integrale multiple improprii

7/22/2019 Integrale Multiple Improprii

1/34

Tema. Studiul i unele aplicaii ale

integralelor improprii multiple

A efectuat studenta gr. MI41Z

Certan Corina

Bli- 2014

Universitatea de Stat A.Russo din BliFacultatea de tiine Reale, Economice i ale Mediului

Catedra de matematic i informatic


2/34

Cuprins:

Integralimproprie de speaI

Integralimproprie de speaII

Integrale duble improprii Integrale triple improprii

Unele aplicaiiale integralelor improprii

Problema lui Cauchy pentru ecuaiaconductibilitiitermice


3/34

Integralele improprii au o serie de proprieti comune cuale integralei definite sau care provin din acestea. nunele situaii,o substituie adecvat poate transforma o integral pe interval

nemrginitcum este, de exemplu, una de forma()+

ntr-o integralpe interval finit. De exemplu, dac cu > 0,+ atunci,punnd

obinem

1 1 .


4/34

Definiia1. Fie funcia()definitpe intervalul,)iintegrabilpe orice segment , , adicpresupunem c exist integrala definit () pentru orice > .Dacexistlimitafinit

lim+

, (1)

atunci aceastlimitse numeteintegralimpropr ie

de speantiise noteaz

. ( 2 )+


5/34

Dacavem o funcie: , atunci ar putea avea sensintegrala improprie cu ambele limite de integrare infinite

, (3)++ unde

este un punct arbitrar fixat.

Integrala improprie + se considerconvergentdacinumai dacsunt convergente ambeleintegrale improprii din membrul drept al egalitii(3).Exemplul 1. S se studieze la convergen integrala

.+


6/34

Rezolvare. Conform definiieiintegralei improprii aflm

l i m+ l i m+ 13 1

+

13 lim+ 1 1 13 .Rspuns. Integrala dateste convergentieste egalcu

.

Teorema 1 (Testul de comparaie). Dac funciile, : ,) +sunt nenegativeiintegrabile pe oricesegment

, ,) 0()(), atunci

a) convergena integralei ()+ implicconvergenaintegralei ()+ i

++


7/34

b) divergena integralei ()+ implic divergenaintegralei

()+ .

Exemplul 2 ([2]).Sse cerceteze natura integralei

1 .+ Rezolvare. Constatmcpentru

1avem

1 1 < 1 .Observmc

l i m 1 1 1.+ Conform testului de comparaie, integrala

+

de

asemenea este convergentivaloarea ei este mai micdect1.


8/34

Definiia 2. Fie : , ) , , o funcienemrginit n

i integrabil pe orice segment

, , adicpresupunem cexistintegrala definit () pentru orice > 0. Dac exist limitafinit

lim , (4)atunci aceastlimitse numeteintegralimpropr ie de

speadouaise noteaz . (5)


9/34

Exemplul 3. Fie

. ()+

Dacnu inemcont de intervalul de variaieal lui iaplicmla integrala

formula Newton-Leibnitz,

1 ,avem 1 11 2,

ceea, ce ne pare imposibil, deoarece de obicei, integrndfunciipozitive, avem iun rezultat pozitiv. Greealaconstnaplicarea ilegal a formulei Newton-Leibnitz la integrala

improprie (*).


10/34

ntr-adevr, funciade sub semnul integralei tindela infinit, pentru 0 . Dar, atunci (*) trebuie calculat casum

. ns,

l i m l i m 1 1 . Analogic i-n cazul integralei

.Ceea ce nseamn

cintegrala dateste divergent.Pentru determinarea convergenei integralelor

improprii ale funciilordiscontinuie iaprecierea valorilor loradesea pot fi aplicate teoreme analoage teoremelor pentru

aprecierea integralelor cu limite infinite.


11/34

Definiia 3. Fie

o funcie real definit pe un domeniu

nemrginitiintegrabilpe orice subdomeniu compact care

are arie, a lui D. Spunem c este integrabil pe , dacexist un numr real , astfel nct pentru oriceexhaustiune

a lui

savem

+ , ()ivom scrie , .

Despre integrala din membrul stng spunem c esteconvergentpe mulimea.


12/34

Vom analiza un exemplu:

Exemplul 4. Precizaicondiiile de convergen a urmtoareiintegrale

1

,()

este mrginitde 1.Funciade sub semnul integralei este mrginitntoatepunctele, aflate n interiorul elipsei

1. La frontiera

domeniului ea tinde spre infinit. Pentru a soluionaproblemaconvergenei,vom trece la coordonatele polare generalizate : c os , sinsau


13/34

Calculm Jacobianul acestei transformri:

cos sin sin cos .Avem

1 1 12 2 1

1

()

1 +

1 1 0

11

1

.Avem trei cazuri:

Cazul I : 1 > 0 < 1, avem .Cazul II : , avem


14/34

Cazul III : 1 0 1, avem l n 1 10

.Rspuns: Integrala este convergentpentru < 1.Definiia 4. Spunem c

este integrabilimpropr iu pe

dac exist un numr

, astfel nct pentru orice ir de

vecinti ale lui , cu+

0,s avem +

, \

ivom scrie , .


15/34

Exemplul 5. Sanalizmnatura integralei

,()

unde este discul 1.Aceast integral dubl este improprie, deoarecefuncia de sub semnul integralei nu este mrginit pe acest

domeniu (norigine ea tinde spre infinit).Pentru soluionarea acestei probleme, vom trece la

coordonatele polare, unde

cos , sin , :

1 1 ;limitele de integrare:


16/34

Integrala va avea urmtoareaform

.()

Deoarece

( 2 )

34

1 0

2 34 32 ,rezultc

32 .() Rspuns : Integrala dubl improprie este convergent i este egalcu


17/34

Integrale triple improprii

Teorema 2 (Convergena absolut). Fie un domeniumrginitnchisdin i fie o funcienemrginitnvecintatea unui punct , ( ) . Dac n vecintateaacestui punct, funciasatisface condiia

() 3 ,atunci integrala

()()

este convergent.


19/34

Exemplul 6. Scalculmintegrala triplimproprie

.+

+

+

Observmcdomeniul de integrat este

: 0 < 0 < 0 < ,

adic I octant. La transformarea de coordonate (trecnd lacoordonatele sferice) lui iva corespunde domeniul

: 0 20 2


20/34

Trecem la coordonatele sferice:

c o s s i n s i n s i n c o s .

Atunci elementul de volum se exprimastfel: sin, iar .Vom calcula integrala de la funciadatpeporiuneadomeniului

care se coninenbila centratnorigine de raza .Avem

s i n c o s 20 2

.


21/34

=,= , == 12 0 12

lim+ 12 lim+ 12 .+

Ultima integral este integrala lui Poisson, care este egal cu

. Deci,

2 4 8 .Rspuns: .


22/34

UNELE APLICAII ALE INTEGRALELOR IMPROPRII

Exemplul 7. Fie c de-a lungul axei este uniformdistribuit o mas cu densitatea egal cu

1, iar punctul

(0,1)este un punct material cu masa . Sse afle forade atraciea corpului de ctre axa .Rezolvare.Din consideraiide simetrie, foraeste orientatde-a lungul axei

ctreoriginea acesteia. Separm pe axa

oporiuneelementar , (Fig. 2.1).

Fig. 2.1. Fora de atracie a corpului de ctre axa


23/34

Dup legea lui Newton fora, cu care aceastporiuneatragecorpul de mas

, este egalcu

1 .Proieciaacestei forepe direcianegativa axei se obinenmulind mrimea forei cu cosinusul unghiului

(unghiul

dintre foriaceastdirecie),adic . Deci, 1 .De aici

1 .+


24/34

Fie

, atunci

ia valori ntre

i

. De asemenea,

observmc11 11 1 , .

Prin urmare

cos 2.

Rspuns: 2 .


25/34

Exemplul 8. Gsiiforacu care punctul material cu masa (din exemplul precedent) este atras de masa repartizat

uniform de-a lungul semiaxei 0 < .Rezolvare. Aici trebuie s considermproieciile forei peambele axe.Din exemplul precedent, avem ,inplus 1 s i n 1 ,de unde

1 .+

D


26/34

Deoarece 1

12

1 1 1 ,atunci 11 0 .naa fel, fora

este egal cu

2 i formeaz un unghi de

45cu direcianegativa axei ndirecienegativ,adicesteorientatspre punctul 1, 0 de pe axa .Exemplul 9. Dup cum am observat, suprafaa unei figuri,

mrginit de liniile

1 , 0 , este infinit. Curios este

faptul c, volumul corpului format la rotirea acestei figuri n jurulaxei , este finit, avnd o valoare de

++


27/34

PROBLEMA LUI CAUCHY PENTRU ECUAIA

CONDUCTIBILITAII TERMICEIntegralele improprii i gsesc aplicaii n rezolvarea

diverselor probleme de fizic matematic. n acest paragrafvom ilustra aplicarea integralelor improprii de spea I nsoluionarea problemei lui Cauchy pentru ecuaiaconductibilitiitermice.

FORMULAREA PROBLEMEI LUI CAUCHYDe gsit funcia , > 0 , < < care satisfaceecuaiaconductibilitiitermice

(6)

icondiiainiial= < < , (7)unde este o funciecontinuimrginit.


28/34

ndeplinirea condiiei iniiale o vom nelege n acel sens, c

, este continucnd

0, adic

lim , .

UNICITATEA SOLUIEI PROBLEMEI LUI CAUCHY

Unicitatea soluiei problemei Cauchy vom demonstra-o,

presupunnd, c soluia , este mrginit n ntregdomeniul, adicexisto constantpozitiv > 0 ,astfel nct

, < , , 0 .

Astfel, vom admite, prin absurd, c exist aa dou soluii(,) i (,) ale ecuaiei 6 , care satisfac aceeaicondiieiniial 7 .


29/34

EXISTENA SOLUIEI PROBLEMEI LUI CAUCHY

Soluiile pariale ale ecuaiei (6)au forma : ,

,

() cos () sin O soluie parial a ecuaiei (5)pentru orice()i esteIarsoluia fundamental a ecuaiei conductibilitii termice

6este funcia

, , 12 privit ca funcie de , .


30/34

CORECTITUDINEA FORMULARII PROBLEMEI LUI

CAUCHY

(dependena continu a soluiei problemei lui Cauchy de funcia

iniial)

Fie (,)este soluia ecuaiei (6)ce satisface condiiainiial 7 , iar (,)soluia ecuaiei (6)ce satisfacecondiia iniial

= .Dar atunci funciile (,)i (,)se exprim prin formulalui Poisson : , 12 ( ) + ,

+


31/34

Fie c condiiile iniiale se deosebesc infinit de puin, adic fie

() < , , .

Ne intereseaz ct de mult se deosebesc soluiile corespunztoare.

Estimm diferena:

, ( , ) 12

( ) +

12 +

integrale multiple improprii

Documents