DISTRIBUCION NORMAL (Z)

Esta distribución es frecuentemente utilizada enlas aplicaciones estadísticas. Su propio nombreindica su extendida utilización, justificada por lafrecuencia o normalidad con la que ciertosfenómenos tienden a parecerse en sucomportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentanuna función de densidad cuya gráfica tiene formade campana.

FenómenosNaturales

Caracteres morfológicos

Caracteres fisiológicos

Caracteres sociológicos

Caracteres psicológicos,

Errores cometidos

Valores estadísticos muéstrales

Otras distribuciones

DISTRIBUCION NORMAL

Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre

-∞ y +∞ y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo de variables existe

una probabilidad de un 0.50 de observar un dato mayor que la media μ y un 0.50 deobservar un dato menor.

La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es iguala una desviación típica σ Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la densidad.

El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dosdesviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 0.95 deposibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo . (μ - 1.96 σ μ+ 1.96 σ)

Propiedades de la distribución normal:La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una formacomún, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la másutilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 yvarianza 1. Así, la expresión que define su densidad se puede obtener de la Ecuación

a la variable Z se ladenomina variabletipificada de X, y a lacurva de su función dedensidad curva normaltipificada

-∞ < z < + ∞

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución N(0,1), sepuede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar latransformación:

CARACTERÍSTICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (REDUCIDA, TIPIFICADA )No depende de ningún parámetroSu media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.La curva f(x) es simétrica respecto del eje OYTiene un máximo en este ejeTiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribuciónexisten tablas y formulas publicadas a partir de las que se puede obtener de modo sencillo laprobabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirán resolverpreguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume quesiguen una distribución aproximadamente normal.

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION NORMAL

FORMULAS Y MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES

DISTRIBUCION NORMAL

FORMULAS Y MANEJO DE TABLAS. Calcular las siguientes probabilidades

Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:

a) P(Z ≤ 2,35)b) P(Z ≤ -1,86)c) P(Z ≥ 1,77)d) P(1,35 ≤ Z ≤ 3,25)e)P(Z≤ k)=0.7611

Solución: a) P(Z ≤ 0,35) ya que este es un valor esta a la izquierda ( quemenor e igual ) el valor de probabilidad pedido se buscadirectamente en la tabla de la siguiente forma: la tablaconsta de dos parte los Z positivos (+) y los Z negativos (-)como el valor es positivo se utilizara la parte positiva de latabla, el valor buscado es 0,35 ( Valor Positivo ) el primernumero entero y el primer decimal se busca en la parteizquierda de la tabla positiva columna de Z seria entonces0,3 y en la parte superior se localiza el ultimo decimal eneste caso 0,05 para completar el valor buscado 0,35 seintersecta los dos valores y se consigue la probabilidadpedida que es 0,63683 Nota( Todos los valores de la tablavienen precedidos de cero (0) ) entonces P(Z ≤ 0,35) =0,63683

DISTRIBUCION NORMAL

FORMULAS Y MANEJO DE TABLAS. Calcular las siguientes probabilidades

Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:

b) P(Z ≤ -1,86) valor negativo se utiliza la parte negativa de la tabla y como es un valor menor queSe busca directamente en tabla entonces el valor de la probabilidad 0,03144

Solución

DISTRIBUCION NORMAL

FORMULAS Y MANEJO DE TABLAS. Calcular las siguientes probabilidades

Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:

DISTRIBUCION NORMAL

FORMULAS Y MANEJO DE TABLAS. Calcular las siguientes probabilidades

Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:

e)P(Z≤ k)=0.7611 en este caso donde se pide busca el valor dek tendremos que proceder de esta forma:Como el símbolo es menor e igual se busca el valordirectamente en tabla , pero la pregunta ¿ Como entramos ala tabla? La respuesta es tenemos que encontrar el valordado en este caso 0,7611 o el que se aproxima mas a eldentro de la tabla ¿En cual? Tendremos que buscarlo el valorque mas se aproxima se muestra en tabla que es 0,76115 yvamos de adentro de la tabla hacia afuera primero al ladoizquierdo donde esta el valor de Z en este caso es 0,7 ydespués a la parte superior 0,01 por lo tanto el valor de K=0,71 , otro ejemplo si fuera P(Z≤ k)=0.6628 se procede de lamisma forma se busca el valor que se aproxime mas a 0,6628en esta caso el valor de K= 0,42

DISTRIBUCION NORMAL

FORMULAS Y MANEJO DE TABLAS. Calcular las siguientes probabilidades

Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:

Ejemplos

DISTRIBUCION NORMALAplicación de la Distribución Norma

1-Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas yluego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas conuna desviación estándar de 6.3meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinadaa) viva más de 32 meses;b) menos de 28 meses;c) entre 37 y 49 mesesd) Cuantos meses mínimo tendrá devida un ratón si la probabilidad de

Vida es de 98%

Nota: Para resolver este ejerciciose tiene primero que normalizarlos valores ya que la media opromedio y desviación estándarson diferente de 0 y 1 para estousaremos la formula :

Usando las misma formula paralos demás valores se obtienenPara (28 Z= -1,90); (37 Z=0,47) ; (49 Z= 1,42)

DISTRIBUCION NORMALAplicación de la Distribución Norma

Ya normalizados los valoresmediante la formula dada seprocederá a colocar cada una dela interrogante de tal forma quepodamos utilizar las formulas y latabas

DISTRIBUCION NORMALAplicación de la Distribución Norma

d) Cuantos meses mínimo tendrá un rata si la probabilidad de Vida es de98%

Si la probabilidad de vida de una rata es 98% su vida mínima seria 53 meses