eindhoven university of technology master shannon
TRANSCRIPT
Eindhoven University of Technology
MASTER
Shannon strategieen voor het and-channel
van Dorsselaer, E.L.M.E.
Award date:1982
Link to publication
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
jl 0 1
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN
Afdeling der Elektrotechniek
Vakgroep Informatie- en Communicatie Theorie .
Shannon Strategieen voor
het And-Channel
door
E.L.M.E. van Dorsselaer
Afstudeerverslag over het onderzoek
gedaan in de periode april 81-mei 82
Coach
Dr.ir. A.J. Vinck'
INHOUD
VOCIRWOORD
1. HET AND-CHANNEL
1 • 1
1 .2
1 .3
1 .4
1 .5
Introductie
Inner- en outerbound; definitie capaciteitsgebied
Het afgeleide kanaal
Reductie van hat aantal strategieen
Berekening van Kn
1
2
6
9
13
2. HET AND-CHANNEL ALS BESLISSINGSPROBLEEM
2.1 Het and-channel als beslissingsprobleem
2.2 Opdelen van een vierkant.
3. MARKOV-CHAIN CODING-SCHEMAS
3.1 Inleiding
3.2 Het Hagelbarger coding-schema
3.3 Het Schalkwijk coding-schema
3.4 Verbetering Schalkwijk-schema met
Slepian-Wolf
3.5 Bernouilli sources en herhalings-strategieen
4. EEN COOING-SCHEMA MET K4 STRATEGIEEN
4.1 Introductie
4.2 Analyse schema
5. RESULTATEN
.16
21
27
28
31
34
37
41
42
53
VOORWOORO
Het bepalen van het capaciteitsgebied van het and-channel
en goede coding-strategieen hiervoor is een probleem dat
reeds 20 jaar oud is.
De cod~ng-strategie van prof.dr.ir. J.P.M. Schalkwijk
is de beste die bekend is. Omdat niet bekend is of deze
oplossing optimaal is wordt er nog steeds onderzoek
aan dit kanaal verricht.
In het kader hiervan werd in dit afstudeer onderzoek
gekeken naar de mogelijkheden die de Shannon-strategiesn
bieden in het berekenen van achievable rate-pairs van
dit kanaal.
Het blijkt dat men tot een iets andere karakterisering
van het probleem moet overgaan om tot numeriake resultaten
te kunnen komen.
Verper wordt er ingegaan op Markov-chain coding-schema's;
die ontstaan als men bepaalde sub-klassen van de
Shannon-strategiesn hanteert. Oeze methode levert de beste
resultaten Ope
1
1 •
HET AND-CHANNEL
1.1 INTRODUCTIE
Het and-channel (fig. 1.1) werd in 1961 geintroduceerd
door Shannon [1].
Het and-channel is een two-way-channel. De overdracht van
informatie geschiedt in twee richtingen. De overdracht
in de ene richting beinvloed de overdracht van informatie
in de andere richting.
X 1 E X1 ={O,1}x1 x2
zender 1 zender 2 x2 E X2 ={O,1J
={O,1}y y€Y
fig. 1.1 Het and-channel
De overgangen van het kana~l z~Jn vanwege het ontbreken
van ruis deterministisch zodat
Beide zenders willen met elkaar communiceren, hetgeen
hier betekent dat ze al dan niet simultaan moeten prober en
1 e : hun eigen bericht aan hun opponent kenbaar
maken
2e : het bericht van hun opponent foutloos
decoderen.
Hoe efficient dit kan gebeuren en op welke manier, vormt
het zwaartepunt van het onderzoek aan het and-channel •.
2
1.2,INNER- EN OUTERBOUND; DEFINITIE CAPACITEITSGEBIED
Bij het and-channel zijn twee karakteristieke gebieden
aan te geven. Hiertoe wordt uitgegaan van een verdeling
op X1 x X2 waarvoor op elk tijdstip i geldt:
Verder worden rates gedefinieerd:
R.. is de transmissiesnelheid van zender i naar zender j.~J
De tuee gebieden worden dan:
1e: G. = C.O~{(R12,R21) / P(x1 ,x 2 ) = P(x1 )·P(x2 ) }~
2e : G = c.o. {(R 12 ,R 21 ) / P(x1 ,x2) :f. p(x1)·P(x2 ) }0
Hierin staat c.o. voor de convex omhullende
Gi is het inner-bound-gebied en Go het outer-bou~d-gebied.
Deze zijn in fig 1.2 ueergegeven.
o .25 .. 5 ,75 1.~ R12
fig.1.2 inner- en outerbound van and-channel.
3
De grenzen van deze gebieden zullen we ook wei de inner bound
en outerbound noemen.
Deze bounds zijn eenvoudig te bepalen.
1e : de innerbound.
Stel p(x 1 = 1 ) = p; p(x 2 = 1) = q
Dan geldt:
R12 = q.h(p)
R21 = p.h(q)
en de convex omhullende van deze punten levert de inner
bound Ope
Als p = q dan geldt voor het punt op de bound:
R12 = R21 = max p.h(p) = 0.6169486p
voor p = 0.7035.
We merken nog op dat de functie p.h(p) niet convex is.
2e : de outerbound.
De beste waarden voor R12 , R21 treden op als
p (x 1 = 0,x 2 = 0) = O.
Als
P(x1 = 1,x2 = 0) = P1
P(x, = 0,x2 = 1) = P2
p(x 1 = 1 , x2 = 1 ) = 1 - P, - P2
dan vinden we
R12 ( 1- P1 lohCP2
p,)=
4
R21 = (1 - P2).h( P1)1 - P2
Als P1 = P2 geldt voor het punt op de bound:
R12 = R21 = max (1 - P).h( p ) = 0.69424P 1 - P
voor P = 0.618
In het meest algemene geval definieren we:
R21 = *I(M 2 ;yn/ M1 )
R12 = ~ I(M 1 ;yn/M2 )
Hierin is M1 de set berichten voor zender 1, M2 de set
berichten van zender 2.
Vanaf nu nemen we aan dat de beide zenders hun berichten
onafhankelijk van elkaar kiezen.
Het capaciteitsgebied G van het and-channel kunhen we nu
definieren door:
Deze definitie is vrij intuitief van karakter. In de par.
over de afgeleide kanalen zien we dat deze definitie
inderdaad te gebruiken is.
Opm: In Shannon [1] wordt G gedefinieerd op de meer
gebruikelijke manier, dus in termen van signalling
rates
voor blok-codes.
De vraag is nu wat het eapaciteitsgebied Gis.
Men heeft lange tijd gedacht dat voor T.W.C.'s het inner
bound-gebied het capaciteitsgebied was. Pas in 1978 werd
door Dueck [ 4] aangetoond dat bij een bepaald T.W.C.
5
het capaciteitsgebied groter is dan het inner-bound
gebied.
In het bijzonder voor het and-channel is door Schalkwijk [2,3]
een coding-schema gevonden met rate-pairs buiten het
innerbound-gebied.
Om buiten het inner-bound-gebied te komen moeten de
kanaal inputs afhankelijk worden. Hoe deze afhankelijkheid
ontstaat wordt in het volgende beschreven.
6
1.3 HET AFGELEIDE KANAAL
We kunnen het volgende kanaal definieren.
S1
yn ny
S1€: 51
S2 E 52n n
Y E {o,n
fig 1.4 and-channel met vectoren als input
Hierbij is:
51 = { (x 11 ' f 2 ( x11 ' Y1 ) , • • • , f n ( x11 ' • • • , x1n-1 ' y 1 ' • • • y n-1 ) }
De set 52 kan op analoge manier gedefinieerd worden.
In het vervolg nemen we aan dat 51 = 52.
51 is nu een verzameling van n-tuples die Kn-strategieen
genoemd worden.
Het kanaal dat deze K - strategieen s als input heeftn
wordt het afgeleide kanaal genoemd.
De overgangswaarschijnlijkheden worden gegeven door
en kunnen eenvoudig bepaald worden uit p(y/x 1 ,x2 )
Voor de transmissie-snelheden in het afgeleide kanaal
definieren we:
R21 = ~ I(52
;yn/51 )
R12 = *I(5 1 ;yn/52 )·
7
Om nu de grote kracht van het afgeleide kanaal te achter
halen, bedenken we het volgende:
Beide zenders kiezen hun strategieen onafhankelijk van
elkaar. De resulterende kanaal-inputs worden echter wel
afhankelijk. Hierdoor bestaat de mogelijkheid om eventueel
rate-pairs te vinden die buiten het innerbound-gebied liggen,
We krijgen nu het schema uit fig.1.5.
r--------------.I
EM1 51 I x1 x? 52 T2E~4,..- message strategie strategie message
I
encoder I encoder encoder encoder
I
I
I
\ \ I Y 1/
II ---------... - - - - - - -- - - -
/\ .... - /\- m1~ decoder decoder ~
fig. 1.5 coding voor het afgeleide kanaal
De onafhankelijke berichten m1 , m2 worden
encoders omgezet in een sequence s1 en s2
De strategieen bepalen afhankelijk van de
outputs de inputs x1 en x2 •
in de message-
van K -strategieen.nvorige in- en
Voor het capaciteitsgebied G van het and-channel geldt
volgens Shannon [1];
G = 1 lim B •n nn_oo
Hierin is B de inner bound van het afgeleide kanaal K ~n n
. ,
8
Hierdoor zien we dat de definitie van G in 1.2 inderdaad
een goede definitie is.
Theoretisch is deze 1imiet nag niet berekend kunnen warden.
We1 kan in principe B numeriek bepaa1d warden indien nnniet a1 te groat.
De beperkende factor in het berekenen van B wordt gevormdndoor het grate aanta1 strategieen.
van de functie f.1.
•i-1
het aanta1 functies fi(h i ) bedraagt 2 3
aantal K -strategieen is dan:n
3 3n- 1 (3n_1)/2
·2.2 ••• 2 =-2-; -
Het argument h. = (x 1 '···,x. 1'Y1'···'Y· 1)1. 1.- , 1.-
i-1kan 3 waarden aannemen.
Dus
Het
Ze1fs voor n = 3 1evert dit a1 een groot-aanta1 strategieenop. (~ ,21l»
In het vo1gende zu11en we dit aanta1 reduceren.
9
1.4 REDUCTIE VAN HET AANTAL STRATEGIEEN
Definieer:
x.(s.) = deie input bij gebruik van 5.~ J J
h.(s.) = de voorgeschiedenis na (i-1) transmissies~ J
bij gebruik van 5 .•J
Dan heten Sj en sk equivalent indien:
"d. (1 ) ( A. . = A. k) A (x. ( 5 .) = x; (5 k») •~Eo , n ~ J, ~ ~ J ...
Dit lJordt verduidelijkt aan de hand van K2-strategieen.
x1 Y1 f 21 f 22 f 23 f 24 f 25 f 26 f 27 f 28
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
In het rechtergedeelte van deze tabel staan de 8 functies
volgens welke de 2e transmissie kan plaatsvinden.
Volgens de definitie van equivalente strategieen voIgt nu:
(x 1=0,f 21 ( , »
(x 1=O,f 22 ( , »
(x 1=0,f23 ( , »
(x 1=0,f 24 ( , »
zijn equivalent. Als representant kunnen we hiervoor
nemen: 51 = (0,0)
Zo is er ook een klasse die voorgesteld kan worden door
52 = (0,1).
10
Daze klasse bestaat uit de strategieen:
(x 1=O,f 2S ( , ))
(x 1=O,f 26 ( , ))
(x 1=O,f 27 ( , ))
(x 1=O,f 2S ( , )).
Verder zijn equivalent:
(x 1=1,f 21 ( ,. )) met (x 1=1,f 2S ( , ) )
(x 1=1,f 22 ( , ) ) met (x 1=1,f26 ( , ) )
(x 1=1,f23 ( , ) ) met (x 1=1,f27 ( , ) )
(x 1=1,f24 ( , ) ) met (x 1=1,f 2S ( , ) ).
Als representant van deze klassen vinden we:
s3 = ( 1 , 0)
s4 = (1 'Y1)
Ss = (1'Y1)
s6 = ( 1 ,1)
Van de oorspronkelijke 16 strategieen blijven dus 6
equivalentie-klassen over.
Het bepalen van de equivalentie-klassen van Kn gaat als
voIgt. Ga uit van K 1 equivalentie-klassen. Bepaal voorn-elke K 1 klasse s.n- J
Dan zlJn er 2a verschillende functies f (h (s.)).n n J
Dit is tevenshet aantal equivalentie-klassen van de Kn
strategieen die een uitbreiding zijn van de K 1 strategie s .•n- J
11
Oat dit aIleen maar verschillende strategieen en bovendien
het maximale aantal oplevert,' voIgt uit de definities.
In tabel 1 zijn op deze manier aIle K3 equivalentie-klassen
weergegeven.
Oeze reductie tot 42 klassen maak~ het mogelijk dat K3berekend kan worden.
Oeze 42 klassen dienen als inputs voor het afgeleide kanaal.
Op deze verzameling van inputs moet dan een kansverdeling
worden bepaald.
,...
X ll Yl
511 0 0
S2{ ~0
0
53{ ~0
1
1 0
5 1 14
1 1
1 0
55 1 0
1 1
1 0
1 056
1 1
1 1
Xi2 Y2
o 0
1 0
1 1
o 0
o 0
o 0
1 0
1 1
1 0
1 1
o 0
1 0
1 1
1 0
1 1
("IOI~) (O/'J'fJ2.) (11q,O) (I/0/I) ll/~11~0~) ltIJ,,~I~)
(tJ,o,1) (ol'/~i) l1/0/':JI) (1/'11/0) (1J~lJ~I) [1/1J~;)
(0/1,0) Lo I I/l) (\ol~l) (f/~1/jZ.) (11~Il~J (1/~111)
f l f 2 f3 f4 f5 ~ f7 f8 fg ~o ~1 ~2 ~3 ~4 ~5 ~6 ~7 ~8 ~9 t;o t;1 ~2 t;3 ~4 f25 ~6 ~7 ~8 ~9 t;o t;1 t;2 t;3 ~4 ~5 t;6 f37 f38 f39 ~o ~1 ~2
o 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 ,1 1 1 1
0 0 1 1 .0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 o 0 1 1 ,1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 o 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 o 1 1 o 0 1 1
0 1 0 1 0 1 o 1 0 1 0 1 o '.1 0 1
tabel 1. K3 strategieen verdeeld in
equivalentieklassen
13
1.5 8EREKENING VAN Kn
8ij het bepalen van het inner-bound gebied van K beperkennwe ons tot het geval dat beide zenders dezelfde verdeling
op de strategieen hanteren. Dit levert dan een punt R12 = R21op, hetgeen voldoende is om te zien of er punten buiten
de innerbound van het and-channel liggen.
Voor de rates gelden de formules 1.1 en 1.2.
In het symmetrische geval moet bepaald worden:
waarin pes) de kansverdeling op de inputs is.
In = ~. (I(5 1 ;yn/52 ) + I(5 2 ;yn/ 51 ))
= ~ (H(yn/ 52 ) + H(Vn/5,))
= - *~ ~ p(yn/ s2 )·p(s2)"·log(p(yn/ s2 )) yn 52-*~ ~ p(yn/ s1 )·p(s1)·lo9(p(yn/ s1 ))yn 5
1
= - ~ ~n ~ r p(yn/ s1s2 )·P(s2)·P(s1)·log ~ p(yn/ s1s2 )·P(s1)-:y 51 52 . 51-*~ ~ p(yn/ s1 )·p(s1)·lo9(p(yn/ s ,).Yn 5 .
t "......
Dit gedifferentieerd naar p(s~) levert:
14
Als de middelste term nader wordt uitgewerkt, vindt men dat
d 1 · . k . 1eze ge 1J 15 aan - n.Hiermee wordt de afgeleide:
1 •- -n
Een analoge uitdrukking vinden we voor de afgeleide naar
een bepaalde p(s~):
1 •- ..,.n
Onder de nevenvoorwaarde 1: p(s~) = 1, worden al dezeA b· . dafgeleiden verhoogd met een term " ,waar 1J A e
Lagrange-multiplier is.
Het berekenen van het maximum van 8 12 vertoont grate
overeenkomst met het berekenen van de capaciteit van een
O.M.C., uaarbij het algoritme van 81ahut~]gebruikt kan
worden.
Hierbij worden de kansen p(s~) iteratief bepaald met de
formule:
. r+1p(s~) =
waarin c. = exp olnJ
. r~ p(s~) .cjJ
Als dit geprogrammeerd wordt dan blijkt. dat de oplossing
van K2 'naar de innerbound convergeert. Voor K3 vinden we
op deze manier oak de innerbound. Op een andere manier,
die in het volgende besproken zal worden, vinden we voor
K3 oak maxima die buiten het innerbound-gebied liggen.
Oeze kunnen met het algoritme van Blahut niet .gevonden
worden.
15
8ij volledige random initialisatie van de verdeling P(s1)
vindt steeds convergentie naar de innerbound plaats.
Een kleine aanpassing van het probleem, waarbij toegestaan
werd dat R12 r R21 en waarbij cos(~).R12 + sin(~)~R21
werd gemaximaliseerd Ieverde ook geen convergentie op
WeI werd hierbij geconstateerd dat het punt (R 12 ,R 21 )
buiten de innerbound kwam te Iiggen.
Opm: Als we geinteresserd zijn in een niet symmetrisch
punt dan kunnen we dit vinden door
te maximaliseren, zie fig.1.6~.
o
fig. 1.6.
,~
"
16
2.
HET AND-CHANNEL ALS BESlISSINGSPROBLEEM
In het voorgaande werd het and-channel beschreven door de
Shannon-strategieen. Hiermee komt het spel-theoretische
karakter van het and-channel reeds naar voren.
Er wordt nu een methode bekeken waarbij het and-channel
wordt opgevat als een beslissingsprobleem.
Het voordeel van deze nieuwe methode is gelegen in het feit
dat er nu veel minder variabelen nodig zijn am het probleem
te beschrijven.
Beide zenders worden geconfronteerd met een beslissings
probleem.
Een beslissingsprobleem wordt gedefinieerd door:
1e: een toestandsruimte J
2e : een beslissingsruimte K
3e : een opbrengststructuur I
4e : een kansmechanisme
ad 1: Neem J 1 = {h1i liE (1,n)}
met h1i = (x11, ••• ,x1i-1'Y1' ••• 'Yi-1)
en J 2 = {h2iliE(1,n)} .\
met h2i = (x21, ••• ,x2i-1'Y" ••• 'Yi-1)
Op deze manier z~Jn de beslissingen gebaseerd op het
volledige verleden. Het is dus geen Markov-spel.
ad 2: In elke toestand moet worden beslist of er een 0 of
een 1 wordt gezonden. Dus K = IO,1} voor beide zenders.
ad 3: Aan elke beslissing wordt een opbrengst R(h i ) toege
kend.
17
Oat is in dit geval de hoeveelheid overgedragen
informatie (in bits) in die toestand h .•~
= I(X 2 ·;V./X 1 ·,h1 ·)~ ~ ~ ~
De verwachte opbrengst bij de i e beslissing is dan
voor zender 1:
l:p(h 1 ·)·R(h1 ·)I:;; ~ ~11 1 i
ad 4: Als kansmechanisme hebben we in elke toe stand h.~
(beslissingspunt) een verdeling:
P(x1i/h1i ) voor zender 1
P(x2i/h2i ) voor zender 2.
De overgangskansen p(h1i - h1i+ 1 ) worden bepaald door
1e: p ( x1if h., i) :
2e : een of meerdere verdelingen P(x2i/h2i )
Het probleem is voor te stellen in de boom van fig.2.1.
Beide zenders doorlopen elk een bepaald pad in hun eigen
boom. Dit pad is niet van te voren te kiezen, omdat een
dergelijke keuze een uitspraak doet over de beslissingen
van de andere
Voor de berekening van de gemiddelde opbrengst per beslissing
hetgeen in ons geval de gemiddelde overgedragen informatie
per transmissie is, gaan we uit van 2 zenders die
dezelfde verdeling hanteren in het overeenkomstige
beslissingspunt.
Hierdoor krijg~n beide zenders dezelfde opbrengst, waardoor
we ons kunnen beperken tot het berekenen voor een zender.
//
//0
/
18
'-I _~~'-'~
_zend
____ on tv,
//
//0
/
,'1"-
"-\,.
'.
~/<......0
,1
'><::f±g.2.1. beslissingsbaam vaar K3
19
De rate R21 op~de i e transmissie wordt gegeven door:
= H(Y./X 1 ·,H 1 ·)~ ~ ~
I Ip(Yi/x1i~h1i)·P(x1i/h1i)·p(h1i)·~i htj
.log(P(Yi/ x1i,h1i»
AIleen als x1i = 1 is er een bijdrage. We krijgen dan
De gemiddelde rate over n transmissies bedraagt
Het probleem is dus: bepaal voor elke i en h1i , P(x1i=1/h1i )
zodanig dat 2.2 maximaal wordt.
Voor Kn-strategieen geldt in hat symmetrische geval:
R21 = *I(S2;yn/S 1) = *H(y
n/S 1)
Als s1eS1 bekend is, dan zijn tevens de functies f i +1
tim f n , dus de functies waa~mee de (i+1)e tim dg ne
input gekozen worden bekend. Dit zegt echter niets over
Yl' tim Yi' omdat er van uitgegaan wordt dat beide zenders
hun strategieen onafhankelijk van elkaar kiezen.
"20
Er geldt dus:
dan vinden we:
H(yn/ S1 ) = IH(Y./X1·'~1·)1 ~ ~ ~
We zien dus dat de methode van de K -strategieen en dennieuwe methode hetzelfde resultaat opleveren.
o
21
2.2, OPDELEN VAN EEN VIERKANT
We kunnen formule 2.1 in verband brengen met de opdeling
van een.vierkant.De berichten worden nu gegeven door p~nten ~e(0,1) en
()28! (0,1). Zie fig.2.2 •
...- --,1
m.p;)
r- - --
01~
fig. 2 • 2 me s sag e- poi nt «()1' ()2) in e en heids vie r kant. -
Deze manier am het bericht voor te stellen wordt oak ge
bruikt in Schalkwijk [2], .[3] •
We nemen aan:
()1en ()2 zijn homogeen verdeeld op (0,1)
p( ()1' ()2) = P«()1) .P«()2 )
Beide zenders moeten het message-point «()~,82) localiseren,
waarbij ze ~ priori slechts hun eigen () kennen.
Door het aannemen van een stelsel van geschikte drempels
in dit vierkant en het vergelijken van 0 met deze drempels
worden de kanaal-inputs x gegenereerd. Het gebied waarin
«()1'()2) mogelijk kan liggen wordt hierdoor stelselmatigverkleind. Hierdoor wordt er informatie overgedragen.
Op deze manier wordt het vierkant opgedeeld in een aantal
gebieden. Aan deze·gebieden kan een bepaalde voorgeschiedenis
worden toegekend, zie fig.2.3 en fig.2.4.
22
1e transmissie.
Er is nog maar een gebied. Hierin wordt een drempel bij
d1 gelegd. (fig.2.3)
Y=o
y=o
o
fig.2.3 opdeling vierkant na 1 transmissie
We gaan uit van het symmetrische geval zodat we aIleen
moeten vastleggen wat zender 1 doet.
Zend nu:
=1:als o ~ 8~ d1
X1 als d1 < 8~ 1
De rate op de 1e transmissie is dan
Lettend op de voorgeschiedenis zijn er nu voor zender 1
drie gebieden ontstaan:
1 e : h12 = (x 11 = 0'Y1 = 0)
2e : h12 = (x 11 = 1 , Y1 = 0)
3e : h12 = (x11 = 1 , Y1 = 1 ) •
In elk van deze gebieden moet weer een beslissing worden
genomen. Dus in elk gebied komt weer een drempel te liggen.
We nemen aan:
In e,en gebied met voorgeschiedenis h1i wordt de
drempel d(h1i ) zodanig gelegd dat de kanaalinput
x. =11 a Is 8j ~d ( h 1 i)
~ 0 a Is 8. > d( h1 . ) •I ~
23
Dit levert na twee transmissies een opdeling volgens fig.2.4
I
4a •Iy=01 • Y=01••
~- -_. --
4b Y = l'
Y=01
o
fig.2.4 opdeling na twee transmissies
/ )Oe rechthoeken 4a en 4b hebben d~zelfde voorgeschiedenis h13
o en vormen dus een gebied.
Algemeen geldt dat elk gebied met voorgeschiedenis h1i na
transmissie 3 klein ere gebieden met voorgeschiedenis h1i+1oplevert en dat elk gebied de vorm van een rechthoek
behoudt. Deze rechthoek mag eventueel zoals in fig.2.4. in
meerdere stukken uiteen vallen.
De oppervlakte van elk gebied met voorgeschiedenis h1i is
p(h1i )·
Dit is eenvoudig na te gaan voor de opdeling na 1 transmissie
De rest voIgt met inductie. Oeel hiertoe een gebied met h1iop en bereken
a
••II•
cb
p(h1 . ,x. ,y.)~ ~ ~
d
= p(x.,y./h1 ·)·p(h1 ·)·~ ~ ~ ~
fig.2.5. algemene opdeling van een .geb-ied.
Dus p(h1i} = a.b en P(x1i =
Verder geldt: P(x 2L =1 ./x1i
24
1/h1i ) = ~.
d=1,h1 ·) = - •~ . a
Op deze manier zien we dat formule 2.1 vertaald kan worden
naar de opdeling van een vierkant.
Als A1 (h1i ) de oppervlakte is van het gebied h1i waarin
~1r ~ 1 en B1 (h1i ) het gedeelte van A1 (h1i ) is waarin Yi = 1
dan geldt voor de gemiddelde rate Rn over n transmissies:
Rn moet gemaximaliseerd worden. Hierbij worden de posities
van de drempels als variabelen beschouwd.
We merken nag op dat bij de opdeling van een vierkant
zoals hiervoor besGhreven, niet de absolute waarden van
de dTempels een rol spelen maar dat het verschil tussen
twee drempels een rol speelt. AIleen de breedte van het
stuk waarin een 1 wordt gezonden is van belang.
Er.is oak nag een kleine reductie van het aantal variabelen
mogelijk. Als namelijk op de eerste transmissie een 1 wordt
ontvangen, dan weten beide zenders dat het subvierkant
verder moet worden opgedeeld. Dit gebeurt in n-1 transmissies.
AIs het maximum van R 1 bekend is dan ·kan di t gebruiktn-
worden in het berekenen van R •- n
Dit levert dan:
waarin
Het aantal variabelen dat nag nodig is am Kn te beschrijven
is na deze reductie:
3 n - 1 •
Deze variabelen zijn weI onderworp~n aan constraints. Immers
elke drempel wordt tussen 2 andere gelegd en mag deze niet
overschr~~'den•
25
Voor het berekenen van het capaciteitsgebied van K wordtn~ebruik gemaakt van de opdeling van een vierkant.
De nummering van de drempels komt overeeg met de nummering
van de beslissisingspunten in de boom van fig. 2.1.
Het is oak mogelijk am het verband na te gaan tussen de
waarden van de drempels en de kansen van de Shannon-strate
g'ieen.-
Hiertoe is in fig. 2.6 de boom nag eens getekend,met langs
de takken de kansen uitgedrukt in de drempels.
Verder is aan de uiteinden vermeld met welke strategieen
volgens tabel men in dat uiteinde kan komen.
Het produkt van de kansen langs de ~zendttakken is gelijk
aan de sam van de kansen van de strategieen die aan het
uiteinde vermeld staan.
Dit levert dan op:
42d1 = r p(s.)
;=7 ~
42d2 = rp(s.)
;.:::3 ~
42d3 = r p(s.)
;=19 ~
42d4 = r p(s.)
;=2 ~
42ds = r p(s.)
;=5 • ~
P(S4)42
d6 = +rp(s.);=6 ~
p(Sg)42
d7 = + P(s10) + f. p(s.)1=15 ~
P(S23) + P(s24) + P(s2S) + P(S26)42 )
de = + r p(s.;.35 ~
dg = P(S21) + P(s22) + P(s2S) + P(s26) +
P(s31) + P(s32) + P(s33) + P(s34) +
P(s39) + P(s40) + P(s41) + P(s42)·
,," el..
"\
"'.
26
gebruiktestrategie
1
2
27
MARKOV-CHAIN·CODING-SCHEMA'S
3.1 II\JLEIDING
In dit hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van twee
coding schema's die voorgesteld kunnen worden door een
Markov-chain. Aan beide kanten kan foutloos gedecodeerd
worden..
De berichten m1 en m2 worden zoals in 2.2 voorgesteld
door een punt(}1 en(}2.op het interval (0,1).
De message-region is het gebied waarvan beide zende~s
zeker weten dat daarin het gezochte punt ((}1'(}2) ligt.
Het verkleinen van deze message~region gebeurt ~odanig
dat het aantal verschillende vormen dat deze aan kan
nemen beperkt is. Hierdoor blijft het aantal toestanden
in de Markov-chain beperkt.
In termen van de. Shannon-strategie~n betekent dit dat
deze niet allemaal worden gebruikt.
28
3.2 HET HAGELBARGER CODING-SCHEMA.
Dit coding-schema werd oorspronkelijk op een andere manier
geformuleerd. Het is echter eenvoudig in deze methode in te
passen.
I,01 I 00
00
a o()
fig.3.2 Hagelbarger sche~a na 2 transmissies.
Op de 1e transmissie moet er een vierkant gereduceerd
worden. We noemen dit toestand 9 1 • We beschouwen alleen
het symmetrische geval.
De kanaal input voor zender i is dan:
x _= 11a ls 0 ~ ej~ ()'
" 0 als a<e.~I
De rate in deze toestand is:
R1= I ( e2 ; Vii e1 , S1 )
=ah( a )
Wordt nu ontvangen y = 1, dan is de nieuwe message-region
weer een vierkant. De afmetingen zijn weliswaar kleiner
geworden, maar het is alleen de verhouding van de oppervlakte
van het gebied voor en na de transmissie die een rol speelt
bij het bepalen van de rate.
Dus als y(s1) = 1 keren we terug naar toestand s1.
Als y = 0, dan is de nieuwe message-region een L-vorm.
Dit is een nieuwe toestand, s2.
29
Zender i zendt nu op de 2e transmissie:
x =I1 a1s a ~8i~ 1
a a1s O~~~(Y
De rate in deze toestand is:
R2 -= I(82 ;V/81 ,s2)
h( a )
1 + a
Na deze 2e transmissie kunnen beide zenders zander resterende
ambiguiteit uitmaken wat de nieuwe message-region wordt.
Dit is in ieder geval na transformatie van de schalen
weer een eenheidsvierkant, dus een toestand s1.
Het Markov-model van dit coding-schema is in fig.3.3
weergegeven.
2a
1
fig.3.3 Markov-model van Hagelbarger code
De stationaire kansen worden gegeven door:
1q1 = . 2
2 -a
1 2-aq2 = _a 2
2
Voor de gemiddelde rate van dit coding-schema geldt:
22-·~
30
Dit levert na maximalisatie:
RH = 0.59305 voor
a = ct'H = 0.6259
(N -\is - \[7r~ ~::. t . \-s "Rt(~ 9: ~.d
~k-~'?i-\ e-izc r-[~C:fA/bA.·~def' d£·{AJ')
.Oit coding-schema is- dus niet optimaal.
Het Hagelbarger schema is ook te beschrijven met de
Shannon-strategieen. Het blijkt dat dit reeds kan met K2strategieen.
Van de 6 equivalentie-klassen worden aIleen gebruikt:
s2 , s3 , s4 uit par.1.4.
Hiervoor geldt dan:
P(s2) =- 1 -a
P(s3) =a(1 -a)
P(S4)2
= a
o
31
3.3 HET SCHALKWIJK COOING-SCHEMA
oit is het eerste coding schema waarmee rate-pairs buiten
het innerbound-gebied worden gevonden.
De eerste transmissie gebeurt op dezelfde manier als in
hat Hagelbarger-schema. Deze toe stand heet hier i.
Als Y1 = O~ moet de L-vorm worden opgedeeld; dit istoe stand m. Er wordt nu een drempel gelegd bij 1-Y
1-V
1-Y
oc _°1
fig.3.4 drempels in Schalkwijk-schema
Zender i zendt als Y1 = 0:
als (}i~ a
alders
De rate in toestand m is:
Rm = I«(}2;Y/(}1~m)
h( Y )=
1 + a
Wordt nu ontvangen Y2 = 0, dan is de resterende message
region een van de gebieden y = DO.
Beide zenders weten vanwege de side-information precies
welk van deze gebieden ve~der moet worden onde~zocht. -
De vorm is na schaalverandering weer een vierkant (tst. i).
32
Wordt ontvangen YZ = 1, dan is het gebied met ~ = 01 "de
nieuwe message-region. Dit is een nieuwe vorm en wordt
toe stand o(uterbound) genoemd.
1
1-------+---'
1- Y
-01
fig.3.5 toestand a
In toe stand a is de i:nput voor zender i:
I: als~(Jr~ 1x. =J. alders
De rate in deze toestand is:
h (f3 )•
z - f3
Als f3= 0.61795 levert dit de outerbound-rate Ope
Na deze outerbound toestand weten beide zenders welke van
de 3 gebieden uit fig 3.5 d~ nieuwe message-region w6rdt.
Dit is weer een gebied dat overeen komt met toestand i.
In fig.3.6 wordt het Markov-model van dit schema gegeven.
cl
1-Y1-2
1~0'
fig.3.6 Markov-model van Schalkwijk-code
33
De overgangskansen volgen eenvoudig uit de verhouding
van de oppervlakten van de message-regions na en voor
transmissie.
De stationaire kansen worden gegeven door:
1q. =~ 1 + 2(1 -a.}(a+y)
1_ ~2
q =m 1 + 2(1 -a)(a+y)
. 2) (1 _ 2 (1 - Y ))~ 1+a
1 + 2(1 -~}(a+y)
Voor de gemiddelde rate van dit coding-schema geldt:
Rs = q.R + q.R + q .R •o 0 m moo
Maximaliseren levert op
Rs = 0.61915
a = 0.6757
f3 = 0.6172
Y = 0.5255
De gemiddelde rate ligt dus net buiten het innerboundgebied.
aeze verbetering t.o.v. het Hagelbarger-schema is mogelijk
doordat in toestand m superpositie van informatie ontstaat •
. Dit coding-schema is met K3-strategieen te beschrijven.
Ook hier worden niet aIle stDategieen gebruikt. Uit tabelworden niet gebruikt:
Met deze strategiesn kan twee keer na elkaar een 0 worden
gezonden. Dit kan in het Schalkwijk schema aIleen als er
een overgang o-i of m-i tussen zit.
34
3.4 VERBETERING SCHALKWIJK-SCHEMA MET SLEPIAN-WOLF
Schalkwijk [31 heeft het voorgaande coding-schema nog
verbeterd. Hiertoe werd geconstateerd dat in de m-state
Oit werd geinterpreteerd als een verlies van informatie
in de encoders. Bij nader inzien is dit echter niet de
redan waardoor het schema verbeterd kan worden. Het blijkt
zelfs dat er helemaal geen informatie verloren gaat.
De ongelijkheid 3.1 wordt namelijk veroorzaakt doordat
in het rachterlid de gehele voorgeschiedenis opganomen.
In het linkerlid is slechts een gedeelte hiervan aanwezig.
Im~rs, als 81 gegeven is, dan is ook impliciet x11 gegeven
en samen met de geg~ven toestand m (Y1 = 0)' is de gehele
voorgeschiedenis bekend.
In hat linkerlid daarentegen is aIleen gegeven dat y, = o.In werkelijkheid kent zender 1 x11 ook.
Nemen we dit op in het linker lid dan wordt dit:
Het rechterlid is te herleiden:
waaruit we zien dat er geen informatie verloren gaat.
De grootheid waar het echter om gaat is:
h( Y)
1 + a
35
Beschouwen we nu N Markov-chains die parallel werken,
onafhankelijk van elkaar, dan zijn er gemiddeld q N in dem
m-state.
In totaal worden er t.g.v. deze m-states in beide richtingen
q Nm
h( Y )
1 + abits
aan informatie overgebracht.
De sequence van inputs t.g.v. de q N m-states bestaat uitm
q N symbolen met conditionele entropiem
H( X2181 ,m).
Volgens Slepian en Wolf ~] kan deze sequence gecodeerd
worden in
qmN.H(X2181,m)
even-waarschijnlijke symbolen 0 en 1.
Deze geoodeerde sequence is als N-co op te vatten als een
nieuw punt -0'2.Dit nieuw punt is homogeen verdeeld op (0,1) omdat de
gecodeerde sequences ook homogeen verdeeld zijn.
Dus 8~ kan overgezonden worden met het coding-schema en dus
ook met de rate van het schema zelf.
Dit levert ons de winst op. Immers de hoeveelheid informatie
die overgebracht moet worden wordt gegeven door 3.2.
Dit gebeurt nu met de rate van het coding-schema zelf
(bootstrapping), zodat er nog slechts '\
transmissies nodig zijn. Dit is minder dan de q N transmissiesmdie nodig zijn als er geen extra coding wordt toegepast.
De gemiddelde rate van het coding-schema wordt nu:
q. R,., + qmR + qoRR . 1. 1. m 0= Rs q: + qo + qm m
1.
Rs
36
Maximaiisatie ievert in het symmetrische gevai
R = 0.63056s
Door de extra coding is dus een aanzieniijke winst geboekt.
Opm: Voor de i-state heeft extra coding geen zin want
zodat er meer1bits nodig zijn voor het coderen dan
er in werkeiijkheid overgebracht moe ten worden.
Ook in de o-state heeft extra coding geen zin.
We keren.nu terug naar het Hageibarger schema.
In toestand 2 geidt:
h( a)
1 + a
Dus het is ook hier zinvoi om extra coding toe te passen.
Van N onafhankeiijke paraiieiie Markov-chains zitten Br
gemiddeid q2N in toestand 2. De sequence van q2N inputs
t.g.v. de toestanden 2 is te coderen in
bits
en over te zenden met de rate van het schema zeif.
Hiervoor geidt dan:
q1 R1 + q2 R2
Rq1 + q2~
RH.
waaruit voigt dat
max Rt:t. = 0.6169486.
37
3.5 BERNOUILLI SOURCES EN HERHALINGS-STRATEGIEEN
Er voIgt nu een andere manier om voorgaande coding-schema's
te beschrijven. Met deze beschrijving heeft men een methode
om ingewikkelder coding-schema's nader te onderzoeken.
bernouilli-----1 source
re peat----I encoder
bernouill,',.....::=--+-..,...,.~ sou r c e"
repeat1----
0-1
-.-.-•.L.'-1-0-1-----1 enc od er
I I
fig. 3.8
Hierin is:
2$.2
r-1-
= (x 21 ,···,x2n ). , ,
= (xir1,···,X{rk), ,
£2 = (x2r1,···,x2rk)
In.dit systeem (decoders niet getekend) zenden 2 onafhankelijke
Bernouilli-sources hun bericht over het kanaal.
Elke y -component die gelijk is aan 0 veroorzaakt bij
minstens een van de zenders onzekerheid omtrent het door
de andere verzonden symbool.
Om deze onzekerheid weg te werken moe ten de x-componenten
waarbij y = 0 op een nader te bepalen manier herhaald worden.
De manier waarop dit gebeurt noemen we een herhalings
strategie.
De vectoren £1 en £2 zijn de herhalingen.De vraag is dus hoe deze herhalngen het efficientst gebeuren.
38
In het Hagelbarger schema bestaat de herhalings-strategie
uit het inverteren van de x-componenten waarbij y = o.
Bij de eerste serie Vqn n transmissies is de gemiddeld
overgebrachte informatie in beide richtingen:
n.p.h(p) bits.
Gemiddeld zijn er r k = (1 - p2) herhalingen.
In deze serie van herhalingen is de overgebrachte informatie
in beide richtingen:
1/x1 . = 0»r~
- n(1 - p).h(p) bits.
Dus de rate van het schema is
n.ph(p) + n(1 - p) .h(p)
n + n(1 _ p2}
=h(p)
22 - p
.-~
In het Schalkwijk-schema z~Jn de herhalingen ingewikkelder.
De herhalingen bestaan nu mogelijk uit twee series.
Bij de eerste serie herhalingen wordt:
1e : elke x-component die eerst 0 was, geinverteerd.
2e : slechts een fractie q van x-componenten x = 1••
uaarbij y = 0 wordt geinverteerd ••
-Oit betekent dat er na deze eerste serie van herhalingen
mogelijk nog een serie komt.
Immers als op de 1 e herhaling een 1 wordt ontvangen dan
weet degene die eerst een 0 zond nog niet of deze ontvangen
1 nu het gevolg is van een geinverteerde 0 of een niet
geinverteerde 1.
39
Bij de 2e serie herhalingen wordt nu een 1 gezonden indien
in de 1e serie transmissies een 0 werd gezonden.
In de eerste serie transmissies is de overgebrachte
informatie:
11 = n.p(x1i = 1).h(p(x2i = 1»
= n.p.h(p)
De eerste serie herhalingen ( n(1 - p2» levert een bijdrage
in de overgedragen informatie:
1/x1 . =r~
0»
= n'1 - p).h(pq) bits.
Het aantal herhalingen wit de 2e serie bedraagt:
I
= (), Y . = 1)r~
= 2(1 - p)(1 - pq)
De overgedragen informatie in deze serie is:
I I I I
1) •13 = n.p(x1 . = 1 , x1 . = 1 , x1 . =0, y . =r~ r~ r~ r~
I I I I
=1»• h(p(x2 . = 1/ x1 . = 1,x1ri = O,y .r~ r~ r~
,,Hiermee vinden we voor de gemiQdelde rate:
1 1 + 1 2 + 13
bits.
1 + (1 - p2) + 2(1 - p)(1 - pq)
40
Deze beschrijving is voor ingewikkelder coding-schema's
waarschijnlijk handiger dan het opdelen van een vierkant.
Op een systematische manier kunnen nu een groet aantal
verschillende herhalingsstrategieen, die steeds complexer
worden, worden doorgerekend.
41
4.
EEN CODING-SCHEMA MET K4 STRATEGIEEN
4.1 INTRODUCTIE
Daar er geen converse voor het Schalkwijk coding-schema
bestaat blijft dus de vraag of dit coding-schema nog
verbeterd kan worden.
Om hier achter te komen kunnen we gaan zoeken naar
andere schema's.
We kunnen ons hierbij laten leiden door de beste opdelingen
die verkregen zijn voor K3 en K4 • Hierbij constateren we
dat daarbij twee maal na elkaar een 0 wordt gezonden.
Dit gegeven kunnen we proberen te verwerken in een
coding-schema.
Het kan ook benaderd worden vanuit de Shannon-strategieen.
Immers het Hagelbarger schema is gebaseerd op K2en het Schalkwijk schema op K3-strategieen.
Het ligt dus voor de hand om eens te kijken naar
K4-strategieen. In het volgende wordt zorn schema gere
presenteerd. Ten opzichte van het Schalkwijk-schema is
er een extra vrijheidsgraad.
42
4~ 2 Ar'tAL YSE SCHEMA
De verschillende toestanden uan het schema zullen nader
bekeken worden.
De rate wordt berekend zoals in hoofdstuk 2 de bijdragen
tot de overgedragen informatie berekend werden aan de hand
van oppervlakten. Om hieruit de rate in een bepaalde
toestand (bij de coding-schema's wordt een toestand
gekarakteriseerd door het gemeenschappelijke verleden van
de twee zenders, dus door de outputs) te bepalen worden
de bijdragen tot de overgedragen informatie gedeeld door
de oppervlakte van die toestand.
Toestand 1.
Dez e toestand komt overeen met het leggen van een drempel
in een vierkant.
Zend:
elders
De rate op deze transmissie is dan
Wordt ontvangen y = 0, dan gaan we naar toestand 2 met,overgangskans:
= 1 _ d 21
Toestand 2.
d2
1d
1
fig.4.2. opdeling in toestand 2
43
Zend in toe stand 2 :
als d2~ e~ 1
elders.
Het gebied waar y = 1 is gearceerd. Dit is toestand 3. Het
ander~ stuk is toestand 4.
De rate in deze toestand wordt gegeven door:
en de overgangskans P23 door
(1-d2 ) (1-d2+2d3 )
P23 = 1 d2- 1
Toestand 3. ,U
d21·
d
3-[jd~!-- _
o -r1
fig. 4.3. opdeling van toestand 3.
Zend in toestand 3:
,als d3~e~1
elders.
Het gebied waar y = 1 is gearceerd. Dit is toestand 8.
Wordt y = 0 ontvangen dan gaan we terug naar toestand 1~
De rate in deze toestand wordt gegeven door:
-(1-d2)(1-d2+d3)·h(1-d2+d3-d;)/(1-d2+d3»)R3
( 1- d2 ) ( 1- d 2+2d3 )
44
De overgangskans P38 is:
( 1-d2
) 2 • (f -1)
(1-d 2 )(1-d 2+2d 3 )
waarin f3 gegegeven wordt door:
Toestand 4.
d- ....-"""'i/3 I
1
Id2 d1
fig.4~4. opdeling van toestand 4
In toestand 4 zendt men:
\
-1 a1s d5~ 0 ~ d 4
x = lJ elders.
I n he t g.e~r c e e r de 9 e bi e d w0 r d t Y = 1 0 n t van 9en. 0 i tis
toestand 5. Als 'y = 0 dan zitten we toestand 6.
De rate in toestand 4 wordt gegeven door:
en de overgangskans P45 door:
(d2-d1)(d2+d1-2d5) + 2(d 4-d 2 )(d 2-d 3 )P45 = 2
(1-d 1 ) - (1-d 2 )(1-d 2+2d 3 )
45
To~stand 4 is evenals toestand 3 een toestand waarin de
rate verbeterd kan warden met behulp van Slepian-Wolf.
Dit voIgt eenvoudig uit het feit dat in het gedeelte van
toestand 4 waarin een 0 wordt gezonden geen onzekerheid
heerst met betrekking tat het door de ander zijn
verzonden symbool, zodat geIdt:
en dit is voor de uiteindeIijke parameters zodanig dat R4 Rs '
met Rs de gemiddelde rate van dit schema.
Toestand 5
t t - dS
d 2 d 1
fig.4.5. opdeling van toestand 5.
In toe~tand 5 zendt men:
x = 1~ a I s d 1~. (} ~ d Z
o eiHlers.
'Als y = 1 komen we in toe stand 9 terecht en als y = 0 in
toestand 7.
De rate in toestand 5 wordt gegeven door:
waarin
+
°PP5
(d1-d3)(d4-d1)·h(d4-dZ)/(d4-d1»)
°PP5
46
De overgangskans PS9 wordt gegeven door:
Indiend2 - d 1
d 3 = d2 -1 . -d
- 1
dan is toestand 9 gelijk aan toestand 2, vanwege de
gelijkvormigheid die dan optreedt.
Toestand 6 II
d5 - L5-d,o I t
d2 d1
fig.4.6. opdeling van toestand 6.,,Toestand 6 bestaat uit 2 L-vormen en deze zijn niet
gekoppeld. Oaarom zijn ze als 2 aparte l-vormen weergegeven.
Om het aantal toestanden enigszins beperkt te houden,
wordt elk van deze L-vormen zodanig opgedeeld dat er
ofweI een toestand 8 of een toestand 1 verschijnt, zoals
in toestand 3.
Hiertoe moet dan gelden:
en
= f3
47
Hiermee voIgt voor de rate R6 :
(d2-d,)(1-d4+dS)·h(1-d4)/~(1-d4+dS»)R6 =
- 2(d2-d1)('-d4+dS)+2(1-d4)(d,-d3)
(1-d4)(d2-d3)·h(d2-d1)/~(d2-d3»)+
2(d2-d1)(1-d4+dS)+2(1-d4)(d1-d3)
en voor de overgangskans P6B
Oak in deze toestand is extra coding te realiseren, hetgeen
men eenvoudig na kan gaan.
Toestand 7
d3-~• - d g
d -5T Td
2d
1
o o
fig.4.7 opdeling van toestand 7.
Ook hier worden we geconfronteerd met twee L-vormen
die niet gekoppeld zijn.
De opdeling is hetzeIfde als VOGr toestand 6.
De drempels dB en dg worden ook weer zodanig gekozendat:
en
= ~
48
De rate R7 in deze toestand wordt gegeven door:
(d2-d1)(d4-d2+d3-d5)·h(d4-d2)/~(d4-d2+d3-d5))
+
°PP7
(d4-d2)(d2-d3)·h(d2-d1)/~(d2-d3))
OPP7
en de overgangskans P79 door:
•
Hierin is oPP7 gelijk aan:
oPP7 =2~d2-d1)(d3-d5)+(d2-d3)(d4-d2))
Het gedeelte waar y = 1 wordt ontvangen is ook weer
gearceerd. In deze toestand is extra"coding zinvol.
Toestand 8
De toestanden van waaruit een overgang naar toestand 8
mogelijk is, zijn 3,6 en 7.
Toestand 8 en de opdeling ervan zijn gegeven in fig.3.8.L2
'\.
~L2
fig.3.8. opdeling van toe stand 8
Vanwege de speciale afmetingen hebben we hier te maKen
met een outerbound-situatie. Het gebied waarin een 1
wordt ontvangen is weer gearceerd.
De overgang van uit toestand 3 naar toestand 8 levert
een symmetrische figuur Ope Vanuit toestand 6 en 7
hebben we in beide gevallen te maken met twee niet-symme
trische figuren. Het gaat echter om de verhouding van
de afmetingen en men kan eenvoudig nagaan dat de rate
49
in alle voorkomende gevallen gegeven wordt door:
h (§ )Z - 13
Vanuit toestand 8 wordt een overgang gemaakt naar
toestand 1.
Toestand 9
d 10
= /3
d - '----3 i d Td
2 1f~~~4.9. opdeling van toe stand 9.
In deze toestand"zendt men:
a 1 s d10~ 8.!S 1
elders.
Voor de rate in deze toestand geldt:
(d Z-d 1 )(d Z-d 3)·h ((d Z-d 1 )//3(d Z-d 3 ))
(dZ-d1)(d1+dZ-Zd3)
In deze toestand kan oak weer extra coding worden
toegepast.
Overgangen kunnen worden gemaakt naar toe stand 8 en
toestand 1.
Voor de overgangskans P98 geldt:(d Z-d 1 )
= (d Z-d 1)(d1-d 3+ § )P9~
(dZ-d1)(d1+dZ-Zd3)
De verschillenae toestanden zijn nu toegelicht.
Bij de berekening van de gemiddelde rate van dit schema
werd in eerste instantie uitgegaan van een paar vereen
voudigingen, die er op neer komen dat niet alle vrijheids
graden die dit schema levert worden benut.
50
Zo werd aangenomen:
d4
(d 2-d1 )+ d1=
f3
dS
(d 3-d 1 )+ d1=
f3
Dit leidt na wat rekenwerk tot het coding-schema volgens
fig.4.10
fig.4.10 vereenvoudigd coding-schema.
Onder deze aanname worden de toestanden 6 en 7 beiden
een toestand 3 en toestand 9 wordt een toestand 2.
De rates worden gegeven door:
51
h ( J3 )
2 - J3
De overgangskansen in fig.4.10 worden gegeven door:
P12 = 1 d2- 1
(1-d 2 )2
P23 =(1-d 1) 2
P38 =(1-d1)(~ -1)
1 + d1
( (d -d ) )2(d2-d
1) 1- 2 1
J3(1-d 1 )P43 =
(1-d2
) 2(1-d 1 ) -
(1-d 1 )
J3PS2 =
2 - J3 .
De toestanden waarin extra coding zinvol is zijn
aangegeven door ~ •
'\.
52
De rate R wordt gegeven door:
R =
waarin q. de stationaire kansen zijn.~
Maximalisa tie -levert op:
R = 0.63055525
hetgeen hetzelfde is als in het Schalkwijk coding-schema.
Dit maximum wordt bereikt voor:
d 1 = 0.69071
d2 = 0.7864
f3 = 0.5828
\lerder geldt:
R1 = 0.616356 R4 = 0.589856
R2 = 0.616356 R5 = 0.691594
R3 = 0.5B9856 R8 = 0.691594
q1 = 0.36091 q4 = 0.109135
q2 = 0.20869 q5 = 0.048553
q3 = 0.18873 q8 = 0.08396
De toestanden 1 en 2 z~Jn vergelijkbaar met toestand i
uit het Schalkwijk schema. Zo zijn 3 en 4 hetzelfde als
toestand m en toestand 5 en 8 zijn hetzelfde als toestand 0
uit het Schalkwijk-schema. Ook de stationaire kansen
komen overeen.
Dus met nog slechts een extra vrijheidsgraad t.a.v.
net Schalkwijk-schema treedt geen verbetering Ope
53
5.
RESULTATEN
In dit hoofdstuk volgen de resultaten die verkregen
werden door het opdelen van een vierkant, zoals beschreven
in hoofdstuk 2. De programma's zijn terug te vinden in
de appendix.
Het blijkt dat bij K2 de gemiddelde rate niet buiten het
inner-bound-gebied komt.
Als maximale waarde wordt gevonden
R = 0.6169486
Dit levert dus een punt o~ de inner-bound Ope
Voor K3 zijn 3 verschillende oplossingen gevonden.
R = 0.~169486
R = 0.6194622
R = 0.61965
Deze verdelingen vinden we terug in fig.5.1, fig.5.2,
fig.5.3.
De bes±e opdeling is bovendien nog eens gegeven in fig.5.4.
In fig.5.4. is ten opzichte van fig.5.3 geschoven met
bepaalde gebieden. Het zal duidelijk zijn uit hoofdstuk 2
dat het toegestaan is om met gebieden te sGhuiven omdat
:~, in fei te slechts de breedte waaraver een.1 lotordt gezonden
in dat gebied van belang is en niet de positie. We moeten
bij dit verschuiven aIleen rekening houden met de
voorgeschiedenis, die natuurlijk hetzelfde moet blijven.
In fig.5.3 zien we dat drempel d6 samenvalt met d2 •
Dit betekent dat deze oplossing op de rand van het domein
van de functie ligt. Het domein is voor K3 een 9-dimensionale
ruimte.
Dit betekent ook dat dus niet noodzakelijk de partiele
afgeleiden naar d6 en d2 6 zijn.
54
Omdat d9 en d8 samenvallen met de rand van het vierkant, en
dus ook een waarde aannemen op de rand van het domein,
kunnen we verwachten dat decbijbehorende afgeleiden F G.
Dit wordt gedemonstreerd in fig.5.5 en fig.5.6.
Het betreft hier 1-dimensionale doorsneden~van de beste
oplossing.
Horizontaal is de waarde van de drem~els uitgezet.
Deze wa~rden zijn genormeerd. Elke drempel mag zich in een
bepaald interval bewegen (vanwege de constraints). De
lengte van dit interval is genormeerd op 1.
Verticaal komt 1.0 overeen met R = 0.62; a.o komt overeen
met R = 0.58.
Fig.5.5 betreft doorsneden van niet-samenvallende drempels.
In fig. 5.7 is een 2-dimensionale doorsnede gegeven van
de beste oplossing.
Er is ook ~agegaan welke oplossingen er voor K3 zijn
als er extra coding volgens Slepipn en Wolf wordt
toegepast. Dit is mogelijk als de drempels d2 en d4allebei de waarde 1 krijgen.
Het blijkt nu dat oak hier de gemiddelde rate toeneemt
en da~ ook in dit geval meerdere maxima optreden.
Er wordt gevonden:
R = 0.617098
R = 0.622752
Deze opdelingen vinden we terug in fig.5.8 en fig.5.9.
We zien dus nogmaals dat deze extra coding een krachtig
middel is. Tevens vestigt dit ook onze aandacht op het
feit dat er twee verschillende aspecten aan het and-channel
zitten.
Het ene is zuiver spel-theoretisch van aard en betreft het
opdelen van een vierkant. Het andere heeft een zuiver
informatie-thsoretisch karakter.
55
De extra coding volgens Slepian en Wolf laat zich moeilijk
inpassen in het spel-theoretische karakter. Men kan het
weI expliciet in de te maximaliseten functie aanbrengen
zoals in de twee voornoemde oplossingen werd gedaan.
Voor de beste K3 opdeling is gekeken naar de rates in de
diverse toestanden (toestanden gekarakteriseerd door
outputs).
Dit levert op:
De rate op de 1e transmissie is
0.6135245.
Als Y1 = 1 dan volgen er 2 transmissies in het subvierkant
met rate
0.6169486.
Als Y1 = 0 dan is de rate op de 2e transmis ....
0.6049162.
Als Y1 = 0 en Y2 = 1 dan is de rate van de 3 e transmissie
0.6889007.
Als 0 0 dan is de rate e transmissieY1 = en Y2 = op de·3
0.6188498.
De opdeling van het vierkant is zodanig dat extra coding
in geen enkele toestand zinvol is, hetgeen men eenvoudig
nagaat door H(X 1/02 , 5 ) te berekenen voor de diverse
toestanden 5.
Om te kijken hoe de functie-waarde verandert bij een
verandering van de input parameters werden op de
oplossingen random verstoringen aangebracht.
Dit geeft een beter inzicht in de nauwkeurigheid van de,parameters. Het blijkt dat random verstoringen van de
drempelwaarden in- de orde grootte van 10-4 reeds aanleiding
geven tot veranderingen in de functiewaarden die in de
orde-grootte van 10-6 .liggen. Hierbij zijn de v.srsta.ringen
van de drempelwaarden relatief.
Daar tegen het einde van het maximaliseren de functie
veranderingen slechts in de grootte-orde liggen van 10-11
zijn de gevonden drempelwaarden tach weI nauwkeurig tot
op 4 cijfers.
56
Herhalen van het programma van uit een andere initialisatie
bevestigt dit.
Als zou blijken dat de drempelwaarden minder nauwkeurig
zijn, dan moeten we bedenken dat hier weinig aan te doen is.
De nauwkeurigheid van de drempels wordt hoofdzakelijk
bepaald door het al of niet vlak verlopen van de functie.
Hoe vlakker een functie verloopt, hoe slechter de nauw
keurigheid wordt~van de parameters.
In veel mindere mate speelt ook het afbreekcriterium een
zekere role Omdat men dit zelf in de hand heeft is de
invloed van het te vroeg beeindigen van het programma
verwaarloosbaar klein te maken.
De nauwkeurighetd van de functiewaarden zelf wordt bepaald
door de nauwkeurigheid waarmee de entropie-functie berekend
wordt.
Oe random verstoringen geven bovendien een bijkomende
garantie cat de gevonden maxima inderdaad maxima z~Jn.
Als namelijk het optimaliseren afgebroken zou zijn in een
punt dat geen locaal maximum is dan zou dit door de
random verst~ringen opgemerkt kunnen worden.
57
R = 0.6192359
R = 0.6192285
R = 0.6198974
R<= 0.6195023
R = 0.6169486
Deze opdelingen z~Jn hierna ~eerg8geven.
Ook hier i p met random verstoringen nagegaan of er
verbeteringen mogelijk waren. Dit bleek niet mogelijk
te zijn.
58
I-'-'-'-'~ 'j-'-'-'-'-'-'-'-'-'- -. 001 . 001! . J~···········'····7··············· ..··················· _ _~
: -i'-'-: -._._._._-
· I·001' . 001I : I............ _ , ..
:-------------------------------------ii- ~...
r-'~ ,._._._.- r------'-" ,_._._._._._._._._._.-. .I : I I Ijool1 I 011 i 001 000 I 011
i I Ii~'_";-'_.L.i· -:----~r----l.----~____.-----l-I----------'1- r:
•
001
r-';I .jo 0 1 jIi.. ....l,
,.
·
,.._._._--I.II1. .
·,
••__-.l. :II :, :I .
I!061 :
IIIi
._---_._--
o 1 1
"1-
•.... ....• •.•
.' I
59
I~.
00- .•o 1 0
001
000
IIIIIi
.~._ ..._.. _._.- _._._ .. -i :..011
...·l·-"....·a::l-·_·~-·_-..,.._· ,,--·_·,..·- '-'-'-"-1 -'-'-'-'-'-"-1- ._.- .. -' •.1'......... _._ _ v.v. •..••.•.••••. :- _ _._._.- ~
ii
"IIIIiiiiiiiiii
~..... .•
• '"" N ~ •. . .• • • 0 • "'lI.'." --",-;
In.•
w.••.~
!:I:..I:I:r: t--_·_·_·_·_--I; II: II:" Io.I: In I K2
i1 II: rJn ! r-
I&
. r········I.·_·_·················· ~ : .
I I _- ! . -J:.
<OIIl!......~-'Iu....--,.-I----,Ir----.,.I....L.---rI----r--I-_...-I--....,r----.,.---,.-- <5. .GO.•
fig.5.2 R = 0.619462
.' I
011
"~;,,"'-"""'-'-o''"1"-.-'-'_._.~.-'-'-'r\'""'-'-'• "••.••~•.•.•.••• ."1•. .•••••_•.••••....••_•:-._._.~._._._.···000 :
~"1f:"'-"r-~~'-'-'-'-'1·I~P_.-.w.w.L._._._._.
i ii iti!Iiii
·!Ii·n ,----------
Iiiiiii
I il·i·······_·1 _._-_.__ .i ii ii ii I·.I Ii i·.
ou
·r-----------------;. .I :i j! ~I 001 :. .I i··
010
•·.. ••• ••'. l"-.•co••
1ft••
.-.•PI••
ftI••
...••
:.... -:
.'. ",
;. '.; ....:~.. .:,~~~{::~.. 4.
fig.5.3.
..... ,: ..
R = 0.61965
- .. .~- -'r..r
•
61
X 1- 8.6723..63;.D .8
X 2- 8.;83e46"3"0 .e
X 3- '.2366617720 ..
X ..- •. 1........0 .1
X 5- ••8868835.;0 ..
X 6- '.i83."6..3..0 e.
X 7- '.5"273';130 e.x 8- 8.8882388230-11
X g- 1.153'825580-88
drempelwaarden behorende
bij fig.5.3
)( I- e.672866a7VD ..)( 2- ••88"nG?t3D ..)( 3- ••2342Wi860 ..)( ..- e.9SJ4S68763D ..)( 5- '.81331S8i4D ..)( s- e.u..nsn83D ..)( 7- e.5"32"22...0 ..)( 8- 8.19717&475D 88
X g- 8.1"568939510-e9
drempelwaarden behorende
bij fig.5.2
;I, I- e.783..n376D ..
x 2- '.912865311D ..
X 3- ....8..~3D ..
;( ..- t.9?3S26838D ..)( 5- '.8582213S60 ..j( s- '.8S8222teSD ..)( 7- '.'416&7733D ..j( 8- '.3482261330 ..
X ;- 1.3..821i125D ..
drempelwa2rden behorende
bij fig.5.1
1
62
-
000
011.' 01 0
001
-=
-
K2
000
.-.:;-
o 1 0
1
o
'fig.S •• beste opdeling van K3
R = 0.61965
H--h""'----......---r---.........--..-------.r------.----...---r-t---"T"-.---~
•
'.1
•••
'.8
1.'
ARJIltELE • 1
MIAJELE • 3••1
MJAKLE I""1) MJM£LE 1~.
10 MJM£LE ..1•tIl•tIl
••1~
I.- 0-~.
3 e.sCO::J(JI
0>•e.1 (,J
0-00~(JI ....::J«l \0- \
"CO::J
'.3
...••
8.1
•••
1.'MIA8£LE • 2 8
APIA.ELE • ..'.1
MIMELE •-1)
MI_1.£ 8/-',
LD
• MJAKLE 8 1.8Ul• MJA8£LE()'\
•~
'.1lJlOJ •3 d.ro ~,
:J 3 I.Sc::.: roOJ :JI-' lJlI-' • 0>CD ~:J Q. 8.5Q. 0CD 0
1'10- lJlt1 :J ....CD CD3 Q. ,n CDCD :JI-'lJl c::.: '.3• OJ
:J
8.2
t'i
',' f
Tt"1)
~.
lD•lfI•-..)
•
N
•Q.t-'.3(l)
:J(JJ
~
0.00t-j
,,"(JJ
":J ,(l)
/OJ / ,(l) , "," "~ , /
/,
, /,
",,,",,"
", - ~
,/
",,,~
"
, J~
1.8 _
""1)~.
lO•Ul•Q)
•:0 '"UII
30 CD• c+en~ CD-..J XCJ c+
"\D ~, Q) l\l
"
00a......
\:1'~
1.' _I-__- ~' '_' ---- -------'-'-_ ...-,_._- -I •
I Ii i'.1 _ t------_._._._._._-------,. i-------1 i ' '__ O( iiii 0 i
j i 0 i 0 iiii iiii iiii I'.1 -r --L- .....--_---a------+---------l-----1
•.s _
'-----'---'-1iiIi
o 0o 0
o8.3 _
1.'I
••8
o
I
'.8
I._---_._---r-I_-----J
i 0 ii ii 0 i; i
'.1J
•.sI
1.5r....I
'.3
" ,
I••a.
; 'f;I,
1.1 _
"{ ."
•• 3
'.8
e...
m......
ooo
oo
o
----------------1
.....-.._ ...--._.-.-.-
i!I
iI.I.I
.........................1 1
·._-_._ ....---'"-
1.1~ ~:__._._. ' '_'__~__'_'__
·:l·:r----------------------------i· .i ,! i· .: .I: i
ii". ,"t.1
1.8
I.S
1.1
1.5
""1).....lD•U1
•ID•
:::0 AtA
II3
0 CD• rt-0\IV CDIV X-..J rt-(Jl t1IV III
n0~.....::J
iD
..
I' o
. .".,hl'
1,' •
t.t 1.2 8.3 '.4 '.5 t.& '.7
o
'.8 '.1 1.'
..;;;.
/. Ja '.68S686nSD ..
I. 2a ••"""gnD ..
Yo Ja ••223&76sn4D ..
X ..- •• 1........0 81
>: 5- '."'116&830 ..
X s- ••8181InSilSilD ..
X 7- '.541418'722D ..
X 8- ••18S8S1782D-e3
X I- '.536883417D-l'
drempels uit fig.5 .. 9
R '= 0 .. 622752
X 1- '.7t31e8138D II
X 2- e. ilnnliiD ..
X 3- • •136243816D II
X ..- •• 1........D .1
X 5- e.Sllli746771) ..
X s- e.88&5"34&1) ..
X 1- '.535eJ.tlS2D Ie)( .- '.13&243M11) ..
X I- '.13&243816D ..
. drempels wit fig.5.8
R = 0.617098
68
R 2
I
•• SJ
••3
••7
e.6
1.' -..----:l"·�---------:----.- .....~'-:I·---...1 -',-"",-.-.-I1.1, :1
• I I . Ht:::::::J~==:===:!:=:jr_------~-t------~---~---Jr---~~i ---------1'--1! i 1----J-11
• 1:1 • I ~ • I1~---------t----1L·_--·---.--l'-·---·~ l-'1
I : t I' I• I: I" I • II I: I I, I,. ,:- ..4.-_,. I 11---..
I: I I I I• I I I" I I II I! " . I I• ,: ,. I 11 1I 1'/ I l------t--------l---- ]----
~.--._r.--._l.--.--. ,·--·-1-----t---i 1---1
I . 'II I ,I • I II I II • I II I I
·········1.···-..ir~~~11' .I .·---------r---11I,IIIIII_____. 1_._ __e
8.S
....
'.2
'.8-t).....to•U1•--'a
:::0 rrro
II w'et-
a ro•(J"I "N ~
aOJ 0-J U\0 0-
ro/-".....:J.to
e.l
e••
e••I
'.1
,I•1 II• I,
I1-~I I I I I I I I
,
e.2 '.3 e.4 e.5 '.6 '.7 e.8 ••8 I.' R 1
, I
.a
.....o
1.' • 1'.1•••
ji
••••• ~ ••••• ~. _ ••••••••••• ....... o •• _. _.
II~I
!'.1•••'.1....'.3•.a•••
:i :.........._ , ! .
i 1i :i :ii:
iI
•••
t .•
t .•
'.1
'.3
•.1
•••
'.5
•••
....
•••
I.'
NCD
cTl-1III:JUl3.....UlUl.....CD
f:L,f1 .,'CD3
uCD.....Ul
-t).....lD•U1
•......-lo
•
1.' " I••••••••1•••'.5....•.a'.1
'-'-'-'j-'-'-'-'-'-'---'-'-'---I'-'-'--'---'--I--"-'-'_.-;j .'._._.__~. ._._._._._ I _._._._.~._.-!-iiiiii I
j -'-'-'-'-'-1-'-'-'-' i "-'1iii i
j iiii i ! iI I I I
jI j
--_._._.~._._._._.~I Ii ji ii ji ii i
ij
!Ii
I i_._._._._._._.~._.,
I ii ij i
• I
II •
..........
I••8
I'.7
,•••
,'.1
,'.4
I'.3'.1
..------ii-------··.-----------,---------T-.--T---------i·--jI I I I I'I I • I I I.
________~ r -------~---------~----~----~----~---~________ I I I---------..---~ I •
III II :I I 1 II •
----------~----: I· H :I i I " •1 1 I 1 I •I 1 I I I •I ---------1--- I 11 ..1
I I I II :I 1 I I I •
I I I " •I , .------~-------------~~---~I I •
I I •I I •I I •I I •I 1 •I I I I
I I'. .j.____ 1---..1
I I'I 1
I II II II II I· .,----1
I II II I• &. -l
I II II I1 II II I
I I :~ 11----'
1 1 •It :1 I •I 1 •1 I •1 I •1 1 •I'II!~
'.1 I.' , I••• , ~.•'.1
••8
••a
'.1
'.1
I.'
•••
••7
....
•••
'.3
, '.1
If II.'••t
'. '
• I
-- ~
R 2
e.3o.ae.le.e
i
e.9
e.8
e.7
e.l
1.' -f.------..i~l------T-- j---T-l-'-- I -i'I : • 1 1 • H
··':':':':':'=5~~·.:.·:=-.:=·:=-.:=·:=-.=~:t·:=-.=·:=-jr-- ~------t:==:.::!:=:.:JI.::=:W, I 'I 'I II.:: II 1:1 I 1, l:l 'I III IL ~---.:I I J ..j I ~·-·-·-·--r-·r_·-·-· 1 m-'1, I: I' I ",':' II I: I' I
i I r-------+-i I Il!---i, I: I' I II: I, I: I I I I:, I: I' I JI: II ,. , L-----r------T--- r-I
~·-·1·-·1·-·_·1·-·1·----t---i 1---1
I j I II' II , II • I rI I I
........ J.. ......i'i~~~1~ ..·. .JI ,I: I• I': I
·---------~---i~ I1 • I:I p:I ,I:I p:I ,I:1 f1: II • t:I !li~-=-~J
-·-·_·-·-·L-·-·ffi 1Ui I':i IJI: I -.......--.--.,..-----,r---""""T""I--TI--'I---r---T'I---""IoLI
&.:.,'-.,......-_.~
e.4 e.5 '.6 8.7 8.8 ••g 1.8 R 1
e.6
e.4
e.e
e.2
0.5
e.3
:0
II
o•enNo-,)
1.0CO
--I)....lO
•U1•~
U1•
, j
R 2
~
p. •
, .
...
.I'
--------------~--------~--------~----~-------~--~--~-:':::'-=:_'-::'-=:'~:'-=:'~---- r-''::',::'-r::'1 -- i~=:':-~-~-1 - -·-f.1:~~~:.::.::.::.:~~l-.:.:.:.:.:.:l.':':'::~':'::::E::~ •.:.:j ! ~-----i.:.:~.:.:.:.:.:.:J-,.:..j'i.:...:.:·.J--I-H-- j--'-'------: .-. : i I lti II
. I I 'I II: II'- -'- J I, J: I
i : ~·---·-T--r·-·-·i Ur·.11, I: I' I II: I 'II 1 :-------1'---f 1 I:--1'~I, ,: I' 1 I': 1'1I , I I 1 I: I II• , I' 1 I': t· II I I I 1 I: I II, I I' 1 J': 1'1I I I L-----t--------T--- '__ i-J1
1 , IlI ! I:: ! I:&-.-.-',. -1---,-, ,-.--ti
I' I 'I1 I 1 II
-------;--~ --~--I
I I 1 I.I' 1 'II I ~ I.I' 1 'I1 I 1 I.I' I '
••••.••••••• J .•.••L-_ _.,J__I I:I 'I:I II:I 'I:
·--------- ..---~tlI I.:I II:I 'I:1 II:1 I"~_, I: 1I 'I:' ' .1 fa: 1 III ',: 1 'I1 ":--T-II
---'-·---'~·--ffi : ilI,: "II: I IIII: I 'II: I"It: I ,"t I'
11: 1 'Ia...-- --......-...,........,'r---....,I....--...,'...----.,,----.-,'r-----.lr------'" f '\
'.3 '.4 8.5 8.6 e.7 8.8 e.g 1.8
1.8
e••
8.8
8.1
e.2
8.7
0.5
0.6
....
-t)~,
lD•Ul•~
C\•::0
II
0•C\IV0-..]~
C\
\\
\
"
., f
e.?
e.e
II II I III
I I I , I,J t -t---~
e.2 e.3 8." e.5 e.& e.1 e.8 '.51 1.' P. 1e.l
--!; ---! I! ;;! ~--,!II : I I I I I'I 'I' I I •
====t-===T=i------4--t------~===±-- I ---I, I ~ • I I I II 1 J I I. It---------t---1---·----T--t---·--l tt--'1, I: I' I II II I: I I I I
"
I ~-------~--1' I I ~---1I; I I I, I: I' I I 'I I: " I ,• I: I' I I'I I' I L------i--------,---- +---
I • II I'I ,II I I
I i IL. __.-, ._.
I II' I
-----T---~ ---1I' II II' II II' II II '
•• _••• _.1_ •••••• Jr-=, To "'1- .... -. _.I •I II ,
---------L---i1 ,I II .I I, .t II •I II •_______._l_._ __.
i
1.8
R 2
e.l
e.e
e.3
8.8
e.5
e.6
e.4
e.a
II
0\No0\~
0\
o
:0
•
U1•-'~
•
'.1
"i.I .'
R 2
......01
P 11.'8.68.5....e.30.2e.l
___-----~------r------~---oy-------: I' I I' I I
~~------~--~'--T-------~----~-------t------L--l---~-1I : 1 'i 1 I I II iI,' I : I t1 • I I 1
----------i----i-·~·-·---·_y-·-·i.-.-.-.~~~----------~----1· JI : ',I I' II: I' I J ~I ~-----~----4----J I -I: I I 1I: I' 1 I II: I I II: I' I II 1 : L-------~ tI' I I L...,---------TL---- -
I •I I
..l.-.-.~.J.--JI 0 I II I II' I II I •-------1---1 t-1: i I II' II I II' • II I 'I: r-----.. I
...............L i., 1.. ·1: I I
.------------L----~ II II r
I~~-.....,_-___..--_r____:__..............--.__-__.__·-.............,--....I--.a."'I"I-4-~
e.7 •• 8 '.9
I.e
e... '
e.e, e.e
e.s
0.6
8.2
..8
'.7:;u
II
a•0\NaaN0\
-t).....to•Ul
•~
OJ•
I '
, I
R 2
......m
8.3e.7e.6••5....e.3e.2e.l
---------------~----------.,.-...,.--~---.I : I' I I" I
--T--r---------~--t-------T------4-lI---n
------~--~.~---------,---~-------~ I -~·iI i-------------r--J I . I J-I: I I I I
I : I' I I I I. I I I I
I I i I I I II I' I I I ~I ~-------~ II I I .... l'---------TL---- -
I •
l ! II I II .
l ! I-·..J..-------T -+----- --1
I . II I---------4-; -1
i Ii Ii Ii Ir----- I..··........·..·..··..i.~= ..·I··1f I II : II : II : I
I~----r---,----r-------.----r-----.---_-__-..JL..,--~-~-~
e.e
1.e
e.l
e.e
••2
8.9
e.6
e.3
•• 7
•• S
....
'.8
II
o•0'\Nooo~
•
""1)
1-"to•Ul•~
'.1
R 2
.....
.....
..>, 18.9
----------~--.------1H--T--~~-~------------t----1 H J------l---i lI ,; II I I:• . I: 1" - ,: I__......1- • 't= --..1".-- ·tl----..J...--.,.-..J-::i·······r··
----.-.-.---.-.-., '-'; 'I , - II ,i I 1----------t---t~ It---~1r----------i----i : i I- H : Ii I ~ I i I II : Ii I ~·-·---·-·...J·-·-t_t 11- ._LlI I I I I' I, I. , , .
• I; JI I' ~I I ~------------- '----~+-----~-l===~r---J-t·--·t·-+-
, 'I I: I, I :I . I: IJ ~- -- --r--:I ' ,: II I ,:: i :. II . J II I J, . I II I I, ' ,.1·········J.·_·· ..r· .. J···; ..... "-r"
, I II . II I I
·--------~---i ---~I .I II .I I, 'I ,
I i I_______1.__:f--- ~
. II III I
----......---TI--~---...-I--......1 -----.'....----....,I--·.,.I--f! te.2 0.3 8.4 e.s 8.6 8.7 8.8e.e
1.8
e.9
e.8
e.7
e.l
e.6
e.e
e.2
e.3
e.s
e.4
•
-t)
1-'lD· .Ul
•No:;0
II
a
I .
. ,
8.1
===1.....====~=~==~~~~~!==~=;~~------------~----17----t-- t~: I' I ~: I I I d1-------..+---r---·-----·-·-r---·i'-·--t-------- - I
I : I' I I I ,: I I I I
I ~-----------l-----i-----t-- I tiI : I' I I I I
: I I I t
I : I' I I I I: I I I I
I : I' I I I I: I I I I
I : l i I .). 1.1I , I: I.---------{-- -~---·-:--faI I I: 'II , I: II 1 I: III . I:'
-----,_.~._.~._.~.~
I I' 1'1I I :I I' I. II I :
'-------~t---i---~-~iI' II II' II II' II II' II II i II' I,····..·"..···..···'·..·1·"_"'Jj' ~
------ - ~
I IDI IftI I :J
: !1 ..r r '1 I if- .~
8.2 e.3 8.~ e.5 8.6 e.7 8.8 8.8 1.8 P 1e.8
1.8
e.;
P 2
e.l
e.1
8.8
1.2
1.7
1.6
e.3
e...
1.5
::tl
II
o•m~
\D~
oCD
-1).....1.0
•U1
•N~
•
, I
R I1.'8.6e.5....8.38.2e.1
=J=------..-----r----.---,------w-~ i-,-~-----------~----~---------~---~---li~-------~-~---~t_~t
-- i -L,---+.·--····--···· ..·..ri.. · ·t t···------:'--t---l,.-i "l~'----4-·-·-·-·+·-·~~---------t---~---~-- 1~-1iIi I illI I· I' I, I II I~--------t---f·_·_·_·-·~·_·~·-·l·- I~:JI I ... J J I • LL· I: I .---;-- I f I II I: I I I , I• I: I' I I'llI I: I I I • I· I: I' I I ' I II I: I I I t I, I: I' I JIIJI I' I I I • i I 1-
I • I' I-------+--+---~~-~I • I' I
I I I: II . I· I
·_·_·_·~·-t-·-.~iI • I: I II I I: II • I: I I
--------r-i---~~-r1I' I: I II I I: II' I: III I I: II . ,: I II I I: II' I: I II I I: I
............... L..,L····J:··t··~i"1I . I I I II . I I I
----------r---ti-~~,: ! I : Il ! II : II I I
· ·_·_·..J·_·_1; : JI I IIJ I IIIrt1
L-_~_--;.---_--.-_---,__--.-_---, -.I__...,I__..,I_JoL-Ll....L.....i:~~
'.1 1.8 1.1t.e
R 2
e.e
e...
e.1
e.5
e.6
e.2
1.'
8.8
'.9
o•(J)~
UJUlUlCJJ
-t).....lD•Ul
•NN
;0
II
, I
R 2
Q)
o
P 11.8I
8.8•• 7e.6e.se...e.31.2e.l
------------ j..==-..=:-..=:--==-..==-..==-..==-..:r--=:-1J--i =--=:-f=--====-===.=.i:IJ-----11
•••••••••••••••••••• - .•••[~~~~~~~T~~~~~t~. r=1= i T ••• , r:~--------------l------~-----l--J ~---~--------r-1!-11 U,:.--_._._._._-_.+._._.-t-._._.t-., I I -~_._--t-~ --H I
t ' I I 'I I • I: I'_______________~_-_-__~_-_-_-~--~ I I -----~-~-+~ ,I • I I • I I • I: I'I I I I I I I I I: ,I ' I I • I I • I: I'I I I I I I I I I: II • I I • I I . I: I'I I I I I I I 'I I • , I
----------t-t--t-~~I I 'II I I'_._._._._• ...L. ._.L.....t1
------T-.--T~ ,~I ' I: • :
------L-+-.l-i I! I: I : ---r-1'I 'I .I I I II 'J •I I I I_·_·_·-t--t--r iI 'I •I I t II 'I •I I I: II ' I' .
------t--+--+~ I: I;'_ L.....j1; I! I~ Ir I1 I=r J.j-"""""":>~
8.ge.e
I.e
e.8
e.;
8.7
8.6
e.e
e.5
e...
. e.3
II
UJN+>oCD
o
::0
N(.,.l
•
•
•
""I).....lD
•Ul
I '
.,
, I
~.....10•tfI
•N+>-::0
II
o•en.....UJNUtfIUJ
R 2
1.8
8.51
e.8
0.7
e.6
e.s
0...
e.3
8.2
e.l
e.ee.e 0.2 e.3 e... e.s
Ie.7 P. 1
(X).....
R 2
e.l
--------- --"!---- -- - - F=~===t==----=-.,-=-=:.=-r-~--~::
~r--------------t----t-----r--: I' I___ _~--.---.---.--_J---.J.-.--~-. _• I,' I: I I
I : I' I I II______________.1 -"_1----..,...-- . If
I I j I I III I i I I I:I Ii: I III I ill III I' I I II I I , .:
, I II, I I I.---------.,-------,--nI I ,"I I' I"I I I
.-.-.---.-J---i--J.JlI I' I III I ,
, " I I'I I II .f' --.J_-lI.----------+--.. I III I III I ,
I I I'I I II I III I I
I I I'I I ,
I I "I I I
I , ", I I..............-.....:_..-.-1~~~I IlI I:I t
'--,,----r-'---rl·--"""TI---.'r-----T"I--I 4-..-.>0.3 e.4 e.5 e.6 e.7 8.8 8.9 1.' P I8.e
I.e
e.•
e.8
e.l
e.6
e.5
e...
8.7
1.0NNCDUl
o•(J\-"
-t)
1-"lD•Ul•NUl
;:0
\I
• I
R2
P. I
-~
1.'0.2e.l
----------------------J[------------J[I------------~-~-J-.
-=:.-=:.-=:.-=:.-=:.-=:.-=:.-==t-=:.-=:.-=:.~-·~·~·==.·==.·-t=-·==.·tT-=:..==-.~.==.- - -' 1 i:'t-:-1...........~~~~ - -.I :~ , 1 I -l.,..~~:.jl .. ,-===...-r=:--=:--=~=--=:-+:--=:- , I :========z.=~-tt: I
I I :------------- ""1--- 11;- --1, ,:-.._._._._.,._. +- II:' -ll----------...---.: I I I ~ II, ,: I' I II: I', I :- • .J I 1:-iJ
I, I: ',' I I,: III' I I I: I, I I • I II: ,., I I 'I I: ,I, I I 'I 1/: "I I I 'I I: II
i ~ l i I ----------1~~~-J'·-1_._._._.,. '-T--:' / -'
/ I I : II/ . I : I'
--------~--~: i-HI I I : III 'I I'I I I III 'I I'I I I III 'I I', I I ,III 'I 'I'
. •..••••...••.•. 1. •.•. .L. J_ ••,.~-H--J/ II: II 1I ,I, I' I
~ 'I: II I----------T--- .. f: I' II 'I:'"/ j'i-H I
/ , I: I1 II: II ,I; II II: II ,I: II II: II ./; I_·_·_·_·_.L..·_·W I
I,: I,: 1
II: II: 1
II: II: I
11: IL...----,,..----,-·----.----r--...,------r---r----r---T-·I· 1I I I I J I r .
e.3 e.4 8.5 8.6 e.7 8.8 ••ge.e
'.liJ
'.1
e...
1.'
8.7
8.3
0.5
8.a
•••
'.8
'.61\
o•
•c.n•N0\
::0
4).....to
. I
R 11.''.18.88.78.68.58.48.38.28.1
----------------~-----±---------L-:.:t:---L---------L-.:t:--ii-+L______. .__-.J._._. _._. ._1.-. l __. ._.L... __ .J..1.----------------t------r---------t---... I --------t---... I :-t': I------- I. • J., J---- ------J..-r==rr.ll..~------~.-._._._.+._.-r---------~--+----~ I -+~
iIi I i I Ii:• I 1-'-'-'-'-'-1.-·-,-,-,-.- L 1....L L .; " .J I I
"
. I: I ~ L.. I I !j..LI ~ ~_--~ I I_ul, I: I' I I 1 I' II I: I I I I II I, I: I' I I I I' II ,: I I I I II I, I: I' I I I I' II I: I I I I II I, I: I' I I I I' II I' I I I . I ,I I
---------~-+--~-i-+ ..I I II I'I , I I ,II I I I II
'---'-'-(~'+'--H, tI I , : IIII ' ,:,' II ~--T-:.h·-------r--... , :-r. I1 I 1 : tI ,I ' I : 1'11 I I: ,I.1 • I : t' I1 I I : II II • I : " II I I : "II ' I ; 1'1
----"""" -_.•.. . ,..t. ... -'-l'-tt+I , to I
l '~ d I, I' I----------L---t II II 'I' ~I I -tr I
I iii:I '1'1
I Wi" II iii:I '1'1._._._._._L___ I til
I I I,' 1I I 1
I I ',' II I I
I I II' II I II I' I
8.'
R 2
1.8
8.8
8.8
8.1
e...
8.8
e.5
8.2
8.6
8.7
8.3
o(J)~
\DUloN
N-J
:0
II
Ul
•
•
"""1)....\D•
. I
85
'I-
lC I".
X 14-
)C as-)( II-
)( u-
)( I-...x .,.tc
X I-
~\"··I. .....7......(':":<2···· ••~ ..~~~::<3.:'> D ..
': x ';f~' 3I5D ..
X , • ., •••37 ..
••114,....70 ..
'.5'77U&474O ..
..13II&'41&5D ..
•• 14T71118ID ..
.......3lUD ..
••ntll53&SD ..
•• i'72'7S4443D ..
••Hl73IMSD ..
'.6111P2fiD ..
••1IIItI&26D ..
'.Hl73IenD ..
•••+4iSl318D ..
••114.f4,D ..
•• "'SlIUZSHD ..
••4.....19111 It
'.5251831'''D ..
'.23I&S~6T) ..
'.23~5J) ..
•• 111SItW7D ..
'.32&'71457t1l ..
••1..H12<t2D-t1
••13t'?1H'43D-1.
..~, ..••9342'J1181" ..
. ••777R'7I'tS1D"
1.tt'74714Z3D ..
1.83I212&32D ..
1.11A421,4D ..
••HN833UD ..
'.l52t13I22D ..
,.141'733S31D ..
,.,..I..ID ..
'.H'?4'l423D ..
'.H7471423D ..
'.134161111 ..
'.681114331D ..
1.7eI4SM78D ..
'.134216818D "
'.845312S31D ..
•• ll&2..21....D "
• •4i8U",331D II
1.382'o4fS53D I'..sa48811t3D ..
'.1574"'124D ..
•• ISZM3122D ..
'.256.""0''.3IH&41S21:l II
1.112&2<Mi.511-e1
'.3UHll36I:l-I'
/. 1·
;I. 2·
X 3·
;I. 4
X ,
X I·I( 7·
I( ••
X I·
Xl'·X U·
X 12·
X 13·
X 14·
X 15.
X 16
X 17-
l( -l'.X II·X ee.X 21·
l( 22·
X 13·
)( a..•Ie asI( H
X 11·
drempels uit fig.S.10
R = 0.5208791
c..drempels wit fig. 5.15
R = 0.6207982
<w., cr.,
;' a·Yo 3-·
Yo ...
X 15:I. 6
l( 7
X 8
x ~
y. 1'X uYo lC!
:I. 13
y. 1"X 15
:< 16
X 17
X 18
y. 19
X C!a:< 21
l( 22
)I; 21
)( 2..
)( 25
)I; 26
~ 27-
'.688318287D ..
'.~I;7"57D ..
....86618114D ..
'.~H61""7D ..
8.836868357D ..
... g15a1378D ..
8.5781398230 ..
•• a"26853730 ..
8.1"68945650 ..
'.99D4C!6-4670 ..
8.99861....70 "
8.5172"'2870 ..
8.92g191..57D ..
8.688318287D e.
8.79282621gD ..
e .92...9827SD ee
e.8..92288....D ..
e.9158813"'D ee'.688318287D ee....866183150 ..
8.S2728~3D ..
'.242&t5373D ..
1.2<426e5373D ••
1.118687SS4D ..
'.3)M"~lD ..
•• 129485558D ..
'.2123S228eD-l1
86
"/ 1
~ 2
X ]li .
X ...
X 5.
)( 6
)( 7
X 8
X 9-
:< 1'X 11-
)( 12-
X 13-
X 14
)( IS-
)( 1'-X 17·
X 18·
X 19
)( 2e·
l( 21
l( 22
)( 23
l( a..•)( 25·
Yo 26
X 27-
e.6835Ql86D ee
•• D2S92..7....0 ..
1.3733151680 ..
l.gga711846D ..
..83H..92..9D ee••ge7Ve57810 ..
'.559287822D ..
'.1-42335111D ..
•• 1..26311 ....D ..
e.~l1"lD ..
'.5151865511820 ee
e.51g86g2..28D ..
•• 925822g2.D ..
e.&83678123D 8.
e.765C!&3937D ..
e.g25913.11D ..
e.83....5..'.2D ee•• g878S9261D ..
e.&83..68222D ..
8.377173355D ..
8.51236..131D ..
8.14.7768..0 ..
l.l"2331618D ee'.lSlMS89UD-84
'.38"286'46D ..
I. 152262286D-83
'.122331~D-es
,\.
drempels uit fig.5.16 drempels uit fig.5~'7
.~
87
X 1= O. 6705838240 00 X 1'"' O. 669Tt:',J17'71.l 00
X 2.: 0.9661553330 00 X 2=- o. 966:10:",4350 00
X 3= O. 2645200740 00 X 3:0=; 0.2392363190 00
X 4= O. 999974983D 00 X 4= O. 1000000000 01
X 5= 0.8606435740 00 X 5=- 0 861266554D 00
X 6= O. 8785133700 00 X 6'0 O. 87B38~,0500 00
X 7= O. 5304840670 00 X 7"" O. 5300090940 00
X 8= O. 584362424D-Ol X 8= 0.3639428260-09
X 9= O. 1860982700 00 X 9"" O. 1823748260 00
X 10"" 0.1000002170 01 X 10"" O. 1000000000 01
X 11"" O. 9999745020 00 X 11 :: O. 1000000000 01
X 12= 0.9999744750 00 X 12= O. 9663054350 00----,
X 13= 0.9659533470 00 X 13= O. 9660695860 00
X 14= 0.6962851650 00 X 14= 0.6965528060 00
X 15= O. 7949067240 00 X 15= O. 82819;;0390 00
X 16= O. 9661466710 00 X 16= O. 9663054350 00 jX 17"" 0.8785218730 00 X 17"" O. 8783860500 00
X 18"". 0.8785110450 00 X 18= 0.8783860500 00
X 19= O. 6705575700 00 X 19= O. 6697466520 00
X 20= 0.3120559820 00 X 20= O. 3096978230 00'.
------..X 21= 0.4471835980 00 X 21= O. 4734310100 00 ------X 22= O. 5843656470-01 X 22= O. 7484266890-02
X 23= O. 5844732300-01 X 23= 0.3638864330-09
X 24= O. 1613245100-05 X 24"" 0.3638864330-09
X 25"" O. 1860977230 00 X 25= o. 18;;'3748270 00_.X 26"" O. 1207221830-04 X 26= 0.2183568230-0'i
X 27"" O. 1074416070-05 X 27= 0.3288267410-0'"
drempels uit fig.5.18 drempels uit fig.5.19
88
X 1~ 0.6905789410 00 X I."'" O. 6738::>03'/60 00
X 2= O. 913~3001BO 00 X ~=- O. ?8258~034D 00
X 3 .. O. 423722273n 00 X 3= O. 23:J6856961) 00
X 4= O. 9995220950 00 X 4~ O.99999841.1D 00
X 5= O. 7759167930 00 X 5>= 0 88666531.1D 00
X 6= O. 9009997100 00 X 6= o. 8910358830 00
X 7= 0.6648389280 00 X 7= O. 5438284740 00
X 8>= O. 119518072D 00 X 8= 0.2473192170-01
X 9= 0.150693117D 00 X 9"'- O. 1679181550 00
X 10= O. 999522219D 00 X 10== O. 999'i993300 00
X 11= 0.9736898500 00 X 11= O. 9948362990 00
)( 12= O. 9995220950 00 X 12= O. 9999984110 00
X 13= 0.8718926090 00 X 13= O. 9541461850 00
X 14>= O. 7612570600 00 X 14= O. 8235460480 00
)( 15= 0, 6905789410 00 X 15= 0.8185938620 00
X 16= O. 9132300180 00 X 16= O. 982582034D 00
X 17= 0.8358444520 00 X 17"- 0.8910358830 00
X 18= 0.9009997100 00 X 18= 0.891035883D 00
X 19= 0.6816820120 00 X 19= 0.6352839270,00
X 20= O. 5964594460 00 )( 20= 0.4533380510 00
X 21= 0.6648389280 00 )(..... -.- ---~-- .. , --
21= 0.4494420580 00
X 22= - 0.3373618620 00 X 22= 0.1752194010 00
)( 23= 0.1195180710 00 X 23= 0.24731139830-01
X 24= O. 1668412850-09 X 24= 0.4180754500-11
X 25= 0.3420347000 00 X 25= O. 1679181. 550 00
X 26= O~ 3472904500-09 X 26= O. 4893751890-09
X 27= O. 1402563360-09 X 27~ O. 2706261400-09
drempels uit figS.20 drempels uit fig.S. 21
89
X 1.. O. 6905053850 00X 1'" 0.6925268170 00
X 2= 0.8915189480 00X 2= O. 9501078080 00
X 3= O. 3614227690 00X 3= O. 5351540970 00
X 4= O. 9998080650 00X 4 .. 0.9875710280 00
X 5= 0.8624989730 00X 5= 0.8915187570 00
X 6= 0.9283244170 00X 6= 0.831917739D 00
X 7= O. 5959385540 00X 7= O. 5876543890 00
X 8= O. 5047768290-01X 8= 0.2183011660 00
X 9.. O. 1402043350 00X 9= 0.3764928720 00
X 10= O. 1000000000 01X 10=- O. 1000000000 01
X 11= O. 9849827280 00X 11=- O. 9503482920 00
X 12= 0.9765160050 00X 12= O. 9875710280 00
X 13=- 0.9240216720 00X 13= 0.8915189480 00
X 14= 0.8123933960 00X 14= O. 8548878040 00
X 15= 0.8201924030 00X 15= O. 8915187560 00
X 16= 0.9501078080 00X 16= O. 8738478150 00
X 17= 0.8555571940 00X 17= O. 7899882210 00
X 18... 0.9283244170 00X 18= O. 7899898470 00
X 19= 0.663759469D 00X 19=- 0.6499243850 00
X 20= O. 5267273870 00X 20= 0.5351540990 00
X 21= 0.5327781730 00X 21= 0.5351540970 00
X 22= O. 2696693740 00X 22= 0.4712381850 00
X 23= 0.4080471110-09X 23=- O. 4339467651>-09
X 24= O. 5047768280-01X 24= O. 367776~300-08
X 25= O. 2920315710 00X 25= 0.4881125230 00
X 26= 0.3459106780-09X 26= O. 2648660900 00
X 27= 0.4000000000-12X 27= O. 264865765D 00
uit fig.5.22 drempels uit fig.5.23drempels
90
'..
91
"
X 1-= O. 6905393600 00 X 1= O. 693115;></70 00
X 2= 0.9378141710 00 X 2"" 0.9469842710 00
X 3= 0.3878659390 00 X 3= O. 375~/830600 00
X 4= O. 9673113170 00 X 4'" O. 977208~200 00
X 5= 0.8771320310 00 X 5= O. 87652b2240 00
X 6= 0.9224772260 00 X 6= O. 9274724720 00
X 7"" 0.6130194480 00 X 7'" O. 5999308510 00
X 8 .. 0.3878659370 00 X 8= 0.3759827020 00
X 9= 0.1421142780 00 X 9,.- O. 1426877670 00
X 10= O. 1000000000 01 X 10.. O. 9921065570 00
X 11= 0.9673113170 00 X 11= 0.9469842790 00
X 12= 0.9585651370 00 X 12= 0.9682464620 00
X 13- 0.898077631D 00 X 13= 0.9290479380 00
X 14= 0.8771320310 00 X 14= 0.8366292080 00
X 15= 0.8218088500 00 X 15= 0.8221463380 00
X 16= 0.9319062540 00 X 16= 0.9469842710 00
X 17= 0.8546960990 00 X 17= 0.8550053270 00
X 18= 0.922477226D 00 X 18= O. 927472472D 00
X 19- 0.6460483690 00 X 19= 0.6685483550 00
X 20= 0.6130194480 00 X 20= O. 5452842130 00
' ..........., X 21= O. 5462636070 00" X 21= O. 5335319870 00
X 22= 0.3878659380 00 X 22= 0.3759830600 00
X 23= O. 5737724080-08 X 23= 0.2796439990 00
X 24= 0.2728711860 00 X 24= 0.2645142400 00
X 25= 0.3158871840 00 X 25= 0.3037720310 00
X 26= O. 127279999D 00 X 26= O. 1442450360-09
X 27'" 0.6391825860-11 X 21'= O. 4000000000-12
drempels uit fig. 5.26 drempe-ls uit fig.5.27
92
.I 1
01 1 1I
I 0000 I 0100I
I I0001.. i"'- - - - - - - ... -.
I
_. - --Jr ----- I
II
0101 I 01 10I 0010 0000 1
I ---_ .. _---.,I
I, I,
I I l
rnl nm-- ~1-n-r - - J I,I - -- ---
l • I rO-O~~- I 0000 I, 001 1 00 t 1I I II I •~---_.
I
I I1I1
~----L\_- ------ .-I
II
III I
I II I
t--- K3
1-- --
1
fig.5.28 beste opdeling voo.r K4
R = 0.6208791
1
o
SLOTBESCHOUWING.
Dit verslag geeft een overzicht van verschillende
methoden welke gebruikt kunnen worden am het
capaciteitsgebied van het and-channel nader te bepalen.
De methode van de Shannon-strategieen is hierbij de
minst geschikte voor numerieke berekeningen.
De methode van het and-chgnnel als beslissingsprobleem
of het opdelen van een vierkant, levert resultaten op
welke buiten het inner-bound gebied liggen.
Vanwege de vele maxima die optreden wordt oak deze
methode voor hog ere orden van het afgeleide kanaal
minder gsschikt. Het ziet er niet naar uit dat er op deze
manier rate-pairs gevonden kunnen worden die de rate van
het Schalkwijk coding-schema benaderen.
WeI kunnen de verkregen opdelingen van het vierkant
nader geanalyseerd worden.
Het blijft echter de vraag of de inzichten die hier-mee
verkregen worden representatief zijn voor hog ere orden
van het afgeleide kanaal.
Een andere mogelijkheid is am coding-schema's te zoeken
in de vorm van Markov-chains. Dit is zeker geen eenvoudige
opgave. In het coding-schema van hoofdstuk 4 kunnen
echter nag weI een paar extra vrijheidsgraden worden
,verwerkt, door minder aannamen te doen.
REFERENCES
[1] C~E. Shannon, "TwoTway communication channels",
Proc. 4th Berkeley Symp. Math. Statist. and Prob,
vol. 1, pp. 611-644, 1961.
~1 J.P.M. Schalkwijk, "The Binary Multiplying Channel
A Coding Schema that Operates Beyond Shannon's
Innerbound Region", IEEE TraQs. Inform. Theory,
vol. IT-2B, pp 107-110, jan 1982.
~] J.P.M. Schalkwijk, "On a Nontrivial Extension of an
Achievable Rate Region for the Binary Multiplying
Channel", to be pUblished in IEEE Trans. Inform.
Theory.
~] G. Dueck,"The Capacity Region of the Two-way Channel
can Exceed the Inner Bound", Inform. Contr., vol 40
pp. 258-266, Ma~ 1979.
~] Do Slepian and J.K.Wolf," ~oiseless Coding of
Correlated Information Sources", IEEE Trans. Inform.
Theory, vol. I~-19, ·pp.471-480, July 1973.
~] R.E. Blahut," Computation of Channel Capacity and
Rate-Distortion Functions", IEEE Trans. Inform.
Theory, vol. IT-18, pp.460-473, July 1972.
~].M. Horstein," Sequential Transmission using Noiseless
Feedback", IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-9,
pp.136-143, July 1963.
~J J.P.M. Schalkwijk," A Class of Simple and Opti~al
Strategies for Block Coding on the Binary Symmetric
Channel with Noiseless Feedback", IEEE Trans. Inform.
Theory, vol. IT-17,pp.283-287, May 1971.
DANKWOORD
Het is hier op z1Jn plaats am een dankwoord te richten
aan aIle leden van de vakgroep informatie-theorie.
Dit vanwege de collegiale omgang en het feit dat men
op elk moment be reid is am tijd ter beschikking te stellen
voor het bespreken van allerlei zaken.