NeninaMartnOssorioMatemticasII1

CONCEPTO DE DETERMINANTE

A cada matr iz cuadrada A se le as igna un esca lar part icu lar denominado

determinante de A , denotado por |A| o por det (A) .

det (A) =

CLCULO DE UN DETERMINANTE

Determinante de orden uno |a 1 1 | = a 1 1

| -3| = -3

Determinante de orden dos

= a 1 1 a 2 2 - a 1 2 a 2 1

Determinante de orden tres

Se ap l ica la Regla de Sarrus

Los trminos con s igno + estn formados por los e lementos de la

diagonal pr inc ipa l y los de las diagonales parale las con su correspondiente

vrt ice opuesto .

Los trminos con s igno - estn formados por los e lementos de la

diagonal secundar ia y los de las diagonales paralelas con su correspondiente

vrt ice opuesto .

NeninaMartnOssorioMatemticasII2

Clculo de un determinante de cualquier orden

El determinante de una matr iz cuadrada es igua l a la suma de los

e lementos de una f i la o co lumna mult ip l icados por sus adjuntos

correspondientes .

E l va lor del determinante es independiente de la f i la o co lumna e leg ida

para su desarro l lo .

TRANSFORMACIONES PARA SIMPLIFICAR EL CLCULO

Consiste en conseguir que una de las l neas de l determinante est

formada por e lementos nu los , menos uno: e l elemento base o p ivote , que

va ldr 1 -1 .

Seguiremos los s igu ientes pasos:

1).Si a lgn elemento de l determinante va le la un idad , se e l ige una de las

dos l neas : la fi la o la co lumna , que cont ienen a d icho e lemento (se debe

escoger aquel la que contenga e l mayor nmero pos ib le de elementos nu los ) .

NeninaMartnOssorioMatemticasII3

2).En caso negat ivo :

1.Nos f i jamos en una l nea que contenga e l mayor nmero pos ib le de

e lementos nu los y operaremos para que uno de los elementos de esa l nea

sea un 1 -1 (operando con a lguna l nea para le la) .

2.Div idiendo la l nea por uno de sus e lementos , por lo cua l deberamos

mult ip l icar e l determinante por d icho e lemento para que su va lor no var ie . Es

decir sacamos factor comn en una l nea de uno de sus e lementos .

3.Tomando como referencia e l elemento base , operaremos de modo que

todos los e lementos de la f i la o co lumna , donde se encuentre, sean ceros .

4.Tomamos e l adjunto del e lemento base , con lo que obtenemos un

determinante de orden infer ior en una un idad a l or ig ina l .

= 2 ( -58)

NeninaMartnOssorioMatemticasII4

MTODO DE GAUSS para el clculo de determinantes

Cons iste en transformar la matriz dada en otra que sea tr iangu lar y que tenga el mismo determinante.

Determinante de una matr iz tr iangu lar 000

00

0

. . .

Para e l lo se ap l ican las s igu ientes propiedades de los determinantes:

1 . S i se permutan dos l neas (f i las o co lumnas) de un determinante, este cambia de s igno con respecto a l or ig ina l .

2 . Si en un determinante a una l nea (f i la o co lumna) se le suma otra para le la e l determinante no var a

3 . Si en un determinante a una l nea (f i la o co lumna) se le suma otra para le la mult ip l icada por un nmero no nu lo , e l determinante no var a .

Ejemplo :

1 0 0 20 1 1 106

11

21

10

1 0 0 20 1 1 100

11

21

112

1 0 0 20 1 1 100

00

10

013

13

Pasos f4 f4 6 f1

f3 f3 + f2

f4 f4 f2

MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento de un determinante

Se l lama menor complementar io de un e lemento a i j a l va lor del

determinante de orden n-1 que se obt iene a l supr imir en la matr iz la f i la i

y la co lumna j .

NeninaMartnOssorioMatemticasII5

ADJUNTO de un elemento de un determinante

Se l lama adjunto del e lemento a i j y se representa por Ai j a l menor complementar io

anteponiendo:

El s igno es + s i i+j es par.

El s igno es - s i i+j es impar.

Se puede defin ir entonces como Ai j = (-1) i + j det (Mij)

El va lor de un determinante es igua l a la suma de productos de los

e lementos de una l nea (f i la o co lumna) por sus adjuntos correspondientes:

Ejemplo

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63