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Marcelo B. RibeiroInstituto de Física - UFRJ

EconoFis-Rio

I Oficina Carioca de Econofísica, IF-UFRJ, 26/11/2010

I Oficina Carioca de Econofísica

EconoFis-RioInstituto de Física

26 de novembro de 2010


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A Distribuição de Gompertz-Pareto Aplicada à Renda

Individual do BrasilFernanda Chami Figueira

EQ-UFRJ

Newton Jose de Moura JuniorIBGE

Marcelo B. RibeiroIF –

UFRJ


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Distribuição de renda

•

Problema

clássico

estabelecido

por

Vilfredo Pareto em 1897;

•

Foi

o primeiro

a introduzir

leis de potência

nas ciências

sociais, antes mesmo

destas

terem

sido

descobertas

na física;•

Sua

contribuição

foi

anterior inclusive a George

Kingsley Zipf

(1902-1950), que

verificou

que

leis estatísticas

de potência

estão

presentes

em

vários

setores

de atividade

humana, como distribuição

das

letras

em linguagens, estrutura

musical, distribuição

de indústrias, mortalidade em guerras, etc.


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Lei de ParetoLei de Pareto


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Lei de ParetoLei de Pareto

α)()(

ax

AxN+

=


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Lei de Pareto

•

Lei de potência de Pareto para a distribuição de renda da Grã-Bretanha em 1996.

fonte: P.Ball, “Critical Mass” (2004)


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Contribuição dos Economistas

•

Nos últimos ~50 anos os economistas em geral se restringiram a propor descrições

mais detalhadas da distribuição de renda;

•

Grande ênfase em estatística, com uma preocupação muito limitada em propor mecanismos (dinâmica)

para a origem e evolução desta

distribuição;•

Uso extensivo de parametrizações com muitos termos (4, 5, etc, parâmetros) e muitas funções diferentes (log-normal, Singh-Madala, etc) sem uma óbvia prevalência de nenhuma delas;

•

Pouco mudou desde a época dos pioneiros: Pareto (1897), Gini (1912) e Lorenz (1905);

•

Precupação básica em propor políticas governamentais e não em entender os mecanismos do problema -

qual a melhor função e por

que? –

com raríssimas excessões;•

Economistas parecem muito mais interessados em assessorar governos do que fazer ciência;

•

Surgimento da econofísica muda essa tendência!•

Há cerca de uma década aparecem os primeiros modelos inspirados na física estatística.


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ComportamentoComportamento exponencialexponencial + lei de + lei de potênciapotência(Dragulescu & Yakovenko, 2001)


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Distribuição de renda nos EUA sugerem duas classes distintas

Dados de 1983 a 2001“gap” não preenchido


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Nossa abordagem: estudo empírico da distribuição de renda no Brasil

nos últimos 30 anos•

Confirmar a possível lei de Pareto na distribuição de renda brasileira;

•

Inspirados

no estudo

de Dragulescu

e Yakovenko’s

(2001) para a distribuição

de renda

nos

EUA, procuramos

possível

evidência

de uma componente

exponencial

para a a

distribuição

de renda

da

imensa

maioria

da população

brasileira;

•

Verificar

se, assim

como

os EUA, o Brasil

é também formado

por

uma sistema

de duas

classes de renda

individual.


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Os dados

•

IBGE realiza a Pesquisa Nacional por Amostragem de Domicílio, PNAD, em cerca de 10% das residências durante o mês de setembro de cada ano;

•

Os dados brutos são multiplicados por um índice cujo objetivo é representar toda a população brasileira;

•

A PNAD não é um censo, mas uma amostragem;•

Os dados finais listam o número total de pessoas em um domicílio

e a

renda total desse mesmo domicílio;•

Devido ao período de grande inflação e hiper-inflação (1981-1993), os dados de renda precisam ser homogeneizados de forma a poderem ser comparados com os do período pós-inflacionário (1994-

);

•

Isso foi obtido dividindo-se a renda de cada domicílio pela renda média de toda a população no mês de setembro de cada ano;

•

Obteve-se assim, uma renda final normalizada e sem dimensão monetária•

Assim, é possível comparar o período de alta inflação com diferentes unidades monetárias (cruzeiro, cruzado, cruzeiro novo, etc) com o de baixa inflação (real);

•

A média de cada ano foi convertida em dólares americanos em cotação do dia 15 de setembro de cada ano.


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arXiv:0812.2664


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Análise empírica básica

•

Distribuição cumulativa F(x): probabilidade que um indivíduo receba uma renda igual ou inferior a x;

•

Distribuição cumulativa complementar F(x) - probabilidade que um indivíduo receba uma

renda igual ou superior a x;•

F(x) + F(x) = 100%


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Distribuição cumulativa complementar de renda F(x)

vs. renda normalizada x

no

Brasil de 1978 a 2005

Moura Jr & Ribeiro, Eur. Phys. J. B 67 (2009) 101; arXiv:0812.2664

•

Lei de potência de Pareto é visível nas caudas de todas as amostras; •

apesar dos anos de hiper-inflação, a similaridade das distribuições é surpreendente;

•

comportamento diferente em 1978

e

1979 (antes do início da era inflacionária.


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A função exponencial não se ajusta bem na região de baixa renda: modelo de Dragulesco e

Yakovenko não se aplica ao Brasil

•

Gráficos semi-log

não linearizam os dados, a não ser que sejam removidos os dados relativos às mais baixas rendas (x<2);

•

Estes resultados parecem descartar todas as funções baseadas na exponencial (Gaussiana,

Boltzmann-Gibbs) como ajustes viáveis;

•

A distribuição de renda no Brasil é notoriamente muito desigual,

assim os dados tendem a se acumularem na região de renda muito baixa.


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A curva de Gompertz

•

O próprio gráfico sugere uma função proveniente do segundo logarítimo de F(x);

•

A

and

B

are positive constants;•

O parâmetro indica a transição com a cauda da distribuição descrita pela lei de potência de Pareto.

( )te xxexF

BxA

<≤=−

0)()(

tx


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Ajustando a curva de Gompertz

aos dados de renda do Brasil

Claramente, esta função é uma melhor representação dos dados.


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A lei de potência de Pareto

•

A cauda da distribuição se comporta como uma lei de potência;

•

α

and

β

são constantes positivas;

•

A continuidade através das duas regiões diminui a liberdade paramétrica:

•

A

é

determinado pela condição de contorno F(x=0)=100%

)()( ∞≤≤= − xxxxF tαβ

)( tBxAet ex

−

= αβ

53.1100)0( =→== AFeAe


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Ajustando a lei de potência à cauda da distribuição

•

Existem caudas de Pareto únicas e bem definidas em todos os anos;

•

Amostras relativas a 1978 e 1979 apresentam grandes erros devido a anomalia da distribuição nesses anos.


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Aproximação exponencial da curva de Gompertz

•

Quando a renda normalizada é grande o suficiente, a seguinte aproximação é válida:

•

Assim, removendo-se os valores de renda extremamente baixos, o problema se reduz a uma exponencial, como no caso de Dragulesco e Yakovenko (2001);

•

Gráficos semi-logs

mostram comportamento linear para x>2 (classe média !!)

•

Como a renda no Brasil é muito mal distribuída, valores muito baixos têm peso bastante importante na distribuição de renda, o que a distorce de uma expoencial pura.

);1;(1)( tBxBx xxeABxforexF <<>+≈ −−


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A distribuição de Gompertz-Pareto (DGP) Chami Figueira, Moura Jr & Ribeiro, Physica A, (2010) em impressão;

arXiv:1010.1994

Normalização da densidade de probabilidade

Distribuição cumulativa (não complementar)


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A distribuição de Gompertz-Pareto (2)

média

1o

momento

3 parâmetros caracterizam completamente a DGP


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Curva de Lorenz


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Curvas de Lorenz no Brasil


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Curva de Lorenz pela DGP

A função de distribuição cumulativa define o eixo X da curva de Lorenz

O 1o. Momento da distribuição define o eixo Y da curva de Lorenz


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MedidaMedida

de de desigualdadedesigualdade: : coeficientecoeficiente

de de GiniGini

e a DGPe a DGP

0 ≤ Gini ≤ 1


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Reobtendo as curvas de Lorenz do Brasil via a DGP (1981-2007)


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Porcentagem de renda acumulada na região de Gompertz em relação a renda total

•

Tendo estimado os 3 parâmetros da DGP, tal quantidade pode ser calculada, pois equivale ao primeiro momento da distribuição cumulativa;

•

Esse resultado mostra a inter-conexão entre a renda acumulada nas regiões de Pareto e Gompertz.


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Testes de consistência

•

O coeficiente de Gini é calculado independentemente da DGP;

•

Pode-se obter o coeficiente via a DGP e comparar com os valores originais obtidos de forma independente;

•

Esse método permite determinar error sistemáticos no cálculo dos 3 parâmetros da DGP: B, α, β


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Comparando Gini

original com Gini calculado usando a DGP

Diferença de no máximo 7%1989 é o valor com maior discrepância (plano Collor)

Erros sistemáticos de cerca de 7%


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Teste de consistência com u

•

Teste de consistência similar pode ser feito com a variável u;

•

Ela necessita do valor xt

, mas uma vez conhecido, o valor de u pode ser obtido independente da DGP;

•

O parâmetro xt é estimado por meio da melhor aproximação do valor de contorno A= ln ln 100= 1,527;

•

Após linearizar a região de Gompertz, procura- se a reta cujo coeficiente linear ajustado melhor

se aproxime desse valor de contorno


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Comparação entre u

original e valor obtido via DGP

Diferença de no máximo 7% é mantida

Parece confirmar erros sistemáticos de 7% nos parâmetros da DGP


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A dinâmica da distribuição de renda

•

R.M. Goodwin propôs em 1967 uma dinâmica para renda e emprego inspirada na “luta de classes” de Karl Marx;

•

Marx, em “O Capital”: a diminuição de desemprego aumenta o poder de barganha dos trabalhadores, o que gera uma queda nos lucros, que por sua vez gera maior desemprego, que por sua vez aumenta os lucros, gerando mais investimentos e empregos, que então diminui o desemprego...

•

É a dinâmica do “exército trabalhador de reserva” discutido por Marx;

•

Goodwin associou essa dinâmica ao modelo clássico de presa- predador de Lotka-Volterra;

•

Zebras e leões: muitos leões comem muitas zebras. A população de leões aumenta com abundância de alimentos e a de zebras diminui. Menos zebras implica em leões passando fome e por sua vez

menos leões, o que faz com que mais zebras sobrevivam, gerando mais alimentos para os leões, que aumentam em número, etc...


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A dinâmica macro-econômica de Goodwin

•

Goodwin propôs uma competição entre:•

u –

percentagem de participação dos “trabalhadores” na renda total:

indica o

ganho da classe trabalhadora;•

v –

índice de emprego: indica indiretamente o lucro dos “capitalistas”;

•

O processo deve ser cíclico, com fases de crescimento seguidos de crise, de forma similar às populações de zebras e leões;

•

No modelo puramente clássico e determinístico de Goodwin os ciclos e crises se alternam, com u

e v

fora de fase.


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Dinâmica de Goodwin (Lotka-Volterra)

•

Sistema de EDO de 1a ordem;

•

Solução paramétrica em forma de órbitas

•

a1

, a2

, b1

, b2

, parâmetros que determinam o centro da órbita

uvbadtdu

vubadtdv

)(

)(

22

11

−−=

−=


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Diagrama uv de órbitas

Sistema estruturalmente instável: “choques” mudam o raio das órbitas, mas não modificam a dinâmica em si


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Modelo de Goodwin no Brasil?

•

Harvey (2001) mostrou ciclos aproximados para os países europeus;

•

Desai (1982) mostrou ciclos semelhantes para os EUA;•

Utilizando a DGP, associamos a região de Gompertz com a “classe trabalhadora”;

•

Desemprego a partir da PNAD foi obtido como cerca de 1/5 do salário mínimo, para obter índices semelhantes aos índices de desemprego obtidos independentemente pelo IBGE.

Diagrama uv para o Brasil Moura Jr & Ribeiro (2010), em preparação

Há ciclos aproximados!!!


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Conclusões1.

Dados de renda do Brasil são bem representados pela combinação da curva de Gompertz, representando 99% da população, e pela lei de

potência de Pareto, representando o 1% restante da população;2.

A função exponencial não representa bem os dados brasileiros porque as desigualdades de renda são fortes, o que faz com que os pontos observados tendam a se agrupar em regiões de baixa renda;

3.

Esse mesmo comportamento pode ser válido em outros países onde as desigualdades na distribuição de renda sejam muito grandes;

4.

Somente ao se remover esses valores de renda muito baixa a exponencial se torna uma aproximação razoável;

5.

Assim como os EUA e Inglaterra, o Brasil parece ser caracterizado por uma distribuição de renda formada por duas classes distintas, sendo que a “classe média” é definida como a parte média e superior da

região de Gompertz;6.

A dinâmica de Goodwin, baseada no modelo clássico de presa-

predador de Lotka-Volterra, parece ser válido em linhas gerais com os dados do Brasil, embora uma correspondência empírica mais precisa irá exigir modificações no modelo original.

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