distribucion chi cuadrada, t y fisher 2016-1

7/26/2019 Distribucion Chi Cuadrada, t y Fisher 2016-1

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ESTADSTICA APLICADA IDISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL

MARA BAZN GUZMNMaestra en Estadstica Aplicada

Doctorando en Estadstica Matemtica

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mailto:[email protected]:[email protected]


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DISTRIBUCIN NORMAL

Es una distribucin de probabilidad especial para variables aleatoriascontinuas y posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

Tiene una nica moda, que coincide con su media y su mediana.

Es simtrica con respecto a su media; segn esto, para este tipo de

variables existe una probabilidad de un 5! de observar un dato mayor

y menor que la media. "uc#as mediciones de diversos procesos se a$ustan a esta distribucin

%e utili&a para a$ustar variables que tienen otros tipo de distribucin

como 'inomial, (oisson, T)%tudent, *#i)*uadrado, +)+is#er, etc.

as estad-sticas muestrales como la media y la proporcin tienen

distribuciones que se a$ustan a es tipo de distribucin cuando el

tamao de muestra es grande, inclusive de aquellas que no tiene

distribucin normal.

2


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DISTRIBUCIN NORMAL

FUNCIN DE DENSIDADa /uncin de densidad de probabilidad esta dada por:

3

= = =

01 x

0 0

0

1/23 x4 2 , 4 e 3

0


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DISTRIBUCIN NORMAL

FUNCIN DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADa /uncin de distribucin de probabilidad de la ormal, se puede

interpretar tambin como la distribucin acumulada de probabilidad de una

variable 3 que se distribuye como una normal y est6 dada por:

4

a Media y la Varianza de una variable con 7istribucin ormal est6nde/inidas de la siguiente /orma:

= =

01 tx

0

0

1

+2x4 (83 x9 e dt0

= =

0E234 y 234


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DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

#ora bien, en vista que para cadavariable aleatoria se tiene una

combinacin di/erente de y que

generan una distribucin di/erente.

El c6lculo de las probabilidades se

basa en la distribucin normalest6ndar 2,14 , esto es:

< y


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EJEMPLO 1

El tiempo necesario para terminar el examen parcial de un determinadocurso se distribuye normalmente con un tiempo promedio de = minutos y

una desviacin absoluta de 1 minutos.

a4 >*u6l es la probabilidad de que un alumno termine el examen en m6s

de ? minutos pero en menos de @ minutosA

b4 %uponga que en el grupo #ay ? alumnos y que el tiempo del examen

es de B minutos. >*u6ntos alumnos se debe esperar que no puedanterminar el examen en el tiempo indicadoA

Solucin a!

%ea" # $El %ie&'o nece(ario 'ara %er&inar el e)a&en 'arcial*Esto es, 3 2=, 104, < = y < 1.

uego:

6

(2? 3 @4 ,1C5B< =


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P(60 < X < 70 ! 0"#35$


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EJEMPLO 1

El tiempo necesario para terminar el examen parcial de un determinadocurso se distribuye normalmente con un tiempo promedio de = minutos y

una desviacin absoluta de 1 minutos.

a4 >*u6l es la probabilidad de que un alumno termine el examen en m6s

de ? minutos pero en menos de @ minutosA

b4 %uponga que en el grupo #ay ? alumnos y que el tiempo del examen

es de B minutos. >*u6ntos alumnos se debe esperar que no puedanterminar el examen en el tiempo indicadoA

Solucin +!

%ea" # $El %ie&'o nece(ario 'ara %er&inar el e)a&en 'arcial*Esto es, 3 2=, 104, < = y < 1.

uego:

$

(23 B4 ,=D1C=


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11/29

P(X < $0 ! 0"%4#3


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EJEMPLO 1

El tiempo necesario para terminar el examen parcial de un determinado curso

se distribuye normalmente con un tiempo promedio de = minutos y una

desviacin absoluta de 1 minutos.

a4 >*u6l es la probabilidad de que un alumno termine el examen en m6s de

? minutos pero en menos de @ minutosA

b4 %uponga que en el grupo #ay ? alumnos y que el tiempo del examen es

de B minutos. >*u6ntos alumnos se debe esperar que no puedanterminar el examen en el tiempo indicadoA

Solucin +!

%i V representa a los alumnos que acaban a tiempo el examen, entonces la

proporcin de alumnos que acaban a tiempo es: P," - ./ # /01234.Esto signi/ica que: V # 5/ ,/01234 # 6/0271 6/ alumnos acaban a tiempo.

Por %an%o0 (e e('era 8ue no aca+en a %ie&'o 3/ alu&no(9

#2


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DISTRIBUCIONES ESPECIALES

(or lo general, cuando las muestras son grandes, la distribucin de

probabilidad m6s usada es la distribucin normal. %in embargo, cuando

las muestras son pequeas la distribucin de probabilidad di/iere de caso

en caso, y muc#as veces no son normales.

Existen tres distribuciones de probabilidad que a menudo son usadas:

7istribucin *#i)*uadrado,

7istribucin + de +is#er 2o %nedecor4 y

7istribucin T)%tudent.

#3


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DISTRIBUCIN CHI-CUADRADO

%i 31, ..., 3n son n variables aleatorias independientes con distribucin

normal est6ndar, 3i N,/939 En%once( la :aria+le alea%oria

#4

Es decir, tiene una 7istribucin *#i)*uadrado con n grados de libertad,

cuyo par6metro 7epende del nF de v.a que se suman.

Esto es:

%i la /uncin de densidad de est6 dada por:

0 0

1 n 3 ... 3

0n

10 00

n n

0

e/24

0 n 0

=


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DISTRIBUCIN CHI-CUADRADO

#5

El valor esperado y la varian&a de esta nueva variable est6n dados por:

E24


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EJEMPLO 2

%i 3 es una variable que se distribuye como una distribucin *#i)

*uadrado de 10 grados de libertad. Entonces se pide #allar los valores de

a y b, tales que (2a G 3 G b4 < ,B y (23 G a4 < ,5.

Solucin.-

%i 3 luego sabiendo que:

#6

0

2104

(2a 3 b4 < ,B

(23 b4 ) (23 a4 < ,B

*omo: (23 a4 < ,5

(23 b4 ) ,5 < ,B

(23 b4 < ,B5


17/29


18/29

& ! 5"226


19/29


20/29

' ! 2#"03


21/29

DISTRIBUCIN T-STUDENT%i 3 es una variable con distribucin normal est6ndar

y ambas estad-sticamente independientes

2#

Es decir, tiene una 7istribucin T)%tudent con n grados de libertad 2n de

la del denominador4, esto es,

t2n4.

7e/inimos a la v.a como la siguiente trans/ormacin de 3 e :


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DISTRIBUCIN T-STUDENT

22

a /uncin de densidad est6 dada por :

a /uncin de densidad tiene la siguiente /orma:

n 1

00

n 1 01 1/24 1

n 0 nn

=


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DISTRIBUCIN T-STUDENT

23

El valor esperado y la varian&a de esta variable est6n dados por:

*omo la normal est6ndar es simtrica respecto a su media cero, a medida que

aumentan los grados de libertad, m6s se aproxima a la normal est6ndar

5.02.50.0-2.5-5.0

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

D!"#$%

D#"$)#*+$#,! P-,$

T

nE24 , n 1 24 , n 0

n 0= > = >


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EJEMPLO 3

24

%i 3 es una variable que tiene distribucin t de %tudent con una varian&a

5HD. *alcule: (2)1,=10 3 0,00=4

Solucin

s- 3 t214y por tanto: (2)1,=10 3 0,00=4 < ,B05

n 5%e sabe que : 234

n 0 D= =

,uego : Dn 52n 04

Entonces : n 1


25/29

(


26/29

P(#"%#2 < X < 2"22% ! 0"$250


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DISTRIBUCIN DE ISHER%i 31, ..., 3n son variables aleatorias con distribucin normal est6ndar; y

adem6s se tiene que 1, ..., mson variables aleatorias que tambin tienendistribucin normal est6ndar, se puede a/irmar que:

27

Es decir, I tiene una 7istribucin + con n y m grados de libertad. Esto es:I +2n; m4

a /uncin de densidad de I est6 dada por:

00 0n1 n

0 0 0

1 m m

n23 ... 3 4 nI

2 ... 4 m m

= =

m m n

m0 010n m 0 m m/2I4 I 1 I , I

n 0 m 0 n n

=


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DISTRIBUCIN DE ISHER

a gra/ica de la /uncin de densidad tiene la siguiente /orma:

2%

El valor esperado y la varian&a de esta variable est6n dados por:0

0

n 0n 2n m 04E2I4 , n 0 2I4 , n D

n 0 m2n 04 2n D4

= > = >


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) ! 3"6%7

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