distribucion log normal

ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Distribución Log Normal, Pareto y Gamma

Pedro SandovalJeison Lombana

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Objetivo GeneralObjetivos Especi�cos

Objetivo General

Exponer la teoría y los conceptos que se involucran en ladistribución Log Normal, Pareto y gamma

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Objetivo GeneralObjetivos Especi�cos

Objetivos Especi�cos.

Analizar los diversos teoremas relacionados de la distribuciónLog Normal

Dar explicación a las caracteristícas fundamentales de ladistribución Pareto y sus diversas condiciones

Comprender la distribución Gamma y sus posibles aplicaciones

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Introducción

La distribución logarítmica normal que comúnmente se utiliza paramodelar la vida de las unidades cuyos modos de falla son de unanaturaleza a la fatiga del estrés. Dado que se incluyen la mayoría, sino todos, los sistemas mecánicos, la distribución logarítmica normalpuede tener aplicación generalizada.

Una variable aleatoria que se distribuye lognormal si el logaritmo dela variable aleatoria tiene una distribución normal. Debido a esto,hay muchas similitudes matemáticas entre las dos distribuciones.Por ejemplo, el razonamiento matemático para la construcción dela probabilidad trazando escalas y el sesgo de los estimadores deparámetros es muy similar para estas dos distribuciones.

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Propiedades

la función de distribución viene dada por :

P(X ) =1

S√2πx

e−(ln(x)−M)2

2S2

Esta distribución se puede normalizar si se toma la siguientesustitución y = ln(x) obtenemos dy = dx

xy x = ey así:

∫∞

0

P(X )dx =1

S√2π

∫∞

−∞

e−(y−M)2

2S2 dy = 1

Para hallar la esperanza y la varianza vamos a recurrir a la primeray segunda derivada de la función generadora de momentos evaluadaen el primer y segundo momento respectivamente

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

µ′1 = e−

(y−M)2

2S2

µ′2 = e−

(y−M)2

2S2 (eS2−1)

Con lo cual tenemos que :

E (X ) = eM+s2

2

V (X ) = eS2+M

2 (eS2−1)

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Propiedades

La distribución de densidad de probabilidad y función deprobabilidad vienen dadas por:

P(X ) =a−ba

xa+1

P(X ) = 1−(b

x

)a

con x ≥ b

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Ahora análogo al anterior hallaremos la esperanza y la varianza conla derivadas de la función generadora

µ′1 =

ab

a−1

µ′2 =

ab2

(a−1)2(a−2)

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

En general los momentos vienen dados por la siguiente

µn = abnΓ(a−n)2F1(a−n,−n;1+a−n;a

a−1)

= (1−a)a−n(−a)n−aabnB(a

a−1,a−n,n+1)

Para a > n donde Γ(z) es función Gamma F1(a,b,c ,z) es unafunción hipergeométrica regularizada y B(z ,a,b) función Beta

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Observamos que la existencia de los dos primeros momentosdepende del valor del parámetro a Es por ello que a menudoconviene estimar su valor a partir de datos para tener una mayorinformación de la variable, con esta tenemos estimación pormomentos y por máxima verosimilítud.

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Distribución ParetoDistribución Gamma

momentos

Estimación por momentos

Partiendo de una muestra aleatoria simple (m.a.s) de la distribución{x1.........xn}igualamos el momento de orden uno poblacional,E (X ) con la correpondiente momento usual x luego:

ak

(a−1)= x

xk

(x−1)= am

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Distribución ParetoDistribución Gamma

máxima verosimilítud

estimación por máxima verosimilítud Partiendo de una muestraaleatoria simple (m.a.s) de la distribución {x1.........xn}construimosla siguiente función :

L(x ,a) = (a

k)n

n

∏i=1

(k

xi)a+1

Tomando logaritmos:

lnL(x ,a) = n(ln(a)− ln(k)) +n

∑i=1

(a+1)(ln(k)− ln(xi ))

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Derivando respecto a a e igualando a 0 depejamos el estimadorcomo sigue:

aMV =1

¯ln(x)− ln(k)

Donde ¯ln(x) = 1

n ∑ni=1 ln(xi )

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Pareto segundo tipo

La distribución de Pareto segundo tipo no es más que la del primertipo trasladada al origen, es decir, si Y es una v.a aleatoria condistribución Pareto (primer tipo) y parámetros k ,α se de�neentonces esta nueva distribución como : X = Y −k

Ahora relacionando esta con las funciones de distribución tenemos:

F (x) = P(X ≤ x) = P(Y −k ≤ x) = P(Y ≤ x +k) = 1− (k

x +k)α

si x ≥ 0 y F (x) = 0 en otro caso

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Pareto tercer tipo

la distribución de Pareto de tercer tipo es una generalización de lasanteriores, en que además de la traslación se produce un cambio enla estructura de la varianza. Se de�ne como distribución de Paretode tercer tipo como variabla aleatoria X cuya función dedistribución está dada por :

F (x) = P(X ≤ x) = 1− (k

x +k)αe−bx

si x ≥ 0 y F (x) = 0 en otro caso

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Distribución de Burr

Su función de densidad de probabilidad está dada por:

f (x) =

αk

(xβ

)α−1

β

(1+

(xβ

)α)k+1

función cumulativa

F (x) = 1−(1+

(x

β

)α)−k

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Ahora si de�nimos una forma analítica de la función de cuantíatenemos que:

q(u) = (u−1k −1)

1c

Donde q(u) es una función monótona creciente con parámetros c yk ; la derivada es:

q′(u) = (u− 1k−1

)(u− 1k −1)

1c −1/(ck)

El propósito de esta nueva forma es para llegar a la demostraciónde la esperanza de esta distribución

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Ahora con la anterior información podemos a�rmar que para hallarla esperanza está dada por:

E [q(u)r ] =∫

1

0

q(u)rdu =∫

1

0

(u−1k −1)

1c du

=Γ[ c+rc ]Γ][ k−rc ]/Γ[k]

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Distribución ParetoDistribución Gamma

De�nición

consideremos inicialmente un proceso de Poisson que se extiende alenésimo momento se tendria entonces lo siguiente:

D(x) = P(X ≤ x) = 1−P(X > x)

1−h−1

∑k=0

(λx)ke−λx

k!= 1− e−λx

h−1

∑k=0

(λx)k

k!

1− Γ(h,x ,λ )

Γ(h)

La cual es la distribución Gamma incompleta o Erlang

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Para considerar la distribución completa procedemos a derivarnuestra condición inicial como sigue:

P(x) = D ′(x)

= λe−λxh−1

∑k=0

(λx)k

k!− e−λx

h−1

∑k=0

k(λx)k−1λ

k!

= λe−λx + λe−λxh−1

∑k=1

(λx)k

k!− e−λx

h−1

∑k=1

k(λx)k−1λ

k!

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

= λe−λx −λe−λxh−1

∑k=1

[k(λx)k−1

k!− (λx)k

k!

]

= λe−λx

{1−

h−1

∑k=1

[k(λx)k−1

(k−1)!− (λx)k

k!

]}

= λe−λx

{1−[1− (λx)h−1

(h−1)!

]}

λ (λx)h−1

(h−1)!e−λx

si α = h y θ = 1

λla anterior se puede reeescribir como:

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Distribución ParetoDistribución Gamma

P(x) =xα−1e

−xθ

Γ(α)θ α

Que es la función de probabilidad Gamma con parámetros (α, xθ

)

La función generadora de momentos está dada por:

M(t) =∫

∞

0

etxxα−1e−xθ dx

Γ(α)θ α

=∫

∞

0

xα−1e−(1−θt)x

θ dx

Γ(α)θ α

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

Ahora sean y = (1−θt)xθ

dy = 1−θtθ

dx

Asi

M(t) =∫

∞

0

(θy

1−θ t

)α−1 e−y

Γ(α)θ α

θdy

1−θ t

=1

(1−θ t)α Γ(α)

∫∞

0

yα−1e−ydy

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ObjetivosLa distribución Log Normal

Distribución ParetoDistribución Gamma

=1

(1−θ t)α

Expresando como logaritmos las derivadas de la función generadoravienen dadas por:

R(t) =−α ln(1−θ t)

R ′(t) =αθ

1−θ t

R ′′(t) =αθ2

(1−θ t)2.

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Finalmente la esperanza y la varianza estan dadas por:

E (X ) = αθ

V (X ) = αθ2

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Distribución Exponencial

La distribución exponencial se puede introducir como el casoparticular de la distribución cuando el parámetro r = 1, en estecaso:

De�nición

Se dice que la v.a X sigue una distribución exponencial de parámetro

a > 0, y se denota por (a), si su función de densidad viene dada por

f (x) = ae−ax x ≥ 0

y f (x) = 0 en otro caso.

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Propiedades.

Media

E (X ) =1

a

Varianza

V (X ) =1

a2

Funcion generatriz de momentos

δX (u) =(1− u

a

)−1Función Caracteristica

ψX (iu) =

(1− iu

a

)−1Función Cumulativa

−ln((

1− u

a

)).

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Proposicion

La suma de v.a. independientes con distribución γ del mismo

parámetro a, es una v.a. con distribución γ del mismo parámetro a

y donde su parámetro r se obtiene como suma de dichos

parámetros en las distribuciones que hemos sumado.

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Distribución ParetoDistribución Gamma

Distribución Exponencial Desplazada

La distribución exponencial se puede generalizar, trasladándola delorigen. Surge así, la distribución exponencial desplazada.

Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro a.X ∈ ε(a). Consideremos la v.a. transformación lineal de

X , Y = X +k ,k > 0.

La función de densidad de Y , vendrá dada por:

fY (y) =

{fX (y −k) = ae−a(y−k) si y ≥ k

0 e.o.c

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Bibliografía

De�nición

Se dice que la v.a X sigue una distribución exponencial desplazada

de parámetros a > 0, k > 0y se denota por ε(a,k), si su función de

densidad viene dada por

f (x) =

{ae−a(x−k) si x ≥ k > 0

0 e.o.c

E (X ) = 1

a+k

V (X ) = 1

a2

Función Caracteristica

ψX (iu) = e iuk(1− iu

a

)−1.

Bibliografía

Bibliografía

http://www.m-hikari.com/ams/ams-2010/ams-45-48-2010/headrickAMS45-48-2010.pdf

http://pouyanne.perso.math.cnrs.fr/barcelona.pdf

[López Cachero, 1996] López Cachero, M. (1996). Estadísticapara actuarios. Fundación Mapfre Estudios, Madrid.

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