Polinomios Interpolantes. 1

[POLINOMIOS

INTERPOLANTES]

[PRIMERA EDICIÓN

2014] AUTOR: CEILA

OSORIO

C.I 20425175,

CARACAS,

VENEZUELA.

Polinomios Interpolantes. 2

En esta edición.

Polinomios Interpolantes.

La introducción a la teoría de la interpolación.

Tablas de Diferencia.

Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, Gauss.

Interpolación de Hermite.

Polinomio interpolante de Lagrange.

Diferencias divididas y la formula general de newton.

Aplicación de los métodos numéricos y Resolución de Problemas.

Polinomios Interpolantes. 3

Interpolación Polinómicas.

El Problema De La Interpolación consiste en construir una función que

pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como

aproximación de la función primitiva.

Para calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las

conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el

valor que obtengamos será una aproximación del valor real. De igual forma

puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero puede

que sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a

los valores de la función a partir de otros ya conocidos.

Interpolación polinómica. Es cuando se utilizan polinomios como

funciones de aproximación.

Extrapolación. Se presenta cuando en la abscisa para la que queremos

encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor

intervalo definido por las abscisas de los polos.

Tabla De Diferencias.

Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar

los coeficientes de polinomios Interpolantes, Los valores de una función

desconocida correspondiente a dichos valores de x.

La finalidad es determinar el comportamiento de la función, con las

muestras de los pares de datos (x, f(x)).

En una tabla de diferencias se debe arreglar los datos con los valores

de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se

deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las

columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las

diferencias entre los valores de la columna a su izquierda.

Polinomios Interpolantes. 4

Ejemplo:

x

f(x) Af(x) A2f(x) A3f(x) A4f(x) A5f(x) A6f(x)

0,0 0,000 0,203 0,017 0,024 0,020 0,032 0,127

0,2 0,203 0,220 0,041 0,044 0,052 0,159

0,4 0,423 0,261 0,085 0,096 0,211

0,6 0,684 0,346 0,181 0,307

0,8 1,030 0,527 0,488

1,0 1,557 1,015

1,2 2,572

Polinomio de Avance de Newton-Gregory.

Cuando la función que ha sido tabulada, se comporta como un polinomio

(esto se puede decir observando que sus diferencias de orden n-ésimo sean

iguales o casi), se le puede aproximar al polinomio que se le parece. El

problema consiste entonces en encontrar los medios más sencillos para

escribir el polinomio de n-ésimo grado correspondiente.

Polinomio Interpolante de Gauss.

Donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el

punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

En la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag,

iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo.

Interpolación De Hermite.

En esta unidad se busca un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico

en cada sub-intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función

Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo

Polinomios Interpolantes. 5

requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La

desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad

de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Interpolación Usando Splines.

La desventaja es que su segunda derivada no es continua en los puntos

de interpolación.

Uso de los splines donde los mismos son funciones s(x) continúas por

pedazos con las siguientes propiedades:

s(x) es polinomio cúbico en .

existen y son continuas en .

s(x) interpola a la función f en los datos .

s(x) es continua en el intervalo.

Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma

explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente:

Los intervalos no se interceptan entre sí, por lo que no hay

ambigüedad en la definición de la función en los nudos. Un spline de grado 1

se puede definir por:

Polinomios Interpolantes. 6

Polinomio Interpolante De Lagrange.

Construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los

n+1 puntos: donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del

Polinomio Interpolante de Lagrange.

Puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero

tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton.

En la aplicación del Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de

Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente

equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma

ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un

error.

Nota: El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces:

p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1,

... , xn].

Polinomios de interpolación de Lagrange.

Formula.

Polinomios Interpolantes. 7

Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La

Resolución De Problemas.

Para datos tabulados en forma equiespaciada o no equiespaciada, a

través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras

tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las

de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son

compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares

disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia

en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones

diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de

Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).

Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del

problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un

operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta

discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular

de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman

un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso.

En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de

recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente

anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como

operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes

encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales.

Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por

tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos

identificado en los polinomios de Hermite.

Polinomios Interpolantes. 8

Otra edición más sobre el Análisis Numérico

Y los polinomios Interpolantes.

Polinomios Interpolantes. 9

Por último.

Esperamos que este material les sea de gran ayuda en el

desarrollo de sus estudios tanto técnicos como universitarios,

estamos para contribuir con todos ustedes en la formación y

desarrollo esmerado de sus estudios y conocimientos.

A todos mis queridos y estimados lectores les dejo esta pequeña

reflexión, espero les sea de utilidad y aporte en el ámbito estudiantil.

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino

como una oportunidad para acceder en el bello y

maravilloso mundo del saber”

Albert Einstein.

ANÁLISIS NUMÉRICO.

Polinomios Interpolantes.

En su Primera Edición.

Febrero de 2014.

Autor: Ceila Osorio

C.I. 20.425.175

Caracas, Venezuela.