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8/16/2019 distribucion normal2.pptx

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• Histogramas y distribuciones• Límite de una distribución• La distribución normal• Límite de confidencia.

Distribución Normal


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HISTOGR!S " DISTRI#$%ION&S

Veamos un ejemplo

Medimos la distancia

imagen de un objetousando una lente

convergente

L 'cm( )* )+ )* ), )- )+ ) )+ )* )

No tenemos mucha información con los datos medidos en

esta tabla, ordenamos los datos

L 'cm( )- )+ )+ )+ ) ) )* )* )* ),

L 'cm( )- )+ ) )* )/ ),

Nro de veces 1 3 2 3 0 1

T#L 0


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Notación

, denotamos los diferentes valores encontrados

,

, denotamos el nmero de veces !ue se repiten los valores

hallados

,

=N


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"n ve# de decir !ue el resultado $ % 2& se obtuvo en tres

ocasiones, podemos decir !ue $ % 2& se obtuvo en 3'10 de

todas nuestras mediciones(

"n otras palabras, en lugar de utili#ar , el nmero de veces !ueocurrió el resultado, se introduce la fracción

)a media es entonces

Normali1ado


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La distribución de lasmediciones se 2uedenmostrar gr3ficamente enun 4istograma

Histograma de barras

23 2& 2* 2+ 2 2-0(00

0(0*

0(10

0(1*

0(20

0(2*

0(30

5 6

76

8eamos otro e9em2lo

)*:+ )-:; ):0 )+:* )):/ )-:, ):0 )-:; ):- ):+

Se reali1an las siguientes medidas en cm

$n 4istograma de barras de estos 0< =alores constaría de0< barras se2aradas: todas de la misma altura: ytendríamos 2oca información.


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Las medidas en inter=alos

22 23 2& 2* 2+ 2 2-0(00

0(0*

0(10

0(1*

0(20

0(2*

0(30

0(3*

0(&0

5 6

76

% fracción de la medida del en.simo / intervalo

NOT>

Hay ?ue elegir elinter=alo adecuado2ara tener una buenainformación de los4istogramas de

barras


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L@!IT& D& $N DISTRI#$%IAN

i reali#ramos ms medidas como cambia nuestra histograma

• Se a reducido el intervalo a lamitad

• El histograma se ha vuelto mássuave y regular

odemos observar !ue si las mediciones aumentaran 4 si su

distribución se apro$ima a una curva continua definida( 5uandoesto sucede, la curva continua se llama L DISTRI#$%IANL@!IT&

"$perimentalmente nuestras mediciones no pueden ser

infinitas, pero mientras ms mediciones hagamos nuestrohistograma se apro$imar a la función l6mite(


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• La distribución límite es una construcción teórica ?ue no 2uede sermedido con e7actitud

• Hay ra1ones 2ara creer ?ue cada medida tiene una distribución límite amedida ?ue 4agamos mas mediciones en un e72erimento.


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7istribuciones l6mites, una de alta 4 la otra de baja precisión


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Como

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL O DEGAUSS

• )os diferentes tipos de mediciones tienen diferentes

distribuciones limitantes(

• No todas las distribuciones limitantes tienen la forma

de campana sim.trica( "jemplo la distribución binomial

4 la de oisson por lo general no son sim.tricas


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• i nuestras mediciones tienen errores sistemticos

apreciables, no podemos esperar !ue la distribución l6mite

!ue se centra en el valor verdadero(

• )os errores aleatorios son igualmente propensos aempujar nuestras lecturas por encima o por debajo del

valor real(

• i todos los errores son aleatorios, despu.s de muchas

mediciones el nmero de observaciones por encima delvalor real ser el mismo !ue por debajo de ella, 4 por lo

tanto nuestra distribución de los resultados se centra en el

valor verdadero(

• in embargo, un error sistemtico 8tal como la causada poruna cinta m.trica !ue se estira o un reloj !ue funciona

lento9 empuja todos los valores en una dirección 4 por lo

empuja la distribución de los valores observados fuera del

centro a partir del valor verdadero


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• :hora vamos a suponer !ue la distribución se centra en el

valor verdadero( "sto es e!uivalente a suponer !ue todos los

errores sistemticos se han reducido a un nivel

insignificante(• B%u3l es el C=erdadero =alorC de una magnitud física

• "sta pregunta es una pregunta dif6cil !ue no tiene,

simple respuesta satisfactoria( 7ebido a !ue ninguna

medida se puede determinar con e$actitud el verdaderovalor de cual!uier variable continua 8longitud, tiempo,

etc9, si e$iste el verdadero valor de una magnitud tal, no

es an clara( in embargo, vamos a suponer !ue cada

magnitud f6sica tiene un valor real(


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• odemos pensar en el verdadero valor de una magnitud

como el valor al !ue uno se acerca ms 4 ms cuando se

reali#an un gran nmero de mediciones con mucho cuidado

• 5omo tal, el valor real es una ideali#ación similar al punto

matemtico 8sin ancho9(• ;ndicaremos los verdaderos valores de las mediciónes $,

4, (((, por sus correspondientes letras ma4sculas os errores

aleatorios, pero los errores sistemticos insignificantes, su

distribución ser una curva en forma de campana sim.trica

centrada en el verdadero valor


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)a función de ?auss tiene forma de campana 4 centrada en

$ % @( )a curva de la campana es amplia si es grande 4

estrecha si es pe!ue>o( )a función matemtica !ue describe la curva en forma de

campana se llama distribución normal, o la función de

?auss 4 esA

Si la función centrada en 7EF entonces>


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Ba4 !ue normali#ar esta

función


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)a integral !ue !ueda es mu4 conocida en f6sica

"ntonces

or lo tanto la Cunción de ?auss o función de distribución es

?auss esA

ropiedades

• Tiene un máximo en x=X• Es simétrica alrededor de X• Tiende a cero rápidamente si


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8LOR !&DIO " D&S8I%IAN &STNDR

:l reali#ar un gran nmero de medidas de una variable

aleatoria !ue tiene una distribución de ?auss, D!u. valores

ha4 !ue esperar de el valor medio 4 la desviación estandar

8LOR !&DIO


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(


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D&S8I%IAN &STNDR

Esar integrales por partes 4 demostrar !ueA


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B%u3l es la 2robabilidad de ?ue una medida estcom2rendida dentro de una des=iación est3ndar

B%u3l es la 2robabilidad de ?ue una medida estcom2rendida entre a y b


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Haciendo:

)6mites de integración


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B%u3l es la 2robabilidad de ?ue una medida estcom2rendida dentro de t des=iación est3ndar


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• )a integral anterior es una integral estndar de la f6sica

matemtica, 4 !ue a menudo se llama función error,

denotado por erf8t9(

• No puede evaluarse anal6ticamente, ver apendices del Fa4lor


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• )a probabilidad de !ue una medida caiga dentro de una

desviación estandar es del +-G


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Ena alternativa a la desviación estandar es la desviación

llamada "HH@H H@I:I)" 8"9 en la cual una medida

tiene un *0G de estar entre

:lgunos e$perimentadores les gusta citar el " como la

incertidumbre en sus mediciones( No obstante, la desviaciónestndar es la opción ms popular, 4a !ue sus propiedades

son tan simples


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$STI5I%%IAN D& L !&DI %O!O !&OR 8LOR

e reali#an N medidas en una e$periencia teniendoA

Jueremos obtener el mejor valor X 4 su desviación estandar

i las medidas siguen la distribución normal 4

conoci.ramos X 4 podr6amos calcular la probabilidad deobtener

or lo tanto la probabilidad de obtener en un pe!ue>o

intervalo


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odemos escribir

)a probabilidad de obtener

)a probabilidad de obtener


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:plicando el principio de m$ima verosimilitud

&l me9or =alor de se da cuando

$tili1ando este 2rinci2io: 2odemos encontrar f3cilmente

la me9or estimación 2ara el =erdadero =alor F.Ob=iamente la es m37ima si la suma en el e72onente esmínimo.

7iferenciamos respecto a <

e igualando a cero


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=

"ncontrar el mejor valor de Ba4 !ue seguir el procedimiento

anterior derivando respecto a .

"n la e$presión anterior X no es conocido, reempla#ando su

valor encontrado tenemosA

De!ida i!i"ia#me!te e! "#ase a!terior$

# d i i ) d

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