alync p4 determinantes

Simbolo de Levi-Civita y la delta de KroneckerDeterminante de matriz

Determinantes e inversas

Determinante de una Matriz

Alejandro Gallardo Lozada

UPIITA

Ingeniera Mecatronica

27 de septiembre de 2012

Alejandro Gallardo Lozada Determinante de una Matriz



1 Simbolo de Levi-Civita y la delta de Kronecker

2 Determinante de matrizMenores y cofactoresPropiedades de los determinantes

3 Determinantes e inversasMatriz adjunta y autoadjuntaRegla de Cramer




En esta seccion se introduciran dos smbolos de gran utilidad.La delta de Kronecker es una funcion de dos variables, usualmente en-teros, que cumple

ij

{0, sii 6= j1, sii = j

(1)

El smbolo de Levi-Civita, tambien llamado el smbolo de permutacion,es definido como:

ijkl... =

+1, si (i , k , l , ...) es permutacion par de (1, 2, 3, ...)1, si (i , k, l , ...)es permutacion impar de (1, 2, 3, ...)0, cualquier otro caso (repeticion de ndices)

(2)

Algunas propiedades son:

1

i= aiij = aiij = aj .

2 ijmn = imjn injm, ijin = jn y ijij = 2.3 ijkimn = jmkn jnkm, ijkijm = 2km, y ijkijk = 6,




Menores y cofactoresPropiedades de los determinantes

Sean A = (aij) una matriz 2 2 y B = (bij) una matriz 3 3,

A =

(a11 a12a21 a22

), y B =

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

, (3)entonces el determinante de estas matrices se define como:

det A = a11a22 a12a21 y (4)det B = b11

b22 b23b32 b33 b12 b21 b23b31 b33

+ b13 b21 b22b31 b32 .

Se define el determinante de cualquier matriz como:

Definicion

Sea A una matriz m m del determinante de A se define como:

det A = ijkl...a1ia2ja3ka4l . (5)





Ejemplos

Calcule el determinante de las siguientes matrices:

1 A =

(2 11 1

), B =

3 5 24 2 31 2 4

,C =

2 0 0 71 2 1 43 0 1 54 2 3 0

.2 Halle el determinante de una matriz antisimetrica.

3 Halle el determinante de la matriz unidad In.De sus conclusiones generales para cada uno de los determinantesanteriores.





Definicion

Sea A una matriz n n. La matriz Mij de (n 1) (n 1) que se obtienede A eliminando el renglon i y la columna j se llama menor ij de A.

Sea A =

1 3 5 62 4 0 31 5 9 24 0 2 7

, determine los menores M32 y M24 de A.Definicion

Sea A una matriz n n. El cofactor ij de A, denotado por Aij esta dadopor:

Aij = (1)i+j |Mij | . (6)

Ejemplo: Determine A32 y A24.





El determinante de una matriz puede definirse tambien como la suma delos cofactores de la matriz, esto es

Definicion

Sea A una matriz n n. entonces el determinante de A esta dado por:

det A = |A| =n

k=1

a1kA1k = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n. (7)

Por otro lado, una matriz cuadrada, A = aij , se denomina triangularsuperior si todas sus componetes abajo de la diagonal son cero, aij = 0para i > j ; triangular inferior si todas sus componentes arriba de ladiagonal son cero, aij = 0 para i < j ; y diagonal si todos los elementosfuera de la diagonal son cero, aij = 0 para i 6= j .Con la definicion anterior, es inmediato notar que el determinante de unamatriz puede calcularse eligiendo con cualquier renglon o columna.

Halle el determinante de una matriz triangular superior, unatriangular inferior y una diagonal.





Sean A y B dos matrices n n. EntoncesTeorema 1. det(AB) = det A det B

Teorema 2. Si la matriz A tiene factorizacion LU, A = LU donde Ltiene unos en la diagonal, entonces det A = detU.

Teorema 3. Si PA = LU, donde P es una matriz permutacion y L yU son como antes, entonces det A = detUdetP = det U.Teorema 4. det AT = det A.

Teorema 5. det A1 = 1detA .

Ejemplos. Corrobore los teoremas 1, 4 y 5 con las siguientes matrices:





Ademas, los determinantes poseen ciertas propiedades, algunas de ellasson: Sea A una matriz n n, entonces

1 Si A tiene un renglon o columna de ceros, entonces det A = 0.

2 Si el renglon i o la columna j se multiplica por un escalar c ,entonces det A se multiplica por c . En general, det(cA) = cn det A.

3 El intercambio de cualesquiera dos renglones o columnas distintasde A tiene el efecto de multiplicar det A por 1.

4 Si A tiene dos renglones (o columnas iguales), o un renglon (ocolumna) es un multiplo de otro renglon, entonces det A = 0.

5 Si se suma un multiplo escalar de un renglon (columna) de A a otrorenglon (columna) de A, entonces el determinante no cambia.

Cual sera el determinante de una matriz idempotente, nilpotente y unipo-

tente?





Ejemplos de las propiedades de los determinantes

Halle el determinante de las siguientes matrices A =

2 3 50 0 01 2 4

,B =

1 1 23 1 40 2 5

, C = 1 1 25 7 3

1 1 2

, D = 2 3 51 7 24 6 10

Halle el determinante de A y el determinante de B.

Halle el determinante de B si se multiplica el segundo renglon por 4.

Halle el determinante de B si se intercambian los renglones 1 y 3.

Halle el determinante de C y de D.

Halle el determinante de B si se multiplica el tercer renglon por 4 yse suma al segundo renglon.




Matriz adjunta y autoadjuntaRegla de Cramer

Sea A = (aij) una matriz n n, entoncesDefinicion

A es una matriz ortogonal si A es invertible y ATA = AAT = In.Ademas det A = 1.

Por otro lado, sea B =

A11 A12 A1nA21 A22 A2n

......

. . ....

An1 An2 Ann

, entoncesDefinicion

La matriz adjunta de A, denotada como adjA, es la transpuesta de lamatriz B, es decir

adjA = BT =

A11 A21 An1A12 A22 An2

......

. . ....

A1n An2 Ann

. (8)Alejandro Gallardo Lozada Determinante de una Matriz




Definicion

La matriz adjunta de A, la matriz inversa A1 y el determinante de A,estan relacionados por:

(A)(adjA) = (det A)I.

A1 = 1detAadjA.

Sean las matrices A =

3 1 01 1 21 1 1

, y B =

5 0 0 02 10 7 00 5 4 10 10 0 0

,C =

ex ex sin ex cos ex sin ex exex cos ex ex

, halle si son invertibles, si soninvertibles encuantre su inversa.





Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas, Ax = b. Sidet A 6= 0 la solucion al sistema es x = A1b. Por otro lado, existe unmetodo que resuelve el sistema sin calcular la inversa o sin Gauss-Jordan.Esto es: Sea D = det A y n matrices nuevas dadas por:

Regla de Cramer

Sea A una matriz n n y suponga que det A 6= 0. Entonces la solucionunica al sistema Ax = b esta dada por:

x1 =D1D, x2 =

D2D, , xi = Di

D, xn = Dn

D(9)





Encuentre la solucion de los siguientes sistemas lineales usando la regla deCramer.


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