distribuciones uniforme y distribucion normal

Distribuciones continuas

MSc Edgar Madrid Cuello

Departamento de Matemática, UNISUCRE

Estadística I

MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 1 / 38

Distribución Uniforme

De�nición (distribución uniforme)

Se dice que una variable aleatoria X está distribuida uniformemente sobre

el intervalo [a, b ] , con a < b números reales, si su función de densidad está

dada por:

f(x) =

b− asi a ≤ x ≤ b

0 e.c.o.c

La función de densidad tiene la forma que presenta la �gura 1.

Figure: 1 Función de densidad de una distribución uniforme

Función de distribución

Es fácil veri�car que si X ∼ U[a, b], entonces, la función de

distribución de X está dada por:

F (x) =

0 si x < a

x− ab− a

si a ≤ x ≤ b1 si x > b

Función de distribución

Es fácil veri�car que si X ∼ U[a, b], entonces, la función de

distribución de X está dada por:

F (x) =

0 si x < a

x− ab− a

si a ≤ x ≤ b1 si x > b

Figure: 2 Función de distribución de una v.a. con distribución uniforme

Ejemplo

Sea X ∼ U[−3, 2] clacular:

P (X ≥ 0)

P (−5 ≤ x ≤ 1

Ejemplo

Se escoge un número al azar en el intervalo [1, 3 ] . Cuál es la probabilidad

de que el primer dígito al lado derecho del punto decimal sea el 5?

Ejemplo

P (X ≥ 0)

P (−5 ≤ x ≤ 1

Ejemplo

P (X ≥ 0)

P (−5 ≤ x ≤ 1

Ejemplo

Teorema (propiedades de la distribución discreta)

Si X es una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo

[a, b ] entonces:

1 µX = E

)=a+ b

2 σ2X = V ar

(b− a

Teorema (propiedades de la distribución discreta)

Si X es una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo

[a, b ] entonces:

1 µX = E

)=a+ b

2 σ2X = V ar

(b− a

Ejemplo

Supóngase que X ∼ U[a, b] y que E(X) = 2 y V ar(X) =3

4. Calcular

La distribución normal

Objetivos:

Usar la curva normal para modelar distribuciones;

Calcular probabilidades utilizando la curva normal;

evaluar la normalidad de conjuntos de da- tos mediante el uso de

grá�cas de probabilidad normales.

Objetivos:

Se presenta el tipo más importante de curvas de densidad: la curva

normal. La curva normal es una curva simétrica con �forma de campana�.

Una distribución representada por una curva normal se denomina

distribución normal.La familia de las distribuciones normales tiene dos

papeles en aplicaciones estadísticas. Su uso directo es como una

aproximación adecuada de la distribución de una variable observada X. El

segundo papel de la distribución normal es más teórico y es base

fundamental para estadística II.

Ejemplo (Vida útil de baterías)

Como parte de su programa de control de calidad, la compañía Autolite

Battery realiza pruebas acerca de la vida útil de las baterías. La vida media

(µ) de una batería de celda alcalina D es de 19 horas. La vida útil de la

batería se rige por una distribución normal con una desviación estándar (σ)de 1.2 horasa .

aEstadística aplicada a los negocios y la economía, Lind, pag. 230

Distribución de la vida media de 230 baterías

baterias

16 18 20 22

Figure: 3 histograma basado en una muestra de 230 baterías

Distribución de la vida media de 230 baterías

baterias

16 18 20 22

Figure: 4 histograma basado en una muestra de 230 baterías con la curva normalsuperpuesta

La curva normal se puede usar para describir la distribución de una variable

observada X de dos formas:

como una aproximación suave a un histograma basado en una muestra

de valores de X

como una representación idealizada de la distribución poblacional de X

Se considera la curva normal como la representación de la distribución

poblacional.

de valores de X

poblacional.

de valores de X

poblacional.

Ejemplo (Espesor de cascaras de huevo)

En la producción comercial de huevos, la rotura es un problema

importante. Por tanto, el espesor de las cascaras de huevos es una variable

importante. En un estudio se observó que el espesor de las cascaras de

huevos producidos por un gran número de gallinas White Leghorn seguía

aproximadamente una distribución normal de media µ = 0, 38mm y

desviación típica σ = 0, 03mm.

0.30 0.35 0.40 0.45

Espesor de cáscara (mm)

Figure: 6 Distribución normal del espesor de cáscara de huevos, con µ = 0, 38mmy σ = 0, 03mm

De�nición (Curvas normales)

Cada curva normal concreta se caracteriza por su media y su desviación

típica (parámetros). Si la variable X sigue una distribución normal de

media µ y desviación típica σ entonces se dice que XN(µ, σ).Todas lascurvas normales se pueden expresar mediante una sola fórmula.

Si una variable X sigue una distribución normal de media µ y desviación

típica σ, entonces la curva de densidad de la distribución de X está dada

por la siguiente fórmula:

f(x) =1

2πe−

12(x−µσ )

Esta función, f(x) se denomina función de densidad de la distribución y

expresa la altura de la curva en función de la posición x en el eje y.

f(x) =1

2πe−

12(x−µσ )

f(x) =1

2πe−

12(x−µσ )

f(x) =1

2πe−

12(x−µσ )

De�nición (continuación . . .)

La Figura 8 muestra una grá�ca de una curva normal. La forma de la curva

es como la de una campana simétrica, centrada en x = µ. La dirección de

curvatura es hacia abajo en la parte central de la curva, y hacia arriba en la

parte de las colas.

Figure: 8 Distribución normal µ y σ

Los puntos de in�exión (es decir, donde la curvatura cambia de dirección)

son x = µ− σ y x = µ+ σ. Nótese que la curva es casi lineal en los

alrededores de esos puntos.

En principio la curva se extiende hasta −∞ y +∞, y nunca alcanza

realmente el eje x (asíntota). Sin embargo, la altura de la curva es muy

pequeña para valores de x alejados más de tres desviaciones típicas de la

media. El área bajo la curva es exactamente igual a 1.

De�nición

Todas las curvas normales tienen la misma forma esencial, en el sentido de

que se pueden hacer idénticas mediante una selección adecuada de las

escalas vertical y horizontal de cada una. . Pero curvas normales con

diferentes valores de µ y σ no parecerán idénticas si se dibujan todas en la

misma escala, como se ilustra en la Figura 9. La posición de la curva

normal en el eje y está gobernada por µ, ya que la curva está centrada en

x = µ.La anchura de la curva está gobernada por σ. La altura de la curva

también está determinada por σ. Como el área bajo cada curva debe ser

igual a 1, una curva con un valor más pequeño de σ debe tener una altura

mayor. Esto re�eja el hecho de que los valores de Y están más altamente

concentrados cerca de la media cuando la desviación típica es pequeña.

De�nición

Figure: 9 Tres curvas normales

El parámetro µ es un parámetro de localización y el parámetro σ es un

parámetro de forma

−4 −2 0 2 4

, 0, 1

Figure: 10 Curvas normales con la misma media y diferentes desviacionesMSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 22 / 38

−4 −2 0 2 4

, 0, 1

Figure: 11 Curvas normales con diferentes media y desviaciones igualesMSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 23 / 38

De�nición (distribución normal estándar)

Si X ∼ N(0, 1), entonces se dice que X tiene distribución normal estándar.

La función de densidad y la función de esta variable aleatoria se denotan

por φ(·) y Φ(·) respectivamente.

La función de densidad de una variable aleatoria normal estándar es

simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto, para todo z < 0 se satisface

Φ(z) = 1− Φ(−z)

De�nición (Escala tipi�cada)

Las áreas bajo una curva normal se han calculado matemáticamente y

están tabuladas en cualquier libro de estadística o se puede emplear el

programa R o su App. Esto debido al hecho de que todas las curvas

normales se pueden hacer equivalentes, con respecto a las áreas bajo ellas,

mediante un cambio de escala adecuado del eje horizontal. La variable con

la escala cambiada se denomina Z.

La relación entre las escalas se muestra en la Figura 12.

Figure: 12 escala tipi�cada

De�nición (Fórmula de tipi�cación)

Z =X − µσ

Ejemplo

Para z = 1.23, se tiene P (Z < 1.23)

Figure: 13 ilustracion uso de la tabla o R; Φ(1.23)

Para obtener el área por encima de un valor dado de z, restaremos el área

tabulada de 1. Por ejemplo, el área por encima de z = 1, 8 es

1− 0.9641 = 0.0359 (Figura 14).

Figure: 14 ilustracion uso de la tabla o R;1− Φ(1.8)

1− 0.9641 = 0.0359 (Figura 14).

Ejemplo

Para obtener el área entre dos valores de z, se restan las áreas dadas en la

Tabla. El área bajo la curva Z entre z = −1.4 y z = 1.35, es decirP (−1.4 < z < 1.35) (Figura 15),

Figure: 15 ilustracion uso de la tabla o R; Φ(1.35)− Φ(−1.40)MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 30 / 38

Ejemplo

Para obtener el área entre dos valores de z, se restan las áreas dadas en la

Tabla. El área bajo la curva Z entre z = −1.4 y z = 1.35, es decirP (−1.4 < z < 1.35) (Figura 15),

Figure: 15 ilustracion uso de la tabla o R; Φ(1.35)− Φ(−1.40)MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 30 / 38

El área bajo la curva normal entre z = −1 y z = +1 es

0.8413− 0.1578 = 0.6826.Por tanto, para cualquier distribución normal, aproximadamente el 68% de

las observaciones están dentro de ±1σ alrededor de la media.

Asimismo, el área bajo la curva normal entre z = −2 y z = +2 es 0.9544 y

el área bajo la curva normal entre z = −3 y z = +3 es 0.9974.

Esto signi�ca que en cualquier distribución normal aproximadamente el

95% de las observaciones están dentro de ±2σ alrededor de la media y

aproximadamente el 99.7% de las observaciones están dentro de ±3σalrededor de la media (véase la Figura 16).

Figure: 16

Ejemplo

De acuerdo con el Internal Revenue Service (IRS) el reembolso medio de

impuestos en 2007 fue de $2 708. Suponga que la desviación estándar es

de $650 y que las sumas devueltas tienen una distribución normal.

1 ¾Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000?

2 ¾Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000 e inferiores a

$3 500?

3 ¾Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $2 500 e inferiores a

$3500?

Figure: 17 Arenques

De�nición (Lectura inversa de la Tabla (qnorm en R))

Al determinar hechos sobre la distribución normal, algunas veces es

necesario obtener el valor de z correspondiente al área dada en vez de la

otra forma.

Ejemplo

supongamos que deseamos obtener el valor en la escala Z que deja por

encima del 2.5% de la distribución. Este número es 1.96, como se muestra

en la Figura 18.

Figure: 18 Área bajo una curva normal por encima de 1.96

otra forma.

Ejemplo

en la Figura 18.

otra forma.

Ejemplo

en la Figura 18.

Utilizaremos la notación Zα para designar el número tal que

P (Z < zα) = 1− α y P (Z > zα) = α, como muestra la Figura 19. Así

pues, z0.025 = 1.96.

Figure: 19 Área bajo una curva normal por encima de Zα

Ejemplo (Longitudes de peces)

Obtener el percentil 70 de la distribución de longitudes de peces del

Ejemplo anterior.

Figure: 20 Determinación del percentil 70 de una distribución normalMSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones continuas 2017 36 / 38

Ejemplo

Calcular el percentil 20 de la distribución de la longitud de peces del

Ejemplo anterior.

Figure: 21 Determinación del percentil 20 de una distribución normal

distribuciones uniforme y distribucion normal

Education