distribucion normal.arvelo

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”. Otras publicaciones del Prof. Arvelo, pueden ser obtenidos en la siguiente página web: www.arvelo.com.ve

http://www.arvelo.com.ve/

Distribución Normal Angel Francisco Arvelo L.

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DISTRIBUCION NORMAL 1. Valor Tipificado: En capítulos anteriores hemos visto, que cuando

queremos conocer la posición relativa que un dato ocupa dentro de un conjunto, una excelente medida es su rango percentil; pues si nos dicen que ese a ese dato le corresponde por ejemplo el percentil 93, sabremos que ocupa una posición muy elevada dentro de la distribución, mientras que si nos dicen que le corresponde el percentil 12, sabremos que su posición es baja dentro de ella. Otra forma de indicar la posición relativa de un dato dentro de una población, es a través de su valor tipificado , que se define de la siguiente manera:

Definición: Dada una población con media “µ” y desviación típica “ ” , el valor tipificado de un dato, es su desvío con relación a la media “µ” expresado en

términos de la desviación típica “ ” .

De la definición anterior se desprende que el valor tipificado “z i” correspondiente

al valor “xi”, viene dado por la expresión: zi = ix

La diferencia “ ix ” representa el desvío con relación a la media µ , y al

dividirlo entre “ ” , se expresa en términos de la desviación típica. Así por ejemplo, un valor tipificado de 1,3 significa que el dato se encuentra desviado de la media, en 1,3 desviaciones típicas. Ejemplo 1 La distribución de las estaturas de un grupo de personas tiene media 1,67 metros con una desviación típica de 0,10 metros . Encuentre el valor tipificado de una persona cuya estatura sea : a) 1.75 , b) 1.50 , c) 1,67, e interprete los resultados.

Solución: Se tiene µ= 1,67 = 0,10

a) Para xi = 1,75 , se tiene zi =175 167

010

, ,

,= 0,80 , lo que significa que una persona

con estatura 1,75 metros, está desviado de la media en 0,80 desviaciones típicas por encima de ella.

b) Para xi = 1,50 , se tiene zi =150 167

010

, ,

,= -1,70, lo que significa que una persona

con estatura 1,50 metros, está desviado de la media en 1,70 desviaciones típicas por debajo de ella.

c) Para xi = 1,67 , se tiene zi =167 167

010

, ,

,= 0 , lo que significa que una persona con

estatura 1,75 metros, está justamente en la media.

Propiedades del valor tipificado

Propiedad N°1: El valor tipificado es un número real sin unidades, pues resulta de dividir dos magnitudes que vienen expresadas en las mismas unidades.


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De esta propiedad se deduce que los valores tipificados correspondientes a un mismo elemento, y según dos variables distintas son comparables, aunque estas variables se midan en unidades diferentes. Ejemplo 2 La distribución de las estaturas de un grupo de personas tiene media 1,67 metros con una desviación típica de 0,10 metros; mientras que la distribución del peso de esas mismas personas tiene media 72 Kgs. ,con una desviación típica de 12 Kgs. Una persona que mide 1,80 metros pesa 96 Kgs. ¿En cual de las dos variables, esta persona ocupa una mayor posición relativa?.

Solución: Para la estatura z1 = 180 167

010

, ,

, = 1,30 ; mientras que para el peso

z2 = 96 72

12 = 2 El peso de esta persona presenta un mayor desvío relativo

con relación a su media, que la estatura. Nótese que a pesar de venir las dos variables en unidades diferentes, los valores tipificados son comparables, por ser números reales abstractos. Propiedad N°2: El signo del valor tipificado representa la posición relativa del dato con relación a la media, de manera que un signo positivo indica que el dato esta ubicado por encima de la media; mientras que uno negativo, que esta ubicado por debajo de ella. Un valor tipificado igual cero revela coincidencia con la media. Esta propiedad ya fue ilustrada en el Ejemplo 1 . Propiedad N° 3: El valor absoluto del valor tipificado representa a cuantas desviaciones típicas de la media se encuentra alejado el dato; de manera que cuanto más pequeño sea su valor absoluto , más cerca se encuentra el dato de la media; y cuanto mayor sea su valor absoluto, más alejado de la media. Ejemplo 3 Dentro de una organización “A”, los sueldos tienen media $800 y desviación típica 150 , mientras que dentro de otra organización ”B” tienen media $ 1000 con desviación típica $ 250. a) Si un gerente en la organización “A” tiene un sueldo de $ 1100, y en la organización “B” de $1200. ¿ En cual de las dos organizaciones, un gerente ocupa una mejor posición relativa? . b) Si un profesional recién graduado ingresa a la organización “A” con un sueldo de $600, y en la organización B con uno de $650. ¿En cual de las dos organizaciones ingresa con una mejor posición relativa? . c) Una persona que en la organización “A” tiene un sueldo de $1130, va a ser transferido a la organización “B”. ¿ Cual debería ser su nuevo sueldo para que ocupe la misma posición relativa?. Solución: a) El sueldo tipificado para un gerente de la organización “A” es :

ZA

1100 800

150= 2 ; mientras que en la “B” es ZB

1200 1000

250=0,80.

En ambos casos, los valores son positivos lo que revela que en ambas organizaciones, el sueldo de un gerente se encuentra por encima de la media.


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Sin embargo, dado que ZA>ZB , se puede concluir que un gerente dentro de la organización “A” ocupa una mejor posición relativa que en la B”. b) Los valores tipificados resultan ahora:

ZA

600 800

150= -1,33 ; ZB

650 1000

250= -1,40

Los dos negativos, lo que revela que un profesional recién graduado ingresa con un sueldo por debajo de la media.

Como Z ZA B , en la organización “A” está más cerca de la media que en “B” ,

y como los dos están por debajo, se concluye que en la “A” se encuentra mejor ubicado que en la “B”.

c) Su valor tipificado dentro de A es : ZA

1130 800

150 = 2,20 .

Para ser transferido a la organización “B” conservando su posición relativa

ZB = 2,20X 1000

250= 2,20 X = 1000 + 2,20 (250) = 1550

El nuevo sueldo dentro de “B”, debe ser entonces de $ 1550. Propiedad N°4 : La media de los valores tipificados de una distribución resulta ser cero, y la varianza de los valores tipificados resulta ser igual a 1. La demostración de esta propiedad es una consecuencia de las propiedades de la media aritmética, ya estudiadas en el capítulo de medidas central, según la cual si unos datos son sometidos a una transformación lineal, la media queda afectada por esa misma transformación lineal. Es este caso, la transformación lineal viene dada por la expresión:

Z = X

= X

que equivale a una del tipo Z = a + bX,

en donde a = y b= 1

.

Según las propiedades ya estudiadas : Z Xa b y X

2 2 2

Z b

Z

1 = 0 ; y 2 2

Z 2

1= 1

Ejemplo 4 Tipifique los datos { 0, 2, 4, 10} , y compruebe que la media de los datos tipificados es cero, y su varianza 1.

Solución: 0 2 4 10

4= 4 ;

2 2 2 22 (0 4) (2 4) (4 4) (10 4)

4=14

Los datos tipificados son entonces: RST

UVW4

14

2

140

6

14, , , , cuya media es:

Z

4 2 60

14 14 14

4= 0 , y cuya varianza es: 2

Z

16 4 360

14 14 144

= 1


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Propiedad N°5 : Aunque teóricamente un valor tipificado puede dar un número

real cualquiera entre - y + , lo normal es que resulte en el intervalo [-3 ; +3] . Esta propiedad es una consecuencia de la desigualdad de Tchebychev, estudiada en el capítulo sobre medidas de dispersión, y según la cual, para cualquier

distribución de frecuencias, en el intervalo (µ ± 2 ) deben caer por lo menos el

75% de los datos, y en el intervalo (µ ± 3 ) por lo menos el 88,89 % de los datos . Como consecuencia de esta desigualdad, en una distribución cualquiera, la proporción de datos cuyo valor tipificado está en el intervalo [-2 ; +2] es por lo menos del 75% , y el intervalo [-3, +3] de por lo menos 88,89% . En el caso de la distribución normal, estos porcentajes son de 95,45% y de 99,73% respectivamente, por lo que de encontrar algún valor tipificado fuera de éste último intervalo [-3, +3], la observación podría considerarse como algo inverosímil, producto de un error de lectura, o de transcripción de los datos. Ejemplo 5; Una máquina ha venido produciendo piezas con un diámetro medio de 15 milímetros, y una desviación típica de 0,20 milímetros. ¿A qué conclusión llegaría Ud., si ésta máquina produce una pieza con 15,75 mm. de diámetro? Solución: El valor tipificado que le corresponde a una pieza de 15,75 mm de

diámetro es z = 15 75 15

0 20

,

, = 3,50 , que se encuentra fuera del intervalo [-3, +3].

Por lo inusual de este valor, podría inferirse que se cometió algún error en la medición del diámetro de la pieza, o que la máquina sufrió algún desajuste.

2. Curvas teóricas de probabilidad: Para representar a una distribución

de frecuencias para datos agrupados, el gráfico más importante tal como se estudió en capítulos anteriores, es el histograma. Este histograma puede ser construido de cuatro maneras diferentes, con frecuencias absolutas, con frecuencias relativas, con densidad de frecuencias, o con densidad de frecuencias relativas. Cuando los intervalos son de la misma amplitud, la única diferencia entre los cuatro histogramas es la escala del eje vertical, siendo el aspecto del histograma idéntico en los cuatro casos. También hemos visto que a partir del histograma se puede obtener el polígono de frecuencias, que encierra un área igual a la encerrada por el histograma, que en el caso de histogramas con densidad de frecuencias relativas, es igual a 1. La posición límite de este polígono de frecuencias se llama “curva de frecuencias absolutas” , “ curva de frecuencias relativas” , “curva de densidad de frecuencias”, o “curva de densidad de frecuencias relativas” , según estemos en cada uno de los cuatro casos de construcción del histograma. En el último caso, se suele llamar también “curva de probabilidad”, y a la ecuación de la curva resultante se le llama “función de densidad”, y debe encerrar un área igual a 1.


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La figura siguiente muestra como una curva puede aproximar al polígono de frecuencias en un histograma:

Fre

cuencia

s

El concepto de “curva de frecuencias” es sin embargo abstracto, pues en un caso práctico resulta imposible hacer tender a cero la amplitud del intervalo, y además tomar tantas observaciones como para garantizar que cada uno de esos intervalos de amplitud infinitamente pequeña va a tener su correspondiente frecuencia. La “Estadística Matemática” ha desarrollado una serie de curvas teóricas que se utilizan como modelos para aproximar a la curva de densidad de frecuencias relativas, y a las cuales se les conoce bajo el nombre de “Distribuciones Teóricas de Probabilidad”. Para ser una curva teórica de probabilidad sólo basta cumplir dos requisitos: a) Debe ser siempre positiva b) El área total encerrada por la curva debe ser igual a 1. La razón de estos requisitos es obvia, pues se pretende aproximar a un polígono de frecuencias, y no puede existir uno con frecuencias negativas, y en el caso de uno de densidad de frecuencias relativas debe encerrar un área igual a 1 ó 100%. En cualquier distribución teórica de probabilidad, el área bajo la curva representa la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de ese intervalo.

El concepto de probabilidad es uno de los más importantes en Estadística, y aunque no lo hemos definido aún, pues nuestro objeto de estudio es la


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“Estadística Descriptiva” y no la “Estadística Matemática”, podemos hacer un símil entre probabilidad y frecuencia relativa, de manera que la probabilidad representa una frecuencia relativa teórica después de infinitas observaciones. Así por ejemplo, cuando decimos que la probabilidad de sacar un 6 al lanzar un

dado legal es 1

6, lo que queremos decir es que si lanzáramos muchas veces el

dado, la sexta parte de las veces debería salir el 6. De la misma manera, cuando decimos que el intervalo [1,60 ;1.70] metros, tiene una probabilidad 0,40 para la estatura de una persona, lo que se quiere decir es que si se encuesta a muchas personas, el 40% de ellas debería tener una estatura dentro de ese intervalo. Existen muchas distribuciones teóricas de probabilidad, y uno de los problemas que se estudia en “Inferencia Estadística”, es el de decidir cual de ellas es la que mejor se ajusta a cada caso particular.

3. La Curva normal: Entre todas las distribuciones teóricas de probabilidad, la

más importante es la normal, desarrollada por el matemático alemán Carl Friederich Gauss (1777-1855). La Distribución Normal representa un modelo teórico de comportamiento para una variable continua, tiene una forma acampanada, y su ecuación es:

En la expresión anterior , "µ" y " " representan la media y la desviación típica respectivamente ,y reciben el nombre de parámetros de la distribución. Para explicar mejor el significado de estos parámetros , es conveniente hacer las siguientes aclaratorias: a) La palabra “parámetro” para una distribución teórica de probabilidad, significa un valor que para un mismo caso permanece constante, pero que puede variar de un caso a otro. Este concepto aplicado a una “Distribución Normal” significa entonces que para una variable como puede ser por ejemplo, el diámetro de unas piezas, el valor de

"µ" y el de " " son unos, y para otro caso, como por ejemplo el peso de un grupo

de personas, el valor de "µ" y el de " " pueden ser otros.

b) El valor de "µ" representa la media de la distribución , y el de " " la desviación típica de la distribución. Puede crear algo de confusión el cambio de nomenclatura, pues en capítulos

anteriores, estos valores eran designados por “ X ” y “S” respectivamente.


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Este cambio de nomenclatura , se debe a que en “Estadística” cuando nos referimos a valores poblacionales, estos suelen designarse por letras griegras, y cuando nos referimos a valores muestrales por la letra latina correspondiente. La curva normal se aplica principalmente a poblaciones, y de allí el cambio de

nomenclatura, pues “µ” representa la media poblacional, y “ ” la desviación típica poblacional.

c) El valor de “µ” puede ser cualquier número real, y el de “ ” cualquier número real positivo, y sea cual fueren esos valores , se cumplen los dos requisitos exigidos para ser una curva teórica de probabilidad :positiva y área total encerrada igual a 1 (ver demostración en el Anexo). Por consiguiente existen infinitas curvas normales según sea el valor de sus parámetros. Él término “Curva Normal” está en realidad mal empleado, pues debería decirse ”Curvas Normales” en plural, ya que su ecuación representa una familia de curvas, una para cada par de valores de los parámetros. d) Los parámetros de la curva tienen una influencia determinante en su geometría, y así , el parámetro "µ" representa el eje de simetría o valor central de la distribución,

mientras que el parámetro " " , por ser una medida de la variabilidad con respecto a

la media "µ" , incide en su ancho ; de manera que a un menor valor de " " ,la curva se hace más estrecha al estar los valores de la variable mas concentrados

alrededor del valor de "µ" , y a un mayor valor de " " obtendremos una curva mas ancha, con una mayor dispersión de los valores de la variable con relación a la media. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL1 1º) La curva normal tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de su media. Para verificar la forma acampanada de los datos basta con construir el histograma de frecuencias, y comprobar que la clase modal se ubica en la zona central de la gráfica y que a medida que nos alejamos de ella, en cualquiera de las dos direcciones la frecuencia disminuye. Como consecuencia de la simetría respecto de la media, las diferentes medidas de deformación las cuales deben dar cero. 2º) En la Distribución Normal, la media, la mediana y la moda coinciden.

1 La demostración de estas propiedades aparece en el Anexo N

o 1


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3º) En el intervalo ( µ ± ) deben caer el 68,27% de los datos muestrales , en el

intervalo ( µ ± 2 ) deben caer el 95,45% de los datos muestrales , y en el intervalo

( µ ± 3 ) deben caer el 99,73% de los datos muestrales .

4º) La Distribución Normal es una curva mesocúrtica, para la cual el coeficiente momento de curtosis vale 3 , y el coeficiente percentílico de curtosis vale 0,263.

5°) Los puntos µ ± son “puntos de inflexión”, es decir , puntos donde cambia la concavidad de la curva .

Esta es la explicación geométrica del porque, cuando el valor del parámetro “ ” aumenta, la curva se ensancha, como se ilustra en la figura:

Al ensancharse la curva, pierde área a lo alto, y gana área a lo ancho, pues para ambas curvas el área por debajo es igual a 1.

3 Uso de la tabla Normal: Cuando en una distribución normal interesa calcular

la probabilidad o frecuencia relativa teórica que debería tener un determinado intervalo, es necesario, al igual que en cualquier otra distribución continua, encontrar el área bajo la curva, en ese intervalo. La determinación del área bajo la curva puede hacerse en general, por un procedimiento matemático conocido como “integración”. Sin embargo, en el caso específico de la distribución normal este procedimiento fracasa, pues su función de densidad no se puede integrar. Para resolver este problema, se utilizó otro procedimiento conocido como “integración numérica”, para elaborar la llamada “Tabla Normal “. La tabla normal permite calcular la probabilidad de que una observación sea igual o menor que una determinada abscisa "x" ( Función de distribución). Dicha


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probabilidad viene dada por el área bajo la curva, a la izquierda de la abscisa "x" ,

tal como se muestra en la figura:

Sin embargo, como existen infinitas curvas normales, y no es posible elaborar una tabla para cada una de ellas, y todas estas infinitas tablas han sido reducidas a una sola, que se refiere a los valores tipificados. Al tipificar los valores de una normal cualquiera “X”, mediante la transformación:

Z = X -

, la distribución resultante es otra normal con media 0 y varianza 1, que

se conoce como “Normal Tipificada o Estándar”. En el Anexo, se encuentran las siguientes tablas para la normal tipificada o estándar: Tabla 2.1: Proporciona el área entre 0 y z , para diversos valores de “z” con dos cifras decimales.

El entero y la primera cifra decimal de “z” se leen en la fila, mientras que la segunda cifra decimal de “z” , se lee en la columna. En el cruce de la fila con la columna, se lee el área correspondiente. Así por ejemplo, si queremos hallar el área entre 0 y 1,78 , se lee en el cruce de la fila 1,7 con la columna 0,08, y se encuentra 0,4625, que representa el área buscada. En caso de que “z” sea negativo, se entra con su valor absoluto, pues por simetría el área entre 0 y z, el igual al área entre 0 y –z . Tabla 2.2: Proporciona diversas áreas, para diferentes valores de “z” con dos cifras decimales. La nomenclatura que utiliza es:

(z) = Area que en la Normal tipificada hay desde "+z" a la izquierda .

(-z) = Area que en la Normal tipificada hay desde "-z" a la izquierda . D(z) = Area que en la Normal tipificada hay entre "-z" y "+z" .


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Si por ejemplo, se entra en la Tabla 2.2 con el valor 1,78, se lee:

(1,78) = 0,9625 = Area bajo la curva de 1,78 hacia a la izquierda .

(-1,78) = 0,0375 = Area bajo la curva de -1,78 hacia a la izquierda. D(1,78) = 0,9249 = Area bajo la curva entre "-1,78" y "+1,78"

Resulta obvio que (z) es siempre mayor que 0,5 y (-z) siempre menor que 0,5. Entre estos tres valores existe relación, y a partir de uno de ellos, pueden ser deducidos los otro dos, pues por simetría se tiene:

(-z) = 1- (z)

D(z) = (z) - (- z) = (z) – (1- (z)) = 2 (z) -1 Para comodidad del usuario, la tabla da los tres valores. Aquellos lectores que tengan una calculadora de bolsillo programable, y deseen incorporar la distribución normal estándar , pueden introducir en ella la siguiente

fórmula numérica, que proporciona una aproximación muy satisfactoria para (z):

(z) 1 - 1

2

83 351 562

703165

e

z z

z

( )

; 0 < z < 5.5

Entre los valores de la tabla 2.1 y la 2.2, también existe relación, y una de las tablas puede ser deducida de la otra ,pues:

(z) = 0,5000 + Area que entre 0 y z .

(-z) = 0,5000 - Area que entre 0 y z . D(z) = Doble del Area que entre 0 y z . Es importante destacar que el dominio teórico de la curva normal estándar es

(- , + ), pero dado entre –3 y +3 se encuentra el 99,73% de su área, pueden hacerse las siguientes aproximaciones:

(z) 1 para z > 3

(z) 0 para z < - 3

D(z) 1 para z > 3 Tabla 2.3: Proporciona el valor de “z” , dada el área a la izquierda, o el área central entre –z y +z . Así por ejemplo, si se quiere determinar cual es el valor de ”z” que deja a la izquierda un área del 40% ó 0,40, allí se lee que esta abscisa es z = -0,253 . Evidentemente, cuando esta área a la izquierda es menos del 50% , el valor de “z” es negativo, y cuando es más del 50%, el valor de “z” es positivo, pues la media que es 0, deja a la izquierda el 50%.


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En caso de que el área que se tenga sea a la derecha, hay que restarla de 1 para obtener el área a la izquierda, y poder entrar a la tabla. Por ejemplo, para encontrar el valor de “z” que deja a la derecha un área de 0,25, se resta 1- 0,25 = 0,75, se entra en la tabla con un área de 0,75 a la izquierda, y se lee z= 0,674 . Si el área que se tiene es central, es decir entre –z y + z, el valor de “z” se lee en la otra columna. Así por ejemplo, si se quiere determinar el valor de “z” que deja un área central del 60% ó 0,60, se encuentra z= 0,842.

En la tabla sólo se lee el valor positivo, pero la lectura debe interpretarse como , y así por ejemplo, la lectura anterior significa que entre –0,842 y +0,842, se encuentra un área de 0,60 .

Nótese que este mismo resultado de 0,842 puede ser obtenido, entrando en la misma Tabla 2.3 con un área de 0,20 y de 0,80 hacia la izquierda, y leyendo el valor de “z”, pues obviamente el valor de “z” que contenga un área central de 0,60, dejara 0,20 a la izquierda desde el negativo, y 0,80 a la izquierda desde el positivo. Ejemplo 6: El contenido de unos envases sigue una distribución normal con media 800 gramos y desviación estándar 40 gramos. Encuentre el porcentaje de envases cuyo contenido está: a) Por debajo de 900 gramos. b) Por debajo de 750 gramos. c) Por encima de 820 gramos d) Por encima de 730 gramos e) Entre 820 y 850 gramos. f) Entre 700 y 750 gramos. g) Entre 740 y 890 gramos.

h) En el intervalo (800 50) gramos

Solución : El símbolo “ ” se lee “se distribuye” , de manera que si se representa

por “X” al contenido de un envase cualquiera, tenemos: X N(800; 402). La “N” abrevia “Distribución Normal”, y las dos cifras dentro del paréntesis representan la media y la varianza respectivamente. La “P” abrevia “Probabilidad” o “Frecuencia Relativa Teórica” .

a) P(X<900) = P(Z<900 800

40 ) = P(Z<2,50)= (2,50) = 0,9938= 99,38%

b) P(X<750) = P(Z<750 800

40 ) = P(Z< -1,25)= (-1,25) = 0,1056= 10,56%

c) P(X>820) = P(Z>820 800

40 ) = P(Z>0,50)= 1- (0,50) = 1- 0,6915= 0,3085

d) P(X>730) = P(Z>730 800

40 ) = P(Z>-1,75)= 1- (-1,75) = 1- 0,0401= 0,9599

e) P(820<X<850) = P(820 800

40<Z<

850 800

40) = P(0,50<Z<1,25) =


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(1,25) - (0,50) = 0,8944 – 0,6915 = 0,2029 = 20,29% Aclaratorias:

En distribuciones continuas de probabilidad, él área bajo la curva es la misma para el intervalo abierto que para el cerrado. Por este motivo, la respuesta

sería la misma, si se interpretara P(820 X 850) .

Si este mismo problema se resolviera con la Tabla 2.1, habría que restar las dos áreas, por estar del mismo lado de la media, y se tendría:

P(820<X<850) = P(0,50< Z< 1,25) = 0,3944 – 0,1915 = 0,2029 = 20,29 % .

f) P(700<X<750) = P(700 800

40<Z<

750 800

40) = P(-2,50 <Z< -1,25) =

(-1,25) - (-2,50) = 0,1056 – 0,0062 = 0,0994 = 9,94 %

g) P(740<X<890) = P(740 800

40<Z<

890 800

40) = P(-1,50 <Z< 2,25) =

(2,25) - (-1,50) = 0,9878 – 0,0668 = 0,9210 = 92,10 % Aclaratoria: Con la tabla 2.1, sería preciso sumar las áreas, pues los extremos del intervalo se encuentran en posiciones opuestas de la media. P(740<X<890) = P(-1,50 <Z< 2,25) = 0,4878 + 0,4332 = 0,9210 = 92,10%

h) P(750<X<850) = P(750 800

40<Z<

850 800

40) = P(-1,25 < Z< 1,25) =

D(1,25) = 0,7787 = 77,87 % Ejemplo.7: Use las tablas de la Normal Estándar , para encontrar el o los valores de “z” que cumplen la siguiente condición: a) El área entre - 0. 55 y “z” es : 0.6280 b) El área entre - 0.70 y “z” es : 0.0974 Solución : a) En este caso existe una sola solución, y está a la derecha de –0,55, pues a la izquierda es imposible que exista por debajo de –0,55 que abarque un área de 0,6280

Para encontrar “z” , se tiene: (z) - (-0,55) = 0,6280 (z) = (-0,55) + 0,6280

(z) =0,2912 + 0,6280 = 0,9192 Según Tabla 12.2 z = 1,40

Según tabla 2.1 : Area de 0 a z = 0,9192-0,5 =0,4192 z = 1,40 Con la Tabla 2.3, no sería posible determinar exactamente el valor de “z”, pues no aparece exactamente el valor de “z” que deja un área a la izquierda de 0,9192. Si

se aproxima esta área a 0,92, se tendría: z 1,405 b) En este caso existen dos soluciones, una a la izquierda y otra a la derecha. Para encontrar la solución a la derecha de –0,70 , se tiene:


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(z) - (-0,70) = 0,0974 (z) = (-0,70) + 0,0974= 0,2420 + 0,0974 = 0,3394

Según tabla 2.2 “z “ es un valor comprendido entre -0,41 y -0,42 , z -0,415

Según tabla 2.3 y aproximando el área a 0,34 : z -0,412 Si se quisiera determinar este valor de una manera más precisa, sería necesario aplicar las técnicas de interpolación lineal explicadas en el Capítulo II, lo que se deja como tema de investigación para el lector. Para encontrar la otra solución a la izquierda de –0,70 , se tiene:

(-0,70) - (z) = 0,0974 (z) = (-0,70) - 0,0974= 0,2420 - 0,0974 = 0,1446 Según Tabla 2.2 z = -1,06

Según Tabla 2.3 y aproximando el área a 0,14 : z - 1,08

Según Tabla 2. 1: Area de 0 a z = 0,5 – 0,1446 = 0,3554 z = -1,06 Ejemplo 8 : Supongamos que un proceso fabrica piezas cuya longitud sigue una Distribución Normal con media 72.50 mm y desviación típica de 0.20 mm. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que una pieza mida menos de 72.80 mm . b) Que una pieza mida menos de 72.10 mm . c) Que una pieza mida más de 72.60 mm d) Que una pieza caiga en el intervalo (72.15 ; 72.75) mm . e) Que una pieza caiga en el intervalo (72.50 ± 0.35) mm .

Solución : “X”= Longitud de una pieza N ( 72.50 ; 0.202)

a) P ( X 72.80 ) = P ( Z < 72 80 72 50

0 20

. .

.) = P ( Z < 1.50) = (1.50) = 0.9322

b) P ( X 72.10 ) = P ( Z < 7210 72 50

0 20

. .

.) = P ( Z < -2) = (-2) = 0.0228

c) P ( X > 72.60 ) = P ( Z > 72 60 72 50

0 20

. .

.) = P ( Z > 0.50) =1- (0.50) =

1 - 0.6915 = 0.3085

d) P( 72.15 < X < 72.75) = P(7215 72 50

0 20

. .

. < Z <

7275 72 50

0 20

. .

.) =

P ( -1.75 < Z < 1.25) = ( 1.25) - (-1.75) = 0.8944 - 0.0401 = 0.8543

e) P ( 72.15 < X < 72.85) = P (7215 72 50

0 20

. .

.< Z <

72 85 72 50

0 20

. .

.) =

P ( -1.75 < Z < 1.75 ) = D ( 1.75 ) = 0.9199 ( Por ser un intervalo simétrico) Ejemplo 9 El contenido de refresco en unas botellas , sigue una Distribución Normal con media 250 cc. a) Encuentre la desviación típica de la distribución , si se sabe que el 75% de las botellas tiene un contenido en el intervalo ( 235 ; 265 ) cc . b) En un lote de 500 botellas, ¿cuántas deberían tener un contenido inferior a 220 cc? .

Solución: a) X = Contenido de una botella N(250; 2).


14

P(235 < X < 265) = 0,75 P (235 250

< Z < 265 250

) = 0,75

P (15

< Z < 15

) = 0,75

Hay que buscar el valor de “z” que abarca un área central de 0,75.

Según tabla 2.3 , este valor es z = 1,15 15

= 1,15 =15

115, = 13,04

b) P ( X < 220) = P(Z <220 250

13 04,) = P (Z < -2,30) = (-2,30) = 0,0107 = 1.07%

Teóricamente el 1,07 % de la botellas deberían tener un contenido inferior a 220 cc., y por lo tanto, en un lote de 500 botellas, deberían encontrarse aproximadamente 5 por debajo de 220 cc. Ejemplo 9.10 : Suponiendo que la duración de unas baterías sigue una Distribución Normal con media 100 horas , y desviación típica de 12 horas . a) Dar un plazo de garantía sobre la duración mínima de una batería, de forma que dicha garantía se cumpla con probabilidad 0.99 . b) Dar un intervalo simétrico donde caiga la caiga la duración de una batería , con probabilidad 0.90 .

Solución : X = Duración de una batería N(100 ; 122) . La garantía se cumple cuando la duración de la batería es igual o mayor que el plazo de garantía, de forma que si designamos por "t" al plazo de garantía, lo que

se quiere es : P ( X t ) = 0.99 , o gráficamente :

P ( X t ) = 0.99

P ( Z t 100

12) = 0.99

En la tabla 2.3 , se encuentra que para 99% de área a la derecha , es decir 0,01 de área a la izquierda , la abscisa tipificada correspondiente es -2.326

t 100

12= - 2.326 t = 100 - 2.326 ( 12 ) = 72.09

y por consiguiente, el plazo de garantía para 99% de probabilidad de cumplimiento, debe ser de 72.09 horas . b) Encontrar un intervalo simétrico donde caiga la duración de una batería con probabilidad 0.90 , significa determinar un intervalo donde si elige una batería al azar , la probabilidad de que su duración caiga en dicho intervalo debe ser de 0.90 , y la probabilidad complementaria de no caer 0.10 , debe repartirse por igual para cada cola , es decir 0.05 por la izquierda y 0.05 por la derecha. Por simetría, tenemos entonces que dicho intervalo debe estar centrado en la media

100 , y la incógnita es su amplitud " " , tal como se muestra en la figura:


15

Para determinar " ", se procede como sigue:

P( 100 - X 100 + ) = 0.90

P ( - 12

Z 12

) = 0.90

En la tabla 2.3 , se encuentra que para 90% de área central , la abscisa

correspondiente es 1.645 , y por consiguiente: 12

1645.

y de allí se deduce que : = 1.645 12 = 19.74 El intervalo central simétrico del 90% de probabilidad para la duración de una batería, es entonces: 100.00 ± 19.74 = [ 80.26 ; 100.74 ] horas . Ejemplo 9.11 : Las alturas de 300 estudiantes están normalmente distribuidas con media 68 y desviación típica 3 pulgadas, ¿cuántos estudiantes tienen altura: a)mayor que 72 pulgadas, b) menor o igual que 64 pulgadas, c) entre 65 y 71 inclusive, y d) 68 pulgadas. Se supone que las alturas han sido medidas con precisión de 1 pulgada. Solución: Cuando se señala la precisión de la medición, se sobreentiende que éstas han sido redondeadas al entero más cercano, según lo explicado en el

capítulo IV, de manera que el valor real es el registrado 0,50 . a) Los que miden más de 72 pulgadas, son aquellos cuya estatura real es 72,50 ó más, de allí que:

P( X 72,50) = P(Z 72 50 68

3

,) = P (Z 1,50) = 1- (1.50) = 1 – 0,9332

= 0,0668 = 6,68% . Como el grupo es de 300 estudiantes, entonces aproximadamente 20 de ellos deberían tienen una estatura mayor que 72 pulgadas.

b) P( X 64,50) = P(Z 64 50 68

3

,) = P (Z - 1,17) = (-1.17)=0,1210 = 12,10%

Aproximadamente 36 deberían medir 64 pulgadas o menos.

c) P( 64,50 X < 71,50) = P( 64 50 68

3

, Z <

7150 68

3

,) = P (-1,17 Z < 1,17)

= D (1.17) = 0.7580 = 75,80 % . Aproximadamente 227 estudiantes deberían caer en ese intervalo.

d) P( 67,50 X < 68,50) = P( 67 50 68

3

, Z <

68 50 68

3

,) = P (-0,17 Z < 0,17)

= D (0.17) = 0,1350 = 13,50 % . Aproximadamente 40 estudiantes deberían tener una estatura de 68 pulgadas.


16

Ejemplo 9.12 : Sea "X" una variable normal con media 10 y varianza 2 desconocida

a) Determine “ “,si P(X 7) = 0,90.

b) Determine un valor "k" tal que : P(X k) = 4 P(X>k) .

Solución : a) P(X 7) = 0,90. P( Z 7 10

) = 0,90. P( Z <3

) = 0,10

Según tabla 2.3 3

= -1.282 = 3

1282, = 2,34

b) P(X k) = 4 P(X>k) P(X k) = 4 [1- P(X k)] P(X k) = 4 - 4P(X k)]

P(X k) + 4P(X k)] = 4 5 P(X k) = 4 P(X k) = 4

5 = 0,80

P( Z k 10

2 34,) = 0,80 Según tabla 2.3:

k 10

2 34, = 0,842 k = 11,97

Ejemplo 9.13 : El contenido de unas cajas de cereal sigue una distribución normal. Se sabe que el 20% de las cajas contienen más de 120 gramos, y que el 10% de las cajas contienen menos de 75 gramos. a) Encuentre la media y la varianza de la distribución. b) Calcule la probabilidad de que una caja contenga entre 70 y 100 gramos .

Solución : a) X = Contenido de una caja N( ; 2)

P ( X > 120 ) = 0,20 P ( Z >120

) = 0,20 P ( Z 120

) = 0,80

Según tabla 2.3 : 120

= 0,842 120 - = 0,842

P ( X < 75 ) = 0,10 P ( Z <75

) = 0,10


= - 1,282 75 - = -1,282

Para determinar “ ”y “ “ , hay que resolver el sistema de ecuaciones:

120

75

0 842RST

1,282

, Restando una de la otra: 45 = 2,124 = 21,19 .

Reemplazando = 21,19 en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene: = 102,16

Los parámetros de la distribución son: = 102,16 gramos, = 21,19 gramos.

b) P( 70 X 100) = P( 70 10216

2119

,

, Z

100 10216

2119

,

,) = P (-1,52 Z - 0,10)

= (-0.10) - (-1,52)= 0,4602 – 0,0643 = 0,3959 = 39,59 % . Ejemplo 9.14: Una máquina dispensadora de refrescos, puede ser calibrada para que llene los vasos con una media de "µ" onzas. Asumiendo que el contenido de refresco en los vasos sigue una Distribución Normal, con desviación típica de 0,3 onzas. a) Determine "µ", de forma que solamente el 1% de los vasos contengan mas de 8 onzas de refresco.


17

b) Establezca un intervalo simétrico, que tenga un 90% de probabilidad para el contenido de refresco en un vaso.

Solución : a) X = Contenido de un vaso N( ; 0,32).

P ( X > 8) = 0,01 P ( X 8) = 0,99 P (Z 8

0 30,) = 0,99


0 30, = 2,326 = 8 – 2,326 (0,30) = 7,30

La máquina debe ser calibrada para llenar con una media de 7,30 onzas.

b) P ( a X b) = 0,90 P (a 7 30

0 30

,

, Z

b 7 30

0 30

,

,) = 0,90

Según la tabla 2.3, la abscisa que cubre un área central de 0,90 es 1,645; por tanto

b 7 30

0 30

,

,= 1,645 b = 7,30 + 1,645 (0,30) = 7,79

a 7 30

0 30

,

,= -1,645 a = 7,30 - 1,645 (0,30) = 6,81

El intervalo que cubre al 90% central de la distribución es [ 6,81 ; 7,79] onzas , que

también puede ser expresado como 7,30 0,49 . Ejemplo 9.15 : Un fabricante de piezas mecánicas debe producirlas dentro de la especificación: ( 7.00 ± 0.50 ) cms. El proceso de producción de estas piezas, las fabrica según una Distribución Normal con media 6.90 cms., y desviación típica de 0,30 cms. El costo de producir una pieza es de $ 15, y se vende en $ 25 , siempre que cumpla con la especificación. Si la pieza mide mas de 7,50 cms., el fabricante puede corregirla, y llevarla dentro de la especificación . El costo de dicha corrección es de $3. Si la pieza mide menos de 6,50 cms, la pieza no puede ser corregida, y el fabricante pierde lo que le costó producirla. Calcule la ganancia promedio que el fabricante obtiene por cada pieza producida. Solución : Hay que calcular el porcentaje de piezas que cae dentro de cada una de las tres categorías: buenas, corregidas y defectuosas.

% de Buenas = P( 6,50 X 7,50) = P( 6 50 6 90

0 30

, ,

, Z

7 50 6 90

0 30

, ,

,) =

P (-1,33 Z 2,00) = (2,00) - (-1,33) = 0,9772 – 0,0918 = 0,8854 = 88,54 % .

% de Corregidas = P(X > 7,50) = P(Z > 7 50 6 90

0 30

, ,

,) = P ( Z > 2,00) = 1- (2,00)

1- 0,9772 = 0,0228 = 2,28 %

% de Defectuosas = P(X < 6,50) = P( Z < 6 50 6 90

0 30

, ,

,)= P (Z - 1,33) = (-1,33)

= 0,0918 = 9,18 % Por cada pieza buena, el fabricante gana $25 - $ 15 = $ 10, por cada pieza corregida gana $25 - $ 15 - $ 3 = $ 7 , mientras que por cada pieza defectuosa, pierde $ 15.


18

La ganancia promedio por cada pieza, es el promedio ponderado de las ganancias: 10 (0,8854) + 7 (0,0228) – 15 (0,0918) = $ 7,64 por pieza.

Preguntas de Revisión 1°) El valor tipificado de un dato es -0,40, y el de otro dato es +1,40. ¿Cuál de los dos está más cerca de la media? . 2°) Si un conjunto de datos es sometido a una transformación lineal, ¿se altera el valor tipificado de cada dato?.

3°) Considere dos distribuciones normales con la misma media “ ”, pero una con mayor varianza que la otra. ¿Cuál de las dos tiene una mayor proporción de valores

dentro del intervalo “ ” ( >0) ?. 4°) ¿Puede la media de una distribución normal ser negativa?, ¿y la desviación típica?. 5°) Una abscisa “x” de una distribución normal , deja a la derecha un área mayor que 0,5 . ¿ Qué posición tiene “x” con relación a la media de la distribución?. 6°) En una distribución normal, el área de una abscisa a la izquierda es igual al área de otra abscisa a la derecha. ¿Qué relación hay entre estas dos abscisas?.

7°) En una distribución normal, el área de una abscisa “ + ” ( >0) a la derecha es

“ ”.¿Cuál es el área en el intervalo “ ?.

8°) En una distribución normal, el área en el intervalo “ ” ( >0) es “ ”.¿Cuál es

el área desde “ - ” a la derecha ?. 9°) Según la desigualdad de Tchebychev para una distribución cualquiera, ¿qué proporción mínima de valores, debe tener un valor tipificado entre – 4 y +4?. ¿Cuál es esa proporción para la distribución normal?. 10°) Dentro de una distribución normal, dos intervalos tienen la misma amplitud, pero uno contiene a la media , y el otro no. ¿Cuál de los dos intervalos tiene mayor probabilidad?. 11°) ¿Qué significa el valor tipificado?.

12°) En una distribución normal, ¿cuántos intervalos encierran un área dada “ ”?.

13°) En una distribución normal, una abscisa “z1” deja a su derecha un área “ 1”,

mientras que otra abscisa “z2” deja a su izquierda un área “ 2”. Si 0 < 1 < 2 < 0,5 . ¿Cuál de las dos abscisas está más cerca de la media?. ¿Qué signo tienen estas abscisas? . ¿Cuál de las dos abscisas es mayor en valor absoluto?.


19

14°) Si dos distribuciones normales tienen igual varianza, pero una tiene mayor media que la otra, ¿cuál de las dos tiene una mayor proporción de valores dentro

del intervalo (media respectiva ); >0?

Temas complementarios para investigar

1°) Investigue acerca de la forma de interpolar dentro de una tabla normal. 2°) Investigue acerca del objetivo y fundamento del papel probabilistico. 3°) Investigue acerca de las aplicaciones de la distribución normal, en la “Teoría de Errores”. 4°) Investigue sobre las aplicaciones de la distribución log-normal. Problemas Propuestos I. Nivel Elemental

9.16) Suponga que se quiere comparar los sueldos en dos organizaciones bancarias "A" y "B" , y que al analizar los sueldos de cada uno de sus empleados se encuentra: Para el Banco "A" : Sueldo medio = Bs. 420.000 ; Desviación típica = Bs. 80.000 Para el Banco "B" : Sueldo medio = Bs. 540.000 ; Desviación típica = Bs. 120.000 a) ¿ Cual de las dos organizaciones paga mejores sueldos ? . b) ¿ Cual de las dos organizaciones presenta mayor variabilidad en los sueldos ? . c) Si en el Banco "B" un gerente gana Bs. 800.000 , y un cajero Bs. 300.000 . ¿Cual debería ser el sueldo de sus homólogos en el Banco "A" , para que ocupen la misma posición relativa dentro de la organización ? Solución: a) B, b) B , pues CVA = 19.05% y CVB = 22.22% c) 590.333,33 y 260.000

9.17) Usando las tablas de la Distribución Normal tipificada, determine el o los valores de la abscisa "z", en cada uno de los siguientes casos: a) El área entre 0 y z, es 0,3770. b) El área a la izquierda de z, es 0,8631 . c) El área entre -1,5 y z, es 0,0217 d) El área a la derecha de z, es 0,2266 e) El área a la izquierda de z, es 0,0314 f) El área entre -0,23 y z , es 0,5722 g) El área entre 1,15 y z , es 0,0730 h) El área entre -z y z, es de 0,9000 Solución: a) z=± 1,16 , b) z= 1,09 , c) z= -1,35 ó z= -1,694 . d) z= 0,75 e) z= -1,86 f) z= 2,08 g) z= 1,625 ó z= 0,849 h) z= 1,645 9.18) El tiempo que tarda un niño en aprender una cierta técnica es una variable normal, con media 7.6 semanas , y desviación típica de 1 semana .


20

a) ¿ Cual es la probabilidad de que un niño tarde menos de 8 semanas en aprenderla? b) En un grupo de 1000 niños, ¿ cuantos deberían tardar más de 10 semanas en aprender esa técnica? . Solución: a) 0.6554 b) 8.2 9.19) La estatura de unas personas sigue una Distribución Normal, con media 1,60 metros y desviación típica de 0,10 metros . a) ¿Cual es la probabilidad de que una persona tenga una estatura superior a 1,54 metros ? . b) ¿ Cual es la estatura que superan el 80% de las personas ? . c) En un grupo de 500 personas, ¿ cuantas deberían tener una estatura superior a 1,82 metros ? . Solución : a) 0,7258 . b) 1.516 m . c) 6.95 9.20) El proceso de llenado de unas botellas de refresco ,sigue una distribución normal con media 220 cc . a) Determine la desviación típica del proceso, si el 8% de la botellas resultan con un contenido inferior a 200 cc. b) ¿Cual es la probabilidad de que una botella resulte con un contenido superior a 250 cc. ? . Solución: a) 14,23 cc b) 0,0174 9.21) Hay que producir unas piezas cuyo diámetro debe caer dentro de la especificación (190 ± 15) mms . La máquina que se dispone para fabricarlas, las saca según un diámetro que sigue una distribución normal con media 200 mm, y desviación típica de 10 mms . En una producción de 20.000 piezas, ¿cuántas defectuosas deberían encontrarse?. Solución : 6294 9.22) Se ha comprobado que el peso de los estudiantes universitarios, sigue una Distribución Normal con media 68,5 Kgs., y desviación típica de 10 Kgs . ¿Cual es la probabilidad de encontrar un estudiante, cuyo peso esté: a) entre 48 y 71 Kgs? . b) por encima de 91 Kgs? . Solución : a) 0.5785 b) 0.0122 9.23) Un estudio demostró que el tiempo de vida para cierta marca de baterías para automóviles, se distribuye normalmente con media 548 días , y desviación típica de 185 días . Si el fabricante debe garantizar sus baterías por 180 días , ¿ qué porcentaje de las baterías deberá ser cambiado ? . Solución: 2.33 % 9.24) El espesor de las láminas metálicas producidas por una cierta máquina sigue una Distribución Normal, con media 10 mm., y desviación típica de 0,02mm . Establezca una especificación para el espesor de estas láminas, de forma que: a) El 95 % de las láminas cumplan con la especificación. b) El 99% de las láminas cumplan con la especificación. Solución: a) (10.0000 ± 0.0392) mm b) (10.00000 ± 0.05152) mm 9.25) Las especificaciones para una cierta pieza mecánica son (20.00 ± 0.50) cms.


21

La máquina que se dispone para producirlas, las saca según una distribución normal con desviación típica de 0.30 cms, y una media que depende de ciertas calibraciones que se le hagan a la máquina. Las piezas que resulten por encima del límite superior pueden ser reprocesadas y corregidas, pero las que resulten por debajo del límite inferior son consideradas como desperdicio. a) ¿En que valor debe calibrarse la media de la máquina, si se quiere a lo más un 1% de desperdicios? . b) Para esa media, ¿cual será el porcentaje de piezas reprocesadas? . Solución: a) µ = 20.1978 b) 15.62%. 9.26) El monto de las compras que realizan los clientes en un supermercado, sigue una Distribución Normal con media $80 , y se sabe que el 72% de los clientes, realizan unas compras comprendidas en el intervalo $ (80 ± 10) . ¿Qué porcentaje de los clientes realiza compras superior a los $ 100 ? . Solución : 1,54% 9.27) Sea X ~ N( 20 ; 16) . Determine "a" y "b", en cada uno de los siguientes

casos: a) P ( a X 22 ) = 0,40 b) P ( b X 22 ) = 0,80 Solución: a = 17,80 . No existe “b”. II. Nivel Intermedio

9.28) El contenido de jabón detergente en unas cajas, sigue una distribución normal. Si el 80% de las cajas contienen menos de 429,20 gramos de jabón , y el 90% de las cajas contienen mas de 418,60 gramos: a) Determine la media y la desviación típica de la distribución. b) ¿Cual es el porcentaje de cajas cuyo contenido se encuentra en el intervalo (420 ± 5 ) gramos ? Solución: a) µ=425 grms , F =5 grms b) 47,72 % . 9.29) La duración de unas baterías sigue una Distribución Normal con media 270 días, y desviación típica de 50 días. Un comerciante compra cada batería en $ 21 y la vende en $ 27, pero garantizando que si se daña antes de los 180 días, devolverá el dinero al cliente, y en consecuencia el comerciante pierde el costo de adquisición de la batería. Calcule la ganancia promedio por cada batería vendida . Solución: $ 5,03 9.30) Una máquina cortadora puede ser calibrada para cortar alambres que tengan una media determinada. Suponiendo que la longitud de los alambres obtenidos sigue una Distribución Normal con media el valor calibrado, y desviación típica de 0,2 cms. ; determine el valor en que debe calibrarse la media , si se quiere que solamente el 5% de los alambres, tengan una longitud mayor de 10,40 cms . Solución : µ = 10.071 cms .

9.31) Sea "X" una variable normal con media 10 y varianza 2 desconocida.

a) Determine “ ” si : P(X 7.5 ) = 0,6026

b) Determine un valor "k" tal que: P(X k) = 3 P(X>k) .


22

c) Hallar P( 8 X 11) . Solución: a) = 9,62 b) k = 16,48 c) 0,1230 9.32) El peso de un grupo de 120 personas sigue una Distribución Normal. Si 24 de ellas pesan menos de 55 Kgs., y 12 pesan más de 80 Kgs, ¿cuántas pesan más de 60 Kgs?. Solución: Aproximadamente 80 9.33) Un comerciante ha comprobado que cuando invierte en propaganda una cantidad "x" , las ventas durante el período siguen una distribución normal con media "50x" , y desviación típica de $100.000 . a) Si el comerciante invirtió $ 30.000 en propaganda; calcule la probabilidad de que las ventas durante el período, sean superiores a $1.350.000. b) Determine la cantidad que debe invertir en propaganda, si se quiere que las ventas sean superiores a $ 2.000.000, con una probabilidad de 0,90 por lo menos . Solución : $ 42.560

9.34) Sea X ~ N(1; 4). Determine P(1 X2 9). Solución:0,477

9.35) Se desea producir ciertas piezas dentro de la especificación (20,00 ± 1,00) cms. Hay que decidir entre dos máquinas para producir estas piezas, siendo los costos y las características de producción, diferentes para cada una. Media (cms) Desviación típica (cms.) Costo ($ / pieza) Máquina A 19,95 0,85 1,00 Máquina B 20,02 0,50 1,20 Si la pieza cae dentro de la especificación puede ser vendida en $ 1,80 por unidad, pero si es defectuosa, el fabricante pierde el costo de producir la pieza. Suponiendo que la producción de cada máquina sigue una distribución normal, ¿cual de las dos recomendaría Ud., para producir la pieza? . Solución : B 9.36) El tiempo que tarda una persona en llegar de su casa al trabajo, sigue una distribución normal con media 30 minutos, y desviación típica de 5 minutos. La hora de entrada al trabajo es a las 8:00 a.m a) ¿A qué hora debe salir de su casa , si desea llegar temprano al trabajo con una probabilidad de 0,99?. b) Si sale de su casa a las 7:40 a.m, ¿cuál es la probabilidad de que llegue temprano al trabajo?. Solución : a) 7:18 a.m b) 0,0228

9.37) Sea X N( ; 2). Determine los parámetros, si P ( X 60) = 0,10 ,

y P ( X 90) = 0,95 . Solución : = 73,1 ; =10,2. 9.38) Las calificaciones en un examen de admisión, siguen una distribución normal con una media de 57,40 puntos y un coeficiente de variación del 30%. Los aspirantes deben ser clasificados en cuatro categorías: “A” (Excelentes) donde se ubica el 10% superior, “B” (Buenos) donde caen el 30% siguiente, “C” (Regulares) con el 35% siguiente, y “D” (Rechazados) con el 25% inferior.


23

Determine el intervalo de calificaciones para cada una de estas categorías. Solución: “A “ de 80 puntos en adelante, “B” entre 62 y 79, “C” entre 46 y 61, y “D” por debajo de 45 . III. Nivel Avanzado

9.39) Sea X N( ; 2) . Entre los infinitos intervalos que tienen una amplitud

constante “c”, ¿cuál tiene máxima probabilidad?. Solución : 0,5 c

9.40) Una pieza debe cumplir con la especificación 200 3. Si la pieza cumple con la especificación puede ser vendida en $ 100 , si mide más de 203, puede ser corregida a un costo de $ 20 y luego vendida en $100, y si mide menos de 197 es defectuosa, y sólo puede ser vendida como desperdicio en $ 20. Para producir esta pieza, se dispone de una máquina que las fabrica según una

distribución normal, con una media “ ” que depende de ciertos ajustes y calibraciones que se le hagan a la máquina, y con una desviación típica de 2. Producir una pieza con esta máquina cuesta $ 50.

Determine la media “ ” en que debe ser calibrada, para maximizar la ganancia

promedio por pieza producida. Solución : = 200,92


24

Anexo No 1: PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL

La función de densidad correspondiente a la curva normal es :

f x e( )1

2

--( )x

2

22 ; - < x <

A partir de allí se demuestra :

1º) Los parámetros "µ" y " 2" representan la media y la varianza de la distribución .

En primer lugar "µ" y " 2" son parámetros porque para cualquier valor que ellos tomen , el área bajo la curva es siempre igual a 1 , pues :

1

2 e dx

-(x- )

2

2

2

= 1

En efecto , si en esta integral hacemos el cambio de variable : z =x

se obtiene : 1

2 e dz

-2

2z

= 2 1

20 e dz

-2

2z

Haciendo la sustitución : t = 1

2 z2 dt = z dz dz =

1

2t dt , resulta:

2

2e

t

t 1

20dt =

1e

t

t 1

0 dt =

( )1

2 =1

lo que demuestra que efectivamente la ecuación de la curva normal corresponde a

una función densidad continua de probabilidad , y en donde "µ" y " 2 " son parámetros . Para demostrar que estos parámetros son realmente su media y su varianza , es necesario hallar primero su función generadora de momentos MX( t) :

MX(t) = E(etX) = etx 1

2 e

-(x- )

2

2

2

dx

Para calcular esta integral es necesario sumar los exponentes que corresponden a la base común “e”, luego completar cuadrados , , y se llega al siguiente resultado:

MX(t) = et t

1

22 2


25

Una vez obtenida la función generadora de momentos , por derivación sucesiva y evaluando en t=0 , es posible obtener los diferentes momentos de la distribución , y así :

dM t

dt

X( )= ( )2

1

22 2

t et t

E(X) = dM t

dt

X

t

( )

0

=

Derivando por segunda vez , y evaluando en t=0 : E(X2) = d M t

dt

X

t

2

2

0

( )= 2 + 2

En consecuencia : Var (X) = E (X2) - [ E (X) ]2 = 2, lo que completa la demostración . 2º) La simetría respecto de la media es fácilmente demostrable , pues basta con verificar que la ecuación de la curva , que como ya sabemos es:

f x e( )1

2

--( )x

2

22 ; no se altera cuando se sustituye ( x - µ) , por su

simétrico respecto de la media que es [- (x-µ)] . Como consecuencia de la simetría , el coeficiente momento de sesgo se anula. El coeficiente momento de sesgo poblacional para una variable aleatoria viene

dado por: 3 = E X E X

Var X

( ( ))

( ( ))

3

3

2

.

El numerador de esta expresión puede ser desarrollado: E( X - E(X) )3= E (X3- 3 X2 E(X) + 3X (E(X))2 - (E(X))3) = E (X3) - 3 E (X2) E(X) + 3 E(X) (E(X))2 - (E(X))3 = E (X3) - 3 E (X2) E(X) + 2 (E(X))3 Para la Normal , los dos primeros momentos respecto al origen ya son conocidos

pues: E ( X ) = µ ; E (X2) = 2 + 2, y el tercero puede ser obtenido a partir de la tercera derivada de función generadora de momentos, en t=0:

E (X3) = d M (t)

dt

3X

3

t 0

= 3+ 3 µ 2 .

Reemplazando resulta :

E( X - E(X) )3= 3+ 3 µ 2 - 3 ( 2 + 2) + 2 3 = 0 = 0 . 3º) En cuanto a la propiedad de que la mediana de la Distribución Normal también está representada por el parámetro "µ" , la misma se desprende de la simetría , y de que el área total bajo la curva es igual a 1 .

En efecto , por simetría : P ( X µ) = P (X > µ) , y como además :

P ( X µ) + P (X > µ) = 1 P ( X µ) = P (X > µ) = 1

2 " " es la mediana .


26

4º) También el parámetro "µ" es la moda de la distribución , pues al ser f(x) una función del tipo exponencial , el máximo se alcanzará cuando el exponente sea máximo ; y evidentemente [-( x - µ)2] es máximo , cuando x= µ. 5º) La demostración de que el coeficiente momento de curtosis vale "3" para cualquier Distribución Normal , es quizás la más interesante , y parte de la definición del coeficiente momento de curtosis para la población dado por:

4= E X E X

Var X

( ( ))

( ( ))

4

2

E( X - E(X) )4= E (X4- 4 X3 E(X) + 6 X2 (E(X))2 - 4 X (E(X))3+ (E(X))4) = E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2) (E(X))2 - 4 E(X) (E(X))3+ (E(X))4=

E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2)(E(X))2 - 3 (E(X))4 Los tres primeros momentos ya se conocen , y el cuarto se obtiene derivando por cuarta vez la función generadora de momentos, y evaluándo en t=0 :

E(X4) = d M (t)

dt

4X

4

t 0

= 4 + 6 2 2+ 3 4

E( X - E(X) )4 = 4 + 6 2 2 + 3 4 -4( 3 + 3 2 ) + 6 ( 2 + 2) 2 - 3 4 =

3 4

y como Var (X) = 2 4= 3

2 2

4

( ) = 3

Con relación al valor 0,263 para el coeficiente percentílico de curtosis , el mismo sale de las tablas normales , pues como es sabido este coeficiente se calcula mediante la expresión :

Coeficiente percentílico de curtosis = =

1

23 1

90 10

( )Q Q

P P

Según las tablas : Q3= µ + 0.674 ( 75% de área a la izquierda )

Q1 = µ - 0.674 ( 25% de área a la izquierda

P90= µ + 1.282 ( 90% de área a la izquierda )

P10= µ - 1.282 ( 10% de área a la izquierda ) Sustituyendo en la expresión , resulta el valor 0,263 antes señalado , para cualquier curva normal , independientemente de sus parámetros .


27

Anexo N° 2 : Tabla N° 2.1: Area bajo la Distribución Normal Estándar entre 0 y z.

z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990


28

Tabla 2.2: Diferentes áreas bajo la curva normal estándar

z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

0,01 0,5040 0,4960 0,0080 0,51 0,6950 0,3050 0,3899

0,02 0,5080 0,4920 0,0160 0,52 0,6985 0,3015 0,3969

0,03 0,5120 0,4880 0,0239 0,53 0,7019 0,2981 0,4039

0,04 0,5160 0,4840 0,0319 0,54 0,7054 0,2946 0,4108

0,05 0,5199 0,4801 0,0399 0,55 0,7088 0,2912 0,4177

0,06 0,5239 0,4761 0,0478 0,56 0,7123 0,2877 0,4245

0,07 0,5279 0,4721 0,0558 0,57 0,7157 0,2843 0,4313

0,08 0,5319 0,4681 0,0638 0,58 0,7190 0,2810 0,4381

0,09 0,5359 0,4641 0,0717 0,59 0,7224 0,2776 0,4448

0,10 0,5398 0,4602 0,0797 0,60 0,7257 0,2743 0,4515

0,11 0,5438 0,4562 0,0876 0,61 0,7291 0,2709 0,4581

0,12 0,5478 0,4522 0,0955 0,62 0,7324 0,2676 0,4647

0,13 0,5517 0,4483 0,1034 0,63 0,7357 0,2643 0,4713

0,14 0,5557 0,4443 0,1113 0,64 0,7389 0,2611 0,4778

0,15 0,5596 0,4404 0,1192 0,65 0,7422 0,2578 0,4843

0,16 0,5636 0,4364 0,1271 0,66 0,7454 0,2546 0,4907

0,17 0,5675 0,4325 0,1350 0,67 0,7486 0,2514 0,4971

0,18 0,5714 0,4286 0,1428 0,68 0,7517 0,2483 0,5035

0,19 0,5753 0,4247 0,1507 0,69 0,7549 0,2451 0,5098

0,20 0,5793 0,4207 0,1585 0,70 0,7580 0,2420 0,5161

0,21 0,5832 0,4168 0,1663 0,71 0,7611 0,2389 0,5223

0,22 0,5871 0,4129 0,1741 0,72 0,7642 0,2358 0,5285

0,23 0,5910 0,4090 0,1819 0,73 0,7673 0,2327 0,5346

0,24 0,5948 0,4052 0,1897 0,74 0,7704 0,2296 0,5407

0,25 0,5987 0,4013 0,1974 0,75 0,7734 0,2266 0,5467

0,26 0,6026 0,3974 0,2051 0,76 0,7764 0,2236 0,5527

0,27 0,6064 0,3936 0,2128 0,77 0,7794 0,2206 0,5587

0,28 0,6103 0,3897 0,2205 0,78 0,7823 0,2177 0,5646

0,29 0,6141 0,3859 0,2282 0,79 0,7852 0,2148 0,5705

0,30 0,6179 0,3821 0,2358 0,80 0,7881 0,2119 0,5763

0,31 0,6217 0,3783 0,2434 0,81 0,7910 0,2090 0,5821

0,32 0,6255 0,3745 0,2510 0,82 0,7939 0,2061 0,5878

0,33 0,6293 0,3707 0,2586 0,83 0,7967 0,2033 0,5935

0,34 0,6331 0,3669 0,2661 0,84 0,7995 0,2005 0,5991

0,35 0,6368 0,3632 0,2737 0,85 0,8023 0,1977 0,6047

0,36 0,6406 0,3594 0,2812 0,86 0,8051 0,1949 0,6102

0,37 0,6443 0,3557 0,2886 0,87 0,8078 0,1922 0,6157

0,38 0,6480 0,3520 0,2961 0,88 0,8106 0,1894 0,6211

0,39 0,6517 0,3483 0,3035 0,89 0,8133 0,1867 0,6265

0,40 0,6554 0,3446 0,3108 0,90 0,8159 0,1841 0,6319

0,41 0,6591 0,3409 0,3182 0,91 0,8186 0,1814 0,6372

0,42 0,6628 0,3372 0,3255 0,92 0,8212 0,1788 0,6424

0,43 0,6664 0,3336 0,3328 0,93 0,8238 0,1762 0,6476

0,44 0,6700 0,3300 0,3401 0,94 0,8264 0,1736 0,6528

0,45 0,6736 0,3264 0,3473 0,95 0,8289 0,1711 0,6579

0,46 0,6772 0,3228 0,3545 0,96 0,8315 0,1685 0,6629

0,47 0,6808 0,3192 0,3616 0,97 0,8340 0,1660 0,6680

0,48 0,6844 0,3156 0,3688 0,98 0,8365 0,1635 0,6729


29

0,49 0,6879 0,3121 0,3759 0,99 0,8389 0,1611 0,6778

0,50 0,6915 0,3085 0,3829 1,00 0,8413 0,1587 0,6827

z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

1,01 0,8438 0,1562 0,6875 1,51 0,9345 0,0655 0,8690

1,02 0,8461 0,1539 0,6923 1,52 0,9357 0,0643 0,8715

1,03 0,8485 0,1515 0,6970 1,53 0,9370 0,0630 0,8740

1,04 0,8508 0,1492 0,7017 1,54 0,9382 0,0618 0,8764

1,05 0,8531 0,1469 0,7063 1,55 0,9394 0,0606 0,8789

1,06 0,8554 0,1446 0,7109 1,56 0,9406 0,0594 0,8812

1,07 0,8577 0,1423 0,7154 1,57 0,9418 0,0582 0,8836

1,08 0,8599 0,1401 0,7199 1,58 0,9429 0,0571 0,8859

1,09 0,8621 0,1379 0,7243 1,59 0,9441 0,0559 0,8882

1,10 0,8643 0,1357 0,7287 1,60 0,9452 0,0548 0,8904

1,11 0,8665 0,1335 0,7330 1,61 0,9463 0,0537 0,8926

1,12 0,8686 0,1314 0,7373 1,62 0,9474 0,0526 0,8948

1,13 0,8708 0,1292 0,7415 1,63 0,9484 0,0516 0,8969

1,14 0,8729 0,1271 0,7457 1,64 0,9495 0,0505 0,8990

1,15 0,8749 0,1251 0,7499 1,65 0,9505 0,0495 0,9011

1,16 0,8770 0,1230 0,7540 1,66 0,9515 0,0485 0,9031

1,17 0,8790 0,1210 0,7580 1,67 0,9525 0,0475 0,9051

1,18 0,8810 0,1190 0,7620 1,68 0,9535 0,0465 0,9070

1,19 0,8830 0,1170 0,7660 1,69 0,9545 0,0455 0,9090

1,20 0,8849 0,1151 0,7699 1,70 0,9554 0,0446 0,9109

1,21 0,8869 0,1131 0,7737 1,71 0,9564 0,0436 0,9127

1,22 0,8888 0,1112 0,7775 1,72 0,9573 0,0427 0,9146

1,23 0,8907 0,1093 0,7813 1,73 0,9582 0,0418 0,9164

1,24 0,8925 0,1075 0,7850 1,74 0,9591 0,0409 0,9181

1,25 0,8944 0,1056 0,7887 1,75 0,9599 0,0401 0,9199

1,26 0,8962 0,1038 0,7923 1,76 0,9608 0,0392 0,9216

1,27 0,8980 0,1020 0,7959 1,77 0,9616 0,0384 0,9233

1,28 0,8997 0,1003 0,7995 1,78 0,9625 0,0375 0,9249

1,29 0,9015 0,0985 0,8029 1,79 0,9633 0,0367 0,9265

1,30 0,9032 0,0968 0,8064 1,80 0,9641 0,0359 0,9281

1,31 0,9049 0,0951 0,8098 1,81 0,9649 0,0351 0,9297

1,32 0,9066 0,0934 0,8132 1,82 0,9656 0,0344 0,9312

1,33 0,9082 0,0918 0,8165 1,83 0,9664 0,0336 0,9328

1,34 0,9099 0,0901 0,8198 1,84 0,9671 0,0329 0,9342

1,35 0,9115 0,0885 0,8230 1,85 0,9678 0,0322 0,9357

1,36 0,9131 0,0869 0,8262 1,86 0,9686 0,0314 0,9371

1,37 0,9147 0,0853 0,8293 1,87 0,9693 0,0307 0,9385

1,38 0,9162 0,0838 0,8324 1,88 0,9699 0,0301 0,9399

1,39 0,9177 0,0823 0,8355 1,89 0,9706 0,0294 0,9412

1,40 0,9192 0,0808 0,8385 1,90 0,9713 0,0287 0,9426

1,41 0,9207 0,0793 0,8415 1,91 0,9719 0,0281 0,9439

1,42 0,9222 0,0778 0,8444 1,92 0,9726 0,0274 0,9451

1,43 0,9236 0,0764 0,8473 1,93 0,9732 0,0268 0,9464

1,44 0,9251 0,0749 0,8501 1,94 0,9738 0,0262 0,9476

1,45 0,9265 0,0735 0,8529 1,95 0,9744 0,0256 0,9488

1,46 0,9279 0,0721 0,8557 1,96 0,9750 0,0250 0,9500

1,47 0,9292 0,0708 0,8584 1,97 0,9756 0,0244 0,9512

1,48 0,9306 0,0694 0,8611 1,98 0,9761 0,0239 0,9523

1,49 0,9319 0,0681 0,8638 1,99 0,9767 0,0233 0,9534

1,50 0,9332 0,0668 0,8664 2,00 0,9772 0,0228 0,9545


30

z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

2,01 0,9778 0,0222 0,9556 2,51 0,9940 0,0060 0,9879

2,02 0,9783 0,0217 0,9566 2,52 0,9941 0,0059 0,9883

2,03 0,9788 0,0212 0,9576 2,53 0,9943 0,0057 0,9886

2,04 0,9793 0,0207 0,9586 2,54 0,9945 0,0055 0,9889

2,05 0,9798 0,0202 0,9596 2,55 0,9946 0,0054 0,9892

2,06 0,9803 0,0197 0,9606 2,56 0,9948 0,0052 0,9895

2,07 0,9808 0,0192 0,9615 2,57 0,9949 0,0051 0,9898

2,08 0,9812 0,0188 0,9625 2,58 0,9951 0,0049 0,9901

2,09 0,9817 0,0183 0,9634 2,59 0,9952 0,0048 0,9904

2,10 0,9821 0,0179 0,9643 2,60 0,9953 0,0047 0,9907

2,11 0,9826 0,0174 0,9651 2,61 0,9955 0,0045 0,9909

2,12 0,9830 0,0170 0,9660 2,62 0,9956 0,0044 0,9912

2,13 0,9834 0,0166 0,9668 2,63 0,9957 0,0043 0,9915

2,14 0,9838 0,0162 0,9676 2,64 0,9959 0,0041 0,9917

2,15 0,9842 0,0158 0,9684 2,65 0,9960 0,0040 0,9920

2,16 0,9846 0,0154 0,9692 2,66 0,9961 0,0039 0,9922

2,17 0,9850 0,0150 0,9700 2,67 0,9962 0,0038 0,9924

2,18 0,9854 0,0146 0,9707 2,68 0,9963 0,0037 0,9926

2,19 0,9857 0,0143 0,9715 2,69 0,9964 0,0036 0,9929

2,20 0,9861 0,0139 0,9722 2,70 0,9965 0,0035 0,9931

2,21 0,9864 0,0136 0,9729 2,71 0,9966 0,0034 0,9933

2,22 0,9868 0,0132 0,9736 2,72 0,9967 0,0033 0,9935

2,23 0,9871 0,0129 0,9743 2,73 0,9968 0,0032 0,9937

2,24 0,9875 0,0125 0,9749 2,74 0,9969 0,0031 0,9939

2,25 0,9878 0,0122 0,9756 2,75 0,9970 0,0030 0,9940

2,26 0,9881 0,0119 0,9762 2,76 0,9971 0,0029 0,9942

2,27 0,9884 0,0116 0,9768 2,77 0,9972 0,0028 0,9944

2,28 0,9887 0,0113 0,9774 2,78 0,9973 0,0027 0,9946

2,29 0,9890 0,0110 0,9780 2,79 0,9974 0,0026 0,9947

2,30 0,9893 0,0107 0,9786 2,80 0,9974 0,0026 0,9949

2,31 0,9896 0,0104 0,9791 2,81 0,9975 0,0025 0,9950

2,32 0,9898 0,0102 0,9797 2,82 0,9976 0,0024 0,9952

2,33 0,9901 0,0099 0,9802 2,83 0,9977 0,0023 0,9953

2,34 0,9904 0,0096 0,9807 2,84 0,9977 0,0023 0,9955

2,35 0,9906 0,0094 0,9812 2,85 0,9978 0,0022 0,9956

2,36 0,9909 0,0091 0,9817 2,86 0,9979 0,0021 0,9958

2,37 0,9911 0,0089 0,9822 2,87 0,9979 0,0021 0,9959

2,38 0,9913 0,0087 0,9827 2,88 0,9980 0,0020 0,9960

2,39 0,9916 0,0084 0,9832 2,89 0,9981 0,0019 0,9961

2,40 0,9918 0,0082 0,9836 2,90 0,9981 0,0019 0,9963

2,41 0,9920 0,0080 0,9840 2,91 0,9982 0,0018 0,9964

2,42 0,9922 0,0078 0,9845 2,92 0,9982 0,0018 0,9965

2,43 0,9925 0,0075 0,9849 2,93 0,9983 0,0017 0,9966

2,44 0,9927 0,0073 0,9853 2,94 0,9984 0,0016 0,9967

2,45 0,9929 0,0071 0,9857 2,95 0,9984 0,0016 0,9968

2,46 0,9931 0,0069 0,9861 2,96 0,9985 0,0015 0,9969

2,47 0,9932 0,0068 0,9865 2,97 0,9985 0,0015 0,9970

2,48 0,9934 0,0066 0,9869 2,98 0,9986 0,0014 0,9971

2,49 0,9936 0,0064 0,9872 2,99 0,9986 0,0014 0,9972

2,50 0,9938 0,0062 0,9876 3,00 0,9987 0,0013 0,9973


31

z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)

3,01 0,9987 0,0013 0,9974 3,51 0,9998 0,0002 0,9996

3,02 0,9987 0,0013 0,9975 3,52 0,9998 0,0002 0,9996

3,03 0,9988 0,0012 0,9976 3,53 0,9998 0,0002 0,9996

3,04 0,9988 0,0012 0,9976 3,54 0,9998 0,0002 0,9996

3,05 0,9989 0,0011 0,9977 3,55 0,9998 0,0002 0,9996

3,06 0,9989 0,0011 0,9978 3,56 0,9998 0,0002 0,9996

3,07 0,9989 0,0011 0,9979 3,57 0,9998 0,0002 0,9996

3,08 0,9990 0,0010 0,9979 3,58 0,9998 0,0002 0,9997

3,09 0,9990 0,0010 0,9980 3,59 0,9998 0,0002 0,9997

3,10 0,9990 0,0010 0,9981 3,60 0,9998 0,0002 0,9997

3,11 0,9991 0,0009 0,9981 3,61 0,9998 0,0002 0,9997

3,12 0,9991 0,0009 0,9982 3,62 0,9999 0,0001 0,9997

3,13 0,9991 0,0009 0,9983 3,63 0,9999 0,0001 0,9997

3,14 0,9992 0,0008 0,9983 3,64 0,9999 0,0001 0,9997

3,15 0,9992 0,0008 0,9984 3,65 0,9999 0,0001 0,9997

3,16 0,9992 0,0008 0,9984 3,66 0,9999 0,0001 0,9997

3,17 0,9992 0,0008 0,9985 3,67 0,9999 0,0001 0,9998

3,18 0,9993 0,0007 0,9985 3,68 0,9999 0,0001 0,9998

3,19 0,9993 0,0007 0,9986 3,69 0,9999 0,0001 0,9998

3,20 0,9993 0,0007 0,9986 3,70 0,9999 0,0001 0,9998

3,21 0,9993 0,0007 0,9987 3,71 0,9999 0,0001 0,9998

3,22 0,9994 0,0006 0,9987 3,72 0,9999 0,0001 0,9998

3,23 0,9994 0,0006 0,9988 3,73 0,9999 0,0001 0,9998

3,24 0,9994 0,0006 0,9988 3,74 0,9999 0,0001 0,9998

3,25 0,9994 0,0006 0,9988 3,75 0,9999 0,0001 0,9998

3,26 0,9994 0,0006 0,9989 3,76 0,9999 0,0001 0,9998

3,27 0,9995 0,0005 0,9989 3,77 0,9999 0,0001 0,9998

3,28 0,9995 0,0005 0,9990 3,78 0,9999 0,0001 0,9998

3,29 0,9995 0,0005 0,9990 3,79 0,9999 0,0001 0,9998

3,30 0,9995 0,0005 0,9990 3,80 0,9999 0,0001 0,9999

3,31 0,9995 0,0005 0,9991 3,81 0,9999 0,0001 0,9999

3,32 0,9995 0,0005 0,9991 3,82 0,9999 0,0001 0,9999

3,33 0,9996 0,0004 0,9991 3,83 0,9999 0,0001 0,9999

3,34 0,9996 0,0004 0,9992 3,84 0,9999 0,0001 0,9999

3,35 0,9996 0,0004 0,9992 3,85 0,9999 0,0001 0,9999

3,36 0,9996 0,0004 0,9992 3,86 0,9999 0,0001 0,9999

3,37 0,9996 0,0004 0,9992 3,87 0,9999 0,0001 0,9999

3,38 0,9996 0,0004 0,9993 3,88 0,9999 0,0001 0,9999

3,39 0,9997 0,0003 0,9993 3,89 0,9999 0,0001 0,9999

3,40 0,9997 0,0003 0,9993 3,90 1,0000 0,0000 0,9999

3,41 0,9997 0,0003 0,9994 3,91 1,0000 0,0000 0,9999

3,42 0,9997 0,0003 0,9994 3,92 1,0000 0,0000 0,9999

3,43 0,9997 0,0003 0,9994 3,93 1,0000 0,0000 0,9999

3,44 0,9997 0,0003 0,9994 3,94 1,0000 0,0000 0,9999

3,45 0,9997 0,0003 0,9994 3,95 1,0000 0,0000 0,9999

3,46 0,9997 0,0003 0,9995 3,96 1,0000 0,0000 0,9999

3,47 0,9997 0,0003 0,9995 3,97 1,0000 0,0000 0,9999

3,48 0,9997 0,0003 0,9995 3,98 1,0000 0,0000 0,9999

3,49 0,9998 0,0002 0,9995 3,99 1,0000 0,0000 0,9999

3,50 0,9998 0,0002 0,9995 4,00 1,0000 0,0000 0,9999


32

Tabla 2.3: Valores de “z” en función del área

Area A la izquierda Central Area A la izquierda Central

0,001 -3,090 0,001 0,510 0,025 0,690

0,005 -2,576 0,006 0,520 0,050 0,706

0,010 -2,326 0,013 0,530 0,075 0,722

0,020 -2,054 0,025 0,540 0,100 0,739

0,025 -1,960 0,031 0,550 0,126 0,755

0,030 -1,881 0,038 0,560 0,151 0,772

0,040 -1,751 0,050 0,570 0,176 0,789

0,050 -1,645 0,063 0,580 0,202 0,806

0,060 -1,555 0,075 0,590 0,228 0,824

0,070 -1,476 0,088 0,600 0,253 0,842

0,080 -1,405 0,100 0,610 0,279 0,860

0,090 -1,341 0,113 0,620 0,305 0,878

0,100 -1,282 0,126 0,630 0,332 0,896

0,110 -1,227 0,138 0,640 0,358 0,915

0,120 -1,175 0,151 0,650 0,385 0,935

0,130 -1,126 0,164 0,660 0,412 0,954

0,140 -1,080 0,176 0,670 0,440 0,974

0,150 -1,036 0,189 0,680 0,468 0,994

0,160 -0,994 0,202 0,690 0,496 1,015

0,170 -0,954 0,215 0,700 0,524 1,036

0,180 -0,915 0,228 0,710 0,553 1,058

0,190 -0,878 0,240 0,720 0,583 1,080

0,200 -0,842 0,253 0,730 0,613 1,103

0,210 -0,806 0,266 0,740 0,643 1,126

0,220 -0,772 0,279 0,750 0,674 1,150

0,230 -0,739 0,292 0,760 0,706 1,175

0,240 -0,706 0,305 0,770 0,739 1,200

0,250 -0,674 0,319 0,780 0,772 1,227

0,260 -0,643 0,332 0,790 0,806 1,254

0,270 -0,613 0,345 0,800 0,842 1,282

0,280 -0,583 0,358 0,810 0,878 1,311

0,290 -0,553 0,372 0,820 0,915 1,341

0,300 -0,524 0,385 0,830 0,954 1,372

0,310 -0,496 0,399 0,840 0,994 1,405

0,320 -0,468 0,412 0,850 1,036 1,440

0,330 -0,440 0,426 0,860 1,080 1,476

0,340 -0,412 0,440 0,870 1,126 1,514

0,350 -0,385 0,454 0,880 1,175 1,555

0,360 -0,358 0,468 0,890 1,227 1,598

0,370 -0,332 0,482 0,900 1,282 1,645

0,380 -0,305 0,496 0,910 1,341 1,695

0,390 -0,279 0,510 0,920 1,405 1,751

0,400 -0,253 0,524 0,930 1,476 1,812

0,410 -0,228 0,539 0,940 1,555 1,881

0,420 -0,202 0,553 0,950 1,645 1,960

0,430 -0,176 0,568 0,960 1,751 2,054

0,440 -0,151 0,583 0,970 1,881 2,170

0,450 -0,126 0,598 0,975 1,960 2,241

0,460 -0,100 0,613 0,980 2,054 2,326

0,470 -0,075 0,628 0,990 2,326 2,576

0,480 -0,050 0,643 0,995 2,576 2,807

0,490 -0,025 0,659 0,999 3,090 3,290

0,500 0,000 0,674 1,000

distribucion normal.arvelo

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