estudiante: docente: nancy patricia plazas carrillo · interceptos: recuerda que los interceptos...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PILAR

BUCARAMANGA - SANTANDER

GUÍAS DE APOYO AL ESTUDIANTE

GUÍA No. 5 Período: II Pág. 1 de 20

11º CÁLCULO

Estudiante: Docente: Nancy Patricia Plazas Carrillo





11º CÁLCULO





11º CÁLCULO

15

32)(

x

xxf

15

32

x

xy 3215 xxy 325 xyxy

325 yxxy 325 yyx 25

3

y

yx

Ahora bien, hagamos la interpretación de la ecuación resultante, ésta me dice que y puede ser cualquier número real

menos quien haga cero el denominador (por ser racional). Significa que el rango será:

5

2R .

Observemos la gráfica de dicha función

Interceptos: Recuerda que los interceptos (cortes) de una función serán los valores donde la gráfica de la función toque los ejes cartesianos. De esta manera, dada una función podremos tener interceptos con el eje x o con el eje

y .

Método para encontrar los interceptos: Interceptos con el eje x : Debes reemplazar en la función a y por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de x .

Interceptos con el eje y : Debes reemplazar en la función a x por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de y

Ejemplo: Hallar los interceptos de la función 15

32)(

x

xxf

Solución:

Interceptos con el eje x :

15

32)(

x

xxf

15

320

x

x 320 x 32 x

2

3x

Interceptos con el eje y :

15

32)(

x

xxf

105

302

y

1

3

y 3y

Respuesta:

Los valores encontrados indican que la gráfica cortará al eje x en el punto

0,

2

3 y al eje y en el punto 3,0 .





11º CÁLCULO

Asíntotas: Recuerda que las asíntotas son rectas (horizontales o verticales) imaginarias que hacen que la gráfica se extienda hacia ellas de forma indefinida pero que nunca las corte. En las funciones racionales existirán asíntotas en aquellos valores de x y y que no puedan tomar el dominio y rango

respectivamente.

Ejemplo: Halla las asíntotas (si las hay) de la función 15

32)(

x

xxf

Solución:

Como vimos antes, cuando hayamos el dominio y rango de esta función, los valores 5

1x y

5

2y son los números

que no pueden hacer parte del dominio y rango respectivamente, significa que estas serán las asíntotas de dicha función, la primera será asíntota vertical y la segunda asíntota horizontal.

Crecimiento o decrecimiento: Para saber si una función crece o decrece en un intervalo, basta con tomar dos

valores del intervalo, hallar el valor de la imagen de estos y comparar los resultados.

Es decir: si tomamos valores 21, xx que pertenezcan al dominio de xf donde 21 xx y obtenemos que

21 xfxf , podemos concluir que la función xf es creciente, en caso contrario es decir si 21 xfxf la

función será decreciente.

Ejemplo: Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función15

32)(

x

xxf

Solución: Cuando encontramos el dominio de esta función dijimos que x puede ser cualquier valor menos 5

1x , es

decir

5

1, y

,

5

1, para determinar el crecimiento y decrecimiento debemos analizar estos dos intervalos por

separado así:





11º CÁLCULO

Veamos que pasa en el intervalo

5

1, : Sean: 21 x y 12 x

11

11 xf y

6

12 xf , es decir 12 xfxf , significa que la función en este intervalo decrece.

Ahora analicemos lo que sucede en el intervalo

,

5

1: Sean: 11 x y 22 x

4

51 xf y

9

72 xf , es decir 12 xfxf , significa que la función en este intervalo también decrece.

Gráfica: Para elaborar la gráfica debemos tener en cuenta todo el análisis realizado anteriormente, es decir: dominio, rango, interceptos, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, de manera especial para la gráfica de las funciones racionales se cumple que están representadas por curvas, nunca líneas rectas.

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 15

32)(

x

xxf

I. Empiece por ubicar las asíntotas II. Ahora ubique los interceptos

III. Elabora la gráfica en cada uno de los intervalos, recuerde tener en cuenta que son curvas decrecientes

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Definición: La función valor absoluto es una función que le asigna a cada elemento x su valor absoluto, está definida

así:

0

0)(

xx

xxxxf

si

si

Ejemplos: Son funciones de valor absoluto





11º CÁLCULO

13)( xxf 325)( 2 xxxg 25

2)(

x

xxh

Domino: Para encontrar el dominio de una función con valor absoluto, debemos analizar lo que hay dentro del valor

absoluto. Ejemplos:

Hallar el dominio de la función 13)( xxf

Solución: Lo que se encuentra dentro del valor absoluto es una función polinómica (lineal), como ya vimos esta

función tiene como dominio el conjunto de los números reales, por lo tanto 13)( xxf tiene como dominio a R .

Hallar el dominio de la función 25

2)(

x

xxh

Solución: Lo que se encuentra dentro del valor absoluto es una función racional, en ésta debemos analizar cuando el denominador se hace cero y quitar esto al conjunto de los números reales, es decir, el dominio de la función

25

2)(

x

xxh , es 5R .

Rango: Para encontrar el rango debemos tener en cuenta el término independiente que hay fuera del valor absoluto,

el rango será un intervalo que tiene como extremo dicho número y que se extiende al infinito, será extremo inicial (si antes del valor absoluto es positivo) o extremo final (si antes del valor absoluto es negativo). Es decir si la función es

axxf )( , el rango será ,a , y si es axxf )( , el rango será a, .

Ejemplos:

Hallar el rango de la función 13)( xxf

Solución: El término independiente fuera del valor absoluto es cero, además antes del valor absoluto está el signo

negativo, por lo tanto el rango de 13)( xxf será el intervalo 0,

Hallar el rango de la función 25

2)(

x

xxh

Solución: El término independiente es – 2 y el valor absoluto es positivo, entonces el rango de 25

2)(

x

xxh ,

es ,2 .

Interceptos: Se sigue procediendo como en las otras funciones, esto es: Interceptos con el eje x : Debemos reemplazar en la función a y por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de x .

Interceptos con el eje y : Debemos reemplazar en la función a x por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de y

Ejemplos:

Hallar los interceptos de la función 13)( xxf

Solución: Interceptos con el eje x :

13)( xxf 130 x 130 x 13 x 3

1x





11º CÁLCULO


13)( xxf 103 y 1y 1y

Respuesta:

Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en el punto

0,

3

1 y al eje y en el punto 1,0 .

Hallar los interceptos de la función 25

2)(

x

xxh

Solución:

Interceptos con el eje x :

25

2)(

x

xxh 2

5

20

x

x

x

x

5

22 , acá debemos analizar dos situaciones:

Cuando 25

2

x

x y cuando 2

5

2

x

x, es decir vamos a tener dos puntos de corte con este eje, veamos:

Si 25

2

x

x xx 522 xx 2102 xx 2210 x12

Si 25

2

x

x xx 522 xx 2102 2102 xx 83 x

3

8x


25

2)(

x

xxh 2

05

20

y 2

5

2

y 2

5

2y

5

8y

Respuesta:

Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en los puntos 0,12 y

0,

3

8 y al eje y en el

punto

5

8,0 .

Asíntotas: Esta función tendrá asíntotas, siempre y cuando lo que se encuentra en la función tenga parte racional. Ejemplos:

Halla las asíntotas (si las hay) de la función 13)( xxf

Solución:

Esta función no tiene asíntotas dado que está representada por una función lineal.

Halla las asíntotas (si las hay) de la función 25

2)(

x

xxh

Solución:

Vamos a encontrar una asíntota vertical en 5x , recuerde que es el valor que quitamos de los números reales en el

dominio. No vamos a tener asíntotas verticales.





11º CÁLCULO

Crecimiento o decrecimiento: La función valor absoluto decrece a un lado del valor de x que corresponde al

valor y inicial en el rango, o al valor x de la asíntota y crece al otro lado. Para esta clase se funciones, se

recomienda analizar intervalos como se hizo en la función racional. Ejemplos:

Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función 13)( xxf

Solución: Como vimos anteriormente, el rango es 0, , el valor de x que corresponde a cero en y , será

130 x , es decir 3

1x .

Entonces: La gráfica de la función 13)( xxf , crece en el intervalo

3

1, y decrece en el intervalo

,

3

1

Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función 25

2)(

x

xxh

Solución: Como vimos anteriormente, esta función tiene una asíntota en 5x , significa que el análisis lo debemos

hacer en los intervalos 5, y ,5 , pero además encontramos un punto crítico en 2x , significa que el

primer intervalo debe ser analizado en dos intervalos distintos 2, y 5,2 , de esta manera nos quedan

tres intervalos para analizar 2, , 5,2 , ,5

Analicemos el primer intervalo: sean 41 x y 32 x ,

245

24)( 1

xh 2

9

2)( 1

xh 2

9

2)( 1 xh

9

16)( 1 xh

235

23)( 2

xh 2

8

1)( 2

xh 2

8

1)( 2 xh

8

15)( 2 xh

Como )()( 21 xhxh , la función decrece en el intervalo 2,

Analicemos el segundo intervalo: sean 31 x y 42 x ,

225

22)( 1

xh 2

3

4)( 1

xh 2

3

4)( 1 xh

3

2)( 1 xh

245

24)( 2

xh 2

1

6)( 2

xh 26)( 2 xh 4)( 2 xh

Como )()( 21 xhxh , la función crece en el intervalo 5,2

Analicemos el tercer intervalo: sean 71 x y 102 x ,

275

27)( 1

xh 2

2

9)( 1 xh 2

2

9)( 1 xh

2

5)( 1 xh

2105

210)( 2

xh 2

5

12)( 2 xh 2

5

12)( 2 xh

5

2)( 2 xh

Como )()( 21 xhxh , la función decrece en el intervalo ,5

Gráfica: Debemos tener en cuenta todo el análisis que se ha realizado y de esta manera elaborar la gráfica.

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 13)( xxf





11º CÁLCULO

I. Ubique los interceptos II. Grafique la parte izquierda del punto

0,

3

1, en ese

intervalo la gráfica crece, luego la parte derecha del mismo punto, en ese intervalo la gráfica decrece

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 25

2)(

x

xxh

I. Ubique los interceptos II. Grafique las asíntotas

III. Realicemos la gráfica teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento de la función





11º CÁLCULO

FUNCION PARTE ENTERA

Recuerda: Dado un número decimal, su parte entera corresponde al número que se encuentra antes de la coma decimal. Ejemplos: Dado el número 2,45 ; su parte entera es el número 2 Si el número es - 4,18; la parte entera será – 4 En el número 0,2945; tenemos que su parte entera es 0

Definición: Se denomina función parte entera, a la función xxf , que asigna a cada número del dominio la

cantidad entera que tenga éste (por truncamiento). Existen otras formas de análisis de la función parte entera que se enuncian pero se dejan para el estudio individual: función techo, función piso, y función por redondeo.

Ejemplos: Son funciones parte entera

12)( xxf 23)( xxg 51

42)(

x

xxh

Domino: Para encontrar el dominio de una función parte entera, debemos analizar lo que haya dentro de ella y proceder como se ha indicado hasta el momento en el estudio de las otras funciones.

Ejemplo: Hallar el dominio de la función 23)( xxg

Solución: Lo que se encuentra dentro de la parte entera es una función polinómica (lineal), entonces

23)( xxg tiene como dominio a R .

Rango: Para encontrar el rango debemos tener en cuenta tanto lo que está dentro como lo que está afuera de la

parte entera, para una función de la forma axxf )( su rango será el conjunto de elementos de la forman

am donde Zm .

Ejemplo: Hallar el rango de la función 23)( xxg

Solución: Como fuera del valor absoluto está el número 2, entonces el rango será de la forma 2m donde Zm ,

que en este caso genera el conjunto de los números Z. Interceptos: Se sigue procediendo como en las otras funciones, esto es

Ejemplo: Hallar los interceptos de la función 23)( xxg

Solución:

Interceptos con el eje x : 23)( xxg 230 x 32 x 233 x

3233 x 56 x Es decir el intervalo 5,6 .

Interceptos con el eje y : 23)( xxg 230)( xg 23)( xg 23y

5y

Respuesta:

Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en el intervalo 5,6 y al eje y en el punto

5,0 .

Asíntotas: Esta función tendrá asíntotas, siempre y cuando lo que se encuentra en la función tenga parte racional.

Ejemplo: Halla las asíntotas (si las hay) de la función 23)( xxg

Solución: Esta función no tiene asíntotas dado que está representada por una función lineal. Crecimiento o decrecimiento: La función parte entera no es creciente, ni decreciente, dado que su gráfica serán

segmentos de recta horizontales.





11º CÁLCULO

Gráfica: Además de tener en cuenta los datos analizados anteriormente, es conveniente tomar algunos valores para poder graficar (en la medida que se practique podrás generalizar la gráfica de cualquier ejercicio que contenga a la función parte entera).

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 23)( xxg

ACTIVIDAD EN CLASE No. 02

Realice el análisis completo de las funciones dadas:

1. 3

12)(

x

xxf

2. xxf

3. 43

25)(

x

xxf

4. 52)( xxf

5. 134 xy

6. 1 xxf

7. 1042)( xxf

8. 132 xy

9. 3xf

10. 1 xxf

11. 2xxf

12. 1

12

x

xf

ACTIVIDAD EN CASA No. 02

Realiza el análisis completo de las funciones dadas:

1. 32

15)(

x

xxf

2. 3xm

3. 4

24)(

x

xxf

4. 823)( xxf

5. xxg

6. 2xxh

7. 123 xy

8. 4 xxf

9. 154 xy

10. xxt 1

11. 52)( xxf




GUÍA No. 4 Período: I Pág. 19 de 20

11º

CÁLCULO

EVALUACIÓN




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