guia incertidumbre cenam

Gua para estimar la incertidumbre de la medicin / CENAM / WSchmid y RLazos / Mayo 2000 1 / 27

CENTRO NACIONAL DE METROLOGA

GUA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIN

Wolfgang A. Schmid y Ruben J. Lazos Martnez

El Marqus, Qro., Mxico, mayo de 2000. NOTA. ESTE DOCUMENTO SE HA ELABORADO CON RECURSOS DEL GOBIERNO FEDERAL. SLO SE PERMITE SU REPRODUCCIN SIN FINES DE LUCRO Y HACIENDO REFERENCIA A LA FUENTE: W. Schmid y R. Lazos, Gua para Estimar la Incertidumbre de la Medicin, Centro Nacional de Metrologa, , Mxico, mayo 2000.


PREFACIO

Esta Gua tiene el propsito de unificar criterios en la estimacin de las incertidumbres de las mediciones y est dirigido a los metrlogos del CENAM, en primera instancia, y a los responsables de estimar incertidumbres de medicin en laboratorios de calibracin, laboratorios de pruebas, laboratorios industriales y todos aquellos interesados en el tema.

La necesidad de este documento tiene su origen en las diversas interpretaciones de Guide to the expression of Uncertainty in Measurement, [1] (GUM), dentro y fuera del CENAM que han dado lugar a confusin, y a veces conflicto, entre sus usuarios. Esta Gua observa los lineamientos establecidos en la GUM, sin embargo no pretende sustituirla como referencia maestra, por lo que se invita al usuario a consultarla en caso de duda. Se reconoce que la GUM, y por lo tanto esta Gua, adolecen de debilidades todava no resueltas formalmente aun en el mbito internacional. Sin embargo, por el momento no se encuentran otras opciones generalmente aceptadas. Se ha procurado que el contenido de esta Gua sea tcnicamente correcto, desde los puntos de vista matemtico y metrolgico, dentro de los lmites de la GUM, aunque no se asegura que puedan resolverse nicamente con ella todas las dudas sobre la estimacin de incertidumbres, por lo que puede ser necesaria la consulta de otros documentos ms especficos. Esta Gua se apega estrictamente a las definiciones dadas en el Vocabulario Internacional de Metrologa, [2] (VIM), considerando el propsito de unificacin de criterios. Varios metrlogos del CENAM han desarrollado ejemplos siguiendo este documento, los cuales estn disponibles en publicaciones por separado. Esta Gua refleja los resultados de un grupo de trabajo sobre incertidumbres en el CENAM, obtenidos despus de aproximadamente dos aos de trabajo. Durante este tiempo, han contribuido de manera sistemtica en algn momento: M.C. Roberto Arias Romero, Dr. Carlos David Avils Castro, M.C. Luis Omar Becerra Santiago, Dr. Ren Carranza Lpez Padilla, Dr. Ismael Castelazo Sinencio, M.C. Alfredo Esparza Ramrez, M.C. Rubn J. Lazos Martnez. M.C. Carlos Matamoros Garca, Ing. Vctor Martnez Fuentes, M.C. Alejandro Prez Castorena, Dra. Delia Quintana Zavala, M.C. Daniel Ramrez Ahedo, Dr. Wolfgang Schmid, M.C. Guillermo Silva Pineda, M.C. Jaime Valencia Rodrguez y Dr. Miguel R. Viliesid Alonso.

Debe mencionarse el inapreciable valor de las numerosas opiniones de otros colegas del CENAM y de otros estudiosos de la metrologa, cuyos conceptos seguramente estn incluidos en esta Gua, pero cuya falta de trazabilidad ntida no permite distinguir a sus autores claramente. La elaboracin de este documento estuvo a cargo de W. Schmid y de R. Lazos quienes agradecen los valiosos comentarios recibidos.

El Marqus, Qro., abril de 2000.


GUA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIN

NDICE: Pgina

1. Propsitos de la Gua 4

2. El Mensurando 4

3. Modelo Fsico 5

4. Modelo Matemtico 6

5. Identificacin de las fuentes de incertidumbre 7

6. Cuantificacin 7

7. Reduccin 11

8. Combinacin 12

9. Correlacin 15

10. Incertidumbre expandida 16

11. Diagrama para la estimacin de incertidumbres de medicin 21

12. Referencias 22

Anexos:

A Clculo de la desviacin estndar para distribuciones especficas 23 B Coeficiente de sensibilidad 24 C Ejemplo de formato para guiar la estimacin de la incertidumbre 26


1. Propsitos de la Gua

Esta Gua

establece, de forma general, lineamientos para estimar incertidumbres de medicin de acuerdo a la GUM [1]1, la cual es considerada como la referencia maestra;

subraya aspectos crticos en la estimacin de las incertidumbres de medicin; aclara algunos puntos que pueden dar lugar a confusiones; incluye posibles desviaciones en la aplicacin de la GUM; establece un esquema para estimar incertidumbres de la medicin.

2. El Mensurando

El propsito de una medicin es determinar el valor de una magnitud, llamada el mensurando, que de acuerdo al VIM [2], es el atributo sujeto a medicin de un fenmeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. La definicin del mensurando es vital para obtener buenos resultados de la medicin. En no pocas ocasiones se mide algo distinto al propsito original.

La imperfeccin natural de la realizacin de las mediciones, hace imposible conocer con certeza absoluta el valor verdadero de una magnitud: Toda medicin lleva implcita una incertidumbre, que de acuerdo al VIM, es un parmetro que caracteriza la dispersin de los valores que pueden ser atribuidos razonablemente al mensurando.

Una definicin completa del mensurando incluye especificaciones sobre las magnitudes de entrada relevantes.

Por similitud con la GUM, en esta Gua el trmino magnitud de entrada se usa para denotar tambin magnitudes de influencia.

El resultado de una medicin incluye la mejor estimacin del valor del mensurando y una estimacin de la incertidumbre sobre ese valor. La incertidumbre se compone de contribuciones de diversas fuentes, algunas de ellas descritas por las magnitudes de entrada respectivas. Algunas contribuciones son inevitables por la definicin del propio mensurando, mientras otras pueden depender del principio de medicin, del mtodo y del procedimiento seleccionados para la medicin.

Por ejemplo, en la medicin de la longitud de una barra, la temperatura es una magnitud de entrada que afecta directamente al mensurando por expansin o contraccin trmica del material. Otra magnitud de entrada es la fuerza de contacto, presente cuando se usan instrumentos que requieren contacto mecnico como los tornillos micromtricos, calibradores vernier, etc.

Tambin pueden influir en el resultado de la medicin, y por lo tanto en la incertidumbre, algunos atributos no cuantificables en cuyo caso es siempre recomendable reducir en lo

1 Los nmeros indicados entre corchetes indican el nmero de la referencia en la seccin 12.


posible sus efectos, preferentemente haciendo uso de criterios de aceptacin en las actividades tendientes a reducir tales efectos.

Por ejemplo, la limpieza de las masas es un aspecto crtico en la calibracin de masas de alta exactitud, lo cual obliga a observar estrictamente criterios para limpiarlas apropiadamente.

El principio de medicin es el fundamento cientfico usado para realizar una medicin. El conocimiento del principio de medicin permite al metrlogo dominar la medicin, esto es, modificarla, disear otra, evaluar su conveniencia, etc., adems es indispensable para estimar la incertidumbre de la medicin.

El mtodo de medicin y el procedimiento de medicin son descripciones de la manera de llevar a cabo la medicin, la primera genrica, la segunda especfica.

El principio, el mtodo y el procedimiento de medicin son determinantes en el valor de la incertidumbre de la medicin. Un conocimiento insuficiente de ellos muy probablemente conducir a una estimacin equivocada, o incompleta en el mejor de los casos, de la incertidumbre de la medicin.

Para la aplicacin de este documento se supondr que el principio, el mtodo y el procedimiento han sido previamente determinados.

La definicin del mensurando usualmente alude, casi siempre de manera implcita, a una estimacin de la incertidumbre que se requiere. Es notable el alto riesgo que se corre cuando la definicin del mensurando no es acorde con la estimacin de la incertidumbre requerida.

Por ejemplo, si se manifiesta al mensurando simplemente como el dimetro de una moneda de un peso, la incertidumbre requerida es mayor que cuando el mensurando se determina como el dimetro del crculo que circunscribe la moneda.

3. Modelo fsico

Pretender estudiar el proceso de medicin de manera exacta y completa est usualmente fuera de las actividades rutinarias del metrlogo, ms an, es el propsito de la investigacin cientfica, cuya solucin pocas veces se vislumbra. Por lo tanto, es necesaria la simplificacin del fenmeno o de la situacin real conservando las caractersticas ms relevantes para el propsito pretendido, mediante la construccin de un modelo para la medicin.

Un modelo fsico de la medicin consiste en el conjunto de suposiciones sobre el propio mensurando y las variables fsicas o qumicas relevantes para la medicin. Estas suposiciones usualmente incluyen:

a) relaciones fenomenolgicas entre variables;


b) consideraciones sobre el fenmeno como conservacin de cantidades, comportamiento temporal, comportamiento espacial, simetras;

c) consideraciones sobre propiedades de la sustancia como homogeneidad e isotropa.

Una medicin fsica, por simple que sea, tiene asociado un modelo que slo aproxima el proceso real.

Por ejemplo, la medicin de viscosidad con viscosmetros capilares usa un modelo que supone un capilar con longitud infinita, de dimetro constante y que la temperatura es absolutamente uniforme y constante en todos los puntos del viscosmetro.

4. Modelo matemtico

El modelo fsico se representa por un modelo descrito con lenguaje matemtico. El modelo matemtico supone aproximaciones originadas por la representacin imperfecta o limitada de las relaciones entre las variables involucradas.

Considerando a la medicin como un proceso, se identifican magnitudes de entrada denotadas por el conjunto

{Xi} expresin en la cual el ndice i toma valores entre 1 y el nmero de magnitudes de entrada N.

La relacin entre las magnitudes de entrada y el mensurando Y como la magnitud de salida se representa como una funcin

Y = f({Xi}) = f(X1, X2, ... , XN) (4.1) representada por una tabla de valores correspondientes, una grfica o una ecuacin, en cuyo caso y para los fines de este documento se har referencia a una relacin funcional.

Por ejemplo, la viscosidad es proporcional al tiempo de flujo por un viscosmetro capilar como relacin funcional, en contraste al desconocimiento de su relacin funcional con la temperatura.

Aunque para el propsito de este trabajo se considerar Y como un escalar, puede aplicarse el mismo formalismo para elementos matemticos ms complejos como vectores o matrices.

En este trabajo se denota con xi al mejor estimado de las magnitudes de entrada Xi.

Los valores de las magnitudes de entrada pueden ser resultados de mediciones recientes realizadas por el usuario o tomados de fuentes como certificados, literatura, manuales, etc.

El mejor estimado del valor del mensurando es el resultado de calcular el valor de la funcin f evaluada en el mejor estimado de cada magnitud de entrada,

( )Nxxxfy ,..., 21= (4.2)


En algunas ocasiones se toma el mejor estimado de Y como el promedio de varios valores yj del mensurando obtenidos a partir de diversos conjuntos de valores {Xi}j de las magnitudes de entrada [1, Sec. 4.1.4].

5. Identificacin de las fuentes de incertidumbre

Una vez determinados el mensurando, el principio, el mtodo y el procedimiento de medicin, se identifican las posibles fuentes de incertidumbre.

stas provienen de los diversos factores involucrados en la medicin, por ejemplo,

los resultados de la calibracin del instrumento; la incertidumbre del patrn o del material de referencia; la repetibilidad de las lecturas; la reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos u

otros elementos;

caractersticas del propio instrumento, como resolucin, histresis, deriva, etc.; variaciones de las condiciones ambientales; la definicin del propio mensurando; el modelo particular de la medicin; variaciones en las magnitudes de influencia.

No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre por la suposicin de que es poco significativa sin una cuantificacin previa de su contribucin, comparada con las dems, apoyada en mediciones. Es preferible la inclusin de un exceso de fuentes que ignorar algunas entre las cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante, siempre estarn presentes efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crtica del metrlogo permitirn calificar como irrelevantes despus de las debidas consideraciones.

Por ejemplo, en la calibracin de termmetros de mercurio en vidrio aparece una pequea contribucin de la temperatura ambiente, pero se considera despreciable aquella contribucin debida a la radiacin electromagntica en el ambiente.

6. Cuantificacin

En la literatura [1] se distinguen dos mtodos principales para cuantificar las fuentes de incertidumbre: El Mtodo de Evaluacin Tipo A est basado en un anlisis estadstico de


una serie de mediciones, mientras el Mtodo de Evaluacin Tipo B comprende todas las dems maneras de estimar la incertidumbre.2

Cabe mencionar que esta clasificacin no significa que exista alguna diferencia en la naturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de evaluacin, puesto que ambos tipos estn basados en distribuciones de probabilidad. La nica diferencia es que en las evaluaciones tipo A se estima esta distribucin basndose en mediciones repetidas obtenidas del mismo proceso de medicin mientras en el caso de tipo B se supone una distribucin con base en experiencia o informacin externa al metrlogo. En la prctica esta clasificacin no tiene consecuencia alguna en las etapas para obtener una estimacin de la incertidumbre combinada.

6.1. Evaluacin tipo A

La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de observaciones repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base en la dispersin de los resultados individuales.

Si Xi se determina por n mediciones independientes, resultando en valores q1 , q2 , ... , qn , el mejor estimado xi para el valor de Xi es la media de los resultados individuales:

=

==n

jji qn

qx1

1 (6.1)

La dispersin de los resultados de la medicin q1 , q2 , ... , qn para la magnitud de entrada Xi se expresa por su desviacin estndar experimental:

=

--

=n

jj qqn

qs1

2)(1

1)( (6.2)

La incertidumbre estndar u(xi) de Xi se obtiene finalmente mediante el clculo de la desviacin estndar experimental de la media:

nqsqsxu i

)()()( == (6.3)

As que resulta para la incertidumbre estndar de Xi:

=

--

=n

kki qqnn

xu1

2)(1

11)( (6.4)

Para una medicin que se realiza por un mtodo bien caracterizado y bajo condiciones controladas, es razonable suponer que la distribucin (dispersin) de los qj no cambia, o sea se mantiene prcticamente igual para mediciones realizadas en diferentes das, por distintos

2 Por simplicidad del lenguaje, en este documento se llaman incertidumbres tipo A a aqullas evaluadas con el Mtodo de Evaluacin Tipo A y de manera similar para el tipo B.


metrlogos, etc. (esto es, la medicin est bajo control estadstico). En este caso esta componente de la incertidumbre puede ser ms confiablemente estimada con la desviacin estndar sp obtenida de un solo experimento anterior, que con la desviacin estndar experimental s(q) obtenida por un nmero n de mediciones, casi siempre pequeo, segn la ec. (6.2).

La incertidumbre estndar de la media se estima en este caso por:

n

sxu pi =)( (6.5)

Cabe mencionar que n es el nmero de mediciones repetidas para evaluar qxi = , segn la ec. (6.1), mientras sp se determin por un nmero distinto (y grande) de mediciones.

No se puede dar una recomendacin general para el nmero ideal de las repeticiones n, ya que ste depende de las condiciones y exigencias (meta para la incertidumbre) de cada medicin especfica. Hay que considerar que:

Aumentar el nmero de repeticiones resulta en una reduccin de la incertidumbre tipo A, la cual es proporcional a n1 .

Un nmero grande de repeticiones aumenta el tiempo de medicin, que puede ser contraproducente, si las condiciones ambientales u otras magnitudes de entrada no se mantienen constantes en este tiempo.

En pocos casos se recomienda o se requiere n mayor de 10 (ver Secs. 10.1 y 10.2). Por ejemplo cuando se caracterizan instrumentos o patrones, o se hacen mediciones o calibraciones de alta exactitud.

Para determinar el impacto que tiene n en la incertidumbre expandida hay que estimar su influencia en el nmero de grados efectivos de libertad (ver Sec.10.2 ).

Otras fuentes de incertidumbre que se evalan con este mtodo son la reproducibilidad y las obtenidas al hacer una regresin lineal.

6.2. Evaluacin tipo B

Las fuentes de incertidumbre tipo B son cuantificadas usando informacin externa u obtenida por experiencia. Estas fuentes de informacin pueden ser:

- Certificados de calibracin.

- Manuales del instrumento de medicin, especificaciones del instrumento.

- Normas o literatura.

- Valores de mediciones anteriores.

- Conocimiento sobre las caractersticas o el comportamiento del sistema de medicin.


6.3. Distribuciones de probabilidad

La cuantificacin de una fuente de incertidumbre incluye la asignacin de un valor y la determinacin de la distribucin a la cual se refiere este valor. Las distribuciones que aparecen ms frecuentemente son:

a) Distribucin normal

Los resultados de una medicin repetida afectada por una o ms magnitudes de influencia que varan aleatoriamente, generalmente siguen en buena aproximacin una distribucin normal. Tambin la incertidumbre indicada en certificados de calibracin se refiere generalmente a una distribucin normal.

b) Distribucin rectangular:

En una distribucin rectangular cada valor en un intervalo dado tiene la misma probabilidad, o sea la funcin de densidad de probabilidad es constante en este intervalo. Ejemplos tpicos son la resolucin de un instrumento digital o la informacin tcnica sobre tolerancias de un instrumento. En general, cuando exclusivamente hay conocimiento de los lmites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de entrada, lo ms conservador es suponer una distribucin rectangular.

c) Distribucin triangular:

Si adems del conocimiento de los lmites superior e inferior hay evidencia de que la probabilidad es ms alta para valores en el centro del intervalo y se reduce haca los lmites, puede ser ms adecuado basar la estimacin de la incertidumbre en una distribucin triangular.

Por ejemplo, en un bao termosttico, que se utiliza para medir la densidad de un lquido, la temperatura puede tener una ligera deriva. Si se mide la temperatura antes y despus de la medicin de la densidad (resultando en T1 y T2), se pude suponer para el momento de la medicin de la densidad una temperatura de (T1+T2)/2 con una distribucin triangular entre T1 y T2 .

d) Otras distribuciones

Pueden encontrarse tambin distribuciones como la U, en la cual los extremos del intervalo presentan los valores con probabilidad mxima, tpicamente cuando hay comportamientos oscilatorios subyacentes. Tambin se encuentran distribuciones triangulares con el valor mximo en un extremo como en las asociadas a errores de coseno.


7. Reduccin

Antes de comparar y combinar contribuciones de la incertidumbre que tienen distribuciones diferentes, es necesario representar los valores de las incertidumbres originales como incertidumbres estndar. Para ello se determina la desviacin estndar de la distribucin asignada a cada fuente.

a) Distribucin normal:

La desviacin estndar experimental de la media calculada a partir de los resultados de una medicin repetida segn la ec. (6.4) ya representa la incertidumbre estndar.

Cuando se dispone de valores de una incertidumbre expandida U, como los presentados por ejemplo en certificados de calibracin, se divide U entre el factor de cobertura k, obtenido ya sea directamente o a partir de un nivel de confianza dado (ver Sec.10.1):

kU

xu i =)( (7.1)

b) Distribucin rectangular:

Si la magnitud de entrada Xi tiene una distribucin rectangular con el lmite superior a+ y el lmite inferior a- , el mejor estimado para el valor de Xi est dado por:

xa a

i =++ -2

(7.2)

y la incertidumbre estndar se calcula por (ver Anexo A ):

u xa a

i( ) =-+ -12

(7.3)

o por

32

)(a

xu i = (7.4)

donde a/2 es el semiancho del intervalo a con

-+ -= aaa (7.5)

Una aplicacin tpica es la resolucin de un instrumento digital. Tambin la incertidumbre relacionada con el nmero finito de cifras significativas de datos tomados de la literatura puede ser tratada con esta distribucin (siempre y cuando no haya indicios que la incertidumbre en realidad es mayor que la incertidumbre relacionada con la ltima cifra significativa). Si se aplica a la resolucin o a datos tomados de la literatura, a corresponde al ltimo dgito significativo o a la ltima cifra significativa respectivamente.


c) Distribucin triangular:

Como en una distribucin rectangular, para una magnitud de entrada Xi que tiene una distribucin triangular con los lmites a+ y a- , el mejor estimado para el valor de Xi est dado por:

xa a

i =++ -2

(7.6)

La incertidumbre estndar se calcula en este caso por:

62

24)(

aaaxu i =

-= -+ (7.7)

con a definido por la ec. (7.5).

8. Combinacin

El resultado de la combinacin de las contribuciones de todas las fuentes es la incertidumbre estndar combinada uc(y), la cual contiene toda la informacin esencial sobre la incertidumbre del mensurando Y.

La contribucin ui(y) de cada fuente a la incertidumbre combinada depende de la incertidumbre estndar u(xi) de la propia fuente y del impacto de la fuente sobre el mensurando. Es posible encontrar que una pequea variacin de alguna de las magnitudes de influencia tenga un impacto importante en el mensurando, y viceversa.

Se determina ui(y) por el producto de u(xi) y su coeficiente de sensibilidad ci (o factor de sensibilidad):

u y c u xi i i( ) ( )= (8.1)

8.1. Coeficiente de sensibilidad

El coeficiente de sensibilidad describe, qu tan sensible es el mensurando con respecto a variaciones de la magnitud de entrada correspondiente (ver Anexo B). Para su determinacin existen dos mtodos:

a) Determinacin a partir de una relacin funcional

Si el modelo matemtico para el mensurando Y = f(X1 , X2 , ... , XN) describe la influencia de la magnitud de entrada Xi suficientemente bien mediante una relacin funcional, el coeficiente de sensibilidad ci se calcula por la derivada parcial de f con respecto a Xi :

cf X X

XiN

i X x X xN N

== =

( , . . . , )

...

1

1 1

(8.2)


b) Otros mtodos de determinacin:

Si la influencia de la magnitud de entrada Xi en el mensurando Y no est representada por una relacin funcional, se determina el coeficiente de sensibilidad ci por una estimacin del impacto de una variacin de Xi en Y segn:

i

i XY

cDD= (8.3)

Esto es, manteniendo constantes las dems magnitudes de entrada, se determina el cambio de Y producido por un cambio en Xi por una medicin o a partir de la informacin disponible (como una grfica o una tabla).

8.2. Propagacin de la incertidumbre para magnitudes de entrada no correlacionadas

En el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas, la incertidumbre combinada uc(y) se calcula por la suma geomtrica de las contribuciones particulares:

u y u yc ii

N2 2

1

( ) ( )== (8.4)

Considerando (8.1) y (8.2) resulta finalmente:

[ ] ==

==

N

ii

i

N

iiic xuX

fxucyu1

2

1

2 )()()(

(8.5)

La regla presentada en ec. (8.5) es llamada ley de propagacin de incertidumbre. Note que la ltima expresin en esta ecuacin se aplica cuando se dispone de la relacin funcional entre Y y {Xi}.

8.3. Magnitudes de entrada relacionadas con ms de una fuente de incertidumbre

En la mayora de los casos una magnitud de entrada Xi es afectada por varias fuentes de incertidumbre, que pueden ser por ejemplo la resolucin del instrumento, la dispersin de datos obtenidas por mediciones repetidas y la incertidumbre de la calibracin del instrumento. En este caso hay dos maneras (equivalentes) de calcular la incertidumbre combinada.


a) Como primera alternativa, se calcula la incertidumbre total (combinada) relacionada con cada magnitud de entrada Xi por la suma geomtrica de las incertidumbres individuales:

[ ]=

=iM

jiji xuxu

1

2)()( (8.6)

donde uj(xi) es la incertidumbre estndar de la fuente de incertidumbre nmero j de las Mi fuentes relacionadas con la magnitud de entrada Xi . Despus se introducen los valores de u(xi) la ec. (8.5).

b) Si uno est interesado en ver el efecto particular que tiene cada una de las fuentes en la incertidumbre combinada uc(y), cada fuente puede entrar individualmente en la ec. (8.5), sustituyendo el nmero de magnitudes de entrada N en la suma por el nmero total de fuentes de incertidumbre. Cabe mencionar que el coeficiente de sensibilidad ci es igual para todas las fuentes de incertidumbre relacionadas con la misma magnitud de entrada Xi .

[ ] = =

=N

i

M

jijic

i

xucyu1 1

22 )()( (8.7)

Cuando el coeficiente de sensibilidad ci es cero o cuando la funcin no admite una representacin lineal adecuada (nicamente con la primera derivada) en el intervalo u(xi) es conveniente y aun indispensable considerar trminos de segundo orden (que dependen de las segundas derivadas) (ver 5.1.2.Nota de [1]).

Por ejemplo, si y = x^2 con el valor de x=0, como un detector de nulos con curva de respuesta cuadrtica, la contribucin de primer orden es nula.

Es posible mejorar la aproximacin anterior y realizar el clculo riguroso para combinar las contribuciones, el cual, sin embargo, puede ser ms o menos laborioso dependiendo del modelo matemtico [7].

8.4. Clculo con incertidumbres relativas

Si el modelo matemtico se compone de productos de las magnitudes de entrada Xi :

( )=

=N

i

piN

iXconstXXf1

1 ),...,( (8.8)

donde const es una constante y los exponentes pi son constantes reales (positivas o negativas), el clculo (numrico) de la incertidumbre combinada se facilita utilizando incertidumbres relativas. Los coeficientes de sensibilidad en este caso son pi , y la ley de propagacin de incertidumbre (8.5) para calcular la incertidumbre combinada relativa uc,rel(y) se simplifica:


[ ] ==

===

N

i i

ii

N

iireli

crelc x

xupxup

yyu

yu1

2

1

2,

)()(

)()( (8.9)

Un caso particular muy comn es que todos los exponentes pi son +1 o -1, o sea Y es un producto o cociente de las magnitudes de entrada, puesto que en este caso las coeficientes de sensibilidad son 1 y la incertidumbre combinada relativa uc,rel(y) es la suma geomtrica de las incertidumbres relativas de las magnitudes de entrada:

[ ]=

=N

iirelrelc xuyu

1

2, )()( (8.10)

8.5. Propagacin de la incertidumbre para magnitudes de entrada correlacionadas

Si algunas de las magnitudes de entrada estn correlacionadas, hay que considerar las covarianzas entre las magnitudes correlacionadas y ec. (8.5) se modifica a

=

=

+

=

N

i

N

jiji

jijiji

ii

c XXrxuxuXf

Xf

xuXf

yu1 1,

2

),()()()()(

(8.11)

donde r(Xi , Xj) es el factor de correlacin entre las magnitudes de entrada Xi y Xj.

9. Correlacin

A menudo los resultados de mediciones de dos magnitudes de entrada estn ligados, ya sea porque existe una tercera magnitud que influye sobre ambas, porque se usa el mismo instrumento para medir o el mismo patrn para calibrar [3], o por alguna otra razn.

Por ejemplo, en la calibracin gravimtrica de medidores de volumen son magnitudes de entrada las temperaturas del agua y del ambiente. Estas temperaturas estn relacionadas aun cuando sus valores puedan ser diferentes. La temperatura del agua ser ms alta cuando la temperatura ambiente lo sea y bajar cuando lo haga la temperatura ambiente, es decir existe una correlacin entre estas magnitudes.

Desde el punto de vista estadstico, dos variables son independientes cuando la probabilidad asociada a una de ellas no depende de la otra, esto es, si q y w son dos variables aleatorias independientes, la probabilidad conjunta se expresa como el producto de las probabilidades de las variables respectivas

( ) ( ) ( )wpqpwqp =, (9.1)


Frecuentemente, se encuentran magnitudes de entrada que no son independientes. La independencia lineal de dos variables puede estimarse estadsticamente con el coeficiente de correlacin

( ) ( )( ) ( )wuquwqu

wqr

= ,, (9.2)

En el denominador aparecen las incertidumbres estndar de las variables aludidas y en el numerador la covarianza de las mismas.

La covarianza puede ser estimada (ver ejemplo en Sec. H.2 de [1]):

a) por medio de las relaciones funcionales entre ambas variables y la tercera que influye sobre ellas (ec. F.2 de [1]),

b) a partir de un conjunto de n valores de q y w segn:

( ) ( ) ( ) ( )wwqqnnwqu kn

kk ---

= =11

1, (9.3)

Un valor de r = 0 indica independencia de q y w. Los valores de r = +1 o 1 indican una correlacin total.

10. Incertidumbre expandida

La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la medicin depende de la conveniencia del usuario. A veces se comunica simplemente como la incertidumbre estndar combinada, otras ocasiones como un cierto nmero de veces tal incertidumbre, algunos casos requieren se exprese en trminos de un nivel de confianza dado, etc. En cualquier caso, es indispensable comunicar sin ambigedades la manera en que la incertidumbre est expresada.

10.1. Factor de cobertura y nivel de confianza

La incertidumbre estndar uc representa un intervalo centrado en el mejor estimado del mensurando que contiene el valor verdadero con una probabilidad p de 68% aproximadamente, bajo la suposicin de que los posibles valores del mensurando siguen una distribucin normal.

Generalmente se desea una probabilidad mayor, lo que se obtiene expandiendo el intervalo de incertidumbre por un factor k, llamado factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida U

cukU = (10.1)


La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo que representa una fraccin p de los valores que puede probablemente tomar el mensurando. El valor de p es llamado el nivel de confianza y puede ser elegido a conveniencia.

En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera tal que corresponda a un factor de cobertura como un nmero entero de desviaciones estndar en una distribucin normal.

Por ejemplo, en una distribucin normal, k=1 corresponde a p=68,27%, k=2 a p=95,45%. En una distribucin rectangular p=57,7% si k=1.

Cuando es necesaria una estimacin ms rigurosa de la incertidumbre expandida se consideran las Secs. 10.2 hasta 10.4; cuando no son necesarias estimaciones muy rigurosas de la incertidumbre, como en mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguir con la Sec. 10.4.

10.2. Distribucin t de Student

Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribucin normal. Sin embargo, el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida por muestreos de n mediciones repetidas) dividida entre su desviacin estndar, sigue una distribucin llamada t de Student [5], la cual refleja las limitaciones de la informacin disponible debidas al nmero finito de mediciones. Esta distribucin coincide con la distribucin normal en el lmite cuando n tiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando n es pequeo.

La distribucin t de Student es caracterizada por un parmetro n llamado nmero de grados de libertad.

Considerando lo anterior, es necesario ampliar el intervalo correspondiente al nivel de confianza p, por lo que la ec. 10.1 se transforma a

( ) cp utU = n (10.2) El factor tp(v) indica los lmites del intervalo correspondiente al nivel de confianza p de la distribucin y su valor siempre es mayor o igual que el factor k (tomado de la distribucin normal). Sus valores se encuentran en tablas.

Cuando se combinan varias fuentes de incertidumbre con sus respectivas distribuciones para obtener la incertidumbre combinada uc del mensurando, el Teorema del Lmite Central ([4], Sec. G2.3 de [1]) permite aproximar la distribucin resultante por una distribucin normal. La aproximacin ser mejor mientras ms grande sea el nmero de fuentes y sus contribuciones sean similares, independientemente de la forma particular de sus distribuciones.

Nuevamente, la disponibilidad limitada de informacin hace necesario el uso de la distribucin t de Student para determinar la incertidumbre expandida de manera rigurosa


(con la suposicin de que los valores del mensurando obedecen una distribucin normal). El nmero efectivo de grados de libertad vef para esta situacin se discute en la Sec. 10.3.

Cuando slo es relevante la contribucin de una fuente cuya distribucin no sea normal, lo ms conveniente es estimar la incertidumbre expandida directamente de los parmetros de la distribucin.

Por ejemplo, cuando las lecturas obtenidas con un instrumento de baja exactitud son idnticas debido a la resolucin del instrumento y las otras fuentes de incertidumbre son insignificantes, es plausible suponer que los valores razonables del mensurando siguen una distribucin rectangular cuyos lmites estn determinados por el valor de la escala del instrumento, al que se le ha asignado una cierta incertidumbre, entonces puede estimarse directamente el ancho del intervalo que contiene la fraccin p de los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando.

Por ejemplo, si se considera una medicin tomada con un instrumento analgico con resolucin de 2 unidades, con incertidumbre del 10% en la resolucin, el 95% de los valores est contenido en un intervalo de ancho 2 (1+0,1) 0,95 2,1 unidades.

10.3. Grados de libertad

De cierta manera el nmero n de grados de libertad asociado a una distribucin de una magnitud (Xi o Y) puede considerarse una medida de incertidumbre de la incertidumbre de esa magnitud. Entre mayor sea n la estimacin de la incertidumbre ser ms confiable. El nmero efectivo de grados de libertad nef del mensurando considera el nmero de grados de libertad ni de cada fuente de incertidumbre. En las incertidumbres tipo A, ni depende directamente del nmero de datos considerados y disminuye conforme el nmero de parmetros estimados a partir de los mismos datos. La repetibilidad de una medicin, estimada por la desviacin estndar experimental de n lecturas tiene n-1 grados de libertad. Una regresin lineal de M puntos mediante una ecuacin de m parmetros tiene M-m grados de libertad.

La determinacin del nmero de grados de libertad de una incertidumbre tipo B implica el criterio del metrlogo soportado por su experiencia, aun cuando sea subjetiva, para determinar la incertidumbre relativa de la propia incertidumbre, y calcular el nmero de grados de libertad para esa fuente especfica i con la ecuacin (ec. G.3 de [1]):

22

)()(

21

)()(

21

D

=

D

-

i

i

i

ii xu

xuxuxun (10.3)

La cantidad Du(xi) es una estimacin de la incertidumbre de la incertidumbre u(xi) de la fuente i cuantificada por el metrlogo. Es recomendable aproximar el resultado del clculo con la ecuacin anterior al entero cercano ms bajo.


Por ejemplo, si Du(xi) es cero, es decir, el metrlogo est completamente seguro del valor de u(xi) , el nmero de grados de libertad asociado a esa fuente es infinito. Si el metrlogo considera que u(xi) tiene una incertidumbre del 50%, el nmero de grados de libertad es de slo 2, y si la considera del 20% el nmero de grados de libertad asciende a 12.

Se observa tambin que un valor mayor de u(xi) , al ser una estimacin ms conservadora, puede traer consigo un menor valor de Du(xi) y por consiguiente un mayor nmero de grados de libertad.

Siguiendo [1], el nmero efectivo de grados de libertad se calcula segn la ecuacin de Welch-Satterthwaite, aun cuando existan observaciones sobre su validez merecedoras de atencin [6], la cual puede escribirse en trminos de la relacin entre la contribucin de la fuente i y la incertidumbre combinada como:

( )( )

=

=N

i i

c

i

ef

yuyu

1

4

1nn

(10.4)

Si el valor de nef resultante no es entero, generalmente se considera nef como el entero menor ms prximo.

Un anlisis de la ecuacin anterior muestra el dominio de las fuentes con pocos grados de libertad en el clculo de nef , sobre todo de aquellas cuyas contribuciones son grandes a la incertidumbre combinada. De hecho una fuente cuya contribucin es alta y con pocos grados de libertad, es determinante del valor de nef . Por ejemplo, si la repetibilidad es el 80% de la incertidumbre combinada y se estima con 3 grados de libertad, y cada una de las otras fuentes tiene un nmero infinito de grados de libertad, el nmero efectivo de grados de libertad ser aproximadamente de 7. Si fuera del 60%, se obtendran 23 grados de libertad.

10.4. Incertidumbre expandida

Resumiendo, de manera rigurosa la incertidumbre expandida se calcula de acuerdo a la ec. (10.2) como

( )efpc tuU n= donde tp(vef) es el factor derivado de la distribucin t de Student a un nivel de confianza p y nef grados de libertad y obtenido de tablas [1]. Comparando la ec. (10.1) con la ec. (10.2) es evidente que el factor de cobertura k de la ec. (10.1) corresponde al valor de tp(vef) .


Frecuentemente, cuando ? ef es suficientemente grande, no se encuentra diferencia significativa en los resultados numricos obtenidos con la ec. (10.2) a un p dado de aqullos obtenidos con la ec. (10.1) tomando k de la distribucin normal para el mismo p. Una buena prctica es realizar el clculo riguroso con la ec. (10.2) y entonces decidir sobre la conveniencia de usar simplemente la ec. (10.1).

10.5. Expresin de la incertidumbre

En el CENAM, la poltica [8] es expresar los resultados de sus mediciones con un nivel de confianza no menor al 95%, en vista de la costumbre en laboratorios similares.

Es difcil asegurar un valor preciso de la incertidumbre debido a las mltiples aproximaciones realizadas durante su estimacin. Una consecuencia es la posibilidad de sustituir los valores correspondientes a p = 95% con los valores correspondientes a p = 95,45%, con el fin de obtener un valor de k = 2,00 correspondiente a una distribucin normal.

Los valores de tp(vef) para p=95,45% se muestran en la siguiente tabla 3:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100

tp(vef) 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,13 2,05 2,025 2,000

La expresin de la incertidumbre expandida U incluye su indicacin como un intervalo centrado en el mejor estimado y del mensurando, la afirmacin de que p es del 95% (o el valor elegido) aproximadamente y el nmero efectivo de grados de libertad, cuando sea requerido. Una manera de expresar el resultado de la medicin es

UyY = (10.5)

El nmero de cifras significativas en la expresin de la incertidumbre es generalmente uno, o dos cuando la exactitud es alta (si la primera cifra significativa es uno o dos, cabe la posibilidad de usar un dgito ms para evitar la prdida de informacin til). Adems debe asegurarse que el nmero de cifras significativas del valor del mensurando sea consistente con el de la incertidumbre.

3 Valores tomados de [1]


11. Diagrama para la estimacin de incertidumbres de medicin

Los numerales en cada bloque indican la seccin relevante de este documento.

Definir el mensurando Y

Establecer el modelo fsico Identificar las magnitudes de entrada Xi

Establecer el modelo matemtico

Cuantificar la variabilidad de cada fuente y asociarle una distribucin

Reducir: Obtener la incertidumbre estndar u(xi)

Identificar las fuentes de incertidumbre

Estimar correlaciones

Calcular la incertidumbre estndar combinada uc

Elegir el nivel de confianza p

2

3,4

5

6

7

9

8

10.4

Determinar tp(nef )

Calcular el nmero efectivo de grados de libertad nef

Calcular la incertidumbre expandida U

Determinar el factor de cobertura k

FIN

S NOCuantificar el nmero de

grados

Estimar los grados de libertad ni

10.1, 10.5

10.3

10.3

10.1

10.4


12. Referencias [1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, IEC, IFCC, ISO,

IUPAP, IUPAC, OIML (1995).

[2] International Vocabulary of Fundamental and General Terms in Metrology, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (1993).

[3] dSaverio, E. et al, XIV IMEKO World Congress, Tampere, Fin., Vol V, (Jun 1997)

[4] Papoulis, A., Probability, Random Variables and Stochastic Processes, Mc Graw Hill Co. (1965)

[5] Hoel, P. G., Introduction to Mathematical Statistics , J. Wiley & Sons (1971).

[6] Eberhardt, Memorias de Workshop on Statistics in Intercomparisons, Londres, (1999).

[7] Castelazo, I, Comunicacin personal.

[8] Poltica para la Declaracin de Incertidumbres en el CENAM. No. 100-AC-P.013 (octubre de 1999).


Anexo A: Clculo de la desviacin estndar para distribuciones especficas

Como ejemplo se presenta el clculo de la desviacin estndar de una distribucin rectangular. Para obtener la desviacin estndar de otra distribucin, hay que aplicar el mismo esquema de clculo con esa distribucin.

Segn ec. (6.2) la desviacin estndar (experimental) de una serie de datos x1 , x2 , ... , xn , se calcula por:

sn

x xkk

n

=-

-=1 1

2

1

( )

El cuadrado de la desviacin estndar s2 , es llamado varianza. Si el nmero de datos n es muy grande y si los datos estn distribuidos de manera continua, la suma puede ser sustituida por una integral, y se obtiene la varianza como:

-

-= dxxpxxs )()( 22

donde p(x) es la funcin de densidad de probabilidad de Xi y x es la media de los datos

-

= dxxpxx )(

Para una distribucin rectangular cada valor de x dentro del intervalo [a- , a+] tiene la misma probabilidad, o sea la de densidad de probabilidad p(x) es constante:

>

guia incertidumbre cenam

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