Download - Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
1/29
ESTADSTICA APLICADA IDISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL
MARA BAZN GUZMNMaestra en Estadstica Aplicada
Doctorando en Estadstica Matemtica
mailto:[email protected]:[email protected] -
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
2/29
DISTRIBUCIN NORMAL
Es una distribucin de probabilidad especial para variables aleatoriascontinuas y posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:
Tiene una nica moda, que coincide con su media y su mediana.
Es simtrica con respecto a su media; segn esto, para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 5! de observar un dato mayor
y menor que la media. "uc#as mediciones de diversos procesos se a$ustan a esta distribucin
%e utili&a para a$ustar variables que tienen otros tipo de distribucin
como 'inomial, (oisson, T)%tudent, *#i)*uadrado, +)+is#er, etc.
as estad-sticas muestrales como la media y la proporcin tienen
distribuciones que se a$ustan a es tipo de distribucin cuando el
tamao de muestra es grande, inclusive de aquellas que no tiene
distribucin normal.
2
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
3/29
DISTRIBUCIN NORMAL
FUNCIN DE DENSIDADa /uncin de densidad de probabilidad esta dada por:
3
= = =
01 x
0 0
0
1/23 x4 2 , 4 e 3
0
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
4/29
DISTRIBUCIN NORMAL
FUNCIN DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADa /uncin de distribucin de probabilidad de la ormal, se puede
interpretar tambin como la distribucin acumulada de probabilidad de una
variable 3 que se distribuye como una normal y est6 dada por:
4
a Media y la Varianza de una variable con 7istribucin ormal est6nde/inidas de la siguiente /orma:
= =
01 tx
0
0
1
+2x4 (83 x9 e dt0
= =
0E234 y 234
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
5/29
DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR
#ora bien, en vista que para cadavariable aleatoria se tiene una
combinacin di/erente de y que
generan una distribucin di/erente.
El c6lculo de las probabilidades se
basa en la distribucin normalest6ndar 2,14 , esto es:
< y
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
6/29
EJEMPLO 1
El tiempo necesario para terminar el examen parcial de un determinadocurso se distribuye normalmente con un tiempo promedio de = minutos y
una desviacin absoluta de 1 minutos.
a4 >*u6l es la probabilidad de que un alumno termine el examen en m6s
de ? minutos pero en menos de @ minutosA
b4 %uponga que en el grupo #ay ? alumnos y que el tiempo del examen
es de B minutos. >*u6ntos alumnos se debe esperar que no puedanterminar el examen en el tiempo indicadoA
Solucin a!
%ea" # $El %ie&'o nece(ario 'ara %er&inar el e)a&en 'arcial*Esto es, 3 2=, 104, < = y < 1.
uego:
6
(2? 3 @4 ,1C5B< =
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
7/29
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
8/29
P(60 < X < 70 ! 0"#35$
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
9/29
EJEMPLO 1
El tiempo necesario para terminar el examen parcial de un determinadocurso se distribuye normalmente con un tiempo promedio de = minutos y
una desviacin absoluta de 1 minutos.
a4 >*u6l es la probabilidad de que un alumno termine el examen en m6s
de ? minutos pero en menos de @ minutosA
b4 %uponga que en el grupo #ay ? alumnos y que el tiempo del examen
es de B minutos. >*u6ntos alumnos se debe esperar que no puedanterminar el examen en el tiempo indicadoA
Solucin +!
%ea" # $El %ie&'o nece(ario 'ara %er&inar el e)a&en 'arcial*Esto es, 3 2=, 104, < = y < 1.
uego:
$
(23 B4 ,=D1C=
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
10/29
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
11/29
P(X < $0 ! 0"%4#3
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
12/29
EJEMPLO 1
El tiempo necesario para terminar el examen parcial de un determinado curso
se distribuye normalmente con un tiempo promedio de = minutos y una
desviacin absoluta de 1 minutos.
a4 >*u6l es la probabilidad de que un alumno termine el examen en m6s de
? minutos pero en menos de @ minutosA
b4 %uponga que en el grupo #ay ? alumnos y que el tiempo del examen es
de B minutos. >*u6ntos alumnos se debe esperar que no puedanterminar el examen en el tiempo indicadoA
Solucin +!
%i V representa a los alumnos que acaban a tiempo el examen, entonces la
proporcin de alumnos que acaban a tiempo es: P," - ./ # /01234.Esto signi/ica que: V # 5/ ,/01234 # 6/0271 6/ alumnos acaban a tiempo.
Por %an%o0 (e e('era 8ue no aca+en a %ie&'o 3/ alu&no(9
#2
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
13/29
DISTRIBUCIONES ESPECIALES
(or lo general, cuando las muestras son grandes, la distribucin de
probabilidad m6s usada es la distribucin normal. %in embargo, cuando
las muestras son pequeas la distribucin de probabilidad di/iere de caso
en caso, y muc#as veces no son normales.
Existen tres distribuciones de probabilidad que a menudo son usadas:
7istribucin *#i)*uadrado,
7istribucin + de +is#er 2o %nedecor4 y
7istribucin T)%tudent.
#3
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
14/29
DISTRIBUCIN CHI-CUADRADO
%i 31, ..., 3n son n variables aleatorias independientes con distribucin
normal est6ndar, 3i N,/939 En%once( la :aria+le alea%oria
#4
Es decir, tiene una 7istribucin *#i)*uadrado con n grados de libertad,
cuyo par6metro 7epende del nF de v.a que se suman.
Esto es:
%i la /uncin de densidad de est6 dada por:
0 0
1 n 3 ... 3
0n
10 00
n n
0
e/24
0 n 0
=
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
15/29
DISTRIBUCIN CHI-CUADRADO
#5
El valor esperado y la varian&a de esta nueva variable est6n dados por:
E24
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
16/29
EJEMPLO 2
%i 3 es una variable que se distribuye como una distribucin *#i)
*uadrado de 10 grados de libertad. Entonces se pide #allar los valores de
a y b, tales que (2a G 3 G b4 < ,B y (23 G a4 < ,5.
Solucin.-
%i 3 luego sabiendo que:
#6
0
2104
(2a 3 b4 < ,B
(23 b4 ) (23 a4 < ,B
*omo: (23 a4 < ,5
(23 b4 ) ,5 < ,B
(23 b4 < ,B5
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
17/29
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
18/29
& ! 5"226
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
19/29
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
20/29
' ! 2#"03
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
21/29
DISTRIBUCIN T-STUDENT%i 3 es una variable con distribucin normal est6ndar
y ambas estad-sticamente independientes
2#
Es decir, tiene una 7istribucin T)%tudent con n grados de libertad 2n de
la del denominador4, esto es,
t2n4.
7e/inimos a la v.a como la siguiente trans/ormacin de 3 e :
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
22/29
DISTRIBUCIN T-STUDENT
22
a /uncin de densidad est6 dada por :
a /uncin de densidad tiene la siguiente /orma:
n 1
00
n 1 01 1/24 1
n 0 nn
=
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
23/29
DISTRIBUCIN T-STUDENT
23
El valor esperado y la varian&a de esta variable est6n dados por:
*omo la normal est6ndar es simtrica respecto a su media cero, a medida que
aumentan los grados de libertad, m6s se aproxima a la normal est6ndar
5.02.50.0-2.5-5.0
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
D!"#$%
D#"$)#*+$#,! P-,$
T
nE24 , n 1 24 , n 0
n 0= > = >
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
24/29
EJEMPLO 3
24
%i 3 es una variable que tiene distribucin t de %tudent con una varian&a
5HD. *alcule: (2)1,=10 3 0,00=4
Solucin
s- 3 t214y por tanto: (2)1,=10 3 0,00=4 < ,B05
n 5%e sabe que : 234
n 0 D= =
,uego : Dn 52n 04
Entonces : n 1
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
25/29
(
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
26/29
P(#"%#2 < X < 2"22% ! 0"$250
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
27/29
DISTRIBUCIN DE ISHER%i 31, ..., 3n son variables aleatorias con distribucin normal est6ndar; y
adem6s se tiene que 1, ..., mson variables aleatorias que tambin tienendistribucin normal est6ndar, se puede a/irmar que:
27
Es decir, I tiene una 7istribucin + con n y m grados de libertad. Esto es:I +2n; m4
a /uncin de densidad de I est6 dada por:
00 0n1 n
0 0 0
1 m m
n23 ... 3 4 nI
2 ... 4 m m
= =
m m n
m0 010n m 0 m m/2I4 I 1 I , I
n 0 m 0 n n
=
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
28/29
DISTRIBUCIN DE ISHER
a gra/ica de la /uncin de densidad tiene la siguiente /orma:
2%
El valor esperado y la varian&a de esta variable est6n dados por:0
0
n 0n 2n m 04E2I4 , n 0 2I4 , n D
n 0 m2n 04 2n D4
= > = >
-
7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1
29/29
) ! 3"6%7