0825dissertacao final magno de souza

7/25/2019 0825dissertacao Final Magno de Souza

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MAGNO DE SOUZA COSTA

MTODO MONTE CARLO APLICADO

AO MODELO DE ISING QUASIPERIDICO

MOSSOR

2012

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM FSICA

MESTRADO EM FSICA


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Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Fsica da Universidade do Estado doRio Grande do Norte / Universidade Federal Ruraldo Semi-rido, como requisito parcial obteno dottulo de Mestr e em Fsica.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Idalmir de Souza Queiroz Jnior

MOSSOR2012


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COSTA, MAGNO DE SOUZA.MTODO MONTE CARLO APLICADO AO MODELO DE ISING

QUASIPERIDICO . / Magno de Souza Costa. MOSSOR, RN, 2012.

98 fORIENTADOR(A): PROF. DR. IDALMIR DE SOUZA QUEIROZ JNIOR.Dissertao (Mestrado em Fsica). Universidade do Estado do Rio Grande do

Norte. Programa de Ps-graduao em Fsica.

1. Modelo de ISING - Dissertao. 2. Mtodo de Monte Carlo- Dissertao.3. Estruturas quasiperidicas - Dissertao. I. Queiroz Jnior, Idalmir de Souza.

II.Universidade do Estado do Rio Grande do Norte. III.Ttulo.

UERN/BC CDD 530

Catalogao da Publicao na Fonte.

Bibliotecria: Elaine Paiva de Assuno CRB 15 / 492


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Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Fsica da Universidade do Estado doRio Grande do Norte / Universidade Federal Ruraldo Semi-rido, como requisito parcial obteno dottulo de Mestre em Fsica avaliada pela bancacomposta por:

Aprovado em 28 / 03 / 2012.

Banca Examinadora

______________________________________________________Orientador

Professor Dr. Idalmir de Souza Queiroz Jnior.Universidade Federal Rural do Semi-rido - UFERSA

______________________________________________________Examinador Interno

Professor Dr. Milton Morais Xavier Jnior.Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

______________________________________________________

Examinador ExternoProfessor Dr. Dory Hlio Aires de Lima Anselmo.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN


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AGRADECIMENTOS

Ao Deus eterno, imortal, invisvel, mas real.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Idalmir de Souza Queiroz Jnior, pela confiana,

pacincia, incentivo no desenvolvimento deste trabalho, imprescindvel apoio

concluso e enorme contribuio para meu crescimento profissional.

Aos membros da banca examinadora Prof. Dr. Dory Hlio Aires de Lima Anselmo e o

Prof. Dr. Milton Morais Xavier Jnior pela contribuio nas observaes sobre o

trabalho e pelo incentivo.

A minha esposa Solange Santos e meu filho Petrus Magno pela pacincia e apoio

incondicional.

A todos os Professores do Programa de Ps-graduao em Fsica da UERN que

contriburam para minha formao neste mestrado.

A UERN e UFERSA, pelo compromisso de formar profissionais com qualidade.

A todos os meus colegas do mestrado, pela agradvel convivncia.

Aos meus colegas de trabalho, da Escola Estadual Prof. Maria Stella Pinheiro Costa,

que me incentivaram a crescer como pessoa e como profissional.

i


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Um sonho uma imagem inspiradora defuturo que energiza a sua mente, a sua

vontade e as suas emoes, dando-lhe

foras para fazer todo o esforo possvel a

fim de alcan-lo.

John C. Maxwell

ii


8/100

RESUMO

Foi investigado a relao entre as grandezas termodinmicas e magnticas, com o

sequenciamento quasiperidico de materiais magnticos, pela sequncia de Cantor, usando o

modelo clssico de Ising e simulao de Monte Carlo. Mostrou-se que o sistema se torna

sensvel ao sequenciamento, saindo das propriedades termodinmicas e magnticas de um

material, para as propriedades do outro material. O sistema tambm se mostrou sensvel

razo dos termos de troca dos dois materiais magnticos. Foi observado que estes dois fatores

influenciam na competio dos materiais magnticos atravs de suas grandezas fsicas.

PALAVRAS-CHAVES: Modelo de Ising. Mtodo de monte Carlo. Estruturas

Quasiperidicas.

iii


9/100

ABSTRACT

We investigated the relationship between the thermodynamic and magnetic properties, with

the sequencing quasiperiodic of magnetic materials, by Cantor sequence, and we use the

classical Ising model and Monte Carlo simulation. It was shown that the system becomes

sensitive to sequencing. The system was coming from thermodynamic and magnetic

properties of a material to another. The system also is sensitive to the ratio of exchange of the

two terms of magnetic material. It was observed that these two factors influence the

competition of magnetic materials through their physical quantities.

KEYWORDS: Ising Model. Monte Carlo Method. Quasiperiodic Structures.

iv


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SUMRIO

AGRADECIMENTOS i

RESUMO iii

ABSTRACT iv

LISTA DE FIGURAS vii

LISTA DE TABELAS x

1 INTRODUO................................................................................................................. 15

1.1 INTRODUO E MOTIVAO .................................................................................... 15

2

SISTEMAS MAGNTICOS ........................................................................................... 18

2.1 INTRODUO ................................................................................................................. 18

2.2 O MODELO DE ISING .................................................................................................... 18

2.3 O MODELO DE GS DE REDE ..................................................................................... 20

2.4 A SOLUO DE ONSAGER .......................................................................................... 21

2.5 MAGNETISMO E MATERIAIS MAGNTICOS .......................................................... 23

2.5.1 Aspectos Histricos ....................................................................................................... 23

2.5.2

Conceitos Iniciais .......................................................................................................... 24

2.5.3 Propriedades Magnticas da Matria ............................................................................ 25

2.5.4 Sistemas Ferromagnticos e Antiferromagnticos ........................................................ 27

2.5.5 Ferromagnetismo ........................................................................................................... 29

2.5.6 Antiferromagnetismo .................................................................................................... 34

2.5.7 Curva de Histerese ........................................................................................................ 36

2.6 ENERGIAS MAGNTICAS ............................................................................................ 37

2.6.1

Energia de Troca (Exchange) ........................................................................................ 38

2.6.2 Energia Zeeman............................................................................................................. 38

3 SISTEMAS QUASIPERIDICOS ................................................................................. 39

3.1 ESTRUTURAS PERIDICAS E QUASIPERIDICAS ................................................ 39

3.2 APLICAES DAS ESTRUTURAS QUASIPERIDICAS .......................................... 40

3.3 SEQUNCIA DE CANTOR ............................................................................................. 41

3.4 SEQUNCIA DE FIBONACCI ....................................................................................... 42

3.5 SEQUNCIA DE THUE-MORSE ................................................................................... 44

3.6 SEQUNCIA DE PERODO DUPLO ............................................................................. 45

v


11/100

4 MTODO DE MONTE CARLO .................................................................................... 47

4.1

INTRODUO ................................................................................................................. 47

4.2 HISTRIA DO MTODO DE MONTE CARLO ........................................................... 48

4.3

MEDIDAS DE GRANDEZAS TERMODINMICAS .................................................... 48

4.4

AMOSTRAGEM E ALEATORIEDADE ......................................................................... 51

4.4.1 Processos de Markov ..................................................................................................... 52

4.4.2 Ergodicidade.................................................................................................................. 54

4.4.3

Balano Detalhado ........................................................................................................ 54

4.4.4 Dinmicas de Evoluo ................................................................................................. 55

4.4.5 Algoritmo de Metropolis ............................................................................................... 56

5

MTODO MONTE CARLO APLICADO AO MODELO DE ISINGQUASIPERIDICO .............................................................................................................. 58

5.1 INTRODUO ................................................................................................................. 58

5.2

APRESENTAO DO MODELO ................................................................................... 58

5.3 RESULTADOS ................................................................................................................. 60

5.3.1 Verificao dos Valores mais Adequados para as Simulaes ..................................... 60

5.3.2 Resultados deste Trabalho ............................................................................................. 80

6

CONCLUSO ................................................................................................................... 94

7 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................ 95

vi


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Ernst Ising, fsico alemo nascido em 10 de maio de 1900 e falecido em 11 de maio

de 1998. .................................................................................................................................... 15

Figura 2: Momentos Magnticos (esquemticos) das unidades elementares que constituem um

corpo slido [25]. ...................................................................................................................... 25

Figura 3: Representao de domnios num material [15]. ........................................................ 28

Figura 4: Alinhamento dos momentos magnticos na presena de um campo magntico

externo [16]............................................................................................................................... 28

Figura 5: Alinhamento dos momentos magnticos de um material antiferromagntico [16]. . 29

Figura 6: Representao do Ferromagnetismo [16]. ................................................................ 30

Figura 7: Representao do comportamento da susceptibilidade em funo da temperatura.

Observa-se que abaixo de Tc o material ferromagntico e acima de Tc o material em sua

fase paramagntica [15]. ........................................................................................................... 30

Figura 8: Representao do comportamento ideal para a lei de Curie-Weiss [16]. ................. 32

Figura 9: Domnios Magnticos [23]. ...................................................................................... 33

Figura 10: Paredes de Bloch [24]. ............................................................................................ 33

Figura 11: Orientao dos domnios magnticos com campo H [24]. ..................................... 34

Figura 12: Curva de histerese [16]. .......................................................................................... 37

Figura 13: Ilustrao esquemtica as sequncia de Cantor [47]. .............................................. 42

Figura 14: Ilustrao esquemtica as sequncia de Fibonacci a partir da gerao S2 [47]. ..... 43

Figura 15: Ilustrao esquemtica as sequncia de Thue-Morse a partir da gerao S1 [47]. . 44

Figura 16: Ilustrao esquemtica da sequncia de Perodo Duplo [47]. ................................. 45

Figura 17: Cinco sucessivos processos de Markov, formando uma Cadeia de Markov deestados. ..................................................................................................................................... 53

Figura 18: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de rede... 62

Figura 19: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de

rede. .......................................................................................................................................... 63

Figura 20: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de

rede. .......................................................................................................................................... 64

vii


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Figura 21: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de

rede. .......................................................................................................................................... 65

Figura 22: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de Monte

Carlo. ........................................................................................................................................ 66

Figura 23: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de

Monte Carlo. ............................................................................................................................. 67

Figura 24: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de

Monte Carlo. ............................................................................................................................. 68

Figura 25: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de

Monte Carlo. ............................................................................................................................. 69

Figura 26: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores deTermalizao. ........................................................................................................................... 70

Figura 27: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de

Termalizao. ........................................................................................................................... 71

Figura 28: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de

Termalizao. ........................................................................................................................... 72

Figura 29: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de

Termalizao. ........................................................................................................................... 73

Figura 30: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de campo

externo. ..................................................................................................................................... 74

Figura 31: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de

campo externo........................................................................................................................... 75

Figura 32: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de

campo externo........................................................................................................................... 76

Figura 33: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores decampo externo........................................................................................................................... 77

Figura 34: Energia versus campo para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores

de temperatura. ......................................................................................................................... 78

Figura 35: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores

de temperatura. ......................................................................................................................... 79

Figura 36: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para = 0,5 e para as

geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 81

viii


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Figura 37: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para = 0,5 e para as

geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 82

Figura 38: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para = 2 e para as

geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 83

Figura 39: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para = 2 e para as

geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 84

Figura 40: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para as

geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 85

Figura 41: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para as

geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 86

Figura 42: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para a 1

gerao. ..................................................................................................................................... 87


gerao. ..................................................................................................................................... 88


gerao. ..................................................................................................................................... 89

Figura 45: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = -1 e para a

1 gerao. ................................................................................................................................. 90


3 gerao. ................................................................................................................................. 91


5 gerao. ................................................................................................................................. 92

ix


15/100

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Temperatura crtica para o modelo de Ising bidimensional. .................................... 16

Tabela 2: Distribuio de probabilidades nas dinmicas de Banho Trmico, Metropolis e

Glauber. .................................................................................................................................... 55

Tabela 3: Temperaturas crticas = 0,5................................................................................... 93

Tabela 4: Temperaturas crticas = 2...................................................................................... 93

Tabela 5: Temperaturas crticas = 5...................................................................................... 93

x


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15

1 INTRODUO

1.1 INTRODUO E MOTIVAO

H dcadas se estuda o magnetismo com o intuito de se compreender

adequadamente e controlar tais sistemas, dada a complexidade do tema. O magnetismo

envolve alm de diversos tipos de interao, fenmenos cooperativos e vrios graus de

liberdade. Porm, o mais fascinante diz respeito classe de universalidade na qual o mesmomodelo que serve para estudar sistemas magnticos, tambm serve para estudar sistemas

fluidos, sistemas cosmolgicos, propagao de doenas, etc. Um dos modelos mais simples, e

com grande riqueza de aplicaes, o modelo de Ising, que entre 1966 e 2000 estava

relacionado a pelo menos 16000 artigos publicados.

Figura 1: Ernst Ising, fsico alemo nascido em 10 de maio de 1900 e falecido em 11 de maio

de 1998.

Uma grandeza importante que diversos mtodos e modelos se esforavam paracalcular a temperatura crtica (TC) do modelo de Ising, conforme a tabela a seguir [1]:


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16

Mtodo Temperatura Crtica kBTC/JCampo mdio 4Clculo Exato Onsager 2,2690Monte Carlo 2,3 (a preciso depende de vrios fatores)

Tabela 1: Temperatura crtica para o modelo de Ising bidimensional.

O trabalho pioneiro de Merlin e colaboradores [2], e a descoberta de materiais,

como a liga AlMn, que quando submetidos difrao dos raios X, manifestam ordem

orientacional de longo alcance e auto similaridade, porm no possuem simetria translacional,

caracterizada pela periodicidade d o incio ao estudo experimental de estruturas quasicristais.

Aliado a esses trabalhos surgiram diversos outros aplicando o modelo de Ising a estruturas

quasiperidicas, seguindo as mais diversas sequncias, como a de Fibonacci [3] e Thue-Morse[4], por exemplo. Na dcada de oitenta, tais ideias foram estendidas aos modelos de spins de

modo que suas interaes, geradas por regras de substituio, assumissem um carter

aperidico [5, 6]. A juno destes elementos motivaram este trabalho.

Neste trabalho, estudamos a aplicao do mtodo de Monte Carlo ao Modelo de

Ising submetido a uma sequncia de substituio de Cantor. Este trabalho visa analisar as

propriedades termodinmicas no equilbrio, como energia, magnetizao, calor especfico e

susceptibilidade. usado o modelo de Ising de spin -1/2 na rede quadrada junto ao Mtodo deMonte Carlo seguindo a dinmica evolutiva de Metropolis. A sequncia de Cantor utilizada

construda por dizimao devido aos enormes tamanhos gerados para a rede quadrada.

O captulo 2 trata de uma reviso bibliogrfica de modelos e propriedades

magnticas, exibindo conceitos bsicos necessrios compreenso de resultados e de

captulos posteriores. Temas como o Modelo de Ising, as propriedades bsicas de materiais

magnticos, as Energias envolvidas no processo, etc. O captulo seguinte trata de estruturas

peridicas e quasiperidicas, apresentando uma reviso acerca de aplicaes das estruturasquase peridicas e das principais sequncias: Cantor, Fibonacci, Thue-Morse e Perodo

Duplo. O quarto captulo apresenta o mtodo de Monte Carlo, a forma de se medir grandezas

termodinmicas e magnticas, as principais propriedades, como amostragem e aleatoriedade,

processos de Markov, ergodicidade e balano detalhado, principais dinmicas de evoluo,

aprofundando da dinmica de Metropolis.


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17

O trabalho, propriamente dito, apresentado no captulo 5, onde se mostra os

efeitos das sequncias quase peridicas sobre o modelo de Ising, e sobre suas propriedades.

Neste captulo se d mais detalhes tambm sobre a simulao de Monte Carlo implementada.

Por fim, apresentam-se as concluses deste trabalho, alm da proposta de novos

trabalhos como forma de continuidade.


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18

2 SISTEMAS MAGNTICOS

2.1 INTRODUO

Uma das metas dos fsicos nos primeiros anos do sculo XX foi compreender

como se comporta a magnetizao espontnea, e encontrar uma descrio quantitativa da

magnetizao em funo da temperatura. Com relao a isso, muitas suposies foram feitas,

e a mais simplificada foi, por exemplo, que tomos se comportem como minsculas agulhasde bssolas que interagem apenas com os seus primeiros vizinhos. As propriedades

magnticas dos materiais foram intensivamente estudadas por um grande nmero de

pesquisadores antes mesmo de que uma teoria adequada tivesse sido desenvolvida. Estas

propriedades foram analisadas com base na mecnica quntica, desenvolvida no comeo do

sculo XX. Atualmente, inmeras aplicaes baseadas nas propriedades magnticas da

matria so encontradas em diversas reas, como medicina, telecomunicaes, informtica,

etc. Entre estas propriedades destacamos: o ferromagnetismo, antiferromagnetismo,diamagnetismo e paramagnetismo.

2.2 O MODELO DE ISING

O modelo de Ising [7] trata do comportamento de elementos individuais como os

componentes de spins, presena de tomos ou molculas em stios, atividade neural, etc.Proposto em 1920 por Wilhelm Lenz ao seu aluno de doutorado Ernest Ising tinha o objetivo

de simular o comportamento de domnios magnticos de materiais como, por exemplo, ferro e

nquel, onde uma frao dos spins atmicos se torna espontaneamente polarizada em uma

dada direo, dando origem a um campo magntico macroscpico, que ocorre apenas abaixo

de certa temperatura, chamada de temperatura de Curie. Esse modelo foi resolvido em uma

dimenso pelo mesmo, que observou a no existncia de transio de fases nestas

circunstncias. Equivocadamente, Ising sugeriu que o mesmo ocorreria em dimensessuperiores, o que se mostrou um erro; de fato, a partir de argumentos qualitativos e de


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19

mtodos aproximados (Ansats de Bethe e teoria de campo mdio) ficou solidamente

estabelecido que o modelo pudesse exibir uma transio de fase, em dimenses superiores, o

que foi confirmado pelo famoso trabalho de Onsager [8] em redes bidimensionais.

O artigo original de Ising [9] apresentou um modelo simples para tratar sistemas

magnticos, porm diversos autores propuseram generalizaes que tem aplicaes em

diferentes reas que incluem fenmenos de ordem-desordem em magnetismo e outros

sistemas coordenados (ligas binrias, gs de rede, etc.), tambm com algum sucesso em

sistemas biolgicos, como, por exemplo, hemoglobina, enzimas alostricas e DNA. O que

existe em comum nestes sistemas (magnticos e biolgicos) o fenmeno de cooperatividade

entre os constituintes microscpios, dando origem a ordem local (curto alcance) e global

(longo alcance). Este fenmeno da cooperao deve-se exclusivamente s interaesmicroscpicas dos constituintes (spins, molculas, etc.). Devido a sua simplicidade

matemtica, o modelo de Ising tem sido aplicado numa variedade de sistemas, tais como

trfego, economia, propagao de doenas, etc., devido totalidade dos resultados dos

clculos efetuados antecipadamente em sistemas magnticos no qual tem dado os alicerces

para estudar diversos sistemas complexos.

O modelo proposto por Ising para o estudo de transies de fase em materiais

ferromagnticos definido pelo Hamiltoniano:

1

N

j ii j i

J S S B S=

= - - H (2.1)

onde Hrepresenta o Hamiltoniano,Ja energia de troca (exchange),B o campo magntico e

S os momentos de spins atmicos.

Tal modelo consiste em um sistema de momentos magnticos atmicos arranjados

nos stios de uma determinada rede cristalina regular, os quais so descritos apenas por suas

variveis de spin iS que podem assumir apenas dois valores ( )1=iS , correspondentes sduas orientaes (opostas) de um dipolo magntico. Outra contribuio importante vem da

agitao trmica, que age desfavorecendo a ordem magntica. Para temperaturas

suficientemente elevadas, os materiais no apresentam ordem magntica. Entretanto,

observando o comportamento de materiais magnticos, verifica-se que, medida que a

temperatura diminuda, uma ordem magntica estabelecida. Se os momentos magnticos

se ordenam paralelamente uns aos outros 0>jiJ , diz-se que o material ferromagntico. A

temperatura, abaixo da qual essa ordem alcanada, denominada temperatura de Curie TC.

Se a ordem magntica tal que os momentos magnticos se alinham antiparalelamente


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20

0


22/100

21

onde o potencial qumico e -e a energia de interao associada ocupao de dois stios

vizinhos. Neste caso a grande funo de partio definida como:

+=X = = =

N

ji

N

j

jji

n n n

nnnexpN

mbeb

1

0

1

0

1

01 2... (2.7)

A equivalncia entre o modelo de Ising e o gs de rede pode ser facilmente

comprovada fazendo uma simples mudana de varivel,2

1+=

jj

Sn . Desta forma a Eq. (2.7)

fica reescrita como:

( )( ) ( )

++=X ++

+

-=

+

-=

+

-=

N

ji

N

j

jji

S S S

SSSexp

N

1

24

... 111

1

1

1

1

11 2

mb

eb (2.8)

que equivalente a funo de partio de Ising feita as seguintes modificaes:

2B (2.9)

4

eJ (2.10)

12 - jj nS (2.11)

Um modelo um pouco mais complexo e muito estudado na fsica quando aspartculas de um dado stio interagem com os seus primeiros vizinhos. Este tipo de interao

ser a responsvel pelo sistema apresentar uma transio gs-lquido. Neste caso possvel

estabelecer uma correspondncia de um para um entre as variveis termodinmicas do gs de

rede e as de um sistema magntico de spins na rede, o que permite a transferncia de

resultados conhecidos de um sistema para outro. O sistema em questo, quando a interao

atrativa, pode ser mapeado no modelo de Ising ferromagntico, cuja soluo exata

conhecida em d=1 e 2 [8]. J uma interao repulsiva entre os primeiros vizinhos correspondea um sistema antiferromagntico. Porm, para a maioria dos gases de rede, no h um anlogo

magntico.

2.4 A SOLUO DE ONSAGER

Aps alguns anos, o modelo de Ising, ganhava importncia e, em 1944 foiresolvido analiticamente pelo qumico e fsico noruegus Lars Onsager [8]. O fato mais


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22

importante descoberto por Onsager que o modelo de Ising apresentava transio de fase,

para duas dimenses, tornando-se assim uma das bases do estudo dos fenmenos crticos e

transies de fase. Ainda que tenha sido resolvido na ausncia de campo externo, e ainda no

ter sido apresentada a soluo analtica em trs dimenses, a soluo de Onsager muito rica

e apresenta um formalismo singular. Vamos apresentar a funo de partio do sistema e a

matriz de transferncia utilizando como exemplo o modelo de Ising em uma dimenso, onde

os clculos so mais fceis.

Na presena de um campo magntico e com interaes do tipo primeiros vizinhos,

em uma dimenso a hamiltoniana que descreve o modelo de Ising assume a seguinte forma:

( )1 11 1

N N

i i i ii i

S S B S S + += =

= - - + H (2.12)

onde foram empregadas condies de contorno peridicas, ou seja, 11 SSN =+ .

A funo de partio pode ser escrita da seguinte maneira:

( ){ }

( )[ ] ( )[ ]

++++=

++=

= =++

1 2

112121N

1 111

...... ZS S S

NN

S

N

i

N

i

iiiiN

N

i

SSLSSKexpSSLSSKexp

SSLSSKexpZ

(2.13)

sendo2

e BLJK b == .

Definindo o elemento de matriz Ti jpor:

( )[ ]jijijiji SSLSSKexpSTST ++== (2.14)

temos que a funo de partio pode ser reescrita como:

( )

===

=

= i

N

i

N

S

N

N

S S S

N

TTrSTS

STSSTSSTSZN

l1 11N

13221

1

1 2

Z

......

(2.15)

Embora a Eq. (2.15) ter sido obtida para um caso particular, ela igualmente

vlida para outras dimenses. Consideremos agora que 1seja o maior autovalor associado

matriz de transferncia T de forma que:

==

i i

N

iNNiNZ

1 11

l

lll (2.16)

Assim, no limite termodinmico, a energia livre de Helmholtz por spin dada por:

NN

ZN

f ln1

lim

=-b (2.17)


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23

Podemos observar que:

11 1

1 lnln1

lnlimln1

lim ll

ll =

+=

i

N

i

NN

N NZ

N (2.18)

uma vez que:

0lim1

N

i

N l

l (2.19)

logo:

1lnlb =- f (2.20)

Desta forma, vemos que o problema se reduz ao clculo do maior autovalor da

matriz de transferncia.A soluo exata para duas dimenses, com campo magntico externo nulo, foi

realizado por Onsager [8], no qual a reproduo no ser feita aqui mas pode ser encontrada

uma verso simplificada em [10].

2.5 MAGNETISMO E MATERIAIS MAGNTICOS

2.5.1 Aspectos Histricos

Os primeiros fenmenos magnticos observados foram aqueles associados aos

chamados ims naturais (magnetos). Conta a lenda que esse minrio encontrado por um

pastor chamado Magnes, originou o nome, Magnetita (Fe2O3). Outros dizem que o nome veio

devido ao fato do minrio ser encontrado em uma regio da Turquia chamada de Magnsia.

Esses ims tinham a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, sendo que esta propriedade

era mais acentuada em certas regies desse material denominada, depois, de polos. Descobriu-

se ento que, quando uma barra de ferro era colocada perto de um im natural ela adquiria e

retinha essa propriedade do im natural e que, quando suspensa livremente em torno de um

eixo vertical, ela alinhava com a direo norte-sul. Surgiram, ento, os instrumentos de

navegao. Desde ento os materiais magnticos vm sendo utilizados em grande volume


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24

aproveitando-se dessa caracterstica desses materiais. Equipamentos como: transformadores,

motores, geradores, alto-falantes, eletroms, etc, contm ferro, ou ligas de ferro, em suas

estruturas, com o duplo propsito de aumentar a fluxo magntico e restringi-lo a uma regio

desejada.

Atualmente, pesquisas so feitas para se desenvolver outros tipos de materiais que

tenham essa propriedade ainda mais acentuada e que possam ser manipulados de maneira a

Permitir novas configuraes e formatos de ncleos reduzindo-se assim as perdas desses

ncleos, bem como seus tamanhos.

2.5.2 Conceitos Iniciais

A rea de magnetismo pode ser resumida como a combinao de trs pilares:

a) A origem do magnetismo, ou seja, da existncia dos momentos magnticos

(Mecnica Quntica).

b) O entendimento das interaes entre os momentos.

c) A Mecnica estatstica, necessria para descrever as propriedades

macroscpicas observveis.

Antes, porm precisamos discutir alguns conceitos e definies fundamentais:

Foras magnticas aparecem quando partculas eletricamente carregadas (no neutras)

se movimentam.

As linhas de fora saem do polo norte em direo ao polo sul.

Os dipolos magnticos so anlogos aos dipolos eltricos e podem ser imaginados

como pequenas barras compostas de polo norte e sul.

O momento magntico um vetor, que em presena de um campo magntico,

relaciona-se com o torque de alienao de ambos os vetores no ponto no qual se situa

o elemento. O vetor de campo magntico a utilizar-se o B (tesla).

Um campo magntico H gerado pela passagem de uma corrente i por uma espira

cilndrica de comprimento l e contendo N voltas. O campo magntico medido em

termos de fluxo magntico no vcuo Bo(Wb/m) [13].


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25

Figura 2: Momentos Magnticos (esquemticos) das unidades elementares que constituem umcorpo slido [25].

2.5.3 Propriedades Magnticas da Matria

Na presena de um campo magntico cada material responde de acordo com as

propriedades de seus tomos e molculas individuais bem como das interaes entre elas. As

respectivas propriedades magnticas do material esto diretamente ligadas magnetizao

Mr

, podendo representar, do ponto de vista microscpio, o estado magntico dos materiais

pelo vetor magnetizao, dado por:

=i

iV

M mr

r 1 (2.21)

onde ir

o momento do dipolo magntico total feito sobre o somatrio dos i-simos tomos

ou molculas no interior da rede cristalina V, que deve ser suficientemente grande para conter

um nmero elevado de momentos, porm pequeno em relao ao tamanho da amostra [13].

A grandezar

pode variar em relao a outras grandezas tais como temperatura T

ou o campo magntico Hr

no qual o material possa est submetido. A forma do

comportamento com respeito ao campo magntico tem origem nos vrios tipos de interaes

entre os momentos magnticos ir

. A estrutura da rede cristalina e os defeitos nela existentes


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26

influenciam na resposta a magnetizao com a variao do campo Hr

. Assim podemos

escrever:

HMrr

c= (2.22)

onde c a susceptibilidade magntica sendo uma grandeza que caracteriza um material

magntico segundo sua resposta a um campo magntico aplicado. Ela uma das mais

importantes grandezas fsicas no que se refere s propriedades fsicas dos materiais

magnticos, como por exemplo, sua determinao pode revelar a ocorrncia de transio de

fase de natureza variada, ou a existncia de estados com ordenamento magntico, com ou sem

magnetizao resultante.

Os fenmenos magnticos podem ser expressos por duas grandezas: o vetorinduo magntica B

r

e o vetor intensidade campo magntico Hr

. No entanto o vetor Hr

est

diretamente relacionado com a corrente que cria o campo, j Br

depende tanto da corrente

quanto da magnetizao do meio, assim Br

a resposta a um campo externo Hr

aplicado ao

material magntico. Desse modo, Br

e Hr

se relacionam pela equao:

( )MHBrrr

+= 0m (2.23)

podendo ser expresso tambm por:

HBrr

m= (2.24)

onde 270 10.4 AN-= pm a permeabilidade magntica no vcuo. A permeabilidade

magntica a facilidade com que um material permite estabelecer, atravs dele, um fluxo

magntico.

Outra caracterstica dos materiais magnticos a relutnciaque a dificuldade

que um material tem para deixar estabelecer nele um fluxo magntico. A expresso para a

relutncia dada por:

A

l

m= (2.25)

onde l o caminho do campo magntico e a rea da seo reta do material em estudo.

Materiais com alta permeabilidade possuem baixa relutncia.

Quando se aplica uma intensidade de campo magntico nas diversas direes de

determinado cristal que compe um material magntico observa-se que a densidade de fluxo

resultante varia de direo para direo, mostrando que a permeabilidade magntica umafuno da orientao do campo aplicado, caracterizando, portanto, a existncia de uma


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anisotropia cristalina. Isto significa que, em dependendo da regio, as perdas podem ser

maiores ou menores. Como a reduo das perdas uma preocupao constante nos projetos

magnticos justificvel se determinar, em cada conjunto de cristais que formam determinado

ncleo magntico, qual a direo em que se deve aplicar o campo magntico [13].

Alm da anisotropia cristalina, o campo magntico aplicado pode tambm alterar

as dimenses fsicas do cristal ferromagntico para tamanho maior ou menor. Esse fenmeno

denominado de magnetostrio. A grandeza da variao nas dimenses funo do eixo

cristalino sobre o qual incide o campo magntico. Materiais que sofrem esse fenmeno,

quando so submetidos trao ou compresso sofrem um aumento ou reduo da

permeabilidade, como o nquel. Essa propriedade utilizada em sistemas de controle de

presso nas prensas hidrulicas, por exemplo [13].

2.5.4 Sistemas Ferromagnticos e Antiferromagnticos

O ferromagnetismo, assim como o paramagnetismo, ocorre em materiais cujos

tomos possuem momentos de dipolo magntico permanentes. O que diferencia os materiaisferromagnticos dos paramagnticos que nos primeiros existe uma forte interao entre

momentos de dipolo atmicos vizinhos que os mantm alinhados, mesmo quando o campo

magntico retirado, ou seja, os momentos magnticos interagem entre si [14].

Os materiais ferromagnticos, quando no esto na presena de um campo

magntico externo, possuem seus momentos de dipolo seguindo uma orientao aleatria, no

alinhados em uma direo preferencial, assim apresentam uma magnetizao resultante nula.

Mas, aos serem submetidos presena de um campo externo seus campos magnticos tendema se alinharem na direo do campo aplicado, aumentando o momento do dipolo resultante at

atingir a saturao. Mesmo aps a retirada do campo externo, os momentos de dipolos so

capazes de manter uma magnetizao remanescente. Apesar disso, possvel encontrar um

material ferromagntico em estado desmagnetizado [15]. Isso possvel, pois, os materiais

ferromagnticos podem ser divididos em domnios magnticos, onde, determinadas regies do

material possuem momentos magnticos apontando na mesma direo preferencial (Figura 3).


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Figura 3: Representao de domnios num material [15].

Os domnios magnticos do material podem apontar para direes aleatrias,

sendo apenas alinhadas na presena de um campo magntico externo.

O ferromagnetismo caracterizado por, na presena de um campo magntico

externo, possuir alinhamento paralelo dos momentos magnticos e como j foi citado, na

mesma direo do campo externo. Na figura 4 possvel observar o alinhamento dos

materiais de diferentes ordens magnticas.

Figura 4: Alinhamento dos momentos magnticos na presena de um campo magntico

externo [16].

Em (a) a direo aleatria dos momentos magnticos em um material

paramagntico e em (b) o alinhamento na presena do campo magntico. Em (c) observa-se

os domnios magnticos de um material ferromagntico e em (d) os momentos magnticos

alinhados em uma direo preferencial na presena do campo magntico externo.


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Os materiais antiferromagnticos caracterizam-se por possurem momentos de

dipolo magnticos antiparalelos, o que resulta em uma magnetizao total nula [15]. A

representao pode ser observada na figura 5 abaixo.

Figura 5: Alinhamento dos momentos magnticos de um material antiferromagntico [16].

2.5.5 Ferromagnetismo

Um material ferromagntico possui momento magntico espontneo, denominado

de momento de saturao [17]. O processo de magnetizao de um material ferromagnticoconsiste em converter os diversos domnios magnticos, no qual cada domnio aponta para

uma determinada direo, em um nico domnio magntico, no sentido de que seja

magnetizado em uma nica direo preferencial. Isso ocorre na presena de um campo

magntico externo, onde os domnios so alinhados na mesma direo do campo at o limite

da magnetizao de saturao. Ao remover o campo externo parte dos domnios ainda

permanecem alinhados, resultando em uma magnetizao remanescente [15]. O

ferromagnetismo ocorre em ferro, cobalto e nquel puros, bem como na liga desses metais uns

com os outros. Ele tambm ocorre com o gadolnio, disprsio e outros compostos. Ele surge

de uma forte interao entre eltrons em uma banda parcialmente preenchida em um metal ou

entre os eltrons localizados que formam momentos magnticos em tomos vizinhos. Esta

interao, chamada de interao de troca, diminui a energia de um par de eltrons com spins

paralelos [22]. Quando um material ferromagntico colocado num campo externo, dois

efeitos podem ocorrer: (1) nas fronteiras dos domnios alinhados com o campo, os dipolos

alinhados em outros sentidos podem girar at ficar alinhados com o campo e, desse modo, tais

domnios crescem custa dos domnios vizinhos; e (2) os dipolos de domnios no alinhados

podem girar em conjunto tendendo a alinhar-se com o campo aplicado (Fig. 6).


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Figura 6: Representao do Ferromagnetismo [16].

A caracterizao do ferromagnetismo est relacionada, tambm, com a

temperatura. Por exemplo, o CrO2, ferromagntico, porm, nem o cromo e nem o oxignioso ferromagnticos temperatura ambiente. De acordo com a temperatura, alguns materiais

sofrem uma transio de ordem magntica, atravs da orientao de seus spins. Em baixas

temperaturas, alguns slidos paramagnticos sofrem uma transio de fase em que grandes

domnios de spins se orientam em direes paralelas [17]. Esse alinhamento d origem ao

ferromagnetismo. Essa transio, de paramagnetismo para ferromagnetismo, ocorre na

chamada temperatura de Curie. De acordo com Kittel [17], a Temperatura de Curie TC a

temperatura acima da qual a magnetizao espontnea se anula. Essa temperatura separa a

fase paramagntica da ferromagntica, conforme representado na figura 7.

Figura 7: Representao do comportamento da susceptibilidade em funo da temperatura.

Observa-se que abaixo de Tco material ferromagntico e acima de Tc o material em sua

fase paramagntica [15].

Em T= 0,M tem valor igual ao da magnetizao de saturao,MS, porque todos os

momentos esto alinhados (Figura 7). medida que a temperatura aumenta M diminui

gradualmente devido agitao trmica dos momentos. Em T > Tc, a energia trmica


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predomina sobre a energia de ordenamento, de modo que o material passa a ter

comportamento paramagntico, com M = 0. A fim de determinar, matematicamente, a

temperatura de Curie, considere um material paramagntico. Considerando ainda uma

interao interna que tende a alinhar os momentos magnticos paralelamente uns aos outros,

tem-se um material ferromagntico, a essa interao d-se o nome de campo de troca que

pode ter o efeito de orientao contrariada pela agitao trmica e para altas temperaturas a

ordem dos spins destruda.

Suponha o campo de troca sendo equivalente a um campo magntico EH

proporcional magnetizaoM. Numa aproximao do campo de troca, supe-se que o tomo

magntico sofra a ao de um campo proporcional magnetizao, sendo dado por:

MHE l= (2.26)

onde uma constante independente da temperatura. Na fase paramagntica considerada, um

campo magnticoB aplicado, produzindo uma magnetizao finita que criar um campo de

troca EB . Tomando como sendo a susceptibilidade paramagntica, temos:

( )EHHM +=c (2.27)

e que:

TC=c

(2.28)

onde a constante C denominada de constante de Curie.

Substituindo a Eq. 2.28 na Eq. 2.27 e em Eq. 2.26, fica como:

CT

C

H

MCHMCMTMCCHMTMH

T

CM

llll

-==++=+= )()(

(2.29)

da Eq. 2.22, temos queH

M=c , dessa forma a equao acima pode ser reescrita como:

CT

C

lc

-= (2.30)

Chamando CTc l= , observe que quando cTT= a susceptibilidade magntica

apresenta uma divergncia, isso significa o comeo do ordenamento magntico dentro do

material [18]. Podemos escrever a Eq. 2.30 da seguinte forma:

cTT

C

-=c (2.31)

A Eq. 2.31 representa aLei de Curie-Weisse, de acordo com Martins [16], umacorreo Lei de Curie, Eq. 2.28. Esta expresso descreve muito bem a variao da


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susceptibilidade na regio paramagntica acima da temperatura de Curie. O sinal para Tc

determina se a interao ferromagntica ou antiferromagntica, a dependncia do material

magntico com a temperatura analisada observando a susceptibilidade magntica conforme

se varia a temperatura. Assim, para:

a) ,0>> lCTT a interao ferromagntica;

b) ,0


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as propriedades magnticas de um corpo fossem originadas por um grande nmero de

minsculas correntes circulares dentro desse corpo. O campo magntico total no material

seria, ento, a soma do campo gerado pela corrente externa com o campo gerado por estas

correntes microscpicas. Mais tarde, foi desenvolvida a teoria dos domnios onde se mostra

que, os eltrons apresentam uma propriedade chamada spin que faz com que eles se

comportem como pequenos ims. Nos materiais magnticos, o campo total devido aos spins

dos eltrons zero, seja porque eles se anulam naturalmente, seja porque esto orientados de

forma aleatria. Em materiais magnticos, como o ferro e o ao, os campos magnticos dos

eltrons (grupos de at 1012eltrons) se alinham (acoplamento de troca) formando regies que

apresentam magnetismo espontneo. Essas regies so chamadas de domnios (Fig. 9). Os

domnios esto separados por limites de domnio designados porparedes de Bloch(Fig.10).

Figura 9: Domnios Magnticos [23].

Figura 10: Paredes de Bloch [24].


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Em uma amostra no magnetizada de um material magntico os domnios esto

distribudos de forma aleatria e o campo magntico total em qualquer direo zero. Quando

expostos a um campo aplicado externo, os domnios tendem a alinhar-se segundo a direo do

campo aplicado, custa do crescimento dos domnios com orientaes favorveis ou da

reorientao dos dipolos (Fig.11). Se o campo externo aplicado for suficientemente intenso,

todos os domnios se orientaro nessa direo e, da em diante, qualquer aumento do campo

externo no causar nenhum aumento na magnetizao do material. Nesse caso diz-se que o

material atingiu a saturao.

Figura 11: Orientao dos domnios magnticos com campo H [24].

Quando o campo magntico externo removido, o grau de alinhamento diminui e

o campo no interior do material cai para um valor, no necessariamente igual ao anterior, ouseja, a remoo da fora magnetizante faz com que alguns domnios voltem a ficar

desalinhados. Essa perda do alinhamento, porm, no total e os domnios alinhados

remanescentes so os responsveis pela existncia dos ims permanentes.

Um material ferromagntico, aps ser aquecido acima da temperatura de Curie e

resfriado, se divide, espontaneamente, em domnios magnticos nos quais os momentos

magnticos esto alinhados paralelamente. Por outro lado, o material no apresenta um campo

magntico externo, uma vez que os domnios magnticos esto dispostos aleatoriamente de

maneira que a resultante externa nula [11]. A explicao para isso est no balano das

energias magnticas envolvidas neste processo.

2.5.6 Antiferromagnetismo

O antiferromagnetismo caracterizado pelo ordenamento de todos os momentosde um material de forma antiparalela (Fig. 1.4). Sua natureza a mesma do ferromagnetismo,


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ou seja, determinado pela interao de troca. Analogamente ao ferromagnetismo, as

caractersticas antiferromagnticas desaparecem a alta temperatura devido entropia, a essa

temperatura d-se o nome de temperatura de Nel, TN, que pode ser observado na figura 8.

Acima dessa temperatura os compostos so tipicamente paramagnticos [19]. De acordo com

Marques [18], Nel foi um dos primeiros a predizer este tipo de ordenamento magntico, no

qual publicou uma srie de artigos a partir de 1932.

A temperatura de Nel, TN, na aproximao do campo dada por:

CTN m= (2.32)

Dessa forma, a susceptibilidade na regio paramagntica :

CT

C

mc +=

2

(2.33)

que pode ser reescrita como:

NTT

C

+=

2c (2.34)

A Figura 12 mostra a dependncia com a temperatura de material

antiferromagntico, nela possvel observar, em (a), onde ocorre a transio de fase do

antiferromagnetismo para o paramagnetismo de Curie-Weiss [16]. A lei de Curie-Weiss

dada pela Eq. 2.31. Em (b), temos que a susceptibilidade atinge seu valor mximo na

temperatura de Nel, TN, onde existe um pico bem definido na curva de contra T.


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Figura 12 Comportamento antiferromagntico. O1-c diminui com o aumento da

temperatura at TN, quando este transita para o estado paramagntico, agora, crescendo

linearmente com a temperatura [16].

2.5.7 Curva de Histerese

Do ponto de vista experimental, as curvas de magnetizao contra a intensidade

do campo magntico informam sobre a dureza dos materiais magnticos, que est

relacionada com sua anisotropia cristalina. Quando um campo magntico aplicado sobre umsistema magntico, como um pedao de ferro, suas paredes de domnio se movimentam,

aumentando a regio de momentos magnticos na mesma direo do campo e causando uma

diminuio de sua energia interna. Para pequenos valores do campo este processo reversvel.

Entretanto, quando o campo no fraco, o processo torna-se irreversvel, impedindo o sistema

de retornar a sua configurao inicial quando o campo removido. Este o bem conhecido

fenmeno de histerese [12].

A histerese a tendncia de um material ou sistema de conservar suaspropriedades na ausncia do estmulo que as gerou. Podem-se encontrar diferentes

manifestaes desse fenmeno. Conforme a Figura 12, quando o campo magntico H

aplicado em um material ferromagntico inicialmente desmagnetizado for aumentado este

seguir a curva pontilhada at atingir um patamar constante chamado de magnetizao de

saturao (MS). Em seguida diminuindo o campo a partir deste valor, M decresce mais

lentamente seguindo o sentido dado pela seta at um valor residual da magnetizao para um

campo H nulo, chamado de magnetizao remanente (MR). Para que

r

chegue a zero, necessrio aplicar um campo negativo, chamado de fora coercitiva. Se H continuar

aumentando no sentido negativo, o material magnetizado com polaridade oposta. Desse

modo, a magnetizao inicialmente ser fcil, at quando se aproxima da saturao, passando

a ser cada vez mais difcil. A reduo do campo novamente a zero deixa uma densidade de

fluxo remanescente, e, para reduzirHa zero, deve-se aplicar uma fora coercitiva no sentido

positivo. Aumentando-se mais ainda o campo, o material fica novamente saturado, com a

polaridade inicial.


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Figura 12: Curva de histerese [16].

A magnetizao apresenta valores diferentes para um mesmo campo magntico

aplicado dependendo do estado magntico anterior da estrutura. H duas grandezas que

merecem destaque na curva de magnetizao:

A Remanncia que a magnetizao do material quando removido o campo

externo a partir da saturao e a coercividade que indica o campo magntico onde ocorre a

reverso da magnetizao de uma saturao para outra.

2.6 ENERGIAS MAGNTICAS

As energias magnticas explicam a configurao magntica do material em

estudo. Como o mnimo de energia se d quando o momento magntico aponta na direo do

respectivo campo local, assim, a configurao deve ser sempre a que apresente a menor

energia possvel ou que os momentos magnticos apontem para o campo efetivo local [20].


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2.6.1 Energia de Troca (Exchange)

Foras eletrostticas so geralmente, muito mais intensas que foras magnticasde interao. A mecnica quntica fornece a explicao para essas interaes eletrostticas

pela interao de troca. De acordo com o princpio de excluso de Pauli, dois eltrons no

podem existir em um mesmo estado quntico, portanto devem ter momentos magnticos

intrnsecos contrrios. De maneira oposta, a repulso eletrosttica entre dois eltrons tende a

manter os momentos magnticos alinhados paralelamente.

Para os materiais ferromagnticos, o equilbrio destas foras, faz com que haja um

momento magntico intrnseco resultante. O alinhamento varia se o coeficiente de troca (J)for positivo (para ferromagnticos) e negativo (para antiferromagnticos).

A energia de troca de um dado tomo icom seus vizinhos dado por:

-=j

jijie SSJHrr

. (2.35)

Se a integral de troca isotrpica igual Je, temos:

-=j

jiee SSJHrr

. (2.36)

2.6.2 Energia Zeeman

A energia Zeeman nos informa como o momento magntico atmico interage com

um campo magntico externo Hr

. Quando um campo magntico externo aplicado, a

magnetizao sofre um torque fazendo com que os momentos magnticos se alinhem na

direo do campo. No entanto a orientao de cada momento magntico ser dada pela

minimizao da energia magntica total do sistema [21].


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3 SISTEMAS QUASIPERIDICOS

3.1 ESTRUTURAS PERIDICAS E QUASIPERIDICAS

Em um trabalho de 1984, Dan Schechtman [70] e colaboradores [26] mostraram a

existncia de um slido metlico que exibia um padro de difrao de um cristal

monocristalino, mas com simetria icosadrica, inconsistente com as translaes da rede

cristalina conhecidas para um cristal. Estudos tericos desenvolvidos por Levine e Steinhardt[27] explicaram esta simetria mediante as figuras geomtricas de Penrose em 2D e 3D [28],

que preenchem todo o espao, mas que so aperidicas, ou seja, no exibem uma estrutura

peridica regular. O desafio colocado pelos estudos experimentais foi desenvolver modelos

tericos para caracterizar estas estruturas artificiais.

Este novo slido cristalino, sem periodicidade translacional, foi denominado de

quasicristalou cristal aperidico. Embora o termo quasicristal seja mais apropriado quando

aplicado aos compostos naturais ou as ligas artificiais, em 1D, no h diferenas entre este eas estruturas quasiperidicas formadas pelo arranjo incomensurvel de clulas unitrias

peridicas. Uma motivao para o estudo destas estruturas que elas exibem um espectro de

energia fragmentado semelhante ao conjunto de Cantor [34], revelando um padro de auto

similaridade, que uma caracterstica fundamental em sistemas fractais. Outro aspecto

fascinante devido s propriedades coletivas nestes sistemas, como as correlaes de longo

alcance que so observadas em quasicristais e que tambm esto presentes em sistemas

quasiperidicos, fornecendo uma nova descrio de desordem [29,30], tema bastante

investigado em fsica estatstica.

De fato, a anlise dos espectros da propagao da luz, da transmisso eletrnica,

da densidade de estados, dos polaritons, por exemplo, mostra que estes espectros so fractais

[31]. Em outras palavras, o comportamento macroscpico do sistema distinto do

comportamento das suas partes constituintes tomadas separadamente. Uma consequncia

importante, que sistemas distintos podem exibir o mesmo comportamento crtico, ou seja,

podemos classificar os vrios sistemas fsicos em poucas classes de universalidade [32]. Por

analogia, podemos considerar o tpico de transies de fase contnua: sabe-se que o

comportamento crtico depende somente das propriedades globais, isto , da dimenso


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geomtrica do sistema e das simetrias de seus parmetros de ordem, sendo insensvel aos

detalhes das interaes microscpicas entre tomos ou molculas [33]. Um exemplo o uso

do modelo de Ising de interao entre spins para descrever um fluido. O modelo de spins

clssicos de Ising orientados para cima (up) ou para baixo (down) escolhido para indicar a

presena (ou ausncia) de uma molcula no stio da rede, enquanto as complicadas interaes

entre estas molculas so substitudas por um acoplamento de troca entre primeiros vizinhos.

Apesar da sua simplicidade, este modelo reproduz completamente muitos aspectos do

comportamento do fluido prximo da sua temperatura crtica [34, 35].

Neste contexto, os trabalhos pioneiros de Merlin e colaboradores em sistemas

quasiperidicos para a sequncia de Fibonacci [2],[36-37] e a sequncia de Thue-Morse [38]

em super-redes nanoestruturadas de GaAs-AlAs tm gerado uma atividade de pesquisaexpressiva no campo dos quasicristais. Basicamente, estes sistemas envolvem a definio de

dois blocos constituintes (A e B, por exemplo), cada um deles contendo a informao fsica

necessria, ordenados segundo uma determinada sequncia. Isto , eles podem ser descritos

em termos de uma srie de geraes que obedecem a uma relao recursiva particular. Alm

disso, eles podem ser considerados como sistemas intermedirios entre os cristais peridicos e

os slidos amorfos [39], sendo um dos aspectos que tornam estes materiais interessantes para

estudo.

3.2 APLICAES DAS ESTRUTURAS QUASIPERIDICAS

As estruturas quasiperidicas consideradas ao longo deste trabalho so conhecidas

como sequncias substitucionais, as quais tm sido estudadas em muitas reas da matemtica

[40-42], da cincia da computao [43-44] e da criptografia [45]. Apesar de utilizar conceitos

elementares, a abordagem a ser apresentada produziu resultados de bastante interesse na

matemtica e na fsica. Seguem ento algumas definies importantes quanto quase

periodicidade das sequncias de substituio.

Definio 1:Um conjunto finito , cujos elementos so = {A, B}, (com A eB sendo dois

blocos constituintes diferentes), que denominamos de alfabeto.


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Definio 2: Chamamos de * o conjunto de todas as palavras de comprimento finito (tal

como AABAB) que podem ser escritas a partir do alfabeto.

Definio 3: Definimos como como uma quantidade que age sobre uma palavra,

substituindo cada letra (por exemplo, A) desta palavra por uma imagem correspondente,

chamada de (A).

Uma sequncia ento denominada de sequncia substitucional se ela um ponto

fixo de , isto , se ela permanece invariante quando cada letra na sequncia substituda por

sua imagem em . As sequncias substitucionais mais interessantes e que tm atrado a

ateno dos fsicos so:

a) A sequncia de Cantor, onde as regras de substituio so

( ) ( ) BBBBBABAA == zz ,A ;

b) A sequncia de Fibonacci, onde ( ) ( ) ABBABA == zz ,A ;

c) A sequncia de Thue-Morse, onde ( ) ( ) BABBABA == zz ,A ;

d) E a sequncia de perodo duplo, onde ( ) ( ) AABBABA == zz ,A .

Vamos agora continuar as definies das sequncias de substituio mencionadas.

3.3 SEQUNCIA DE CANTOR

Provavelmente a mais conhecida e simples geometria fractal determinstica a

tridica sequncia de Cantor [46]. Esse conjunto obtido atravs da repetio de uma regrasimples: dividir qualquer segmento em trs partes iguais, e em seguida, eliminar a central

(podemos chamar isso de sequncia de Cantor inicial), e com isso repetir este processo

continuamente. Por exemplo, se comearmos algebricamente com o conjunto fechado

[ ]3,00=S de todos os nmeros de 0 a 3 e retira-se o tero central aberto, ficamos com um par

de intervalos fechados [ ] [ ]3,21,0 e representando S1. Os teros mdio abertos em cada um

destes intervalos seria removido novamente para produzir quatro intervalos menores

representando S2, e assim por diante. Depois de diversas etapas, teramos um grande nmerode pequenos intervalos, separados por intervalos de vrios tamanhos.


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Para aplicaes em blocos de construo de estruturas de multicamadas, mais

apropriado considerar em vez disso a chamada sequncia de Cantor de sada. Isto tem sua n-

sima fase definida em termos da fase anterior pelo 11 --= nnnn SBSS , com as condies

iniciais considerando AABSeAS 110 == . Nesse caso Bn, para uma sequncia de n-sima

fase difere da base B1 ( )B para a primeira fase s pela sua espessura, 113 B

nB dd n

-= .

Podemos tambm construir a mesma sequncia, mais diretamente usando as transformaes

., BBBBABAA

Figura 13: Ilustrao esquemtica as sequncia de Cantor [47].

As geraes de Cantor so (Fig. 14)

.;;; 210 etcABABBBABASABASAS === (3.1)e so mais claramente representados pelo esquema de expanso diagramtica mostrado na

figura 2.

3.4 SEQUNCIA DE FIBONACCI

A sequncia de Fibonacci o exemplo mais antigo de uma cadeia aperidica de

nmeros. Ela foi desenvolvida pelo matemtico e comerciante Leonardo de Pisa em 1202,


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43

cujo apelido era Fibonacci, que significa filho de Bonacci. Essa sequncia surgiu quando ele

investigava o crescimento de uma populao de coelhos em um cenrio ideal, onde um casal

inicial de coelhos em um ambiente fechado, sem mortes e admitindo que cada casal de

coelhos nascem de um par frtil depois de dois meses, d origem a uma populao que cresce

segundo uma sequncia bem definida, que : {1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}, onde o prximo

termo da srie obtido somando os dois termos anteriores [47]. Na literatura, vamos

encontrar estudos que mostram que a sequncia de Fibonacci est associada aos voos das aves

predadoras que descem sobre suas presas seguindo uma espiral, disposio dos galhos nos

troncos das rvores e das folhas nos galhos, as espirais formadas pelos gomos na casca do

abacaxi, entre outras evidncias [48,49]. Este o aspecto particularmente interessante da

sequncia de Fibonacci, pois instiga o pesquisador a procurar entender a razo da escolha pelanatureza desta sequncia especfica.

Na Fsica de materiais, a estrutura de Fibonacci pode ser realizada

experimentalmente por justaposio de dois blocos constituintes de base A e B, de tal forma

que a n-sima fase do processo, nS , dada pela regra recursiva: 21 --= nnn SSS para 2n ,

comeando com BS =0 e AS =1 . Ela tem a propriedade de ser invariante sob a

transformao: ABeABA .

Figura 14: Ilustrao esquemtica as sequncia de Fibonacci a partir da gerao S2 [47].

As geraes de Fibonacci so (Fig. 15):

.;;;;; 43210 etcABAABSABASABSASBS ===== (3.2).


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44

O nmero de blocos aumenta em conformidade com o nmero de Fibonacci:

21 -- += nnn FFF , com 110 ==FF . Alm disso, a razo entre o nmero de blocos de Ae o

nmero de blocos de B na sequncia tende ao nmero conhecido como razo urea;

) 62,1251 @+=t , para ngrande. interessante notar que todos os nmeros de Fibonacci

podem ser gerados a partir da razo urea da relao: ( ) 5][ nnnF ---= tt . Isso significa

que uma sequncia de nmeros racionais, ou seja, os nmeros de Fibonacci de valores inteiros

podem ser obtidos de potncias de nmeros irracionais [47].

3.5 SEQUNCIA DE THUE-MORSE

A sequncia de Thue-Morse surgiu a partir dos resultados de estudos sistemticos

sobre cadeias aperidicas iniciadas por Thue [46] em 1906. Depois, em 1921, Morse [51,52]

fez uma importante contribuio para esta sequncia no contexto da dinmica topolgica.

Embora haja vrias maneiras de definir a sequncia de Thue-Morse, pode-se provar que todas

so equivalentes. Em sua forma mais simples, a sequncia de Thue-Morse pode ser definida

pela relao recursiva: 1111 -+-++-- == nnnnnn SSSeSSS (para n 1), com BSeAS oo == + .

Outro modo de construir esta sequncia atravs da regra de inflao: BABeABA .

Figura 15: Ilustrao esquemtica as sequncia de Thue-Morse a partir da gerao S1 [47].

As geraes de Thue-Morse so (Fig. 16):


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45

.;;;; 3210 etcABBABAABSABBASABSAS ==== (3.3)

O nmero de blocos neste sistema quasiperidico aumenta com 2n, onde n = 0, 1,

2, 3,... indica a gerao da sequncia de Thue-Morse, enquanto a razo do nmero de blocos

de Aem relao ao nmero de blocos de B constante e igual a unidade.

3.6 SEQUNCIA DE PERODO DUPLO

A sequncia de perodo duplo uma das cadeias aperidicas mais recentes. Ela

tem origem no estudo de sistemas dinmicos [53] e em aplicaes a laser para fibras pticasno lineares [54]. Sua relao recursiva um pouco semelhante ao caso de Thue-Morse: o n-

simoestgio dado por 1111 --++

-- == nnnnnn SSSeSSS para 1n , com BSeAS == +

00 .

tambm invariante sob a transformao AABeABA , o que torna a distino mais

clara.

Figura 16: Ilustrao esquemtica da sequncia de Perodo Duplo [47].

As geraes de perodo duplo so (Fig. 17):

.;;;; 3210 etcABAAABABSABAASABSAS ==== (3.4)

O nmero de blocos para esta sequncia aumenta com ncomo na sequncia de

Thue-Morse, ou seja, 2n, onde n o nmero da gerao. Contudo, a razo entre o nmero deblocos de A em relao ao nmero de blocos de Bno constante: ela tende a 2quando o


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46

nmero de geraes vai para infinito. Alm disso, os blocos Bocorrem sempre isoladamente,

como no caso da sequncia de Fibonacci, mas ao contrrio da sequncia de Thue-Morse.


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47

4 MTODO DE MONTE CARLO

4.1 INTRODUO

Nos ltimos anos, graas aos avanos dos computadores (hardware), das

tcnicas de programao (software) em contraposio das grandes dificuldades exigidas dos

mtodos tradicionais experimentais de alterar certos parmetros fsicos aplicados ao estudo

das propriedades dos fenmenos crticos, as simulaes computacionais, que antes usavamum conjunto de operaes no qual deveria se repetir centenas de vezes, agora passou a ser

feita de uma nica vez facilitando a obteno dos resultados, passando a exercer uma

profunda influncia no progresso das pesquisas em Mecnica Estatstica [55].

Na Mecnica Estatstica as simulaes computacionais tm como princpio de que

com um computador e um programa que tenha sido construdo apropriadamente, ir servir

para simular um comportamento real de um ensemble de sistemas, de forma a obter uma

anlise estatstica da trajetria nos permitindo estimar determinadas previses daspropriedades do mesmo.

H duas classes gerais de simulaes: O Mtodo da Dinmica Molecular, e o

Mtodo de Monte Carlo (MMC). Este ltimo muito utilizado para o estudo do

comportamento termodinmico de sistemas macroscpicos, cuja diferena do mtodo de

dinmica molecular o uso de uma sequncia de nmeros aleatrios [56]. Neste trabalho

usaremos o MMC em modelos de rede de Ising. O MMC em fsica computacional

possivelmente uma das mais importantes ferramentas de abordagens numricas para estudar

os problemas matemticos que abrangem todas as disciplinas cientficas, tais como, fsica,

qumica e at das cincias sociais e econmicas [57,58]. A ideia desse mtodo baseia-se na

realizao de experimentos de amostragem estatstica em computador das configuraes do

sistema a ser estudado, que dependem de parmetros com N-pontos em M-dimenses de

espao para calcular os valores aproximados das grandezas desse sistema usando nmeros

aleatrios.


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48

4.2 HISTRIA DO MTODO DE MONTE CARLO

O MMC surgiu nos anos quarenta durante o projeto Manhattan na SegundaGuerra Mundial pelos fsicos S. Ulam, E. Fermi, J Von Neumann e N. Metropolis (entre

outros) trabalhando no projeto de armas nucleares no laboratrio Nacional Los Alamos. Eles

consideraram a possibilidade da utilizao desse mtodo, que envolvia a simulao direta de

problemas probabilsticos relacionados com o coeficiente de difuso do nutron em certos

materiais. Apesar de chamar a ateno dos cientistas, o desenvolvimento ordenado dessa ideia

teve de aguardar o trabalho de Harris e Herman Kahn em 1948 no qual Fermi, Metropolis e

Ulam usaram o MMC para determinar estimativas para autovalores da equao deSchrodinger. Muito antes disso, nmeros e grandezas aleatrias j tinham sido usados na

investigao de problemas matemticos, mas Von Neumann e Ulam em 1945 contriburam

para mostrar que vrios problemas matemticos poderiam ser tratados atravs de um anlogo

probabilstico [59].

O nome desse mtodo uma referncia ao principado de Mnaco, por causa de

uma roleta, um gerador de nmeros aleatrio simples. O nome e o desenvolvimento

sistemtico do mtodo de Monte Carlo datam de cerca de 1940.

4.3 MEDIDAS DE GRANDEZAS TERMODINMICAS

A mecnica estatstica de equilbrio tem por objetivo descrever as propriedades

macroscpicas de um sistema por meio de mdias sobre os seus estados microscpicos e

descritas por meio do ensemblecannico. A funo de partio, a partir da qual possvelobter as propriedades termodinmicas do sistema, para um sistema em contato com um

reservatrio trmico temperatura T, pode ser escrita como:

-- ==i

E

i

TkE iBi eeZ b (4.1)

ondeTkB

1=b , ( Bk a constante de Boltzmann) e T a temperatura e onde a soma feita

sobre todos os estados i do sistema com energia Ei e, portanto, depende do tamanho do

sistema e o nmero de graus de liberdade para cada partcula. Tambm possvel escrever a


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49

funo de partio para sistemas sujeitos a alguma outra restrio alm da temperatura, como

por exemplo, serem mantidos a presso constante ou submetidos a campos magnticos.

Uma quantidade que pode ser definida a partir da Eq. (4.1) e que estabelece a

relao entre a termodinmica e a parte estatstica chamada distribuio de Boltzmann, a

qual dada pela seguinte expresso:

iEi e

Zp

b-=1

(4.2)

e estabelece a probabilidade do sistema ser encontrado em um dado estado microscpico i.

Com o conhecimento desta probabilidade, possvel calcular o valor esperado Q do

observvel Qpor meio da expresso:

=== - 1;1 ii

E

ii

i

i peQZ

pQQ ib (4.3)

ou seja, a mdia do observvel os microestados i ponderada pelo peso de Boltzmann de cada

estado.

Uma vez que determinamos os potenciais de interao entre as partculas e os

vnculos aos quais o sistema est submetido, podemos escrever a funo de partio. O

problema est na realizao explcita do clculo devido ao nmero muito grande de

microestados no somatrio da Eq. (3.1). Neste contexto, modelos bastante simplificados setornam importantes na tentativa de descrever os fenmenos fsicos observados em sistemas

reais (muito mais complexos), dentre os quais destacamos o modelo de Ising [60]. A soluo

usual para sistemas grandes realizar o clculo utilizando apenas um subespao dos estados

do sistema, o que implica em tornar os resultados imprecisos. Nas simulaes de MC escolhe-

se aleatoriamente um subconjunto com N estados de acordo com uma dada distribuio de

probabilidadepi. A estimativa dada pela quantidade Q, medida por:

=

--

=

--

=N

i

Ei

N

i

Eii

N

i

i

ep

epQ

Q

1

1

1

1

b

b

(4.4)

NQ , o estimador de Q, torna-se uma estimativa mais precisa de Q a medida que N

aumenta, no limite em que N , temos QQN= . Dois detalhes a considerar: (1) se os N

estados forem escolhidos ao acaso, isto , todos tem a mesma probabilidade, apenas uma

frao muito pequena do espao de fase do sistema ser usada no calculo do estimador; (2)

diz respeito a contribuio dos estados visitados no clculo do estimador, j que o peso de


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50

Boltzmann uma funo exponencial, somente estados com energias prximas do estado de

equilbrio tero uma contribuio expressiva na soma.

Com a funo de partio podemos determinar as funes termodinmicas. Assim

vamos definir: Energia interna, calor especfico, entropia e susceptibilidade magntica.

A energia interna U do sistema calculado pelo valor mdio de E esperado

para a energia, da seguinte forma,

-=i

E

iieE

ZU

b1 (4.5)

Com as equaes (4.2) e (4.4) temos:

-=-=

=

--

i

E

ii

E

ZUeEe

Zii bb

bb (4.6)

ou seja,

.log1

bb

-=

-=

ZZ

ZU (4.7)

J o calor especfico C obtido atravs da derivao da energia interna U, assim:

.1

2 bb

-=

=

=

U

Tk

U

TT

UC

B

(4.8)

Partindo da equao (3.6), conclui-se que:

2

22 log

bb

=

ZkC B (4.9)

A entropia determinada por:

-=

-=

b

b Z

ZZk

T

FS B ln (4.10)

onde ZTkF ln0-= a energia livre de Helmholtz.

A susceptibilidade magntica mede a resposta na magnetizao devido variaodo campo magntico. Assim temos:

1

2

21 --

=

=

TTT

TM

F

M

H

H

Mc (4.11)

j que,

HM

F

-=c (4.12)

Com isso, temos.

( )22222 ZBzzB SSS D=-= mbmbc (4.13)


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51

4.4 AMOSTRAGEM E ALEATORIEDADE

A amostragem aleatria simples o tipo de amostragem probabilstica maisutilizada. D exatido e eficcia amostragem, alm de ser o procedimento mais fcil de ser

aplicado a todos os elementos do sistema a ser estudado, que tem a mesma probabilidade de

pertencerem amostra. O processo consiste em selecionar uma amostra na partir de um

sistema N. Geralmente a seleo feita sem reposio e cada amostra feita unidade a

unidade at que se atinja o nmero pr-determinado.

A palavra aleatoriedade utilizada para exprimir quebra de ordem, propsito,

causa, ou imprevisibilidade em uma terminologia no cientfica. Um processo aleatrio oprocesso repetitivo cujo resultado no descreve um padro determinstico, mas segue uma

distribuio de probabilidade. O termo aleatrio frequentemente utilizado em estatstica para

designar uma propriedade estatstica bem definida tal como uma quebra de uma neutralidade

ou correlao. Um nmero aleatrio um nmero que pertence a uma srie numrica e no

pode ser previsto a partir dos membros anteriores da srie. O conceito de nmero aleatrio

um conceito relativo srie numrica a que o nmero pertence. Um nmero pode ser aleatrio

numa srie numrica e no aleatrio noutra.

O fato dos sistemas reais terem um nmero muito grande de estados

microscpicos faz com que o resultado das observaes experimentais seja uma manifestao

de somente uma parte dos estados do sistema, notadamente aqueles que foram visitados

durante a realizao da simulao. Esta observao um indcio de que o sistema est

realizando uma espcie de amostragem por importncia, o que fortalece a ideia da

possibilidade de determinao das propriedades termodinmicas de interesse, utilizando

apenas uma pequena frao dos estados presentes no sistema e com isso preservando a

semelhana entre a simulao e experimento.

A forma usual de reproduzir as observaes nas simulaes feita por meio da

utilizao de um algoritmo capaz de gerar, a partir de um estado inicial, outros estados

semelhantes de acordo com o seu peso de Boltzmann. Ento, ao invs de escolher os estados

de forma uniforme, isso feito de forma que um dado estado iseja escolhido de acordo com a

distribuio de Boltzmann. Esta escolha far com que a Eq. (4.4) seja:


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52

=

=N

i

iN QN

Q1

1 (4.14)

Resultando em uma equao mais simples onde os fatores de Boltzmann foramcancelados e no h referncia explcita funo de partio. Como esta expresso funciona

muito melhor que a Eq. (4.4) devido o sistema estar passando a maior parte do tempo em um

nmero pequeno de estados j que estes estados sero escolhidos mais frequentemente e que

possuem pesos expressos no clculo do estimador. Ser necessrio um mecanismo que

permita que cada estado escolhido tenha o mesmo peso de Boltzmann, para isso vamos fazer

uso dosprocessos de Markov[60,65].

4.4.1 Processos de Markov

Este consiste em uma ferramenta matemtica, na qual se podem gerar sucessivos

estados independentes do estado anterior. Esse tipo de processo (estocstico) aplicado a um

sistema no estado num determinado tempo, o qual gera um estado n num tempo seguinte

de forma que, se partirmos do mesmo estado inicial, nem sempre ser gerado o mesmo estadofinal. A probabilidade do estado final n ser gerado a partir do estado denominada de

probabilidade de transio ( )nmP que caracterizada por depender somente das

propriedades dos estados inicial e final, no mais do tempo. O significado que uma vez que

o sistema esteja no estado a probabilidade do sistema gerar o estado n sempre a mesma,

no importando o que tenha acontecido anteriormente. As probabilidades de transio esto

sujeitas aos vnculos.

( ) ( ) 1,0 = n

nmnm PP (4.15)

pois a partir do estadon , outro estado gerado ou o sistema permanece no estadon .

Numa simulao de Monte Carlo, uma sequncia de passos realizada nos

processos de Markov, o qual d origem a uma cadeia de Markov de estados[60]. A Figura 18

mostra um exemplo dessa cadeia de um sistema com apenas quatro estados.


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53

Figura 17: Cinco sucessivos processos de Markov, formando uma Cadeia de Markov de

estados.

Temos um sistema com apenas quatro estados e inicialmente ele se encontra no

estado = 3, e a partir deste escolhemos aleatoriamente um novo estado n seguindo as

condies do processo de Markov [63].Partindo desta cadeia podemos estimar a probabilidade np de o sistema estar no

estado n no tempo ( )nn tpt n, , dado que este se encontrava num estado anteriormente,

1-nt ,

( )nmmn = - Ptptp nn 1)( (4.16)

A chamada equao mestra considera a mudana desta probabilidade, com o

tempo, )( ntpn , tratado de forma contnua ao invs de discreta [6].

( )( ) ( ) ( ) ( )nmmn

m

m

m

nn +-= PtpPtpdt

tdp (4.17)

A caracterstica principal do processo de Markov pode ser vista na equao

mestra: conhecendo o estado inicial do sistema no tempo tpodemos estimar completamente a

evoluo temporal da distribuio de probabilidades que est associada a ele, isto , uma vez

que o prximo estado gerado com base no conhecimento do estado anterior.Os processos de Markov so indispensveis quando so executados por um tempo

relativamente grande, pois possvel gerar a comear deles uma sucesso de estados com

probabilidades obedecendo distribuio de Boltzmann. Para que isto ocorra outras duas

condies devem ser satisfeitas: a ergodicidade e o balano detalhado.


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54

4.4.2 Ergodicidade

A condio de ergodicidade assegura que qualquer estado do sistema pode seratingido a partir de qualquer outro estado via sequncia de processos de Markov. Esta

condio permite que algumas das probabilidades de transio entre estados sejam zero, mas

deve existir pelo menos um caminho de probabilidades de transio diferente de zero entre

quaisquer dois estados do sistema. Se isto no ocorrer, um estado no poder ser gerado a

partir do estado inicial e a probabilidade do estado lp ser zero e no o valor correspondente

distribuio de Boltzmann [60].

4.4.3 Balano Detalhado

O balano detalhado consiste na garantia que quando uma longa cadeia de

Markov realizada, a distribuio obtida a distribuio de Boltzmann. Desde que o sistema

atinja o equilbrio, as probabilidades de o sistema ir para o estado e sair deste devem ser

iguais, isto :

( ) ( ) =m

n

n

m mnnm PpPp (4.18)

Esta condio garante a existncia de uma distribuio de equilbrio [61]. Esta a

chamada condio de balano detalhadoe nos diz que na mdia o sistema deve ir de para

n da mesma forma que ele vai de n para . Esta condio garantir que a cadeia de Markov

ir gerar uma distribuio de probabilidade nica para tempos longos. Desejamos que a

distribuio obtida seja a distribuio de Boltzmann, devemos escolher as probabilidades de

transio entre os estados paran de acordo com a condio:

( )( )

( )mnb

m

n

mn

n EEe

p

p

P

P --==

(4.19)

Nessas condies, agora se faz a escolha conveniente para a distribuio de

probabilidades ( )nmP que deve satisfazer as Equaes 4.15 e 4.19. Feito is

0825dissertacao final magno de souza

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