Estadstica y Probabilidad II

Distribucin NormalCiclo escolar 2014-2015

Distribucin Normal Es una distribucin de probabilidad de variable aleatoria continua,

propuesta por Abraham de Moivre en 1733. Tambin recibe el nombre de Distribucin de Gauss o Distribucin Gaussiana.

La importancia de esta distribucin radica en que permite modelar numerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal son: caracteres morfolgicos de individuos como la estatura; caracteres fisiolgicos como el efecto de un frmaco; caracteres sociolgicos como el consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos; caracteres psicolgicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc.

Incluso otras distribuciones de probabilidad (sean continuas o discretas) que conllevan una gran cantidad de datos tienen una gran semejanza a la Distribucin Normal.

Distribucin Normal

=1

2

2

22

Donde

: es la media aritmtica de los datos

: es la desviacin estndar o tpica de los datos

Distribucin Normal La funcin de densidad , es la expresin en trminos de la ecuacin

matemtica llamada Curva de Gauss o Campana de Gauss.

() =1

2 2

22

Propiedades Es simtrica respecto a la media Tiene un mximo en la media Crece hasta la media y decrece

a partir de ella. En los puntos y +

presenta puntos de inflexin. El eje de las abscisas es una

asntota de la curva. Si es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con media y

desviacin tpica , se puede transformar en una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con media 0 y desviacin tpica 1 (llamada Distribucin Normal Estndar) mediante el cambio de variable siguiente:

=

(Veremos muchos ejemplos mas adelante)

Ejemplos de Problemas de Distribucin Normal (los resolveremos despus)

En una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media 23 y desviacin tpica 5. Calcular el nmero de das del mes en los que se espera alcanzar mximas entre 21 y 27.

En una ciudad una de cada tres familias posee telfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan telfono. (Se trata en realidad de un problema de distribucin binomial con = 90, = 1/3 y 30. Pero como es muy grande, se vuelve imprctico realizar este problema usando la formula binomial, por eso se usa una aproximacin usando la distribucin normal)

Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 15 Determinar el porcentaje de poblacin que obtendra un coeficiente entre 95

y 110 En una poblacin de 2500 individuos cuntos individuos se esperan que

tengan un coeficiente superior a 125?

Distribucin Normal Estndar

La funcin de Distribucin Normal Estndar es una funcin de Distribucin Normal con media 0 y desviacin tpica 1.

Por la ltima propiedad mencionada hace dos diapositivas, cualquier problema de Distribucin Normal se puede transformar en un problema de Distribucin Normal Estndar, por lo que resulta til (adems de muy practico) aprender a resolver primero los problemas que son de Distribucin Normal Estndar, empezando por aprender a usar las tablas de Distribucin Normal Estndar.

Tablas de Distribucin Normal Estndar

Existen distintos tipos de Tablas de Distribucin Normal Estndar, y cada una de ellas se utiliza de forma distinta. Aqu aprenderemos a usar el que se encuentra en la esquina superior izquierda, pero lo mas recomendable es aprender a identificar cada una de ellas y entender como se ocupan para cualquier situacin que se presente.

Tablas de Distribucin Normal Estndar

Comnmente cada Tabla de Distribucin Normal Estndar esta representada por un icono que nos ayuda a interpretar los valores que tiene la tabla.

0 0

< 0 (0 0)

< 0 (0 0)

Uso de la Tabla de Distribucin Normal Estndar (Actividad 1)

Calcule las siguientes probabilidades usando la Tabla de Distribucin Normal Estndar

0 1.22 =

0.25 1.15 =

0.46 1.78 =

0.22 1.83 =

0.22 1.12 =

1.13 0 =

2.20 0.94 =

1.38 0.44 =

0.22 1.12 =

0.37 0.97 =

Uso de la Tabla de Distribucin Normal Estndar (Actividad 2)

Calcule las siguientes probabilidades usando la Tabla de Distribucin Normal Estndar

0 0.33 =

< 0.39 =

2.13 3 =

0.83 2.11 =

< 1.12 =

2.15 0.26 =

0.11 0 =

0.35 < =

2.27 1.11 =

0.18 < =

Distribucin Normal no Estndar (Formula de Tipificacin)

Suponga que es una Variable Aleatoria que sigue una distribucin normal con media = 8 y desviacin tpica = 3, calcule las siguientes probabilidades

o 6 11 =

o 9.5 =

o ( 9) =

XZ

Formula de Tipificacin

Si X es una variable Aleatoria que sigue un distribucin estndar con las caractersticas que se mencionan, calcule los siguientes valores

= 1.25, = 0.22

o 1 1.5 =

o 1.3 2 =

o 1.2 =

o 1.1 =

= 2533, = 837

o 100 3000 =

o 2000 3500 =

o 3000 =

o 2700 =

Problemas de Distribucin Normal que involucran Valores Discretos

La distribucin normal es una distribucin de variable aleatoria continua, por lo que los smbolos < y son similares e indistinguibles.

Pero cuando se trabaja con variables aleatorias discretas no es as. Por lo que conviene que en el intervalo de nuestro problema a la cota inferior de nuestra variable aleatoria se le disminuya en la mitad del intervalo mas pequeo que se pueda tomar, y a la cota superior se le aumente en esa misma cantidad tambin. Si algunas de las cotas es + o esto es irrelevante.

Lo mismo ocurre cuando mencionamos la precisin de un instrumento de medicin tomando en cuenta la unidad mas pequea que se puede medir.

Ejemplo

En una clase de matemticas hay 32 alumnos, y el promedio de sus calificaciones es de 7.3 con una desviacin tpica de 1.a) Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificacin de 7.0?b) Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificacin de 7.1?c) Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificacin de 7.2?d) Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificacin de 7.3?e) Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificacin entre 7.0 y 7.3 inclusive?f) Cuntos alumnos tienen una calificacin entre 7.0 y 7.3

inclusive?

Problemas de Distribucin Normal que involucran Valores Discretos

Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 15 Determinar el porcentaje de poblacin que obtendra un

coeficiente entre 95 y 110 Aqu nos pide calcular la probabilidad de que 95 110. Como la

medida mas pequea para el test de coeficiente es un entero, reducimos en 0.5 la cota inferior y aumentamos en 0.5 la cota superior para obtener 94.5 110.5 .

En una poblacin de 2500 individuos cuntos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 125?

En una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media 23y desviacin tpica 5. Calcular el nmero de das del mes en los que se espera alcanzar mximas entre 21 y 27.

Actividad

Entre las ciudades de Estados Unidos con una poblacin de 250 000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 min. El tiempo de viaje ms largo pertenece a New York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribucin de los tiempos de viaje en la ciudad de New York, tiene una distribucin de probabilidad normal y la desviacin estndar es de 7.5 minutos.a) Qu porcentaje de viajes en la ciudad de New York

consumen menos de 30 minutos?b) Qu porcentaje de viaje consumen entre 30 y 35 minutos?c) Qu porcentaje de viaje consumen entre 30 y 40 minutos?d) Qu porcentaje de viaje consumen ms de 40 minutos?

Actividad Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para

contratacin laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga ms de 8 puntos.b) Determine la proporcin de aspirantes con calificaciones inferiores a 5

puntos.c) Cuntos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y

7.5?

Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observ que se distribuan normalmente con media 100 y desviacin tpica 20.a) Calcule la probabilidad de que una determinacin sea inferior a 94.b) Qu proporcin de determinaciones tienen valores comprendidos

entre 105 y 130?.c) Cuntas determinaciones fueron superiores a 138?.

Los 460 alumnos de un centro tienen 156 cm. de estatura media con una varianza de 8.1 cm.a) Determine el porcentaje de alumnos que miden ms de 160 cm.b) Cuntos alumnos miden entre 140 y 150 cm.?