AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

Conceptos preliminares:

La Distribución Normal:

Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar un número infinito de posibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser infinitesimales; por lo tanto es una distribución continua, ya que sus variables pueden medirse con el grado de precisión que se desee.

Algunos ejemplos de variables continuas son las medidas de:

. Tiempo (años, meses, días, horas, minutos, segundos, etc.)

. Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.)

. Estatura

. Peso

. Coeficiente intelectual CI (IQ)

Importancia de la Distribución Normal:

Existen numerosas variables que parecen seguir una forma similar a la distribución normal (pesos, alturas, coeficientes intelectuales, calificaciones en exámenes, etc.)

La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales como la media tienen una distribución aproximadamente normal e independiente de la configuración de la población, si los datos son suficientemente numerosos.

Es una excelente aproximación a otras distribuciones muestrales como la de Poisson y Binomial, por ejemplo.

La Función Normal:

Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal como se presenta en la figura 1.1

Se dice que una variable x numérica de experimentación con media aritmética

probabilística y desviación estándar probabilística positiva sigue una distribución

normal o es una variable normal si tiene definida una función densidad de probabilidad dada por (1.2). En este caso su probabilidad rayo del tipo k está dada por (1.3).

En las fórmulas anteriores intervienen las siguientes constantes:

Aproximadamente 3.141592

Aproximadamente 2.718281

Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normales diferentes

pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero para cada variable normal, su desviación estándar probabilística es constante).

Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales diferentes

pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para cada variable normal su media aritmética probabilística es constante).

Distribución Normal Estandar o Tipificada

Una variable de experimentación es estándar o tipificada si su media aritmética probabilística es cero (0) y su desviación estándar probabilística es uno (1). Si una variable de experimentación x es normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina normal estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula (1.4).

(1.4)

* Curva Normal Tipificada (lo que interesa)

Con el fín de suprimir la individualidad de cada una de las distribuciones señaladas gráficamente, se convierte a la curva normal, en un modelo matemático con características fijas y definidas y así se hace posible el cálculo de probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre de tipificación de la curva normal. Para lo cual se supone.

a) La media o promedio de la población es cero =0

b) La desviación estándar igual a uno

c) La variable independiente x, se transforma en un valor z.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Desviación normal estándar (Formulas de utilización)

Fórmulas de cálculo se reproducen a continuación como las fórmulas (1.5) y (1.6).

(1.5) (1.6)

Característica de la curva normal tipificada

a) Es simétrica respecto a su media (50% a la derecha y 50% a la izquierda de la media)

b) El área encerrada es 1 o 100%

c) La media, mediana y moda son iguales

Ejemplos de los casos más frecuentes del cálculo de probabilidades de intervalos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo:

1) En la Universidad del Oeste, la calificación promedio sobre una escala vigesimal obtenida por un estudiante elegido al azar es una variable de experimentación con media aritmética probabilística 14 y desviación estándar probabilística 2, cuya distribución de probabilidad se aproxima a la normal. Estime las probabilidades de que una calificación x escogida al azar sea: a) 13 : b)>13 ;

c) 17 ; d)>17 ; e)>13 pero 17 ; f) 13 ó >17 ; g)>15 pero <=17 ; h)>10 pero <=14

Solución:

A partir de los datos: a=13; b=17; =14 y =2 se obtiene las siguientes respuestas:

a. P(x<=13) caso3

P(x<=13)=P(z<=-0.5) 0.3085

b. P(x>13)

P(x>13)=1-P(x<=13)=1.0-0.3085

P(x>13)=0.6915

c. P(x<=17) caso1

P(x<=17)=P(z<=1.5) 0.9332

d. P(x>17) caso2

P(x>17)=1-P(x<=17)=1-0.9332

P(x>17)=0.0668

e. P(13<x<=17) caso4

P(13< x<=17)=P(-0.5<z<=1.5)

P(13< x<=17)=0.9332-0.3085=0.6247

f. P(x<=13 ó x>17) caso7

P(x<=13 ó x>17)= P(x<=13)+ P(x>17)

P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+P(x>=1.5)

P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+1- P(x<=1.5)

P(x<=13 ó x>17)=0.3085+1-0.9332

P(x<=13 ó x>17)=0.3753

g. P(15<z<=17) caso5

=P(z<=17)-P(z<15)

=0.9332-0.6914

=0.2417

Ejemplo

La capacidad de gasto anual en actividades educativas de una familia elegida aleatoriamente de una población universitaria del departamento de Lima es una variable de experimentación con media aritmética probabilística 400 um y desviación estándar probabilística 100 um, cuya distribución de probabilidades es muy aproximada a la normal. Se requiere estimar el importe tal que exista 88.1% de probabilidades de que la familia elegida aleatoriamente gaste como máximo tal cantidad.

=400

=100

P(z)=88.1%=0.881

0.881=(x-400)/100

X=488.1 Respuesta el importe debe ser <=488.1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) El consumo mensual en um de una persona elegida aleatoriamente a partir de la población de un país es una variable normal con media aritmética probabilística 500 um y desviación estándar probabilística 100 um. ¿Cuál es el nivel tal que exista 76.73% de probabilidad de que dicha variable supere tal nivel?

z=0.7673

0.73=(x-500)/100 x=573

Respuesta: Para la variable que sea >= que 573 um.

2) La posición sanguínea sistólica media de hombres de 20 – 24 años de edad es 123 con una desviación típica de 137 se sabe que la presión sanguínea se distribuye normalmente. Si se selecciona al azar uno de estos hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguínea sea mayores que 139.44

P(x>139.44)=P(z> )

=P(z>0.12)

=P(1-P(z<=0.12)

=1-0.5478

=0.4522

3) Del problema anterior ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguinea sea menores que 110

=P(z<-0.098)

=0.4920

4) Los coeficientes de inteligencia CI de las personas tienen una distribución aproximada a la normal con media 100 y desviación estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad que el CI de cualquier individuo quede en el intervalo 100 a 110?

Piden: P(100<x<110)

P(100<x<110)=P( )

=P(0<z<1)

P(0<z)=1-P(z<0)=1-0.5=0.5

P(z<1)=0.5398

0.5398-0.5=0.0398

P(100<x<110)=0.0398

5) Para cierta prueba la calificación media es 500 y desviación típica 100. Se desea aprobar al 75% de los candidatos que rinden esta prueba. ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria?

z=0.75

P( < )=-0.25 = -0.68 por tabla

x-500=-0.25*100 x=432

6) La vida útil de un componente eléctrico tiene una distribución normal con una media de 2000 horas que una desviación estándar de 200 horas. ¿Cuál será la probabilidad de que un componente elegido al azar dure entre 1800 y 2200?

(1800<=x<=2200)= P

=P(-1<=z<=1)=P(z<=1)-P(z<=-1)

=2(0.84134)-1=0.68268

7) Del problema anterior ¿Cuál es la vida útil del 90% de los componentes elécticos?

X: Vida útil del complemento electronico

P(x<=A)=P( )=0.9

A=2256

8) Los pesos de los paquetes recibidos en un almacén tiene una media de 300 libras, con una desviación Standard de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 paquetes puestos al azar excedan el límite de seguridad de éste que es de 8200 libras?

Resolucion

Limite superior 8200

u=300 n=25

25-300=7500 Los que se van a poner en el ascensor

P(z>70)=0.5-0.4974=0.0026

La probabilidad que se rompa es 0.0026

9) Ciertos focos fabricados por una compañía, tiene una duración media de 800 horas y una desviación típica de 60 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos tomada de entre ellos tenga una duración de entre 790 y 810 horas?.

u=800 =15

P(-0.67<=z<=0.67)=2(0.2486)=0.4972

10) Del problema anterior hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos tomada menor de 785 horas.

P(z<=-1)=0.5-0..3413

=0.1587

BIBLIOGRAFIA

1. Estadística y Probabilidades (LAFONTE)

2. DISTRIBUCIÓN NORMAL(Lic. Adm. Carlos Aliaga Valdez)

3. ESTADISTICA (Murria R. Spiegel)

4. Distribución Normal o de Gauss(http://www.scribd.com/doc/6784181/Distribucion-Normal-o-de-Gauss)