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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

FÍSICA II

Prof.: Ing. Alejandra Escobar

TEMA VII

CAMPO MAGNÉTICO

Magnetismo

El magnetismo es un fenómeno físico por el que los objetos ejercen fuerzas de

atracción o repulsión sobre otros materiales. Hay algunos materiales conocidos que

han presentado propiedades magnéticas detectables fácilmente como el níquel, hierro,

cobalto y sus aleaciones que comúnmente se llaman imanes. Sin embargo todos los

materiales son influidos, de mayor o menor forma, por la presencia de un campo

magnético.

Electromagnetismo

Es la parte de la física que se encarga del estudio de los efectos entre los

fenómenos eléctricos y magnéticos.

Imán

Es un cuerpo capaz de atraer o adherirse a otros materiales llamados

ferromagnéticos y de atraer o repeler a otros imanes.

Polos de un Imán

Son los extremos de un imán, los cuales llamamos polo norte y sur magnético de

acuerdo a la siguiente convención: el polo norte de un imán es aquel que cuando el

imán gira libremente apunta hacia el norte geográfico de la tierra. El extremo que

apunta hacia el sur geográfico de la tierra se llama polo sur del imán.

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Materiales Ferromagnéticos

Son aquellos materiales magnéticos que tienen una gran facilidad para imantarse,

debido a que están constituidos por pequeños imanes o dipolos moleculares que se

ordenan cuando están en presencia de un campo magnético, formándose los llamados

dominios magnéticos.

Campo Magnético

El Campo magnético es un campo que rodea algunos cuerpos (tales como la

magnetita) que se caracteriza porque produce una fuerza que es capaz de atraer a

otros cuerpos metálicos hacia sí, o de orientarlos en una dirección determinada (tal

como la tierra orienta una brújula).

Se designa con la letra �⃗� y su unidad es el Tesla [𝑇].

1 𝑡𝑒𝑠𝑙𝑎 = 1𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛

𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏.𝑚𝑒𝑡𝑟/𝑠𝑒𝑔= 1

𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛

𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟.𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

El campo magnético es representado a través de líneas de campo, las líneas de

campo magnético se trazan de modo que la tangente a cualquier línea da la dirección

del campo en ese punto, y el número de líneas que cruzan cualquier área en particular

en ángulo recto da una medida de la magnitud de este. Es decir, cuando las líneas

están muy próximas entre si el campo es grande, y muy separadas cuando el campo es

pequeño.

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Fuerzas Magnéticas sobre una Carga en Movimiento

Cuando una partícula cargada se desplaza dentro de un campo magnético

externo �⃗� con una rapidez constante �⃗� , sobre dicha carga actúa una fuerza 𝐹 cuya

magnitud y dirección se pueden determinar haciendo uso de la fórmula:

𝐹 = 𝑄(�⃗� ×�⃗� )

donde; 𝑄 es la carga de la partícula [Coulomb], 𝑉 la velocidad de la carga [mts / seg] y

𝐵 el campo Magnético [Tesla].

Se debe considerar que la dirección de la fuerza resultante se puede determinar

haciendo uso de la regla de la mano derecha. La magnitud de la fuerza se puede

determinar con la fórmula:

𝐹 = 𝑄| �⃗� || �⃗� | Sen𝜃

siendo 𝜃 el ángulo entre �⃗� y �⃗� .

Regla de la Mano Derecha

Cuando se realiza un producto vectorial (�⃗� ×�⃗� ), el vector resultante 𝐹 se obtiene

en la dirección del dedo pulgar al cerrar la mano derecha desde el vector �⃗� hacia el

vector �⃗� . El vector resultante es perpendicular al plano formado por los vectores

multiplicados.

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Cuando un campo o vector se encuentre penetrando perpendicularmente a la

página lo designaremos con (x), mientras que cuando se encuentre saliendo lo

designaremos con (o).

Ejercicios

1. Un campo magnético uniforme 𝑩, con una magnitud de 1,2 𝑚𝑇, apunta

verticalmente hacia arriba a lo largo del volumen del salón en el que se encuentran

sentados. Un protón de 5,3 𝑀𝑒𝑉 se mueve horizontalmente de sur a norte a través de

cierto punto del salón.

a. ¿Qué fuerza magnética deflectora actúa sobre el protón cuando pasa por ese

punto?

b. ¿Cuál es la aceleración del protón en ese punto?

La fuerza magnética deflectora depende de la velocidad del protón, la cual la

podemos hallar con ayuda de la ecuación de energía cinética, hay que tomar en cuenta

que 1 𝑀𝑒𝑉 = 1,6𝑥10−13𝐽.

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 ⇒ 𝑣 = √

2𝐾

𝑚= √

2.5,3 𝑀𝑒𝑉. (1,6𝑥10−13𝐽

1 𝑀𝑒𝑉 )

1,67𝑥10−27𝐾𝑔= 3,2𝑥107 𝑚

𝑠⁄

Para calcular la fuerza aplicamos la formula siguiente:

𝐹 = 𝑄|�⃗� || �⃗� | Sen𝜃 = 1,6𝑥10−19𝐶. 3,2𝑥107 𝑚𝑠⁄ . 1,2 𝑚𝑇.(

1 𝑇

1000 𝑚𝑇) . sin 90° = 6,1𝑥10−15𝑁

La dirección del vector fuerza es hacia el oeste. Ahora con ayuda de la segunda

ley de newton calculamos la aceleración.

𝐹 = 𝑚. 𝑎 ⇒ 𝑎 =𝐹

𝑚=

6,1𝑥10−15𝑁

1,67𝑥10−27𝐾𝑔= 3,7𝑥1012 𝑚

𝑠2⁄

Campo Magnético Producido por una Corriente

La teoría electromagnética establece que el movimiento de cargas eléctricas

genera campos magnéticos. “Cuando una corriente 𝑖 circula por un alambre de longitud

infinita, se produce un campo magnético alrededor del alambre a una distancia 𝑟 cuya

magnitud es directamente proporcional a la distancia desde el punto al alambre”.

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Si el conductor es rectilíneo, la magnitud del campo magnético viene dada por:

𝐵 =𝜇𝑜 𝑖

2𝜋𝑅=

𝜇𝑜 𝑖

𝐿

donde; 𝜇𝑜: la corriente de permeabilidad (𝜇𝑜 = 4𝜋 × 10−7 [T.m/A]).

Si el conductor es una espira, y se desea calcular la magnitud del campo

magnético en el centro de conductor, la ecuación viene dada por:

𝐵 =𝜇𝑜 𝑖

2𝑅 𝑜 𝐵 =

𝜇𝑜 𝑖 𝑁

2𝑅

Si el conductor es una espira, y se desea calcular la magnitud del campo

magnético en un punto sobre el eje que pasa perpendicularmente sobre el centro del

conducto, la ecuación viene dada por:

𝐵 =𝜇𝑜 𝑖 𝑅

2

2𝑟3 𝑜 𝐵 =

𝜇𝑜 𝑖 𝑅2 𝑁

2𝑟3

donde; 𝑟 es la longitud medida desde el punto donde se quiere conocer el campo hasta

la superficie del conductor, 𝑅 el radio del conductor circular

La dirección de rotación del campo magnético también cumple con la regla de la

mano derecha colocando el pulgar en dirección de la corriente eléctrica. En el sistema

“cgs” la unidad de campo magnético es el “Gauss” donde: 1T = 104 Gauss.

Ejercicio

1. Se tienen dos conductores rectilíneos y paralelos colocados perpendicularmente al

plano del papel transportando corriente del mismo sentido. La corriente 𝐼1 = 5 𝐴, e 𝐼2 =

3 𝐴. Calcular la magnitud del campo magnético resultante sobre la recta que une los

conductores en un punto situado a 4 𝑐𝑚 del primero y a 3 𝑐𝑚 del segundo.

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Hagamos un diagrama representativo de los conductores. Como ambos

transporta corriente en el mismo sentido los dibujamos suponiendo de salen del plano

del papel, tal como lo indica la figura.

Si aplicamos la regla de la mano derecha encontramos que el campo magnético

de 𝐼1 va hacia arriba y el campo magnético de 𝐼2 va hacia abajo.

𝐵1 =𝜇𝑜 𝑖12𝜋𝑅1

=4𝜋 × 10−7 𝑇.𝑚 𝐴⁄ . 5 𝐴

2𝜋4 𝑐𝑚. (1 𝑚

100 𝑐𝑚)

= 2,5𝑥10−5 𝑇

𝐵2 =𝜇𝑜 𝑖22𝜋𝑅2

=4𝜋 × 10−7 𝑇.𝑚 𝐴⁄ .4 𝐴

2𝜋3 𝑐𝑚. (1 𝑚

100 𝑐𝑚)= 2𝑥10−5 𝑇

𝐵𝑟 = 𝐵1 − 𝐵2 = 2,5𝑥10−5 𝑇 − 2𝑥10−5 𝑇 = 0,5𝑥10−5 𝑇

2. En la base 𝐴𝐵 de un triangulo 𝐴𝐵𝐶 se coloca una espira circular como lo muestra la

figura, por donde circula una corriente 𝐼 = 5 𝐴, saliendo por 𝐴 y penetrando por 𝐵.

¿Cuál es la magnitud del campo magnético resultante en el vértice 𝐶.

4 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚

𝐵1

𝐵2

7

La ecuación para calcular el campo magnético es:

𝐵 =𝜇𝑜 𝑖 𝑅

2

2𝑟3

Nuestros datos son:

𝐵𝐷 = 𝑅 = 1 𝑐𝑚. (1 𝑚

100 𝑐𝑚) = 1𝑥10−2 𝑚

𝐵𝐶 = 𝑟 = 4 𝑐𝑚. (1 𝑚

100 𝑐𝑚) = 4𝑥10−2 𝑚

Sustituyendo los valores en la ecuación se tiene que:

𝐵 =𝜇𝑜 𝑖 𝑅

2

2𝑟3=

4𝜋 × 10−7 𝑇.𝑚 𝐴⁄ . 5 𝐴.(1𝑥10−2 𝑚)2

2. (4𝑥10−2 𝑚)3= 4,9𝑥10−6 𝑇

3. Una espira de una sola vuelta, por la que fluye una corriente de 4 𝐴, tiene la forma

de un triangulo rectángulo, siendo sus lados de 50 𝑐𝑚, 120 𝑐𝑚 y 130 𝑐𝑚. La espira esta

dentro de un campo magnético uniforme de 75 𝑚𝑇 de magnitud cuya dirección es

paralela a la corriente en el lado de 130 𝑐𝑚 de la espira. Calcular la fuerza magnética

sobre cada uno de los tres lados de la espira.

𝐴 𝐵

𝐶

4 𝑐𝑚

2 𝑐𝑚

�⃗�

𝐷

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Calculemos los ángulos internos del triangulo

𝜃 = sin−1 (120

130) = 67,4° ∅ = 180 − 67,4° = 112,6°

𝛽 = sin−1 (50

130) = 22,6°

Calculemos la fuerza magnética con respecto a cada uno de los lados

F130 = 0 𝑁

F50 = |𝐼 |𝐿|�⃗� | sin 𝜃 = 4 𝐴. 50 𝑐𝑚(1 𝑚

100 𝑐𝑚) . 75 𝑚𝑇. (

1 𝑇

1000 𝑚𝑇) . sin157,4° = 0,138 𝑁

F120 = |𝐼 |𝐿|�⃗� | sin 𝜃 = 4 𝐴. 120 𝑐𝑚(1 𝑚

100 𝑐𝑚) . 75 𝑚𝑇. (

1 𝑇

1000 𝑚𝑇) . sin22,6° = 0,138 𝑁

Fuerza Magnética sobre una Corriente

Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica se coloca en un

campo magnético, dicho alambre experimenta una fuerza magnética cuya magnitud y

dirección se puede calcular con la ecuación:

𝐹 =𝐼 𝐿×�⃗�

donde; 𝐼 la corriente [A], 𝐿 la longitud del Cable [mts] y 𝐵 el campo magnético externo

[T]. La dirección de la fuerza se puede determinar haciendo uso de la regla de la mano

derecha.

𝐵

𝐼

120 𝑐𝑚

50 𝑐𝑚

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La magnitud de la fuerza resultante se calcula con la siguiente fórmula:

F = |𝐼 |𝐿|�⃗� | sin 𝜃

siendo θ el ángulo entre 𝐼 y 𝐵.

Ejercicio

1. Un segmento de alambre de cobre, recto y horizontal, porta una corriente de 𝑖 =

28 𝐴. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético necesarias para

hacer flotar el alambre, es decir, para equilibrar su peso? Su densidad lineal de masa

es de 46,4 𝑔 𝑚⁄ .

Para calcular el campo magnético, sabiendo que este forma un ángulo de 90° con

la corriente, nos ayudamos con la siguiente formula y la segunde ley de newton.

F = |𝐼 |𝐿|�⃗� | sin 𝜃 = |𝐼 |𝐿|�⃗� | (1)

𝐹 = 𝑚. 𝑔 (2)

Igualando las ecuaciones 1 y 2, y despejando el campo magnético tenemos:

𝐿

𝐹

𝐵

𝐼

𝜃

F

10

𝐵 =𝑚𝑔

𝐼𝐿=

(𝑚 𝐿⁄ )𝑔

𝐼=

46,4 𝑔 𝑚⁄ . (1 𝑘𝑔

1000 𝑔) . 9,8 𝑚

𝑠2⁄

28 𝐴= 1,6𝑥10−2 𝑇

Ley de Biot-Savart

Se utiliza para calcular el campo magnético en un punto “P” debido a una

distribución arbitraria de corriente, es decir, la corriente en un alambre curvo. Para ello

utilizamos la fórmula:

𝑑𝐵 =𝜇0 𝑖 𝑑𝑠 𝑆𝑒𝑛𝜃

4𝜋 𝑟2⇒ 𝐵 =

𝜇0

4𝜋∫

𝑖 𝑑𝑠 × 𝑟

𝑟3

El Procedimiento para la aplicación de la ley de Biot-Savart es el siguiente:

1. Tomamos un diferencial 𝑑𝑠 que genera un diferencial 𝑑𝐵 en el punto indicado.

2. 𝜃 es el ángulo entre el diferencial 𝑑𝑠 y el radio 𝑟.

3. 𝑟 es la distancia desde el diferencial 𝑑𝑙 al punto 𝑝.

4. Se escriben los términos variables en función del parámetro a integrar.

5. 𝑖 es la corriente que circular por el alambre.

6. 𝜇0 es la Constante de Permeabilidad (4𝜋 × 10−7𝑇𝑚/𝐴).

7. 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑠 = 𝑑𝑦; 𝑑𝑠 = 𝑟𝑑𝜃. Dependiendo de la forma y dirección del alambre.

Aplicación de Ley de Biot-Savart

Un alambre recto largo: ilustramos la ley de Biot-Savart aplicándola al cálculo

del campo magnético debido a una corriente que circula a través de un alambre recto

largo.

𝑑𝑠

𝑃 𝑅

𝑟 𝑥

𝜃

𝑖

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En la figura se muestra un elemento de corriente 𝑖 𝑑𝑠 representativo. La magnitud

de la contribución 𝑑𝐵 de este elemento al campo magnético en 𝑃 se encuentra a partir

de la ley de Biot-Savart:

𝑑𝐵 =𝜇0 𝑖 𝑑𝑠 𝑆𝑒𝑛𝜃

4𝜋 𝑟2

Eligiendo a 𝑥 como la variable de integración la cual corre a lo largo de la longitud

del alambre, y así la longitud del elemento de corriente es 𝑑𝑥. La dirección de las

contribuciones 𝑑𝐵 en el punto 𝑃 para todos los elementos son las mismas, es decir

hacia adentro del plano del papel formando un ángulo recto con el mismo. Esta es la

dirección del producto vectorial 𝑑𝑠 × 𝑟. Podemos entonces evaluar una integral escalar

en lugar de la integral vectorial que nos enuncia la ley de Biot-Savart, y 𝐵 puede

escribirse como:

𝐵 = ∫𝑑𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋∫

sin𝜃

𝑟2𝑑𝑥

𝑥=∞

𝑥=−∞

Ahora debemos expresar tanto las variables dependientes (𝜃, 𝑟) en función de

nuestra variable de integración 𝑥, las cuales están relacionadas de la siguiente manera:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑅2

sin 𝜃 = sin(𝜋 − 𝜃) =𝑅

𝑟=

𝑅

√𝑥2 + 𝑅2

Así que la ecuación para el cálculo del campo eléctrico es:

𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋∫

𝑅

(𝑥2 + 𝑅2)3

2⁄𝑑𝑥

𝑥=∞

𝑥=−∞

=𝜇0𝑖

4𝜋

𝑅

(𝑥2 + 𝑅2)3

2⁄|

𝑥=−∞

𝑥=∞

=𝜇0𝑖

2𝜋𝑅

Un anillo circular de corriente: la figura nos muestra un anillo circular de radio 𝑅

por el cual circula una corriente 𝑖, y se desea calcular el campo magnético en un punto

𝑃 sobre el eje a una distancia 𝑍 del centro del anillo. El ángulo 𝜃 entre el elemento de

corriente 𝑖 𝑑𝑠 y 𝑟 es de 90°. Según al ley de Biot-Savart, se sabe que el vector 𝑑𝐵 de

este elemento esta en ángulo recto con el plano formado por 𝑖 𝑑𝑠 y 𝑟, y por lo tanto se

encuentra en ángulo recto con 𝑟 como se muestra en la figura.

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Resolvamos a 𝑑𝐵 en dos componentes, una paralela 𝑑𝐵 ∥ a lo largo del eje del

anillo, y la otra perpendicular 𝑑𝐵 ⊥ en ángulo recto con el eje. Solo 𝑑𝐵 ∥ contribuye al

campo magnético total 𝐵 en el punto 𝑃. Esto se deduce porque las componentes 𝑑𝐵 ∥

de todos los elementos de corriente están sobre el eje y se suman directamente; sin

embargo, las componentes 𝑑𝐵 ⊥ apuntan en direcciones distintas perpendiculares al

eje, y la suma de todas ellas para el anillo completo da cero, según la simetría.

Por lo tanto, podemos remplazar a la integral vectorial de todas las 𝑑𝐵 como una

integral escalar de las componentes paralelas como se muestra a continuación:

𝐵 = ∫ 𝑑𝐵 ∥

Para el elemento de corriente que observamos en la figura, la Ley de Biot-Savart

expresa que:

𝑑𝐵 =𝜇0 𝑖 𝑑𝑠 𝑆𝑒𝑛90°

4𝜋 𝑟2

También tenemos que:

𝑑𝐵 ∥= 𝑑𝐵 cos𝛼

Al combinar las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

𝑃

𝑅

𝑑𝑠 𝑦

𝑥

𝑧

𝑍

𝑟

𝑑𝐵 ⊥

𝛼

𝑖

𝑑𝐵 𝑑𝐵 ∥

𝛼

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𝑑𝐵 ∥=𝜇0 𝑖 𝑑𝑠 cos𝛼

4𝜋 𝑟2

En la figura muestra que 𝑟 y 𝛼 no son independientes una de la otra. Expresemos

a cada una en términos de Z, que es la distancia desde el centro del anillo hasta el

punto 𝑃. Las relaciones son:

𝑟 = √𝑅2 + 𝑍2

cos𝛼 =𝑅

𝑟=

𝑅

√𝑅2 + 𝑍2

Al sustituir estos valores en la ecuación del campo magnético paralelo, nos da

que:

𝑑𝐵 ∥=𝜇0 𝑖 𝑅

4𝜋 (𝑅2 + 𝑍2)3

2⁄𝑑𝑠

Nótese que 𝑖, 𝑅, y 𝑍 tienen los mismos valores para todos los elementos de

corriente. Al integrar esta ecuación obtenemos:

𝐵 =𝜇0 𝑖 𝑅

4𝜋 (𝑅2 + 𝑍2)3

2⁄∫ 𝑑𝑠

Obsérvese que ∫𝑑𝑠 es simplemente la circunferencia del anillo, la cual viene dada

por 2𝜋𝑅, entonces el campo magnético nos queda como:

𝐵 =𝜇0 𝑖 𝑅

2

2 (𝑅2 + 𝑍2)3

2⁄

Ejercicio

1. Por dos alambres largos paralelos separados por una distancia de 2𝑑 entre si

fluyen corrientes iguales 𝑖 en direcciones opuestas como se muestra en la figura.

Obtenga una expresión para el campo magnético 𝐵 en un punto 𝑃 sobre la línea que

une a los alambres y a una distancia 𝑥 desde el punto medio entre ellos.

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Con ayuda de la regla de la mano derecha podemos conocer los sentidos de los

campos magnéticos generados por las don corrientes de nuestro sistema, por lo tanto

el campo magnético total es:

𝐵𝑡 = 𝐵1 + 𝐵2

Calculemos los campos magnéticos de los conductores con la ayuda de la

ecuación que dedujimos anteriormente para un alambre recto y largo, la cual es:

𝐵 =𝜇0𝑖

2𝜋𝑅

𝐵1 =𝜇0𝑖

2𝜋(𝑑 + 𝑥)

𝐵2 =𝜇0𝑖

2𝜋(𝑑 − 𝑥)

Sustituyendo 𝐵1 y 𝐵2 en la ecuación del campo total tenemos que:

𝐵𝑡 =𝜇0𝑖

2𝜋(𝑑 + 𝑥)+

𝜇0𝑖

2𝜋(𝑑 − 𝑥)=

𝜇0𝑖2𝜋(𝑑 − 𝑥) + 𝜇0𝑖2𝜋(𝑑 + 𝑥)

2𝜋(𝑑 + 𝑥)2𝜋(𝑑 − 𝑥)=

𝜇0𝑖2𝜋(𝑑 − 𝑥 + 𝑑 + 𝑥)

4𝜋2(𝑑2 − 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑥2)

=𝜇0𝑖2𝜋2𝑑

4𝜋2(𝑑2 − 𝑥2)=

𝜇0𝑖𝑑

𝜋(𝑑2 − 𝑥2)

Fuerzas sobre Conductores Paralelos

Cuando se tienen dos conductores paralelos por los que circulan corrientes, el

campo magnético producido por uno de los conductores puede afectar al otro

conductor y viceversa, generándose entre ellos fuerzas de atracción o de repulsión,

dependiendo si las corrientes llevan igual sentido o sentidos opuestos.

𝑃

𝐵1

𝐵2 1 2

𝑖 𝑖

𝑑 𝑑

𝑥

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Analizando la interacción entre dos corrientes que circulan por conductores

paralelos. La figura nos muestra que el alambre 1, que conduce una corriente 𝑖1,

produce un campo magnético 𝐵1 cuya magnitud, en el sitio del segundo alambre es, de

acuerdo con la siguiente ecuación:

𝐵1 =𝜇0𝑖12𝜋𝑑

La regla de la mano derecha muestra que la dirección 𝐵1 en el alambre 2 es hacia

abajo. Como se muestra en la figura. El alambre 2 por el cual fluye una corriente 𝑖2,

puede entonces considerarse inmerso en un campo magnético externo 𝐵1. Una

longitud 𝐿 de este alambre experimenta una fuerza magnética lateral 𝐹21 = 𝑖2𝐿 × 𝐵1,

cuya magnitud se da por la siguiente ecuación:

𝐹21 = 𝑖2𝐿𝐵1 =𝜇0𝐿𝑖1𝑖22𝜋𝑑

Con la regla de la mano derecha podemos encontrar la dirección de la fuerza 𝐹21 ,

la cual se encuentra en el plano de los alambres apuntando hacia el alambre 1.

Luego de este análisis podemos decir que si dos corrientes son paralelas la fuerza

es de atracción, en caso contrario, si dos corrientes son anti paralelas la fuera es de

repulsión.

Ejercicio

1. Un alambre horizontal largo soportado rígidamente conduce una corriente 𝑖𝑎 de

96 𝐴. Directamente encima de el y paralelo a el hay un alambre delgado conductor de

una corriente 𝑖𝑏 de 23 𝐴 y de 0,73 𝑁 𝑚⁄ de peso. ¿A que altura del alambre inferior

𝑖1

𝑖2

1

2

𝐿

𝐹12

𝐵1

𝑑

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abría que extender el segundo alambre si esperamos soportarlo mediante repulsión

magnética?

Para proporcionar repulsión las dos corrientes deben apuntar en dirección

contraria. En el equilibrio la fuerza magnética por unidad de longitud debe ser igual al

peso por unidad de longitud y debe estar dirigida opuestamente. Si despejamos 𝑑 de la

ecuación de fuerza para conductores en paralelo tenemos que:

𝐹 =𝜇0𝐿𝑖1𝑖22𝜋𝑑

⇒ 𝑑 =𝜇0𝐿𝑖1𝑖22𝜋𝐹

=𝜇0𝑖1𝑖2

2𝜋(𝐹 𝐿⁄ )=

4𝜋 ×10−7𝑇𝑚

𝐴. 96 𝐴.23 𝐴

2𝜋0,73𝑁 𝑚⁄= 6𝑥10−3 𝑚

Ley de Ampere

Esta ley es similar a la ley de Gauss, nos permite calcular el campo magnético

cuando es aprovechable la simetría del sistema, para así lograr simplificar los cálculos

del campo magnético. Con similitud a la ley de Gauss para la aplicación de la ley de

Amper se utiliza la ayuda de un anillo amperiano, esta ley de Amper establece que:

∮𝐵. 𝑑𝑠 = 𝜇0 𝑖𝑒𝑛𝑐 → ∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = ∮ 𝐵. 𝑑𝑠. cos𝜃

𝑖𝑒𝑛𝑐: Corriente encerrada por la Guasiana en el punto donde se desea calcular el

campo magnético 𝐵.

𝑑𝑠: Diferencia de longitud de la línea del campo magnético.

𝜃: representa el ángulo entre 𝑑𝑠 y 𝐵.

Realizando ciertos experimentos se concluye que el campo magnético en una

anillo amperiano tiene solo una componente que es tangencial, por lo tanto el ángulo 𝜃

es cero, así la integral de línea que enuncia la ley de Amper se puede escribir como:

∮𝐵. 𝑑𝑠. cos𝜃 = 𝐵∮ 𝑑𝑠 = 𝐵(2𝜋𝑟)

Entonces;

𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0 𝑖𝑒𝑛𝑐 ⇒ 𝐵 =𝜇0 𝑖𝑒𝑛𝑐

2𝜋𝑟

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Ejercicio

1. Deduzca una expresión para 𝐵 a una distancia 𝑟 del centro de un alambre cilíndrico

largo de radio 𝑅, en donde 𝑟 < 𝑅. El alambre conduce una corriente 𝑖, distribuida

uniformemente en la sección transversal del alambre.

Se tiene el anillo amperiano circular dentro del alambre. La simetría sugiere que 𝐵

es de magnitud constante a lo largo del anillo y tangencial a el como se muestra. La ley

de Amper da:

𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0 𝑖𝑒𝑛𝑐 = 𝜇0𝑖𝜋𝑟2

𝜋𝑅2

𝐵 =𝜇0𝑖𝑟

2𝜋𝑅2

Ley de la Inducción de Faraday

Inducción Electromagnética

Es el fenómeno que origina la producción de una fuerza electromotriz (fem

o voltaje) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magnético variable, o bien en un

medio móvil respecto a un campo magnético estático. Es así que, cuando dicho cuerpo

es un conductor, se produce una corriente inducida. Este fenómeno fue descubierto

por Michael Faraday quien lo expresó indicando que la magnitud del voltaje inducido es

proporcional a la variación del flujo magnético (Ley de Faraday).

Bobina o Inductor

Es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido al fenómeno de

la autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético.

Un inductor está constituido normalmente por una cabeza hueca de una bobina

de conductor, típicamente alambre o hilo de cobre esmaltado. Existen inductores con

𝑅

𝑟 𝑑𝑠

𝐵

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núcleo de aire o con núcleo hecho de material ferroso (por ejemplo, acero magnético),

para incrementar su capacidad de magnetismo.

El inductor consta de las siguientes partes:

Devanado inductor: Es el conjunto de espiras destinado a producir el flujo

magnético, al ser recorrido por la corriente eléctrica.

Culata: Es una pieza de sustancia ferromagnética, no rodeada por devanados, y

destinada a unir los polos de la máquina.

Pieza polar: Es la parte del circuito magnético situada entre la culata y el

entrehierro, incluyendo el núcleo y la expansión polar.

Núcleo: Es la parte del circuito magnético rodeada por el devanado inductor.

Expansión polar: Es la parte de la pieza polar próxima al inducido y que bordea

al entrehierro.

Polo auxiliar o de conmutación: Es un polo magnético suplementario, provisto o

no, de devanados y destinado a mejorar la conmutación. Suelen emplearse en las

máquinas de mediana y gran potencia.

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Flujo de Campo Magnético

Se define como el número total de líneas de inducción magnética que atraviesan

una superficie. Su unidad es el weber, el cual lo podemos definir como el flujo

producido por una inducción magnética de un Tesla cuando atraviesa una superficie de

un 𝑚2 , normal al campo. Su expresión viene dada por:

Φ = 𝐵. 𝐴

En el caso en el que el flujo es máximo, las líneas de inducción magnética son

perpendiculares al plano. El eje y las líneas forman un ángulo de cero grados. Si estas

líneas de inducción magnética no son perpendiculares al plano la ecuación de flujo se

puede rescribir como:

Φ = 𝐵. 𝐴. cos𝜃

En el caso en el que el flujo es nuco, las líneas de inducción magnética son

paralelas al plano, es decir forman un ángulo de noventa grados con el eje.

Fuerza Electromotriz Inducida

Cuando un alambre se mueve a través de un campo magnético, los electrones

fluyen en el alambre debido a la diferencia de potencial que aparece en el. Esta

diferencia de potencial, producida por corrientes inducidas recibe el nombre de fuerza

electromotriz inducida.

La medida de esta fuerza electromotriz, que denotamos como fem se obtiene por

el trabajo que debe realizarse para mover un alambre a través de un campo magnético.

Este trabajo depende de la inducción magnética (𝐵), del largo (𝐿) del alambre que se

encuentra dentro del campo y de la rapidez (𝑣) con que el alambre se mueve en el

campo, pudiéndose escribir que:

𝑓𝑒𝑚 = 𝐵. 𝐿. 𝑣

Ley de Faraday

Denominaremos “fuerza electromotriz” (fem) a una diferencia de potencial capaz

de generar una corriente en un circuito. Su unidad es el voltio [V] y se designa con la

letra “𝜀 “.

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Los estudios de Faraday establecieron que en una espira en la que no existen

fuentes independientes de voltaje o corriente se puede lograr una circulación de

corriente haciendo variar el flujo de campo magnético a través del área encerrada por

ella.

“La fuerza electromotriz inducida “fem” en una espira es igual a la rapidez de

cambio del flujo a través del área excepto por un signo negativo”.

𝜀 = −𝑁∆𝜙

∆𝑡

𝜙: Flujo Magnético [web]

𝑁: número de vueltas de la espira

∆𝜙 = ∆𝜙2 − ∆𝜙1

Ejercicio

1. Un alambre de 10 𝑐𝑚 de largo, se mueve perpendicularmente a un campo

magnético cuya inducción magnética es de 8𝑥10−2 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟/𝑚2. Si el alambre tiene una

rapidez de 7 𝑚/𝑠. Calcular:

a. La fem inducida por el alambre.

b. Si el alambre es parte de un circuito y su resistencia es de 0,5 Ω, que corriente

fluye por el circuito.

Calculemos la fem:

𝑓𝑒𝑚 = 𝐵. 𝐿. 𝑣 = 8𝑥10−2𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟

𝑚2. 0,1 𝑚. 7

𝑚

𝑠= 5,6𝑥10−2 𝑉

Calculemos la corriente del circuito por ley de Ohm

𝐼 =𝑉

𝑅=

5,6𝑥10−2 𝑉

0,5 Ω= 0,122 𝐴

2. Una bobina circular de 200 espiras, determinada cada espira por un radio de

5,64𝑥10−2 𝑚, esta colocada en el campo magnético terrestre de intensidad

4𝑥10−5 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑚2⁄ estando el eje de dicha bobina paralelo al vector 𝐵. Si la bobina da

la vuelta completa en un segundo. ¿Cuál es el valor de la fem?

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La fem para este caso viene dada por la ley de Faraday, según la ecuación:

𝜀 = −𝑁∆𝜙

∆𝑡, ∆𝜙 = 𝜙2 − 𝜙1

En la posición inicial, cuando el eje de la bobina es paralelo al campo magnético

se tiene que:

𝜙1 = 𝐵. 𝐴 = 4𝑥10−5 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑚2⁄ . 𝜋. (5,64𝑥10−2 𝑚)2 = 3,992𝑥10−7𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟

En la posición final, cuando el eje de la bobina es perpendicular al campo

magnético se tiene que

𝜙2 = 0 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟

∆𝜙 = 𝜙2 − 𝜙1 = 0 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟 − 3,992𝑥10−7𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟 = −3,992𝑥10−7𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟

Así calculando la fem por ley de Faraday. Esta variación de flujo se ha producido

en el tiempo necesario para que la bobina gire un cuarto de vuelta es decir 0,25 𝑠.

𝜀 = −𝑁∆𝜙

∆𝑡= −200

−3,992𝑥10−7𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟

0,25 𝑠= 3,19𝑥10−5 𝑉