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111���ÙÙÙ XXXØØØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
111���ÙÙÙ ÊÊÊ555LLL¡¡¡–SSSÜÜÜÍÍÍÜÜÜÅÅÅ���···½½½555���PPP~~~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 cccóóó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 î.�Ie¯K�£ã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 ÏL�.²�IC��¯Kã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2.1 AÏ�.²�IC� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2.2 vk¡Üå�¯Kã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2.3 k¡Üå�¯Kã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 �kc�ó� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 ÌÌÌ���(((JJJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 ÎÒ`² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 vk¡Üå�Ì�(J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 k¡Üå�Ì�(J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 ýýý������£££ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Poissonòÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 A�©ÛØ�ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 ü�²;�ü� Stokes¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 �6u�m�¼ê�¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 ������ýýý���¯̄̄KKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 �� Stokes¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 �� A–Stokes¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 �� Poisson¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 �� A–Poisson¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 vvvkkk¡¡¡ÜÜÜååå������¹¹¹µµµ½½½nnn 2.2.1���yyy²²² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 �5z¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1.1 �6u�m� A–Stokes¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1.2 DѯK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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2.5.2 ÛÜ·½5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.3 �N·½5ÚP~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3.1 PÒڽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3.2 AÛ/ª¥�Uþ�O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.3.3 6Ä/ª¥�Uþ�O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.3.4 '�(Ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3.5 k��OÚ½n 2.2.1�y² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6 kkk¡¡¡ÜÜÜååå������¹¹¹: ½½½nnn 2.2.5���yyy²²² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6.1 �5z¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6.1.1 ý��£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.1.2 (2.6.2)�f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6.1.3 (2.6.1)�r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.2 ��5¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.2.1 ��5�O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.2.2 ØÄ:?Ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
111nnnÙÙÙ MHD Rayleigh-Taylor ØØؽ½½555¥¥¥������...^̂̂|||êêê . . . . . . . . 89
3.1 ¯̄̄KKK���JJJÑÑÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.1 î.�Ie��§| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.2 .�KF�Ie��§| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.3 �| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.4 �5z�§| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.1.5 �5ý)ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 ÌÌÌ���(((JJJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 ½½½nnn���yyy²²² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1 ½n 3.2.1�y² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.2 ½n 3.2.2�y² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.3 ½n 3.2.3�y² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.4 ½n 3.2.4�y² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
111oooÙÙÙ ������666NNN Vlasov-Boltzmann���§§§|||���***ÑÑÑ444��� . . . . . . . . 113
4.1 cccóóó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 ÌÌÌ���(((JJJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 ýýý������£££ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 ���555zzzXXXÚÚÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
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4.4.1 ���mUþ�O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2 ���mP~�O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.5 ppp��� Vlasov-Navier-Stokes-Fourier���§§§||| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 ������{{{��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.7 ***ÑÑÑXXXêêê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.8 ppp���{{{��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
ëëë���©©©zzz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
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Chinese Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
English Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Chapter I Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chapter II Well-posedness and decay of viscous surface-internal waves . . 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Formulation of the problem in Eulerian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Reformulation via a flattening coordinate transformation . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2.1 Special flattening coordinate transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2.2 Reformulation without surface tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2.3 Reformulation with surface tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Some previous works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Main theorem without surface tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Main theorem with surface tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Poisson extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Some analytic inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Two classical one-phase Stokes problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 Time-dependent functional setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Two-phase elliptic problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Two-phase Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Two-phase A–Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Two-phase Poisson problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Two-phase A–Poisson problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Case without surface tension: Proof of Theorem 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 The linearized problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1.1 The time-dependent A–Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
V
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2.5.1.2 Transport problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Local well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.3 Global well-posedness and decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3.1 Notations and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3.2 Energy evolution in the geometric form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.3.3 Energy evolution in the perturbed form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.3.4 Comparison results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3.5 A priori estimates and proof of Theorem 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6 Case with surface tension: Proof of Theorem 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6.1 The linearized problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6.1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.1.2 Weak solution of (2.6.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6.1.3 Strong solution of (2.6.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.2 The nonlinear problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.2.1 Nonlinear estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.2.2 Fixed-point argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chapter III Critical Magnetic Number in the MHD Rayleigh-Taylor in-
stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.1 Formulation in Eulerian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.2 Formulation in Lagrangian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.3 Reformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.4 Linearization around the steady state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.1.5 Normal mode ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Proof of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1 Proof of Theorem 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.2 Proof of Theorem 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.3 Proof of Theorem 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.4 Proof of Theorem 3.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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Chapter IV The Diffusive Limit of the Vlasov–Boltzmann System for Bi-
nary Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 The linearized system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.1 The uniform spatial energy estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2 The uniform time-decay estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.5 The higher-order Vlasov-Navier-Stokes-Fourier system . . . . . . . . . . . 137
4.6 The first-order remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.7 The diffusive coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.8 The higher-order remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Major Academic Achievements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
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