio no es frontal, horizontal o de perfil y por tanto tiene alguna inclinación respecto a todos los planos de proyección, se puede determinar entonces su proyección en verdadera magnitud, proyectándola sobre un plano paralelo a la recta. Este plano puede ser paralelo a cualquiera de las proyecciones de la recta. En el siguiente ejemplo, la verdadera magnitud de la recta AB se refleja en un plano paralelo a la recta AB (vista auxiliar), más específicamente a su proyección horizontal a1b1.



a2

b2

a1

b1

b3

a3

V.M.

h

h

VERDADERA MAGNITUD

90°

90°

Para

lelas

El nuevo plano donde se proyecta la verdadera magnitud de AB, representa una “vista auxiliar”, es decir, un plano diferente a los tres planos ya conocidos. El empleo de estas vistas auxiliares es de gran ayuda para resolver diferentes problemas en Geometría Descriptiva. Si abatimos los planos de la figura anterior obtendremos que: El nuevo plano auxiliar puede ser paralelo a cualquiera de las proyecciones. De igual manera, la verdadera magnitud de la recta será la misma. La separación del plano auxiliar a la recta puede ser cualquiera. Al construir una vista auxiliar con un plano paralelo a la proyección horizontal de la recta, la nueva proyección a3b3, será una vista de elevación. Por tanto los valores que se tomarán para determinar la ubicación exacta de estos puntos serán los del plano ¶3. ORIENTACIÓN DE UNA RECTA La orientación de una recta es la dirección que tiene esa recta con respecto a la aguja de una brújula. Como la brújula siempre se apoya horizontalmente, la orientación de una recta siempre se verá en su proyección horizontal. La orientación de una recta es un valor que es independiente de su inclinación.

Para determinar la orientación de la recta, se debe ubicar el plano cartesiano en cualquiera de los extremos de la recta



Sea cual sea la posición de la recta en la proyección de ¶2 (pendiente), la orientación es la misma

“El ángulo de orientación, siempre se medirá respecto al eje N-S”

Plano horizontal

Orientación de Una recta INCLINACIÓN DE UNA RECTA Es el ángulo que forma la recta con el plano de proyección horizontal. Este ángulo solo se puede determinar cuando se cumplen dos condiciones: 1. La recta debe verse en Verdadera Magnitud 2. El plano de proyección debe aparecer como una arista.

Elevación

Planta Elevación

Pendiente ó inclinación

El ángulo de pendiente se mide en grados (º) ó en porcentaje de pendiente (%). Este último se define como el número de unidades de elevación vertical por cada 100 unidades de distancia horizontal

Plano Horizontal

EJERCICIO: Hallar las proyecciones horizontal y vertical de un segmento de la recta AB, que tiene una orientación de 30º NE, un ángulo de inclinación de 45º hacia debajo de A y una longitud verdadera de 38 mm.



POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA

• Vista de punta: La vista de punta de una recta se observa en un plano que sea perpendicular a la recta. Para que dicha recta pueda proyectarse como un punto, el plano deberá ser perpendicular a la longitud verdadera de la recta.

• Rectas paralelas en el espacio: Dos líneas rectas en el espacio pueden ser paralelas, cruzarse o cortarse. Las rectas paralelas son equidistantes unas de otras en todos sus puntos y nunca se intersecan por mucho que se prolonguen. Las rectas que en el espacio son paralelas, siempre se verán paralelas también en la figura descriptiva, a menos que el observador las vea como puntos ó una detrás de la otra. (vistas 4 y 5)



• Rectas que se cortan o se cruzan: Si dos rectas se cortan, el punto de intersección debe coincidir en las tres proyecciones principales. Cuando este punto no coincide, entonces las rectas se cruzan. Esto quiere decir, que una está encima de la otra, ó delante de ella

LINEAS QUE SE CORTAN LINEAS QUE SE CRUZAN

- Caso especial de líneas que se cortan o se cruzan: Cuando una de las líneas es inclinada lateral, es indispensable una tercera proyección para confirmar que el punto es común a las dos líneas.

LINEAS QUE SE CORTAN LINEAS QUE SE CRUZAN

- Angulo real entre líneas que se cortan: El ángulo real entre dos líneas que se cortan se determina en una vista donde las dos líneas aparezcan en longitud real. Para esto una de las líneas debe verse como punto.



• Rectas perpendiculares: Líneas perpendiculares son aquellas que en alguna proyección aparecen como tales, es decir, que en una proyección adyacente una de las líneas por lo menos, ha de ser paralela a la línea de referencia común. La única excepción a esta condición es una vista en la cual una de las rectas aparezca en verdadera magnitud y la otra como punto sobre la verdadera magnitud.

Plano de proyección paralelo a CD

Rectas perpendiculares En la figura, AB y CD se intersecan en el espacio y CD es paralela al plano de proyección, por tanto se proyecta en el plano en verdadera magnitud, mientras que AB como no es paralela al plano, no se proyecta en verdadera magnitud. Las proyecciones de AB y CD forman ángulo de 90º.

Representación de dos posiciones diferentes de rectas perpendiculares en el espacio.

Ejemplo de rectas perpendiculares en el espacio Rectas perpendiculares en el espacio



Línea más corta de un punto a una línea: La línea más corta entre un punto y una recta es la perpendicular trazada del punto a la recta. La longitud real de la línea más corta aparecerá en la proyección donde la línea dada aparece como punto.

Longitud real de la distancia más corta

Línea más corta de un punto a una recta

Menor distancia

Menor distancia entre dos líneas que se cruzan: Es la perpendicular a ambas líneas. Esta perpendicular en el espacio tiene solamente una localización posible. Dicha localización se obtiene hallando una vista donde una de las líneas aparezca como punto.

Menor distancia entre dos líneas que se cruzan

EJERCICIO: Trazar a una línea en un punto dado de ella una perpendicular.



CAPÍTULO 4. EL PLANO DEFINICIÓN Y GENERACIÓN DE UNA SUPERFICIE PLANA: En esta parte del capítulo recordaremos cómo se genera un plano. Un espacio de dos dimensiones se genera trasladando una recta paralelamente a sí misma (figura a), ó también se puede generar haciendo girar una recta sobre uno de sus extremos (figura b)

Figura a Figura b Una superficie plana tiene la propiedad de que una línea recta puede descansar en ella en cualquiera posición. Es decir que cada punto de la recta estará siempre en contacto con la superficie. REPRESENTACIÓN DE LAS SUPERFICIES PLANAS: Existen cuatro formas básicas de representar los planos: Por dos rectas que se intersecan Por dos rectas paralelas Por una recta y un punto fuera de ella

En los ejemplos anteriores cada plano se asume de un tamaño, determinado por sus límites. Pero en algunas ocasiones resulta necesario estos planos con extensión y forma indefinida.

Por tres puntos no colineales



SITUACIÓN DE UNA RECTA Y DE UN PUNTO EN EL PLANO

EJEMPLO 1: - Dado X2 del plano ABC, hallar X1. Se debe localizar una recta que contenga al punto dado y que sea fácilmente identificable en el plano

SITUACIÓN DE UNA RECTA Y DE UN PUNTO EN UN PLANO

- Dado Y2 exterior al plano ABC, hallar Y1. Igual es el procedimiento cuando el punto se localiza fuera del plano

EJEMPLO 2: La figura MNOP está ubicada sobre el plano definido por las rectas paralelas abcd. Se da la proyección m2n2o2p2.Se pide hallar la proyección m1n1o1p1



LINEAS DE LONGITUD VERDADERA EN UN PLANO:

• Líneas horizontales: Son líneas que pertenecen al plano y tiene igual altura; es decir, son paralelas al plano de proyección horizontal. (figura a)

• Líneas verticales: Son líneas que pertenecen al plano y tiene igual alejamiento; es decir, son paralelas al plano de proyección vertical. (figura b)

Figura a. Líneas horizontales Figura b. Líneas verticales del plano ABC del plano ABC

De las líneas localizadas anteriormente en al plano ABC, es preferible asumir siempre la más larga (cx) porque además de que su construcción es más sencilla, proporciona mayor seguridad de información.

Las líneas de longitud verdadera de un plano, aparecerán paralelas a la línea de referencia en la vista adyacente. Este concepto de verdadera magnitud de una línea en un plano, nos permite deducir otros valores importantes del plano como son orientación, pendiente y vista de canto.

a. Orientación: La orientación de un plano es el ángulo de dirección que tenga una recta horizontal de ese plano

65º SE



b. Vista de canto de una superficie plana oblicua: Esta es una vista en la que el plano aparece como arista. Para ver un plano como línea, el observador debe primero ver una recta de ese plano como punto.

En cada posición del observador, las respectivas líneas se ven como puntos y así, el plano ABC se ve como línea. Como un plano puede contener un número infinito de rectas, hay un número infinito de posiciones para ver el plano como recta.

c. Angulo de inclinación ó pendiente de un plano: Este ángulo se ve en un a proyección donde tanto

el plano en espacio como el plano de proyección horizontal se vean como una línea. De esta manera, siempre mediremos el ángulo de pendiente de una superficie en un plano de elevación.

Elevación

Planta Planta

Elevación Forma y Tamaño real Vista de canto del plano ABC d. Vista normal de un plano: En esta vista aparece el plano en sus dimensiones reales. Este nuevo

plano de proyección debe ser paralelo al plano del espacio, es decir que las líneas visuales del observador son perpendiculares al plano dado.



TRAZAS DEL PLANO: Si se tiene un plano determinado en el espacio y prolongamos cada uno de sus lados hasta encontrar cada plano de proyección, a estas líneas de intersección las denominamos TRAZAS de un plano. Las trazas de un plano, se determinan con cada línea que forme el plano ó con cualquier línea que pertenezca al plano, como lo pueden ser las rectas notables. El plano formado por las trazas es diferente al plano inicial en el espacio y se denota comúnmente con letras griegas. La forma de este plano depende entonces de la posición del plano en el espacio

Los puntos de encuentro de las trazas (horizontal, vertical y de perfil), deben coincidir sobre las líneas de referencia.

TRAZAS DE UN PLANO (Figura Descriptiva) En el gráfico anterior, la traza vertical del plano ABC, se determina con las trazas de las rectas AB y BC. La traza horizontal, con la traza de la recta BC. Para encontrar la traza de perfil del plano, se hace necesario determinar la traza de una recta auxiliar como lo es BX.



VISIBILIDAD: Una vez encontradas las trazas del triángulo ABC, se genera un nuevo plano alfa. Es importante entender que es visible todo lo que está encima y frente del plano, y es oculto lo que está detrás y debajo de él. Para que éste concepto quede claro, observemos que todos los puntos de ∝1 no tienen altura, los puntos de ∝2 no tienen alejamiento y los puntos de ∝3 no tienen distancia. En este gráfico, el triángulo ABC podría representar la base de una pirámide o prisma apoyado en el plano alfa. Si tenemos un plano dado por las trazas y un punto P que pertenece a él, conociendo las proyecciones del punto podemos encontrar las proyecciones de las trazas y viceversa. Asi: Primer caso: Nos dan la proyección vertical del plano alfa y las proyecciones del punto P. Se pide encontrar las proyecciones horizontal y de perfil de alfa

P2 busca la traza vertical del plano con una paralela a la línea de tierra Por este cruce, se traza una perpendicular a la línea de tierra Este punto sobre la línea de tierra se une con P1 y la traza horizontal del plano será paralela a esta línea Por proyecciones se construye la traza de perfil del plano



P2 busca la traza vertical del plano con una paralela a la línea de referencia 2-3 Por este cruce se traza una paralela a la línea de tierra Este último punto se une con p3 y la traza de perfil del plano, será paralela a ésta línea Por proyecciones se construye p3

Por p2 se traza una paralela a la traza vertical del plano hasta la línea de tierra En el punto de cruce de esta línea con la línea de tierra, se traza una perpendicular a L.T Desde p1 se traza una paralela a la línea de tierra hasta encontrar la perpendicular Por proyecciones se construye la traza de perfil del plano

Segundo caso: Nos dan las 3 proyecciones de alfa y la proyección horizontal del punto P. Se pide determinar las proyecciones vertical y de perfil del punto. En este caso se aplican los mismos conceptos y procedimientos que para el anterior RELACIONES ESPACIALES DE RECTAS Y PLANOS

• RECTA PARALELA A UNA SUPERFICIE PLANA: Si una recta que no pertenece al plano dado, es paralela a cualquier recta de ese plano, también es paralela al mismo plano.



• RECTA PERPENDICULAR A UNA SUPERFICIE PLANA: Una recta es perpendicular a un plano cuando

todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de la recta dada y el plano, forman 90º con la recta dada.

Una recta es perpendicular a un plano cuando es perpendicular a una recta de ese plano en verdadera magnitud

UNA RECTA PERPENDICULAR A UNA SUPERFICIE PLANA

• LINEA MAS CORTA DE UN PUNTO A UN PLANO: Es la perpendicular trazada desde ese punto al plano. Para encontrar esta recta, se debe ver el plano como línea.

Como en la vista 3, la perpendicular aparece en verdadera magnitud, en la proyección horizontal ésta línea aparecerá paralela a la línea de referencia 1-3. Es decir, perpendicular también a la línea a1b1 en verdadera magnitud.



VISIBILIDAD DE DOS RECTAS EN OBJETOS SÓLIDOS: El punto más alejado del observador en cada vista, será oculto en la vista adyacente y por el contrario, el más cercano será visible

CD está al frente de AB AB está arriba de CD

CAPÍTULO 5. INTERSECCIÓN ENTRE SUPERFICIES PLANAS De acuerdo a los elementos que hacen parte de la intersección, existen diferentes métodos para hallar los puntos y líneas de intersección. Así:

a. Intersección entre recta y plano: - Método de vista de canto - Método de plano de corte auxiliar o plano cortante

b. Intersección entre dos planos: - Método de vista de canto - Método de plano auxiliar cortante

- Método de trazas

a. Intersección entre recta y plano:

Una recta interseca a una superficie plana una sola vez.

En la intersección se deben determinar dos aspectos: El punto P de intersección y la visibilidad de los elementos después de la intersección



A1. Método de vista de canto: En este método el punto de intersección se determina en una vista en la que el plano se muestre como línea A2. Método de plano de corte auxiliar o plano cortante: Para encontrar la intersección entre una recta y un plano mediante este método, se requiere de un plano auxiliar que contenga a la recta y que a su vez sea perpendicular a cualquiera de los planos de proyección. De esta manera, el plano auxiliar se verá como línea en cualquiera de las proyecciones. ABC: Plano dado XY: Recta dada XMN: Plano auxiliar cortante que contiene a la

recta xy ST: Recta de intersección entre planos ABC y

XMN P: Punto de intersección entre la recta XY y el plano ABC

El punto de intersección se localiza sobre la recta de intersección entre el plano dado y el plano auxiliar cortante



b. Intersección entre plano y plano:

Dos superficies planas que no sean paralelas, se cortarán según una “línea recta que sea común a los dos planos”. Se debe encontrar entonces dos puntos comunes a los dos planos y su unión determinará la intersección entre los mismos.

B1: Método de vista de canto: Mediante este método, se busca ver alguno de los dos planos como línea y la intersección quedará determinada por los puntos de cruce entre dicha línea y el plano. Para éste método se requiere de una vista auxiliar. B2: Método de plano auxiliar cortante ó línea individual: Mediante éste método se analiza cómo cada línea de uno de los planos interseca al otro plano. La unión de los puntos hallados determina la línea de intersección de los planos.



EJERCICIO: Una vez encontrada la línea de intersección entre los planos ABC y RTS, determinar la verdadera magnitud, orientación y ángulo de pendiente de la intersección B3: Método de Trazas:

La línea de intersección es común a los dos planos. Entonces cada punto de la línea pertenece tanto al plano alfa como al plano beta.

Como la línea de intersección está definida por dos puntos ubicados en los planos de proyección, algunas de sus coordenadas serán cero. Así: para el punto “a” el alejamiento (z) será = 0 y para el punto “b” la altura (y) será = 0.



INTERSECCIÓN DE PLANOS POR TRAZAS (Figura descriptiva)

Recordemos que como se vio en el capítulo anterior en el tema de trazas de un plano, cuando se da un solo punto de la línea de intersección en una sola proyección y la traza del plano, se pueden hallar las otras dos proyecciones del punto. Es importante recordar este concepto el cual será útil en la solución de algunos ejercicios. La línea de intersección entre dos planos dados por las trazas, puede darse de varias formas dependiendo de la posición espacial que puedan ocupar dichos planos. CASOS PARTICULARES DE INTERSECCIÓN POR TRAZAS:

1. Las trazas en cualquiera de las proyecciones son paralelas

FIGURA DESCRIPTIVA

FIGURA ESPACIAL La línea de intersección “i” es también paralela a las proyecciones horizontales de los planos alfa y beta. Toda la línea tiene entonces la misma altura



2. Uno de los planos es cualquiera, el otro es paralelo a uno de los planos de proyección

FIGURA DESCRIPTIVA FIGURA ESPACIAL La línea de intersección al ser común a los dos planos, su proyección horizontal estará sobre la proyección horizontal del plano alfa. Los puntos que unen la línea de intersección tienen el mismo alejamiento que tiene el plano alfa y por tanto su proyección vertical será paralela a la traza vertical de beta.

3. Uno de los planos es cualquiera, el otro es perpendicular a uno de los planos de proyección

FIGURA DESCRIPTIVA FIGURA ESPACIAL



4. Los dos planos son paralelos a la línea de tierra

FIGURA DESCRIPTIVA FIGURA ESPACIAL

En este caso las proyecciones horizontal, vertical y de perfil de la línea de intersección son paralelas a la línea de tierra.

5. Las trazas de los planos dados se cortan fuera del dibujo FIGURA DESCRIPTIVA En este caso se requiere de un plano auxiliar horizontal que corte a los dos planos. Estos puntos de intersección se proyectan sobre la línea de tierra y en la vista adyacente se trazan desde ellos, líneas paralelas a cada una de las proyecciones de las trazas. De esta manera se determinan las proyecciones de la intersección



CAPÍTULO 6. ROTACIÓN O REVOLUCIÓN En el sistema de proyección ortogonal visto anteriormente se asume que para conocer todos los elementos de un objeto en el espacio, éste mantiene una posición fija respecto de los planos de proyección y es el observador quien cambia de posición para ver dicho objeto. La rotación es un sistema que permite resolver rápidamente ciertos problemas espaciales relacionados con Longitud Verdadera de una recta, Vista de Canto y Verdadera Forma de un Plano, Ángulo Diedro formado por dos planos y Angulo formado por una recta y un plano, básicamente. En este sistema de proyección, el observador mantiene fija su posición y es el objeto ó algunos de sus elementos los que cambian de posición. Los conceptos básicos a tener en cuenta son: a. Eje de rotación. b. Centro de rotación y c. Trayectoria de rotación

1. ROTACIÓN DE UN PUNTO:

a= ángulo de rotación R= distancia del punto al eje R es perpendicular al eje

FIGURA ESPACIAL La trayectoria completa de rotación de un punto (360º) describe un círculo el cual es perpendicular al eje de rotación FIGURA DESCRIPTIVA



2. ROTACIÓN DE UNA RECTA:

Línea visual donde el eje aparece como punto

Si el observador desea ver la recta en V.M ésta se debe girar de tal manera que sea perpendicular a las líneas visuales del observador

La recta puede girar en el sentido de las manecillas del reloj ó en sentido contrario

Al hacer la rotación de una recta, si el eje se localiza en uno de los extremos de la recta (A) y el ángulo de rotación es de 360º, se genera un cono de revolución

Centro de rotación a = ángulo de rotación b = ángulo de pendiente

Trayectoria

Eje de rotación OBSERVADOR FIGURA ESPACIAL La rotación puede realizarse por cualquiera de las proyecciones. En la figura, a representa el ángulo de rotación y b, el ángulo de pendiente. Recordemos que éste último siempre se mide en una vista de elevación

Paralelas

Eje visto como punto FIGURA DESCRIPTIVA



Eje de rotación

El eje de rotación no necesariamente debe estar localizado sobre la recta. También puede localizarse fuera de ella En este caso, ninguna de las proyecciones muestra la Verdadera Magnitud ó pendiente real de la recta AB. Angulo de rotación = 180º

3. ROTACIÓN DE UN PLANO:

AX = Eje de rotación, el cual pertenece al plano BCD BCD = Plano antes de la rotación BCRDR = Plano en forma real visto por el observador después de la rotación

El eje de rotación es perpendicular a la línea visual del observador

OBSERVADOR En una posición cualquiera del plano en el espacio, tendríamos que ver primero el eje como punto y por tanto el plano como línea

En la vista en la que aparece el plano como línea, éste se gira con el eje (C3) como centro de rotación y se ubica paralelo a la última línea de referencia

VERDADERA FORMA DE UN PLANO Para determinar la verdadera forma de n plano por rotación, se pueden emplear dos métodos:



Primer Método: Se requiere de una vista auxiliar en la que se vea el plano como línea. En esta vista se realiza la rotación y la verdadera magnitud del plano se verá en la vista adyacente.

Verdadera magnitud del plano

Paralelas Segundo método: Este método no requiere de la vista auxiliar. Se hacen necesarios dos ejes de rotación. Con el primero se determina la vista de canto del plano y con el segundo eje, la verdadera forma del plano Pasos para la vista de canto del plano (Eje 1):

a. se escogen el eje (eje 1) y el centro de rotación del plano (b2) b. Para ver el plano como línea, hay que ver una recta en V.M del mismo como punto (b1x1) c. Esta línea en verdadera magnitud (b2x2) se debe llevar perpendicular a la línea de tierra, para poder

verla como punto en la vista adyacente. Este paso permite determinar el ángulo de rotación, definido por la recta X2R (64º)

d. Con dicho ángulo de rotación (64º), se giran los demás puntos del plano (c2R y a2R), manteniendo el punto b2 como centro de rotación

e. En la vista adyacente (planta), la recta X2Rb2 se verá como punto y por tanto el plano abc como línea. Se bajan entonces las proyecciones de c2R y a2R y desde a1 y c1 se trazan paralelas a la línea de tierra y se determina a1R y c1R



Verdadera Forma Pasos para determinar la verdadera forma del plano (Eje 2):

a. Una vez se obtiene la vista de canto del plano, se ubica el eje sobre cualquiera de los puntos del plano (c1R) y se gira el plano de manera que quede paralelo a la línea de tierra.

b. Se ubican los puntos rotados b1R’ y a1R’ y se suben sus proyecciones a la vista adyacente (elevación).

c. Desde b2 y a2R se trazan paralelas a la línea de tierra. d. Finalmente la vista adyacente muestra la verdadera forma del plano ABC

EJERCICIO: Inscribir un hexágono regular en la verdadera forma del plano y localizar cada vértice del polígono en las proyecciones principales de planta y elevación. DETERMINACIÓN DEL ÁNGULO DIEDRO POR ROTACIÓN: El ángulo diedro es el ángulo formado por dos planos que se intersecan. El ángulo diedro se mide como el ángulo agudo entre los dos planos OBSERVADOR

a. Se pasa un plano de corte perpendicular a la línea de intersección AB. Este nuevo plano RTS contendrá el ángulo diedro

b. Luego éste plano se gira de tal forma que quede perpendicular a las líneas visuales del observador

c. El plano RTS se gira con la recta RT como eje de rotación

RTSR = Plano rotado perpendicular a las líneas visuales del observador a = ángulo diedro

Línea de intersección



DETERMINACIÓN DEL ÁNGULO DIEDRO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO:

Línea visual donde el eje aparece como punto

“Un eje que sea perpendicular a un plano oblicuo figurará como punto sólo cuando ese plano esté en su tamaño real” Este eje aparecerá en su longitud real si el plano se observa como línea

Pasos:

a. Se debe mostrar el plano como línea b. Se gira la línea alrededor de un eje perpendicular al plano hasta que aparezca en verdadera

magnitud. En esta vista el eje debe aparecer como punto

Eje como punto

Vista en la que aparece El plano en V.M. a = ángulo real entre la recta Y el plano



TALLER DE EJERCICIOS El Punto.

1. Determinar la figura descriptiva de los siguientes puntos ubicados en el primer cuadrante: A(5,3,7) B(6,6,2) C(8, 5.5, 2) D(11,8,6) E(12,2,3) F(4,0,8) G(7,9,9) H(14, 3.5, 6.5) I(2,0,6) J(8,6,0) K(11,0,0) L(0,10,0) M(0, 7.5, 7.5) N(15,1,1) O(16,4,0) P(0,0,0). Esc 1:100 2. Determinar la figura descriptiva de los siguientes puntos ubicados en el segundo cuadrante:

A(5,3,-7) B(6,6,-2) C(8, 5.5, -2) D(11,8,-6) E(12,2,-3) F(4,0,-8) G(7,9,-9) H(14, 3.5, -6.5) I(2,0,-6) J(8,6,0) K(11,0,0) L(0,10,0) M(0, 7.5, -7.5) N(15,1,-1) O(16,4,0) P(0,0,0). Esc 1:100

3. Determinar la figura descriptiva de los siguientes puntos ubicados en el tercer cuadrante:

A(5,-3,-7) B(6,-6,-2) C(8, -5.5, -2) D(11,-8,-6) E(12,-2,-3) F(4,0,-8) G(7,-9,-9) H(14, -3.5, -6.5) I(2,0,-6) J(8,-6,0) K(11,0,0) L(0,-10,0) M(0, -7.5, -7.5) N(15,-1,-1) O(16,-4,0) P(0,0,0). Esc 1:100

4. Determinar la figura descriptiva de los siguientes puntos ubicados en el cuarto cuadrante: A(5,-3,7) B(6,-6,2) C(8, -5.5, 2) D(11,-8,6) E(12,-2,3) F(4,0,8) G(7,-9,9)

H(14, -3.5, 6.5) I(2,0,6) J(8,-6,0) K(11,0,0) L(0,-10,0) M(0, -7.5, 7.5) N(15,-1,1) O(16,-4,0) P(0,0,0). Esc 1:100

5. Esc 1:1

a. Representar un punto del segundo cuadrante sabiendo que dista 10 cm del plano horizontal y 8 cm del vertical.

b. Representar un punto de alejamiento –5 cm y cota cero. c. Hallar las proyecciones de un punto de alejamiento 3 y cota 2.5 d. Hallar las proyecciones de un punto de alejamiento –2 y cota –3 e. Representar un punto del plano vertical, de cota –8 cm. f. Representar un punto del plano de perfil de cota 6

La línea recta.

6. Representar las tres proyecciones de una recta que pasa por un punto P de alejamiento 2, cota 5, paralela al plano vertical y que forma 30 grados con el plano horizontal. Esc 1:1

• Un segmento de recta es paralelo al plano horizontal, oblicuo al vertical. Dar su forma

descriptiva si está a 36 mm del plano horizontal; sus extremos a 18 y 60 mm del vertical y de 96 mm de longitud. Esc 1:1

• Dar la representación de una recta que tiene un punto A en el plano vertical, a un metro del horizontal, y un punto B distante 5 metros de ambos planos. Esc 1:100

Trazas de una recta.

7. Hallar las trazas de las siguientes rectas: A(10,1,4) B(2,3,3) C(6,3,4) D(2,6,1). Esc 1:100

8. Hallar las trazas de las siguientes rectas: A(10,1,6) B(4,4,1) C(8,1,2) D(2,9,5) E(4,2,3) F(0,4,5) Esc 1:100



9. Hallar las trazas de las siguientes rectas: A(5,3,2) B(10,7,1) C(6,6,6) D(11,9,9). E(7,7,0) F(7,7,10) Esc 1:100

• Pasar por el punto A una horizontal (h) • Pasar por el punto C una frontal (f) • Pasar por el punto F una de perfil (z)

Orientación y Pendiente.

10. Dada la recta A(3.5, 0.5, 2.5) B(1, 2.5, 0.5) Hallar: a. Las tres proyecciones de la recta b. Longitud verdadera c. Orientación y pendiente de la recta

Dar la representación de la recta CD conociendo el punto C de distancia 2.5 m y alejamiento 1.0 m. La orientación de la recta es de 30 grados SE a partir de C. La inclinación es de 30 grados hacia arriba de D y su longitud verdadera de 5.0 m. Esc 1:50

11. Hallar las tres proyecciones de las rectas AB y AC sabiendo que A(6.5, 0.7, 1.5). La recta AB tiene una orientación de 45 grados SW a partir de A, una inclinación de 30 grados hacia abajo de B y una longitud verdadera de 30 mm. La recta AC posee una orientación de 60 grados SE desde A, una inclinación de 30 grados hacia arriba de A y una longitud verdadera de 50 mm. Esc 1:75

12. Dado el punto A (7.5, 6.5, 5.5) y las descripciones espaciales de las siguientes rectas:

a. Una recta que parte desde el punto A y termina en el B, tiene una orientación de 45 grados NE y una pendiente del 50% hacia abajo de A y una longitud verdadera de 6.9 metros.

b. Una recta CD donde C se encuentra a 5 metros horizontales de A formando un ángulo de 70 grados NE y se encuentra 1 metro más alto que A. D está a 3 metros de B formando un ángulo de 75 grados NW y a 0.7 mts. más arriba de B.

Hallar las tres proyecciones de las rectas Cuál es la posición de AB respecto a CD? Determinar la longitud verdadera y porcentaje de pendiente de la recta CD. Esc 1:100

13. Se da el triángulo ABC. B está situado con respecto al vértice A del siguiente modo: 1.25 m. a la izquierda 1.0 m. detrás Esc 1:25 0.75 m. debajo A(1.75, 2.25, 2.4) C con relación al mismo vértice A se encuentra s¡tuado del siguiente modo: 1.5 a la derecha 2.25 detrás Esc 1:25 2.0 debajo D(175, 75, 125) E se encuentra a 135 mts y 40 grados NW de D y 75 mts más alto F se encuentra a 160 mts y 70 grados SE de D y 110 mts más alto G se encuentra al norte de D y sobre EF Esc 1:2500 H se encuentra en la misma línea DF y a la misma altura de E I se encuentra sobre DE y al oeste de F



Hallar: • Las tres proyecciones del triángulo ABC y del triángulo DEF • El rumbo de la recta EH respecto al punto D • Las alturas de los puntos D y F respecto del punto A

14. Se da la pirámide ABCD y el punto A(15,4,14). B se encuentra a 12 m de A y formando una línea

de rumbo de 15 grados NE y se encuentra 8 m más alto que A. C está a 15 m de A formando 45 grados SE y 20 m más alto que A. D está a 14 m de A formando 60 grados SW y 10 m más alto que A.

Localizar los medios de cada arista de la pirámide. Trazar las tres medianas de cada triángulo. Las medianas del cuerpo que serán las cuatro líneas que unan estos centros con los vértices opuestos, se encontrarán en un punto común P que será el centro de gravedad de la pirámide. Hallar todas las posiciones de P con respecto al punto A. Esc 1:250

Diferentes relaciones de dos rectas en el espacio:

15. Una tubería de desagüe recorre un local con las siguientes dimensiones: 10 m. de ancho, 12 m. de largo y 8 m. de altura. La tubería entra en este gran almacén por un punto de la pared izquierda a 1.72 m. por debajo del techo y a 2.48 m. enfrente de la pared posterior. La tubería atraviesa hasta llegar a un punto de la pared derecha a 0.5 m. por encima del suelo y a 3.24 m. desde la pared frontal o anterior. Desde otro punto de la pared posterior, a un metro por debajo del techo y a 7.48 m. de la pared izquierda viene una nueva tubería de desagüe para unirse a la tubería antes indicada, efectuada con un simple T, y a 90º. Esc 1:125 (sólo en ¶1 y ¶2 ) a. A qué distancia estará la nueva tubería desde la pared para su desagüe y con qué pendiente llegará? Indicar esta pendiente en porcentaje. b. A qué distancia de la pared izquierda medida a lo largo de la tubería debe encontrarse su unión con la nueva?

16. Desde una torre principal en A y a una altura de 2.250 m. una línea de transporte de fuerza lleva la dirección 41º NE, en pendiente ascendente de un 45%. Una edificación está situada a 1.120 m. al este y a 255 m. al norte del punto A y a una altura de 2.585 m. Esc 1:25.000 (sólo en ¶1 y ¶2 ) a. Localizar la línea de unión más corta desde el edificio a la línea principal y determinar la

longitud, dirección y tanto por ciento de pendiente b. A qué distancia del punto A, medida a lo largo de la línea principal debe hacerse la conexión?

17. Desde un punto A a una altura de 2.100 m. parte un túnel en la dirección 45º SE con una pendiente descendente del 45%. Un segundo túnel parte de otro punto C que está a 150 m. al sur de A y a 500 m. al oeste del mismo punto, con una altura de 2.200 m y una dirección de 75º SE y con una pendiente descendente del 15%. a. Encontrar el más corto túnel de unión y determinar su longitud, dirección y tanto por ciento de

pendiente Esc 1:25.000 (sólo en ¶1 y ¶2 ) Perpendicularidad y paralelismo.

18. Dadas las rectas AB, CD, EF; determinar si: CD y EF son paralelas; AB y CD se cruzan o cortan; AB y EF se cruzan o cortan A(9,1,7) B(9,8,2) C(12,5,2) D(7,6,3) E(10,2,6) F(3, 3.5, 7) Esc 1:1

19. Dadas las rectas AB, CD, EF; determinar si AB y CD ó CD y EF ó AB y EF se cruzan ó cortan A(6,2,1) B(6,9,9) C(11,4,4) D(4,3,3) E(12,7,7) F(3,7,8) Esc 1:1



20. Dadas las rectas AB, CD, EF, GH, JK, LM; determinar las relaciones espaciales entre cada una de ellas. A(13,4,6) B(5, 5, 6.5) C(5.3, 7.1, 5.4) D(13.5, 6, 4.8) E(7,9,2.5) F(7, 2.5, 1) G(3,8,4.5) H(3,1,2.5) J(9.3, 9.4, 2.8) K(1.7, 4.5, 5.7) L(11,6.9, 0.9) M(4, 2.5, 3.5) Esc 1:125

21. Dadas las rectas AB, CD, EF, GH, JK, LM; determinar las relaciones espaciales entre cada una de ellas. A(2, 10.5, 7.5) B(6.5, 3.2, 5.2) C(3.5, 3, 6.2) D(12.5, 5.7, 3.6) E(8.5, 2, 1) F(8.5, 9, 6.5) G(10, 5.5, 5.5) H(4.7, 8.7, 3) J(9.5, 4, 8) K(9.5, 11.5, 10) L(14, 3.5, 0.6) M(9.2, 10, 2.2) Esc 1:125.

Aplicaciones a las proyecciones de superficies y cuerpos.

22. Dibujar la representación descriptiva en ¶1 y ¶2 de un hexágono regular de lado 2.0 mts. perpendicular al plano vertical y paralelo al horizontal. Considerar el mismo hexágono a 15º, 30º, 45º y 60º de inclinación respecto al plano horizontal. Dar la notación completa. Esc 1:100

23. Dar las tres representaciones de un cubo de lado 4.0 cms. descansando sobre el plano horizontal

y con dos de sus caras paralelas formando 60º con el plano vertical. Dar la notación completa. Esc 1:1

24. Dar las tres representaciones de un prisma recto de bases cuadradas paralelas al plano vertical.

La posterior a una distancia de 1.5 mts. del plano vertical. Una de las caras laterales debe formar un ángulo de 60º con ¶1 Datos: Lado de la base 4.0 mts. Altura del prisma: 6.0 mts. Esc 1:100

25. Dar las tres representaciones de un tronco recto de pirámide regular cuyas bases son hexagonales. La base inferior tiene como lado 3.0 mts; la altura de la pirámide es de 7.5 mts y del tronco 4.5 m. El tronco descansa sobre el plano horizontal con dos lados de la base paralelos a la linea de tierra. Esc 1:100

El plano: Situación de un punto en un plano, orientación, pendiente y verdadera magnitud.

26. Dadas las tres proyecciones del triángulo ABC y la proyección vertical del triángulo RTS. Hallar: • Las tres proyecciones del triángulo RTS • Localizar en las tres proyecciones del triángulo RTS, una recta horizontal, una vertical y una

de perfil • Orientación, pendiente y verdadera magnitud del triángulo RTS. Esc 1:1 Datos: A(10, 6, 1) B(10, 1, 4.5) C(2.5, 1, 1) R(11, 2, ?) S(5, 3.5, ?)

T(8, 5.5, ?)

27. Dadas las tres proyecciones del triángulo ABC y la proyección horizontal del paralelogramo PQRS. Hallar:

• Las tres proyecciones del paralelogramo PQRS • Orientación, pendiente y verdadera magnitud del paralelogramo PQRS. Esc 1:1 Datos: A(11.5, 2.5, 5.5) B(4, 4, 8) C(4, 1, 1.5) P(6, ?, 2) Q(3, ?, 5) R(6, ?, 8)

S(9, ?, 5)



28. Dadas las tres proyecciones del plano definido por las paralelas AB y CD, y la proyección vertical del plano QRTS. Hallar:

• Las tres proyecciones del plano QRTS • Orientación, pendiente y verdadera magnitud del plano QRTS. Esc 1:1 Datos: A(7.5, 2, 6) B(3.5, 6, 7) C(6, 1.5, 8) D(2, 5.5, 9) Q(6, 2.5, ?)

R(9.5, 6, ?) S(4.5, 6, ?) T(3.5, 5, ?)

29. Una chimenea vertical de 3.0 mts. de diámetro pasa a través de un tejado, tal como lo muestra la proyección horizontal. Completar la proyección vertical y de perfil del orificio del tejado, si se sabe que:

• A centro del orificio (7, ?, 3.5) • Recta BC, límite del tejado • B (8, 1, 6.5) • C está a 45º NW de B y 5.4 mts. más alto que B. La recta CB mide 4.5 m horizontales. • El punto D define otro límite del tejado a 60º NE de B y a la misma altura del punto B. • Los límites del tejado son paralelos. Esc 1:1

30. Se tiene un cubo cuyo lado es de 2.0 mts. Desde un vértice del cubo se traza una perpendicular al plano que pase por los tres vértices adyacentes a ese primer tomado y con el cual están unidos. Determinar esta distancia y mostrar sus tres proyecciones. Esc 1:50

31. La vena de mineral localizada por los puntos B, C y D se une al punto E de la superficie por medio

del pozo de extracción más corto posible. Mostrar este pozo en todas las proyecciones y determinar su longitud, dirección y ángulo de pendiente en porcentaje. Datos: A(13, 5, 7). B respecto de A a 30º NE, a 5.6 m y 3.5 m. por debajo. C respecto

de A a 75 NEº , a 11.20 m. y 4.0 m. por debajo. D respecto de A a 75º SE , a 6.8 m y 0.5 m. por debajo. E respecto de A a 45º NE , a 3.2 m. y a la misma altura de A. Esc 1:100

32. Dos mástiles X e Y están juntos a una edificación a una distancia determinada. Un viento de

alambre va desde la parte superior de cada mástil a la parte más cercana de la superficie del tejado a la que se une, debiendo ser la más corta posible. Indicar los dos vientos de alambre X e Y hasta el tejado en todas las proyecciones y encontrar la longitud en cada uno de ellos. Esc 1:200

X2 Y2

6.0 5.5 6.1 X2

7.6 14.6 8.5 7.6

3.6 1.5

3.8 4.6 Y1

45º X1 45º 3.0 X1 30º 4.8 9.1

Ejercicio 29 Ejercicio 30

33. La tolva que muestra la figura, tiene que unirse a una tubería. La línea central de la tubería debe

pasar por X y recorrer la distancia más corta posible a la cara más cercana. Mostrar la tubería en todas las proyecciones y encontrar la longitud desde X a la tolva. Esc 1:125



Intersecciones: Línea y plano (método de plano auxiliar cortante)

34. Hallar la intersección entre el triángulo ABC y la recta MN con correcta visibilidad A(28, 4, 8) B(19, 16, 15) C(8, 6, 4) M(25, 15, 5) N(13, 3, 11) Esc. 1:250 35. Hallar la intersección entre el triángulo ABC y la recta MN con correcta visibilidad A(10, 6.5, 2) B(10, 1.5, 5.5) C(3.5, 4, 2) M(11, 5, 5) N(4.5, 2.5, 1.5) Esc. 1:100 36. Hallar la intersección entre el paralelogramo ABCD y la recta MN con correcta visibilidad A(9, 4, 1) B(2.5, 6, 3) C(9, 1, 4.5) D ? M(8, 4, 2) N(5, 4, 3) Esc 1:100 37. Un prisma recto tiene por base inferior el triángulo JKM y tiene como altura 3 unidades medidas

en su proyección en el plano de perfil: Hallar el volumen en tres proyecciones con visibilidad correcta Levantar una perpendicular en la intersección de las diagonales de la cara JJ'-KK' y hallar

los puntos de entrada y salida del volumen si: J(8.5, 1.5, 5) K(3, 2, 3.5) M(5.5, 5.5, 1) Esc 1:75

Intersecciones: Plano y plano (método de línea individual)

38. Hallar la intersección entre los planos ABC y RTS. Determinar además la correcta visibilidad de los planos y la orientación, verdadera magnitud y pendiente de la línea de intersección: A(15, 6, 4) B(6, 2.5, 1) C(2.5, 8, 8) R(13, 2, 7) T(4, 9.5, 0.5) S(1.5, 4, 6) Esc 1:100

39. Hallar la intersección entre los planos ABC y RTS. Determinar además la correcta visibilidad de los

planos y la orientación, verdadera magnitud y pendiente de la línea de intersección: A(7, 4.7, 3) B(0.7, 5.2, 1) C(4.8, 0.8, 7) R(8.5, 2, 0.8) T(1.4, 2.5, 7.5) S(2.2, 7, 0.8) Esc 1:100

40. Hallar la intersección entre los planos ABC y RTS. Determinar además la correcta visibilidad de los planos y la orientación, verdadera magnitud y pendiente de la línea de intersección: A(2.5, 0.25,1.1) B(1.9, 1.2, 0.35) C(0.6, 0.6, 1.4)

R(2.25, 0.8, 1.5) T(1.25,0.25,0.25) S(0.5, 1.2, 0.75) Esc 1:20

41. Hallar la intersección entre los planos ABC y RTS. Determinar además la correcta visibilidad de los planos y la orientación, verdadera magnitud y pendiente de la línea de intersección: A(9, 2.5, 5.5) B(5.2, 4.4, 1) C(3, 1.9, 3.7) R(7.5, 4.5, 0.9)

T(1.8, 5.3,3.6) S(4, 0.7, 4.7) Esc 1:75 Trazas de un plano

42. Dado el triángulo ABC, hallar sus trazas tomando como base dos rectas notables del plano (horizontal y vertical) A( 6, 1, 2) B(2, 4, 1) C(1, 2, 4) Esc 1:50

43. Se dan las trazas de ∝ por sus ángulos: ∝1 = 45º y ∝2 = 30º con respecto a la línea de tierra y a 7.5 unidades del origen:



a. Dada la recta CD C(2.5, 2.5, ?) D (0.5, 2.5, ?). Hallar todas las proyecciones de CD

b. Dada la recta MN M(3.5, ?, 2.7) N (1.7, ?, 2.7). Hallar todas las proyecciones de MN

c. Dada la recta JK J(2.7, ?, 3.5) K (0.8, ?, 1). Hallar todas las proyecciones de JK d. Dada X1Y1, donde X(5, ?, 0), Y está en ∝1 y la recta X1Y1 forma 60º con ¶2. Hallar todas

las proyecciones de XY Esc 1:75

44. Dado el plano ∝ paralelo a LT (traza con igual altura e igual alejamiento); ∝1 = 1.4 unidades y ∝2 = 2 unidades:

a. Dado X(0.8, 0.6, ?). Hallar todas las proyecciones del punto X b. Dada la recta JK J(0.4, 1, ?) K (0.4, 0.6, ?). Hallar todas las proyecciones de JK c. Dada la recta AB A(0.8, 0.6, ?) B (1.5, 1.1, ?). Hallar todas las proyecciones de AB d. Dada la recta CD C(1, 1.2, ?) D (0.6, 1.75, ?). Hallar todas las proyecciones de CD Esc 1:20

45. Hallar las trazas del triángulo ABC, A(9.3, 1.3, 7.4) B(5.3, 5.3, 2.2) C(3.3, 2, 5.3) y colocar sobre este nuevo plano el polígono EFJK. E(?, 4.5, 5.3) F(?, 0.3, 8) J(?, 1.1, 6.7) K(?, 5.3, 4) Esc 1:100

46. El polígono ABCD es la base de una pirámide. Dicha base pertenece a un plano ∝. Hallar las

proyecciones del volumen con visibilidad correcta si se conoce el plano ∝ por sus trazas: ∝1 = 60º con ¶2 y ∝2 = 30º con ¶1 y a 14 unidades del origen A(3.5, 5, ?) B(4.7, 3, ?) C(11, 1, ?) D(6.5, 4, ?) V(9,9,9) Esc 1:100

Intersecciones: Plano y plano (método de Trazas)

47. Hallar por el método de trazas la intersección entre los planos ABC y RTS con visibilidad correcta: Esc 1:75 A(9, 2.5, 5.5) B(5.2, 4.4, 1) C(3, 1.9, 3.7) R(7.5, 4.5, 0.9) T(4, 0.7, 4.7) S(1.8, 5.3, 3.6)

48. Hallar la intersección entre los planos ∝ y β conocidos por sus trazas. Hallar puntos comunes a los dos planos: Un punto X de cota 6, un punto Y de alejamiento 3 y un punto Z de distancia 8. ∝1 = 45º y ∝2 = 75º con respecto a la línea de tierra y a 16 unidades del origen β1 y β2 = 60º con respecto a la línea de tierra (en sentido contrario al origen) y a 2 unidades del origen

Hacer solamente las proyecciones en ¶1 y ¶2 Esc 1:100 49. Dadas las trazas verticales de los planos ∝ y β y un punto M común a los 2 planos:

∝2 tiene 12 unidades en X y 6 unidades en Y β2 tiene 12 unidades en X y 3 unidades en Y M (1.5, 1.5, 3) Hallar la intersección entre los 2 planos ∝ y β Esc 1:100

50. La traza ∝1 corta a la Línea de Tierra a 16 unidades del origen. Corta al eje Z a 9 unidades del origen. El plano ∝ queda definido por esta traza y el punto M(10, 6, 6). El plano ∝ interseca a β conocido por sus trazas. La traza β2 forma 30º con LT y la traza β3 forma 45º con LT desde 20 unidades del origen, existiendo traza horizontal. Hallar la intersección entre los 2 planos ∝ y β y además la intersección entre el plano ∝ y el triángulo ABC, con visibilidad correcta. A(7,2,2) B(18, 10, 10) C(1, 14, 9) Esc 1:2



51. Hallar por el método de trazas, el encuentro entre el triángulo ABC y el paralelogramo JKLM, con visibilidad correcta A(14, 8, 9) B(9, 1.5, 2.5) C(4, 7, 8) J(12, 3.5, 2) K(14, 7, 5) L(5, 4, 7.5) M(?, ?, ?) Esc 1:100

Rotación de una recta

52. Hallar la intersección entre el triángulo ABC y la recta MX. Hallar la verdadera magnitud de MX y su pendiente de rotación. Datos: A(12,1.5,7.5) B(8.5,7,1.5) C(2.5,3.5,0.5) M(5,7,5.5) X(8,3.5,0.5) Esc

1:100

53. Hallar la verdadera magnitud y pendiente de la recta AB; dar la pendiente en porcentaje. Asumir los 2 puntos A y B como ejes de rotación. Datos: A(9, 4, 2) B(3, 9, 7) Esc 1:100

54. Un prisma recto tiene por base inferior el triángulo ABC y una altura de 2.5 mts. medidos en el

plano horizontal. Encontrar por rotación la verdadera magnitud y pendiente del lado CC’ Datos: A(12, 1.5, 7.5) B(8.5, 7, 1.5) C(2.5, 3.5, 0.5) Esc 1:100

55. Un prisma recto tiene por base inferior el polígono ABCD apoyado en el plano alfa y de altura 5

unidades medidas en el plano de elevación. Hallar la verdadera magnitud y pendiente del lado B’C’. Datos: A(9,?,3) B(7,?,7) C(2,?,9) D(?,?,?)

∝1 = 70º y ∝2 = 30º a 13 unidades del origen Esc 1:100

Rotación de un plano

56. Determinar por rotación la verdadera forma del plano ABC (primer método). Mostrar el procedimiento en las dos proyecciones ¶1 y ¶2. Datos: A(14, 7.5, 5) B(3.5, 4.5, 3) C(9.5, 2, 8.5) Esc 1:125

57. Determinar por rotación la verdadera forma del plano ABC (segundo método). Mostrar el procedimiento en las dos proyecciones ¶1 y ¶2. Datos: A(14, 7.5, 5) B(3.5, 4.5, 3) C(9.5, 2, 8.5) Esc 1:20

58. Determinar por rotación la verdadera forma del plano ABC (segundo método). Mostrar el procedimiento en las dos proyecciones ¶1 y ¶2. Datos: A(2, 0.55, 0.4) B(1.1, 1.3, 1.3) C(0.5, 0.4, 1.0). Inscribir en

este plano, un hexágono de 0.3 unidades de lado y mostrar sus proyecciones en ¶1 y ¶2. Esc1:25



EJERCICIO 59 EJERCICIO 60

Determinación del ángulo diedro (Plano-Plano)

59. La tolva indicada en la figura alimenta de carbón desde un depósito acumulador colocado encima, a un cargador mecánico de caldera. Determinar el ángulo diedro entre las superficies laterales AB y BC. Esc 1:20

60. Las paredes laterales de una pila de hormigón armado de un puente, tienen todas la misma

pendiente. Determinar el ángulo diedro entre las superficies laterales AB y BC. Esc 1:100 Determinación del ángulo diedro (Recta-Plano)

61. Hallar el ángulo de intersección entre el plano ABC y la recta MN.

Datos: A(2.5, 0.4, 0.8) B(1.6, 1.6, 1.5) C(0.4, 0.6, 0.4) M(1.4, 0.6, 1.5) N(1, 1.1, 0.3) Esc 1:25

3.0 2.0 N2

M2 6.0 3.0 M2 2.0 N2 9.0 6.0 N1 N1 3.0 1.5 3.0 2.0 M1

M1 2.0 6.0 EJERCICIO 63 8.0

EJERCICIO 62



62. La linea MN es la línea central de una tubería que corta la superficie lateral de la tolva en el punto M y al suelo en el punto N. Encontrar los ángulos que la tubería forma con la superficie lateral de la tolva y con el suelo.Esc 1:100

63. La línea MN es la línea central de una tubería que une 2 paredes verticales en los puntos M y N

respectivamente. Encontrar los ángulos que esta tubería forma con la pared. Esc 1:100 Intersección entre línea y volumen

64. Hallar la intersección entre la recta JV y el prisma ABC con visibilidad correcta. Datos: A(3,0,6.7) B(6,0,8.5) C(10,0,7.5) A’(4.2,6,1.9) B’(7.3,6,3.7)

C’(12.2,6,2.6) J(12,4.8,4.8) V(1,2.9,4.7) Esc 1:100

65. Hallar la intersección entre la recta MN y el cono de centro A y vértice V, con visibilidad correcta. Datos: A(5.2, 0.6, 2.5) Radio de la base: 0.9 C(5.15, 3.1, 4.15)

M(6.4, 1.1, 2.5) N(3.9, 2.6, 3.6) Esc 1:50

66. Hallar la intersección entre la recta MN y el cilindro de centros C y C’ y radio 2 unidades, con visibilidad correcta Datos: C(8,7,3) C’(6,0,10) M(13,2,8) N(2,6,4) Esc 1:100

67. Hallar la intersección entre la recta MN y la pirámide de base ABCD y vértice V, con visibilidad

correcta Datos: A(14,0,4) B(5.5,0,8) C(1.5,0,4.5) D(8,0,1) V(9,10,4)

M(15,0.5,6) N(2,7,3) Esc 1:100

68. Hallar la intersección entre la recta MN y el prisma recto cuadrangular de bases ABCD y A’B’C’D’ Datos: A(14,2,3) B(12,0.5,3.5) C(11,2,1.5) D(?,?,?) A’(6,7,8)

M(13,8,6.5) N(5,0,2.5) Esc 1:100

Intersección entre plano y volumen

69. Hallar la intersección entre el triángulo JKM y la pirámide de base triangular ABC y vértice V. Esc

1:100 Datos: A(16,0,2) B(13,0,9) C(5,0,9.5) J(16,2,0.5) K(3,0.5,0)

M(8.5,9,10.5)

70. La base de un prisma es el plano ABCD y su arista A-A´. Hallar la sección de corte producida por el paralelogramo PQMN y el prisma y determinar por rotación la verdadera magnitud de dicha sección. Datos: A(17,6,5) B(14.5,6,5) C(14.8,8,7) D(?,?,?) P(10,8,4)

Q(14.5,6,5) N(13,5,1) M(?,?,?) A´(12,8,0.5) Esc 1:100

71. Hallar la intersección entre el triángulo ABC y el cilindro de centros M1 y M2 a. Datos: A(14.5,1.5,3) B(9.5,1.5,6) C(7.5,6.5,1.5) M1(8,0,2)

M2(13,6.5,5.5) Esc 1:100



72. Hallar el encuentro entre el triángulo JKM y la pirámide de base ABC y vértice V a. Datos: J(17.5,2.5,4.5) K(11,7,1) M(1.5,1,8.5) A(15,0,5) B(7,0,1)

C(3,0,5) D(7,0,10) V(8.5,10,5.5) Esc 1:100

73. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre el triángulo JKM y el prisma recto de base ABCD y arista D´. a. Datos: A(14,6,0) B(8,10,0) C(7,8,0) D(10,5,0) D´(3,0,8)

J(15,2,6) K(5,1,2) M(1,9,2) Esc 1:100

74. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre el triángulo JKM y el prisma oblicuo de base ABC y arista A´. a. Datos: A(17,0,6) B(13,0,12) C(9,0,8) A´(9,9,2) J(16,7,1)

K(6,1,12) M(2,6,7) Esc 1:100

75. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre un cono oblicuo y el triángulo JKM. La base del cono está dada

por los puntos ABC. a. Datos: A(10,2.5,0) B(6.5,10,0) C(16.5,8,0) V(2,11.3,10) J(9.3,2,0.7)

K(13.3,10,9.3) M(4,6.5,4) Esc 1:100

Intersección volumen - volumen

76. Hallar en ¶1 y ¶2 la intersección entre dos cilindros oblicuos con sus bases en el plano horizontal y de centros A-A´ y B-B´.

a. Datos: A(12.5,0,11) A´(8,4.7,3.5) B(3.5,0,8.5) B´(14.5,6,6) Esc 1:100

77. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre los prismas oblicuos ABCA´B´C y JKMJ´K´M a. Datos: A(2,0,6) B(7,0,12) C(11,0,8) A´(11,10,3) J(17,0,13)

K(12,0,13) M(16,0,10) K´(5,7,3) Esc 1:100

78. Hallar en ¶1 y ¶2 la intersección entre dos pirámides de base ABC y vértice V y base DEF y vértice W

a. Datos: A(18,0,8.5) B(12.5,0,13.5) C(13.5,0,7) V(9,7,1.5) D(3,0,11.5) E(6.5,0,4) F(10.5,0,8) W(16,13.5,0.5) Esc 1:100

79. Hallar en ¶1 y ¶2 la intersección entre un prisma oblicuo de base A´B´C´D y arista A y una pirámide oblicua de base MNO y vértice V

a. Datos: A´(15,0,8.2) B´(14,0,5.8) C´(?,?,?) D´(11.2,0,9.2) A(10,8,3) M(8,0,8) N(3,0,6) O(4.2,0,10) V(12.7,6.5,2.8) Esc 1:100

80. Hallar en ¶1 y ¶2 la intersección entre un prisma recto de base rectangular ABCD apoyado en el plano horizontal y un prisma oblicuo de bases EFGH y E´F´G´H y aristas paralelas al plano vertical. La base EFGH es paralela a ¶3

a. Datos: A(11,0,7.5) B(6,0,3) C(8,0,1) D(?,?,?). b. Altura del prisma: 14 unidades. Esc 1:100

F´(1.5,5,4.6) G´(3,3.5,1.6) H´(5.2,1.3,3.5) E´(?,?,?) E(16,9,6.5)



81. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre un cono recto apoyado en el plano horizontal de radio 5 unidades, altura 12 y centro O, y un prisma recto de base triangular ABC y arista A´.

a. Datos: O(9,0,7) A(15.5,8,10) B(12.5,5,13) C(14,2.2,?) A´(5,8,0) Esc 1:100

82. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre dos pirámides apoyadas en el plano horizontal de bases ABC y JKM y vértices V y W

a. Datos: A(16.5,0,9.2) B(10.5,0,14) C(11.5,0,7.2) V(5.5,8,2) J(11.5,0,12) K(4.5,0,5) M(9.5,0,9) W(14.5,14,1.2) Esc 1:100

83. Hallar en ¶1 y ¶2 el encuentro entre dos pirámides oblicuas de bases ABC y vértice W y JKM y vértice V

a. Datos: A(2,4,0.8) B(10.5,1,1.5) C(7.8,9,7.8) W(3,2,9) J(11.5,6,9) K(6,3,8) M(11,2,5) V(1,10,2) Esc 1:100

conferencias descriptiva

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