TEMA: “DISTRIBUCION NORMAL”

DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Estandarización de la distribución normal

Estandarización de la distribución normal

Cálculo de valores ZCálculo de valores Z

Determinar la probabilidad de un valor aleatorio

Determinar la probabilidad de un valor aleatorio

Hallar el valor de una variable aleatoria a parir

de la probabilidad

Hallar el valor de una variable aleatoria a parir

de la probabilidad

Aproximar la distribución binomial

Aproximar la distribución binomial

La distribución normal es disposición única de valores única en la cual, si éstos se representan en una grafica, la curva resultante toma la forma peculiar simétrica y acampanada.

En la figura 6.1 se representa esta grafica, donde las observaciones individuales se colocan en el eje de las abscisas y la frecuencia con la que ocurrieron las observaciones en el eje de ordenadas. Si se supone que los valores son normales (es decir, siguen una distribución normal), entonces, por definición de normalidad, las observaciones extremas ocurrirían con una frecuencia relativamente pequeña.

Recordemos, además, que en una distribución normal el 50% de las observaciones están por encima de la media y el 50% restante por debajo de la misma. Análogamente, de toda el área comprendida entre la curva y el eje de abscisas el 50% esta a la derecha de la media y el otro 50% a la izquierda de la misma.

Esta distribución característica no es frecuente en el mundo que nos rodea. En muchas ocasiones encontraremos que un conjunto de valores se corresponde con una distribución normal lo que permite aplicar este importante principio estadístico.

Hay dos parámetros que determinan por completo la forma y posición de una distribución normal: su media µ y su desviación típica σ.

2

67

Fre

cuen

cia

de o

bser

vaci

ones

(pulgadas)

50% 50%

)(xf

Figura 6.1

REGLA EMPIRICALa regla empírica que estudiamos en el capitulo 3se puede aplicar a cada una de las distribuciones.La regla empírica dice que, con independencia delvalor de la media o de la desviación típica: El 68.3% de todas las observaciones están

dentro de una desviación típica del media. El 95.5% de todas las observaciones se sitúan

dentro de dos desviaciones típicas de la media. El 99.7% de todas las observaciones se

encuentran dentro de tres desviaciones típicas de la media.

VARIABLE TIPIFICADA Pueden existir un número infinito de distribuciones

normales posibles, cada una de ellas con su media y desviación típica propias. Como es evidente que no podemos estudiar un número de posibilidades tan enorme, hemos de convertir todas estas distribuciones normales a una sola forma estándar. Esta transformación a la distribución normal estándar se realiza con la formula de transformación (o formula de Z):

Z= X - µ/ σ Donde Z es la variable tipificada y X cualquier valor

especificado de la variable aleatoria. Después de este proceso de transformación, la media de la distribución es 0 y la desviación típica es 1.

Pongamos un ejemplo de este proceso de transformación (Figura 6.5). Telcom es una empresa de servicios telefónicos para ejecutivos en el área metropolitana de Chicago. Ha encontrado que el mensaje telefónico medio es de 150 segundos, con una desviación típica de 15 segundos. También ha observado que la duración de los mensajes es una variable que sigue una distribución normal.

Esta distribución esta centrada en 150 segundos y es simétrica respecto de este punto. Debajo de la distribución esta dibujado un segundo eje. En éste la escala no esta en unidades de tiempo, sino en unidades de Z. en el se expresan las distancias a lo largo del eje en valores de Z. en la escala de Z, la distribución esta centrada en el punto medio de cero, porque el numerador de la fórmula de transformación exige que respetemos la de 150.

1

21012

Figura 6.4

120150 180

21012

(segundos)

Valores de Z

Figura 6.5

CALCULO DE VALORES DE Z La transformación en una distribución normal

estandarizada ayuda a determinar esa área. En la tabla E se relacionan las áreas deseadas comprendidas debajo de una curva normal estandarizada. La tabla exige que calculemos el valor de Z con la formula de transformación. Este valor de Z nos permite entonces consultar el área deseada en la tabla. Pero recuerde que las entradas en la tabla indican solo la porción del área comprendida debajo de la curva desde la media hasta un valor cualquiera por encima o por debajo de la misma. Si se desea un área diferente, habrá que hacer un ajuste.

Ejemplo: El director ejecutivo de Telcom quiere

determinar la probabilidad de que una llamada telefónica cualquiera dure entre 150 y 180 segundos. La formula de transformación nos da:

Z= X - µ/ σZ= 180-150/15

Z=2 Es decir:

P (150≤ X ≥ 180) = P (0≤ Z ≥ 180) Un valor de Z=2 da lugar a un área de 0.4772

en la tabla E. Por tanto, hay un 47.72% de probabilidad de que cualquier llamada telefónica elegida al azar dure entre 150 y 180 segundos.

4772

150180

0 2Z

P(150 ≤ X ≥ 180)

Figura 6.8

En la sección 6.3 se pedía calcular una probabilidad dado cualquier valor de X. es decir, se tenía un valor concreto de X de la variable aleatoria y se deseaba hallar el área comprendida entre dicho valor y la media. Se demostró que ésta es una práctica muy corriente en muchos aspectos de los negocios.

Pero a veces ocurre que se conoce la probabilidad y hay que determinar el valor de X que da lugar a dicha probabilidad deseada. Por ejemplo supongamos que los asesores económicos del presidente proponen un programa de bienestar social para ayudar a los disminuidos, que consista en pago dinerario al 15% de las personas más pobres de la nación. Entonces surge la pregunta de qué nivel de ingresos separan ese 15% inferior de la población del resto. En 1988la renta personal disponible era 11.151 dólares de 1982, con una desviación típica de 3.550 dólares. Es lo que se representa en la figura 6.9.

550.3

1535 5

11.151

1.04 0

?

Z

Ingresos de dólares de 1982

Figura 6.9

Se trata de encontrar el nivel de ingresos, indicado por <<?>>, que separa el 15% inferior del 85% superior.

Supongamos que los ingresos siguen una distribución normal. La pregunta anterior se convierte en ésta: << Si se quiere subvencionar a las personas que reciben ingresos comprendidos en el 15% más bajo del país, ¿bajo qué nivel han de estar los ingresos de una persona para que reciba la subvención?>>. Es decir, ¿qué nivel de ingresos separa el 15% de la población con menor renta del otro 85%?

Como se ve en la figura 6.9, conocemos el área y buscamos el valor de X que corresponde al signo de interrogación. En los problemas anteriores calculábamos un valor de Z y lo utilizamos para buscar un área en la tabla. Ahora tenemos un área y podemos utilizar la tabla E para buscar el valor de Z correspondiente. Aunque el valor que nos interesa es 0.15, deberemos buscar 0.3500 (0.5-0.15), porque en la tabla sólo se indican las áreas desde la media a cualquier valor por encima o por debajo de ella. Entonces buscaremos en el cuerpo principal de la tabla E el valor del área 0.3500. El mas próximo que podemos conseguir es .03508, el cual corresponde a un valor de z igual a 1.04 (Se puede utilizar la extrapolación si se requiere un mayor grado de exactitud). Como:

Z= X - µ/ σ Y se encontró el valor 1.04 para Z, tenemos:

-1.04= X – 11.151/ 3.550

Entonces despejamos X y obtenemos X= 7.459 dólares. Cualquier persona con unos ingresos de 7.459 dólares o menos recibirá subvención del gobierno.

Obsérvese el signo negativo del valor de Z. el signo algebraico de z carecía de importancia en los problemas anteriores porque nos limitábamos a utilizar el valor de Z para buscar un área en la tabla E. pero ahora el valor de Z se utiliza en los cálculos matemáticos con los que se trata de hallar el valor de X. Por tanto, su signo tiene importancia. La regla práctica es que, como estamos en el área situada a la izquierda de la media, el signo siempre es negativo.

Vimos en el capitulo anterior que la distribución de Poisson era una aproximación útil de la distribución binomial. Esta aproximación solía ser necesaria si el numero de intentos era grande, puesto que la tabla binomial solo suministraba valores hasta n=20.

La distribución normal también puede servir como aproximación de la binomial. Pero mientras que la distribución de Poisson es adecuada cuando π es pequeño (con preferencia si π ≤ 0.10), la distribución normal proporciona una estimación mas exacta de la binomial cuando np ≥ 5 y n (1p) ≥ 5, y cuando π es cercano a 0.50, porque la binomial se aproxima a la simetría a medida que π se aproxima a 0.50.

Consideremos un sindicato en el cual el 40% de los afiliados están a favor de una huelga contra la dirección. Se eligen al azar quince afiliados. ¿Cuál es la probabilidad de 10 esten a favor de la huelga? Si recurrimos a la tabla binomial:

P= (X=10)n =15, π = 40) = 0.0245