determinantes 11

7/21/2019 Determinantes 11

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Site: AVA - Moodle UTFPR

Curso: GAAL - Câmpus CM, CT e DV

Livro: 1.2 - Determinantes

Impresso por: ALAN ROBERTO RIBEIRO

Data: domingo, 23 agosto 2015, 13:55

1.2 - Determinantes http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=4240

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1.2.1 - Introdução

1.2.2 - Objetivos

1.2.3 - Definição

1.2.4 - Cálculo de Determinantes (Parte I)

1.2.4 - Cálculo de Determinantes (Parte II)

1.2.5 - Propriedades dos Determinantes


2 de 19 23/8/2015 13:55i h // f d b / d/b k/ l/ i /i d h id



Muito além do estudo de matrizes e determinantes na Matemática, verifica-se uma gama considerável de aplicações na engenharia, informática,

tabelas financeiras. Em se tratando dos determinantes, verifica-se que estes são representados por um tipo de matriz, chamada matriz quadrada de

ordem n. Nele não aplicamos as quatro operações, mas tem suas propriedades, a citar os cálculos para determinar o valor numérico de um

determinante.

O cálculo do determinante de uma matriz só pode ser feito se a matriz for quadrada. Considerando uma matriz quadrada podemos associar essa

matriz a um número real chamado determinante.

O objetivo deste capítulo é estudar métodos para calcular o determinante de uma dada matriz quadrada. O cálculo utilizando operações elementares

para obter uma matriz triangular é uma importante ferramenta para o cálculo de determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Odesenvolvimento de Laplace também é utilizado para calcular o determinante de uma dada matriz quadrada de qualquer ordem. A regra de Sarrus é

bastante popular, prática, mas só é válida para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2 ou 3.

Enfatizando,o cálculo do determinante exige cuidado, tanto com a notação quanto com o método escolhido, pois deve ser verificado se o método é

adequado à ordem da matriz dada.


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Apresentar métodos para calcular o determinante de uma matriz quadrada

Exemplificar algumas aplicações dos determinantes

Descrever a notação geral utilizada;

Demonstrar as propriedades dos determinantes;

Aplicar o cálculo de determinantes na resolução de sistemas de equações lineares.

A teoria dos determinantes foi desenvolvida simultaneamente na Alemanha e no Japão. Foi desenvolvida por dois matemáticos, Leibniz (1646-1716) e

Seki Shinsuke Kowa (1642-1708), ao solucionarem problemas de eliminações (escalonamento) necessárias à resolução de um sistema de m equaçõeslineares e n incógnitas (BOYER, 1988).

Determinante é a somatória de todos os produtos possíveis dos n elementos de uma matriz quadrada, de maneira que em cada parcela – formada por

um produto – não haja dois elementos pertencentes a uma mesma linha e/ou coluna” (SOARES, 1979).


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Notação: det A ou | A|.

Observação: Cuidado para não confundir a notação de determinante com a notação de matriz. São duas notações diferentes e com significados

diferentes.

Exemplo: O determinante da matriz , é denotada por detA= ao calcularmos o determinante

obtemos detA= 165.

→ Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, sua determinante troca de sinal;

→ O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os

elementos de certa linha forem multiplicados por k;

→ O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo l i ← l i

+ k.l j (Teorema de Jacobi);

→ O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos dadiagonal principal


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Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz :

Solução:

1) Realizar operações elementares e transformando a matriz em uma triangular superior


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2) Após transformar a matriz A em uma triangular superior, multiplicamos o escalar pelos elementos da diagonal principal.

=(-3)·1·1·(-55) = 165

Logo, o determinante da matriz A é 165.

Exemplo 2: Calcule o determinante da matriz .

Solução:

1) Realizar operações elementares e transformando a matriz em uma triangular superior.

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p p p p p

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2) Após transformar a matriz em uma triangular superior, multiplicamos o escalar pelos elementos da diagonal principal.

= (-2)·1·1·1·45 = -90

Assim o determinante da matriz A é -90.

006_DeterminantePorTriangularizacao.flv

Exemplo 3: Seja a matriz .

Solução:

p p p p p

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O cofator do elemento a23 (elemento segunda linha e terceira coluna), isto é, de 4. Para isso excluímos a linha e a coluna desse elemento, ou seja:

O cofator do elemento a31 , isto é, de 0 é:

Considere certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por:

A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace.

Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se certa coluna j e a expressão passa a ser:

Exemplo 4: Calcular o determinante da matriz pelo desenvolvimento de Laplace fixada a linha 2:

Solução:

1) Determinar os cofatores da dos elementos da segunda linha ( a21 e a22 ) dado por:

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2) O determinante da matriz é dado pela soma dos cofatores, logo:

det A = 0 + (-7) = -7

007_TeoremaDeLaplace.flv

Exemplo 5: Calcular pelo desenvolvimento de Laplace o determinante da matriz fixada à linha1:

Solução:

1) Determinar os cofatores da dos elementos da primeira linha ( a11 , a12 e a13 ) dado por:

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.

.

.

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Aplicação da regra de Sarrus:

Exemplo 6: Dada a matriz temos:

Solução:

1) Duplicar as duas primeiras colunas ao lado da matriz:

2) Determinar a soma do produto da diagonal principal com os dois produtos dos elementos das diagonais paralelas a essa diagonal:

3) Determinar a soma do produto da diagonal secundária com os dois produtos dos elementos das diagonais paralelas a essa diagonal:

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4) Assim temos:

Exemplo 7: Calcule o determinante da matriz aplicando a regra de Sarrus.

Solução:

1) Duplicar as duas primeiras colunas ao lado da matriz.

2) Determinar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas

a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

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3) Somar os produtos das diagonais principais e secundárias:

detA = -126 - 46 - 12 + 14 + 72 + 72

detA = -186 + 158

detA = 28

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Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e não nulos.

D1) Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então

Demonstração:

Considere a matriz triangular superior

Fixando a coluna 1 para o cálculo do determinante,

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Corolários:

i) det 0n = 0

ii) det In = 1

iii) Se A é uma matriz diagonal, então

D2) , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula.

D3) , quando A possuir linhas (ou colunas) iguais.

D4) .

D5) , (Teorema de Binet).

D6)

D7) Considere a matriz A e, B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares:

a)

b)

Demonstração: Considere a matriz

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Fixando a linha i para o cálculo do determinante,

Seja a matriz obtida pela operação elementar

c)

D8) A é uma matriz invertível se, e somente se, det A ≠ 0

D9) Se A é uma matriz inversível então .

D10) Se A e B são matrizes semelhantes, então det A = det B.

D11) Se A é uma matriz ortogonal, então det A = ± 1.

Matriz Adjunta :

Definição: Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor da entrada , ou simplesmente o menor de , é denotado por e

definido como determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O número é denotado

por e é chamado o co-fator de

Definição: Se A é uma matriz e é co-fator de então a matriz é chamada matriz de co-fatores de A. A

transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A).

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Teorema: (Inversa de uma matriz usando a adjunta) Se A é uma matriz invertível, então

008_InversaPelaAdjunta.flv

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